Дослідження впливу зміцнення матеріалу на напружений стан пружно-пластичної оболонки з наскрізними тріщинами
Задача про пружно-пластичну оболонку з двома колінеарними тріщинами за допомогою аналога δc-моделі, узагальненого на матеріали зі зміцненням, була зведена до задачі про пружну оболонку з однією тріщиною невідомої довжини. Отриману систему сингулярних інтегральних рівнянь чисельно розв'язано мет...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49033 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Дослідження впливу зміцнення матеріалу на напружений стан пружно-пластичної оболонки з наскрізними тріщинами / К.М. Довбня, I.В. Гур’єва // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 83-87. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859603942845972480 |
|---|---|
| author | Довбня, К.М. Гур'єва, І.В. |
| author_facet | Довбня, К.М. Гур'єва, І.В. |
| citation_txt | Дослідження впливу зміцнення матеріалу на напружений стан пружно-пластичної оболонки з наскрізними тріщинами / К.М. Довбня, I.В. Гур’єва // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 83-87. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Задача про пружно-пластичну оболонку з двома колінеарними тріщинами за допомогою аналога δc-моделі, узагальненого на матеріали зі зміцненням, була зведена до задачі про пружну оболонку з однією тріщиною невідомої довжини. Отриману систему сингулярних інтегральних рівнянь чисельно розв'язано методом механічних квадратур. Досліджено вплив зміцнення матеріалу на довжину пластичної зони та розкриття тріщини.
Задача об упруго-пластической оболочке с двумя коллинеарными трещинами при помощи аналога δc-модели, обобщенного на материалы с упрочнением, сведена к задаче об упругой оболочке с одной трещиной неизвестной длины. Полученная система сингулярных интегральных уравнений численно решена методом механических квадратур. Исследовано влияние упрочнения материала на длину пластической зоны и раскрытия трещины.
The problem of an elastic-plastic shell with two collinear cracks is reduced to the problem of an elastic shell with one crack with unknown length by using an analog of the δc-model generalized for materials with hardening. The system of singular integral equations is solved numerically by the mechanical quadratures method. The influence of the material hardening on the opening displacement of cracks and the length of the plastic zone is studied.
|
| first_indexed | 2025-11-28T01:48:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2012
К.М. Довбня, I. В. Гур’єва
Дослiдження впливу змiцнення матерiалу
на напружений стан пружно-пластичної оболонки
з наскрiзними трiщинами
(Представлено академiком НАН України В. П. Шевченком)
Задача про пружно-пластичну оболонку з двома колiнеарними трiщинами за допомо-
гою аналога δc-моделi, узагальненого на матерiали зi змiцненням, була зведена до за-
дачi про пружну оболонку з однiєю трiщиною невiдомої довжини. Отриману систему
сингулярних iнтегральних рiвнянь чисельно розв’язано методом механiчних квадратур.
Дослiджено вплив змiцнення матерiалу на довжину пластичної зони та розкриття
трiщини.
Найпоширенiшою моделлю дослiдження трiщин з розвиненими в околi їх вершин пластич-
ними деформацiями є модель Леонова–Панасюка–Дагдейла (δc-модель) [1, 2]. Аналог цiєї
моделi застосовувався при розв’язаннi iдеально пружно-пластичних оболонок з наскрiзними
та ненаскрiзними трiщинами [3–6]. Для врахування випадкiв, в яких матерiал в пластичнiй
областi може деформуватися за межу пластичностi [7], було запропоновано узагальнення
аналогу δc-моделi на матерiали зi змiцненням [8, 9] для оболонок з однiєю трiщиною. Нижче
ця модель застосувується для випадку двох трiщин.
Постановка задачi. Розглядається пружно-пластична полога iзотропна оболонка, ви-
готовлена з матерiалу зi змiцненням, яка послаблена двома колiнеарними наскрiзними трi-
щинами вiдриву, кожна довжиною 2l0 (рис. 1). Пiд дiєю симетричного розтягуючого наван-
таження на подовженнi лiнiй трiщин виникають зони пластичних деформацiй, якi поши-
рюються вузькими смугами по всiй товщинi оболонки.
