Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами разрешимых групп
Исследован ZG-модуль A такой, что Z — кольцо целых чисел, A/CA(G) не является минимаксным Z-модулем, CG(A)=1, G — разрешимая группа. Рассмотрена система Lnm(G) всех подгрупп H≤G, для которых фактормодули A/CA(H) не являются минимаксными Z-модулями. Изучен ZG-модуль A такой, что Lnm(G) удовлетворяет...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49342 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами разрешимых групп / О.Ю. Дашкова // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 19-23. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49342 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Дашкова, О.Ю. 2013-09-16T19:37:02Z 2013-09-16T19:37:02Z 2012 Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами разрешимых групп / О.Ю. Дашкова // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 19-23. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49342 512.544 Исследован ZG-модуль A такой, что Z — кольцо целых чисел, A/CA(G) не является минимаксным Z-модулем, CG(A)=1, G — разрешимая группа. Рассмотрена система Lnm(G) всех подгрупп H≤G, для которых фактормодули A/CA(H) не являются минимаксными Z-модулями. Изучен ZG-модуль A такой, что Lnm(G) удовлетворяет условию максимальности как упорядоченное множество. Описана структура разрешимой группы G, удовлетворяющей заданным условиям. Досліджено ZG-модуль A такий, що Z — кільце цілих чисел, A/CA(G) не є мінімаксним Z-модулем, CG(A)=1, G — розв'язна група. Розглянуто систему Lnm(G) усіх підгруп H≤G, для яких фактормодулі A/CA(H) не є мінімаксними Z-модулями. Вивчено ZG-модуль A такий, що Lnm(G) задовольняє умову максимальності як упорядкована множина. Описано структуру розв'язної групи G, яка задовольняє ці умови. Let A be a ZG-module, where Z is a ring of integers, A/CA(G) is not a minimax Z-module, CG(A)=1, G is a soluble group. Let Lnm(G) be a system of all subgroups H≤G such that the quotient modules A/CA(H) are not minimax Z-modules. The author studies the ZG-module A such that Lnm(G) satisfies the maximal condition as an ordered set. The structure of a soluble group G with these conditions is described. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами разрешимых групп Про один клас модулів над цілочисельними груповими кільцями розв'язних груп On a one class of modules over integer-valued group rings of soluble groups Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами разрешимых групп |
| spellingShingle |
Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами разрешимых групп Дашкова, О.Ю. Математика |
| title_short |
Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами разрешимых групп |
| title_full |
Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами разрешимых групп |
| title_fullStr |
Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами разрешимых групп |
| title_full_unstemmed |
Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами разрешимых групп |
| title_sort |
об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами разрешимых групп |
| author |
Дашкова, О.Ю. |
| author_facet |
Дашкова, О.Ю. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про один клас модулів над цілочисельними груповими кільцями розв'язних груп On a one class of modules over integer-valued group rings of soluble groups |
| description |
Исследован ZG-модуль A такой, что Z — кольцо целых чисел, A/CA(G) не является минимаксным Z-модулем, CG(A)=1, G — разрешимая группа. Рассмотрена система Lnm(G) всех подгрупп H≤G, для которых фактормодули A/CA(H) не являются минимаксными Z-модулями. Изучен ZG-модуль A такой, что Lnm(G) удовлетворяет условию максимальности как упорядоченное множество. Описана структура разрешимой группы G, удовлетворяющей заданным условиям.
Досліджено ZG-модуль A такий, що Z — кільце цілих чисел, A/CA(G) не є мінімаксним Z-модулем, CG(A)=1, G — розв'язна група. Розглянуто систему Lnm(G) усіх підгруп H≤G, для яких фактормодулі A/CA(H) не є мінімаксними Z-модулями. Вивчено ZG-модуль A такий, що Lnm(G) задовольняє умову максимальності як упорядкована множина. Описано структуру розв'язної групи G, яка задовольняє ці умови.
