Інтегро-диференціальні системи псевдопараболічного типу: апріорні оцінки та імпульсно-точкова керованість
Для вольтеррівського інтегро-диференціального оператора псевдопараболічного типу одержано апріорні оцінки у негативних нормах, теореми існування та єдиності узагальнених розв'язків відповідних крайових задач. Розглянуто питання імпульсно-точкової керованості систем, що описуються інтегро-дифере...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49486 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Інтегро-диференціальні системи псевдопараболічного типу: апріорні оцінки та імпульсно-точкова керованість / А.Л. Гуляницький, В.В. Семенов // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 43-49. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860148442599260160 |
|---|---|
| author | Гуляницький, А.Л. Семенов, В.В. |
| author_facet | Гуляницький, А.Л. Семенов, В.В. |
| citation_txt | Інтегро-диференціальні системи псевдопараболічного типу: апріорні оцінки та імпульсно-точкова керованість / А.Л. Гуляницький, В.В. Семенов // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 43-49. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Для вольтеррівського інтегро-диференціального оператора псевдопараболічного типу одержано апріорні оцінки у негативних нормах, теореми існування та єдиності узагальнених розв'язків відповідних крайових задач. Розглянуто питання імпульсно-точкової керованості систем, що описуються інтегро-диференціальними псевдопараболічними рівняннями.
Для вольтерровского интегро-дифференциального оператора псевдопараболического типа получены априорные оценки в негативных нормах, теоремы существования и единственности обобщенных решений соответствующих граничных задач. Рассмотрен вопрос импульсно-точечной управляемости систем, описываемых интегро-дифференциальными псевдопараболическими уравнениями.
For a pseudoparabolic Volterra integro-differential operator, the a priori estimates in negative norms and the unique generalized solvability theorems for the corresponding boundary value problems are obtained. The question of impulse-point controllability of systems governed by pseudoparabolic integro-differential equations is investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:51:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
© 2012
А.Л. Гуляницький, В.В. Семенов
Iнтегро-диференцiальнi системи псевдопараболiчного
типу: апрiорнi оцiнки та iмпульсно-точкова керованiсть
(Представлено членом-кореспондентом НАН України С. I. Ляшком)
Для вольтеррiвського iнтегро-диференцiального оператора псевдопараболiчного типу
одержано апрiорнi оцiнки у негативних нормах, теореми iснування та єдиностi уза-
гальнених розв’язкiв вiдповiдних крайових задач. Розглянуто питання iмпульсно-то-
чкової керованостi систем, що описуються iнтегро-диференцiальними псевдопараболiч-
ними рiвняннями.
Iнтегро-диференцiальнi рiвняння Вольтерра виникають при дослiдженнi систем з пам’яттю,
зокрема в теорiї в’язко-пружних матерiалiв i в задачах в’язкодинамiки [1]. Так, врахуван-
ня властивостi пам’ятi деяких полiмерiв та бетонних сумiшей приводить до параболiчного
iнтегро-диференцiального рiвняння дифузiї i гiперболiчного рiвняння динамiки [2]. В [3]
розглянуто рiвняння
(γ −∆)ut −∆u−
t
∫
0
g(t− s)∆u(x, s) ds = f(x, t),
що виникає в задачах нелiнiйної динамiки спадково пружних тiл. У випадку сталих коефi-
цiєнтiв розв’язок одержано в явному виглядi.
Псевдопараболiчнi (Соболєва–Гальперна) та близькi до них диференцiальнi рiвняння зi
змiнними коефiцiєнтами дослiджено в [4, 5].
Зокрема, для деяких рiвнянь доведено, що якщо права частина є розподiлом певного
скiнченного порядку, то рiвняння має єдиний розв’язок, що при цьому належить класу L2
або деякому позитивному простору. В [5] вiдсутнi обмеження на коефiцiєнти операторiв, що
дiють на молодшi похiднi, але при цьому накладено досить жорсткi обмеження на оператор
зi старшою похiдною. В [6] доведено теореми iснування та єдиностi для псевдопараболiч-
них рiвнянь з некласичними умовами спряження. Задачi керованостi псевдопараболiчних
систем у класах узагальнених впливiв дослiджено в [7–10].
