Применение параметризации при численно-аналитическом исследовании решений нелинейных краевых задач
Демонстрируется один из возможных подходов для избежания проблем, связанных с использованием численно-аналитической схемы для исследования приближенных решений нелинейных краевых задач. С этой целью предлагается использовать оригинальную идею параметризации и перехода к трансформированным линейным п...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49484 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Применение параметризации при численно-аналитическом исследовании решений нелинейных краевых задач / Н.И. Ронто, Е.В. Маринец // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 34-38. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859661456367157248 |
|---|---|
| author | Ронто, Н.И. Маринец, Е.В. |
| author_facet | Ронто, Н.И. Маринец, Е.В. |
| citation_txt | Применение параметризации при численно-аналитическом исследовании решений нелинейных краевых задач / Н.И. Ронто, Е.В. Маринец // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 34-38. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Демонстрируется один из возможных подходов для избежания проблем, связанных с использованием численно-аналитической схемы для исследования приближенных решений нелинейных краевых задач. С этой целью предлагается использовать оригинальную идею параметризации и перехода к трансформированным линейным параметризованным краевым условиям, которые не содержат сингулярностей. Для исследования преобразованной краевой задачи обосновывается соответствующая численно-аналитическая схема.
Наводиться один з можливих підходів для усунення проблем, пов'язаних з використанням чисельно-аналітичної схеми для дослідження наближених розв'язків нелінійних крайових задач. З цією метою пропонується використовувати оригінальну ідею параметризації і переходу до трансформованих лінійних параметризованих граничних умов, які не містять сингулярностей. Для дослідження перетвореної крайової задачі обгрунтовується відповідна чисельно-аналітична схема.
We give one of the possible approaches to the removal of the difficulties that concern the use of the numerical-analytic method of investigation of the approximate solutions of non-linear boundary-value problems. We suggest to use the original idea of parametrization and to pass to the transformed linear parametrized boundary conditions which do not contain singularities. To study the transformed boundary-value problem, we justify a proper numerical-analytic scheme.
|
| first_indexed | 2025-11-30T09:54:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.927
© 2012
Н.И. Ронто, Е.В. Маринец
Применение параметризации
при численно-аналитическом исследовании решений
нелинейных краевых задач
(Представлено академиком НАН Украины Н.А. Перестюком)
Демонстрируется один из возможных подходов для избежания проблем, связанных с ис-
пользованием численно-аналитической схемы для исследования приближенных решений
нелинейных краевых задач. С этой целью предлагается использовать оригинальную идею
параметризации и перехода к трансформированным линейным параметризованным крае-
вым условиям, которые не содержат сингулярностей. Для исследования преобразован-
ной краевой задачи обосновывается соответствующая численно-аналитическая схема.
Для исследования существования и приближенного построения решений разных типов
краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений широко используются так
называемые численно-аналитические методы, основанные на последовательных приближе-
ниях [1]. Однако определенные трудности может порождать вырожденность матриц, фигу-
рирующих в линейных двухточечных и трехточечных краевых условиях. В настоящей ра-
боте показано, что неудобства такого характера могут быть успешно преодолены с исполь-
зованием идеи параметризации.
Проанализируем несколько задач с типовыми краевыми условиями.
Пусть требуется исследовать решение системы нелинейных дифференциальных урав-
нений
dx(t)
dt
= f(t, x(t)), (1)
где t ∈ [0, T ], x = col(x1, x2, x3), функция f : [0, T ] × D → R
3 непрерывна, а множество
D ⊂ R
3 — замкнутая ограниченная область, подчиненных двухточечным краевым условиям
типа Коши–Николетти:
x1(0) = x10, x2(0) = x20, x3(T ) = x3T . (2)
Граничные условия (2) допускают матричную форму записи:
Ax(0) + C1x(T ) = d, (3)
где
A =
1 0 0
0 1 0
0 0 0
, C1 =
0 0 0
0 0 0
0 0 1
, d =
x10
x20
x3T
.
Очевидно, что матрица C1 является вырожденной.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
Для того чтобы обойти сингулярность матрицы C1, заменим значение первых двух ком-
понент решения краевой задачи (1), (3) в точке T параметрами λ1, λ2:
x1(T ) = λ1, x2(T ) = λ2. (4)
Учитывая равенства (4), краевые условия (3) перепишем в виде
Ax(0) + x(T ) = d(λ) = col(x10 + λ1, x20 + λ2, x3T ). (5)
Здесь, в отличие от (3), матрица при x(T ) уже невырожденная.