Let A be a ZG-module, where Z is a ring of integers, A/CA(G) is not a minimax Z-module, CG(A)=1, G is a soluble group. Let Lnm(G) be a system of all subgroups H≤G such that the quotient modules A/CA(H) are not minimax Z-modules. The author studies the ZG-module A such that Lnm(G) satisfies the maximal condition as an ordered set. The structure of a soluble group G with these conditions is described.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49342 |
| citation_txt |
Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами разрешимых групп / О.Ю. Дашкова // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 19-23. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT daškovaoû obodnomklassemoduleinadceločislennymigruppovymikolʹcamirazrešimyhgrupp AT daškovaoû proodinklasmodulívnadcíločiselʹnimigrupovimikílʹcâmirozvâznihgrup AT daškovaoû onaoneclassofmodulesoverintegervaluedgroupringsofsolublegroups |
| first_indexed |
2025-11-26T01:45:59Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:45:59Z |
| _version_ |
1850606850141061120 |
| fulltext |
УДК 512.544
© 2012
О.Ю. Дашкова
Об одном классе модулей над целочисленными
групповыми кольцами разрешимых групп
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.П. Моторным)
Исследован ZG-модуль A такой, что Z — кольцо целых чисел, A/CA(G) не является
минимаксным Z-модулем, CG(A) = 1, G — разрешимая группа. Рассмотрена система
Lnm(G) всех подгрупп H 6 G, для которых фактормодули A/CA(H) не являются мини-
максными Z-модулями. Изучен ZG-модуль A такой, что Lnm(G) удовлетворяет усло-
вию максимальности как упорядоченное множество. Описана структура разрешимой
группы G, удовлетворяющей заданным условиям.
Пусть A — векторное пространство над полем F . Подгруппы группы GL(F,A) всех ав-
томорфизмов пространства A называются линейными группами. Если A имеет конечную
размерность над полем F , GL(F,A) можно рассматривать как группу невырожденных
n × n-матриц, где n = dimFA. Конечномерные линейные группы давно являются объек-
том исследования алгебры и достаточно изучены. В случае, когда пространство A имеет
бесконечную размерность над полем F , ситуация кардинально меняется. Бесконечномерные
линейные группы исследованы мало. Это направление является достаточно новым и тре-
бует решения ряда важных вопросов. Вместе с тем бесконечномерные линейные группы
играют важную роль в различных областях математики и ее приложениях.
Изучение бесконечномерных линейных групп возможно лишь при наложении на них
дополнительных ограничений. К таким ограничениям относятся различные условия конеч-
ности. Примером служит финитарность линейной группы. Финитарные линейные группы
исследовались многими авторами (В.В. Беляев, Р. Е. Филлипс, А. Розенберг, А.Е. Залесс-
кий и др.) Р. Е. Филлипсом проведен обзор исследований финитарных линейных групп [1].
В [2] рассмотрено другое условие конечности, налагаемое на бесконечномерные линейные
группы, и введено понятие центральной размерности бесконечномерной линейной группы.
Пусть H — подгруппа группы GL(F,A). H действует на факторпространстве A/CA(H) есте-
ственным образом. Авторы определяют centdimFH как dimF (A/CA(H)). Говорят, что под-
группа H имеет конечную центральную размерность, если centdimFH конечна, и H имеет
бесконечную центральную размерность, если centdimFH бесконечна. Пусть G 6 GL(F,A).
В [2] рассматривалась система Lid(G) всех подгрупп группы G, имеющих бесконечную цен-
тральную размерность. Чтобы исследовать бесконечномерные линейные группы, которые
по своей структуре близки к конечномерным, следует рассмотреть случай, когда система
Lid(G) “достаточно мала”. Так, в [2] изучались локально разрешимые бесконечномерные
линейные группы, у которых Lid(G) удовлетворяет условию минимальности как упоря-
доченное множество. Разрешимые бесконечномерные линейные группы, у которых Lid(G)
удовлетворяет условию максимальности, исследовались в [3].
Если G 6 GL(F,A), то A можно рассматривать как FG-модуль. Естественным обо-
щением этого случая является рассмотрение RG-модуля A, где R — кольцо, структура
которого близка к структуре поля. При этом обобщением понятия центральной размернос-
ти подгруппы линейной группы является понятие коцентрализатора подгруппы, введенное
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 19
в [4]. Пусть A — RG-модуль, где R — кольцо, G — группа. Если H 6 G, то фактормодуль
A/CA(H), рассматриваемый как R-модуль, называется коцентрализатором подгуппы H
в модуле A.
Отметим, что до настоящего времени исследование алгебраических систем, удовлетво-
ряющих условиям минимальности и максимальности, остается актуальным. Примерами та-
ких систем являются классы нетеровых и артиновых модулей. Напомним, что модуль назы-
вается артиновым, если упорядоченное множество его подмодулей удовлетворяет условию
минимальности. Модуль называется нетеровым, если упорядоченное множество его подмо-
дулей удовлетворяет условию максимальности. Естественным обобщением классов арти-
новых и нетеровых модулей является класс минимаксных модулей [5, гл. 7]. R-модуль A
называется минимаксным, если он обладает конечным рядом подмодулей, каждый фактор
которого является либо нетеровым R-модулем, либо артиновым R-модулем.
