Про нескінченні групи, які мають тільки два типи пронормальних підгруп
Нехай G — група. Підгрупа H групи G називається пронормальною в G, якщо для кожного g що належить G підгрупи H i H^g є спряженими у підгрупі <H,H^g>. Підгрупа H групи G називається aбнормальною в G, якщо g що належить <H,Hg> для всякого елемента g що належить G. Вивчено деякі тип...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49041 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про нескінченні групи, які мають тільки два типи пронормальних підгруп / О.О. Пипка, М.М. Семко (мол.) // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 32-34. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860130672885104640 |
|---|---|
| author | Пипка, О.О. Семко, М.М. (мол.) |
| author_facet | Пипка, О.О. Семко, М.М. (мол.) |
| citation_txt | Про нескінченні групи, які мають тільки два типи пронормальних підгруп / О.О. Пипка, М.М. Семко (мол.) // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 32-34. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Нехай G — група. Підгрупа H групи G називається пронормальною в G, якщо для кожного g що належить G підгрупи H i H^g є спряженими у підгрупі <H,H^g>. Підгрупа H групи G називається aбнормальною в G, якщо g що належить <H,Hg> для всякого елемента g що належить G. Вивчено деякі типи нескінченних груп, у яких усі пронормальні підгрупи або нормальні, або абнормальні.
Пусть G — группа. Подгруппа H группы G называется пронормальной в G, если для каждого элемента g принадлежащего G подгруппы H и H^g сопряжены в <H,H^g>. Подгруппа H группы G называется aбнормальной в G, если g принадлежит <H,Hg> для всякого элемента g принадлежащего G. Изучены некоторые типы бесконечных групп, у которых все пронормальные подгруппы или нормальны, или абнормальны.
Let G be a group. A subgroup H of G is said to be pronormal if, for every element g of G, the conjugates H and H^g are already conjugate in the subgroup <H,H^g> generated by H and H^g. We study some types of infinite groups in which all pronormal subgroups are either normal or abnormal.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:44:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.41/47
© 2012
О.О. Пипка, М. М. Семко (мол.)
Про нескiнченнi групи, якi мають тiльки два типи
пронормальних пiдгруп
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
Нехай G — група. Пiдгрупа H групи G називається пронормальною в G, якщо для кож-
ного g ∈ G пiдгрупи H i Hg є спряженими у пiдгрупi 〈H,Hg〉. Пiдгрупа H групи G
називається aбнормальною в G, якщо g ∈ 〈H,Hg〉 для всякого елемента g ∈ G. Вивче-
но деякi типи нескiнченних груп, у яких усi пронормальнi пiдгрупи або нормальнi, або
абнормальнi.
Пiдгрупа H групи G називається aбнормальною в G, якщо g ∈ 〈H,Hg〉 для всякого елемента
g ∈ G. Aбнормальнi пiдгрупи були уведенi Ф. Холлом у роботi [1], а сам термiн “aбнормаль-
на пiдгрупа” належить Р. Картеровi [2]. Абнормальнi пiдгрупи є антиподами нормальних
пiдгруп i їхнiх узагальнень (абнормальна пiдгрупа може бути нормальною лише тодi, коли
вона збiгається з усiєю групою). Так, наприклад, абнормальна пiдгрупа H завжди самонор-
малiзовна, тобто H = NG(H), i є контранормальною, тобто HG = G. Пiдгрупи такого роду
вiдiграють досить iстотну роль у теорiї скiнченних груп. Досить широким узагальненням
абнормальних пiдгруп є пронормальнi пiдгрупи. Пiдгрупа H групи G називається пронор-
мальною в G, якщо для кожного елемента g ∈ G пiдгрупи H i Hg спряженi в 〈H,Hg〉.
Пронормальнi пiдгрупи також були введенi в розгляд Ф. Холлом. Важливими прикладами
пронормальних пiдгруп є силовськi p-пiдгрупи скiнченних груп, силовськi π-пiдгрупи скiн-
ченних розв’язних груп, картеровi пiдгрупи скiнченних розв’язних груп та iн. Якщо абнор-
мальнi пiдгрупи є антиподами нормальних пiдгруп, то пронормальнi пiдгрупи можуть бути
нормальними. Бiльше того, кожна пiдгрупа, що одночасно пронормальна й субнормальна,
буде нормальною. У нескiнченних групах дослiдження пронормальних та пов’язаних з ни-
ми пiдгруп було почато в оглядi М.С. Ба, З. I. Боревича [3] та роботах М.Ф. Кузенного,
I.Я. Субботiна [4–7]. Цi роботи стимулювали подальший iнтерес до дослiджень пронор-
мальних i пов’язаних з ними пiдгруп, а також їхнiх зв’язкiв. Деякий огляд цих дослiджень
проведений у статтi [8].
