Теоретический анализ действия зерна адсорбента
Сформулирована нестационарная линейная задача действия зерна адсорбента при переменном содержании адсорбата в объеме и получено ее приближенное решение. Проведено его сопоставление со строгим решением на многочисленных примерах расчета относительных концентраций и притока вещества к зерну, показавше...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49489 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Теоретический анализ действия зерна адсорбента / В.Л. Поляков // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 64-70. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860216634468204544 |
|---|---|
| author | Поляков, В.Л. |
| author_facet | Поляков, В.Л. |
| citation_txt | Теоретический анализ действия зерна адсорбента / В.Л. Поляков // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 64-70. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Сформулирована нестационарная линейная задача действия зерна адсорбента при переменном содержании адсорбата в объеме и получено ее приближенное решение. Проведено его сопоставление со строгим решением на многочисленных примерах расчета относительных концентраций и притока вещества к зерну, показавшее высокую эффективность первого.
Сформульовано нестаціонарну лінійну задачу дії зерна адсорбенту при змінному вмісті адсорбату в об'ємі і одержано її наближений розв'язок. Виконано його зіставлення з точним розв'язком на багаточисленних прикладах розрахунку відносних концентрацій і потоку речовини до зерна, яке показало високу ефективність першого.
A non-steady linear task concerning the adsorbent grain effect under the variable adsorbate content within the liquid volume has been stated and approximately solved. The approximate solution has been compared with the exact one at numerous examples of calculating the relative concentrations and the substance flow to a grain, and its high efficiency has been established.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:16:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 628.16.08
© 2012
В.Л. Поляков
Теоретический анализ действия зерна адсорбента
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.Я. Олейником)
Сформулирована нестационарная линейная задача действия зерна адсорбента при пе-
ременном содержании адсорбата в объеме и получено ее приближенное решение. Про-
ведено его сопоставление со строгим решением на многочисленных примерах расчета
относительных концентраций и притока вещества к зерну, показавшее высокую эффек-
тивность первого.
Эффективное извлечение веществ из растворов, прежде всего, в технологиях водоочистки,
а также химического производства обеспечивает метод адсорбции [1, 2]. На практике он
реализуется в статических (объем воды с взвешенными частицами адсорбента) [3] и дина-
мических (фильтрование через пористый слой адсорбента) [4] условиях. Материал адсор-
бента обладает большой поглощающей способностью и обычно представляет собой несвя-
зную, зернистую (гранулированную) массу. Его частицы (зерна) содержат разветвленную
сеть мезо- и микропор, размеры которых позволяют молекулам примеси (адсорбата) бес-
препятственно проникать вглубь. Именно внутри зерен как результат интенсивного взаи-
модействия на молекулярном уровне адсорбата со стенками пор протекают непосредствен-
но процессы массообмена между твердой и жидкой фазами физической среды (адсорбция
и десорбция). Таким образом, растворенное вещество фиксируется почти исключительно на
внутренних активных центрах и не препятствует фильтрационному течению, массопередаче
к зернам. Поэтому при изучении поведения примеси в адсорбционных аппаратах ключевую
роль играет установление закономерностей внутренних массопереноса и массообмена. Тем
самым создаются предпосылки для надежного расчета действия сначала отдельной высо-
копористой частицы адсорбента, а затем и их совокупности, образующей плотный слой
или взвесь. Этому вопросу посвящено много работ, например [5–7]. Соответствующие ма-
тематические модели в общем случае оказываются нестационарными и нелинейными, что
сильно затрудняет применение аналитических методов и разработку инженерных методов
