О кривизне контактных структур и слоений
Using the result of D. Hardorp on the existence of total foliations, we prove that each closed orientable 3D manifold has a strong saddle foliation. We also prove that any contact structure with vanishing Euler class admits an uniformization.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4966 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О кривизне контактных структур и слоений / В.В. Круглов // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 15-19. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4966 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49662025-02-09T20:49:21Z О кривизне контактных структур и слоений Круглов, В.В. Математика Using the result of D. Hardorp on the existence of total foliations, we prove that each closed orientable 3D manifold has a strong saddle foliation. We also prove that any contact structure with vanishing Euler class admits an uniformization. 2008 Article О кривизне контактных структур и слоений / В.В. Круглов // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 15-19. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4966 515.162.3 ru application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Круглов, В.В. О кривизне контактных структур и слоений |
| description |
Using the result of D. Hardorp on the existence of total foliations, we prove that each closed orientable 3D manifold has a strong saddle foliation. We also prove that any contact structure with vanishing Euler class admits an uniformization. |
| format |
Article |
| author |
Круглов, В.В. |
| author_facet |
Круглов, В.В. |
| author_sort |
Круглов, В.В. |
| title |
О кривизне контактных структур и слоений |
| title_short |
О кривизне контактных структур и слоений |
| title_full |
О кривизне контактных структур и слоений |
| title_fullStr |
О кривизне контактных структур и слоений |
| title_full_unstemmed |
О кривизне контактных структур и слоений |
| title_sort |
о кривизне контактных структур и слоений |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4966 |
| citation_txt |
О кривизне контактных структур и слоений / В.В. Круглов // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 15-19. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kruglovvv okriviznekontaktnyhstrukturisloenii |
| first_indexed |
2025-11-30T16:24:14Z |
| last_indexed |
2025-11-30T16:24:14Z |
| _version_ |
1850233173738258432 |
| fulltext |
УДК 515.162.3
© 2008
В.В. Круглов
О кривизне контактных структур и слоений
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Борисенко)
Using the result of D. Hardorp on the existence of total foliations, we prove that each closed
orientable 3D manifold has a strong saddle foliation. We also prove that any contact structure
with vanishing Euler class admits an uniformization.
1. Двумерные распределения на трехмерных многообразиях. Пусть M — замкнутое
C∞-гладкое ориентируемое трехмерное многообразие. Распределение на M — это двумерное
подрасслоение касательного расслоения TM . Скажем, что распределение η интегрируемо,
если найдется двумерное слоение на M , касательное в каждой точке к слоям расслоения η.
Следующая теорема Фробениуса дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы
распределение было интегрируемым:
Теорема 1. Пусть η — распределение на многообразии M . Тогда η интегрируемо тогда
и только тогда, когда для любых сечений S и T распределения η их скобка Ли [S, T ] лежит
в η.
Распределение η называется контактной структурой, если для любых линейно незави-
симых сечений S и T в η их скобка Ли [S, T ] не принадлежит η.
Определение 1. Два распределения η0 и η1 называются гомотопными, если найдется
непрерывный путь η(t) в пространстве распределений такой, что η(0) = η0 и η(1) = η1.
Распределение η называется трансверсально ориентируемым, если на M существует гло-
бальная 1-форма α такая, что η = ker(α). В случае, когда η является контактной структу-
рой, α называется контактной формой контактной структуры η.
Определение 2. Классом Эйлера e(η) ∈ H2(M, Z) распределения называется класс
Эйлера расслоения η.
Известно, что если класс Эйлера двумерного распределения η равен нулю, то распре-
деление имеет ненулевое сечение. Класс Эйлера инвариантен относительно гомотопий, по-
этому можно говорить о классе Эйлера гомотопического класса распределений.
Определение 3. Оснащение трехмерного многообразия M — это представление каса-
тельного расслоения M в виде произведения TM ≃ M × R
3.
Оснащение на M состоит из трех линейно независимых векторных полей. Известно, что
всякое ориентируемое замкнутое трехмерное многообразие допускает оснащение. Любые
два векторных поля в оснащении задают распределение с равным нулю классом Эйлера.
Следовательно, на каждом ориентируемом замкнутом трехмерном многообразии сущест-
вует распределение с e(η) = 0.