В [6] исследовался RG-модуль A такой, что R — дедекиндова область, и коцентрали-
затор группы G в модуле A не является артиновым R-модулем. Рассматривалась система
Lnad(G) всех подгрупп группы G, коцентрализаторы которых в модуле A не являются ар-
тиновыми R-модулями, упорядоченная относительно обычного включения подгрупп. Изу-
чался такой RG-модуль A, что система Lnad(G) удовлетворяет условию максимальности
как упорядоченное множество, а группа G разрешима. В [7] исследовался RG-модуль A
такой, что R — произвольное коммутативное кольцо, коцентрализатор группы G в моду-
ле A не является нетеровым R-модулем, и рассматривалась система Lnnd(G) всех подгрупп
группы G, коцентрализаторы которых в модуле A не являются нетеровыми R-модулями.
Описана структура разрешимой группы G в случае, когда система Lnnd(G) удовлетворяет
условию максимальности.
В настоящей работе рассматривается обобщение двух данных проблем. Изучается
RG-модуль A такой, что R — кольцо целых чисел, коцентрализатор группы G в модуле A не
является минимаксным R-модулем, а группа G разрешима. Пусть Lnm(G) — система всех
подгрупп группы G, коцентрализаторы которых в модуле A не являются минимаксными
R-модулями. На Lnm(G) введем порядок относительно обычного включения подгрупп. Если
система Lnm(G) удовлетворяет условию максимальности как упорядоченное множество, бу-
дем говорить, что группа G удовлетворяет условию max−nm. В работе обобщаются неко-
торые результаты о бесконечномерных линейных группах, полученные в [3].
Далее всюду рассматривается RG-модуль A такой, что CG(A) = 1, R = Z — кольцо
целых чисел.
Пусть A — ZG-модуль, MD(G) — множество всех элементов x ∈ G таких, что коцен-
трализатор группы 〈x〉 в модуле A является минимаксным Z-модулем. Поскольку CA(x
g) =
= CA(x)g для всех x, g ∈ G, отсюда вытекает, что MD(G) является нормальной подгруппой
группы G.
При доказательстве основных результатов работы важную роль играют следующие
леммы.
Лемма 1. Пусть A — ZG-модуль.
(i) Если K 6 H 6 G и коцентрализатор подгруппы H в модуле A является мини-
максным Z-модулем, то концентрализатор подгруппы K в модуле A также является
минимаксным Z-модулем.
(ii) Если U , V 6 G такие, что их коцентрализаторы в модуле A являются минимакс-
ными Z-модулями, то коцентрализатор подгруппы 〈U, V 〉 в модуле A является мини-
максным Z-модулем.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
Лемма 2. Пусть A — ZG-модуль и группа G удовлетворяет условию max−nm. Тогда
либо коцентрализатор каждой конечно порожденной подгруппы группы G в модуле A яв-
ляется минимаксным Z-модулем, либо группа G конечно порождена. В частности, если
G бесконечно порождена, то G = MD(G).
Лемма 3. Пусть A — ZG-модуль, группа G разрешима и удовлетворяет условию
max−nm. Тогда факторгруппа G/MD(G) полициклическая.
Лемма 4. Пусть A — ZG-модуль, коцентрализатор группы G в модуле A не является
минимаксным Z-модулем, группа G разрешима и удовлетворяет условию max−nm. Если
факторгруппа G/[G,G] бесконечно порождена, то группа G имеет ряд нормальных под-
групп H 6 N 6 M 6 G такой, что факторгруппа G/M конечна, факторгруппа M/N —
прюферова p-группа для некоторого простого числа p, N/H конечно порождена, фактор-
группа M/H абелева, подгруппа H нильпотентна и коцентрализатор подгруппы N в мо-
дуле A является минимаксным Z-модулем.
При описании структуры разрешимой группы G с условием max−nm следует отдель-
но рассмотреть случаи конечно порожденной и бесконечно порожденной группы G. Если
группа G такова, что ее факторгруппа по коммутанту бесконечно порождена, имеет место
следующая теорема.
