О потере несущей способности вращающихся упруго-пластических дисков
Уточнен и развит способ расчета методом малого параметра возможной потери несущей способности плоского вращающегося диска. Получено в первом приближении характеристическое уравнение относительно критического радиуса пластической зоны. Уточнено і розвинуто спосіб розрахунку методом малого параметра м...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49355 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О потере несущей способности вращающихся упруго-пластических дисков / Д.М. Лила // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 65-71. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859763002527449088 |
|---|---|
| author | Лила, Д.М. |
| author_facet | Лила, Д.М. |
| citation_txt | О потере несущей способности вращающихся упруго-пластических дисков / Д.М. Лила // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 65-71. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Уточнен и развит способ расчета методом малого параметра возможной потери несущей способности плоского вращающегося диска. Получено в первом приближении характеристическое уравнение относительно критического радиуса пластической зоны.
Уточнено і розвинуто спосіб розрахунку методом малого параметра можливої втрати несучої здатності плоского диска, що обертається. Одержано у першому наближенні характеристичне рівняння відносно критичного радіуса пластичної зони.
A way of calculating the bearing capacity failure by a rotating plane disc is suggested with the help of the small parameter method. A characteristic equation for the critical radius of a plastic zone is obtained as the first approximation.
|
| first_indexed | 2025-12-02T04:39:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.36
© 2012
Д.М. Лила
О потере несущей способности вращающихся
упруго-пластических дисков
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком)
Уточнен и развит способ расчета методом малого параметра возможной потери не-
сущей способности плоского вращающегося диска. Получено в первом приближении ха-
рактеристическое уравнение относительно критического радиуса пластической зоны.
Анализ методов изучения неустойчивости вследствие исчерпания несущей способности
быстро вращающихся упруго-пластических дисков приведен в работе [1]. Предложенный
критерий определения допустимой угловой скорости вращения подтвержден методом ко-
нечных элементов. Отказ от привлечения теории малых деформаций оставляет в сторо-
не одни из первых аналитических результатов [2, 3] по определению критической угловой
скорости. Ниже излагается основанный на методе возмущений [3–6] способ определения
критической скорости вращения однородного и изотропного плоского кругового диска при
произвольном коэффициенте Пуассона. Обсуждается вопрос приложения результатов к ис-
следованию динамики возмущений.
Постановка задачи. Рассмотрим потерю несущей способности вращающегося сплош-
ного диска вследствие достижения пластической зоной его границы. Диск будем считать по
форме близким к круговому. Уравнение границы диска с точностью до бесконечно малых
первого порядка представим в виде
r = b+ d cosnθ, n > 2, d = const,
или
ρ = 1 + δ cosnθ, (1)
где b — радиус контурной окружности; ρ = r/b — безразмерный текущий радиус; δ —
малый параметр, n ∈ N; θ — полярный угол (рис. 1). Предел текучести обозначим σs,
плотность — γ, коэффициент Пуассона — ν, угловую скорость вращения — ω, текущий
радиус пластической зоны невозмущенного диска — r0. Требуется для описываемой зави-
симостью (1) формы границы диска получить в первом приближении характеристическое
уравнение с параметром δ для критического радиуса пластической зоны r∗0 и определить
соответствующую величину критической угловой скорости вращения ω∗.
Получение характеристического уравнения. Возмущенное состояние, приводящее
к потере несущей способности вращающегося диска по данному сценарию, можно считать
инициированным малыми возмущениями, вид которых определен решениями соответствую-
щих линеаризованных дифференциальных уравнений для неподвижной упругой кольцевой
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 65
Рис. 1. Потеря несущей способности сплошного диска по самоуравновешивающейся форме
пластины, нагруженной периодическими по θ усилиями на контуре. В общем виде уравне-
ниям для возмущений можно удовлетворить, если считать, что
σ′e
ρρ = (nAρn−2 + nBρ−n−2 + (n− 2)Cρn + (n+ 2)Dρ−n) cosnθ,
σ′e
θθ = (−nAρn−2 − nBρ−n−2 − (n+ 2)Cρn − (n− 2)Dρ−n) cos nθ,
σ′e
ρθ = (−nAρn−2 + nBρ−n−2 − nCρn + nDρ−n) sinnθ,
(2)
где σ′e
ρρ, σ′e
θθ и σ′e
ρθ — возмущения первого порядка малости соответствующих компонент
напряжения, отнесенные к σs.
