Умови підпорядкованості для тензорного добутку двох звичайних диференціальних операторів
Дано опис лінійного простору L(P) мінімальних диференціальних поліномів Q(D1,D2), підпорядкованих добутку P(D1,D2)=p1(D1)p2(D2) двох звичайних диференціальних операторів у L^∞(R²)-нормі. Показано, що якщо всі нулі символу p1(ξ1) дійсні і прості, то вимірність простору L(P) залежить від числа дійсних...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49482 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Умови підпорядкованості для тензорного добутку двох звичайних диференціальних операторів / Д.В. Лиманський // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 25-29. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860202301698867200 |
|---|---|
| author | Лиманський, Д.В. |
| author_facet | Лиманський, Д.В. |
| citation_txt | Умови підпорядкованості для тензорного добутку двох звичайних диференціальних операторів / Д.В. Лиманський // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 25-29. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Дано опис лінійного простору L(P) мінімальних диференціальних поліномів Q(D1,D2), підпорядкованих добутку P(D1,D2)=p1(D1)p2(D2) двох звичайних диференціальних операторів у L^∞(R²)-нормі. Показано, що якщо всі нулі символу p1(ξ1) дійсні і прості, то вимірність простору L(P) залежить від числа дійсних нулів символу p2(ξ2).
Дано описание линейного пространства L(P) минимальных дифференциальных полиномов Q(D1,D2), подчиненных произведению P(D1,D2)=p1(D1)p2(D2) двух обыкновенных дифференциальных операторов в L^∞(R²)-норме. Показано, что если все нули символа p1(ξ1) вещественные и простые, то размерность пространства L(P) зависит от числа вещественных нулей символа p2(ξ2).
The description of the linear space L(P) of minimal differential polynomials Q(D1,D2) subordinated in the L^∞(R²) norm to the product P(D1,D2)=p1(D1)p2(D2) of two ordinary differential operators is given. It is shown that if all the zeros of the symbol p1(ξ1) are real and simple, the dimension of the space L(P) depends on the number of real zeros of the symbol p2(ξ2).
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:10:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
© 2012
Д.В. Лиманський
Умови пiдпорядкованостi для тензорного добутку двох
звичайних диференцiальних операторiв
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком)
Дано опис лiнiйного простору L (P ) мiнiмальних диференцiальних полiномiв Q(D1, D2),
пiдпорядкованих добутку P (D1, D2) = p1(D1)p2(D2) двох звичайних диференцiальних
операторiв у L∞(R2)-нормi. Показано, що якщо всi нулi символу p1(ξ1) дiйснi i простi,
то вимiрнiсть простору L (P ) залежить вiд числа дiйсних нулiв символу p2(ξ2).
Нехай Ω — область в R
n, p ∈ [1,∞]. Розглянемо в Lp(Ω) систему диференцiальних опера-
торiв порядку l:
Pj(x,D) =
∑
|α|6l
ajα(x)D
α, j ∈ {1, . . . , N}, (1)
з вимiрними коефiцiєнтами ajα(·). Розглядається задача про опис лiнiйного простору
L
0
p,Ω(P1, . . . , PN ) мiнiмальних диференцiальних операторiв Q(x,D), що задовольняють апрi-
орну оцiнку
‖Q(x,D)f‖Lp(Ω) 6 C1
N∑
j=1
‖Pj(x,D)f‖Lp(Ω) + C2‖f‖Lp(Ω), f ∈ C∞
0 (Ω), (2)
з деякими сталими C1, C2 > 0, що не залежать вiд вибору f .
Цю задачу було вичерпно розв’язано Л. Хермандером [1, теорема 2.2] у випадку одного
оператора P (D) зi сталими коефiцiєнтами, p = 2 та обмеженої областi Ω. Застосовуючи цей
критерiй, Хермандер довiв [1, теорема 2.5], що для тензорного добутку P (D) = P1(D) ⊗
⊗ P2(D) двох диференцiальних операторiв P1(D) i P2(D), що дiють за рiзними змiнними,
тобто оператора вигляду
P (D) = P1(D1, . . . ,Dp1 , 0, . . . , 0) · P2(0, . . . , 0,Dp1+1, . . . ,Dn), (3)
простiр L
0
2,Ω(P ) збiгається з лiнiйною оболонкою добуткiв операторiв з L
0
2,Ω(Pk), k = 1, 2,
тобто дорiвнює тензорному добутку цих просторiв, L
0
2,Ω(P ) = L
0
2,Ω(P1)⊗ L
0
2,Ω(P2).