Теорема 1. Пусть A — ZG-модуль, коцентрализатор группы G в модуле A не яв-
ляется минимаксным Z-модулем, группа G разрешима и удовлетворяет условию max−
−nm. Если факторгруппа G/[G,G] бесконечно порождена, то группа G удовлетворяет
следующим условиям:
1) A обладает конечным рядом ZG-подмодулей
0 = C0 6 C1 6 C2 6 · · · 6 Cl = A
таким, что каждый фактор Cj/Cj−1, j = 2, . . . , l, является либо конечным ZG-модулем,
либо квазиконечным ZG-модулем, либо G-рационально неприводимым ZG-модулем, адди-
тивная группа которого — абелева группа без кручения конечного 0-ранга, а факторгруппа
G/CG(C1) — прюферова q-группа для некоторого простого числа q;
2) H = CG(C1)
⋂
CG(C2/C1)
⋂
· · ·
⋂
CG(Cm/Cm−1) — нильпотентная нормальная под-
группа группы G;
3) группа G имеет ряд нормальных подгрупп H 6 N 6 M 6 G такой, что фактор-
группа G/M конечна, факторгруппа M/N — прюферова p-группа для некоторого простого
числа p, N/H конечно порождена, факторгруппа M/H абелева, подгруппа H нильпотент-
на и коцентрализатор подгруппы N в модуле A является минимаксным Z-модулем.
Следующим естественным шагом является рассмотрение случая, когда группа G конеч-
но порождена. В этом случае структура группы G описана в теоремах 2 и 3.
Теорема 2. Пусть A — ZG-модуль, коцентрализатор группы G в модуле A не являет-
ся минимаксным Z-модулем, G — конечно порожденная разрешимая группа, удовлетво-
ряющая условию max−nm. Если коцентрализатор MD(G) в модуле A — минимаксный
Z-модуль, то G содержит нормальную нильпотентную подгруппу H такую, что фак-
торгруппа G/H полициклическая.
Доказательство. Пусть C = CA(MD(G)). Поскольку MD(G) — нормальная подгруппа
группы G и коцентрализатор MD(G) в модуле A является минимаксным Z-модулем, то A
обладает рядом ZG-подмодулей
0 = C0 6 C = C1 6 C2 6 · · · 6 Ct = A
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 21
таким, что каждый фактор Cj/Cj−1, j = 2, . . . , t, является либо конечным ZG-модулем,
либо квазиконечным ZG-модулем, либо ZG-модулем, аддитивная группа которого — абе-
лева группа без кручения конечного 0-ранга. Отсюда вытекает, что можно построить ряд
подмодулей
0 = C0 6 C = C1 6 C2 6 · · · 6 Cl = A
такой, что l > t, и каждый фактор Cj/Cj−1, j = 2, . . . , l, является либо конечным ZG-моду-
лем, либо квазиконечным ZG-модулем, либо G-рационально неприводимым ZG-модулем,
аддитивная группа которого — абелева группа без кручения конечного 0-ранга. В слу-
чаях, когда фактор Cj/Cj−1, j = 2, . . . , l, является либо конечным ZG-модулем, либо ква-
зиконечным ZG-модулем, по лемме 16.19 [8] факторгруппа G/CG(Cj/Cj−1) почти абелева.
В случае, когда фактор Cj/Cj−1 — G-рационально неприводим, и его аддитивная группа
является абелевой группой без кручения конечного 0-ранга, факторгруппу G/CG(Cj/Cj−1)
можно рассматривать как неприводимую подгруппу GLr(Q). По теореме А.И. Мальцева
(лемма 3.5 [9]) G/CG(Cj/Cj−1) почти абелева. Отсюда с учетом конечной порожденности
группы G вытекает, что факторгруппы G/CG(Cj/Cj−1), j = 2, . . . , l, являются полицикли-
ческими.
Положим
H = CG(C1)
⋂
CG(C2/C1)
⋂
CG(C3/C2)
⋂
· · ·
⋂
CG(Cl/Cl−1).
Подгруппа H действует тривиально в каждом факторе ряда 0 = C0 6 C = C1 6 C2 6
6 · · · 6 Cl = A. Следовательно, H нильпотентна. Поскольку MD(G) 6 CG(C1), то по лем-
ме 3 факторгруппа G/CG(C1) полициклическая. Так как факторгруппа G/H вкладывается
в прямое произведение факторгрупп G/CG(Cj/Cj−1), j = 1, 2, . . . , l, то факторгруппа G/H
полициклическая. Отсюда следует, что группа G содержит нормальную нильпотентную
подгруппу H такую, что факторгруппа G/H полициклическая. Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть A — ZG-модуль, коцентрализатор группы G в модуле A не яв-
ляется минимаксным Z-модулем, G — конечно порожденная разрешимая группа, удов-
летворяющая условию max−nm. Если коцентрализатор MD(G) в модуле A не является
минимаксным Z-модулем, то G содержит нормальную подгруппу L, удовлетворяющую
следующим условиям:
1) факторгруппа G/L полициклическая;
2) L 6 MD(G) и коцентрализатор подгруппы L в модуле A не является минимаксным
Z-модулем;
3) факторгруппа L/[L,L] бесконечно порождена.
