Експоненціальна поведінка розв'язку диференціально-різницевого рівняння з напівмарковськими збуреннями
Розглянуто експоненціальну поведінку розв'язку диференціально-різницевого рівняння з напівмарковськими збуреннями. Одержано необхідні та достатні умови експоненціальної стійкості у середньому квадратичному тривіального розв'язку. Рассмотрено экспоненциальное поведение решения дифференциаль...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49352 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Експоненціальна поведінка розв'язку диференціально-різницевого рівняння з напівмарковськими збуреннями / I.В. Малик // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 51-56. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860171885483917312 |
|---|---|
| author | Малик, І.В. |
| author_facet | Малик, І.В. |
| citation_txt | Експоненціальна поведінка розв'язку диференціально-різницевого рівняння з напівмарковськими збуреннями / I.В. Малик // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 51-56. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто експоненціальну поведінку розв'язку диференціально-різницевого рівняння з напівмарковськими збуреннями. Одержано необхідні та достатні умови експоненціальної стійкості у середньому квадратичному тривіального розв'язку.
Рассмотрено экспоненциальное поведение решения дифференциально-разностного уравнения с полумарковскими возмущениями. Получены необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном тривиального решения.
The exponential behavior of the solution of a differential-difference equation with semi-Markov perturbations is considered. The necessary and sufficient conditions for the exponential stability in mean square of a trivial solution are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:59:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21,519.217,519.718
© 2012
I. В. Малик
Експоненцiальна поведiнка розв’язку
диференцiально-рiзницевого рiвняння
з напiвмарковськими збуреннями
(Представлено академiком НАН України В. С. Королюком)
Розглянуто експоненцiальну поведiнку розв’язку диференцiально-рiзницевого рiвняння
з напiвмарковськими збуреннями. Одержано необхiднi та достатнi умови експонен-
цiальної стiйкостi у середньому квадратичному тривiального розв’язку.
У данiй роботi дослiджуються диференцiально-рiзницевi рiвняння з напiвмарковськи-
ми збуреннями (СДРРНЗ) в R
1. Рiвняння, що мiстять випадковi збурення коефiцiєнтiв
системи, вивчалися багатьма дослiдниками. Особливу увагу треба звернути на роботи
X. Mao, В.С. Королюка, Є.Ф. Царкова, Р. З. Хасьмiнського, Дж. Хейла, Л.Ю. Шайхе-
та, В.К. Ясинського та iн. [1–8]. Робота [9] присвячена випадку, коли зовнiшнє збурення є
дискретним ланцюгом Маркова. Мета даної роботи — доведення необхiдних та достатнiх
умов експоненцiальної стiйкостi в середньому квадратичному (l.i.m) СДРРНЗ у випадку,
коли зовнiшнє збурення є однорiдним у часi напiвмарковським процесом (НМП).
На ймовiрнiсному базисi (Ω, F,ℑ, P ) [10], де ℑ ≡ {Ft, t > 0} — потiк σ-алгебр, за-
дано випадковий процес x(t) := x(t, ω), який є сильним розв’язком стохастичного дифе-
ренцiально-рiзницевого рiвняння нейтрального типу, що мiстить напiвмарковськi збурення
(СДРРНЗ)
dDrxt = Lrxtdt+GrxtdW (t) (1)
та задовольняє невипадкову початкову умову
x0 = ϕ, (2)
причому W (t) := W (t, ω), t > 0, — одновимiрний вiнерiв процес; r(t), t > 0, — однорiдний
у часi НМП [3, 8], що набуває значень з множини X = {1, 2, . . . , N} та не залежить вiд
W (t). Згiдно з [3, 8], НМП задається процесом марковського вiдновлення (ПМВ)
{rn, τn}, n > 0,
тобто
r(t) := rν(t), (3)
ν(t) := max
n>0
(τn < t) — рахуючий процес; Dr, Lr, Gr — рiзницевi оператори [6], що залежать
вiд НМП r(t), t > 0, та задаються спiввiдношеннями
Drxt =
n∑
i=0
δi(r(t))x(t − τi), Lrxt =
n∑
i=0
li(r(t))x(t− τi),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 51
Grxt =
n∑
i=0
gi(r(t))x(t− τi),
де
0 = τ0 < τ1 < · · · < τn = h < ∞.