В [11] доведено апрiорнi нерiвностi для параболiчного лiнiйного iнтегро-диференцiаль-
ного оператора, аналогiчнi оцiнкам для диференцiального оператора цього типу, одержаним
у [4]. Це дало змогу перенести теореми узагальненої розв’язностi й керованостi на випадок
iнтегро-диференцiального рiвняння.
У данiй роботi для вольтеррiвського iнтегро-диференцiального оператора псевдопара-
болiчного типу одержано апрiорнi оцiнки у негативних нормах. З цих оцiнок випливають
теореми iснування та єдиностi розв’язку вiдповiдного рiвняння при правих частинах з де-
яких класiв розподiлiв скiнченного порядку. Також розглянуто питання iмпульсно-точкової
керованостi систем, що описуються даними рiвняннями.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 43
Основнi позначення i простори. Розглянемо рiвняння, що узагальнює дослiджене
у [3]:
Lu = Aut +Bu− Iu = f.
Тут u = u(x, t) — шукана функцiя стану, x ∈ Ω ⊂ R
n, де Ω — обмежена область з достатньо
гладкою межею ∂Ω, t ∈ [0, T ], f = f(x, t); A i B — диференцiальнi оператори другого
порядку, що дiють за просторовими змiнними, наприклад
Au = −
n
∑
i,j=1
(aij(x)uxi
)xj
+
n
∑
i=1
ai(x)uxi
+ a(x)u,
оператор B задається аналогiчним виразом,
Iu =
t
∫
0
(
n
∑
i,j=1
(kij(x, t, τ)uxi
(x, τ))xj
+
n
∑
i=1
ki(x, t, τ)uxi
(x, τ) + k(x, t, τ)u(x, τ)
)
dτ.
Вимагаємо виконання умов:
функцiї aij = aji, bij = bji, ai, bi — неперервно диференцiйовнi, а a i b — неперервнi
в замкненiй областi Ω;
ядра kij , ki, k обмеженi, a kij й ki — диференцiйовнi за просторовими змiнними;
оператори A й B рiвномiрно елiптичнi, тобто ∃α > 0, β > 0: ∀x ∈ Ω, ξi ∈ R виконуються
нервiностi
n
∑
i,j=1
aij(x)ξiξj > α
n
∑
i=1
ξ2i ,
n
∑
i,j=1
bij(x)ξiξj > β
n
∑
i=1
ξ2i ;
∀x ∈ Ω a(x) >
1
2
(
n
∑
i=1
∂ai
∂xi
(x) +
n
∑
i=1
|bi(x)|
)
, b(x) >
n
∑
i=1
∂bi
∂xi
(x), b(x) > 0.
Нехай C∞
s , s ∈ {0, T} — лiнiйнi множини нескiнченно диференцiйовних функцiй, що
задовольняють умови
u|x∈∂Ω = 0, u|t=s = 0. (1)
Пiд L2, якщо не вказано iнше, матимемо на увазi L2(Q).
Позначимо W+ (W+
∗
) i H+ (H+
∗
) поповнення C∞
0 (C∞
T ) за нормами
‖u‖W+ =
(
n
∑
i=1
u2txi
dQ
)1/2
, ‖u‖H+ =
(
∫
Q
n
∑
i=1
u2xi
dQ
)1/2
.
Простори W+, W+
∗
, H+ i H+
∗
щiльно вкладаються в L2, що випливає з умов (1) i не-
рiвностi Фрiдрiхса. Позначимо W−, W−
∗
, H−, H−
∗
негативнi простори, побудованi за L2
i вiдповiдними позитивними просторами. Мають мiсце ланцюжки щiльних та компактних
вкладень
W+ ⊂ H+ ⊂ L2 ⊂ H− ⊂ W−, W+
∗
⊂ H+
∗
⊂ L2 ⊂ H−
∗
⊂ W−
∗
.
