О классах Орлича–Соболева на римановых многообразиях
Изучено граничное поведение гомеоморфизмов с конечным искажением класса Орлича–Соболева Wloc^1,φ при условии типа Кальдерона для функции φ на гладких римановых многообразиях. Найдены условия непрерывного и гомеоморфного продолжения таких отображений на границы. Вивчено граничну поведінку гомеоморфіз...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49017 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О классах Орлича–Соболева на римановых многообразиях / Е.С. Афанасьева, Р.Р. Салимов // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 7-12. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859828940018810880 |
|---|---|
| author | Афанасьева, Е.С. Салимов, Р.Р. |
| author_facet | Афанасьева, Е.С. Салимов, Р.Р. |
| citation_txt | О классах Орлича–Соболева на римановых многообразиях / Е.С. Афанасьева, Р.Р. Салимов // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 7-12. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Изучено граничное поведение гомеоморфизмов с конечным искажением класса Орлича–Соболева Wloc^1,φ при условии типа Кальдерона для функции φ на гладких римановых многообразиях. Найдены условия непрерывного и гомеоморфного продолжения таких отображений на границы.
Вивчено граничну поведінку гомеоморфізмів зі скінченним спотворенням класу Орліча–Соболєва Wloc^1,φ за умовою типу Кальдерона для функції φ на гладких ріманових многовидах. Знайдено умови неперервного та гомеоморфного продовження таких відображень на межі.
The boundary behavior of homeomophisms with finite distortions of Orlicz–Sobolev classes Wloc^1,φ with Calderon's type condition for the function φ on smooth Riemannian manifolds is studied. Conditions for a continuous and homeomorphic extension of these mappings to the boundaries are found.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:31:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2012
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
© 2012
Е.С. Афанасьева, Р.Р. Салимов
О классах Орлича–Соболева на римановых
многообразиях
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским)
Изучено граничное поведение гомеоморфизмов с конечным искажением класса Орлича–
Соболева W 1,ϕ
loc
при условии типа Кальдерона для функции ϕ на гладких римановых мно-
гообразиях. Найдены условия непрерывного и гомеоморфного продолжения таких ото-
бражений на границы.
В 1854 г. Риман использовал новый способ определения метрики через положительно опре-
деленную квадратичную форму, которая впоследствии получила название римановой мет-
рики. Понятие “многообразие” было впервые четко введено позже Пуанкаре. Систематичес-
кое изучение гладких многообразий началось после 1912 г. Параллельно этой теории дли-
тельное время развивалась и теория отображений в рамках конформных и квазиконформ-
ных отображений. Бельтрами, Каратеодори, Кристоффель, Гаусс, Гильберт, Лиувилль, Пу-
анкаре, Риман, Шварц и другие внесли свой вклад в развитие теории отображений. Отме-
тим, что конформные отображения и их обобщения играют важную роль в развитии теории
потенциала, математической физики, римановых поверхностей и топологии.
