Узагальнення і спрощення схеми Даніеля

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Доповіді НАН України
Дата:	2012
Автор:	Юрачківський, А.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2012
Теми:	Математика
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49039
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Узагальнення і спрощення схеми Даніеля / А.П. Юрачкiвський // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 42-49. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49039
record_format	dspace
spelling	Юрачківський, А.П. 2013-09-09T19:06:35Z 2013-09-09T19:06:35Z 2012 Узагальнення і спрощення схеми Даніеля / А.П. Юрачкiвський // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 42-49. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49039 517 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Узагальнення і спрощення схеми Даніеля Обобщение и упрощение схемы Даниэля The Daniell scheme generalized and simplified Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Узагальнення і спрощення схеми Даніеля
spellingShingle	Узагальнення і спрощення схеми Даніеля Юрачківський, А.П. Математика
title_short	Узагальнення і спрощення схеми Даніеля
title_full	Узагальнення і спрощення схеми Даніеля
title_fullStr	Узагальнення і спрощення схеми Даніеля
title_full_unstemmed	Узагальнення і спрощення схеми Даніеля
title_sort	узагальнення і спрощення схеми даніеля
author	Юрачківський, А.П.
author_facet	Юрачківський, А.П.
topic	Математика
topic_facet	Математика
publishDate	2012
language	Ukrainian
container_title	Доповіді НАН України
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
format	Article
title_alt	Обобщение и упрощение схемы Даниэля The Daniell scheme generalized and simplified
issn	1025-6415
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49039
citation_txt	Узагальнення і спрощення схеми Даніеля / А.П. Юрачкiвський // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 42-49. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT ûračkívsʹkiiap uzagalʹnennâísproŝennâshemidaníelâ AT ûračkívsʹkiiap obobŝenieiuproŝenieshemydaniélâ AT ûračkívsʹkiiap thedaniellschemegeneralizedandsimplified
first_indexed	2025-11-24T21:03:17Z
last_indexed	2025-11-24T21:03:17Z
_version_	1850494328194990080
fulltext	УДК 517 © 2012 А.П. Юрачкiвський Узагальнення i спрощення схеми Данiеля (Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком) Нехай I — iнтеграл ( = адитивний iзотонний неперервний зверху в нулi функцiонал) на адитивнiй пiдгратцi F адитивної δ-гратки E. Припустимо, що F конфiнальна i мо- нотонно щiльна в E. Позначимо Fց i Fր множини тих x ∈ E, якi є точною ни- жньою (верхньою) межею деякої спадної (вiдповiдно зростаючої) послiдовностi в F. Продовживши I на цi множини за монотонною неперервнiстю, вводимо функцiонали I∗x = sup u∈Fց, u6x Iu та I∗x = inf v∈Fր, v>x Iv на E. Позначимо L = {x ∈ E: I∗x = I∗x}. Для x ∈ L покладаємо Ix = I∗x, або, рiвносильно, Ix = I∗x. Показано, що L = E i так продовжений I — iнтеграл на E. Ядром теорiї мiри та iнтеграла є задача продовження мiри (пiдхiд Лебега [1, 2]) або iн- теграла (пiдхiд Данiеля [1, 3]), заданих початково на вузькому класi множин (у першому випадку) або функцiй (у другому). Пiдхiд Данiеля технiчно простiший, але концептуально бiднiший, через що його називають схемою, а не теорiєю. Щоб пояснити, в чому полягає запропоноване