Общий подход к моделированию нелинейной динамики жестких роторов в магнитных подшипниках различных типов
Предлагается способ построения математической модели динамики ротора в магнитных подшипниках различных типов. Моделирование производится на основе дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода и уравнений Максвелла. Показано, как полученные нелинейные аналитические модели могут использоваться для...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49357 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Общий подход к моделированию нелинейной динамики жестких роторов в магнитных подшипниках различных типов / Г.Ю. Мартыненко // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 78-84. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859673725527392256 |
|---|---|
| author | Мартыненко, Г.Ю. |
| author_facet | Мартыненко, Г.Ю. |
| citation_txt | Общий подход к моделированию нелинейной динамики жестких роторов в магнитных подшипниках различных типов / Г.Ю. Мартыненко // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 78-84. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Предлагается способ построения математической модели динамики ротора в магнитных подшипниках различных типов. Моделирование производится на основе дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода и уравнений Максвелла. Показано, как полученные нелинейные аналитические модели могут использоваться для исследования механизмов возбуждения пространственных колебаний вращающегося жесткого ротора, выяснения условий существования различных резонансных режимов, супер-, субгармонических и комбинационных колебаний, а также применяться для апробации алгоритмов управления и выбора оптимальных параметров подвеса.
Запропоновано спосіб побудови математичної моделі динаміки ротора в магнітних підшипниках різних типів. Моделювання здійснюється на основі диференціальних рівнянь Лагранжа другого роду і рівнянь Максвелла. Показано, як отримані нелінійні аналітичні моделі можуть використовуватися для дослідження механізмів збудження просторових коливань жорсткого обертового ротора, з'ясування умов існування різних резонансних режимів, супер-, субгармонійних і комбінаційних коливань, а також застосовуватися для апробації алгоритмів керування і вибору оптимальних параметрів підвісу.
The model-building technique of the rotor dynamics in magnetic bearings of various types is proposed. Modeling is based on the Lagrange and Maxwell differential equations of the second order. It is shown how the obtained non-linear analytical models can be used in the investigation of the excitation mechanisms for spatial oscillations of a rotating rigid rotor, clearing-up the existence conditions of different resonance modes, super/subharmonic and combination vibrations, and how these models can be applied to test the control algorithms and to select optimal parameters of a suspension.
|
| first_indexed | 2025-11-30T15:07:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.382:621.822.527
© 2012
Г.Ю. Мартыненко
Общий подход к моделированию нелинейной динамики
жестких роторов в магнитных подшипниках различных
типов
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Тарелиным )
Предлагается способ построения математической модели динамики ротора в магнит-
ных подшипниках различных типов. Моделирование производится на основе дифферен-
циальных уравнений Лагранжа второго рода и уравнений Максвелла. Показано, как полу-
ченные нелинейные аналитические модели могут использоваться для исследования ме-
ханизмов возбуждения пространственных колебаний вращающегося жесткого ротора,
выяснения условий существования различных резонансных режимов, супер-, субгармо-
нических и комбинационных колебаний, а также применяться для апробации алгорит-
мов управления и выбора оптимальных параметров подвеса.
Магнитные подшипники (МП) являются вариантом упруго-демпферных опор роторных ма-
шин различного назначения [1]. Их особенностью является использование магнитного поля
для реализации устойчивой левитации роторов. С помощью этих полей создаются силовые
реакции опор на смещения ротора, что обеспечивает автоматическое центрирование опор-
ных участков ротора в статорных элементах МП и необходимый уровень жесткости опи-
рания. По принципу действия наиболее применяемые МП делятся на активные магнитные
подшипники (АМП) [1, 2] и магнитные подшипники на постоянных магнитах [3]. Некото-
рые конструкционные варианты МП представлены на рис. 1. Здесь показаны радиальные
и осевые АМП (рис. 1, а, б ) и МП на постоянных магнитах (рис. 1, в, г) и введены сле-
дующие обозначения: 1 — ротор; 2 — статоры; 3 — обмотки; 4 — датчики положения;
5 — сравнивающее устройство системы управления АМП; 6 — устройство управления; 7 —
усилители, подающие управляющие напряжения на обмотки АМП, сформированные со-
гласно принятому алгоритму управления; 8 и 9 — подвижный и неподвижный кольцевые
постоянные магниты.