Определение 4. Тотальное распределение на трехмерном многообразии — это тройка
η = {ηi}3
i=1 трансверсально ориентируемых распределений таких, что для каждой точ-
ки p в M пересечение
3
⋂
i=1
ηi(p) = 0. Распределение η называется тотальным слоением, если
каждое ηi интегрируемо. Два тотальных распределения η0 и η1 гомотопны, если найдется
непрерывный путь в пространстве тотальных распределений, соединяющий η0 с η1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 15
Каждое тотальное распределение задает оснащение на M с помощью пересечений
η1
⋂
η2, η1
⋂
η3 и η3
⋂
η2. Следовательно, каждое из распределений ηi имеет равный ну-
лю класс Эйлера.
Лемма 1. Если два трансверсально ориентируемых распределения η0 и η1 трансвер-
сальны, то они гомотопны.
Доказательство. Выберем на M некоторую риманову метрику g. Векторы единичных
нормалей к η0 и η1 определяют на M два трансверсальных ненулевых векторных поля X0
и X1. Для каждого t зададим векторное поле Xt = (1 − t)X0 + tX1. Распределение ηt,
ортогональное полю Xt, реализует гомотопию между η0 и η1.
Поскольку распределения ηi попарно трансверсальны, они гомотопны, а значит, лежат
в одном гомотопическом классе. Этот класс мы назовем гомотопическим классом тоталь-
ного распределения.
Верна следующая теорема:
Теорема 2 [1]. На каждом замкнутом ориентируемом трехмерном многообразии M
существует тотальное слоение.
Очевидно, что тотальное слоение не может содержать слоения многообразия S2 × S1
сферами. Элиашберг и Терстон [2] показали, что всякое трансверсально ориентируемое
C2-слоение на ориентируемом замкнутом многообразии, отличное от слоения S2 × S1 сфе-
рами, может быть аппроксимировано C0-близкой контактной структурой. Применив эту
теорему к тотальному слоению, получаем, что на M существует пара трансверсальных сло-
ений и трансверсальная им контактная структура.
2. Вторая фундаментальная форма распределения. Рассмотрим риманово мно-
гообразие M с метрикой 〈·, ·〉 и ассоциированной связностью Леви-Чевита ∇ и пусть η —
распределение на M . Обозначим через n единичный вектор нормали к η.
Определение 5 [3]. Вторая фундаментальная форма η — это симметрическая били-
нейная форма, которая определяется следующим образом:
B(S, T ) =
1
2
〈∇ST + ∇T S, n〉
для всех сечений S и T в η.
Определение 6. Функция
Ke(η) =
B(S, S)B(T, T ) − B(S, T )2
〈S, S〉〈T, T 〉 − 〈S, T 〉2
называется внешней кривизной η. Функцию K(η), ставящую в соответствие точке p ∈ M
секционную кривизну площадки ηp, назовем секционной кривизной распределения η. Назо-
вем функцию K0(η) = K(η) + Ke(η) внутренней кривизной распределения η.
Введенные функции не зависят от выбора сечений S и T в η.
3. Некоторые технические результаты.
Лемма 2. Пусть {n,X, Y } — некоторое оснащение замкнутого трехмерного мно-
гообразия M . Предположим, что распределение, порожденное полями n и Y , является
контактной структурой. Тогда существует риманова метрика на M , в которой внеш-
няя кривизна распределения, порожденного векторными полями X и Y , строго мень-
ше нуля.
Доказательство. Существует единственная риманова метрика 〈·, ·〉 на M , в которой
оснащение {n,X, Y } является ортонормированным. Пусть η — распределение, порожден-
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
ное полями X и Y . Вычислим вторую фундаментальную форму распределения η в этой
метрике. Применим для этого формулу Кошуля для связности Леви-Чевита:
2〈∇ST,U〉 = S〈T,U〉 + T 〈U,S〉 − U〈S, T 〉 + 〈[S, T ], U〉 − 〈[S,U ], T 〉 − 〈[T,U ], S〉
для всех S, T , U ∈ TM . Следовательно,
B(S, T ) =
1
2
(S〈T, n〉 + T 〈n, S〉 − n〈S, T 〉 − 〈[S, n], T 〉 − 〈[T, n], S〉)
для всех S и T в η. Подставляя в эту формулу векторные поля X и Y получаем
B(X,X) = 〈[n,X],X〉, B(Y, Y ) = 〈[n, Y ], Y 〉, B(X,Y ) =
1
2
(〈[n,X], Y 〉 + 〈[n, Y ],X〉).
Внешняя кривизна распределения η равна
Ke(η)=B(X,X)B(Y, Y )−B(X,Y )2=〈[n,X],X〉〈[n, Y ], Y 〉− 1
4
(〈[n,X], Y 〉+〈[n, Y ],X〉)2.