расчета. Поэтому приходится прибегать к схематизации условий адсорбции, принимая сис-
тему обоснованных в литературе допущений. Как правило, считается, что зерно адсорбента
является однородной, изначально чистой сферической частицей. В слабоконцентрирован-
ных растворах (при глубокой очистке) содержание свободного вещества изменяется в узких
пределах, что дает основание применять линейную изотерму адсорбции [8]. Поступление
адсорбата к поверхности зерна (первая стадия общего адсорбционного процесса) контро-
лируется примыкающей к нему тонкой жидкой пленкой, а его транспорт внутри (вторая
стадия указанного процесса) осуществляется с помощью диффузионного механизма (моле-
кулярная и поверхностная диффузия). Тогда исходная математическая задача принимает
следующий вид:
1
r2
∂
∂r
[
r2
(
np
χ
Dm
∂Cp
∂r
+ ρpDs
∂Sp
∂r
)]
= np
∂Cp
∂t
+ ρp
∂Sp
∂t
, (1)
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
Sp = KadCp, (2)
r = 0,
∂Cp
∂r
= 0, (3)
r = R,
np
τp
Dm
∂Cp
∂r
+ ρpDs
∂Sp
∂r
= kL(Cw − Cp), (4)
t = 0, Cp = 0. (5)
Здесь Cp, Cw — концентрация растворенного вещества внутри зерна и в объеме, мг/л; Dm —
коэффициент молекулярной диффузии, дм2/с; np — пористость зерна; χ — извилистость;
ρp — плотность зерна, кг/дм3; Ds — коэффициент поверхностной диффузии, дм2/с; Sp —
концентрация адсорбированного вещества, мг/кг; Kad — коэффициент адсорбции, л/кг;
R — радиус зерна, м; kL — коэффициент массопереноса в жидкой пленке, дм/с [9]. Если
ввести постоянные эффективные коэффициенты
De =
np
χ
Dm + ρpDsKad, θ = np + ρpKad,
то уравнение (1) и условие (4) заметно упростятся
De
r2
∂
∂r
(
r2
∂Cp
∂r
)
= θ
∂Cp
∂t
, (6)
r = R, De
∂Cp
∂r
= kL(Cw − Cp). (7)
Для получения приближенного решения задачи (3), (5)–(7) искомая функция в правой
части уравнения (6) осредняется по объему зерна
Cc(t) =
3
R3
R∫
0
r2Cp(r, t) dr. (8)
Тогда уравнение (6) трансформируется
De
∂
∂r
(
r2
∂Cp
∂r
)
= θr2
dCc
dt
. (9)
В результате двойного интегрирования (8) с привлечением условий (3), (7) найдено
выражение для концентрации адсорбата
Cp = Cw +
[
θ
6De
(r2 −R2)−
θR
3kL
]
dCc
dt
. (10)
Уравнение относительно величины Cc выводится путем осреднения левой части (10) соглас-
но (8) и будет таким:
dCc
dt
= ϕCc = ϕCw(t). (11)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 65
Его решение при условии Cc(0) имеет вид
Cc(t) = ϕ
t∫
0
e−ϕ(t−τ)Cw(τ) dτ, (12)
где
ϕ =
De
θR2
ϕ̃, ϕ̃ =
(
1
15
+
1
3Bi
)
−1
, Bi =
kLR
De
.
Из (10) и (12) вытекает, что искомая концентрация Cp выражается через переменную и пока
не известную величину Cw таким образом:
Cp(r, t) = θϕ
(
r2 −R2
6De
−
R
3kL
)[
Cw(t)− ϕ
t∫
0
e−ϕ(t−τ)Cw(τ) dτ
]
. (13)
В частном случае Cw = Cw0 = const
Cp(r, t) = Cw0
[
1 + θϕ
(
r2 −R2
6De
−
R
3kL
)
e−ϕt
]
. (14)
Чтобы найти значение данной концентрации на поверхности зерна CpR, достаточно
в формулах (13), (14) положить r = R. Для удобства последующего анализа они и все
последующие зависимости будут представлены в безразмерной форме. С этой целью вво-
дятся относительные переменные: Cp,w = Cp,w/C0, C0 — масштаб концентрации (обычно
исходная концентрация примеси), r = r/R, t̃ = Det/θ. Тогда после несложных преобразо-
ваний запишем выражения (13), (14) так:
Cp(r, t̃) = Cw(t̃) + ϕ̃
(
r2 − 1
6
−
1
3Bi
)[
Cw(t̃)− ϕ̃
t̃∫
0
e−ϕ̃(t̃−τ)Cw(τ) dτ
]
, (15)
Cp(r, t̃) = Cw0
[
1 + ϕ̃
(
r2 − 1
6
−
1
3Bi
)
e−ϕ̃t̃
]
. (16)
Поток вещества в зерно ip определяется по формуле
ip(t) = kL[Cw(t)−CpR(t)],
а его безразмерный аналог — по формуле
ip(t̃) =
Rip(t)
DeC0
= Bi[Cw(t̃)− CpR(t̃)]. (17)
В соответствии с (16), (17) окончательно при переменной или постоянной величине Cw
поток ip будет
ip(t̃) =
ϕ̃
3
[
Cw(t̃)− ϕ̃
t̃∫
0
e−ϕ̃(t̃−τ)Cw(τ)dτ
]
, (18)
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
ip(t̃) =
ϕ̃
3
e−ϕ̃t̃. (19)
Для оценки точности приближенного решения используется строгое решение исходной
задачи (3), (5)–(7). При Cw = const оно известно давно [10]
Cp(rt̃) = 1−
∞∑
n=1
αn
sinµnr
µnr
e−µ2
n
t̃ (20)
и сравнительно просто обобщается на случай Cw(t). Тогда
Cp(rt̃) =
∞∑
n=1
αnµn
sinµnr
r
t̃∫
0
e−µ2
n
(t̃−τ)Cw(τ) dτ. (21)
Здесь
αn =
2(sin µn − µn cosµn)
µn − sinµn cosµn
,
µn — корни уравнения
tg µn =
µn
1− Bi
.
