Связь между объемом и площадью шаров в геометрии Гильберта
We show that the spheres in the Hilbert geometry have the same volume growth rate as those in the Lobachevsky space. We give the asymptotic estimates for the ratio of the volume of a metric ball to the area of a metric sphere in the Hilbert geometry. The derived estimates agree with the well-known f...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4964 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Связь между объемом и площадью шаров в геометрии Гильберта / А.А. Борисенко, Е.А. Олин // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 7-9. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859741810678562816 |
|---|---|
| author | Борисенко, А.А. Олин, Е.А. |
| author_facet | Борисенко, А.А. Олин, Е.А. |
| citation_txt | Связь между объемом и площадью шаров в геометрии Гильберта / А.А. Борисенко, Е.А. Олин // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 7-9. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | We show that the spheres in the Hilbert geometry have the same volume growth rate as those in the Lobachevsky space. We give the asymptotic estimates for the ratio of the volume of a metric ball to the area of a metric sphere in the Hilbert geometry. The derived estimates agree with the well-known facts for the Lobachevsky space.
|
| first_indexed | 2025-12-01T18:56:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
7 • 2008
МАТЕМАТИКА
УДК 514.774.4
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины А.А. Борисенко, Е.А. Олин
Связь между объемом и площадью шаров в геометрии
Гильберта
We show that the spheres in the Hilbert geometry have the same volume growth rate as those in
the Lobachevsky space. We give the asymptotic estimates for the ratio of the volume of a metric
ball to the area of a metric sphere in the Hilbert geometry. The derived estimates agree with
the well-known facts for the Lobachevsky space.
Геометрии Гильберта являются обобщением модели Кели–Клейна пространства Лобачевс-
кого. В ней эллипсоид, играющий роль абсолюта, заменяется произвольной выпуклой ги-
перповерхностью. Геометрии Гильберта являются примером полных, проективно плоских
симметричных финслеровых метрик постоянной отрицательной флаговой кривизны −1.
Пусть U — ограниченное открытое выпуклое множество с границей класса C∞ с по-
ложительными нормальными кривизнами в R
n, снабженным обычной евклидовой нормой
‖ · ‖. Для двух различных точек p и q из U пусть p1 и q1 будут соответственно точками
пересечения лучей p + R−(q − p) и p + R+(q − p) с ∂U . Тогда введем следующую метрику:
dU (p, q) =
1
2
ln
‖q − q1‖
‖p − p1‖
×
‖p − p1‖
‖q − q1‖
,
dU (p, p) = 0.
Метрическое пространство (U, dU ) является полным некомпактным геодезическим мет-
рическим пространством с R
n-топологией, в котором геодезическими являются афинные
отрезки [1, 2].
Функция расстояния индуцирует финслерову метрику FU на U следующего вида. Для
точки p ∈ U и касательного вектора v ∈ TpU = R
n
FU (p, v) =
1
2
‖v‖
(
1
‖p − p−‖
+
1
‖p − p+‖
)
.
Здесь p− и p+ — точки пересечения соответственно лучей p + R−v и p + R+v с ∂U .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 7
Тогда
dU (p, q) = inf
c : I→C : c(0)=p, c(1)=q, c∈C1(I)
∫
I
FU (c(t), ċ(t)) dt.
Если U = Bn
r , то метрика FBn
r
превращается в метрику Лобачевского в интерпретации
Кели–Клейна и имеет вид
FBn
r
(p, v) =
√
‖v‖2
r − ‖p‖2
+
〈v, p〉2
(r2 − ‖p‖2)2
.
В [2] доказано, что метрика Гильберта “стремится” к римановой метрике в следующем
смысле.
Теорема [2]. Пусть C ∈ R
n — ограниченное открытое строго выпуклое множест-
во с границей класса C3. Для каждой точки p ∈ C обозначим через δ(p) > 0 евклидово
расстояние от p до ∂C. Тогда найдется семейство (~lp)p∈C линейных преобразований R
n
такое, что
lim
δ(p)→0
FC(p, v)
‖~lp(v)‖
= 1
равномерно по v ∈ R
n \ {0}.
Это значит что единичная сфера касательного пространства метрики Гильберта стре-
мится в C0 топологии к эллипсоиду, когда точка стремится к границе множества.
Интересно получить другие асимптотические свойства метрик Гильберта.
В работе [1] было доказано, что шары в (n + 1)-мерной геометрии Гильберта имеют та-
кую же экспоненциальную скорость роста объема (энтропию), как шары в H
n+1, а именно n.
Мы доказали аналогичный результат для сфер в геометрии Гильберта.
Теорема 1. Рассмотрим (n + 1)-мерную геометрию Гильберта, построенную на огра-
ниченном открытом строго выпуклом множестве U ⊂ R
n+1, причем граница U является
C3-гладкой гиперповерхностью с положительными нормальными кривизнами. Тогда
lim
t→∞
ln(Vol(Sn
t ))
t
= n.
Известно [3–5], что в пространстве Лобачевского H
n+1 кривизны −1 для семейства мет-
рических шаров {Bn+1
t }t∈R+ выполняется следующее равенство:
lim
ρ→∞
Vol(Bn+1
ρ )
Vol(Sn
ρ )
=
1
n
. (1)
Оценка этого отношения в более общем случае для λ- и h-выпуклых гиперповерхностей
в пространствах Адамара была дана в работах [3, 4]. Мы рассматривали такое отношение
для семейства {Bn+1
t }t∈R+ в геометрии Гильберта.
