Альтернуючий проксимальний алгоритм для задачі дворівневої опуклої мінімізації
Розглянуто питання розв'язання дворівневої опуклої задачі мінімізації за допомогою альтернуючого проксимального алгоритму. При деяких метричних умовах на функціонал задачі першого рівня доведено теореми про сильну та слабку збіжність. Рассмотрен вопрос решения двухуровневой выпуклой задачи мини...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49037 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Альтернуючий проксимальний алгоритм для задачі дворівневої опуклої мінімізації / Т.А. Войтова, С.В. Денисов, В.В. Семенов // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 56-62. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860076480446332928 |
|---|---|
| author | Войтова, Т.А. Денисов, С.В. Семенов, В.В. |
| author_facet | Войтова, Т.А. Денисов, С.В. Семенов, В.В. |
| citation_txt | Альтернуючий проксимальний алгоритм для задачі дворівневої опуклої мінімізації / Т.А. Войтова, С.В. Денисов, В.В. Семенов // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 56-62. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто питання розв'язання дворівневої опуклої задачі мінімізації за допомогою альтернуючого проксимального алгоритму. При деяких метричних умовах на функціонал задачі першого рівня доведено теореми про сильну та слабку збіжність.
Рассмотрен вопрос решения двухуровневой выпуклой задачи минимизации при помощи альтернирующего проксимального алгоритма. При некоторых метрических условиях на функционал задачи первого уровня доказаны теоремы сильной и слабой сходимости.
We consider a solution of the bilevel convex minimization problem by the alternating proximal algorithm. Under certain metric conditions for the functional of the first-level problem, the strong and weak convergence theorems are proved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:13:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
© 2012
Т.А. Войтова, C. В. Денисов, В. В. Семенов
Альтернуючий проксимальний алгоритм для задачi
дворiвневої опуклої мiнiмiзацiї
(Представлено членом-кореспондентом НАН України С. I. Ляшком)
Розглянуто питання розв’язання дворiвневої опуклої задачi мiнiмiзацiї за допомогою
альтернуючого проксимального алгоритму. При деяких метричних умовах на функцiо-
нал задачi першого рiвня доведено теореми про сильну та слабку збiжнiсть.
В оптимiзацiї та теорiї некоректних задач популярним є такий пiдхiд до розв’язання за-
дач з неєдиним розв’язком [1]: задачi ставлять у вiдповiднiсть до родини збурених задач,
однозначно та коректно розв’язних. Частинний розв’язок початкової задачi одержують як
границю розв’язкiв збурених задач при зменшеннi збурень. Знайденi так частиннi розв’яз-
ки задовольняють певнi додатковi умови, наприклад, мiнiмальнiсть норми нормального
розв’язку оптимiзацiйної задачi, отриманого методом тiхоновської регуляризацiї.
Iншим джерелом задач вигляду
f2(x) → min, x ∈ argmin f1
є метод штрафiв та задачi оптимiзацiї за послiдовно заданими критерiями (лексикографiч-
на, послiдовна або багаторiвнева оптимiзацiя) [2, 3]. Також задачу оптимального керуван-
ня [4]
F (y, u) → min, Ly = Bu
можна переформулювати у виглядi
F (y, u) → min, (y, u) ∈ argmin
(ξ,η)
‖Lξ −Bη‖2.
У даному повiдомленнi розглядається дворiвнева задача опуклої мiнiмiзацiї в гiльбер-
товому просторi. Метою є дослiдження збiжностi схем вигляду
yn = argmin
y∈H
{
λnf2(y) +
1
2
‖y − xn‖
2
}
,
xn+1 = argmin
y∈H
{
λnαnf1(y) +
1
2
‖y − yn‖
2
}
.
При αn = 1 маємо альтернуючий метод проксимальної декомпозицiї для задачi f1 + f2 →
→ min [5–7].
Основний результат такий: для опуклих напiвнеперервних знизу функцiоналiв f2 та
опуклих напiвнеперервних знизу функцiоналiв f1, що задовольняють деяку метричну умо-
ву, доведено теореми збiжностi (сильної та слабкої) наведеної схеми. У роботi використана
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2
технiка, розвинута в [5–9]. Усi необхiднi вiдомостi з нелiнiйного та опуклого аналiзу є в ро-
ботах [10–12].