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
Формально спряженим до L є оператор
L
∗v=
n
∑
i,j=1
(aij(x)vtxj
)xi
+
n
∑
i=1
(ai(x)vt)xi
−a(x)vt−
n
∑
i,j=1
(bij(x)vxj
)xi
−
n
∑
i=1
(bi(x)v)xi
+b(x)v−
−
T
∫
t
(
n
∑
i,j=1
(kij(x, τ, t)vxi
(x, τ))xj
−
n
∑
i=1
(ki(x, τ, t)v(x, τ))xi
+ k(x, τ, t)v(x, τ)
)
dτ.
Областями визначення операторiв L, L∗ є, вiдповiдно, C∞
0 та C∞
T .
Апрiорнi оцiнки в негативних нормах. Шляхом безпосередньої перевiрки можна
довести оцiнки.
Лема 1. ∃C > 0: ∀u ∈ C∞
0 має мiсце ‖Lu‖W−
∗
6 C‖u‖H+ , ‖Lu‖H−
∗
6 C‖u‖W+ .
Лема 2. ∃C > 0: ∀ v ∈ C∞
T має мiсце ‖L∗v‖W− 6 C‖v‖H+
∗
, ‖L∗v‖H− 6 C‖v‖W+
∗
.
Лема 1 дає змогу розширити за неперервнiстю оператор L i розглядати його як неперерв-
не вiдображення W+ → H−
∗
i H+ → W−
∗
. Зауважимо, що на елементах простору W+ цi два
розширення збiгаються. Аналогiчнi твердження щодо спряженого оператора справедливi
на пiдставi леми 2. Збережемо за розширеними операторами позначення L i L∗.
Лема 3. Нехай f , g ∈ C([0, T ]) — невiд’ємнi функцiї. Тодi ∀ p > 0
T
∫
0
f(t)
( t
∫
0
epτg(τ) dτ
)
dt 6
1
2
√
T
p
( T
∫
0
eptf2(t) dt+
T
∫
0
eptg2(t) dt
)
.
При f = g твердження леми доведено в [11]; в загальному випадку мiркування анало-
гiчнi.
Лема 4. ∃C > 0: ∀u ∈ H+ має мiсце оцiнка ‖Lu‖W−
∗
> C‖u‖H+ .
Доведення. Доведемо лему для функцiй з C∞
0 . Розглянемо iнтегральне перетворення,
що кожному елементу u ∈ C∞
0 ставить у вiдповiднiсть функцiю
v(x, t) = −
t
∫
T
e−pτu(x, τ) dτ,
де p — деяка додатна стала, значення якої буде пiдiбрано пiзнiше. Таким чином, u(x, t) =
= −eptvt(x, t), uxi
(x, t) = −eptvtxi
(x, t). Легко бачити, що v ∈ C∞
T .
Щоб довести потрiбне твердження, обгрунтуємо ланцюжок нерiвностей
‖Lu‖W−
∗
‖v‖W+
∗
> |(Lu, v)L2
| > C0‖v‖
2
W+
∗
> C‖v‖W+
∗
‖u‖H+ .
Лiва нерiвнiсть — це нерiвнiсть Кошi–Шварца. Права є очевидною (див. вираз для u
через vt). Щоб довести середню, розглянемо бiлiнiйну форму
(Lu, v)L2
= (Aut, v)L2
+ (Bu, v)L2
+ (Iu, v)L2
.
Спершу оцiнимо (Aut, v)L2
+ (Bu, v)L2
= I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6.