Теорема 2. Рассмотрим (n + 1)-мерную геометрию Гильберта, построенную на огра-
ниченном открытом строго выпуклом множестве U ⊂ R
n+1, причем граница U является
C3-гладкой гиперповерхностью с положительными нормальными кривизнами. Зафикси-
руем точку o ∈ U , будем рассматривать эту точку как начало координат и центр всех
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
шаров. Обозначим через ω(u) : S
n → R+ радиальную функцию для ∂U , т. е. отображение
ω(u)u, u ∈ S
n является параметризацией ∂U , и через ι : R
n+1 → S
n — отображение такое,
что ι(p) = up/‖up‖, up — радиус-вектор точки p.
Обозначим через K и k максимальную и минимальную нормальную кривизну ∂U , c =
= max
u∈Sn
(ω(u)/ω(−u)), ω0 = min
u∈Sn
ω(u), ω1 = max
u∈Sn
ω(u), du — элемент площади сферы S
n, dp —
элемент площади ∂U . Тогда
lim
ρ→∞
sup
Vol(Bn+1
ρ )
Vol(Sn
ρ )
6
1
n
cn/2
(
K
k
)n/2 1
(kω0)n/2+1
∫
Sn
ω(u)n/2du
∫
∂U
ω(ι(p))−n/2dp
,
lim
ρ→∞
inf
Vol(Bn+1
ρ )
Vol(Sn
ρ )
>
1
n
1
cn/2
(
k
K
)n/2
(kω0)
n/2
∫
Sn
ω(u)n/2du
∫
∂U
ω(ι(p))−n/2dp
,
или в более простом виде
lim
ρ→∞
sup
Vol(Bn+1
ρ )
Vol(Sn
ρ )
6
1
n
(
K
k
)n/2(ω1
ω0
)n+1(ω1
k
)n/2 1
kω1
VolE(Sn)
VolE(∂U)
, (2)
lim
ρ→∞
inf
Vol(Bn+1
ρ )
Vol(Sn
ρ )
>
1
n
(
k
K
)n/2(ω0
ω1
)n/2
ωn
0 (kω0)
n/2 VolE(Sn)
VolE(∂U)
. (3)
Если U симметрично относительно точки o, то
lim
ρ→∞
sup
Vol(Bn+1
ρ )
Vol(Sn
ρ )
6
1
n
cn/2
(
K
k
)n/2 ωn
1
(kω0)n/2+1
VolE(Sn)
VolE(∂U)
,
lim
ρ→∞
inf
Vol(Bn+1
ρ )
Vol(Sn
ρ )
>
1
n
1
cn/2
(
k
K
)n/2
(kω0)
n/2ωn
0
VolE(Sn)
VolE(∂U)
.
П р и м е р . Если U = B
n+1
ρ , то мы получаем модель Клейна геометрии Лобачевского. Здесь мы
имеем
ω(u) =
1
k
=
1
K
= ω0 = ρ, c = 1, Vol
E
(∂U) = ρn
Vol
E
(Sn).
Используя оценки (2), (3), получаем равенство (1).
1. Colbois B., Verovic P. Rigidity of Hilbert metrics // Bull. Austral. Math. Soc. – 2002. – 65. – P. 23–34.
2. Colbois B., Verovic P. Hilbert geometries for strictly convex domains // Geometriae Dedicata. – 2004. –
105. – P. 29–42.
3. Борисенко A.A. Внутренняя и внешняя геометрия многомерных подмногообразий. – Москва: Экза-
мен, 2003. – 672 с.
4. Borisenko A.A., Gallego E., Reventos A. Relation between area and volume for convex sets in Hadamard
manifolds // Different. Geom. and Its Appl. – 2001. – 14. – P. 267–280.
5. Borisenko A.A., Olin E.A. Some comparison theorems in Finsler–Hadamard manifolds // J. Math. Phys.,
Anal., Geometry. – 2007. – 3, No 3. – P. 298–312.
Поступило в редакцию 08.11.2007Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4964 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T18:56:43Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Борисенко, А.А. Олин, Е.А. 2009-12-29T15:36:09Z 2009-12-29T15:36:09Z 2008 Связь между объемом и площадью шаров в геометрии Гильберта / А.А. Борисенко, Е.А. Олин // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 7-9. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4964 514.774.4 We show that the spheres in the Hilbert geometry have the same volume growth rate as those in the Lobachevsky space. We give the asymptotic estimates for the ratio of the volume of a metric ball to the area of a metric sphere in the Hilbert geometry. The derived estimates agree with the well-known facts for the Lobachevsky space. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Связь между объемом и площадью шаров в геометрии Гильберта Article published earlier |
| spellingShingle | Связь между объемом и площадью шаров в геометрии Гильберта Борисенко, А.А. Олин, Е.А. Математика |
| title | Связь между объемом и площадью шаров в геометрии Гильберта |
| title_full | Связь между объемом и площадью шаров в геометрии Гильберта |
| title_fullStr | Связь между объемом и площадью шаров в геометрии Гильберта |
| title_full_unstemmed | Связь между объемом и площадью шаров в геометрии Гильберта |
| title_short | Связь между объемом и площадью шаров в геометрии Гильберта |
| title_sort | связь между объемом и площадью шаров в геометрии гильберта |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4964 |
| work_keys_str_mv | AT borisenkoaa svâzʹmežduobʺemomiploŝadʹûšarovvgeometriigilʹberta AT olinea svâzʹmežduobʺemomiploŝadʹûšarovvgeometriigilʹberta |