Заметим, что задача с краевыми условиями типа Коши–Николетти (1), (3) эквивалентна
двухточечной краевой задаче (1), (5), рассматриваемой вместе с условиями (4). В результа-
те такой параметризации решение этой краевой задачи может быть изучено на основании
однозначно задаваемой последовательности функций {xm(·, z, λ)}∞m=0 [2], которая удовле-
творяет краевым условиям (5) при произвольных значениях параметров z и λ. Предельная
функция этой последовательности будет решением краевой задачи (1), (5) тогда и толь-
ко тогда, когда неизвестные параметры z и λ будут решением соответствующей системы
определяющих уравнений [2].
Идея параметризации полезна и при исследовании задач с многоточечными линейными
краевыми условиями, с помощью которой можно осуществить переход к более простого
вида двухточечным граничным условиям [3].
Отметим, что рассматриваемый в настоящей работе подход удобно использовать и при
исследовании двухточечных краевых задач с нелинейными краевыми условиями. Так, на-
пример, в случае краевой задачи
dx(t)
dt
= f(t, x(t)), t ∈ [0, T ], x ∈ R
n, (6)
Ax(0) + Cx(T ) + g(x(0), x(T )) = d, d ∈ R
n, detC 6= 0, (7)
где функции f : [0, T ]×D → R
n, g : D×D → R
n непрерывны, а множество D ⊂ R
n — замкну-
тая ограниченная область, A, C — заданные n-мерные матрицы, d — заданный n-мерный
вектор, с помощью параметризации
x(T ) = col(x1(T ), x2(T ), . . . , xn(T )) = col(λ1, λ2, . . . , λn)
приходим к линейным краевым условиям
Ax(0) + Cx(T ) = d(z, λ), (8)
где d(z, λ) := d − g(z, λ), z := x(0), λ := x(T ).
Случай нелинейных двухточечных краевых условий. Исследуем более подробно
решение системы дифференциальных уравнений (6), подчиненных нелинейным краевым
условиям
g(x(0), x(T )) = 0, (9)
где функция g : D ×D → R
n непрерывна, а множество D ⊂ R
n — замкнутая ограниченная
область.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 35
Краевую задачу (6), (9) с помощью параметризации вида
x(0) = z, x(T ) = λ
удобно привести к задаче с упрощенными линейными условиями (8), которые в случае
рассматриваемой задачи выглядят следующим образом:
x(T ) = λ+ g(z, λ) = d(z, λ). (10)
Для исследования решений параметризованной краевой задачи (6), (10) обоснуем со-
ответствующую численно-аналитическую схему.
Сходимость последовательных приближений. На основании заданной функции f
в правой части системы дифференциальных уравнений (6) определим векторы
δD(f) :=
1
2
[
max
(t,x)∈[0,T ]×D
f(t, x)− min
(t,x)∈[0,T ]×D
f(t, x)
]
,
β :=
T
2
δD(f).
Предположим, что для краевой задачи (6), (9) выполняются условия:
А) функция f непрерывна в области [0, T ]×D и удовлетворяет условию Липшица вида
|f(t, u)− f(t, v)| 6 K|u− v|,
для всех t ∈ [0, T ], {u, v} ⊂ D, где K = (kij)
n
i,j=1 — некоторая постоянная матрица с не-
отрицательными компонентами;
В) множество
Dβ :=
{
z ∈ D : B
(
z +
t
T
(d(z, λ) − z), β
)
⊂ D, ∀λ ∈ D и t ∈ [0, T ]
}
не пустое;
С) спектральный радиус r(Q) матрицы
Q =
3T
10
K
удовлетворяет неравенству
r(Q) < 1.
Для исследования решений трансформированной краевой задачи (6), (10) введем в рас-
смотрение последовательность функций
xm(t, z, λ) := z +
t
∫
0
f(s, xm−1(s, z, λ)) ds−
t
T
T
∫
0
f(s, xm−1(s, z, λ)) ds+
t
T
[d(z, λ) −z], (11)
где m = 1, 2, 3, . . . , x0(t, z, λ) = z + (t/T ) · (d(z, λ) − z) ∈ Dβ , а z и λ рассматриваются как
параметры.
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
Теорема 1. Пусть для системы дифференциальных уравнений (6) выполнены условия
А–С. Тогда при всех фиксированных λ ∈ D, z ∈ Dβ:
1. Все функции последовательности (11) непрерывно дифференцируемые и удовлетво-
ряют параметризованным краевым условиям (10).