При N > 1 простори L
0
p,Ω(P1, . . . , PN ) описанi для низки випадкiв. Добре вiдомо [2],
що за деяких обмежень на коефiцiєнти ajα(·) та область Ω система (1) є елiптичною тодi
i лише тодi, коли вона є коерцитивною в просторi Соболєва
◦
W l
∞(Ω) при p ∈ (1,∞) (тобто
коли оцiнка (2) справджується для всiх мономiв Q(D) = Dα порядку |α| 6 l). При p = 1;∞
цей критерiй коерцитивностi втрачає силу. Так, при p = 1 (i N = 1) Орнстейном [3] дове-
дена неможливiсть оцiнки (2) для конкретних диференцiальних полiномiв Q(D) та P (D)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 25
однакового порядку. Крiм того, М.М. Маламудом в [4] показано, що з оцiнки (2) при p = ∞
випливає тотожнiсть
Ql(x, ξ) =
N∑
j=1
λj(x)P
l
j (x, ξ), x ∈ Ω, ξ ∈ R
n,
для l-головних символiв операторiв Q(x,D) i {Pj(x,D)}N1 (у випадку операторiв зi ста-
лими коефiцiєнтами це твердження доведене ще ранiше де Лю та Мiркiлом [5]). З цього
результату випливає, що включення Q ∈ L
0
∞,Ω(P1, . . . , PN ) для оператора Q(x,D) поряд-
ку l можливе лише в окремих випадках. Разом з тим оцiнка (2) при p = ∞ справджується
для елiптичної системи (1) та довiльного монома Q(D) = Dα порядку |α| < l (системи
з такою властивiстю названi в [6] слабко коерцитивними в просторi Соболєва
◦
W l
∞(Ω)). Для
оператора P (D) в L∞(Rn) порядку l > 2 зi сталими коефiцiєнтами вiд n > 3 змiнних справд-
жується i обернене твердження — теорема де Лю та Мiркiла [5]: слабка коерцитивнiсть
P (D) в
◦
W l
∞(Rn) еквiвалентна його елiптичностi. Цей результат був узагальнений автором
i М.М. Маламудом в [6] на випадок оператора P (x,D) зi змiнними коефiцiєнтами. Там же
отриманi критерiї слабкої коерцитивностi для систем {Pj(D)}N1 зi сталими коефiцiєнтами.
Далi йдеться про випадок p = ∞, Ω = R
n, N = 1 та оператор P (D) := P1(D) зi
сталими коефiцiєнтами. Простiр L
0
∞,Rn(P ) будемо позначати через L (P ). З вищезазначених
результатiв М.М. Маламуда випливає, що для елiптичного оператора P (D) порядку l базис
простору L (P ) утворюють P (D) та диференцiальнi мономи {Dα}|α|<l, тобто вимiрнiсть
простору L (P ) у цьому випадку є максимально можливою.
Надалi будемо називати полiном P (ξ) невиродженим, якщо вiн не має дiйсних нулiв, тоб-
то P (ξ) 6= 0 при ξ ∈ R
n. У зв’язку з вищезгаданим результатом Хермандера виникає задача
про опис просторiв L (P ) для операторiв P (D) вигляду (3). У цьому напрямку в [6, твер-
дження 3.13] отримано аналогiчне твердження для елiптичних операторiв P1(D) та P2(D),
повнi символи яких є невиродженими. Тут умова невиродженостi символiв є суттєвою: вже
у випадку добутку P1(D) ⊗ P2(D) двох однорiдних елiптичних операторiв вимiрнiсть про-
стору L (P ) є мiнiмально можливою, тобто L (P ) = {Q : Q = c1P + c2}, хоча вимiрнiсть
кожного з просторiв L (Pk), k = 1, 2, є максимально можливою (див. [7, теорема 1]). Доведе-
ння останньої теореми грунтується на аналогiчному результатi з [7] для диференцiального
монома P (D) = Dl
1D
m
2 вiд двох змiнних. Воно використовує деякi результати з гармонiчного
аналiзу, зокрема, властивостi мультиплiкаторiв у L∞(Rn).