Як ми вже вiдзначали, нормальнi й абнормальнi пiдгрупи являють собою два край-
нiх полюси в сiмействi всiх пронормальних пiдгруп. Тому природно виникає питання про
будову груп, усяка пронормальна пiдгрупа яких є пiдгрупою одного з цих двох типiв. Ми
починаємо вивчення деяких нескiнченних груп iз такою властивiстю. Дослiдження цих груп
проводиться при деяких природних обмеженнях. Це пов’язано з тiєю обставиною, що в не-
скiнченних групах практично немає хороших критерiїв пронормальностi й абнормальностi.
У даному повiдомленнi детально описано будову перiодичних майже локально нiльпо-
тентних груп, усяка пронормальна пiдгрупа яких або нормальна, або абнормальна, а потiм
знайдено деякi типи груп, якi при зазначеному обмеженнi є майже локально нiльпотент-
ними.
Теорема 1. Нехай G — перiодична група, усяка пронормальна пiдгрупа якої нормальна
або абнормальна. Якщо G — майже локально нiльпотентна група, то або вона локально
нiльпотентна, або G задовольняє таким умовам:
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2
(i) G = QλP , де P — силовська p-пiдгрупа G, а Q — її силовська p′-пiдгрупа, p —
просте число;
(ii) P = D〈x〉 для деякого елемента x, пiдгрупа D G-iнварiантна й xp ∈ D (таким
чином, Q × D — локально нiльпотентний радикал G);
(iii) якщо H — G-iнварiантна пiдгрупа Q, то CQ/H(x) = 〈1〉;
(iv) 〈x〉G = G;
(v) пiдгрупа Q нiльпотентна.
Теорема 1 описує будову перiодичних майже локально нiльпотентних груп, усяка про-
нормальна пiдгрупа якої нормальна або абнормальна. Зараз ми вкажемо деякi типи перiо-
дичних груп, усяка пронормальна пiдгрупа яких нормальна або абнормальна, якi є майже
локально нiльпотентними.
Група G називається гiперскiнченною, якщо вона має зростаючий ряд нормальних пiд-
груп, кожний фактор якого скiнченний.
Теорема 2. Нехай G — група, усяка пронормальна пiдгрупа якої нормальна або абнор-
мальна. Якщо група G — гiперскiнченна, то вона майже локально нiльпотентна.
Наслiдок 1. Нехай G — нескiнченна група, усяка пронормальна пiдгрупа якої нормаль-
на або абнормальна. Якщо G — перiодична FC-група, то вона локально нiльпотентна.
Група G називається гiпоскiнченною, якщо вона має спадний ряд нормальних пiдгруп,
кожний фактор якого скiнченний.
Теорема 3. Нехай G — локально скiнченна група, усяка пронормальна пiдгрупа якої
нормальна або абнормальна. Якщо група G гiпоскiнченна, то вона майже локально нiль-
потентна.
Наслiдок 2. Нехай G — локально скiнченна група, усяка пронормальна пiдгрупа якої
нормальна або абнормальна. Якщо група G фiнiтно апроксимуюча, то вона майже ло-
кально нiльпотентна.
Група G називається силовськи p-цiлiсною, p — просте число, якщо в будь-якiй її пiд-
групi H силовськi p-пiдгрупи спряженi (див., наприклад, [9, означення 2.3.1]).
Теорема 4. Нехай G — перiодична локально розв’язна група, усяка пронормальна пiд-
група якої нормальна або абнормальна. Якщо група G силовськи p-цiльна для будь-якого
простого числа p, то вона майже локально нiльпотентна.
Наслiдок 3. Нехай G — перiодична локально розв’язна група, усяка пронормальна
пiдгрупа якої нормальна або абнормальна. Якщо силовськi p-пiдгрупи G чернiковськi для
будь-якого простого числа p, то вона майже локально нiльпотентна.
Наслiдок 4. Нехай G — локально скiнченна група, усяка пронормальна пiдгрупа якої
нормальна або абнормальна. Якщо силовськi p-пiдгрупи G чернiковськi для будь-якого прос-
того числа p, то вона майже локально нiльпотентна.
Наслiдок 5. Нехай G — локально скiнченна група, усяка пронормальна пiдгрупа якої
нормальна або абнормальна. Якщо силовськi p-пiдгрупи G скiнченнi для будь-якого прос-
того числа p, то вона майже локально нiльпотентна.
1. Hall P. On system normalizers of soluble groups // Proc. London Math. Soc. – 1937. – 43. – P. 507–528.
2. Carter R.W. Nilpotent self-normalizing subgroups of soluble groups // Math. Z. – 1961. – 75. – P. 136–139.
3. Ба M. С., Боревич З.И. O расположении промежуточных подгрупп // Кольца и линейные группы. –
Kраснодар: Кубан. ун-т, 1988. – С. 14–41.
4. Кузенный Н.Ф., Субботин И.Я. Группы, в которых все подгруппы пронормальны // Укр. мат.
журн. – 1987. – 39, № 3. – С. 325–329.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 33
5. Кузенный Н.Ф., Субботин И.Я. Локально разрешимые группы, в которых все бесконечные подгруп-
пы пронормальны // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. – 1987. – № 11. – С. 77–79.