Постановка задачi. Нехай H — дiйсний простiр Гiльберта з скалярним добутком (·, ·)
та нормою ‖ · ‖. Нехай f1, f2 : H → R
⋃
{+∞} — власнi опуклi напiвнеперервнi знизу функ-
цiонали. Будемо вважати, що
argmin f1 6= ∅ та min f1 = 0.
Розглянемо задачу
f2(x) → min, x ∈ argmin f1. (1)
Припустимо, що
0 ∈ int(domf2 − argmin f1).
Тодi задача (1) еквiвалентна включенню
знайти x ∈ H : 0 ∈ ∂f2(x) +Nargmin f1x,
де NMx — нормальный конус замкненої опуклої множини M ⊆ H в точцi x ∈ H, тобто
NMx =
{
{z ∈ H : (z, y − x) 6 0 ∀ y ∈ M}, якщо x ∈ M,
∅, iнакше.
Позначимо через C множину argmin f1, а через S — множину розв’язкiв задачi (1).
Будемо розглядати функцiонали f1, що задовольняють умову
(A1) ∃ k > 0 : f1(x) > k · d2C(x) = k · min
y∈C
‖x − y‖2 ∀x ∈ H.
Має мiсце
Лема 1. Нехай для f1 виконується (A1). Тодi для z ∈ C i w ∈ NCz має мiсце нерiвнiсть
(w, x) − f1(x)− (w, z) 6
1
4k
‖w‖2 ∀x ∈ H.
Доведення. Оскiльки (w, x)−f1(x)−(w, z) 6 f∗
1 (w)−σC(w), то достатньо довести оцiнку
f∗
1 (·) − σC(·) 6
1
4k
‖ · ‖2. Ця оцiнка випливає з однорiдностi опорної функцiї σC , нерiвностi
f∗
1 (·) 6 (k · d2C)
∗(·) = 2k
(
d2C
2
)
∗
(
·
2k
)
та рiвностi
(
d2C
2
)
∗
=
(
‖ · ‖2
2
⊕ χC
)
∗
=
‖ · ‖2
2
+ σC ,
де χC — iндикаторна функцiя множини C; ⊕ — iнфiмальна конволюцiя.
Зауваження 1. Якщо припустити iснування k > 0, p > 1, таких, що
f1(x) > kdpC(x) = kmin
y∈C
‖x− y‖p ∀x ∈ H,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 57
то для z ∈ C i w ∈ NCz можна довести оцiнку
(w, x) − f1(x)− (w, z) 6
1
q(pk)q−1
‖w‖q ∀x ∈ H,
дe q > 1 та 1/q + 1/p = 1.
Допомiжнi факти. Нехай g : H → R ∪ {+∞} — власний опуклий напiвнеперервний
знизу функцiонал. Проксимальним оператором, асоцiйованим з g, називають оператор H ∋
∋ x 7→ proxgx = argmin
y∈H
{
g(y) +
1
2
‖y − x‖2
}
.
Для доведення збiжностi алгоритму будемо використовувати такi факти.
Лема 2. Нехай обмежена знизу послiдовнiсть (an) та послiдовностi невiд’ємних чисел
(bn) i (cn) такi, що an+1 − an + bn 6 cn (n ∈ N),
∞
∑
n=1
cn < +∞. Тодi iснує lim
n→∞
an ∈ R
i
∞
∑
n=1
bn < +∞.
Лема 3 (Z. Opial, [13]). Нехай H — гiльбертiв простiр; F ⊆ H — непорожня множина;
(xn) — послiдовнiсть точок H. Припустимо, що:
1) усi слабкi частковi границi послiдовностi (xn) належать F ;
2) для всiх y ∈ F iснує lim
n→∞
‖xn − y‖ ∈ R.
Тодi (xn) слабко збiгається до деякої точки x ∈ F .