Функции (2) должны при этом удовлетворять граничным условиям
σ′e
ρρ +A1u
′e = 0 при ρ = 1, (3)
σ′e
ρθ −A2
du′e
dθ
= 0 при ρ = 1, (4)
где
A1 =
dσ0e
ρρ(1)
dρ
=
2(3ν + 1)β4
0 − 6(ν + 3)
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − β2
0
)β2
0
, β0 =
r0
b
,
A2 = σ0e
θθ(1)− σ0e
ρρ(1) =
2(3ν + 1)β4
0 + 6(1 − ν)
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − β2
0
)β2
0
,
σ0e
ρρ = c
(
1−
1
ρ2
)
+
ν + 3
8
ω2
q2
(1− ρ2), σ0e
θθ = c
(
1 +
1
ρ2
)
+
1
8
ω2
q2
(ν + 3− (3ν + 1)ρ2),
c =
(3ν + 1)β4
0
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − β2
0
)β2
0
,
ω2
q2
=
24
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − β2
0
)β2
0
, q =
1
b
√
σs
γ
,
и условиям сопряжения
σ′e
ρθ = 0 при ρ = β0, (5)
σ′e
ρρ = 0 при ρ = β0, (6)
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
σ′e
θθ +A3u
′e = 0 при ρ = β0, (7)
где
A3 =
dσ0e
θθ(β0)
dρ
= −
8(3ν + 1)β0
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − β2
0
)β2
0
,
u′e — отнесенное к b возмущение радиального смещения в первом приближении.
Удовлетворение функциями (2) условиям (3)–(7) с учетом равенств u′e(1) = cosnθ,
du′e(1)/dθ = −n sinnθ приводит к системе линейных уравнений относительно A, B, C,
D и u′e(β0)
nA+ nB + (n− 2)C + (n + 2)D = −A1,
−A+B − C +D = −A2,
nβn−2
0
A+ nβ−n−2
0
B + (n− 2)βn
0C + (n+ 2)β−n
0
D = 0,
−βn−2
0
A+ β−n−2
0
B − βn
0C + β−n
0
D = 0,
(−nβn−2
0
A− nβ−n−2
0
B − (n+ 2)βn
0C − (n− 2)β−n
0
D) cosnθ +A3u
′e(β0) = 0.
(8)
Решение системы (8) имеет вид
A =
A1{nβ
2
0 − β−2n
0
− (n− 1)} −A2{n
2β2
0 + (n − 2)β−2n
0
− (n− 1)(n + 2)}
2N
,
B =
A1{nβ
2
0 + β2n
0 − (n+ 1)} −A2{−n2β2
0 + (n+ 2)β2n
0 + (n+ 1)(n − 2)}
2N
,
C =
A1{nβ
−2
0
+ β−2n
0
− (n + 1)} −A2n{(n + 2)β−2
0
− β−2n
0
− (n + 1)}
2N
,
D =
A1{nβ
−2
0
− β2n
0 − (n− 1)} −A2n{−(n− 2)β−2
0
− β2n
0 + (n− 1)}
2N
,
u′e(β0) = U(β0) cosnθ,
(9)
где
U(β0) = −2n(LA1 +MA2)(NA3)
−1, N = 2(n2 − 1)− n2(β2
0 + β−2
0
) + (β2n
0 + β−2n
0
),
L = βn
0 − β−n
0
− βn−2
0
+ β−n−2
0
, M = −nβn
0 − nβ−n
0
+ (n+ 2)βn−2
0
+ (n− 2)β−n−2
0
.