У цiй роботi розглядається випадок оператора P (D1,D2) вiд двох змiнних, що дорiвнює
добутку двох звичайних диференцiальних полiномiв:
P (D1,D2) := p1(D1)p2(D2), (4)
де символ першого множника p1(ξ1) має спецiальний вигляд (усi його нулi є дiйсними та
простими), а символ другого p2(ξ2) є довiльним полiномом. Виявляється, що вимiрнiсть
простору L (P ) залежить вiд “ступеня невиродженостi” символу p2(ξ2): вона є максималь-
ною, якщо сам полiном p2(ξ2) невироджений, та мiнiмальною, якщо всi коренi полiнома
p2(ξ2) — дiйснi числа. Має мiсце така теорема.
Теорема 1. Нехай P (D) = P (D1,D2) — диференцiальний оператор вигляду (4), де
p1(ξ1) — полiном степеня l > 1, усi нулi якого є дiйсними та простими, а p2(ξ2) — довiль-
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
ний полiном степеня m > 1. Тодi включення Q ∈ L (P ) еквiвалентне рiвностi
Q(ξ) = P (ξ)
q(ξ2)
p22(ξ2)
+ r(ξ1), (5)
де p22(ξ2) — невироджений дiльник символу p2(ξ2) максимального степеня; q(ξ2) — довiль-
ний полiном степеня 6 s := deg p22; r(ξ1) — довiльний полiном степеня 6 l − 1, якщо
s = m, i довiльна стала r(ξ1) ≡ r, якщо s < m. При цьому dimL (P ) = m+ l+1 у першому
випадку та dimL (P ) = s + 2 — у другому.
Наслiдок. В умовах теореми 1 вимiрнiсть простору L (P ) є мiнiмально можливою
тодi i тiльки тодi, коли полiном p2(ξ2) має лише дiйснi нулi, тобто s = 0.
Позначення та допомiжнi твердження. Нехай R та C — поля вiдповiдно дiйсних
та комплексних чисел; Z+ := {0, 1, 2, . . .}, Zn
+ := Z+ × . . . × Z+ (n множникiв). Далi, Dk :=
= −i∂/∂xk, D = (D1,D2, . . . ,Dn); для мультиiндексу α = (α1, α2, . . . , αn) ∈ Z
n
+ покладемо
|α| := α1 + · · · + αn, Dα := Dα1
1 Dα2
2 · · ·Dαn
n та ξα := ξα1
1 ξα2
2 · · · ξαn
n , ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) ∈ R
n.
Якщо P (x,D) =
∑
|α|6l
aα(x)D
α — диференцiальний оператор порядку l, то позначимо
через P (x, ξ) =
∑
|α|6l
aα(x)ξ
α його символ, через P l(x,D) :=
∑
|α|=l
aα(x)D
α — його головну
частину, а через P l(x, ξ) =
∑
|α|=l
aα(x)ξ
α — вiдповiдний головний символ. Через degP позна-
чимо степiнь полiнома P (ξ), а через degξk P — його степiнь за змiнною ξk.
Наведемо деякi вiдомостi, що стосуються апрiорних оцiнок у L∞(Rn).
Нагадаємо [8, розд. 4], що мультиплiкатори в просторi L∞(Rn) — це перетворення
Фур’є–Стiлтьєса скiнченних борелiвських мiр в R
n. Вони є, зокрема, рiвномiрно неперерв-
ними обмеженими в R
n функцiями [9, ч. 2, розд. 7]. Мультиплiкатори в L∞(Rn) утворюють
алгебру, яку позначатимемо M(Rn). Зазначимо, що M(Rm) ⊂ M(Rn), m < n.