Для спрощення введемо позначення
δij = δj(r(t) = i), lij = lj(r(t) = i), gij = gj(r(t) = i).
Iснування та єдинiсть в l.i.m. сильного розв’язку задачi (1), (2) доведенi у роботi [8].
Означення 1. Стан i для НМП r(t), t > 0, назвемо експоненцiально стiйким, якщо
розв’язок СДРРНЗ (1) при r(t) ≡ i задовольняє нерiвнiсть
Ex2(t) 6 Me−kt,
де M > 0, k > 0.
Означення 2 [11]. Характеристичним показником (ХП) для функцiї f : R+ → R+ на-
звемо число (або символ +∞, −∞) λ, що визначається з рiвностi
λ : = lim
t→∞
|f(t)|
t
.
Для фiнiтної функцiї будемо вважати, що λ = −∞.
Означення 3 [3, 8]. НМП r(t), t > 0, називається ергодичним, якщо:
1) вкладений ланцюг Маркова (ВЛМ) {rn}n>0 є ергодичним зi стацiонарним розподiлом
{ρi}i∈X ;
2) математичне сподiвання часу перебування в кожному станi скiнченне, тобто
mi :=
∞∫
0
tdFi(t) < ∞, i ∈ X,
де Fi(t) = P{τ1 < t | r0 = i} — умовна функцiя розподiлу часу перебування в станi i.
Лема 1 [3, 12]. Нехай ВЛМ {rn}n>0 є ергодичним та виконуються такi умови:
1) математичне сподiвання часу перебування в кожному станi скiнченне:
mi :=
∞∫
0
tdFi(t) 6 C < ∞;
2) середнiй час перебування в станах ненульовий:
M :=
∑
i∈X
ρimi > 0. (4)
Тодi iснує стацiонарний розподiл НМП r(t), t > 0:
πi = lim
t→∞
P{r(t) = i | r(0) = j} =
ρimi
M
. (5)
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
Сформулюємо основний результат роботи:
Теорема 1. Нехай виконуються такi умови:
1) НМП r(t), t > 0, є ергодичним зi стацiонарним розподiлом {πj}j∈X , що визначе-
ний (5);
2) λi — ХП для рiвняння (1) при r(t) ≡ i.
Тодi необхiдною та достатньою умовою експоненцiальної стiйкостi в l.i.m. тривiаль-
ного розв’язку СДРРНЗ (1) є умова
Λ :=
N∑
i=1
λiπi < 0. (6)
Доведення. Позначимо через x(t; i) розв’язок рiвняння (1) при r(t) ≡ i. Зобразимо
x(t; i) таким чином:
x(t; i) = z(t; i)eλit. (7)
Згiдно з [4] та умовами теореми ∀ i ∈ X
lim
t→∞
lnEz2(t; i)
t
= 0.
На основi попередньої рiвностi ∀ ε > 0 ∃T := T (ε): ∀ t > T має мiсце спiввiдношення
kie
(λi−ε)t
6 Ex2(t; i) 6 Kie
(λi+ε)t.
Розглянемо функцiї
l(t) := ke
N∑
i=1
I{r(t)=i}(λi−ε)t
, L(t) := Ke
N∑
i=1
I{r(t)=i}(λi+ε)t
,
де
k = min
i∈X
ki, K = max
i∈X
Ki.
За умов iснування стацiонарного розподiлу для НМП r(t), t > 0, при t → ∞ маємо
спiввiдношення
l(t) := ke
N∑
i=1
πi(λi−ε)t
, L(t) := Ke
N∑
i=1
πi(λi+ε)t
.
Тобто для великих t за умов iснування стацiонарного розподiлу отримаємо
(t) 6 Ex2(t) 6 L(t). (8)
Достатнiсть. Нехай виконується (6), тобто Λ < 0. Тодi
0 6 lim
t→∞
Ex2(t) 6 lim
t→∞
Ke(Λ+ε)t = 0.
Необхiднiсть. Нехай тривiальний розв’язок рiвняння (1) експоненцiально стiйкий. Тодi
з нерiвностi (8) отримаємо
lim
t→∞
ln l(t)
t
6 lim
t→∞
lnEx2(t)
t
< 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 53
Але ln(l(t)/t) = Λ − ε, тому на пiдставi довiльностi ε > 0 маємо, що Λ < 0, тобто вико-
нується (6). Теорема 1 доведена.