Вне зависимости от типа МП их отличительной чертой является нелинейная зависи-
мость силовых характеристик от смещения и тока. Но в работах [1, 2] динамическое пове-
дение роторов в МП описывается с помощью линеаризованных математических моделей,
что не позволяет моделировать нелинейные явления [4]. Кроме того, применение линейных
моделей не дает адекватного описания процессов при нахождении систем “ротор в АМП”
в предельных режимах (например, нулевой ток или зазор). Поэтому предлагаемый способ
описания динамики роторов в МП различных типов призван восполнить указанные пробелы
и обобщить подход к формированию математических моделей, учитывающих нелинейную
взаимосвязанность электрических, магнитных и механических процессов в системе.
Рассматривается жесткий ротор, так как именно колебания, вызванные динамической
неуравновешенностью, при которых возникают движения типа цилиндрической и кони-
ческой прецессии, являются наиболее распространенными на практике и отличаются по-
вышенными амплитудами, что делает их особенно опасными [5].
78 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
Рис. 1
Рис. 2
Расчетная схема ротора в двух радиальных и одном осевом МП представлена на рис. 2.
Здесь введена пространственная неподвижная правая прямоугольная система координат
O∗xyz, ось O∗z которой проходит через центры радиальных МП. Точка C — центр масс,
m — масса ротора, Jx, Jy, Jz — главные центральные моменты инерции, а ex = e1, ey = e2
(e2 = e21 + e22) — линейные и γx = γ1, γy = γ2 — угловые параметры неуравновешеннос-
ти. Точки O, O1, O2, O3 лежат на оси жесткости ротора, причем O в одной плоскости
с C перпендикулярной оси, O1, O2 являются центрами опорных участков в радиальном
направлении (причем l1 + l2 = l), а O3 — в осевом. Зазоры в МП1, МП2 и МП3 равны δr1,
δr2, δa соответственно. Ротор совершает вращение с постоянной угловой скоростью ω.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 79
Для определения положения ротора в дальнейшем используются обобщенные координа-
ты x1, y1, x2, y2, z3, т. е. координаты центров опорных участков. Математическое описание
“системы ротор в МП” с целью изучения динамики жесткого ротора выполняется на основе
дифференциальных уравнений Лагранжа–Максвелла в форме Рауса [6].
Кинетическая энергия жесткого ротора имеет вид:
T =
1
2
[mv20 + 2m(v0 · Ω) · R
′
C +ΩΘ0Ω], (1)
где m — масса ротора; v0 — вектор скорости полюса O; Ω — вектор угловой скорости; R′
C —
радиус-вектор OC; Θ0 — тензор инерции в полюсе O.
При использовании углов Эйлера проекции векторов скорости полюса v0 и угловой ско-
рости Ω на оси системы координат записываются с использованием направляющих косину-
сов. Применяя разложение тригонометрических функций в степенные, выражая эти углы
через обобщенные координаты, подставляя выражение для T в уравнение Лагранжа и огра-
ничиваясь членами первого, второго и третьего порядков относительно обобщенных коор-
динат, их производных и параметров неуравновешенности, приходим к нелинейным урав-
нениям движения жесткого ротора в МП. Такая структура представления нелинейных сил
инерции соответствует структуре нелинейных потенциальных сил в МП [7, 8] и достаточна
для корректного описания нелинейных колебаний.