Рассмотрим теперь на M новую риманову метрику. Пусть 〈·, ·〉λ — единственная метрика
на M , такая что {n,X, Y } является ортогональным оснащением и
〈n, n〉λ = 1, 〈X,X〉λ = λ2, 〈Y, Y 〉λ =
1
λ2
.
Внешняя кривизна Ke(η) в этой метрике равна
Ke(η) = 〈[n,X],X〉λ〈[n, Y ], Y 〉λ − 1
4
(〈[n,X], Y 〉λ + 〈[n, Y ],X〉λ)2 =
= λ2〈[n,X],X〉 1
λ2
〈[n, Y ], Y 〉 − 1
4
(
1
λ2
〈[n,X], Y 〉 + λ2〈[n, Y ],X〉
)2
=
= 〈[n,X],X〉〈[n, Y ], Y 〉 − 1
4
(
1
λ2
〈[n,X], Y 〉 + λ2〈[n, Y ],X〉
)2
=
= 〈[n,X],X〉〈[n, Y ], Y 〉 − 1
4λ4
〈[n,X], Y 〉2 − 1
2
〈[n,X], Y 〉〈[n, Y ],X〉 − λ4
4
〈[n, Y ],X〉2.
Поскольку M компактно, существует такая положительная константа C, что
|〈[n,X],X〉〈[n, Y ], Y 〉 − 1
2
〈[n,X], Y 〉〈[n, Y ],X〉| < C.
Мы предположили, что распределение, порожденное векторными полями n и Y , является
контактной структурой. Форма α(∗) = 〈∗,X〉 является контактной формой этого распреде-
ления. Поэтому 〈[n, Y ],X〉 = α([n, Y ]) 6= 0. Поскольку M компактно, существует такое ε, что
|〈[n, Y ],X〉| > ε.
Значит,
Ke(η) < C − λ4ε2
4
.
Это выражение строго отрицательно для некоторого достаточно большого λ = λ0. Метрика
〈·, ·〉λ0
является искомой.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 17
Пусть {n,X, Y } — некоторое оснащение трехмерного многообразия M и пусть a — глад-
кая положительная функция на M . Обозначим через 〈·, ·〉a единственную метрику на M ,
в которой оснащение {n,X, Y } ортогонально и
〈n, n〉a = a, 〈X,X〉a = 1, 〈Y, Y 〉a = 1.
Метрику, в которой оснащение {n,X, Y } является ортонормированным, будем обозначать
через 〈·, ·〉.
Лемма 3. Секционная кривизна распределения η, порожденного векторными полями X
и Y в метрике 〈·, ·〉a вычисляется по формуле
K(η) = −3
4
a〈[X,Y ], n〉2 + (X〈[X,Y ], Y 〉 − Y 〈[X,Y ],X〉 −
− 〈[X,Y ],X〉2 − 〈[X,Y ], Y 〉2) +
1
2
〈[X,Y ], n〉(〈[Y, n],X〉 + 〈[n,X], Y 〉) +
+
1
a
(
1
4
(〈[X,n], Y 〉 + 〈[Y, n],X〉)2 − 〈[Y, n], Y 〉〈[X,n],X〉
)
.
Внутренняя кривизна вычисляется по формуле
K0(η) = −3
4
a〈[X,Y ], n〉2 + (−X〈[X,Y ], Y 〉 − Y 〈[X,Y ],X〉 −
− 〈[X,Y ],X〉2 − 〈[X,Y ], Y 〉2) +
1
2
〈[X,Y ], n〉(〈[Y, n],X〉 + 〈[n,X], Y 〉).
4. Существование сильно седловых слоений на замкнутых трехмерных мно-
гообразиях.
Определение 7. Пусть F — двумерное слоение на римановом многообразии M . Слоение
F называется сильно седловым, если все слои F являются седловыми поверхностями. Это
эквивалентно тому, что распределение плоскостей, касательных к слоям F , имеет Ke < 0.
Это определение естественным образом переносится на случай произвольного распре-
деления.
Определение 8. Распределение η на римановом многообразии M называется сильно
седловым, если его внешняя кривизна Ke < 0. Назовем векторное поле сильно седловым,
если оно трансверсально сильно седловому распределению.