в повiдомленнi узагальнення схеми Данiеля, нагадаємо i введемо ряд понять. Зберiгаюче порядок вiдображення одної впорядкованої множини в iншу називають iще iзотонним. Пiдмножину X0 впорядкованої множини X називаємо конфiнальною (в X), якщо для всякого x ∈ X iснують x ∈ X0 i x ∈ X0 такi, що x 6 x 6 x. Якщо впорядкована множина мiстить точну нижню (верхню) межу x спадної (зростаючої) послiдовностi (xn) своїх елементiв, то пишуть xn ց x (вiдповiдно xn ր x). В обох цих випадках говоримо, що послiдовнiсть (xn) збiгається до x, i записуємо цей факт ще так: x = limxn (зауважимо, що ми означили збiжнiсть тiльки монотонних послiдовностей). Iзотонне вiдображення f упорядкованої множини X в iншу впорядковану множину називається: неперервним звер- ху (знизу) в точцi x ∈ X, якщо спiввiдношення f(xn) ց f(x) (вiдповiдно f(xn) ր f(x)) справджується для всякої послiдовностi (xn) в X такої, що xn ց x (вiдповiдно xn ր x). Неперервне як зверху, так i знизу в деякiй точцi вiдображення назвемо монотонно непе- рервним у цiй точцi. Назвемо пiдмножину впорядкованої множини монотонно замкнутою, якщо вона мiс- тить обидвi точнi межi всякої монотонної обмеженої послiдовностi своїх елементiв (вимога обмеженостi в цьому означеннi iстотна). Пiдмножину X0 монотонно замкнутої впорядко- ваної множини X таку, що єдиною мiстячою X0 монотонно замкнутою пiдмножиною X є сама X, назвемо монотонно щiльною (в X). Монотонно замкнуту гратку назвемо δ-граткою (це, зважаючи на вимогу обмеженостi в означеннi монотонної замкнутостi, аналог δ-кiльця, а не σ-кiльця). Очевидно, δ-гратка мiстить обидвi гранi будь-якої (не обов’язково монотонної) обмеженої послiдовностi своїх елементiв. Адитивною граткою (адитивною δ-граткою) назвемо множину, надiлену узгодженими мiж собою порядком, вiдносно якого та є граткою (δ-граткою), i комутативною груповою 42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2 операцiєю (узгодженiсть означає трансляцiйну iнварiантнiсть порядку). Неформально ади- тивну гратку можна уявляти як векторну гратку з викинутими операцiями множення на нецiлi числа. Очевидно, якщо адитивний монотонний функцiонал на адитивнiй гратцi непе- рервний зверху або знизу хоча би в однiй точцi, то вiн монотонно неперервний у всiх точках. Адитивний iзотонний монотонно неперервний функцiонал на адитивнiй гратцi називає- ться iнтегралом. (Для векторної гратки функцiй це означення належить Лебеговi). Основним результатом даного повiдомлення є Теорема 1. Нехай I — iнтеграл на адитивнiй пiдгратцi F адитивної δ-гратки E. При- пустимо, що F конфiнальна i монотонно щiльна в E. Тодi I єдиним чином продовжується до iнтеграла на E. Ми виведемо це твердження з низки лем i наслiдкiв, але спершу прокоментуємо його. У класичному варiантi схеми Данiеля F не абстрактна адитивна гратка, а стоунова векторна гратка ф у н кц i й на деякiй множинi X (тобто F ⊂ R X), а наперед заданої гра- тки E немає — вона будується з F за допомогою операцiй монотонного граничного переходу i вiднiмання, якi, очевидно, не виводять з R X . Для того щоб вистачило одноразового гра- ничного переходу замiсть трансфiнiтної послiдовностi цих дiй, розглядається не поточкова збiжнiсть, а збiжнiсть майже скрiзь. Уся схема тримається на такому фактi [3]: якщо (fn) — монотонна послiдовнiсть в F ⊂ R X така, що sup \|Ifn\| < ∞, то вона I-майже скрiзь збiгається до деякої f ∈ R X . В абстрактнiй