Iнтегруючи частинами з урахуванням рiвномiрної елiптичностi оператора A, а також
умов (1) та їх наслiдкiв (uxi
|t=0 = vxi
|t=T = 0), маємо
I1 = −
∫
Q
v
n
∑
i,j=1
(aijutxi
)xj
dQ =
n
∑
i,j=1
∫
Q
aijutxi
vxj
dQ = −
n
∑
i,j=1
∫
Q
aijuxi
vtxj
dQ =
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 45
=
n
∑
i,j=1
∫
Q
eptaijvtxi
vtxj
dQ >
n
∑
i=1
∫
Q
αeptv2txi
dQ.
Аналогiчно можна показати, що
I2 =
∫
Q
n
∑
i=1
aiutxi
vdQ = −
1
2
n
∑
i=1
∫
Q
∂ai
∂xi
eptv2t dQ, I3 =
∫
Q
autvdQ =
∫
Q
aeptv2t dQ,
I4 = −
∫
Q
v
n
∑
i,j=1
(bijuxj
)xi
dQ >
∫
Q
βp
2
ept
n
∑
i=1
v2xi
dQ,
I5 =
∫
Q
n
∑
i=1
biuxi
vdQ = −
n
∑
i=1
∫
Q
biuvxi
dQ−
n
∑
i=1
∫
Q
∂bi
∂xi
uvdQ.
Оскiльки
−
n
∑
i=1
∫
Q
biuvxi
dQ =
n
∑
i=1
∫
Q
bie
ptvtvxi
dQ > −
1
2
n
∑
i=1
∫
Q
|bi|e
pt(v2t + v2xi
) dQ,
n
∑
i=1
∫
Q
∂bi
∂xi
uvdQ+ I6 =
n
∑
i=1
∫
Q
∂bi
∂xi
uvdQ+
∫
Q
buvdQ > 0,
маємо
I2 + I3 + I5 + I6 > −
1
2
n
∑
i=1
∫
Q
ept|bi|v
2
xi
dQ,
тож загалом
(Aut, v)L2
+ (Bu, v)L2
> α
n
∑
i=1
∫
Q
eptv2txi
dQ+ P1(p)
n
∑
i=1
∫
Q
eptv2xi
dQ,
де P1(p) ∼ p. Тепер оцiнимо доданки (Iu, v)L2
= (u,I∗v)L2
= J1 + J2 + J3.
Позначимо M = max
(x,t,τ)
(|kij(x, t, τ)|, |ki(x, t, τ)|, |k(x, t, τ)|). Використавши формулу iнте-
грування частинами i лему 3, маємо
J1 =
∫
Q
eptvt(x, t)
T
∫
t
n
∑
i,j=1
(kij(x, τ, t)v(x, τ)xi
)xj
dτdQ =
=
∫
Ω
n
∑
i,j=1
T
∫
0
−eptvtxj
(x, t)
T
∫
t
kij(x, τ, t)vxi
(x, τ) dτdtdΩ =
=
∫
Ω
n
∑
i,j=1
T
∫
0
−vxi
(x, τ)
τ
∫
0
eptkij(x, τ, t)vtxj
(x, t) dtdτdΩ 6
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
6 M
∫
Ω
n
∑
i,j=1
T
∫
0
|vxi
(x, τ)|
τ
∫
0
ept|vtxj
(x, t)| dtdτdΩ 6
6
M
2
√
T
p
n
∑
i,j=1
(
∫
Q
ept(v2txj
+ v2xi
) dQ
)
=
Mn
2
√
T
p
n
∑
i=1
(
∫
Q
ept(v2xi
+ v2txi
) dQ
)
.
Аналогiчно
J2 =
∫
Q
−eptvt(x, t)
T
∫
t
n
∑
i=1
(ki(x, τ, t)v(x, τ))xi
dτdQ =
=
∫
Ω
n
∑
i=1
T
∫
0
v(x, τ)
τ
∫
0
eptki(x, τ, t)vtxi
(x, t) dtdτdΩ 6
6 M
∫
Ω
T
∫
0
n
∑
i=1
|v(x, τ)|
τ
∫
0
ept|vtxi
(x, t)| dtdτdΩ 6
6
M
2
√
T
p
n
∑
i=1
(
∫
Q
ept(v2 + v2txi
) dQ
)
6
M
2
√
T
p
n
∑
i=1
(
∫
Q
ept(v2xi
+ v2txi
) dQ
)
(в останньому переходi використано нерiвнiсть Фрiдрiхса).