Означення 4. Розв’язок рiвняння (1) назвемо експоненцiально нестiйким, якщо iснують
константи M > 0, k > 0 такi, що для ∀ t > 0
Ex2(t) > Mekt.
Позначимо через Lns ⊆ X множину нестiйких станiв НМП.
Наслiдок 1. Для того щоб тривiальний розв’язок рiвняння (1) був нестiйким, дос-
татньо, щоб
∑
i∈Lns
πi = 1. (9)
Доведення. Нехай виконується (9), тодi
Λ :=
N∑
i=1
λiπi =
∑
i∈Lns
λiπi > 0,
що i доводить наслiдок 1.
Наслiдок 2. Нехай
P{Lsn} = p < 1
та i0 — асимптотично стiйкий стан такий, що πi0 > 0. Тодi тривiальний розв’язок
рiвняння (1) буде асимптотично стiйким при
λi0 <
−
∑
i∈Lns
λiπi
πi0
.
Доведення. Оцiнимо ХП Λ:
Λ :=
N∑
i=1
λiπi 6
∑
i∈Lns
λiπi + λi0πi0 < 0.
Тобто
λi0 <
−
∑
i∈Lns
λiπi
πi0
,
що i потрiбно було довести.
Нехай умова 1 теореми 1 не виконується. Це означає, що рiвняння (1) може перетворю-
ватися в рiвняння випереджаючого типу. Тодi має мiсце
Лема 2. Для того щоб тривiальний розв’язок СДРРНЗ (1) був нестiйким в l.i.m.,
достатньо, щоб iснував стан i0, для якого πi0 > 0 та при r = i0 СДРРНЗ вироджувався
в рiвняння випереджаючого типу [13].
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
Доведення. Для стану i0 згiдно з [6, 13]
λi0 = +∞.
Тому
Λ = +∞.
Лема 2 доведена.
Таким чином, у роботi доведено необхiднi та достатнi умови експоненцiальної стiйкостi
в l.i.m. тривiального розв’язку стохастичного диференцiально-рiзницевого рiвняння з напiв-
марковськими збуреннями (1), сформульовано низку тверджень, що стосуються нестiйкостi
в l.i.m. розв’язку рiвняння (1), знайдено достатнi умови нестiйкостi рiвнянь змiшаного ти-
пу (лема 2).
Автор висловлює щиру вдячнiсть за увагу до даної роботи та цiннi поради проф. В.К. Ясинсь-
кому та акад. НАН України В.С. Королюку.
1. Kolmanovskia V., Koroleva N., Maizenberg T. et al. Neutral stochastic differential delay equations with
Markovian switching // Stochast. Anal. and Appl. – 2003. – 21, Is. 4. – P. 819–847.
2. Mao X. Stability of stochastic differential equations with Markovian switching // Stochast. Process. and
Appl. – 2002. – 79, No 1. – P. 45–67.
3. Koroliuk V. S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. – Singapore: World Scientific Publi-
shers, 2005. – 348 p.
4. Царков Є.Ф., Малик I.В. Асимптотична поведiнка розв’язку лiнiйних стохастичних диференцiаль-
но-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу // Доп. НАН України. – 2008. – № 7. – С. 52–57.
5. Хасминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайном возмущении
их параметров. – Москва: Наука, 1969. – 367 с.
6. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – Москва: Мир, 1984. – 421 с.
7. Mao X., Shaikhet L. Delay-dependent stability criteria for stochastic diferential delay equations wi-
th Markovian switching // Stability and Control: Theory and Application. – 2000. – 3, No 2. –
P. 88–102.
8. Королюк В.С., Царков Є.Ф., Ясинський В.К. Ймовiрнiсть, статистика та випадковi процеси. Теорiя
та комп’ютерна практика. В 3 т. Т. 3: Випадковi процеси. Теорiя та комп’ютерна практика. – Чернiвцi:
Золотi литаври, 2009. – 798 с.