Лема 4 (G.B. Passty, [5]). Нехай H — гiльбертiв простiр; F ⊆ H — непорожня множи-
на; (xn) — послiдовнiсть точок H i xn =
n
∑
k=1
λkxk
/
n
∑
k=1
λk, де (λn) — послiдовнiсть додатних
чисел, така, що
∞
∑
n=1
λn = +∞. Припустимо, що:
1) усi слабкi частковi границi послiдовностi (xn) належать F ;
2) для всiх y ∈ F iснує lim
n→∞
‖xn − y‖ ∈ R.
Тодi (xn) слабко збiгається до деякої точки x ∈ F .
Зауваження 2. Леми 3 та 4 дозволяють доводити слабку збiжнiсть послiдовностей без
апрiорного знання границi.
Альтернуючий проксимальний алгоритм. Нехай (λn), (αn) — послiдовностi додат-
них чисел.
Алгоритм 1. Обираємо x1 ∈ H та генеруємо послiдовнiсть елементiв (xn) за допомогою
iтерацiйної схеми
{
yn = proxλnf2
xn,
xn+1 = proxλnαnf1
yn.
Для породжених алгоритмом 1 послiдовностей (xn) та (yn) мають мiсце такi твердження.
Лема 5. Нехай z ∈ C, v ∈ ∂f2(z) + NCz, а точки w∗ ∈ ∂f2(z), w∗∗ ∈ NCz, такi, що
v = w∗ + w∗∗. Тодi виконується нерiвнiсть
‖xn+1 − z‖2 − ‖xn − z‖2 + ‖xn − yn‖
2 +
1
2
‖xn+1 − yn‖
2 + λnαnf1(xn+1) 6
6 2λn(v, z − xn+1) +
λn
αn
1
k
‖w∗∗‖2 + 2λ2
n‖w
∗‖2. (2)
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2
Доведення. Оскiльки
yn = argmin
y∈H
{
λnf2(y) +
1
2
‖y − xn‖
2
}
,
xn+1 = argmin
y∈H
{
λnαnf1(y) +
1
2
‖y − yn‖
2
}
,
то xn − yn ∈ λn∂f2(yn), yn − xn+1 ∈ λnαn∂f1(xn+1). З монотонностi оператора ∂f2 випливає
оцiнка
‖xn − z‖2 − ‖yn − z‖2 − ‖xn − yn‖
2 = 2(xn − yn, yn − z) > 2λn(w
∗, yn − z). (3)
З нерiвностi
−f1(xn+1) = f1(z) − f1(xn+1) >
1
λnαn
(yn − xn+1, z − xn+1)
випливає оцiнка
‖yn − z‖2 − ‖xn+1 − z‖2 − ‖xn+1 − yn‖
2 = 2(yn − xn+1, xn+1 − z) > 2λnαnf1(xn+1). (4)
Додавши (3) до (4), одержимо
‖xn − z‖2 − ‖xn+1 − z‖2 − ‖xn − yn‖
2 − ‖xn+1 − yn‖
2
>
> 2λnαnf1(xn+1) + 2λn(w
∗, yn − z).
Маємо
2λn(w
∗, yn − z) = 2λn(w
∗, xn+1 − z) + 2λn(w
∗, yn − xn+1).
Оскiльки
2λn(w
∗, yn − xn+1) = (2λnw
∗, yn − xn+1) > −2λ2
n‖w
∗‖2 −
1
2
‖yn − xn+1‖
2,
то
‖xn − z‖2 − ‖xn+1 − z‖2 − ‖xn − yn‖
2 −
1
2
‖xn+1 − yn‖
2
>
> 2λnαnf1(xn+1) + 2λn(w
∗, xn+1 − z)− 2λ2
n‖w
∗‖2. (5)
Нерiвнiсть (5) перепишимо у виглядi (використали рiвнiсть v = w∗ + w∗∗)
‖xn+1 − z‖2 − ‖xn − z‖2 + ‖xn − yn‖
2 +
1
2
‖xn+1 − yn‖
2 + λnαnf1(xn+1) 6
6 −λnαnf1(xn+1) + 2λn(w
∗, z − xn+1) + 2λ2
n‖w
∗‖2 =
= 2λn(v, z − xn+1) + λnαn
{(
2w∗∗
αn
, xn+1
)
− f1(xn+1)−
(
2w∗∗
αn
, z
)}
+ 2λ2
n‖w
∗‖2.