Для получения полной математической модели при наличии в системе АМП эти урав-
нения дополняются дифференциальными уравнениями относительно потокосцеплений Ψck,
которые соответствуют второму закону Кирхгофа для магнитных цепей и являются формой
записи закона полного тока для каждого k-го электрического контура системы (обмотки
АМП). Указанный подход позволяет учесть силы сопротивления и запаздывание в такой
электромеханической системе как АМП. Тогда полная система уравнений имеет вид:
m11ẍ1+m12ẍ2+ j(ẏ1− ẏ2)+ f ′′
x1+ f ′′′
x1 =−
∂Π
∂x1
−
∂W
∂x1
+QRx1(ẋ1)+Qx1+Hx1(t);
m22ẍ2+m12ẍ1− j(ẏ1− ẏ2)+ f ′′
x2+ f ′′′
x2 =−
∂Π
∂x2
−
∂W
∂x2
+QRx2(ẋ2)+Qx2+Hx2(t);
m11ÿ1+m12ÿ2− j(ẋ1− ẋ2)+ f ′′
y1+ f ′′′
y1 =−
∂Π
∂y1
−
∂W
∂y1
+QRy1(ẏ1)+Qy1+Hy1(t);
m22ÿ2+m12ÿ1+ j(ẋ1− ẋ2)+ f ′′
y2+ f ′′′
y2 =−
∂Π
∂y2
−
∂W
∂y2
+QRy2(ẏ2)+Qy2+Hy2(t);
mz̈3+ f ′′
z3+ f ′′′
z3 =−
∂Π
∂z3
−
∂W
∂z3
+QRz3(ż3)+Qz3+Hz3(t);
Ψ̇c1 + rc1
∂W
∂Ψc1
= uc1(x1, x2, y1, y2, z3);
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Ψ̇cN + rcN
∂W
∂ΨcN
= ucN (x1, x2, y1, y2, z3),
(2)
где qr = (x1, . . . , z3) — обобщенные координаты; QRx1,...,z3 — обобщенные силы сопротив-
ления; f ′′
qr(x1, . . . , z3), f ′′′
qr(x1, . . . , z3) — нелинейные члены уравнений движения, обуслов-
ленные силами инерции и потенциального поля второго и третьего порядка; Qqr — другие
обобщенные силы; Hqr(t) — внешние возмущающие силы и моменты, зависящие от вре-
80 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
мени, в частности, вызванные неуравновешенностью; П — потенциальная энергия; W =
= W (x1, . . . , z3,Ψ1, . . . ,ΨN ) — магнитная энергия в АМП; rc1,...,N — активные сопротивле-
ния в цепях обмоток; uc1,...,N — управляющие напряжения, подаваемые на обмотки АМП,
величина которых формируется согласно принятому закону управления в зависимости от
текущего положения ротора; mks, j — инерционные и гироскопические коэффициенты, ко-
торые имеют следующие значения:
m11 =
ml22 + J1
l2
; m12 =
ml1l2 − J1
l2
; m22 =
ml21 + J1
l2
; j =
ωJ3
l2
. (3)
Члены −∂Π/∂qr представляют собой потенциальные силы, зависящие только от обобщен-
ных координат (сила тяжести, магнитные силы в МП на постоянных магнитах). Зависимо-
сти магнитных сил вычисляются по тензору натяжений Максвелла на основе решения серии
задач магнитостатики в конечноэлементной постановке для фиксированного числа поло-
жений роторного магнита, соответствующих некоторым дискретным значениям его сме-
щения [7]. Члены −∂W/∂qr — это пондеромоторные силы, т. е. электромагнитные реакции
АМП. Их зависимости от обобщенных координат и токов в обмотках могут быть получены
аналитически на основе рассмотрения магнитных цепей с использованием схем замещения
и применением метода контурных потоков [8].
Выражения введенных в (2) обозначений внешних возмущающих сил, вызванных не-
уравновешенностью, а также инерционных и гироскопических коэффициентов имеют вид:
Hx1(t) = M11Ex + JΓx; Hx2(t) = M22Ex − JΓx;
Hy1(t) = M11Ey − JΓy; Hy2(t) = M22Ey + JΓy;
Ex = e1 cos(ωt)− e2 sin(ωt); Ey = e1 sin(ωt) + e2 cos(ωt);
Γx = γ1 sin(ωt) + γ2 cos(ωt); Γy = γ1 cos(ωt)− γ2 sin(ωt);
M11 =
ml2ω
2
l
; M22 =
ml1ω
2
l
; J =
ω2(J1 − J3)
l
.
(4)
Запишем члены второго порядка, которые находятся в левых частях уравнений движения
в (2) для учета нелинейных особенностей рассматриваемой электромеханической системы:
f ′′
x1 = −
mz̈3Ex
l
; f ′′
x2 =
mz̈3Ex
l
; f ′′
y1 = −
mz̈3Ey
l
; f ′′
y2 =
mz̈3Ey
l
;
f ′′
z3 = m([(ẍ2 − ẍ1)− ω2(x2 − x1) + 2ω(ẏ2 − ẏ1)]Ex +
+ [(ÿ2 − ÿ1)− ω2(y2 − y1)− 2ω(ẋ2 − ẋ1)]Ey)/l.
(5)
Нелинейные члены третьего порядка ввиду громоздкости записей здесь не приводятся,
однако именно в них проявляется полная взаимосвязь между всеми обобщенными коор-
динатами посредством членов, не зависящих от параметров неуравновешенности.