9. Кольба Г.Й., Малик I.В. Диференцiально-рiзницевi рiвняння нейтрального типу з марковськи-
ми збуреннями // Наук. вiсн. Чернiвецьк. ун-ту: Зб. наук. праць. – 2010. – Вип. 501. –
С. 52–60.
10. Жакод Ж., Ширяєв А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов: В 2 т. – Москва: Физматлит,
1994. – Т. 2. – 473 с.
11. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – Москва: Наука, 1967. –
472 с.
12. Портенко Н.И., Скороход А. В., Шуренков В.М. Марковские процессы. – Киев: ВИНИТИ, 1989. –
248 с.
13. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения – Москва: Мир, 1967. – 545 с.
Надiйшло до редакцiї 18.05.2011Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 55
И.В. Малык
Экспоненциальное поведение решения
дифференциально-разностного уравнения с полумарковскими
возмущениями
Рассмотрено экспоненциальное поведение решения дифференциально-разностного уравнения
с полумарковскими возмущениями. Получены необходимые и достаточные условия экспо-
ненциальной устойчивости в среднем квадратичном тривиального решения.
I. V. Malyk
Exponential behavior of the solution of a differential-difference equation
with semi-Markov perturbations
The exponential behavior of the solution of a differential-difference equation with semi-Markov
perturbations is considered. The necessary and sufficient conditions for the exponential stability in
mean square of a trivial solution are obtained.
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49352 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:59:03Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Малик, І.В. 2013-09-16T19:48:10Z 2013-09-16T19:48:10Z 2012 Експоненціальна поведінка розв'язку диференціально-різницевого рівняння з напівмарковськими збуреннями / I.В. Малик // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 51-56. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49352 519.21,519.217,519.718 Розглянуто експоненціальну поведінку розв'язку диференціально-різницевого рівняння з напівмарковськими збуреннями. Одержано необхідні та достатні умови експоненціальної стійкості у середньому квадратичному тривіального розв'язку. Рассмотрено экспоненциальное поведение решения дифференциально-разностного уравнения с полумарковскими возмущениями. Получены необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном тривиального решения. The exponential behavior of the solution of a differential-difference equation with semi-Markov perturbations is considered. The necessary and sufficient conditions for the exponential stability in mean square of a trivial solution are obtained. Автор висловлює щиру вдячнiсть за увагу до даної роботи та цiннi поради проф. В.К. Ясинському та акад. НАН України В.С. Королюку. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Експоненціальна поведінка розв'язку диференціально-різницевого рівняння з напівмарковськими збуреннями Экспоненциальное поведение решения дифференциально-разностного уравнения с полумарковскими возмущениями Exponential behavior of the solution of a differential-difference equation with semi-Markov perturbations Article published earlier |
| spellingShingle | Експоненціальна поведінка розв'язку диференціально-різницевого рівняння з напівмарковськими збуреннями Малик, І.В. Інформатика та кібернетика |
| title | Експоненціальна поведінка розв'язку диференціально-різницевого рівняння з напівмарковськими збуреннями |
| title_alt | Экспоненциальное поведение решения дифференциально-разностного уравнения с полумарковскими возмущениями Exponential behavior of the solution of a differential-difference equation with semi-Markov perturbations |
| title_full | Експоненціальна поведінка розв'язку диференціально-різницевого рівняння з напівмарковськими збуреннями |
| title_fullStr | Експоненціальна поведінка розв'язку диференціально-різницевого рівняння з напівмарковськими збуреннями |
| title_full_unstemmed | Експоненціальна поведінка розв'язку диференціально-різницевого рівняння з напівмарковськими збуреннями |
| title_short | Експоненціальна поведінка розв'язку диференціально-різницевого рівняння з напівмарковськими збуреннями |
| title_sort | експоненціальна поведінка розв'язку диференціально-різницевого рівняння з напівмарковськими збуреннями |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49352 |
| work_keys_str_mv | AT malikív eksponencíalʹnapovedínkarozvâzkudiferencíalʹnoríznicevogorívnânnâznapívmarkovsʹkimizburennâmi AT malikív éksponencialʹnoepovedenierešeniâdifferencialʹnoraznostnogouravneniâspolumarkovskimivozmuŝeniâmi AT malikív exponentialbehaviorofthesolutionofadifferentialdifferenceequationwithsemimarkovperturbations |