В конце 1920-х–в начале 1930-х гг. был введен более общий класс отображений, чем
конформные, которые позже были названы квазиконформными. Вскоре квазиконформные
отображения стали применяться к классическим проблемам покрытия римановых поверх-
ностей (Альфорс), классификации односвязных римановых поверхностей (Волковыский),
описанию модулей римановых поверхностей (Тейхмюллер). Затем произошел переход к ис-
следованию более общих отображений, таких как отображения квазиконформные в сре-
днем, с ограниченным интегралом Дирихле, с конечным искажением и др. В работе [1] для
квазиконформных отображений было получено модульное неравенство, которое впослед-
ствии легло в основу определения так называемых кольцевых Q-гомеоморфизмов. Теория
нижних и кольцевых Q-гомеоморфизмов позволила исследовать граничное поведение на ри-
мановых многообразиях гомеоморфизмов с конечным искажением класса Орлича–Соболева
при условии типа Кальдерона.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 7
1. О римановых многообразиях. Напомним некоторые определения, которые мож-
но найти, например, в [2, 3]. n-мерное топологическое многообразие M
n — это хаусдорфово
топологическое пространство со счетной базой, в котором каждая точка имеет открытую
окрестность, гомеоморфную R
n. Картой на многообразии M
n называется пара (U,ϕ), где
U — открытое подмножество пространства M
n, а ϕ — гомеоморфизм подмножества U на
открытое подмножество координатного пространства R
n: каждой точке p ∈ U ставится
во взаимно однозначное соответствие набор из n чисел, ее локальных координат. Гладкое
многообразие — многообразие с картами (Uα, ϕα), локальные координаты которых связаны
гладким (C∞) образом в областях пересечения. Римановым многообразием (Mn, g) назы-
вается гладкое многообразие вместе с заданным на нем метрическим тензором g или ри-
мановой метрикой. Римановой метрикой на многообразии называется положительно опре-
деленное (невырожденное) симметричное тензорное поле g = gij(x), i, j = 1, . . . , n, которое
определяется только в локальных координатах с правилом перехода:
′gij(x) = gkl(y(x))
∂yk
∂xi
∂yl
∂xj
, (1)
где подразумевается суммирование по тем индексам, которые одновременно встречаются
сверху и снизу. Тензорное метрическое поле gij(x) в дальнейшем — гладкое.
Элемент длины на (Mn, g) задается инвариантной дифференциальной формой ds2 =
= gijdx
idxj , где xi — локальные координаты. В соответствии с этим, если γ : [a, b] → M
n —
кусочно-гладкая кривая и x(t) — ее параметрическое задание в локальных координатах, то
ее длина вычисляется по формуле
sγ =
b
∫
a
√
gij(x(t))
dxi
dt
dxj
dt
dt. (2)
Геодезическое расстояние d(p1, p2) определяется как инфимум длин кусочно-гладких
кривых, соединяющих точки p1 и p2 в (Mn, g) (см. [4, с. 94]).
Напомним также, что элемент объема на (Mn, g) определяется инвариантной формой
dv =
√
|det gij |dx
1 · · · dxn, а элемент площади гладкой поверхности H на (Mn, g) — инва-
риантной формой dA =
√
|det g∗αβ |du1 · · · dun−1, где g∗αβ — риманова метрика на H, порож-
денная исходной римановой метрикой gij по формуле
g∗αβ(u) = gij(x(u))
∂xi
∂uα
∂xj
∂uβ
. (3)
Здесь x(u) — гладкая параметризация поверхности H.
Для нас важны следующие фундаментальные факты (см., например, [4, лемма 5.10
и следствие 6.11; 5, с. 260–261]).
Предложение 1. В каждой точке риманова многообразия существуют ее окрест-
ности и соответствующие локальные координаты в них, в которых геодезическим сфе-
рам с центром в данной точке соответствуют евклидовы сферы с теми же радиусами
и с центром в начале координат, а связкам геодезических, исходящих из данной точки,
соответствуют связки лучей, исходящих из начала координат.
Указанные окрестности и координаты принято называть нормальными.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2
Замечание 1. В частности, в нормальных координатах геодезические сферы имеют есте-
ственную гладкую параметризацию через направляющие косинусы соответствующих лучей,
исходящих из начала координат. Кроме того, метрический тензор в начале этих координат
совпадает с единичной матрицей (см., например, [4, предложение 5.11]).
2. О слабо плоских и сильно достижимых границах. Пусть Γ = {γ} — семейство
кривых на n-мерном римановом многообразии (Mn, g). Измеримая по Борелю неотрица-
тельная функция ρ : Mn → R+, n > 2, называется допустимой для Γ, если условие
∫
γ
ρds > 1 (4)
выполнено для каждой кривой γ ∈ Γ. Здесь длина кривой γ : [a, b] → M
n есть супремум
сумм геодезических расстояний inf
k
∑
i=1
d(γ(ti), γ(ti−1)), который берется по всем разбиениям
a = to 6 t1 6 · · · 6 tk = b интервала [a, b]. Кривая γ называется спрямляемой, если ее
длина конечна.
