Наближене обчислення 3 D коефіцієнтів Фур'є на класі диференційовних функцій за допомогою сплайн-інтерфлетації
Пропонуються та досліджуються кубатурні формули обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є з використанням інтерфлетації на класі функцій, у яких |f^(r,0,0)(x,y,z)|≤M, |f^(0,r,0)(x,y,z)|≤M, |f^(0,0,r)(x,y,z)|≤M, |f^(r,r,r)(x,y,z)|≤M~, r=1,2. Інформацію про функцію задано слідами на системі взаємоперпенди...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49349 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Наближене обчислення 3 D коефіцієнтів Фур'є на класі диференційовних функцій за допомогою сплайн-інтерфлетації / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвiтер // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 45-50. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49349 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. 2013-09-16T19:45:10Z 2013-09-16T19:45:10Z 2012 Наближене обчислення 3 D коефіцієнтів Фур'є на класі диференційовних функцій за допомогою сплайн-інтерфлетації / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвiтер // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 45-50. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49349 621.391:517.518:510.52 Пропонуються та досліджуються кубатурні формули обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є з використанням інтерфлетації на класі функцій, у яких |f^(r,0,0)(x,y,z)|≤M, |f^(0,r,0)(x,y,z)|≤M, |f^(0,0,r)(x,y,z)|≤M, |f^(r,r,r)(x,y,z)|≤M~, r=1,2. Інформацію про функцію задано слідами на системі взаємоперпендикулярних площин. Доводиться, що оцінку похибки кубатурної формули можна виразити через відповідні оцінки похибки квадратурних формул. Предлагаются и исследуются кубатурные формулы вычисления 3D коэффициентов Фурье с использованием интерфлетации на классе функций, где |f^(r,0,0)(x,y,z)|≤M, |f^(0,r,0)(x,y,z)|≤M, |f^(0,0,r)(x,y,z)|≤M, |f^(r,r,r)(x,y,z)|≤M~, r=1,2. Информацию о функции задано следами на системе взаимоперпендикулярных плоскостей. Доказывается, что оценку погрешности кубатурной формулы можно выразить через соответствующие оценки погрешности квадратурных формул. Cubature formulas for the calculation of 3D Fourier coefficients are presented by using the interflatation in the case where information about a function is set on the class |f^(r,0,0)(x,y,z)|≤M, |f^(0,r,0)(x,y,z)|≤M, |f^(0,0,r)(x,y,z)|≤M, |f^(r,r,r)(x,y,z)|≤M~, r=1,2. The error of the cubature formulas is evaluated by the errors of quadrature formulas. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Наближене обчислення 3 D коефіцієнтів Фур'є на класі диференційовних функцій за допомогою сплайн-інтерфлетації Приближенное вычисление 3D коэффициентов Фурье на классе дифференцированных функций с помощью сплайн-интерфлетации The approximate calculation of 3D Fourier coefficients on a class of differentiable functions with the use of a spline-interflatation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Наближене обчислення 3 D коефіцієнтів Фур'є на класі диференційовних функцій за допомогою сплайн-інтерфлетації |
| spellingShingle |
Наближене обчислення 3 D коефіцієнтів Фур'є на класі диференційовних функцій за допомогою сплайн-інтерфлетації Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. Інформатика та кібернетика |
| title_short |
Наближене обчислення 3 D коефіцієнтів Фур'є на класі диференційовних функцій за допомогою сплайн-інтерфлетації |
| title_full |
Наближене обчислення 3 D коефіцієнтів Фур'є на класі диференційовних функцій за допомогою сплайн-інтерфлетації |
| title_fullStr |
Наближене обчислення 3 D коефіцієнтів Фур'є на класі диференційовних функцій за допомогою сплайн-інтерфлетації |
| title_full_unstemmed |
Наближене обчислення 3 D коефіцієнтів Фур'є на класі диференційовних функцій за допомогою сплайн-інтерфлетації |
| title_sort |
наближене обчислення 3 d коефіцієнтів фур'є на класі диференційовних функцій за допомогою сплайн-інтерфлетації |
| author |
Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. |
| author_facet |
Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. |
| topic |
Інформатика та кібернетика |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| publishDate |
2012 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Приближенное вычисление 3D коэффициентов Фурье на классе дифференцированных функций с помощью сплайн-интерфлетации The approximate calculation of 3D Fourier coefficients on a class of differentiable functions with the use of a spline-interflatation |
| description |
Пропонуються та досліджуються кубатурні формули обчислення 3D коефіцієнтів Фур'є з використанням інтерфлетації на класі функцій, у яких |f^(r,0,0)(x,y,z)|≤M, |f^(0,r,0)(x,y,z)|≤M, |f^(0,0,r)(x,y,z)|≤M, |f^(r,r,r)(x,y,z)|≤M~, r=1,2. Інформацію про функцію задано слідами на системі взаємоперпендикулярних площин. Доводиться, що оцінку похибки кубатурної формули можна виразити через відповідні оцінки похибки квадратурних формул.