Характеризуя систему (2), представляющую собой аналитическую модель, следует отме-
тить, что наряду с дифференциальными уравнениями движения второго порядка относи-
тельно обобщенных координат в ней присутствуют и дифференциальные уравнения пер-
вого порядка относительно потокосцеплений. Однако последние N уравнений в (2) будут
присутствовать в математической модели только в том случае, если в осуществлении маг-
нитного подвешивания ротора участвуют АМП. Их количество будет равно количеству
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 81
обмоток всех АМП. Учет постоянной времени изменения токов в обмотках электромагни-
тов в этих уравнениях производится с помощью коэффициентов само- и взаимоиндукции
(самоиндуктивностью и взаимной индуктивностью контуров электромагнитов). Величины,
обратные этим параметрам, есть коэффициенты при Ψ2
ck/2 и ΨckΨcs/2 в выражении магнит-
ной энергии W . Демпфирующие свойства АМП будут определяться величинами активных
сопротивлений rck. В выражении магнитной энергии W будут присутствовать магнитные
сопротивления участков цепи магнитопроводов АМП и сопротивления воздушных зазоров,
в формулы которых войдут и константы, определяемые их геометрией, и величины самих
зазоров, а значит, и обобщенные координаты. Причем зависимость от них будет нелинейной.
Кроме того, магнитная энергия будет квадратично зависеть от всех потокосцеплений [8].
Такой вид выражения магнитной энергии связывает в единую систему уравнения движе-
ния и уравнения относительно потокосцеплений и определяет взаимосвязь электрических
и магнитных динамических явлений с механическими.
Так для осевого АМП (см. рис. 1, б ) выражение магнитной энергии имеет вид [8]:
W =
1
2
[
(Rmcs1 +Rg1 +Rg2)
Ψ2
c1
w2
1
+ (Rmcs2 +Rg3 +Rg4)
Ψ2
c2
w2
2
+Rmcr
(
Ψc1
w1
+
Ψc2
w2
)2]
, (6)
где Rmcs1, Rmcs2 и Rmcr — магнитные сопротивления стальных магнитопроводов первого
и второго статоров и ротора; Rg1 = Rg1(qr), Rg2 = Rg2(qr) и Rg3 = Rg3(qr), Rg4 = Rg4(qr) —
магнитные сопротивления воздушных зазоров между полюсами первого и второго статоров
и ротором соответственно; w1 и w2 — количество витков в обмотках АМП.
Далее приведен пример расчета вынужденных колебаний ротора, вызванных динами-
ческой неуравновешенностью. Исследования проводились для ротора массой 2,5 кг в полном
магнитном подвесе, в котором в качестве МП1 и МП2 применены МППМ (см. рис. 1, в),
а в качестве МП3 — АМП (см. рис. 1, б ), для которой применен оригинальный способ
и алгоритм управления (т. е. формирования uck) [9]. Некоторые параметры имеют такие
значения: l1 = 0,106 м, l2 = 0,176 м, J1 = 0,0107 кг · м2, J3 = 0,0034 кг · м2, δr = 5,5 · 10−3 м,
δa = 3 · 10−3 м, e = 6 · 10−5 м, γ = 0,003 рад и QRqr = bqr · ∂qr/∂t, где bqr = 2,325 кг/с.
Решение системы уравнений (2) выполнялось численно методом Рунге–Кутта 4–5 поряд-
ка для дискретных значений угловой скорости. Результаты расчетных исследований выну-
жденных колебаний — это решения на стационарных участках для обобщенных координат
x1, y1, x2, y2 в диапазоне угловой скорости 0–100π рад/с. Они представлены на рис. 3 в ви-
де зависимостей амплитуд гармоник A, полученных с помощью БПФ, от угловой частоты
вынуждающей силы ω0, вызванной собственной неуравновешенностью ротора. Эта часто-
та соотносится с угловой скоростью ротора как ω0 = ω. На рис. 3 приняты обозначения:
A(1) — амплитуды первых гармоник (см. рис. 3, а, б ), A(1/n) — субгармоник (см. рис. 3, а),
A(n) — супергармоник (см. рис. 3, б ), где число в скобках — кратность частоты гармо-
ники основной частоте ω0. Собственные частоты невращающегося ротора, рассчитанные
с использованием линеаризованной системы уравнений без учета демпфирования [рад/с],
следующие: p1x = 66,4; p1y = 74,8; p2x = 154,5; p2y = 167,26.