постановцi унiверсальної адитивної δ-гратки на зразок R X немає, тож скористатись цим фактом неможливо. Тодi й поняття збiжностi майже скрiзь (належно видозмiнене для iнтеграла на абстрактнiй гратцi) стає безкори- сним. Можна cпробувати вийти зi становища, вкладаючи абстрактну адитивну δ-гратку в R X , але такий догматичний пiдхiд не дуже природний i технiчно себе не виправдовує. Основною концептуальною новацiєю даного повiдомлення є спосiб продовження iнтегра- ла без використання збiжностi майже скрiзь i притому без технiчних ускладнень на зразок трансфiнiтної iндукцiї. Побудова продовженого iнтеграла складається з двох етапiв, iз яких перший у загальних рисах такий же, як у класичнiй схемi Данiеля (а технiчно вiдрiзняє- ться тим, що замiсть монотонної збiжностi майже скрiзь використовується означена вище монотонна порядкова збiжнiсть). Що ж до другого етапу, то вiн скорiше нагадує Лебегiв спосiб продовження мiри, але це схожiсть на рiвнi асоцiацiй — функцiонали I∗ та I∗, якi будуть нашим iнструментом, не є прямими аналогами зовнiшньої та внутрiшньої мiр. Саме́ означення цих функцiоналiв — рiвнiсть (3) — пояснює iдею побудови продовження краще за будь-якi слова. Приступаючи до доведення теореми, почнемо з очевидного твердження. Лема 1. Нехай (xn) i (yn) — збiжнi монотоннi послiдовностi в упорядкованiй множинi. Припустимо, що xn 6 yn при всiх n. Тодi limxn 6 lim yn. Нижченаведене твердження — окремий випадок реченця1 XII.2.6 [4]. Лема 2. В адитивнiй гратцi спiввiдношення xn ց x, yn ց y зумовлюють xn+yn ց x+ + y, xn ∧ yn ց x ∧ y, xn ∨ yn ց x ∨ y; спiввiдношення xn ր x, yn ր y тягнуть за собою xn + yn ր x + y, xn ∧ yn ր x ∧ y, xn ∨ yn ր x ∨ y; спiввiдношення xn ց x i −xn ր −x рiвносильнi. Для довiльної пiдмножини A впорядкованої множини X означимо Aց (вiдповiдно Aր) як множину тих x ∈ X, для яких iснує послiдовнiсть (xn) ∈ AN така, що xn ց x (вiдповiдно xn ր x). 1 Так я перекладаю слово proposition як назву твердження, промiжного мiж лемою i теоремою. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 43 Наслiдок 1 (з леми 2). Нехай G — впорядкована комутативна напiвгрупа. Тодi для будь-яких A, B ⊂ G Aց + Bց ⊂ (A + B)ց, Aր + Bր ⊂ (A + B)ր. Якщо ж понад те G група, то (−A)ր = −(Aց), (−A)ց = −(Aր) для всiх A ⊂ G. Наслiдок 2. Нехай K — пiдгрупа впорядкованої комутативної напiвгрупи. Тодi: Kց i Kր напiвгрупи; Kր = −Kց, Kց = −Kր. Скрiзь нижче E i F такi, як у теоремi 1; x+ означає x ∨ 0. Лема 3. Нехай I — iнтеграл на F, а (un), (vn) — монотоннi збiжнi послiдовностi в F такi, що limun 6 lim vn. Тодi lim Iun 6 lim Ivn. Зокрема, якщо limun = lim vn, то lim Iun = lim Ivn. Доведення. Нехай спершу un ց x, vn ր y > x. Тодi за лемою 2 un − vn ց x − y, (un − vn)+ ց (x − y)+(= 0), звiдки внаслiдок монотонної неперервностi iнтеграла I(un − − vn)+ ց 0, вiдтак за iншими двома (з трьох) властивостями iнтеграла lim(Iun − Ivn) 6 0, що, очевидно, приводить до потрiбного висновку. Нехай тепер un ր x, vn ր y > x. Тодi за вже доведеним Iuk 6 lim Ivn при всiх k. Залишається спрямувати k до нескiнченностi. Якщо ж un ց x, vn ց y > x, то записавши −vn ր −y, −un ր −x > −y, зводимо цей випадок до попереднього. Наостанок, випадок un ր x, vn ց y > x тривiальний. Нижче F̃ означає Fր⋃ Fց. Продовжимо I на F̃, поклавши для всякого x ∈ F̃ Ix = = lim Iun, де (un) — довiльна збiжна до x монотонна послiдовнiсть в F (лема 3 стверджує, що