Будемо розглядати випадок, коли перетинка мiж трiщинами повнiстю знаходиться
в пластичнiй течiї, тобто розмiр внутрiшньої зони пластичностi lin дорiвнює половинi дов-
жини перетинки. Береги трiщин у процесi деформацiї не контактують мiж собою.
Для розв’язання задачi застосовується аналог δc-моделi, узагальнений на матерiали зi
змiцненням, вiдповiдно до якого зони пластичних деформацiй моделюються поверхнями
розриву перемiщень й кутiв повороту, а реакцiю матерiалу внутрiшньої та зовнiшньої плас-
тичних зон на невiдомi нормальне зусилля та згинальний момент вважаємо розподiленою
лiнiйно:
T (x) = Pb(x), M(x) = Hb(x), b(x) = (1−m∗)(|x| − s1)/(s2 − s1) +m∗,
Рис. 1
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 83
де m∗ = σB/στ , σB — межа мiцностi матерiалу; στ — межа текучостi; x — координата,
вздовж якої розташована трiщина. Для зовнiшньої зони пластичностi s1 = d−l0, s2 = 0; для
внутрiшньої — s1 = d+ l0, s2 = l, де d = l0 + lin; P та H — невiдомi сталi, якi вiдповiдають
умовi пластичностi Треска:
P
hστ
+
6|H|
h2στ
= 1.
Отже, замiсть двох трiщин вiдомої довжини вводимо фiктивну трiщину невiдомої довжи-
ни 2l, l = d + l0 + lout (lout — довжина зовнiшньої зони пластичностi), на берегах якої
виконуються умови:
Fi(x) =
F ibout(x)− F ∗
i , d+ l0 6 |x| 6 l,
−F ∗
i , d− l0 6 |x| 6 d+ l0,
F ibin(x)− F ∗
i , |x| 6 d− l0,
i = 1, 3, (1)
де F1(x) = T (x), F3(x) =M(x), F 1 = H, F 3 = P , а F ∗
1 = T ∗
2 , F ∗
3 =M∗
2 — зусилля та момент
у суцiльнiй оболонцi на лiнiї трiщини,
bout(x) = (1−m∗)
(|x| − τout)
(1− τout)
+m∗, bin(x) =
m∗ − 1
τin
|x|+ 1,
τout =
d+ l0
l
, τin =
γ − 1
γ + 1
τout, γ =
d
l0
.
Розв’язання системи сингулярних iнтегральних рiвнянь (СIР). Використання
δc-моделi дозволяє звести задачу про пружно-пластичну оболонку з двома колiнеарними
трiщинами до задачi про пружну оболонку з однiєю трiщиною невiдомої довжини, тобто до
розв’язання такої системи СIР типу Кошi [5] з граничними умовами (1):
∑
j=1,3
1
∫
−1
Kij(x− s)ψj (s)ds = −πΦi(x), i = 1, 3, (2)
де Φ1(x) = T (x), Φ3(x) = c2R2M(x). Ядра системи такi:
K11(y) =
1
y
− 2β2y
∞
∑
n=1
a(1)n (β|y|), K13(y) =
K31(y)
(1− ν)(3 + ν)
,
K31(y) = 2β2y
∞
∑
n=1
a(2)n (β|y|), K33(y) =
1
y
+
2β2y
(1− ν)(3 + ν)
∞
∑
n=1
a(3)n (β|y|),
a(1)n (s) =
2
π
π/2
∫
0
|d2| cos3 θ cos(2n − 1)θ ImGn,n−1
(
s|d|
√
i
)
dθ,
a(2)n (s) =
2
π
π/2
∫
0
d2 cos θ(sin2 θ + ν cos2 θ) cos(2n − 1)θReGn,n−1
(
s|d|
√
i
)
dθ,
84 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2
a(3)n (s) =
2
π
π/2
∫
0
|d2|(sin2 θ + ν cos2 θ)
cos(2n− 1)θ
cos θ
ImGn,n−1
(
s|d|
√
i
)
dθ,
d2 = cos2 θ + λ sin2 θ, β = cl, c2 =
√
12(1 − ν2)
R2h
, λ =
R2
R1
.
Невiдомi функцiї мають вигляд:
ψ1(s) =
Eh
4l
d[υ]
ds
, ψ3(s) =
D(1− ν)(3 + ν)
4l
R2c
2 d[θ2]
ds
.