Доказательство. Пусть 〈1〉 = D0 6 D1 6 · · · 6 Dn = G — производный ряд группы G.
Если группа G полициклическая, то подгруппа MD(G) также полициклическая. По лем-
ме 1 коцентрализатор подгруппы MD(G) в модуле A является минимаксным Z-модулем.
Противоречие. Следовательно, существует номер m ∈ {1, . . . , n−1} такой, что факторгруп-
па G/Dm полициклическая, а факторгруппа Dm/Dm−1 не является конечно порожденной.
Положим L = Dm. Согласно лемме 2, L 6 MD(G). Предположим, что коцентрализатор
подгруппы L в модуле A является минимаксным Z-модулем. Тогда ввиду конечной порож-
денности факторгруппы MD(G)/L по лемме 1 коцентрализатор MD(G) в модуле A также
является минимаксным Z-модулем. Противоречие. Теорема доказана.
1. Philips R. E. Finitary linear groups: a survey // Finite and locally finite groups / NATO ASI. Ser. C. –
Dordrecht: Kluwer, 1995. – Vol. 471. – P. 111–146.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
2. Dixon M.R., Evans M. J., Kurdachenko L.A. Linear groups with the minimal condition on subgroups of
infinite central dimension // J. Algebra. – 2004. – 277, No 1. – P. 172–186.
3. Kurdachenko L.A., Subbotin I. Ya. Linear groups with the maximal condition on subgroups of infinite
central dimension // Publ. Math. – 2006. – 50. – P. 103–131.
4. Курдаченко Л.А. О группах с минимаксными классами сопряженных элементов. Бесконечные группы
и примыкающие алгебраические структуры. – Киев: Ин-т математики АН Украины, 1993. – С. 160–
177.
5. Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya., Semko N.N. Insight into modules over Dedekind domains. – Kyiv:
Institute of Mathematics, 2008. – 119 p.
6. Дашкова О.Ю. Об одном классе модулей над групповыми кольцами разрешимых групп с ограни-
чениями на некоторые системы подгрупп // Фундамент. и прикл. математика. – 2008. – 14, № 7. –
С. 111–119.
7. Dashkova O.Yu. On modules over group rings of soluble groups with commutative ring of scalars // Algebra
and Discrete Math. – 2010. – 10, No 2. – P. 51–63.
8. Kurdachenko L.A., Otal J., Subbotin I.Ya. Artinian modules over group rings. – Basel; Boston; Berlin:
Birkhäuser, 2007. – 248 p.
9. Wehrfritz B. A.F. Infinite linear groups // Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. – New
York; Heidelberg; Berlin: Springer, 1973. – 229 p.
Поступило в редакцию 23.05.2011Днепропетровский национальный университет
им. Олеся Гончара
О.Ю. Дашкова
Про один клас модулiв над цiлочисельними груповими кiльцями
розв’язних груп
Дослiджено ZG-модуль A такий, що Z — кiльце цiлих чисел, A/CA(G) не є мiнiмаксним
Z-модулем, CG(A) = 1, G — розв’язна група. Розглянуто систему Lnm(G) усiх пiдгруп
H 6 G, для яких фактормодулi A/CA(H) не є мiнiмаксними Z-модулями. Вивчено ZG-мо-
дуль A такий, що Lnm(G) задовольняє умову максимальностi як упорядкована множина.
Описано структуру розв’язної групи G, яка задовольняє цi умови.
O.Yu. Dashkova
On a one class of modules over integer-valued group rings of soluble
groups
Let A be a ZG-module, where Z is a ring of integers, A/CA(G) is not a minimax Z-module,
CG(A) = 1, G is a soluble group. Let Lnm(G) be a system of all subgroups H 6 G such that the
quotient modules A/CA(H) are not minimax Z-modules. The author studies the ZG-module A such
that Lnm(G) satisfies the maximal condition as an ordered set. The structure of a soluble group G
with these conditions is described.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 23
|