Выбирая при фиксированном n значение радиуса пластической зоны круглого диска из
подмножества [β̃0, 1] решений неравенства U(β0) 6 0 (при δ > 0), получаем для β∗
0 хара-
ктеристическое уравнение
1 + δ cosnθ = β0 + δu′e(β0) при θ =
π
n
+
2πk
n
, k = 0, 1, . . . , n− 1,
или
1− β0 − δ(1 − U(β0)) = 0. (10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 67
Рис. 2. Критическая относительная угловая скорость в зависимости от δ при n = 2: 1 — случай ν = 0,1;
2 — случай ν = 0,3; 3 — случай ν = 0,5
Соответствующая критическому значению радиуса β∗
0 угловая скорость вращения ω∗ опре-
деляется по формуле
ω∗2 = q2
24
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − β∗2
0
)β∗2
0
. (11)
Согласно (9), в случае n = 2
U(β0) = −
(1 + β2
0)[3(ν + 3)− (3ν + 1)β4
0 ] + 2β2
0 [3(1− ν) + (3ν + 1)β4
0 ]
(3ν + 1)(1 − β2
0
)2β0
(ср. с [2]). Зависимость относительной критической угловой скорости ω∗/ω∗
0 (ω∗
0 — угловая
скорость, при которой теряет несущую способность круглый диск) от δ при n = 2 и раз-
личных значениях ν приведена на рис. 2.
В случае исчерпания несущей способности кольцевым диском, испытывающим на внут-
реннем контуре радиусом a давление P =
1
3
γω2 b
3 − a3
a
со стороны вращающегося вала,
уравнение (10) можем получить таким же способом в таком же общем виде, считая, что
A1 =
2((3ν + 1)β4
0 − 3(ν + 3)) − 8β3β0 + 3ββ−1
0
((3ν + 1)β4
0 − 2(ν + 3)β2
0 − (ν + 3))ξ(β0)
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − β2
0
)β2
0
− 4β3β−1
0
(1 + β2
0
)
,
A2 =
2((3ν + 1)β4
0 + 3(1− ν))− 8β3β0 + 3ββ−1
0
((3ν + 1)β4
0 − 2(ν + 1)β2
0 + (1− ν))ξ(β0)
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − β2
0
)β2
0
− 4β3β−1
0
(1 + β2
0
)
,
A3 =
−8(3ν + 1)β0 + 8β3β−2
0
+ 3β((ν + 3)β−2
0
− (3ν + 1)(2 + β2
0))ξ(β0)
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − β2
0
)β2
0
− 4β3β−1
0
(1 + β2
0
)
,
ξ(β0) = −
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − β2
0)β
2
0 − 8β−1(β3 − 1)− 4β3β−1
0
(1 + β2
0)
3(ν + 3) − (3ν + 1)(2 − β2
0
)β2
0
− 4β−1
0
(2β3 − 1)(1 + β2
0
)
,
где β = a/b (в частном случае P = 0 ξ ≡ −1). При этом
ω∗2 = q2
24 + 12ββ∗−1
0
(1 + β∗2
0 )ξ(β∗
0)
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − β∗2
0
)β∗2
0
− 4β3β∗−1
0
(1 + β∗2
0
)
.
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
Рис. 3. Критическая относительная угловая скорость в зависимости от δ при n = 2, ν = 0,5: 1 и 1
′ — случай
β = 0,05; 2 и 2
′ — случай β = 0,1
Рис. 4. Потеря несущей способности сплошного диска по эксцентричной форме
Зависимость относительной критической угловой скорости от δ при n = 2, ν = 0,5 и раз-
личных значениях β для случая P 6= 0 приведена на рис. 3. Здесь характерная скорость
ω∗
0 — это угловая скорость, при которой теряет несущую способность круглый диск с та-
ким же радиусом, как и внешний радиус кольцевого диска (кривые 1′ и 2′), а также угловая
скорость, при которой теряет несущую способность исследуемый круговой кольцевой диск
(δ = 0) при P = 0 (кривая 1–2).