J3 =
∫
Q
eptvt(x, t)
T
∫
t
k(x, τ, t)v(x, τ) dτdQ 6
M
2
√
T
p
(
∫
Q
ept(v2 + v2t ) dQ
)
6
6
M
2
√
T
p
n
∑
i=1
(
∫
Q
ept(v2xi
+ v2txi
) dQ
)
.
Таким чином,
|(Lu, v)|L2
> |(Au, v)L2
+ (Bu, v)L2
| − |(Iu, v)L2
| >
> α
n
∑
i=1
∫
Q
eptv2txi
dQ+ P1(p)
n
∑
i=1
∫
Q
eptv2xi
dQ+ P2(p)
(
∫
Q
ept(v2xi
+ v2txi
) dQ
)
,
де P1(p) ∼ p, P2(p) ∼ p−1/2, тож при достатньо великому p потрiбна нерiвнiсть має мiсце,
наприклад, з C0 = α/2.
Аналогiчно доводиться
Лема 5. ∃C > 0: ∀ v ∈ H+
∗
має мiсце оцiнка ‖L∗v‖W− > C‖v‖H+ .
З доведених нерiвностей випливають [4] теореми розв’язностi.
Теорема 1. Для кожного функцiонала f ∈ W−
∗
рiвняння Lu = f має єдиний розв’язок
з простору H+, причому u ∈ W+ ⇔ f ∈ H−
∗
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 47
Теорема 2. Для кожного функцiонала g ∈ W− рiвняння L
∗v = g має єдиний розв’язок
з простору H+
∗
, причому v ∈ W+
∗
⇔ g ∈ H−.
З ау в аже нн я 1 . До вищерозглянутої задачi зводиться початково-крайова задача з не-
однорiдними початковими умовами:
Lu = f, u|t=0 = u0(x), u|∂Ω = 0.
Введемо до розгляду функцiю u∗(x, t) = u0(x). Якщо u0 ∈ W 1
2 (Ω), то можна зробити замiну
v = u − u∗, що приводить до задачi
Lv = f − Lu∗, v|t=0 = 0, v|∂Ω = 0.
Iмпульсно-точкова керованiсть. Розглянемо систему
Lu(h) = B(h), h ∈ U, (2)
де B : U → W−
∗
.
Означення 1. Система (2) точно керована (асимптотично керована) в банаховому про-
сторi M ⊆ L2 множиною допустимих керувань U , якщо множина {u(h) : h ∈ U} покриває M
(щiльна в M).
З попереднiх результатiв безпосередньо випливає: якщо B(U) = W−
∗
, то (2) точно ке-
рована в H+. Умова B(U) = W−
∗
є жорсткою та, як правило, не виконується для правих
частин, що зустрiчаються в задачах узагальненого керування. Послабивши вимоги на праву
частину, яка задає вплив, приходимо до твердження: якщо B(U) щiльна в W−
∗
, то систе-
ма (2) асимптотично керована в H+ [4].
Розглянемо двi конкретнi ситуацiї керованостi. Нехай
B(h) =
∑
j>1
cjδ(· − tj)⊗ gj ,
де h = {(tj , cj , gj(x))} — фiнiтна послiдовнiсть елементiв [0, T ] × R × L2(Ω) (тобто, почи-
наючи з деякого j0, всi елементи дорiвнюють нулю). Позначимо через F множину всiх таких
фiнiтних послiдовностей. Вiдомо [10], що множина
{
∑
j>1
cjδ(· − tj)⊗ gj : h ∈ F
}
щiльно вкладена в W−
∗
. Звiдси випливає асимптотична iмпульсна керованiсть системи (2).
