Про iснування неперервних на R+ розв’язкiв систем нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь
New sufficient conditions of the existence of solutions continuously differentiable on R+ to the system of nonlinear differential-functional equations with a linearly transformed argument have been obtained.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4965 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про iснування неперервних на R+ розв’язкiв систем нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь / Н.Л. Денисенко // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 10-14. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860047018073784320 |
|---|---|
| author | Денисенко, Н.Л. |
| author_facet | Денисенко, Н.Л. |
| citation_txt | Про iснування неперервних на R+ розв’язкiв систем нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь / Н.Л. Денисенко // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 10-14. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | New sufficient conditions of the existence of solutions continuously differentiable on R+ to the system of nonlinear differential-functional equations with a linearly transformed argument have been obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:58:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
© 2008
Н.Л. Денисенко
Про iснування неперервних на R
+ розв’язкiв систем
нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
New sufficient conditions of the existence of solutions continuously differentiable on R
+ to
the system of nonlinear differential-functional equations with a linearly transformed argument
have been obtained.
Розглянемо систему диференцiально-функцiональних рiвнянь вигляду
ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)x(λt) + f(t, x(t), x(λt)), (1)
де 0 < λ < 1, t ∈ R
+ = [0,+∞), A(t), B(t) — дiйснi, (n×n)-матричнi функцiї, f(t, x, y) : R
+×
× R
n × R
n → R
n.
Рiзнi частиннi випадки таких рiвнянь дослiджувались багатьма математиками, i в да-
ний час iснує велика кiлькiсть результатiв, якi одержанi при дослiдженнi рiзних питань їх
теорiї (див. [1–6] i наведену там бiблiогр.). Так, наприклад, в [1] достатньо повно розгляну-
то iснування i асимптотичнi властивостi розв’язкiв скалярного рiвняння (n = 1) зi сталими
коефiцiєнтами при f ≡ 0, в [3] одержанi достатнi умови iснування та єдиностi обмеженого
на всiй дiйснiй осi розв’язку системи нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь
нейтрального типу, в [4] дослiджено питання iснування неперервних при t ∈ R
+ розв’язкiв
лiнiйної системи рiвнянь (1) (у випадку f(t, x(t), x(λt)) ≡ f(t)). Оскiльки для нелiнiйної сис-
теми рiвнянь розроблений в [4] метод дослiдження не дає бажаного результату, то в данiй
роботi пропонується новий пiдхiд, який дає можливiсть отримати аналогiчнi результати
для системи нелiнiйних рiвнянь вигляду (1).
Має мiсце така теорема.
Теорема 1. Нехай виконуються умови:
1) усi елементи матриць A(t), B(t) є неперервними, обмеженими при t ∈ R
+ функцi-
ями i sup
t∈R+
|A(t)| 6 a < ∞, sup
t∈R+
|B(t)| 6 b < ∞, де |A(t)| = max
16i6n
n∑
j=1
|aij(t)|;
2) усi компоненти вектора f(t, x, y) є неперервними за всiма змiнними при t ∈ R
+,
x, y ∈ R
n функцiями i виконується спiввiдношення sup
t∈R+
|f(t, 0, 0)| 6 f∗ < ∞;
3) вектор-функцiя f(t, x, y) задовольняє умову
|f(t, x̃, ỹ) − f(t, ˜̃x, ˜̃y)| 6 l(|x̃ − ˜̃x| + |ỹ − ˜̃y|),
де (t, x̃, ỹ), (t, ˜̃x, ˜̃y) ∈ R
+ × R
n × R
n, l = const > 0. Тодi система рiвнянь (1) має сiм’ю
неперервно диференцiйовних при t ∈ R
+ розв’язкiв x(t) = x(t, c), де c = (c1, . . . , cn), ci,
i = 1, n, — довiльнi сталi.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
Доведення. Розв’язки рiвняння (1) будемо будувати у виглядi
x(t) =
+∞∑
k=0
xk(t), (2)
де xk(t), k = 0, 1, 2, . . ., — деякi функцiї, якi задовольняють послiдовнiсть рiвнянь
x′
0(t) = 0,
x′
1(t) = A(t)x0(t) + B(t)x0(λt) + f(t, x0(t), x0(λt)),
x′
k(t) = A(t)xk−1(t) + B(t)xk−1(λt) +
+ f
(
t,
k−1∑
i=0
xi(t),
k−1∑
i=0
xi(λt)
)
− f
(
t,
k−2∑
i=0
xi(t),
k−2∑
i=0
xi(λt)
)
, k = 2, 3, . . . .
