Про деякі зв'язки та узагальнення пронормальних підгруп
Отримано нові результати щодо зв'язків та узагальнень пронормальних підгруп. Зокрема, розглянуто групи, кожна циклічна підгрупа яких є самоспряжено-переставною. Наведено повний опис таких груп в деяких дуже широких класах груп, які містять в собі всі скінченні групи. Получены новые результаты о...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49343 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про деякі зв'язки та узагальнення пронормальних підгруп / Л.А. Курдаченко, О.О. Пипка, I.Я. Субботiн // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 24-27. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49343 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Курдаченко, Л.А. Пипка, О.О. Субботін, I.Я. 2013-09-16T19:38:39Z 2013-09-16T19:38:39Z 2012 Про деякі зв'язки та узагальнення пронормальних підгруп / Л.А. Курдаченко, О.О. Пипка, I.Я. Субботiн // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 24-27. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49343 512.544 Отримано нові результати щодо зв'язків та узагальнень пронормальних підгруп. Зокрема, розглянуто групи, кожна циклічна підгрупа яких є самоспряжено-переставною. Наведено повний опис таких груп в деяких дуже широких класах груп, які містять в собі всі скінченні групи. Получены новые результаты относительно связей и обобщений пронормальных подгрупп. В частности, рассмотрены группы, каждая циклическая подгруппа которых является самосопряженно-переставляемой. Приведено полное описание таких групп в некоторых очень широких классах групп, которые содержат в себе все конечные группы. New results concerning the connections and generalizations of pronormal subgroups are presented. In particular, we studied groups, in which every cyclic subgroup is self-conjugate-permutable. We obtained the full description of such groups in some very wide classes of groups which contain all finite groups. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про деякі зв'язки та узагальнення пронормальних підгруп О некоторых связях и обобщениях пронормальных подгрупп On some connections and generalizations of pronormal subgroups Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про деякі зв'язки та узагальнення пронормальних підгруп |
| spellingShingle |
Про деякі зв'язки та узагальнення пронормальних підгруп Курдаченко, Л.А. Пипка, О.О. Субботін, I.Я. Математика |
| title_short |
Про деякі зв'язки та узагальнення пронормальних підгруп |
| title_full |
Про деякі зв'язки та узагальнення пронормальних підгруп |
| title_fullStr |
Про деякі зв'язки та узагальнення пронормальних підгруп |
| title_full_unstemmed |
Про деякі зв'язки та узагальнення пронормальних підгруп |
| title_sort |
про деякі зв'язки та узагальнення пронормальних підгруп |
| author |
Курдаченко, Л.А. Пипка, О.О. Субботін, I.Я. |
| author_facet |
Курдаченко, Л.А. Пипка, О.О. Субботін, I.Я. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2012 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
О некоторых связях и обобщениях пронормальных подгрупп On some connections and generalizations of pronormal subgroups |
| description |
Отримано нові результати щодо зв'язків та узагальнень пронормальних підгруп. Зокрема, розглянуто групи, кожна циклічна підгрупа яких є самоспряжено-переставною. Наведено повний опис таких груп в деяких дуже широких класах груп, які містять в собі всі скінченні групи.
Получены новые результаты относительно связей и обобщений пронормальных подгрупп. В частности, рассмотрены группы, каждая циклическая подгруппа которых является самосопряженно-переставляемой. Приведено полное описание таких групп в некоторых очень широких классах групп, которые содержат в себе все конечные группы.