6. Кузенный Н.Ф., Субботин И.Я. Новые характеризации локально нильпотентных IH-групп // Укр.
мат. журн. – 1988. – 40, № 3. – С. 322–326.
7. Кузенный Н.Ф., Субботин И.Я. Группы с пронормальными примарными подгруппами // Там же. –
1989. – 41, № 3. – С. 323–327.
8. Kurdachenko L.A., Otal J., Subbotin I.Ya. On properties of abnormal and pronormal subgroups in some
infinite groups // Groups St Andrews 2005. – Vol. 2. London Math. Soc. Lecture Note Series 339. –
Cambridge: Cambridge Univ. Press., 2007. – P. 597–604.
9. Dixon M.R. Sylow theory, formations and Fitting classes in locally finite groups. – Singapore: World
Scientific, 1994. – 304 p.
Надiйшло до редакцiї 17.01.2011Нацiональний унiверситет державної
податкової служби України, Iрпiнь
A.A. Пыпка, Н.Н. Семко (мл.)
О бесконечных группах, имеющих только два типа пронормальных
подгрупп
Пусть G — группа. Подгруппа H группы G называется пронормальной в G, если для каж-
дого элемента g ∈ G подгруппы H и Hg сопряжены в 〈H,Hg〉. Подгруппа H группы G
называется aбнормальной в G, если g ∈ 〈H,Hg〉 для всякого элемента g ∈ G. Изучены неко-
торые типы бесконечных групп, у которых все пронормальные подгруппы или нормальны,
или абнормальны.
О.О. Pypka, М. М. Semko (jr.)
On infinite groups having only two types of pronormal subgroup
Let G be a group. A subgroup H of G is said to be pronormal if, for every element g of G, the
conjugates H and Hg are already conjugate in the subgroup 〈H,Hg〉 generated by H and Hg. We
study some types of infinite groups in which all pronormal subgroups are either normal or abnormal.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49041 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:44:42Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пипка, О.О. Семко, М.М. (мол.) 2013-09-09T19:08:19Z 2013-09-09T19:08:19Z 2012 Про нескінченні групи, які мають тільки два типи пронормальних підгруп / О.О. Пипка, М.М. Семко (мол.) // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 32-34. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49041 519.41/47 Нехай G — група. Підгрупа H групи G називається пронормальною в G, якщо для кожного g що належить G підгрупи H i H^g є спряженими у підгрупі <H,H^g>. Підгрупа H групи G називається aбнормальною в G, якщо g що належить <H,Hg> для всякого елемента g що належить G. Вивчено деякі типи нескінченних груп, у яких усі пронормальні підгрупи або нормальні, або абнормальні. Пусть G — группа. Подгруппа H группы G называется пронормальной в G, если для каждого элемента g принадлежащего G подгруппы H и H^g сопряжены в <H,H^g>. Подгруппа H группы G называется aбнормальной в G, если g принадлежит <H,Hg> для всякого элемента g принадлежащего G. Изучены некоторые типы бесконечных групп, у которых все пронормальные подгруппы или нормальны, или абнормальны. Let G be a group. A subgroup H of G is said to be pronormal if, for every element g of G, the conjugates H and H^g are already conjugate in the subgroup <H,H^g> generated by H and H^g. We study some types of infinite groups in which all pronormal subgroups are either normal or abnormal. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про нескінченні групи, які мають тільки два типи пронормальних підгруп О бесконечных группах, имеющих только два типа пронормальных подгрупп On infinite groups having only two types of pronormal subgroup Article published earlier |
| spellingShingle | Про нескінченні групи, які мають тільки два типи пронормальних підгруп Пипка, О.О. Семко, М.М. (мол.) Математика |
| title | Про нескінченні групи, які мають тільки два типи пронормальних підгруп |
| title_alt | О бесконечных группах, имеющих только два типа пронормальных подгрупп On infinite groups having only two types of pronormal subgroup |
| title_full | Про нескінченні групи, які мають тільки два типи пронормальних підгруп |
| title_fullStr | Про нескінченні групи, які мають тільки два типи пронормальних підгруп |
| title_full_unstemmed | Про нескінченні групи, які мають тільки два типи пронормальних підгруп |
| title_short | Про нескінченні групи, які мають тільки два типи пронормальних підгруп |
| title_sort | про нескінченні групи, які мають тільки два типи пронормальних підгруп |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49041 |
| work_keys_str_mv | AT pipkaoo proneskínčennígrupiâkímaûtʹtílʹkidvatipipronormalʹnihpídgrup AT semkommmol proneskínčennígrupiâkímaûtʹtílʹkidvatipipronormalʹnihpídgrup AT pipkaoo obeskonečnyhgruppahimeûŝihtolʹkodvatipapronormalʹnyhpodgrupp AT semkommmol obeskonečnyhgruppahimeûŝihtolʹkodvatipapronormalʹnyhpodgrupp AT pipkaoo oninfinitegroupshavingonlytwotypesofpronormalsubgroup AT semkommmol oninfinitegroupshavingonlytwotypesofpronormalsubgroup |