(3)
Безпосередньо можна переконатися, що функцiї
x0(t) = c, де c = (c1, . . . , cn), ci, i = 1, n, — довiльнi сталi,
x1(t) =
t∫
0
(A(τ)x0(τ) + B(τ)x0(λτ) + f(τ, x0(τ), x0(λτ))) dτ,
xk(t) =
t∫
0
(
A(τ)xk−1(τ) + B(τ)xk−1(λτ) + f
(
τ,
k−1∑
i=0
xi(τ),
k−1∑
i=0
xi(λτ)
)
−
− f
(
τ,
k−2∑
i=0
xi(τ),
k−2∑
i=0
xi(λτ)
))
dτ, k = 2, 3, . . .
(4)
є неперервно диференцiйовними при t ∈ R
+ розв’язками вiдповiдних систем рiвнянь (3).
Доведемо, що ряд (2), члени якого визначаються формулами (4), рiвномiрно збiгається
при t ∈ R
+. Дiйсно, згiдно з умовами теореми iз (4) маємо
|x0(t)| = |c| = c,
|x1(t)| 6
t∫
0
(|A(τ)||x0(τ)| + |B(τ)||x0(λτ)| + |f(τ, x0(τ), x0(λτ))|) dτ 6
6
t∫
0
(|A(τ)||x0(τ)|+|B(τ)||x0(λτ)|+|f(τ, x0(τ), x0(λτ))−f(τ, 0, 0)|+|f(τ, 0, 0)|) dτ 6
6
t∫
0
(|A(τ)||x0(τ)| + |B(τ)||x0(λτ)| + l(|x0(τ)| + |x0(λτ)|) + |f(τ, 0, 0)|) dτ 6
6 ((a + b + 2l)c + f∗)t = a1t,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 11
де a1 = (a + b + 2l)c + f∗. Розмiрковуючи за iндукцiєю, покажемо, що для всiх k > 1
виконується оцiнка
|xk(t)| 6 akt
k, (5)
де
a1 = (a + b + 2l)c + f∗, ak+1 = ak
a + bλk + l(1 + λk)
k + 1
, k = 1, 2, . . . .
Справдi, при k = 1 оцiнка (5) має мiсце. Припустимо, що оцiнка (5) уже доведена для
деякого k > 1 i покажемо, що вона не змiниться при переходi вiд k до k + 1. Дiйсно, беручи
до уваги (4), (5), одержуємо
|xk+1(t)| 6
t∫
0
(
|A(τ)| |xk(τ)| + |B(τ)| |xk(λτ)| +
+
∣∣∣∣∣f
(
τ,
k∑
i=0
xi(τ),
k∑
i=0
xi(λτ)
)
− f
(
τ,
k−1∑
i=0
xi(τ),
k−1∑
i=0
xi(λτ)
)∣∣∣∣∣
)
dτ 6
6
t∫
0
(
|A(τ)| |xk(τ)| + |B(τ)| |xk(λτ)| +
+ l
(∣∣∣
k∑
i=0
xi(τ) −
k−1∑
i=0
xi(τ)
∣∣∣+
∣∣∣
k∑
i=0
xi(λτ) −
k−1∑
i=0
xi(λτ)
∣∣∣
))
dτ 6
6
t∫
0
(|A(τ)||xk(τ)| + |B(τ)||xk(λτ)| + l(|xk(τ)| + |xk(λτ)|)) dτ 6
6
t∫
0
(aakτ
k + bak(λτ)k + l(akτ
k + ak(λτ)k)) dτ =
= ak(a + bλk + l(1 + λk))
tk+1
k + 1
= ak+1t
k+1.