New results concerning the connections and generalizations of pronormal subgroups are presented. In particular, we studied groups, in which every cyclic subgroup is self-conjugate-permutable. We obtained the full description of such groups in some very wide classes of groups which contain all finite groups.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49343 |
| citation_txt |
Про деякі зв'язки та узагальнення пронормальних підгруп / Л.А. Курдаченко, О.О. Пипка, I.Я. Субботiн // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 24-27. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT kurdačenkola prodeâkízvâzkitauzagalʹnennâpronormalʹnihpídgrup AT pipkaoo prodeâkízvâzkitauzagalʹnennâpronormalʹnihpídgrup AT subbotíniâ prodeâkízvâzkitauzagalʹnennâpronormalʹnihpídgrup AT kurdačenkola onekotoryhsvâzâhiobobŝeniâhpronormalʹnyhpodgrupp AT pipkaoo onekotoryhsvâzâhiobobŝeniâhpronormalʹnyhpodgrupp AT subbotíniâ onekotoryhsvâzâhiobobŝeniâhpronormalʹnyhpodgrupp AT kurdačenkola onsomeconnectionsandgeneralizationsofpronormalsubgroups AT pipkaoo onsomeconnectionsandgeneralizationsofpronormalsubgroups AT subbotíniâ onsomeconnectionsandgeneralizationsofpronormalsubgroups |
| first_indexed |
2025-11-25T20:39:14Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:39:14Z |
| _version_ |
1850527811340599296 |
| fulltext |
УДК 512.544
© 2012
Л.А. Курдаченко, О. О. Пипка, I.Я. Субботiн
Про деякi зв’язки та узагальнення пронормальних
пiдгруп
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В. П. Моторним)
Отримано новi результати щодо зв’язкiв та узагальнень пронормальних пiдгруп. Зо-
крема, розглянуто групи, кожна циклiчна пiдгрупа яких є самоспряжено-переставною.
Наведено повний опис таких груп в деяких дуже широких класах груп, якi мiстять
в собi всi скiнченнi групи.
При вивченнi рiзноманiтних властивостей груп природним чином виникали рiзнi важли-
вi типи пiдгруп. Так, наприклад, при вивченнi властивостей силовських та холлiвських
пiдгруп в скiнченних групах виник такий важливий тип пiдгруп, як пронормальнi. Пiд-
група H групи G називається пронормальною в G, якщо для кожного елемента g ∈ G
пiдгрупи H та Hg спряженi в пiдгрупi 〈H,Hg〉. Пронормальнi пiдгрупи були введенi до
розгляду Ф. Холлом. Пронормальнiсть виявилась досить тiсно пов’язаною з iншими важ-
ливими властивостями групи, зокрема, з такою суттєвою властивiстю, як нормальнiсть.
Група G називається T -групою, якщо кожна її субнормальна пiдгрупа є нормальною. Гру-
па G називається T -групою, якщо кожна пiдгрупа G є T -групою. Треба вiдзначити, що
T -групи вивчаються вже досить довгий перiод часу. Будова скiнченних розв’язних T -груп
була описана В. Гашюцем [1]. Зокрема, ним доведено, що кожна скiнченна розв’язна T -група
є T -групою. Зазначимо також, що скiнченна T -група є метабелевою. Нескiнченнi розв’язнi
T -групи та T -групи вивчалися Д. Робiнсоном [2]. T.A. Пенгом була отримана характери-
зацiя скiнченних T -груп за допомогою пронормальних пiдгруп. Вiн довiв у роботi [3], що
скiнченна група G є T -групою тодi i тiльки тодi, коли її кожна пiдгрупа є пронормаль-
ною. Треба зауважити, що у випадку нескiнченних груп це вже не так. Нескiнченнi групи,
кожна пiдгрупа яких є пронормальною, вивчалися М.Ф. Кузенним та I. Я. Субботiним [4].
З основного результату роботи [4] випливає, що клас нескiнченних перiодичних розв’язних
T -груп та клас нескiнченних перiодичних розв’язних груп, кожна пiдгрупа яких пронор-
мальна, є рiзними. В iншiй своїй роботi М.Ф. Кузенний та I.Я. Субботiн [5] довели, що класи
локально розв’язних T -груп та локально розв’язних груп, кожна циклiчна пiдгрупа яких
є пронормальною, збiгаються. Як виявилось, остання характеризацiя локально розв’язних
T -груп може бути розширена. Будемо говорити, що пiдгрупа H групи G є контранормаль-
ною в G, якщо HG = G. Пiдгрупа H групи G називається наближено пронормальною, якщо
NL(H) — контранормальна пiдгрупа в L для кожної пiдгрупи L, що мiстить у собi H. За-
значимо, що кожна пронормальна пiдгрупа є наближено пронормальною, але не навпаки.
У роботi [6] було доведено, що класи локально розв’язних T -груп та локально розв’язних
груп, усi циклiчнi пiдгрупи яких наближено пронормальнi, збiгаються. У данiй роботi ми
розглядатимемо iнше узагальнення пронормальних пiдгруп, що виникає iз цiлком iншої
тематики — з тематики, пов’язаної з властивiстю переставностi.