Анализ результатов позволил обнаружить наличие в системе “ротор в магнитных под-
шипниках” нелинейных явлений роторной динамики (рис. 3), таких как: супергармониче-
ские колебания в области первого резонансного режима (I); раздвоение первого резонанса
вследствие анизотропии жесткости МП на постоянных магнитах в горизональном и вер-
тикальном направлениях, причем при ω < ω1x и ω > ω1y ротор совершает движение типа
82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
Рис. 3
прямой, а в диапазоне между этими критическими скоростями — типа обратной цилиндри-
ческой прецессии (II ); раздвоение второго резонанса ω2x и ω2y (III ); внутренний резонанс
p2x ≈ 2p1y (IV ); второй резонансный режим, при котором движение ротора соответствует
конической прецессии, а вид резонансных кривых присущ системам с жесткими характе-
ристиками восстанавливающей силы, что справедливо для МП на постоянных кольцевых
магнитах (V ).
Все эти явления подтверждаются результатами экспериментальных исследований на
лабораторной установке с указанными выше параметрами [10].
Известно, что анализ на основании линеаризованных моделей позволяет судить толь-
ко об устойчивости равновесных состояний при малых отклонениях. Пренебрежимо малые
в этом случае нелинейные члены уравнений при исследовании движения с возрастающими
отклонениями позволяют расширить информативность математической модели о нелиней-
ных эффектах, происходящих в системе. Поэтому в работе предложены нелинейные анали-
тические модели и показано, как они могут использоваться для исследования механизмов
возбуждения пространственных колебаний вращающихся жестких роторов в МП, выясне-
ния условий существования различных резонансных режимов (в том числе супер-, суб-,
внутренних резонансов), супер-, субгармонических и комбинационных колебаний, автоко-
лебаний, а также апробации алгоритмов управления и выбора оптимальных параметров
подвеса.
1. Schweitzer G., Maslen E.H. Magnetic bearings. Theory, design, and application to rotating machinery. –
Berlin: Springer, 2009. – 535 p.
2. Журавлев Ю.Н. Активные магнитные подшипники: Теория, расчет, применение. – Санкт-Петербург:
Политехника, 2003. – 206 с.
3. Jansen R., DiRusso E. Passive magnetic beating with ferrofluid stabilization. – NASA Technical Memo-
randum 107154, 1996. – 154 p.
4. Ehrich F. Observations of nonlinear phenomena in rotordynamics // J. of System Design and Dynamics. –
2008. – 2, No 3. – P. 641–651.
5. Иноземцев А. А, Нихамкин М.А., Сандратский В.Л. Основы конструирования авиационных двига-
телей и энергетических установок. – Москва: Машиностроение, 2008. – Т. 4. – 204 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 83
6. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / Под ред. И.И. Блехмана. – Москва: Машиностроение,
1979. – Т. 2: Колебания нелинейных механических систем. – 351 с.
7. Мартыненко Г.Ю. Определение зависимостей радиальных и осевых сил от смещений роторного ма-
гнита в радиальном магнитном подшипнике на двух кольцевых постоянных магнитах // Пробл. ма-
шиностроения. – 2010. – 13, № 1. – С. 52–64.
8. Мартыненко Г.Ю. Способ аналитического определения магнитных сил в активных магнитных под-
шипниках роторных машин // Вост.-европ. журн. передовых технологий. – 2010. – № 3/3. – С. 67–73.
9. Ульянов Ю.М., Мартиненко Г.Ю., Смирнов М.М. Система управлiння осьовим рухом ротора на
комбiнованому магнiтному пiдвiсi з пасивними радiальними i активним осьовим пiдшипниками //
Зб. наук. пр. УкрДАЗТ. – 2008. – Вип. 97. – С. 107–118.
10. Мартиненко Г. Iдентифiкацiя математичної моделi жорсткого ротора в пасивно-активному магнiтно-
му пiдвiсi на пiдставi експериментальних даних // Машинознавство. – 2009. – № 11(149). – С. 9–14.
Поступило в редакцию 31.05.2011НТУ “Харьковский политехнический институт”
Г. Ю. Мартиненко
Загальний пiдхiд до моделювання нелiнiйної динамiки жорстких
роторiв у магнiтних пiдшипниках рiзних типiв
Запропоновано спосiб побудови математичної моделi динамiки ротора в магнiтних пiдшип-
никах рiзних типiв. Моделювання здiйснюється на основi диференцiальних рiвнянь Лагран-
жа другого роду i рiвнянь Максвелла. Показано, як отриманi нелiнiйнi аналiтичнi моделi
можуть використовуватися для дослiдження механiзмiв збудження просторових коливань
жорсткого обертового ротора, з’ясування умов iснування рiзних резонансних режимiв, су-
пер-, субгармонiйних i комбiнацiйних коливань, а також застосовуватися для апробацiї
алгоритмiв керування i вибору оптимальних параметрiв пiдвiсу.