Цим самим доведено, що оцiнка (5) має мiсце для довiльного k > 1. Оскiльки (на пiдста-
вi (5)) на будь-якому вiдрiзку [0, T ] ⊂ R
+ маємо
|xk(t)| 6 akT
k, k = 1, 2, . . . , (6)
i
lim
k→+∞
ak+1T
k+1
akT k
= lim
k→+∞
a + bλk + l(1 + λk)
k + 1
T = 0,
то, очевидно, ряд
+∞∑
k=1
akT
k збiгається. Тодi з урахуванням (6) ряд (2) також рiвномiрно
збiгається на будь-якому вiдрiзку [0, T ] ⊂ R
+ до деякої неперервної вектор-функцiї x(t).
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
Беручи до уваги умови теореми i спiввiдношення (3), аналогiчно можна показати, що
виконуються оцiнки
|x′
0(t)| = 0, |x′
k(t)| 6 kakt
k−1, k = 1, 2, . . . . (7)
Оскiльки на будь-якому вiдрiзку [0, T ] ⊂ R
+ маємо
|x′
k(t)| 6 kakT
k−1, k = 1, 2, . . . , (8)
i
lim
k→+∞
(k + 1)ak+1T
k
kakT k−1
= lim
k→+∞
a + bλk + l(1 + λk)
k
T = 0,
то, очевидно, ряд
+∞∑
k=1
kakT
k−1 збiгається. Тодi згiдно з (8) ряд
+∞∑
k=0
x′
k(t) також рiвномiрно
збiгається на вiдрiзку [0, T ].
Покажемо, що x(t) є розв’язком системи рiвнянь (1), тобто
ẋ(t) ≡ A(t)x(t) + B(t)x(λt) + f(t, x(t), x(λt)).
Для цього (на пiдставi (3), (4)) достатньо показати, що при t ∈ R
+ виконується тотожнiсть
f(t, x(t), x(λt)) ≡ f(t, x0(t), x0(λt)) +
+
+∞∑
m=1
[
f
(
t,
m∑
k=0
xk(t),
m∑
k=0
xk(λt)
)
− f
(
t,
m−1∑
k=0
xk(t),
m−1∑
k=0
xk(λt)
)]
, (9)
або
lim
m→+∞
f
(
t,
m∑
k=0
xk(t),
m∑
k=0
xk(λt)
)
= f
(
t,
+∞∑
k=0
xk(t),
+∞∑
k=0
xk(λt)
)
,
де функцiї xk(t), k = 0, 1, . . ., визначенi спiввiдношеннями (4).
Нехай ε — довiльне додатне число. Покажемо, що можна вказати таке число N > 0, що
при всiх t ∈ R
+ i m > N виконується нерiвнiсть
∣∣∣∣∣f
(
t,
+∞∑
k=0
xk(t),
+∞∑
k=0
xk(λt)
)
− f
(
t,
m∑
k=0
xk(t),
m∑
k=0
xk(λt)
)∣∣∣∣∣ < ε.
Оскiльки ряд (2) рiвномiрно збiгається до неперервної при t ∈ [0, T ] (де T — довiльне
додатне число) функцiї x(t), то iснує таке число N1 > 0, що при всiх t ∈ [0, T ] i m > N1
виконується нерiвнiсть
∣∣∣
+∞∑
k=0
xk(t) −
m∑
k=0
xk(t)
∣∣∣ <
ε
2l
.
Вiзьмемо число N := N1. Тодi згiдно з умовою 3 теореми отримаємо
∣∣∣∣∣f
(
t,
+∞∑
k=0
xk(t),
+∞∑
k=0
xk(λt)
)
− f
(
t,
m∑
k=0
xk(t),
m∑
k=0
xk(λt)
)∣∣∣∣∣ 6
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 13
6 l
(∣∣∣∣∣
+∞∑
k=0
xk(t) −
m∑
k=0
xk(t)
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣
+∞∑
k=0
xk(λt) −
m∑
k=0
xk(λt)
∣∣∣∣∣
)
< l
( ε
2l
+
ε
2l
)
= ε
при всiх t ∈ [0, T ] i m > N . Тим самим доведено, що тотожнiсть (9) виконується при t ∈ R
+
(на пiдставi довiльностi T ).