Нагадаємо, що пiдгрупа H групи G називається переставною в G, якщо HK = KH
для кожної пiдгрупи K групи G. У роботi [7] T. Фогуел ввiв до розгляду таке узагаль-
нення переставних пiдгруп. Пiдгрупа H групи G називається спряжено-переставною в G,
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
якщо HHg = HgH для кожного елемента g ∈ G. Нижченаведений тип пiдгруп є дуальним
до спряжено-переставних пiдгруп. Пiдгрупа H групи G називається самоспряжено-перес-
тавною, якщо H задовольняє таку умову: з рiвностi HHg = HgH завжди випливає, що
Hg = H. Поняття самоспряжено-переставної пiдгрупи виникло в роботi [8], у якiй були
отриманi деякi властивостi скiнченних груп, циклiчнi пiдгрупи яких є самоспряжено-пе-
реставними. У данiй роботi ми наводимо повний опис таких груп у дуже широкому класi
груп, який мiстить усi скiнченнi групи.
Нехай G — група, RLN — системи тих її нормальних пiдгруп, для яких вiдповiдна
факторгрупа G/H є локально нiльпотентною. Перетин
⋂
RLN = RLN усiх пiдгруп цiєї
системи називається локально нiльпотентним резидуалом групи G. Неважко довести, що
якщо група G є локально скiнченною, то факторгрупа G/RLN є локально нiльпотентною.
Перший основний результат роботи дає опис локально скiнченних груп, усi циклiчнi
пiдгрупи яких є самоспряжено-переставними.
Теорема 1. Нехай G — локально скiнченна група i L — її локально нiльпотентний ре-
зидуал. Якщо кожна циклiчна пiдгрупа G є самоспряжено-переставною, то мають мiсце
такi твердження:
(i) пiдгрупа L є абелевою;
(ii) 2 6∈ Π(L) та Π(L)
⋂
Π(G/L) = ∅;
(iii) факторгрупа G/L є дедекiндовою групою;
(iv) кожна пiдгрупа CG(L) є G-iнварiантною.
Навпаки, якщо група G задовольняє умови (i)-(iv), то кожна пiдгрупа G є самоспря-
жено-переставною.
Наслiдок 1. Нехай G — локально скiнченна група. Якщо кожна циклiчна пiдгрупа G
самоспряжено-переставна, то комутант групи G є абелевою пiдгрупою.
Розглянемо тепер деякi неперiодичнi групи, всi циклiчнi пiдгрупи яких є самоспряже-
но-переставними.
Група G називається узагальнено радикальною, якщо вона має зростаючий ряд, фактори
якого локально нiльпотентнi або локально скiнченнi.
Вiдзначимо, що перiодичнi узагальнено радикальнi групи будуть локально скiнченними,
а тому i перiодичнi локально узагальнено радикальнi групи будуть локально скiнченними.
Теорема 2. Нехай G — неперiодична локально узагальнено радикальна група. Якщо
кожна циклiчна пiдгрупа G самоспряжено-переставна, то або G є абелевою, або G = R〈b〉,
де R — нормальна абелева пiдгрупа, b2 ∈ R та ab = a−1 для кожного елемента a ∈ R.
Бiльш того, у другому випадку мають мiсце такi твердження:
(i) якщо b2 = 1, то силовська 2-пiдгрупа D пiдгрупи R є елементарною абелевою;
(ii) якщо b2 6= 1, то або D є елементарною абелевою, або D = E × 〈v〉, де E — елемен-
тарна абелева, а 〈b, v〉 — це група кватернiонiв.
Навпаки, якщо група G має вказану структуру, то кожна її циклiчна пiдгрупа є са-
моспряжено-переставною.
Наслiдок 2. Нехай G — неперiодична локально узагальнено радикальна група. Кожна
циклiчна пiдгрупа G є самоспряжено-переставною тодi i тiльки тодi, коли G є абелевою
групою.
Ми можемо отримати опис будови груп, усi пiдгрупи яких є самоспряжено-переставни-
ми, для бiльш широкого класу груп.
Група G називається локально ступiнчатою, якщо кожна її скiнченно породжена пiд-
група має власну пiдгрупу скiнченного iндексу.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 25
Теорема 3. Нехай G — локально ступiнчата група i L — її локально нiльпотентний
резидуал.
(А) Якщо G неперiодична, то кожна пiдгрупа G самоспряжено-переставна тодi i тiль-
ки тодi, коли G є абелевою.