Враховуючи лему 1, отримуємо нерiвнiсть (2).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 59
Лема 6. Для точок z, v, w∗ та w∗∗ з леми 5 виконується нерiвнiсть
−
‖x1 − z‖2
2
n
∑
i=1
λi
6 (v, z − xn+1) +
(
n
∑
i=1
λi
αi
1
2k
‖w∗∗‖2 +
n
∑
i=1
λ2
i ‖w
∗‖2
)
n
∑
i=1
λi
,
де xn =
n−1
∑
i=1
λixi+1
/
n−1
∑
i=1
λi.
Лема 7. Нехай функцiонал f2 сильно опуклий з сталою c > 0. Тодi для єдиного розв’яз-
ку задачi (1) z ∈ H виконується нерiвнiсть
2cλn‖xn+1 − z‖2 6 ‖xn − z‖2 − ‖xn+1 − z‖2 +
(
λn
αn
1
k
+ 2λ2
n
)
‖w∗‖2, (6)
де w∗ ∈ −∂f2(z)
⋂
NCz.
Доведення. Сильна монотоннiсть оператора ∂f2 [11] замiсть (3) дає оцiнку
‖xn − z‖2 − ‖yn − z‖2 − ‖xn − yn‖
2 = 2(xn − yn, yn − z) >
> 2λn(−w∗, yn − z) + 2cλn‖yn − z‖2.
З нерiвностi (4) випливає
‖xn+1 − z‖2 6 ‖yn − z‖2.
Тому
‖xn − z‖2 − ‖yn − z‖2 − ‖xn − yn‖
2
> 2λn(−w∗, yn − z) + 2cλn‖xn+1 − z‖2.
Повторивши мiркування доведення леми 5, отримаємо нерiвнiсть (6).
Теореми збiжностi. Стосовно послiдовностей (λn) та (αn) зробимо такi припущення:
(A2)
∞
∑
n=1
λn = +∞;
(A3)
∞
∑
n=1
λn
αn
< +∞;
(A4)
∞
∑
n=1
λ2
n < +∞.
Зауваження 3. Наприклад, λn = 1/np, 1/2 < p 6 1, αn = nq, q > 1 − p. Якщо c1/αn 6
6 λn 6 c2/αn, де c1, c2 > 0, то умова (A3) рiвносильна умовi (A4).
Лема 8. Нехай S 6= ∅, виконуються (A1)–(A4). Тодi
1) ∀ z ∈ S ∃ lim
n→∞
‖xn − z‖ ∈ R;
2)
∞
∑
n=1
‖xn − yn‖
2 < +∞;
3)
∞
∑
n=1
‖xn+1 − yn‖
2 < +∞;
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2
4)
∞
∑
n=1
λnαnf1(xn+1) < +∞.
У випадку сильної опуклостi f2 алгоритм 1 сильно збiгається до єдиного розв’язку за-
дачi (1).
Теорема 1. Нехай функцiонал f2 сильно опуклий, виконуються (A1)–(A4). Тодi пород-
жена алгоритмом 1 послiдовнiсть (xn) cильно збiгається до єдиного розв’язку задачi (1).
Доведення. Нехай z — розв’язок задачi (1), w∗ ∈ −∂f2(z)
⋂
NCz, c > 0 — стала сильної
опуклостi f2. За лемою 7, для n = 1, N маємо
2cλn‖xn+1 − z‖2 6 ‖xn − z‖2 − ‖xn+1 − z‖2 +
(
λn
αn
1
k
+ 2λ2
n
)
‖w∗‖2.
Просумувавши нерiвностi, одержимо
2c
N
∑
n=1
λn‖xn+1 − z‖2 6 ‖x1 − z‖2 − ‖xN+1 − z‖2 +
(
1
k
N
∑
n=1
λn
αn
+ 2
N
∑
n=1
λ2
n
)
‖w∗‖2 6
6 ‖x1 − z‖2 +
(
1
k
N
∑
n=1
λn
αn
+ 2
N
∑
n=1
λ2
n
)
‖w∗‖2.