Щоб зробити можливим чисельний розв’язок поставленої задачi, позбудемося розриву у пра-
вих частинах системи (2), подаючи невiдомi функцiї у виглядi:
ψj(s) = gj(s) + fjh(s), j = 1, 3, (3)
де f1 = t = P/T ∗
2 , f3 = m = c2R2H/T
∗
2 ; функцiя h(s) — це аналiтичний розв’язок рiвняння:
1
∫
−1
h(s) ds
s− x
= πf(x), f(x) =
bout(x)− a, τout < |x| < 1,
−a, τin < |x| < τout,
bin(x)− a, |x| < τin.
(4)
Цей розв’язок iснує, якщо виконується додаткова умова
1
∫
−1
f(x)√
1− x2
dx = 0 [10], з якої ви-
значається константа a:
a =
2
π
[
1−m∗
1− τout
(
√
1− τ2
out
− arccos(τout)
)
+ arccos(τout) +
1−m∗
τin
(
√
1− τ2
in
− 1
)
+
+ arcsin(τin)
]
.
Формула для a є трансцендентним рiвнянням вiдносно τout, яке можна розв’язати при кон-
кретних значеннях iнших параметрiв для iзотропної пластини з системою трiщин.
Отже, розв’язок рiвняння (4) має вигляд h(s) = hs(s) + shn(s), де
hs(s) =
1
π
ln
∣
∣
∣
∣
τin + s
τin − s
1− sτin +
√
(1− s2)(1− τ2
in
)
1 + sτin +
√
(1− s2)(1− τ2
in
)
∣
∣
∣
∣
−
− m∗ − τout
π(1− τout)
ln
∣
∣
∣
∣
τout + s
τout − s
1− sτout +
√
(1− s2)(1 − τ2
out
)
1 + sτout +
√
(1− s2)(1 − τ2
out
)
∣
∣
∣
∣
,
hn(s) =
m∗ − 1
πτin
(
ln
∣
∣
∣
∣
1− (sτin +
√
(1− s2)(1− τ2
in
))2
(τin − s)(τin + s)
∣
∣
∣
∣
− 2 ln
∣
∣
∣
∣
1 +
√
1− s2
s
∣
∣
∣
∣
)
+
+
m∗ − 1
π(1− τout)
ln
∣
∣
∣
∣
1− (sτout +
√
(1− s2)(1 − τ2
out
))2
(τout − s)(τout + s)
∣
∣
∣
∣
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 85
Пiдставивши (3) у систему (2) та врахувавши (1), пiсля деяких перетворень маємо систему
з неперервними правими частинами вiдносно невiдомих t, m, g1(s), g3(s). Далi цю систему
методом механiчних квадратур для функцiй, обмежених на кiнцях промiжку iнтегрування,
зводимо до сумiсної та невиродженої системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь, яку розв’язує-
мо методом Гаусса. Точнiсть розв’язку регулюємо за допомогою умови пластичностi
1
n+ 1
∑
j=1,3
n
∑
k=1
K1j(xm − yk)(1− y2k)ϕj(yk) +
m
n+ 1
n
∑
k=1
K13(xm − yk)h(yk)
√
1− y2k +
+ t
[
1
n+ 1
n
∑
k=1
Kr
11(xm − yk)h(yk)
√
1− y2k + a
]
= 1,
1
n+ 1
∑
j=1,3
n
∑
k=1
K3j(xm − yk)(1− y2k)ϕj(yk) +
t
n+ 1
n
∑
k=1
K31(xm − yk)h(yk)
√
1− y2k +
+m
[
1
n+ 1
n
∑
k=1
Kr
33(xm − yk)h(yk)
√
1− y2k + a
]
= 0,
де m = 1, n + 1, k = 1, n. Величину вiдносного розкриття трiщини знаходимо за формулою
δ(x,
⌢
γ ) =
4n0
τout
n
∑
k=1
(
2
n+ 1
(
ϕ1(yk)
√
1− y2k + th(yk)±
⌢
γ
√
12(1 − ν2)
(1− ν)(3 + ν)
×
×(ϕ3(yk)
√
1− y2k +mh(yk))
) n
∑
m=1
sin(m arccos yk)
x
∫
−1
sin(m arccos s) ds
)
.