2. Последовательность функций (11) равномерно сходится относительно t ∈ [0, T ] при
m → ∞ к предельной функции
x∗(t, z, λ) = lim
m→∞
xm(t, z, λ). (12)
3. Предельная функция x∗ удовлетворяет начальным условиям
x∗(0, z, λ) = z,
и краевым условиям (10).
4. Предельная функция (12) для всех t ∈ [0, T ] является единственным непрерывно
дифференцируемым решением интегрального уравнения
x(t) = z +
t
∫
0
f(s, x(s)) ds −
t
T
T
∫
0
f(s, x(s)) ds +
t
T
[d(z, λ) − z]
или эквивалентной ему задачи Коши для модифицированной системы дифференциальных
уравнений
dx
dt
= f(t, x) + ∆(z, λ),
x(0) = z,
(13)
где ∆(z, λ) : Dβ × D → R
n — отображение, задаваемое формулой
∆(z, λ) :=
1
T
[d(z, λ) − z]−
1
T
T
∫
0
f(s, x(s)) ds.
5. Справедлива следующая оценка отклонения функции x∗ от ее m-го приближения xm
для всех t ∈ [0, T ]:
|x∗(t, z, λ) − xm(t, z, λ)| 6
20
9
t
(
1−
t
T
)
Qm(In −Q)−1δD(f).
Связь предельной функции с решением нелинейной краевой задачи. Вместе
с (6) будем рассматривать также уравнение с постоянным возмущением в правой части
dx
dt
= f(t, x) + µ, t ∈ [0, T ] (14)
с начальными условиями (13), где µ = col(µ1, . . . , µn) — управляющий параметр.
Теорема 2. Пусть z ∈ Dβ и λ ∈ D — произвольно заданные векторы. Предположим,
что удовлетворяются все условия теоремы 1. Тогда решение x = x(t, z, λ, µ) начальной за-
дачи (14), (13) удовлетворяет параметризованным краевым условиям (10) тогда и только
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 37
тогда, когда x = x(t, z, λ, µ) совпадает с предельной функцией x∗ = x∗(t, z, λ, µ) последова-
тельности (11), и кроме того,
µ =
1
T
[d(z, λ) − z]−
1
T
T
∫
0
f(s, x∗(s, z, λ)) ds.
Теорема 3. Пусть для краевой задачи (6), (9) выполняются условия А–С. Функция
x = x∗(·, z∗, λ∗) = lim
m→∞
xm(·, z∗, λ∗) является решением нелинейной краевой задачи (6), (9)
тогда и только тогда, когда параметры z∗, λ∗ удовлетворяют следующей системе алгеб-
раических или трансцендентных уравнений:
∆(z, λ) =
1
T
[d(z, λ) − z]−
1
T
T
∫
0
f(s, x∗(s, z, λ)) ds = 0, x∗(T, z, λ) = λ.
Исследования выполнены в рамках проекта TAMOP-4.2.1.B-10/2/KONV-2010-0001 при под-
держке ЕС совместно с Европейским социальным фондом.
1. Самойленко А.М., Ронто H.И. Численно-аналитические методы в теории краевых задач обыкновен-
ных дифференциальных уравнений. – Київ: Наук. думка, 1992. – 279 с.
2. Ронто М.Й., Щобак Н.М., Маринець К.В. Про параметризацiю крайових задач типу Кошi–Нiколет-
тi // Наук. вiсн. Ужгород. нац. ун-ту. Сер. Математика i iнформатика. – 2008. – № 16. – С. 163–173.
3. Маринець К.В. Дослiдження розв’язкiв триточкових задач типу Кошi–Нiколеттi та зведення їх до
двоточкових // Наук. вiсн. Київ. нац. ун-ту iм. Тараса Шевченка. Сер. Фiз.-мат. науки. – 2009. –
№ 3. – С. 85–90.
Поступило в редакцию 04.06.2011Ужгородский национальный университет
Мишкольцский университет, Венгрия
М.Й. Ронто, К. В. Маринець
Застосування параметризацiї при чисельно-аналiтичному
дослiдженнi розв’язкiв нелiнiйних крайових задач
Наводиться один з можливих пiдходiв для усунення проблем, пов’язаних з використанням
чисельно-аналiтичної схеми для дослiдження наближених розв’язкiв нелiнiйних крайових
задач. З цiєю метою пропонується використовувати оригiнальну iдею параметризацiї i пе-
реходу до трансформованих лiнiйних параметризованих граничних умов, якi не мiстять
сингулярностей. Для дослiдження перетвореної крайової задачi обгрунтовується вiдповiд-
на чисельно-аналiтична схема.