Если жидкая пленка не влияет на массоперенос (kL → ∞, Bi → ∞), то зависимости (20), (21)
заметно упростятся
Cp(rt̃) = 1−
2
r
∞∑
n=1
(−1)n+1 sinnπr
nπ
e−n2π2t̃, (22)
Cp(rt̃) =
2π
r
∞∑
n=1
(−1)n+1n sinnπr
t̃∫
0
e−n2π2(t̃−τ)Cw(τ) dτ. (23)
Основной целью проведенного в данной работе количественного анализа стало обосно-
вание полученного выше приближенного решения путем сопоставления со строгим. Вместе
с тем, результаты множества вычислений иллюстрируют характер насыщения зерна ад-
сорбатом, сокращения притока вещества к нему со временем. Для удобства принималось
Cw = 1. Предметом расчетов большого количества примеров при типичных условиях стали
относительные концентрации растворенного и адсорбированного вещества на поверхности
и внутри зерна, поток адсорбата к нему. Критерий Bi изменялся в широких пределах (от 2
до 100). Длительность расчетного периода выбиралась достаточно большой, так что ад-
сорбционный ресурс зерна использовался практически полностью.
В первую очередь была рассчитана граничная концентрация CpR при разных значениях
Bi по точной (20) и приближенной (16) формулам. Кривые CpR(t̃) изображены на рис. 1.
Незначительные расхождения между соответствующими кривыми (1 и 2, 3 и 4, 5 и 6 ) на-
блюдаются только при небольших значениях t̃, отвечающих начальному периоду действия
зерна. С течением времени эти пары кривых настолько сближаются, что почти сливаются.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 67
Рис. 1. Изменение со временем относительной объемной концентрации загрязнения на входе в частицу
адсорбента:
1, 3, 5, 7 — точное решение; 2, 4, 6, 8 — приближенное решение; 1, 2 — Bi = 100, 3 — Bi = 10; 5, 6 — Bi = 5;
7, 8 — Bi = 2
Рис. 2. Распределение относительной концентрации адсорбированного вещества внутри зерна:
1, 3, 4, 6 — точное решение; 2, 5 — приближенное решение; 1 — t̃ = 0,3, 2, 3 — t̃ = 0,1; 4, 5 — t̃ = 0,03; 6 —
t̃ = 0,01
Принимая во внимание высокую скорость непосредственного связывания примеси ад-
сорбентом на межфазных поверхностях, а также линейность изотермы адсорбции, при из-
вестном распределении в зерне растворенного вещества легко вычислить аналогичное рас-
пределение концентрации (профиль) адсорбированного вещества на любой момент времени.
При выборе для концентрации Sp в качестве масштаба произведения KadC0, согласно (2),
Sp будет равно Cp. Следовательно, для расчетов изменения Sp вдоль радиуса и со време-
нем следует опять-таки пользоваться зависимостями Cp(r, t̃). На рис. 2 показаны профили
Sp(r) на фиксированные моменты времени, также рассчитанные точно и приближенно. Их
близость свидетельствует о правомочности применения приближенных формул и при рас-
смотрении насыщения зерна адсорбатом.
И в заключение определялась строго и приближенно базовая характеристика для по-
следующих исследований работы адсорбционных аппаратов, а именно, поток адсорбента
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
Рис. 3. Изменение со временем относительного расхода загрязнения в частицу адсорбента:
1, 3, 5 — точное решение; 2, 4, 6 — приближенное решение; 1, 2 — Bi = 10, 3, 4 — Bi = 5; 5, 6 — Bi = 2
к зерну как функция от времени. Графики зависимости ip(t̃) строились с помощью форму-
лы (17), а значения CpR вычислялись по (16) и (20). Они представлены на рис. 3 и свиде-
тельствуют о надежности приближенных формул.
Полученное в работе приближенное решение нестационарной линейной задачи поглоще-
ния зерном адсорбента вещества при обработке слабоконцентрированных растворов, напри-
мер при доочистке природных и сточных вод, благодаря его простоте и точности открыва-
ет большие возможности в моделировании и расчетах метода адсорбции в динамических
и статических условиях.
1. Адсорбция органических веществ из воды / Когановский А.М., Клименко Н.А., Левченко Т.М.,
Рода И. Г. – Ленинград: Химия, 1990. – 256 с.
2. Проскуряков В.А., Шмидт Л.И. Очистка сточных вод в химической промышленности. – Ленинград:
Химия, 1977. – 464 с.