Результати чисельного дослiдження. Чисельний аналiз проведено для псевдосфе-
ричної оболонки при таких значеннях параметрiв: v = 0,3, R2/h = 50, l0/R2 = 0,2, n0 =
= σ0/στ = 0,4. На рис. 2, 3 зображено залежнiсть розмiру зовнiшньої пластичної зони τout
та розкриття трiщини δ вiд вiдстанi мiж центрами трiщин γ у псевдосферичнiй оболонцi.
Вiдносне розкриття δ розраховувалося на серединнiй поверхнi оболонки в τout.
Рис. 2 Рис. 3
86 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2
Кривi 1–3 вiдповiдають значенням параметра змiцнення m∗ = 1; 1,5; 2. Данi, отриманi
приm∗ = 1 (iдеальний пружно-пластичний матерiал) та при γ = 1 (випадок однiєї трiщини),
збiгаються з одержаними в [6].
Виходячи з рисункiв, можна зробити висновок, що як i у випадку однiєї трiщини (γ = 1),
так i при збiльшеннi вiдстанi мiж трiщинами (γ = 1,1–1,4), змiцнення матерiалу зменшує
розмiр пластичної зони (1 − τout) та вiдносне розкриття трiщини δ.
1. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. – Киев: Наук. думка, 1968. – 246 с.
2. Dugdale D. S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. and Phys. Solids. – 1960. – 8, No 2. –
P. 100–104.
3. Кушнiр Р.М., Николишин М.М., Осадчук В.А. Пружний та пружно-пластичний граничний стан
оболонок з дефектами. – Львiв: Сполом, 2003. – 320 с.
4. Довбня Е.Н. Корохина О.А. Методика расчета напряженного состояния упруго-пластической обо-
лочки произвольной кривизны в рамках δc-модели // Мат. моделирование в образовании, науке и
промышленности: Сб. науч. тр. – Ст-Петербург: МАН ВШ, 2005. – С. 28–32.
5. Шевченко В.П., Довбня Е.Н., Цванг В.А. Ортотропные оболочки с трещинами (разрезами) // Ме-
ханика композитов. В 12 т. – Т. 7 / Под ред. А.Н. Гузя, А.С. Космодамианского, В.П. Шевченко. –
Киев: А.С. К., 1998. – С. 212–249.
6. Гордiєнко, М.М., Довбня К.М. Напружено-деформований стан пружно-пластичної ортотропної обо-
лонки довiльної кривини з трiщинами: Дис. . . . канд. фiз.-мат. наук. – Донецьк, 2009. – 149 с.
7. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Укр. мат. журн. – 1954. –
6, № 3. – С. 314–317.
8. Каминский А.А., Галатенко Г. В. Исследование роста усталостных трещин в материалах с упрочне-
нием // Прикл. механика. – 1984. – 20, № 4. – С. 54–60.
9. Осадчук В.А. Николишин М.М., Шабо А. Г., Маселко Т.Е. Предельное равновесие ослабленных тре-
щинами оболочек из упрочняющегося материала // Там же. – 1991. – No 2. – С. 67–72.
10. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. – Москва: Наука, 1977. – 640 с.
Надiйшло до редакцiї 21.04.2011Донецький нацiональний унiверситет
К.Н. Довбня, И. В. Гурьева
Исследование влияния упрочнения материала на напряженное
состояние упруго-пластической оболочки со сквозными трещинами
Задача об упруго-пластической оболочке с двумя коллинеарными трещинами при помощи
аналога δc-модели, обобщенного на материалы с упрочнением, сведена к задаче об упругой
оболочке с одной трещиной неизвестной длины. Полученная система сингулярных интег-
ральных уравнений численно решена методом механических квадратур. Исследовано влияние
упрочнения материала на длину пластической зоны и раскрытия трещины.