M.J. Ronto, K.V. Marynets
The application of a parametrization for the numerical-analytic
investigation of the solutions of non-linear boundary-value problems
We give one of the possible approaches to the removal of the difficulties that concern the use of
the numerical-analytic method of investigation of the approximate solutions of non-linear boundary-
value problems. We suggest to use the original idea of parametrization and to pass to the transformed
linear parametrized boundary conditions which do not contain singularities. To study the transfor-
med boundary-value problem, we justify a proper numerical-analytic scheme.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49484 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T09:54:12Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ронто, Н.И. Маринец, Е.В. 2013-09-19T20:14:56Z 2013-09-19T20:14:56Z 2012 Применение параметризации при численно-аналитическом исследовании решений нелинейных краевых задач / Н.И. Ронто, Е.В. Маринец // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 34-38. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49484 517.927 Демонстрируется один из возможных подходов для избежания проблем, связанных с использованием численно-аналитической схемы для исследования приближенных решений нелинейных краевых задач. С этой целью предлагается использовать оригинальную идею параметризации и перехода к трансформированным линейным параметризованным краевым условиям, которые не содержат сингулярностей. Для исследования преобразованной краевой задачи обосновывается соответствующая численно-аналитическая схема. Наводиться один з можливих підходів для усунення проблем, пов'язаних з використанням чисельно-аналітичної схеми для дослідження наближених розв'язків нелінійних крайових задач. З цією метою пропонується використовувати оригінальну ідею параметризації і переходу до трансформованих лінійних параметризованих граничних умов, які не містять сингулярностей. Для дослідження перетвореної крайової задачі обгрунтовується відповідна чисельно-аналітична схема. We give one of the possible approaches to the removal of the difficulties that concern the use of the numerical-analytic method of investigation of the approximate solutions of non-linear boundary-value problems. We suggest to use the original idea of parametrization and to pass to the transformed linear parametrized boundary conditions which do not contain singularities. To study the transformed boundary-value problem, we justify a proper numerical-analytic scheme. Исследования выполнены в рамках проекта TAMOP-4.2.1.B-10/2/KONV-2010-0001 при поддержке ЕС совместно с Европейским социальным фондом. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Применение параметризации при численно-аналитическом исследовании решений нелинейных краевых задач Застосування параметризації при чисельно-аналітичному дослідженні розв'язків нелінійних крайових задач The application of a parametrization for the numerical-analytic investigation of the solutions of non-linear boundary-value problems Article published earlier |
| spellingShingle | Применение параметризации при численно-аналитическом исследовании решений нелинейных краевых задач Ронто, Н.И. Маринец, Е.В. Математика |
| title | Применение параметризации при численно-аналитическом исследовании решений нелинейных краевых задач |
| title_alt | Застосування параметризації при чисельно-аналітичному дослідженні розв'язків нелінійних крайових задач The application of a parametrization for the numerical-analytic investigation of the solutions of non-linear boundary-value problems |
| title_full | Применение параметризации при численно-аналитическом исследовании решений нелинейных краевых задач |
| title_fullStr | Применение параметризации при численно-аналитическом исследовании решений нелинейных краевых задач |
| title_full_unstemmed | Применение параметризации при численно-аналитическом исследовании решений нелинейных краевых задач |
| title_short | Применение параметризации при численно-аналитическом исследовании решений нелинейных краевых задач |
| title_sort | применение параметризации при численно-аналитическом исследовании решений нелинейных краевых задач |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49484 |
| work_keys_str_mv | AT rontoni primenenieparametrizaciipričislennoanalitičeskomissledovaniirešeniinelineinyhkraevyhzadač AT marinecev primenenieparametrizaciipričislennoanalitičeskomissledovaniirešeniinelineinyhkraevyhzadač AT rontoni zastosuvannâparametrizacíípričiselʹnoanalítičnomudoslídžennírozvâzkívnelíníinihkraiovihzadač AT marinecev zastosuvannâparametrizacíípričiselʹnoanalítičnomudoslídžennírozvâzkívnelíníinihkraiovihzadač AT rontoni theapplicationofaparametrizationforthenumericalanalyticinvestigationofthesolutionsofnonlinearboundaryvalueproblems AT marinecev theapplicationofaparametrizationforthenumericalanalyticinvestigationofthesolutionsofnonlinearboundaryvalueproblems |