3. Hu J.-Y., Aizana T., Ookubo Y., Morita Y. Adsorptive characteristics of inorganic aromatic pesticides in
water on powdered activated carbon // Water Res. – 1998. – 32. – P. 2593–2600.
4. Chern J.-M., Chien Y.-W. Competitive adsorption of benzoic acid and p-nitrophenol onto activated carbon:
isotherm and breakthrough curves // Ibid. – 2003. – 37. – P. 2347–2356.
5. Chang C.-F., Chang C.-Y., Holl W. et al. Adsorption kinetics of polyethylene glycol from aqueous solution
onto activated carbon // Ibid. – 2004. – 38. – P. 2559–2570.
6. Kim B.R., Suidan M.T., Traegner U.K. Considering age distribution for a PAC/water slurry reactor
model // Ibid. – 1997. – 28. – P. 1241–1245.
7. Lin T.-F., Wu J.-K. Adsorption of arsenite and arsenate within activated alumina grains: equilibrium and
kinetics // Ibid. – 2001. – 35, No 8. – P. 2049. – 2057.
8. Lounici H., Aioueche F., Belhocine D., Drouiche M., Pauss A., Mameri N. Mechanism of phenol adsorption
onto electro-activated carbon granules // Ibid. – 2004. – 38. – P. 218–224.
9. Ko D.C.K., Porter J. F., McKay G. Film-pore diffusion model for the fixed-bed sorption of copper and
cadmium ions onto bone char // Ibid. – 2001. – 35. – P. 3876–3886.
10. Лыков А.В. Теория теплопроводности. – Москва: Высш. шк., 1967. – 599 с.
Поступило в редакцию 31.05.2011Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 69
В.Л. Поляков
Теоретичний аналiз дiї зерна адсорбенту
Сформульовано нестацiонарну лiнiйну задачу дiї зерна адсорбенту при змiнному вмiстi ад-
сорбату в об’ємi i одержано її наближений розв’язок. Виконано його зiставлення з точним
розв’язком на багаточисленних прикладах розрахунку вiдносних концентрацiй i потоку ре-
човини до зерна, яке показало високу ефективнiсть першого.
V.L. Polyakov
Theoretical analysis of adsorbent grain action
A non-steady linear task concerning the adsorbent grain effect under the variable adsorbate content
within the liquid volume has been stated and approximately solved. The approximate solution has
been compared with the exact one at numerous examples of calculating the relative concentrations
and the substance flow to a grain, and its high efficiency has been established.
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49489 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:16:11Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Поляков, В.Л. 2013-09-19T20:20:59Z 2013-09-19T20:20:59Z 2012 Теоретический анализ действия зерна адсорбента / В.Л. Поляков // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 64-70. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49489 628.16.08 Сформулирована нестационарная линейная задача действия зерна адсорбента при переменном содержании адсорбата в объеме и получено ее приближенное решение. Проведено его сопоставление со строгим решением на многочисленных примерах расчета относительных концентраций и притока вещества к зерну, показавшее высокую эффективность первого. Сформульовано нестаціонарну лінійну задачу дії зерна адсорбенту при змінному вмісті адсорбату в об'ємі і одержано її наближений розв'язок. Виконано його зіставлення з точним розв'язком на багаточисленних прикладах розрахунку відносних концентрацій і потоку речовини до зерна, яке показало високу ефективність першого. A non-steady linear task concerning the adsorbent grain effect under the variable adsorbate content within the liquid volume has been stated and approximately solved. The approximate solution has been compared with the exact one at numerous examples of calculating the relative concentrations and the substance flow to a grain, and its high efficiency has been established. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Теоретический анализ действия зерна адсорбента Теоретичний аналіз дії зерна адсорбенту Theoretical analysis of adsorbent grain action Article published earlier |
| spellingShingle | Теоретический анализ действия зерна адсорбента Поляков, В.Л. Механіка |
| title | Теоретический анализ действия зерна адсорбента |
| title_alt | Теоретичний аналіз дії зерна адсорбенту Theoretical analysis of adsorbent grain action |
| title_full | Теоретический анализ действия зерна адсорбента |
| title_fullStr | Теоретический анализ действия зерна адсорбента |
| title_full_unstemmed | Теоретический анализ действия зерна адсорбента |
| title_short | Теоретический анализ действия зерна адсорбента |
| title_sort | теоретический анализ действия зерна адсорбента |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49489 |
| work_keys_str_mv | AT polâkovvl teoretičeskiianalizdeistviâzernaadsorbenta AT polâkovvl teoretičniianalízdíízernaadsorbentu AT polâkovvl theoreticalanalysisofadsorbentgrainaction |