K.M. Dovbnya, I. V. Gurieva
Investigation of the influence of the material hardening on the stressed
state of an elastic-plastic shell with through cracks
The problem of an elastic-plastic shell with two collinear cracks is reduced to the problem of an
elastic shell with one crack with unknown length by using an analog of the δc-model generalized
for materials with hardening. The system of singular integral equations is solved numerically by
the mechanical quadratures method. The influence of the material hardening on the opening di-
splacement of cracks and the length of the plastic zone is studied.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 87
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49033 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-28T01:48:20Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Довбня, К.М. Гур'єва, І.В. 2013-09-09T19:01:12Z 2013-09-09T19:01:12Z 2012 Дослідження впливу зміцнення матеріалу на напружений стан пружно-пластичної оболонки з наскрізними тріщинами / К.М. Довбня, I.В. Гур’єва // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 83-87. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49033 539.3 Задача про пружно-пластичну оболонку з двома колінеарними тріщинами за допомогою аналога δc-моделі, узагальненого на матеріали зі зміцненням, була зведена до задачі про пружну оболонку з однією тріщиною невідомої довжини. Отриману систему сингулярних інтегральних рівнянь чисельно розв'язано методом механічних квадратур. Досліджено вплив зміцнення матеріалу на довжину пластичної зони та розкриття тріщини. Задача об упруго-пластической оболочке с двумя коллинеарными трещинами при помощи аналога δc-модели, обобщенного на материалы с упрочнением, сведена к задаче об упругой оболочке с одной трещиной неизвестной длины. Полученная система сингулярных интегральных уравнений численно решена методом механических квадратур. Исследовано влияние упрочнения материала на длину пластической зоны и раскрытия трещины. The problem of an elastic-plastic shell with two collinear cracks is reduced to the problem of an elastic shell with one crack with unknown length by using an analog of the δc-model generalized for materials with hardening. The system of singular integral equations is solved numerically by the mechanical quadratures method. The influence of the material hardening on the opening displacement of cracks and the length of the plastic zone is studied. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Дослідження впливу зміцнення матеріалу на напружений стан пружно-пластичної оболонки з наскрізними тріщинами Исследование влияния упрочнения материала на напряженное состояние упруго-пластической оболочки со сквозными трещинами Investigation of the influence of the material hardening on the stressed state of an elastic-plastic shell with through cracks Article published earlier |
| spellingShingle | Дослідження впливу зміцнення матеріалу на напружений стан пружно-пластичної оболонки з наскрізними тріщинами Довбня, К.М. Гур'єва, І.В. Механіка |
| title | Дослідження впливу зміцнення матеріалу на напружений стан пружно-пластичної оболонки з наскрізними тріщинами |
| title_alt | Исследование влияния упрочнения материала на напряженное состояние упруго-пластической оболочки со сквозными трещинами Investigation of the influence of the material hardening on the stressed state of an elastic-plastic shell with through cracks |
| title_full | Дослідження впливу зміцнення матеріалу на напружений стан пружно-пластичної оболонки з наскрізними тріщинами |
| title_fullStr | Дослідження впливу зміцнення матеріалу на напружений стан пружно-пластичної оболонки з наскрізними тріщинами |
| title_full_unstemmed | Дослідження впливу зміцнення матеріалу на напружений стан пружно-пластичної оболонки з наскрізними тріщинами |
| title_short | Дослідження впливу зміцнення матеріалу на напружений стан пружно-пластичної оболонки з наскрізними тріщинами |
| title_sort | дослідження впливу зміцнення матеріалу на напружений стан пружно-пластичної оболонки з наскрізними тріщинами |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49033 |
| work_keys_str_mv | AT dovbnâkm doslídžennâvplivuzmícnennâmateríalunanapruženiistanpružnoplastičnoíobolonkiznaskríznimitríŝinami AT gurêvaív doslídžennâvplivuzmícnennâmateríalunanapruženiistanpružnoplastičnoíobolonkiznaskríznimitríŝinami AT dovbnâkm issledovanievliâniâupročneniâmaterialananaprâžennoesostoânieuprugoplastičeskoioboločkisoskvoznymitreŝinami AT gurêvaív issledovanievliâniâupročneniâmaterialananaprâžennoesostoânieuprugoplastičeskoioboločkisoskvoznymitreŝinami AT dovbnâkm investigationoftheinfluenceofthematerialhardeningonthestressedstateofanelasticplasticshellwiththroughcracks AT gurêvaív investigationoftheinfluenceofthematerialhardeningonthestressedstateofanelasticplasticshellwiththroughcracks |