Случай эксцентричной формы. Уравнение внешней границы диска (рис. 4) с точ-
ностью до бесконечно малых первого порядка представлено в виде
ρ = 1 + δ cos θ. (12)
Учет условия равновесия периодических по θ неуравновешенных усилий на контуре в сис-
теме с возникшей в центре диска сосредоточенной силой показывает, что в общем виде
уравнениям для возмущений можно удовлетворить, если считать, что
σ′e
ρρ = (2Aρ + (3m+ 1)Bρ−1 − 2Cρ−3) cos θ,
σ′e
θθ = (6Aρ− (m− 1)Bρ−1 + 2Cρ−3) cos θ, (13)
σ′e
ρθ = (2Aρ− (m− 1)Bρ−1 − 2Cρ−3) sin θ, m = ν−1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 69
Удовлетворение функциями (13) условиям (3), (4), (5) и (7) с учетом равенств u′e(1) =
= cos θ, du′e(1)/dθ = − sin θ приводит к системе линейных уравнений относительно A, B,
C и u′e(β0)
2A+ (3m+ 1)B − 2C = −A1,
2A− (m− 1)B − 2C = −A2,
2β0A− (m− 1)β−1
0
B − 2β−3
0
C = 0,
(6β0A− (m− 1)β−1
0
B + 2β−3
0
C) cos θ +A3u
′e(β0) = 0,
(14)
в которой A1, A2 и A3 определены согласно (3), (4) и (7). Решение системы (14) имеет вид
A =
A1(m− 1)(β−3
0
− β−1
0
) +A2{(3m+ 1)β−3
0
+ (m− 1)β−1
0
}
8m(β0 − β−3
0
)
,
C =
A1(m− 1)(β0 − β−1
0
) +A2{(3m + 1)β0 + (m− 1)β−1
0
}
8m(β0 − β−3
0
)
,
B =
−A1 +A2
4m
, u′e(β0) = U(β0) cos θ,
(15)
где
U(β0) = −
(1−m)(1− β−2
0
)2A1 + {(m− 1)(1 + β−4
0
) + 2(3m+ 1)β−2
0
}A2
2m(β0 − β−3
0
)A3
(ср. с [2]). Выбирая значение радиуса пластической зоны круглого диска согласно условию
U(β0) 6 0, получаем для β∗
0 характеристическое уравнение
1 + δ cos θ = β0 + δu′e(β0) при θ = π,
т. е. уравнение (10). Аналогично рассуждениям предыдущего пункта полученный результат
можно перенести и на кольцевой диск.
Анализ результатов. Предложенным методом можно рассчитать критическую угло-
вую скорость вращения диска, при которой возмущенная упруго-пластическая граница
достигнет возмущенной (а)/невозмущенной (б) окружности ρ =
h
b
= α между границей
пластической зоны круглого диска ρ = β0 и контурной окружностью ρ = 1. Дополнив
совокупность функций (2) зависимостью
u′e = E
(
(ν + 1)n
n− 1
Aρn−1 −
(ν + 1)n
n+ 1
Bρ−n−1 +
n− 2 + ν(n+ 2)
n+ 1
Cρn+1 −
−
n+ 2 + ν(n− 2)
n− 1
Dρ−n+1
)
cosnθ, (16)
на основании решения (A,B,C,D,E) системы (8) получим
u′e(α) = W (α, β0) cosnθ, (17)
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
где
W (α, β0) = E
(
(ν + 1)n
n− 1
αn−1A−
(ν + 1)n
n+ 1
α−n−1B +
n− 2 + ν(n+ 2)
n+ 1
αn+1C −
−
n+ 2 + ν(n− 2)
n− 1
α−n+1D
)
.
При этом в случае а характеристическое уравнение, очевидно, имеет вид
α− β0 − δ|W (α, β0)− U(β0)| = 0, (18)
если предполагать выполненным условие W (α, β0)U(β0) 6 0. Характеристическое уравне-
ние в случае б получается из (18) при W ≡ 0.