Твердження 1 [5, твердження 1] (див. також [10, с. 207, лема 1]). Оцiнка
‖Q(D)f‖L∞(Rn) 6 C1‖P (D)f‖L∞(Rn) + C2‖f‖L∞(Rn), f ∈ C∞
0 (Rn), (6)
тобто включення Q ∈ L (P ), еквiвалентна тотожностi
Q(ξ) ≡ M(ξ)P (ξ) +N(ξ), ξ ∈ R
n, де M,N ∈ M(Rn). (7)
Нагадаємо [2, 11], що оператор P (D) порядку l називається елiптичним, якщо P l(ξ) 6= 0
для ξ ∈ R
n \ {0}. Зокрема, всi звичайнi диференцiальнi оператори вважатимемо елiптич-
ними.
Твердження 2 [4] (див. також [6]). Якщо P (D) — елiптичний диференцiальний полiном
порядку l, то Q ∈ L (P ) для будь-якого оператора Q(D) порядку 6 l− 1. Якщо, додатково,
n = 1, полiном P (ξ) є невиродженим, а Q(ξ) — довiльний полiном степеня 6 l, то функцiя
M(ξ) := Q(ξ)P−1(ξ) є мультиплiкатором в L∞(R1).
Схема доведення теореми 1. За умовою, n = 2 та оператор P (D1,D2) має вигляд (4).
Оскiльки полiном p2(ξ2) довiльний, можна вважати, що старший коефiцiєнт полiнома p1(ξ1)
дорiвнює 1. Позначимо через λ1, . . . , λl дiйснi попарно рiзнi нулi полiнома p1(ξ1). Тодi
p1(ξ1) = (ξ1 − λ1)(ξ1 − λ2) · · · (ξ1 − λl).
Полiном p2(ξ2) має вигляд
p2(ξ2) = p21(ξ2)p22(ξ2), де p21(ξ2) 6= 0 при ξ2 ∈ C \R.
У випадку s = m вважаємо p22(ξ2) := p2(ξ2) та p21(ξ2) := 1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 27
1. Нехай полiном Q(ξ) має вигляд (5). Покажемо, що Q ∈ L (P ). Справдi, полiном p1(ξ1)
є елiптичним порядку l; тому за твердженнями 1 i 2
r(ξ1) = m̃(ξ1)p1(ξ1) + ñ(ξ1) (8)
для деяких m̃(ξ1), ñ(ξ1) ∈ M(R1) ⊂ M(R2). У випадку s < m маємо r(ξ1) ≡ r, i можна
вважати, що m̃(ξ1) ≡ 0 та ñ(ξ1) ≡ r. Далi, оскiльки полiном p22(ξ2) елiптичний та невиро-
джений порядку s, то за твердженням 2 функцiї
m̃1(ξ2) := q(ξ2)p
−1
22 (ξ2) ∈ M(R1), m̃2(ξ2) := p−1
22 (ξ2) ∈ M(R1). (9)
З (8), (9) та твердження 1 випливає, що Q = (m̃1 + m̃m̃2)P + ñ ∈ L (P ).
2. Навпаки, нехай Q ∈ L (P ). Доведемо, що Q(ξ) має вигляд (5). За твердженням 1
оцiнка (6) еквiвалентна тотожностi (7), де M , N ∈ M(R2). Оскiльки функцiї M(·) та N(·)
обмеженi, з тотожностi (7) випливає, що degξ1 Q 6 l та degξ2 Q 6 m.
Розвинемо полiном Q(ξ) за степенями ξ1 − λ1. Маємо
Q(ξ) = (ξ1 − λ1)Q̃(ξ) +Q1(ξ2), де degξ1 Q̃ 6 l − 1, degQ1 6 m.