Конформным модулем семейства кривых Γ называется величина
M(Γ) := inf
ρ∈admΓ
∫
Mn
ρndv, (5)
где нижняя грань берется по всем допустимым для Γ функциям.
Напомним некоторые определения, в соответствии с работой [6], где рассматривались
произвольные метрические пространства с мерами.
Область D на римановом многообразии (Mn, g), n > 2, называется локально связной
в точке x0 ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки x0 найдется другая ее окрестность
V ⊆ U такая, что V
⋂
D связно. Отметим, что любая жорданова область D в R
n, n > 2,
локально связна в любой своей граничной точке (см. [7, c. 66]). Будем также говорить,
что граница ∂D слабо плоская в точке x0 ∈ ∂D, если для любого числа P > 0 и любой
окрестности U точки x0 найдется ее окрестность V ⊂ U такая, что
M(∆(E,F ;D)) > P (6)
для любых континуумов E и F в D, пересекающих ∂U и ∂V . Будем говорить, что граница
области D сильно достижима в точке x0 ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки x0,
найдется компакт E ⊂ D, окрестность V ⊂ U точки x0 и число δ > 0 такие, что
M(∆(E,F ;D)) > δ (7)
для любого континуума F в D, пересекающего ∂U и ∂V . Граница ∂D называется сильно
достижимой и слабо плоской, если соответствующие свойства имеют место в каждой точке
границы. Отметим, что области со слабо плоскими границами являются локально связными
на границе (см., например, [6, лемма 3.1] или [8, леммa 13.1]. Кроме того, они имеют сильно
достижимые границы.
3. О пространствах Орлича–Соболева. Пусть D — область на римановом много-
образии (Mn, g). Следуя Орличу (см. напр., [9]), для заданной выпуклой возрастающей
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 9
функции ϕ : [0,∞) → [0,∞), ϕ(0) = 0, обозначим символом Lϕ пространство всех функций
f : D → R таких, что
∫
D
ϕ
(
|f(x)|
λ
)
dv(x) < ∞ (8)
при некотором λ > 0 (см. [10, 11]), Lϕ называется пространством Орлича. Другими слова-
ми, Lϕ есть конус над классом всех функций g : D → R таких, что
∫
D
ϕ(|g(x)|) dv(x) < ∞, (9)
который также принято называть классом Орлича (см. [12]).
Классом Орлича–Соболева W 1,ϕ
loc (D) называется семейство, состоящее из всех локально
интегрируемых функций f , определенных в области D, обобщенный градиент ∇f которых
принадлежит пространству Орлича Lϕ в локальных координатах. Заметим, что определе-
ние инвариантно относительно замены локальных координат. Кроме того, по определению,
W 1,ϕ
loc ⊂ W 1,1
loc . Как обычно, мы пишем f ∈ W 1,p
loc , если ϕ(t) = tp, p > 1.
Пусть теперь f — отображение области D одного риманова многообразия (Mn, g) в дру-
гое риманово многообразие (Mn
∗ , g
∗). Тогда пишем f ∈ W 1,ϕ
loc , если
∫
D
ϕ(|∇f(x)|) dv(x) < ∞, (10)
где |∇f(x)| =
√
√
√
√
n
∑
i=1
n
∑
j=1
(
∂fi
∂xj
)2
посчитано в некоторых локальных координатах x1, . . . , xn
многообразия (Mn, g) для координатных функций f1, . . . , fn отображения f в (Mn
∗ , g
∗).
В дальнейшем полагаем
J(x, f) = lim
r→0
v(f(B(x, r)))
v(B(x, r))
п. в. и L(x, f) = lim sup
y→x
d∗(f(x), f(y))
d(x, y)
.
Будем говорить, что гомеоморфизм f между областями D и D∗ на (Mn, g) и (Mn
∗
, g∗)
соответственно, n > 3, называется отображением с конечным искажением, если f ∈ W 1,1
loc и
Ln(x, f) 6 K(x) · J(x, f) (11)
для некоторой почти всюду конечной функции K. В дальнейшем Kf (x) обозначает наи-
меньшую функцию K(x) > 1 в (11), т. е. полагаем Kf (x) = Ln(x, f)/ Jf (x) при Jf (x) 6= 0,
Kf (x) = 1 при f ′(x) = 0 и Kf (x) = ∞ в остальных точках.