Припустимо, що множина Ω цилiндрична за змiнною x1, тобто Ω = (0, 1)×Ω′, Ω′ ∈ R
n−1.
Нехай
B(h) =
∑
j>1
cjδ(· − tj)⊗ δ(· − x1,j)⊗ gj ,
де h = {(tj , x1,j, cj , gj(x2, . . . , xn))} — фiнiтна послiдовнiсть елементiв декартового добутку
[0, T ] × [0, 1] × R × L2(Ω
′); F ′ — множина всiх таких фiнiтних послiдовностей. Оскiльки
множина
{
∑
j>1
cjδ(· − tj)⊗ δ(· − x1,j)⊗ gj : h ∈ F ′
}
щiльно вкладена в W−
∗
, то система (2) асимптотично керована в просторi H+ (iмпуль-
сно-точкова керованiсть).
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
1. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. – Москва: Наука, 1980. – 384 с.
2. Shaw S., Whiteman J. R. Towards adaptive finite element schemes for partial differential Volterra equation
solvers // Adv. in Comp. Math. – 1996. – 6. – P. 309–323.
3. Фалалеев М. В, Орлов С.С. Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением в банаховых про-
транствах и их приложение в математической теории упругости // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Ма-
тематика. – 2011. – 4, № 1. – С. 118–134.
4. Ляшко С.И. Обобщенное управление линейными системами. – Киев: Наук. думка, 1998. – 465 с.
5. Номировский Д.А. О гомеоморфизмах, осуществляемых некоторыми дифференциальными операто-
рами с частными производными // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 12. – С. 1707–1716.
6. Семенов В.В. Обобщенное решение псевдопараболической задачи сопряжения с условием неидеаль-
ного контакта // Журн. обчисл. та прикл. математики. – 2005. – № 2. – (93). – С. 107–115.
7. White L.W. Point control of pseudoparabolic problems // J. of Different. Equations. – 1981. – 42, No 3. –
366–374.
8. White L.W. Optimal bang-bang controls arising in a Sobolev impulse control problem // J. Math. Anal.
Appl. – 1984. – 99, No 1. – P. 237–247.
9. Cеменов В.В. Про керованiсть псевдопараболiчних систем в класах зосереджених впливiв // Журн.
обчисл. та прикл. математики. – 2001. – No 1(86). – С. 78–85.
10. Семенов В. В. Iмпульсна керованiсть деяких лiнiйних розподiлених систем типу С. Л. Соболєва //
Доп. НАН України. – 2001. – № 12. – С. 77–82.
11. Анiкушин А.В. Оптимальне керування iнтегро-диференцiальними системами параболiчного типу //
Журн. обчисл. та прикл. математики. – 2010. – № 3(102). – С. 3–16.
12. Свешников А.Г., Альшин А.Б., Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д. Линейные и нелинейные уравнения
соболевского типа – Москва: Физматлит, 2007. – 734 с.
Надiйшло до редакцiї 01.09.2011Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
А.Л. Гуляницкий, В.В. Семенов
Интегро-дифференциальные системы псевдопараболического типа:
априорные оценки и импульсно-точечная управляемость
Для вольтерровского интегро-дифференциального оператора псевдопараболического типа по-
лучены априорные оценки в негативных нормах, теоремы существования и единственно-
сти обобщенных решений соответствующих граничных задач. Рассмотрен вопрос импульс-
но-точечной управляемости систем, описываемых интегро-дифференциальными псевдопа-
раболическими уравнениями.