(B) Якщо G є перiодичною, то кожна пiдгрупа G є самоспряжено-переставною тодi
i тiльки тодi, коли мають мiсце такi умови:
(i) пiдгрупа L є абелевою;
(ii) 2 6∈ Π(L) та Π(L)
⋂
Π(G/L) = ∅;
(iii) факторгрупа G/L є дедекiндовою групою;
(iv) кожна пiдгрупа CG(L) є G-iнварiантною.
Нижченаведений результат вказує на зв’язок самоспряжено-переставних пiдгруп та про-
нормальних пiдгруп.
Твердження. Нехай G — група i L — пронормальна пiдгрупа G. Тодi L є самоспря-
жено-переставною пiдгрупою G.
Обернене твердження в загальному випадку невiрне. Розглянемо приклад, що iлюструє
це. Нехай G — спецiальна унiтарна група всiх 3×3 матриць над полем F9 порядку 9. Ця гру-
па є простою та має порядок 6048. Мультиплiкативна група U(F9) цього поля є циклiчною.
Нехай g — такий елемент, що 〈g〉 = U(F9). Позначимо через K пiдгрупу, що породжується
такими матрицями:
0 0 1
0 g4 g4
1 g4 1
,
0 0 g4
0 g4 0
g4 0 0
.
Пiдгрупа K є самоспряжено-переставною, але не пронормальною. Її порядок дорiвнює 6.
Також вiдзначимо, що вона є розв’язною, але не нiльпотентною.
Наслiдок 3 [9]. Нехай G — локально ступiнчата група. Якщо G неперiодична, то
кожна пiдгрупа G є пронормальною тодi i тiльки тодi, коли G є абелевою.
Наслiдок 4 [4]. Нехай G — локально розв’язна група. Якщо G — неперiодична, то
кожна пiдгрупа G є пронормальною тодi i тiльки тодi, коли G є абелевою.
1. Gaschütz W. Gruppen in denen das Normalreilersein transitiv ist // J. Reine Angew. Math. – 1957. –
198. – P. 87–92.
2. Robinson D. J. S. Groups in which normality is a transitive relation // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1964. –
60. – P. 21–38.
3. Peng T.A. Finite groups with pronormal subgroups // Proc. Amer. Math. Soc. – 1969. – 20. – P. 232–234.
4. Кузенный Н.Ф., Субботин И.Я. Группы, в которых все подгруппы пронормальны // Укр. мат.
журн. – 1987. – 39, № 3. – С. 325–329.
5. Кузенный Н.Ф., Субботин И.Я. Локально разрешимые группы, в которых все бесконечные подгруп-
пы пронормальны // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. – 1988. – 11. – С. 77–79.
6. Kurdachenko L.A., Russo A., Vincenzi G. On some groups all subgroups of which are near to pronormal //
Ukr. Math. J. – 2007. – 59. – P. 1332–1339.
7. Foguel T. Conjugate-permutable subgroups // J. Algebra. – 1997. – 191, No 1. – P. 235–239.
8. Li S., Meng Z. Groups with conjugate-permutable conditions // Math. Proc. Royal Irish Academy. – 2007. –
107A. – P. 115–121.
9. Robinson D. J. S., Russo A., Vincenzi G. On groups which contain no HNN-extensions // Int. J. Algebra
Computat. – 2007. – 17, No 7. – P. 1377–1387.
Надiйшло до редакцiї 12.04.2011Днiпропетровський нацiональний унiверситет
iм. Олеся Гончара
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
Л.А. Курдаченко, А. А. Пыпка, И.Я. Субботин
О некоторых связях и обобщениях пронормальных подгрупп
Получены новые результаты относительно связей и обобщений пронормальных подгрупп.
В частности, рассмотрены группы, каждая циклическая подгруппа которых является са-
мосопряженно-переставляемой. Приведено полное описание таких групп в некоторых очень
широких классах групп, которые содержат в себе все конечные группы.
L.A. Kurdachenko, A. A. Pypka, I. Ya. Subbotin
On some connections and generalizations of pronormal subgroups
New results concerning the connections and generalizations of pronormal subgroups are presented.
In particular, we studied groups, in which every cyclic subgroup is self-conjugate-permutable. We
obtained the full description of such groups in some very wide classes of groups which contain all
finite groups.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 27
|