Пiсля граничного переходу при N → ∞ маємо
2c
∞
∑
n=1
λn‖xn+1 − z‖2 6 ‖x1 − z‖2 +
(
1
k
∞
∑
n=1
λn
αn
+ 2
∞
∑
n=1
λ2
n
)
‖w∗‖2 < +∞.
З умови (A2) та iснування lim
n→∞
‖xn − z‖ випливає lim
n→∞
‖xn − z‖ = 0.
Для не сильно опуклих функцiоналiв f2 встановлено факт слабкої збiжностi алгорит-
му 1.
З лем 4, 6, 8 та мiркувань роботи [5] випливає слабка збiжнiсть чезарiвських середнiх
послiдовностi (xn).
Теорема 2. Нехай виконуються умови (A1)–(A4). Тодi справедливi твердження:
1) якщо S 6= ∅, то послiдовнiсть чезарiвських середнiх (xn) слабко збiгається до точки
з множини S;
2) якщо S = ∅, то ‖xn‖ → +∞.
Бiльш тонкий аналiз дозволяє довести слабку збiжнiсть послiдовностi (xn). На основi
леми 3 та твердження 1 леми 8 для цього досить показати, що всi слабкi частковi границi
послiдовностi (xn) належать множинi S. Оскiльки функцiонали f1 та f2 cлабко напiвнепе-
рервнi знизу, lim
n→∞
‖xn+1−yn‖ = 0, то останнє випливатиме з такої асимптотичної поведiнки
числових послiдовностей (f1(xn)), (f2(yn)):
lim
n→∞
f1(xn) = 0,
lim sup
n→∞
f2(yn) 6 f2(z) ∀ z ∈ S.
Має мiсце
Теорема 3. Нехай S 6= ∅, виконуються умови (A1)–(A4) та
lim inf
n→∞
αnλn > 0.
Тодi породжена алгоритмом 1 послiдовнiсть (xn) cлабко збiгається до розв’язку задачi (1).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 61
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – Москва: Наука, 1979. – 288 с.
2. Еремин И.И. О задачах последовательного программирования // Сиб. мат. журн. – 1973. – 14, № 1. –
С. 53–63.
3. Подиновский В. В., Гаврилов В.Н. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. –
Москва: Сов. радио, 1975. – 192 с.
4. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными произво-
дными. – Москва: Мир, 1972. – 414 с.
5. Passty G.B. Ergodic convergence to a zero of the sum of monotone operators in Hilbert spaces // J. Math.
Anal. Appl. – 1979. – 72. – P. 383–390.
6. Attouch H., Redont P., Soubeyran A. A new class of alternating proximal minimization algorithms with
costs-to-move // SIAM J. Optim. – 2007. – 18, No 3. – P. 1061–1081.
7. Семенов В. В. О методе параллельной проксимальной декомпозиции для решения задач выпуклой
оптимизации // Пробл. управления и информатики. – 2010. – № 2. – С. 42–46.
8. Войтова Т.А., Семенов В. В. Метод решения двухэтапных операторных включений // Журн. обчис-
люв. та прикл. математики. – 2010. – № 3 (102). – С. 34–39.
9. Денисов С.В. Параллельная схема декомпозиции для поиска седловой точки и равновесия Нэша //
Там само. – 2010. – № 3 (102). – С. 40–48.
10. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. – Москва: Мир, 1988. – 510 с.
11. Гольштейн Е. Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы опти-
мизации. – Москва: Наука, 1989. – 400 с.
12. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. – Москва: ЛИБРОКОМ,
2011. – 176 с.
13. Opial Z. Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings //
Bull. Amer. Math. Soc. – 1967. – 73. – P. 591–597.