Предлагаются и исследуются кубатурные формулы вычисления 3D коэффициентов Фурье с использованием интерфлетации на классе функций, где |f^(r,0,0)(x,y,z)|≤M, |f^(0,r,0)(x,y,z)|≤M, |f^(0,0,r)(x,y,z)|≤M, |f^(r,r,r)(x,y,z)|≤M~, r=1,2. Информацию о функции задано следами на системе взаимоперпендикулярных плоскостей. Доказывается, что оценку погрешности кубатурной формулы можно выразить через соответствующие оценки погрешности квадратурных формул.
Cubature formulas for the calculation of 3D Fourier coefficients are presented by using the interflatation in the case where information about a function is set on the class |f^(r,0,0)(x,y,z)|≤M, |f^(0,r,0)(x,y,z)|≤M, |f^(0,0,r)(x,y,z)|≤M, |f^(r,r,r)(x,y,z)|≤M~, r=1,2. The error of the cubature formulas is evaluated by the errors of quadrature formulas.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49349 |
| citation_txt |
Наближене обчислення 3 D коефіцієнтів Фур'є на класі диференційовних функцій за допомогою сплайн-інтерфлетації / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвiтер // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 45-50. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT litvinom nabliženeobčislennâ3dkoefícíêntívfurênaklasídiferencíiovnihfunkcíizadopomogoûsplainínterfletacíí AT nečuivíterop nabliženeobčislennâ3dkoefícíêntívfurênaklasídiferencíiovnihfunkcíizadopomogoûsplainínterfletacíí AT litvinom približennoevyčislenie3dkoéfficientovfurʹenaklassedifferencirovannyhfunkciispomoŝʹûsplaininterfletacii AT nečuivíterop približennoevyčislenie3dkoéfficientovfurʹenaklassedifferencirovannyhfunkciispomoŝʹûsplaininterfletacii AT litvinom theapproximatecalculationof3dfouriercoefficientsonaclassofdifferentiablefunctionswiththeuseofasplineinterflatation AT nečuivíterop theapproximatecalculationof3dfouriercoefficientsonaclassofdifferentiablefunctionswiththeuseofasplineinterflatation |
| first_indexed |
2025-11-27T05:23:05Z |
| last_indexed |
2025-11-27T05:23:05Z |
| _version_ |
1850798257970610176 |
| fulltext |
УДК 621.391:517.518:510.52
© 2012
О.М. Литвин, О. П. Нечуйвiтер
Наближене обчислення 3 D коефiцiєнтiв Фур’є на класi
диференцiйовних функцiй за допомогою
сплайн-iнтерфлетацiї
(Представлено академiком НАН України I. В. Сергiєнком)
Пропонуються та дослiджуються кубатурнi формули обчислення 3D коефiцiєнтiв
Фур’є з використанням iнтерфлетацiї на класi функцiй, у яких |f (r,0,0)(x, y, z)| 6 M ,
|f (0,r,0)(x, y, z)| 6 M , |f (0,0,r)(x, y, z)| 6 M , |f (r,r,r)(x, y, z)| 6 M̃ , r = 1, 2. Iнформацiю про
функцiю задано слiдами на системi взаємоперпендикулярних площин. Доводиться, що
оцiнку похибки кубатурної формули можна виразити через вiдповiднi оцiнки похибки
квадратурних формул.
На даний час методи комп’ютерної томографiї є найбiльш ефективними методами дослiд-
ження внутрiшньої структури тривимiрного тiла без його руйнування. При розв’язаннi за-
дачi тривимiрної комп’ютерної томографiї використовується метод, який узагальнює пря-
мий метод Фур’є з двовимiрного на тривимiрний випадок. В цьому методi шукана функцiя
вiд трьох змiнних наводиться у виглядi ряду Фур’є. Вибiр методу при розв’язаннi задачi
наближеного обчислення коефiцiєнтiв цього ряду пояснюється видом задання початкових
даних. У випадку, коли данi — це слiди функцiї на площинах, для наближеного обчислен-
ня 3D коефiцiєнтiв Фур’є будуються кубатурнi формули з використанням iнтерфлетацiї
функцiй [1].