Таким чином, сума x(t) ряду (2) є сiм’єю неперервно диференцiйовних при t ∈ R
+
розв’язкiв x(t) = x(t, c) системи рiвнянь (1). Теорему доведено.
Аналогiчнi результати мають мiсце i для бiльш загальних систем рiвнянь. Зокрема, для
системи диференцiально-функцiональних рiвнянь вигляду
ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)x(ϕ(t)) + f(t, x(t), x(ϕ(t))), (10)
має мiсце така теорема.
Теорема 2. Якщо матричнi функцiї A(t), B(t) i вектор-функцiя f(t, x, y) задовольня-
ють умови теореми 1, а ϕ(t) є неперервною при t ∈ R
+ функцiєю такою, що 0 6 ϕ(t) 6 t,
то система рiвнянь (10) має сiм’ю неперервно диференцiйовних при t ∈ R
+ розв’язкiв
x(t) = x(t, c), де c = (c1, . . . , cn), ci, i = 1, n, — довiльнi сталi.
Зауваження. Одержанi вище результати можна також узагальнити на системи нелiнiй-
них диференцiально-функцiональних рiвнянь з багатьма вiдхиленнями аргументу вигляду
ẋ(t) = A(t)x(t) +
m∑
i=1
Bi(t)x(λit) + f(t, x(t), x(λ1t), . . . , x(λmt)), (11)
де 0 < λi < 1, i = 1,m, t ∈ R
+, A(t), Bi(t), i = 1,m, — дiйснi, (n × n)-матричнi функцiї,
f : R
+ × R
n × · · · × R
n → R
n.
Робота частково пiдтримана проектом Ф25.1/021.
1. Kato T., McLeod J.B. The functional-differential equation y
′(x) = ay(λx) + by(x) // Bull. Amer. Math.
Soc. – 1971. – 77. – P. 891–937.
2. Kwapisz M. On the existence and uniqueness of solutions of certain integral-differential equation // Ann.
Pol. Math. – 1975. – 31, No 1. – P. 23–41.
3. Самойленко А.М., Пелюх Г.П. Ограниченные на всей вещественной оси решения систем нелинейных
дифференциально-функциональных уравнений и их свойства // Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 6. –
С. 737–747.
4. Денисенко Н.Л. Про неперервно диференцiйовнi на R
+ розв’язки систем лiнiйних диференцiаль-
но-функцiональних рiвнянь з лiнiйно перетвореним аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2007. – 10,
№ 3. – С. 322–327.
5. Митропольский Ю.А., Самойленко А.М., Мартынюк Д.И. Системы эволюционных уравнений с
периодическими и условно периодическими коэффициентами. – Киев: Наук. думка, 1985. – 216 с.
6. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – Москва: Мир, 1984. – 412 с.
Надiйшло до редакцiї 14.11.2007Iнститут математики НАН України, Київ
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4965 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:58:39Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Денисенко, Н.Л. 2009-12-29T15:37:23Z 2009-12-29T15:37:23Z 2008 Про iснування неперервних на R+ розв’язкiв систем нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь / Н.Л. Денисенко // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 10-14. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4965 517.9 New sufficient conditions of the existence of solutions continuously differentiable on R+ to the system of nonlinear differential-functional equations with a linearly transformed argument have been obtained. Робота частково пiдтримана проектом Ф25.1/021. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Про iснування неперервних на R+ розв’язкiв систем нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь Article published earlier |
| spellingShingle | Про iснування неперервних на R+ розв’язкiв систем нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь Денисенко, Н.Л. Математика |
| title | Про iснування неперервних на R+ розв’язкiв систем нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь |
| title_full | Про iснування неперервних на R+ розв’язкiв систем нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь |
| title_fullStr | Про iснування неперервних на R+ розв’язкiв систем нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь |
| title_full_unstemmed | Про iснування неперервних на R+ розв’язкiв систем нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь |
| title_short | Про iснування неперервних на R+ розв’язкiв систем нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь |
| title_sort | про iснування неперервних на r+ розв’язкiв систем нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4965 |
| work_keys_str_mv | AT denisenkonl proisnuvannâneperervnihnarrozvâzkivsistemneliniinihdiferencialʹnofunkcionalʹnihrivnânʹ |