значення Ix не залежить вiд вибору послiдовностi (un) iз зазначеними властивостя- ми). Вiдтепер i до останньої леми пiд I розумiємо щойно побудоване продовження. Область визначення його не є нi групою, анi граткою, але наслiдок 2 стверджує, що Fր i Fց на- пiвгрупи, раз F, за припущенням, група. Наслiдок 3 (з леми 3). I iзотонний. Лема 4. I адитивний на Fր i на Fց. Доведення. Це випливає безпосередньо iз способу продовження i з леми 2. Лема 5. Для будь-якого x ∈ F̃ I(−x) = −Ix. Доведення. За лемою 2 спiввiдношення un ր x i −un ց −x рiвносильнi. Якщо при цьому un ∈ F, то за побудовою продовження Ix = lim Iun, I(−x) = lim I(−un) i за вибором un I(−un) = −Iun. Лема 6. Нехай (xn) — зростаюча послiдовнiсть в Fր (спадна послiдовнiсть в Fց), збiжна до деякого x ∈ E. Тодi: 1) x ∈ Fր (вiдповiдно x ∈ Fց); 2) Ix = lim Ixn. Доведення. Нехай xn ∈ Fր, n ∈ N. Тодi для кожного n iснує зростаюча послiдовнiсть (unk, k ∈ N) ∈ FN така, що unk ր xn при k → ∞. (1) Позначимо uk = u1k ∨ · · · ∨ ukk. Тодi (uk) — зростаюча послiдовнiсть в F, тож iснує y ∈ ∈ Fր такий, що uk ր y. За побудовою uk > unk при k > n, що спiльно з попереднiм спiввiдношенням i (1) дає y > xn. Нехай далi xn ր x. Тодi, по-перше, y > x за лемою 1 i, по-друге, uik 6 xi 6 xk при i 6 k, так що за тiєю ж лемою uk 6 xk. З останньої нерiвностi i спiввiдношень uk ր y, xk ր x маємо за лемою 1 y 6 x. Отже, y = x i, таким чином, uk ր x, Iuk ր Ix. При цьому uk 6 xk 6 x, так що Iuk 6 Ixk 6 Ix. Для xn ∈ Fց, xn ց x мiркування аналогiчнi. 44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2 Нехай H — конфiнальна пiдмножина деякої впорядкованої множини, J — iзотонний функцiонал на H, а функцiонали J∗ H, J∗ H на всiй множинi задаються рiвностями J∗ Hx = sup u∈H, u6x Ju, J∗ Hx = inf v∈H, v>x Jv, правi частини яких скiнченнi внаслiдок iзотонностi J i конфiнальностi H. Безпосередньо з означення цих функцiоналiв випливає Лема 7. Функцiонали J∗ H i J∗ H iзотоннi. У наведених нижче трьох лемах H — конфiнальна пiднапiвгрупа впорядкованої кому- тативної напiвгрупи G, а J — iзотонний функцiонал на H. Лема 8. Нехай для всiх u, v ∈ H J(u+ v) > Ju + Jv. Тодi для всiх x, y ∈ G J∗ H(x+ y) > J∗ Hx+ J∗ Hy. Доведення. Достатньо написати sup w6x+y Jw > sup u6x, v6y J(u+ v), sup u6x, v6y (Ju+ Jv) = sup u6x Ju+ sup v6y Jv, де w, u, v беруться з H. Так само доводиться таке твердження. Лема 9. Нехай для всiх u, v ∈ H J(u + v) 6 Ju + Jv. Тодi для всiх x, y ∈ G J∗ H(x+ y) 6 J∗ Hx+ J∗ Hy. Лема 10. За умов леми 9 для будь-яких n ∈ N, y1, . . . , yn ∈ G J∗ H(y1 ∨ · · · ∨ yn) 6 J∗ Hy1 + n∑ k=2 J∗ H(yk − yk−1)+. (2) Доведення. Позначимо zk = y1 ∨ · · · ∨ yk. Тодi zk = zk−1 ∨ yk = zk−1 + (yk − zk−1)+, звiдки за лемою 9 J∗ Hzk 6 J∗ Hzk−1 + J∗ H(yk − zk−1)+. Але yk − zk−1 6 yk − yk−1, тому за лемою 7 J∗ H(yk − zk−1)+ 6 J∗ H(yk − yk−1)+. Отже, J∗ Hzk − J∗ Hzk−1 6 J∗ H(yk − yk−1)+. Просумувавши цю нерiвнiсть по k вiд 2 до n i взявши до уваги, що z1 = y1, одержимо (2). Замiсть IF ց ∗ , I∗Fր пишемо I∗, I ∗. Отже, за означенням I∗x = sup u∈Fց, u6x Iu, I∗x = inf v∈Fր, v>x Iv. (3) Лема 11. За умов леми 9 для всякого x ∈ E I∗x 6 I∗x. Доведення. Для будь-яких u, v ∈ F̃ таких, що u 6 x 6 v, маємо за наслiдком 3 Iu 6 Iv, пiсля чого потрiбний висновок випливає з (3). Застосувавши лему 7 до J = I та H = Fց або H = Fր (наслiдок 3 дозволяє це зробити), дiстанемо Наслiдок 4. Функцiонали I∗ та I∗ iзотоннi. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 45 Наслiдок 5 (iз наслiдку 3 i лем 4, 8, 9, 11). Для будь-яких x, y ∈ E I∗x+ I∗y 6 I∗(x+ y) 6 I∗(x+ y) 6 I∗x+ I∗y. Наслiдок 6 (iз наслiдку 5). Нехай x, y ∈ E, I∗x = I∗x, I∗y = I∗y. Тодi I∗x+ I∗y = I∗(x+ y) = I∗(x+ y) = I∗x+ I∗y. Лема 12. Для всякого x ∈ E I∗(−x) = −I∗x, I∗(−x) = −I∗x. Доведення. Згiдно з (3) I∗(−x) = sup u∈Fց,−u>−x Iu ≡ sup v∈−Fց, v>−x I(−v). Звiдси, зауваживши, що за наслiдком 2 −Fց = Fր, а за лемою 5 I(−v) = −Iv при v ∈ Fր, одержуємо I∗(−x) = sup v∈Fր, v>−x (−Iv), що спiльно з (3) доводить першу з двох стверджува- них рiвностей. Друга доводиться так само. Безпосередньо з (3) випливає Лема 13. Для всякого x ∈ Fր I∗x = Ix; для всякого x ∈ Fց I∗x = Ix. Зокрема, для всiх x ∈ F I∗x = Ix = I∗x. (4) Лема 14. Рiвностi (4) мають мiсце для всiх x ∈ F̃. Доведення. Нехай x ∈ Fր, тобто iснує послiдовнiсть (un) ∈ FN така, що un ր x. Тодi Iun ր Ix. За наслiдком 4 I∗x > I∗un; за лемою 13 I∗un = Iun. Тому I∗x > Ix. Звiдси, зауваживши, що Ix = I∗x за лемою 13, одержуємо I∗x > I∗x. За лемою 11 має мiсце i зворотна нерiвнiсть. Цим рiвнiсть (4) доведено для x ∈ Fր. Для x ∈ Fց мiркування аналогiчнi. Позначимо L = {x ∈ E: I∗x = I∗x}. Наслiдок 7 (iз леми 12). Нехай x ∈ L. Тодi −x ∈ L. Наслiдок 8 (iз леми 14). F̃ ⊂ L. Наслiдок 9 (iз наслiдкiв 6 i 7). L група, а функцiонал I∗ адитивний на L (або, що те саме, I∗ адитивний на L). Лема 15. Нехай (xn) — монотонна збiжна послiдовнiсть в L. Тодi: limxn ∈ L; I∗ limxn = lim I∗xn. (5) Зауваження 1. За вибором послiдовностi (xn) i згiдно з першим твердженням леми рiвнiсть (5) рiвносильна такiй: I∗ lim xn = lim I∗xn. Доведення. Нехай xn ր x i I∗xn = I∗xn. (6) Фiксуємо ε > 0 i для кожного k ∈ N беремо iснуючий за означенням I∗ елемент vεk ∈ Fր такий, що vεk > xk, (7) 46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2 Ivεk < I∗xk + 2−kε. (8) Конфiнальнiсть F дозволяє без обмеження загальностi вважати, що послiдовнiсть (vεk) обме- жена зверху (iнакше вiзьмемо довiльний t ∈ F такий, що t > x, i замiнимо vεk на vεk ∧ t). Позначимо wε n = vε1 ∨ · · · ∨ vεn(∈ Fր за побудовою). За лемами 14 i 10 Iwε n = I∗wε n 6 I∗vε1 + n∑ k=2 I∗(vεk − vεk−1)+. (9) За лемою 14 I∗vεk = Ivεk, k = 1, 2, . . . . (10) Iз (7) маємо за лемою 7 I∗(vεk − vεk−1)+ 6 I∗(vεk − xk−1)+. Але vεk − xk−1 > vεk − xk > 0, тож I∗(vεk − xk−1)+ = I∗(vεk − xk−1). (11) При цьому vεk ∈ L за наслiдком 8. Так само, зважаючи на (6), xk ∈ L. Тодi за наслiдком 9 vεk − xk ∈ L та I∗(vεk − xk−1) = I∗vεk − I∗xk−1, що спiльно з (9)–(11) спричинюється до Iwε n 6 Ivε1 + n∑ k=2 (Ivεk − I∗xk−1). При цьому внаслiдок (8) −I∗xk−1 < 2−(k−1)ε− Ivεk−1. Отже, Iwε n < Ivεn+ε n∑ k=2 2−k, що разом iз (8) дає Iwε n < I∗xn + ε. (12) За побудовою wε n ∈ Fր, послiдовнiсть (wε n) зростає i обмежена зверху. Тому iснує wε ∈ E такий, що wε n ր wε. За лемою 6 wε ∈ Fր i Iwε n ր Iwε. (13) Оскiльки xn 6 vεn 6 wε n i xn ր x, то лема 1 стверджує, що x 6 wε, звiдки за наслiдком 4 I∗x 6 I∗wε. Але I∗wε = Iwε за лемою 14. Таким чином, I∗x 6 Iwε. (14) Для кожного n беремо iснуючий за означенням функцiонала I∗ елемент un ∈ Fց такий, що un 6 xn i Iun > I∗xn − 2−n. (15) Оскiльки un 6 xn 6 wε n, то за наслiдком 3 Iun 6 Iwε n, (16) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 47 що разом iз (12) i (15) дає I∗xn − 2−n < Iun 6 Iwε n < I∗xn + ε. Звiдси з урахуванням (6) i (16) маємо 0 6 Iwε n − Iun < ε + 2−n. Це разом iз (13) показує, що Iwε 6 lim Iun + ε, вiдтак унаслiдок (14) I∗x 6 lim Iun + ε. (17) З iншого боку, з нерiвностей un 6 xn 6 x маємо за наслiдком 4 I∗un 6 I∗xn 6 I∗x. Крiм того, за вибором un i лемою 14 I∗un = Iun. Отже, lim Iun 6 lim I∗xn 6 I∗x. Порiвнявши це iз (17), бачимо, що для будь-якого ε > 0 I∗x 6 lim I∗xn 6 I∗x+ ε. Звiдси i з (6) одержуємо за лемою 11 I∗x = lim I∗xn = lim I∗xn = I∗x. Цим лему доведено для зростаючих послiдовностей. Такi ж мiркування застосовнi й до спадних послiдовностей (а ще можна звести другий випадок до першого, замiнивши xn, x на −xn, −x i скориставшись лемами 2 i 12). Доведення теореми 1. Для x ∈ L покладаємо Ix = I∗x (= I∗x за вибором x). Лема 14 стверджує, що так заданий функцiонал I на L є продовженням так само позначуваного функцiонала, визначеного до того тiльки на F̃ (а спочатку тiльки на F). За побудовою F ⊂ ⊂ L ⊂ E, а за лемою 15 множина L монотонно замкнута. Звiдси за припущенням монотонної щiльностi F маємо L = E. Функцiонал I iзотонний за наслiдком 4, адитивний за наслiдком 9 i монотонно неперервний за лемою 15, а значить є iнтегралом на E. Якщо I1 i I2 iнтеграли на E, то множина {x ∈ E : I1x = I2x}, очевидно, монотонно замкнута. Тому всякий iнтеграл, заданий початково на монотонно щiльнiй адитивнiй гратцi F ⊂ E, допускає не бiльше одного продовження на E. 1. Богачев В.И. Основы теории меры. В 2 т. – Москва, Ижевск: РХД, 2006. – Т. 1. – 584 с., Т. 2. – 680 с. 2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – Москва: Наука, 1989. – 624 с. 3. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. – Москва: Мир, 1979. – 588 с. 4. Иосида К. Функциональный анализ. – Москва: Мир, 1967. – 624 с. Надiйшло до редакцiї 15.06.2011Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка А.П. Юрачковский Обобщение и упрощение схемы Даниэля Пусть I — интеграл ( = аддитивный изотонный непрерывный сверху в нуле функционал) на аддитивной подрешетке F аддитивной δ-решетки E. Предположим, что F конфинальна и монотонно плотна в E. Обозначим Fց и Fր множества тех x ∈ E, которые являются точной нижней (верхней) границей некоторой убывающей (соответственно возрастающей) последовательности в F. Продолжив I на эти множества по монотонной непрерывности, вводим функционалы I∗x = sup u∈Fց, u6x Iu и I∗x = inf v∈Fր, v>x Iv на E. Обозначим L = {x ∈ E: I∗x = I∗x}. Для x ∈ L полагаем Ix = I∗x, или, равносильно, Ix = I∗x. Показано, что L = E и так продолженный I — интеграл на E. 48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2 A.P. Yurachkivsky The Daniell scheme generalized and simplified Let I be an integral ( = additive isotonic upper continuous at zero functional) on the additive sublattice E of an additive δ-lattice E. Suppose that F is cofinal and monotonically dense in E. Denote by Fց and Fր the sets of those x ∈ E which are the greatest lower (respectively: least upper) bound of some decreasing (respectively: increasing) sequence in F. First, we extend I to these sets by monotonic continuity and then introduce the functionals I∗x = sup u∈Fց, u6x Iu and I∗x = inf v∈Fր, v>x Iv on E. Denote L = {x ∈ E: I∗x = I∗x}. For x ∈ L, we set Ix = I∗x or, equivalently, Ix = I∗x. It is shown that L = E and the thus extended I is an integral on E. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 49

Узагальнення і спрощення схеми Даніеля

Репозитарії

Схожі ресурси