Пiдставимо цей вираз у тотожнiсть (7) та покладемо в нiй ξ1 = λ1, дiстанемо, що Q1(ξ2) ≡
≡ Q1 ∈ C. Далi, розвинемо полiном Q̃(ξ) за степенями ξ1 − λ2 i покладемо ξ1 := λ2 в (7)
i т. д. Мiркуючи надалi таким чином, дiйдемо рiвностi
Q(ξ)= A0(ξ2)p1(ξ1)+A1(ξ1 − λ1)(ξ1 − λ2) · · · (ξ1 − λl−1)+ · · ·+Al−1(ξ1 − λ1) +Al, (10)
де A0(ξ2) — деякий полiном степеня 6 m, а Ak ∈ C, k ∈ {1, . . . , l}. Зображення (10) еквi-
валентне такому:
Q(ξ) = A0(ξ2)p1(ξ1) + a1ξ
l−1
1 + · · ·+ al−1ξ1 + al, де ak ∈ C, k ∈ {1, . . . , l}. (11)
(i) Нехай s = m, тобто полiном p2(ξ2) = p22(ξ2) невироджений. Тодi зображення (11)
має вигляд (5), де
q(ξ2) := A0(ξ2), r(ξ1) := a1ξ
l−1
1 + · · · + al−1ξ1 + al.
(ii) Нехай s < m i µ — (дiйсний) нуль полiнома p21(ξ2) кратностi κ, тобто
p21(ξ2) = (ξ2 − µ)κp̃21(ξ2), де p̃21(µ) 6= 0.
Пiдставляючи ξ2 := µ у (7), отримуємо ak = 0 при k ∈ {1, . . . , l−1}. Значить, r(ξ1) ≡ al ∈ C.
Обмежимо тепер тотожнiсть (7) на криву Γ ⊂ R
2, задану спiввiдношенням
p1(ξ1)(ξ2 − µ)κ = 1.
Тодi маємо
A0(ξ2)
(ξ2 − µ)κ
+ al = M(ξ)p̃21(ξ2)p22(ξ2) +N(ξ), де ξ ∈ Γ. (12)
Оскiльки p̃21(µ) 6= 0 та p22(µ) 6= 0, права частина в (12) є обмеженою, коли ξ2 → µ вздовж
кривої Γ. Звiдси випливає, що полiном A0(ξ2) дiлиться на (ξ2 − µ)κ.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
Мiркуючи аналогiчно щодо iнших нулiв полiнома p21(ξ2), отримуємо, що A0(ξ2) дiлиться
на p21(ξ2), тобто
A0(ξ2) = p21(ξ1)q(ξ2), де deg q 6 m− deg p21 = deg p22 = s.
Це i означає, що Q(ξ) має вигляд (5) з r(ξ1) ≡ r := al ∈ C.
Теорему 1 повнiстю доведено.
Автор висловлює щиру подяку М.М. Маламуду за увагу до роботи та цiннi зауваження.
1. Хермандер Л. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных. – Москва:
Изд-во иностр. лит., 1959. – 131 с.
2. Бесов О. В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вло-
жения. – Москва: Наука, 1996. – 480 с.
3. Ornstein D. A non-inequality for differential operators in the L1 norm // Arch. Ration. Mech. Anal. –
1962. – 11, No 1. – P. 40–49.
4. Маламуд М.М. Оценки для систем минимальных и максимальных дифференциальных операторов в
Lp(Ω) // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1995. – 56. – С. 206–261.
5. De Leeuw K., Mirkil H. A priori estimates for differential operators in L∞ norm // Ill. J. Math. – 1964. –
8, No 1. – P. 112–124.
6. Лиманский Д.В., Маламуд М.М. Эллиптические и слабо коэрцитивные системы операторов в про-
странствах Соболева // Мат. сб. – 2008. – 199, № 11. – С. 75–112.
7. Лиманский Д.В. Об оценках для тензорного произведения двух однородных эллиптических опера-
торов // Укр. мат. вiсник. – 2011. – 8, № 1. – С. 101–111.
8. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. – Москва: Мир, 1973. –
344 с.
9. Рудин У. Функциональный анализ. – Москва: Мир, 1975. – 448 с.
10. Boman J. Supremum norm estimates for partial derivatives of functions of several real variables // Ill.
J. Math. – 1972. – 16, No 2. – P. 203–216.
11. Волевич Л. Р., Гиндикин С. Г. Метод многогранника Ньютона в теории дифференциальных уравнений
в частных производных. – Москва: Эдиториал УРСС, 2002. – 312 с.