В [2, 3] викладений загальний пiдхiд до побудови операторiв фiнiтного тривимiрного
дискретно-неперервного i дискретного перетворення Фур’є на основi методу Файлона, три-
лiнiйних сплайнiв (лiнiйних за кожною змiнною) та сплайн-iнтерфлетацiї на класi дифе-
ренцiйовних функцiй у випадку, коли заданi значення функцiї у вузлах. Випадок, коли
данi — це слiди функцiї на площинах, розглядається вперше. Показано, що оцiнку похибки
кубатурної формули можна виразити через вiдповiднi похибки квадратурних формул.
Отже, метою даної работи є: 1) побудова кубатурних формул для обчислення 3D коефi-
цiєнтiв Фур’є з використанням iнтерфлетацiї функцiй на класi дiйсних функцiй трьох змiн-
них, визначених на G = [0, 1]3:
|f (r,0,0)(x, y, z)| 6 M, |f (0,r,0)(x, y, z)| 6 M, |f (0,0,r)(x, y, z)| 6 M,
|f (r,r,r)(x, y, z)| 6 M̃, r = 1, 2,
у випадку, коли iнформацiя про функцiю задана її слiдами на площинах xk = k∆, yj = j∆,
zs = s∆, k, j, s = 0, ℓ, ∆ = 1/ℓ; 2) показати, що оцiнку похибки побудованих кубатурних
формул можна виразити через вiдповiднi похибки квадратурних формул. Для досягнення
цiєї мети доводяться допомiжнi твердження.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 45
Лема 1. Нехай g(x) ∈ C[0, 1], |g′(x)| 6 M . Для функцiї однiєї змiнної справедлива
нерiвнiсть:
∣∣∣∣∣
ℓ−1∑
k=0
xk+1∫
xk
(g(x) − Skg(x)) sin 2πmxdx
∣∣∣∣∣ 6 M
∆
3
,
де
Skg(x) = g(xk)
x− xk+1
−∆
− g(xk+1)
x− xk
∆
, x ∈ [xk, xk+1], xk = k∆, ∆ =
1
ℓ
.
Лема 2. Нехай g(x) ∈ C2[0, 1], |g′′(x)| 6 M . Для функцiї однiєї змiнної справедлива
нерiвнiсть:
∣∣∣∣∣
ℓ−1∑
k=0
xk+1∫
xk
(g(x) − Skg(x)) sin 2πmxdx
∣∣∣∣∣ 6 M
∆2
12
,
де x ∈ [xk, xk+1], xk = k∆, ∆ = 1/ℓ.
Нехай pk(x), pj(y), ps(z) — базиснi сплайни порядку 0,1,2,3 з властивостями
pk(xα) = δαk, pj(yβ) = δβj , ps(zγ) = δγs, α, β, γ = 0, ℓ.
Розглянемо оператори
O1f(x, y, z) =
ℓ∑
k=0
f(xk, y, z)pk(x), O2f(x, y, z) =
ℓ∑
j=0
f(x, yj, z)pj(y),
O3f(x, y, z) =
ℓ∑
s=0
f(x, y, zs)ps(z), k, j, s ∈ 0, ℓ.
Оператор сплайн-iнтерфлетант Of(x, y, z) виражається через оператори Oµf(x, y, z), µ =
= 1, 2, 3, таким чином:
Of(x, y, z) = O1f(x, y, z) +O2f(x, y, z) +O3f(x, y, z)−
−O1O2f(x, y, z)−O2O3f(x, y, z)−O1O3f(x, y, z) +O1O2O3f(x, y, z).
Лема 3. Для залишку R(f) справедлива рiвнiсть
R(f) =
1∫
0
1∫
0
1∫
0
(f(x, y, z)−Of(x, y, z)) sin 2πmxdx sin 2πnydy sin 2πpzdz =
= R̃1R̃2R̃3f(x, y, z),
R̃1(f ; y, z) =
1∫
0
(f(x, y, z) −O1f(x, y, z)) sin 2πmxdx,
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
R̃2(f ;x, z) =
1∫
0
(f(x, y, z) −O2f(x, y, z)) sin 2πnydy,
R̃3(f ;x, y) =
1∫
0
(f(x, y, z)−O3f(x, y, z)) sin 2πpzdz.