Сильно седловые слоения впервые были введены А. Борисенко в [4]. Классическим при-
мером сильно седлового слоения является орисферическое слоение на расслоении единич-
ных касательных векторов над гиперболической поверхностью. В работе [5] было показано,
что рибовская компонента не является топологическим препятствием к существованию та-
ких слоений. Конструкция сильно седлового слоения в рибовской компоненте была исполь-
зована для построения сильно седлового слоения в трехмерной сфере. В работе [5] был
задан вопрос о том, какие трехмерные многообразия допускают сильно седловые слоения.
Мы доказываем следующую теорему.
Теорема 3. На каждом замкнутом ориентируемом трехмерном многообразии су-
ществует слоение, сильно седловое в некоторой римановой метрике.
Доказательство. По теореме 2 на M существует тотальное слоение. Обозначим его
F = {Fi}3
i=1. По теореме Элиашберга и Терстона [2] существует контактная структура ξ,
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
настолько C0-близкая к F2, что она трансверсальна как F1, так и F3. Пусть n — вектор-
ное поле, касательное к пересечению ξ
⋂
TF3. Дополним это векторное поле до оснаще-
ния {n,X, Y }, где векторное поле X касается пересечения TF1
⋂
TF3, а Y — пересечения
ξ
⋂
TF1. Применив лемму 2, приходим к выводу, что внешняя кривизна F1 строго меньше
нуля. А значит, слоение F1 является сильно седловым.
В [6] был представлен результат, что на замкнутом ориентируемом трехмерном много-
образии в каждом гомотопическом классе распределений с равным нулю классом Эйлера
существует тотальное распределение. В случае, если этот результат окажется верным, те-
орему 3 можно усилить:
Теорема 4. На замкнутом ориентируемом трехмерном многообразии в каждом го-
мотопическом классе распределений с равным нулю классом Эйлера существует сильно
седловое слоение.
5. Униформизация контактных структур с e(η) = 0.
Теорема 5. Пусть η — трансверсально ориентируемая контактная структура на
замкнутом ориентируемом трехмерном многообразии M . Предположим, что e(η) = 0.
Тогда на M существует такая риманова метрика g1, в которой K(η) = −1, и такая
риманова метрика g2, в которой K0(η) = −1.
Доказательство. Мы докажем это утверждение для случая секционной кривизны.
Случай внутренней кривизны рассматривается аналогично.
Пусть n — некоторое глобальное трансверсальное к η векторное поле. Так как много-
образие ориентируемо, контактная структура трансверсально ориентируема и e(η) = 0, то
контактное распределение η тривиально. Пусть X и Y — два линейно независимых сече-
ния η. Тройка векторов {n,X, Y } образует оснащение многообразия M .
Мы будем искать метрику g1 в классе метрик C〈·, ·〉a. Рассмотрим уравнение K(η) =
= −D, где D — некоторая положительная константа. Так как распределение η является
контактной структурой, то из леммы 3 следует, что коэффициент при старшей степени a
в этом уравнении не равен нулю. Используя лемму 3 и компактность M , легко показать,
что существует такое D0, что уравнение имеет положительное решение a0. В метрике 〈·, ·〉a0
распределение η имеет постоянную секционную кривизну −D0. Положим g1 =
1√
D0
〈·, ·〉a0
.
В этой метрике K(η) = −1.
Теорема 5 является частичным положительным ответом на вопрос, заданный Джоном
Этниром. Этот, а также некоторые другие вопросы по контактной топологии можно найти
на его персональной веб-странице http://www.math.gatech.edu/∼etnyre/.
1. Hardorp D. All compact orientable three dimensional manifolds admit total foliations // Mem. Amer.
Math. Soc. – 1980. – 26(233). – 74 p.
2. Eliashberg Y.M., Thurston W.P. Confoliations / University Lecture Notes, American Mathematical Soci-
ety. – Providence, RI, 1998. – 66 p.
3. Reinhart B. The second fundamental form of a plane field // J. Diff. Geom. – 1977. – 12. – P. 619–627.
4. Борисенко А.А. О слоениях отрицательной внешней кривизны на компактных римановых много-
образиях // Мат. заметки. – 1997. – 67. – P. 673–676.
5. Bolotov D.V. Extrinsic geometry of foliations on 3-manifolds. – Proceedings of the “Foliations 2005”. –
Lodz, 2006. – P. 109–120.
6. Asaoka M., Dufraine E., Noda T. Homotopy classes of total foliations and bi-contact structures on three-
manifolds. – Prepr. – http://arxiv.org/abs/0706.1879v1, 2007.
Поступило в редакцию 31.10.2007Физико-технический институт низких
температур им. Б.И. Веркина, Харьков
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 19
|