4. Основные результаты. Далее D и D∗ — области на римановых многообразиях
(Mn, g) и (Mn
∗
, g∗), n > 3. Ранее в работе [13] исследовалось граничное поведение гомеомор-
физмов с конечным искажением класса Орлича–Соболева в R
n. Ниже приведены критерии
о непрерывном и гомеоморфном продолжении на границы отображений между областям
на римановых многообразиях.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2
Теорема 1. Пусть D и D∗ — области на римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn
∗ , g
∗)
соответственно, n > 3, x0 ∈ ∂D и ϕ : [0,∞) → [0,∞) — возрастающая функция такая,
что ϕ(0) = 0, и
∞
∫
1
[
t
ϕ(t)
]1/(n−2)
dt < ∞. (12)
Предположим, что область D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, а область D∗ имеет
сильно достижимую границу и компактное замыкание. Пусть f : D → D∗ — гомеомор-
физм с конечным искажением класса W 1,ϕ
loc . Если выполнено условие
δ(x0)
∫
0
dr
|Kf |n−1(r)
= ∞, (13)
где r = d(x, x0), 0 < δ(x0) < d(x0) := sup
x∈D
d(x, x0), и
|Kf |n−1(r) = |Kf |n−1(x0, r) =
(
∫
D∩S(x0,r)
Kn−1
f (x)dA
)1/(n−1)
, (14)
то отображение f продолжается по непрерывности в точку x0 на (Mn
∗ , g
∗).
Теорема 2. Пусть D и D∗ — области на римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn
∗ , g
∗)
соответственно, n > 3, D локально связна на границе и имеет компактное замыкание,
а граница области D∗ является слабо плоской. Если f : D → D∗ — гомеоморфизм с ко-
нечным искажением класса W 1,ϕ
loc с условием (12), Kf ∈ Ln−1(D), то отображение f−1
имеет непрерывное продолжение на D∗.
Теорема 3. Пусть D и D∗ — области на римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn
∗
, g∗)
соответственно, n > 3, с компактными замыканиями, область D локально связна на
границе, а D∗ имеет слабо плоскую границу. Если f : D → D∗ — гомеоморфизм с конечным
искажением класса W 1,ϕ
loc , Kf ∈ Ln−1(D) с условиями (12) и (13) для всех x0 ∈ ∂D, то f
допускает гомеоморфное продолжение f : D → D∗.
Замечание 2. В частности, все эти теоремы имеют место для отображений класса Собо-
лева W 1,p
loc при p > n−1. Условие (13) выполняется, например, если Kf (x) = O
(
log
1
d(x, x0)
)
при x → x0.
1. Bishop C. J., Gutlyanskii V.Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math.
and Math. Sci. – 2003. – No 22. – P. 1397–1420.
2. Choquet-Bruhat Y., DeWitt-Morette C., Dillard-Bleick M. Analysis, manifolds and physics. – Amsterdam:
Elsevier Science B. V., 1977. – 649 p.
3. Позняк Э.Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия. – Москва: Изд-во Моск. ун-та, 1990. –
384 с.
4. Lee J.M. Riemannian manifolds: an introduction to curvature. – New York: Springer, 1997. – 224 p.
5. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. – Москва: Изд-во Моск. ун-та, 1960. – 307 с.
6. Ryazanov V., Salimov R. Weakly flat spaces and boundaries in the mapping theory // Ukr. Math. Bull. –
2007. – 4, No 2. – P. 199–234.
7. Wilder R. L. Topology of manifolds. – New York: AMS, 1949. – 404 p.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 11
8. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer,
2009. – 367 p.
9. Orlicz W. Über eine gewisse Klasse von Räumen vom Typus B // Bull. Intern. Acad. Pol. Ser. A, Cracovie. –
1932. – P. 207–220.
10. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. – Москва: Физ-
матгиз, 1958. – 270 p.