1. Mazière M., Besson J., Forest S., Tanguy B., Chalons H., Vogel F. Overspeed burst of elastoviscoplastic
rotating disks – Part I: Analytical and numerical stability analyses // Europ. J. of Mechanics A. Solids. –
2009. – 28, No 1. – P. 36–44.
2. Ивлев Д.Д. О потере несущей способности вращающихся дисков, близких к круговому // Изв. АН
СССР, ОТН. – 1957. – № 1. – С. 141–144.
3. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упруго-пластического тела. – Москва: Наука,
1978. – 208 с.
4. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения формы границы в механике сплошных сред. – Киев:
Выща шк., 1989. – 352 с.
5. Лила Д.М. Эксцентричная форма потери устойчивости вращающегося упруго-пластического дис-
ка // Доп. НАН України. – 2011. – № 2. – С. 49–53.
6. Лила Д.М., Мартынюк А.А. О потере устойчивости вращающегося упруго-пластического кругового
диска // Там само. – 2011. – № 1. – С. 44–51.
Поступило в редакцию 27.08.2010Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Д.М. Лила
Про втрату несучої здатностi пружно-пластичних дискiв, що
обертаються
Уточнено i розвинуто спосiб розрахунку методом малого параметра можливої втрати не-
сучої здатностi плоского диска, що обертається. Одержано у першому наближеннi харак-
теристичне рiвняння вiдносно критичного радiуса пластичної зони.
D.M. Lila
On the failure of bearing capacity of rotating elastoplastic discs
A way of calculating the bearing capacity failure by a rotating plane disc is suggested with the help
of the small parameter method. A characteristic equation for the critical radius of a plastic zone
is obtained as the first approximation.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 71
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49355 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T04:39:17Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лила, Д.М. 2013-09-16T19:57:05Z 2013-09-16T19:57:05Z 2012 О потере несущей способности вращающихся упруго-пластических дисков / Д.М. Лила // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 65-71. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49355 531.36 Уточнен и развит способ расчета методом малого параметра возможной потери несущей способности плоского вращающегося диска. Получено в первом приближении характеристическое уравнение относительно критического радиуса пластической зоны. Уточнено і розвинуто спосіб розрахунку методом малого параметра можливої втрати несучої здатності плоского диска, що обертається. Одержано у першому наближенні характеристичне рівняння відносно критичного радіуса пластичної зони. A way of calculating the bearing capacity failure by a rotating plane disc is suggested with the help of the small parameter method. A characteristic equation for the critical radius of a plastic zone is obtained as the first approximation. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О потере несущей способности вращающихся упруго-пластических дисков Про втрату несучої здатності пружно-пластичних дисків, що обертаються On the failure of bearing capacity of rotating elastoplastic discs Article published earlier |
| spellingShingle | О потере несущей способности вращающихся упруго-пластических дисков Лила, Д.М. Механіка |
| title | О потере несущей способности вращающихся упруго-пластических дисков |
| title_alt | Про втрату несучої здатності пружно-пластичних дисків, що обертаються On the failure of bearing capacity of rotating elastoplastic discs |
| title_full | О потере несущей способности вращающихся упруго-пластических дисков |
| title_fullStr | О потере несущей способности вращающихся упруго-пластических дисков |
| title_full_unstemmed | О потере несущей способности вращающихся упруго-пластических дисков |
| title_short | О потере несущей способности вращающихся упруго-пластических дисков |
| title_sort | о потере несущей способности вращающихся упруго-пластических дисков |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49355 |
| work_keys_str_mv | AT liladm opoterenesuŝeisposobnostivraŝaûŝihsâuprugoplastičeskihdiskov AT liladm provtratunesučoízdatnostípružnoplastičnihdiskívŝoobertaûtʹsâ AT liladm onthefailureofbearingcapacityofrotatingelastoplasticdiscs |