A.L. Hulianytskyi, V. V. Semenov
Integro-differential pseudoparabolic systems: a priori estimates and
impulse-point controllability
For a pseudoparabolic Volterra integro-differential operator, the a priori estimates in negative norms
and the unique generalized solvability theorems for the corresponding boundary value problems
are obtained. The question of impulse-point controllability of systems governed by pseudoparabolic
integro-differential equations is investigated.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 49
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49486 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:51:17Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гуляницький, А.Л. Семенов, В.В. 2013-09-19T20:16:40Z 2013-09-19T20:16:40Z 2012 Інтегро-диференціальні системи псевдопараболічного типу: апріорні оцінки та імпульсно-точкова керованість / А.Л. Гуляницький, В.В. Семенов // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 43-49. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49486 517.9 Для вольтеррівського інтегро-диференціального оператора псевдопараболічного типу одержано апріорні оцінки у негативних нормах, теореми існування та єдиності узагальнених розв'язків відповідних крайових задач. Розглянуто питання імпульсно-точкової керованості систем, що описуються інтегро-диференціальними псевдопараболічними рівняннями. Для вольтерровского интегро-дифференциального оператора псевдопараболического типа получены априорные оценки в негативных нормах, теоремы существования и единственности обобщенных решений соответствующих граничных задач. Рассмотрен вопрос импульсно-точечной управляемости систем, описываемых интегро-дифференциальными псевдопараболическими уравнениями. For a pseudoparabolic Volterra integro-differential operator, the a priori estimates in negative norms and the unique generalized solvability theorems for the corresponding boundary value problems are obtained. The question of impulse-point controllability of systems governed by pseudoparabolic integro-differential equations is investigated. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Інтегро-диференціальні системи псевдопараболічного типу: апріорні оцінки та імпульсно-точкова керованість Интегро-дифференциальные системы псевдопараболического типа: априорные оценки и импульсно-точечная управляемость Integro-differential pseudoparabolic systems: a priori estimates and impulse-point controllability Article published earlier |
| spellingShingle | Інтегро-диференціальні системи псевдопараболічного типу: апріорні оцінки та імпульсно-точкова керованість Гуляницький, А.Л. Семенов, В.В. Інформатика та кібернетика |
| title | Інтегро-диференціальні системи псевдопараболічного типу: апріорні оцінки та імпульсно-точкова керованість |
| title_alt | Интегро-дифференциальные системы псевдопараболического типа: априорные оценки и импульсно-точечная управляемость Integro-differential pseudoparabolic systems: a priori estimates and impulse-point controllability |
| title_full | Інтегро-диференціальні системи псевдопараболічного типу: апріорні оцінки та імпульсно-точкова керованість |
| title_fullStr | Інтегро-диференціальні системи псевдопараболічного типу: апріорні оцінки та імпульсно-точкова керованість |
| title_full_unstemmed | Інтегро-диференціальні системи псевдопараболічного типу: апріорні оцінки та імпульсно-точкова керованість |
| title_short | Інтегро-диференціальні системи псевдопараболічного типу: апріорні оцінки та імпульсно-точкова керованість |
| title_sort | інтегро-диференціальні системи псевдопараболічного типу: апріорні оцінки та імпульсно-точкова керованість |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49486 |
| work_keys_str_mv | AT gulânicʹkiial íntegrodiferencíalʹnísistemipsevdoparabolíčnogotipuapríorníocínkitaímpulʹsnotočkovakerovanístʹ AT semenovvv íntegrodiferencíalʹnísistemipsevdoparabolíčnogotipuapríorníocínkitaímpulʹsnotočkovakerovanístʹ AT gulânicʹkiial integrodifferencialʹnyesistemypsevdoparaboličeskogotipaapriornyeocenkiiimpulʹsnotočečnaâupravlâemostʹ AT semenovvv integrodifferencialʹnyesistemypsevdoparaboličeskogotipaapriornyeocenkiiimpulʹsnotočečnaâupravlâemostʹ AT gulânicʹkiial integrodifferentialpseudoparabolicsystemsaprioriestimatesandimpulsepointcontrollability AT semenovvv integrodifferentialpseudoparabolicsystemsaprioriestimatesandimpulsepointcontrollability |