Надiйшло до редакцiї 30.06.2011Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
Т. А. Войтова, C. В. Денисов, В.В. Семенов
Альтернирующий проксимальный алгоритм для задачи
двухуровневой выпуклой минимизации
Рассмотрен вопрос решения двухуровневой выпуклой задачи минимизации при помощи аль-
тернирующего проксимального алгоритма. При некоторых метрических условиях на функ-
ционал задачи первого уровня доказаны теоремы сильной и слабой сходимости.
Т. А. Voitova, S.V. Denisov, V. V. Semenov
Alternating proximal algorithm for the problem of bilevel convex
minimization
We consider a solution of the bilevel convex minimization problem by the alternating proximal
algorithm. Under certain metric conditions for the functional of the first-level problem, the strong
and weak convergence theorems are proved.
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49037 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:13:55Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Войтова, Т.А. Денисов, С.В. Семенов, В.В. 2013-09-09T19:04:54Z 2013-09-09T19:04:54Z 2012 Альтернуючий проксимальний алгоритм для задачі дворівневої опуклої мінімізації / Т.А. Войтова, С.В. Денисов, В.В. Семенов // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 56-62. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49037 517.9 Розглянуто питання розв'язання дворівневої опуклої задачі мінімізації за допомогою альтернуючого проксимального алгоритму. При деяких метричних умовах на функціонал задачі першого рівня доведено теореми про сильну та слабку збіжність. Рассмотрен вопрос решения двухуровневой выпуклой задачи минимизации при помощи альтернирующего проксимального алгоритма. При некоторых метрических условиях на функционал задачи первого уровня доказаны теоремы сильной и слабой сходимости. We consider a solution of the bilevel convex minimization problem by the alternating proximal algorithm. Under certain metric conditions for the functional of the first-level problem, the strong and weak convergence theorems are proved. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Альтернуючий проксимальний алгоритм для задачі дворівневої опуклої мінімізації Альтернирующий проксимальный алгоритм для задачи двухуровневой выпуклой минимизации Alternating proximal algorithm for the problem of bilevel convex minimization Article published earlier |
| spellingShingle | Альтернуючий проксимальний алгоритм для задачі дворівневої опуклої мінімізації Войтова, Т.А. Денисов, С.В. Семенов, В.В. Інформатика та кібернетика |
| title | Альтернуючий проксимальний алгоритм для задачі дворівневої опуклої мінімізації |
| title_alt | Альтернирующий проксимальный алгоритм для задачи двухуровневой выпуклой минимизации Alternating proximal algorithm for the problem of bilevel convex minimization |
| title_full | Альтернуючий проксимальний алгоритм для задачі дворівневої опуклої мінімізації |
| title_fullStr | Альтернуючий проксимальний алгоритм для задачі дворівневої опуклої мінімізації |
| title_full_unstemmed | Альтернуючий проксимальний алгоритм для задачі дворівневої опуклої мінімізації |
| title_short | Альтернуючий проксимальний алгоритм для задачі дворівневої опуклої мінімізації |
| title_sort | альтернуючий проксимальний алгоритм для задачі дворівневої опуклої мінімізації |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49037 |
| work_keys_str_mv | AT voitovata alʹternuûčiiproksimalʹniialgoritmdlâzadačídvorívnevoíopukloímínímízacíí AT denisovsv alʹternuûčiiproksimalʹniialgoritmdlâzadačídvorívnevoíopukloímínímízacíí AT semenovvv alʹternuûčiiproksimalʹniialgoritmdlâzadačídvorívnevoíopukloímínímízacíí AT voitovata alʹterniruûŝiiproksimalʹnyialgoritmdlâzadačidvuhurovnevoivypukloiminimizacii AT denisovsv alʹterniruûŝiiproksimalʹnyialgoritmdlâzadačidvuhurovnevoivypukloiminimizacii AT semenovvv alʹterniruûŝiiproksimalʹnyialgoritmdlâzadačidvuhurovnevoivypukloiminimizacii AT voitovata alternatingproximalalgorithmfortheproblemofbilevelconvexminimization AT denisovsv alternatingproximalalgorithmfortheproblemofbilevelconvexminimization AT semenovvv alternatingproximalalgorithmfortheproblemofbilevelconvexminimization |