Далi як pk(x), pj(y), ps(z) будемо розглядати лiнiйнi базиснi сплайни. Введемо позна-
чення
h10(x) =
{ x− x1
−∆
, x0 6 x < x1,
0, x > x1,
h20(y) =
{ y − y1
−∆
, y0 6 y < y1,
0, y > y1,
h30(z) =
{ z − z1
−∆
, z0 6 z < z1,
0, z > z1,
h1k(x) =
0, x 6 xk−1,
x− xk−1
∆
, xk−1 < x < xk,
x− xk+1
−∆
, xk 6 x < xk+1,
0, x > xk+1,
k = 1, ℓ− 1;
h2j(y) =
0, y 6 yj−1,
y − yj−1
∆
, yj−1 < y < yj,
y − yj+1
−∆
, yj 6 y < yj+1,
0, y > yj+1,
j = 1, ℓ− 1;
h3s(z) =
0, z 6 zs−1,
z − zs−1
∆
, zs−1 < z < zs,
z − zs+1
−∆
, zs 6 z < zs+1,
0, z > zs+1,
s = 1, ℓ− 1;
h1ℓ(x) =
0, x 6 xℓ−1,
x− xℓ
∆
, xℓ−1 < x < xℓ,
h2ℓ(y) =
0, y 6 yℓ−1,
y − yℓ
∆
, yℓ−1 < y < yℓ,
h3ℓ(z) =
0, z 6 zℓ−1,
z − zℓ
∆
, zℓ−1 < z < zℓ,
xk = k∆, yj = j∆, zs = s∆, ∆ =
1
ℓ
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 47
Нехай Of(x, y, z) — оператор сплайн-iнтерфлетант
Of(x, y, z) =
ℓ∑
k=0
f(xk, y, z)h1k(x) +
ℓ∑
j=0
f(x, yj, z)h2j(y) +
ℓ∑
s=0
f(x, y, zs)h3s(z)−
−
ℓ∑
k=0
ℓ∑
j=0
f(xk, yj, z)h1k(x)h2j(y)−
ℓ∑
k=0
ℓ∑
s=0
f(xk, y, zs)h1k(x)h3s(z)−
−
ℓ∑
j=0
ℓ∑
s=0
f(x, yj, zs)h2j(y)h3s(z) +
ℓ∑
k=0
ℓ∑
j=0
ℓ∑
s=0
f(xk, yj , zs)h1k(x)h2j(y)h3s(z).
Лема 4 [1]. Для Of(x, y, z) виконуються такi властивостi:
1) |f(x, y, z)−Of(x, y, z)| = O
(
1
ℓ3r
)
= O(∆3r), ∀ (x, y, z) ∈ G = [0, 1]3, r = 1, 2;
2) Of(xk, y, z) = f(xk, y, z), Of(x, yj, z) = f(x, yj, z),
Of(x, y, zs) = f(x, y, zs), k, j, s = 0, ℓ.
Для обчислення iнтегралiв
I31 (m,n, p) =
1∫
0
1∫
0
1∫
0
f(x, y, z) sin 2πmx sin 2πny sin 2πpzdxdydz,
I32 (m,n, p) =
1∫
0
1∫
0
1∫
0
f(x, y, z) cos 2πmx cos 2πny cos 2πpzdxdydz,
I33 (m,n, p) =
1∫
0
1∫
0
1∫
0
f(x, y, z)e−i2πmxe−i2πnye−i2πpzdxdydz
пропонуються формули:
Φ3
1(m,n, p) =
1∫
0
1∫
0
1∫
0
Of(x, y, z) sin 2πmx sin 2πny sin 2πpzdxdydz,
Φ3
2(m,n, p) =
1∫
0
1∫
0
1∫
0
Of(x, y, z) cos 2πmx cos 2πny cos 2πpzdxdydz,
Φ3
3(m,n, p) =
1∫
0
1∫
0
1∫
0
Of(x, y, z)e−i2πmxe−i2πnye−i2πpzdxdydz.
Теорема. Для кубатурної формули Φ3
1(m,n, p) обчислення I31 (m,n, p) справедлива така
оцiнка при r = 1, 2:
|R(f)| 6
8M̃
[(r + 2)!]3
∆3r =
8M̃
[(r + 2)!]3
1
ℓ3r
.
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
Тобто при r = 1, |R̃1| 6 M∆/3 (лема 1), а за лемою 3 маємо
|R(f)| 6 M̃
∆3
33
=
M̃
27ℓ3
,
при r = 2, |R̃1| 6 M∆2/12 (лема 2) i за лемою 3
|R(f)| 6 M̃
∆6
123
=
M̃
1728ℓ6
.