G.Yu. Martynenko
The general approach to modeling the nonlinear dynamics of rigid
rotors in magnetic bearings of various types
The model-building technique of the rotor dynamics in magnetic bearings of various types is pro-
posed. Modeling is based on the Lagrange and Maxwell differential equations of the second order.
It is shown how the obtained non-linear analytical models can be used in the investigation of the
excitation mechanisms for spatial oscillations of a rotating rigid rotor, clearing-up the existence
conditions of different resonance modes, super/subharmonic and combination vibrations, and how
these models can be applied to test the control algorithms and to select optimal parameters of a
suspension.
84 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49357 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T15:07:06Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мартыненко, Г.Ю. 2013-09-16T20:00:49Z 2013-09-16T20:00:49Z 2012 Общий подход к моделированию нелинейной динамики жестких роторов в магнитных подшипниках различных типов / Г.Ю. Мартыненко // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 78-84. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49357 531.382:621.822.527 Предлагается способ построения математической модели динамики ротора в магнитных подшипниках различных типов. Моделирование производится на основе дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода и уравнений Максвелла. Показано, как полученные нелинейные аналитические модели могут использоваться для исследования механизмов возбуждения пространственных колебаний вращающегося жесткого ротора, выяснения условий существования различных резонансных режимов, супер-, субгармонических и комбинационных колебаний, а также применяться для апробации алгоритмов управления и выбора оптимальных параметров подвеса. Запропоновано спосіб побудови математичної моделі динаміки ротора в магнітних підшипниках різних типів. Моделювання здійснюється на основі диференціальних рівнянь Лагранжа другого роду і рівнянь Максвелла. Показано, як отримані нелінійні аналітичні моделі можуть використовуватися для дослідження механізмів збудження просторових коливань жорсткого обертового ротора, з'ясування умов існування різних резонансних режимів, супер-, субгармонійних і комбінаційних коливань, а також застосовуватися для апробації алгоритмів керування і вибору оптимальних параметрів підвісу. The model-building technique of the rotor dynamics in magnetic bearings of various types is proposed. Modeling is based on the Lagrange and Maxwell differential equations of the second order. It is shown how the obtained non-linear analytical models can be used in the investigation of the excitation mechanisms for spatial oscillations of a rotating rigid rotor, clearing-up the existence conditions of different resonance modes, super/subharmonic and combination vibrations, and how these models can be applied to test the control algorithms and to select optimal parameters of a suspension. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Общий подход к моделированию нелинейной динамики жестких роторов в магнитных подшипниках различных типов Загальний підхід до моделювання нелінійної динаміки жорстких роторів у магнітних підшипниках різних типів The general approach to modeling the nonlinear dynamics of rigid rotors in magnetic bearings of various types Article published earlier |
| spellingShingle | Общий подход к моделированию нелинейной динамики жестких роторов в магнитных подшипниках различных типов Мартыненко, Г.Ю. Механіка |
| title | Общий подход к моделированию нелинейной динамики жестких роторов в магнитных подшипниках различных типов |
| title_alt | Загальний підхід до моделювання нелінійної динаміки жорстких роторів у магнітних підшипниках різних типів The general approach to modeling the nonlinear dynamics of rigid rotors in magnetic bearings of various types |
| title_full | Общий подход к моделированию нелинейной динамики жестких роторов в магнитных подшипниках различных типов |
| title_fullStr | Общий подход к моделированию нелинейной динамики жестких роторов в магнитных подшипниках различных типов |
| title_full_unstemmed | Общий подход к моделированию нелинейной динамики жестких роторов в магнитных подшипниках различных типов |
| title_short | Общий подход к моделированию нелинейной динамики жестких роторов в магнитных подшипниках различных типов |
| title_sort | общий подход к моделированию нелинейной динамики жестких роторов в магнитных подшипниках различных типов |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49357 |
| work_keys_str_mv | AT martynenkogû obŝiipodhodkmodelirovaniûnelineinoidinamikižestkihrotorovvmagnitnyhpodšipnikahrazličnyhtipov AT martynenkogû zagalʹniipídhíddomodelûvannânelíníinoídinamíkižorstkihrotorívumagnítnihpídšipnikahríznihtipív AT martynenkogû thegeneralapproachtomodelingthenonlineardynamicsofrigidrotorsinmagneticbearingsofvarioustypes |