11. Zaanen A.C. Linear analysis. – Noordhoff, 1953. – 600 p.
12. Birnbaum Z., Orlicz W. Über die Verallgemeinerungen des Begriffes der zueinauder konjugierten Poten-
zen // Stud. Math. – 1931. – 3. – P. 1–67.
13. Kovtonyuk D., Ryazanov V., Salimov R., Sevost’yanov E. On mappings in the Orlicz–Sobolev classes. –
arXiv:1012.5010v4[math.CV]. – 69 p.
Поступило в редакцию 04.05.2011Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
О.С. Афанасьєва, Р. Р. Салiмов
Про класи Орлiча–Соболєва на рiманових многовидах
Вивчено граничну поведiнку гомеоморфiзмiв зi скiнченним спотворенням класу Орлiча–Со-
болєва W 1,ϕ
loc
за умовою типу Кальдерона для функцiї ϕ на гладких рiманових многовидах.
Знайдено умови неперервного та гомеоморфного продовження таких вiдображень на межi.
O. S. Afanas’eva, R.R. Salimov
About Orlicz–Sobolev classes on Riemannian manifolds
The boundary behavior of homeomophisms with finite distortions of Orlicz–Sobolev classes W 1,ϕ
loc
with Calderon’s type condition for the function ϕ on smooth Riemannian manifolds is studied.
Conditions for a continuous and homeomorphic extension of these mappings to the boundaries are
found.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49017 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:31:00Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Афанасьева, Е.С. Салимов, Р.Р. 2013-09-09T18:33:35Z 2013-09-09T18:33:35Z 2012 О классах Орлича–Соболева на римановых многообразиях / Е.С. Афанасьева, Р.Р. Салимов // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 7-12. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49017 517.5 Изучено граничное поведение гомеоморфизмов с конечным искажением класса Орлича–Соболева Wloc^1,φ при условии типа Кальдерона для функции φ на гладких римановых многообразиях. Найдены условия непрерывного и гомеоморфного продолжения таких отображений на границы. Вивчено граничну поведінку гомеоморфізмів зі скінченним спотворенням класу Орліча–Соболєва Wloc^1,φ за умовою типу Кальдерона для функції φ на гладких ріманових многовидах. Знайдено умови неперервного та гомеоморфного продовження таких відображень на межі. The boundary behavior of homeomophisms with finite distortions of Orlicz–Sobolev classes Wloc^1,φ with Calderon's type condition for the function φ on smooth Riemannian manifolds is studied. Conditions for a continuous and homeomorphic extension of these mappings to the boundaries are found. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика О классах Орлича–Соболева на римановых многообразиях Про класи Орліча–Соболєва на ріманових многовидах About Orlicz–Sobolev classes on Riemannian manifolds Article published earlier |
| spellingShingle | О классах Орлича–Соболева на римановых многообразиях Афанасьева, Е.С. Салимов, Р.Р. Математика |
| title | О классах Орлича–Соболева на римановых многообразиях |
| title_alt | Про класи Орліча–Соболєва на ріманових многовидах About Orlicz–Sobolev classes on Riemannian manifolds |
| title_full | О классах Орлича–Соболева на римановых многообразиях |
| title_fullStr | О классах Орлича–Соболева на римановых многообразиях |
| title_full_unstemmed | О классах Орлича–Соболева на римановых многообразиях |
| title_short | О классах Орлича–Соболева на римановых многообразиях |
| title_sort | о классах орлича–соболева на римановых многообразиях |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49017 |
| work_keys_str_mv | AT afanasʹevaes oklassahorličasobolevanarimanovyhmnogoobraziâh AT salimovrr oklassahorličasobolevanarimanovyhmnogoobraziâh AT afanasʹevaes proklasiorlíčasobolêvanarímanovihmnogovidah AT salimovrr proklasiorlíčasobolêvanarímanovihmnogovidah AT afanasʹevaes aboutorliczsobolevclassesonriemannianmanifolds AT salimovrr aboutorliczsobolevclassesonriemannianmanifolds |