Наведемо результати чисельного експерименту. Розглянемо функцiю
f(x, y, z) =
1
4
(sin(2x+ 2y − 2z) + sin(2x+ 2z − 2y) + sin(2z + 2y − 2x)−
− sin(2x+ 2y + 2z)),
у якої
|f (1,0,0)(x, y, z)| 6 2, |f (0,1,0)(x, y, z)| 6 2, |f (0,0,1)(x, y, z)| 6 2, |f (1,1,1)(x, y, z)| 6 8.
Обчислюючи iнтеграл I31 (1, 2, 3) за кубатурою формулою Φ3
1(1, 2, 3) при ℓ = 19, маємо
|R(f)| = |I31 (1, 2, 3) − Φ3
1(1, 2, 3)| = | − 0,000583286650235 + 0,000583286649765| =
= 4,7 · 10−13.
Функцiю f(x, y, z) можна подати у виглядi
f(x, y, z) = sin 2x sin 2y sin 2z,
тому якщо взяти за g(u) = sin 2u, u = x, y, z, то можна при ℓ = 19 отримати такi результати
обчислень для
R̃i(g, u, s) =
∣∣∣∣∣
ℓ−1∑
k=0
uk+1∫
uk
(g(u) − Skg(u)) sin 2πsudu
∣∣∣∣∣, i = 1, 2, 3,
тобто
R̃1(g, x, 1) = 0,000148883597615, R̃2(g, y, 2) = 0,000069018217309,
R̃3(g, z, 3) = 0,00004578277933.
Отже,
|R(f)| = |I31 (1, 2, 3) − Φ3
1(1, 2, 3)| = R̃1(g, x, 1)R̃2(g, y, 2)R̃3(g, z, 3) =
= 0,000148883597615 · 0,000069018217309 · 0,00004578277933 = 4,7 · 10−13.
Чисельний експеримент пiдтверджує теоретичнi твердження роботи.
Таким чином, в роботi дослiджено кубатурнi формули обчислення 3D коефiцiєнтiв
Фур’є з використанням iнтерфлетацiї на класi функцiй, у яких |f (r,0,0)(x, y, z)| 6 M ,
|f (0,r,0)(x, y, z)| 6 M , |f (0,0,r)(x, y, z)| 6 M , |f (r,r,r)(x, y, z)| 6 M̃ , r = 1, 2. Iнформацiю про
функцiю задано слiдами на системi взаємоперпендикулярних площин. Доведено, що оцiн-
ку похибки кубатурної формули можна виразити через вiдповiднi похибки квадратурних
формул.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 49
1. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя функцiй та деякi її застосування. – Харкiв: Основа, 2002. – 544 с.
2. Литвин О.М., Удовиченко В.М. Оператори фiнiтного тривимiрного перетворення Фур’є // Радио-
электроника и информатика. – 2004. – № 4(29). – С. 130–133.
3. Литвин О.М., Удовиченко В.М. Тривимiрнi фiнiтнi перетворення Фур’є та Хартлi з використанням
iнтерфлетацiї функцiй // Вестн. Нац. техн. ун-та “ХПИ”. Сб. науч. тр. Темат. вып. “Автоматика и
приборостроение”. № 38. – Харьков, 2005. – С. 90–130.
Надiйшло до редакцiї 11.05.2011Українська iнженерно-педагогiчна академiя, Харкiв
О.H. Литвин, О.П. Нечуйвитер
Приближенное вычисление 3D коэффициентов Фурье на классе
дифференцированных функций с помощью сплайн-интерфлетации
Предлагаются и исследуются кубатурные формулы вычисления 3D коэффициентов Фу-
рье с использованием интерфлетации на классе функций, где |f (r,0,0)(x, y, z)| 6 M ,
|f (0,r,0)(x, y, z)| 6 M , |f (0,0,r)(x, y, z)| 6 M , |f (r,r,r)(x, y, z)| 6 M̃ , r = 1, 2. Информацию о функ-
ции задано следами на системе взаимоперпендикулярных плоскостей. Доказывается, что
оценку погрешности кубатурной формулы можно выразить через соответствующие оцен-
ки погрешности квадратурных формул.
O.N. Lytvyn, O.P. Nechuiviter
The approximate calculation of 3D Fourier coefficients on a class of
differentiable functions with the use of a spline-interflatation
Cubature formulas for the calculation of 3D Fourier coefficients are presented by using the inter-
flatation in the case where information about a function is set on the class |f (r,0,0)(x, y, z)| 6 M ,
|f (0,r,0)(x, y, z)| 6 M , |f (0,0,r)(x, y, z)| 6 M , |f (r,r,r)(x, y, z)| 6 M̃ , r = 1, 2. The error of the
cubature formulas is evaluated by the errors of quadrature formulas.
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
|