Надiйшло до редакцiї 14.06.2011Донецький нацiональний унiверситет
Д.В. Лиманский
Условия подчиненности для тензорного произведения двух
обыкновенных дифференциальных операторов
Дано описание линейного пространства L (P ) минимальных дифференциальных полиномов
Q(D1, D2), подчиненных произведению P (D1, D2) = p1(D1)p2(D2) двух обыкновенных диф-
ференциальных операторов в L∞(R2)-норме. Показано, что если все нули символа p1(ξ1)
вещественные и простые, то размерность пространства L (P ) зависит от числа веще-
ственных нулей символа p2(ξ2).
D.V. Limanskii
Subordination conditions for a tensor product of two ordinary
differential operators
The description of the linear space L (P ) of minimal differential polynomials Q(D1, D2) subordi-
nated in the L∞(R2) norm to the product P (D1, D2) = p1(D1)p2(D2) of two ordinary differential
operators is given. It is shown that if all the zeros of the symbol p1(ξ1) are real and simple, the
dimension of the space L (P ) depends on the number of real zeros of the symbol p2(ξ2).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 29
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49482 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:10:52Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лиманський, Д.В. 2013-09-19T20:12:59Z 2013-09-19T20:12:59Z 2012 Умови підпорядкованості для тензорного добутку двох звичайних диференціальних операторів / Д.В. Лиманський // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 25-29. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49482 517.9 Дано опис лінійного простору L(P) мінімальних диференціальних поліномів Q(D1,D2), підпорядкованих добутку P(D1,D2)=p1(D1)p2(D2) двох звичайних диференціальних операторів у L^∞(R²)-нормі. Показано, що якщо всі нулі символу p1(ξ1) дійсні і прості, то вимірність простору L(P) залежить від числа дійсних нулів символу p2(ξ2). Дано описание линейного пространства L(P) минимальных дифференциальных полиномов Q(D1,D2), подчиненных произведению P(D1,D2)=p1(D1)p2(D2) двух обыкновенных дифференциальных операторов в L^∞(R²)-норме. Показано, что если все нули символа p1(ξ1) вещественные и простые, то размерность пространства L(P) зависит от числа вещественных нулей символа p2(ξ2). The description of the linear space L(P) of minimal differential polynomials Q(D1,D2) subordinated in the L^∞(R²) norm to the product P(D1,D2)=p1(D1)p2(D2) of two ordinary differential operators is given. It is shown that if all the zeros of the symbol p1(ξ1) are real and simple, the dimension of the space L(P) depends on the number of real zeros of the symbol p2(ξ2). Автор висловлює щиру подяку М.М. Маламуду за увагу до роботи та цiннi зауваження. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Умови підпорядкованості для тензорного добутку двох звичайних диференціальних операторів Условия подчиненности для тензорного произведения двух обыкновенных дифференциальных операторов Subordination conditions for a tensor product of two ordinary differential operators Article published earlier |
| spellingShingle | Умови підпорядкованості для тензорного добутку двох звичайних диференціальних операторів Лиманський, Д.В. Математика |
| title | Умови підпорядкованості для тензорного добутку двох звичайних диференціальних операторів |
| title_alt | Условия подчиненности для тензорного произведения двух обыкновенных дифференциальных операторов Subordination conditions for a tensor product of two ordinary differential operators |
| title_full | Умови підпорядкованості для тензорного добутку двох звичайних диференціальних операторів |
| title_fullStr | Умови підпорядкованості для тензорного добутку двох звичайних диференціальних операторів |
| title_full_unstemmed | Умови підпорядкованості для тензорного добутку двох звичайних диференціальних операторів |
| title_short | Умови підпорядкованості для тензорного добутку двох звичайних диференціальних операторів |
| title_sort | умови підпорядкованості для тензорного добутку двох звичайних диференціальних операторів |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49482 |
| work_keys_str_mv | AT limansʹkiidv umovipídporâdkovanostídlâtenzornogodobutkudvohzvičainihdiferencíalʹnihoperatorív AT limansʹkiidv usloviâpodčinennostidlâtenzornogoproizvedeniâdvuhobyknovennyhdifferencialʹnyhoperatorov AT limansʹkiidv subordinationconditionsforatensorproductoftwoordinarydifferentialoperators |