Інтерлінація функцій двох змінних з використанням фундаментальних сплайнів
The problem of construction of the spline-interlineation operators for functions of two variables is investigated. The problem of construction of the blending approximation operators for functions of two variables with the use of the local spline approximation operators for every variable is also st...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4968 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Інтерлінація функцій двох змінних з використанням фундаментальних сплайнів / О.М. Литвин, С.І. Кулик // Доповіді Національної академії наук України — 2008. — № 7. — С. 26-30. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859915634596380672 |
|---|---|
| author | Литвин, О.М. Кулик, С.І. |
| author_facet | Литвин, О.М. Кулик, С.І. |
| citation_txt | Інтерлінація функцій двох змінних з використанням фундаментальних сплайнів / О.М. Литвин, С.І. Кулик // Доповіді Національної академії наук України — 2008. — № 7. — С. 26-30. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | The problem of construction of the spline-interlineation operators for functions of two variables is investigated. The problem of construction of the blending approximation operators for functions of two variables with the use of the local spline approximation operators for every variable is also studied. In the construction, the fundamental splines are used.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:05:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.6
© 2008
О.М. Литвин, С. I. Кулик
Iнтерлiнацiя функцiй двох змiнних з використанням
фундаментальних сплайнiв
(Представлено академiком НАН України I. В. Сергiєнком)
The problem of construction of the spline-interlineation operators for functions of two vari-
ables is investigated. The problem of construction of the blending approximation operators for
functions of two variables with the use of the local spline approximation operators for every
variable is also studied. In the construction, the fundamental splines are used.
Постановка проблеми. Оператори iнтерлiнацiї функцiй багатьох змiнних вiдновлюють
функцiї за допомогою їх слiдiв на системi лiнiй. Завдяки високiй точностi цi оператори
зручно використовувати для наближення функцiй. Тому актуальною є задача побудови
операторiв iнтерлiнацiї функцiй двох змiнних зi слiдами на нескiнченнiй системi лiнiй, па-
ралельних осям координат, а також операторiв мiшаної апроксимацiї функцiй двох змiнних
з допомогою локальних апроксимацiйних сплайнiв.
У працях [1–5] дослiджувались оператори сплайн-iнтерлiнацiї функцiй на скiнченнiй
системi прямих, паралельних осям координат. Проте не дослiдженим залишився випадок
нескiнченного числа прямих iнтерлiнацiї. Аналiз лiтератури [6–9] показує, що цей випа-
док може бути дослiджений за допомогою фундаментальних сплайнiв порядку m (степеня
m − 1), тобто сплайн-функцiй
Lm(x) =
+∞
∑
k=−∞
c
(m)
k Nm
(
x +
m
2
− k
)
з властивостями: Lm(j) = δj,0, j ∈ Z. Тут Nm(x)−B-сплайни степеня m−1. З їх допомогою
можна побудувати оператори сплайн-iнтерполяцiї у виглядi
Jmf(x) :=
+∞
∑
k=−∞
f(k)Lm(x − k), Jmf(j) = f(j), j ∈ Z.
Треба зазначити, що при m = 2 для Lm(x) можна написати явну формулу
L2(x) = N2(x + 1) =
1
2
(|x + 1| − 2|x| + |x − 1|).
У випадку m = 3 скiнченну систему базисних квадратичних сплайнiв на фiксованому iнтер-
валi було отримано в роботi [5]. У загальному випадку для побудови Lm(x), m > 3, потрiбно
розв’язувати нескiнченну систему рiвнянь. Тому деякi дослiдники (див., напр., [7, 8]) про-
понують проводити наближення функцiй f ∈ C(R) за допомогою квазiiнтерполяцiйних
операторiв
Qm,kf(x) :=
∞
∑
ℓ=−∞
(Λkf)(ℓ)Nm
(
x +
m
2
− ℓ
)
,
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
у яких функцiонали Λkf(ℓ) залежать тiльки вiд значень f(j) в околi j = ℓ i ширина околу не
залежить вiд ℓ. Вiдзначимо, що Qm,kf — обмежений, лiнiйний, локальний сплайн-оператор,
визначений на C(R). Вiн зберiгає всi многочлени степеня k:
Qm,kp(x) = p(x), p ∈ πk =
{
p(x) =
k
∑
β=0
Cβxβ | Cβ ∈ R, β = 0, k
}
.
Мета даної роботи — формулювання загальних положень сплайн-iнтерлiнацiї функцiй
двох змiнних, якi iнтерлiнують функцiї на нескiнченнiй кiлькостi прямих, паралельних
осям координат. При цьому використовуються фундаментальнi сплайни довiльного степе-
ня m > 1. Крiм того, дослiджується задача мiшаної апроксимацiї функцiй двох змiнних
з використанням локальних згладжуючих сплайнiв m-го порядку (m − 1-го степеня).
Деякi допомiжнi твердження. Введемо основнi визначення та позначення, що вико-
ристовуються в роботi. Z = {0,±1,±2, . . .}; Nm(t) — B-сплайни порядку m (степеня m− 1),
якi можуть бути побудованi за допомогою рекурентної формули-згортки:
Nm(x) := (Nm−1∗N1)(x) =
1
∫
0
Nm−1(x − t)dt, m > 2;
N1(x) = 1, x ∈ [0, 1); N1(x) = 0, x /∈ [0, 1). Зокрема, з їх допомогою кубiчний фундамен-
тальний сплайн можна записати у виглядi
L4(x) =
∞
∑
k=−∞
(−1)k
√
3(2 −
√
3)|k|N4(x + 2 − k).
Його коефiцiєнти (−1)k
√
3(2 −
√
3)|k| мають експоненцiальне спадання до 0, при |k| →
→ ∞. W r,r
p [0, 1]2 — клас функцiй, норма мiшаної похiдної яких задовольняє нерiвнiсть
‖f (r,r)‖Lp[0,1]2 6 1, f (r,r) = ∂2rf/(∂xr∂yr) i якi є r-кратними невизначеними iнтегралами
за змiнною x i за змiнною y.
Основнi твердження. Iнтерлiнацiя функцiй двох змiнних за допомогою фундамен-
тальних сплайнiв. Для функцiї f(x, y) ∈ C(R2) побудуємо оператори
J1,mf(x, y) =
∞
∑
k=−∞
f(k, y)Lm(x − k),
J2,nf(x, y) =
∞
∑
ℓ=−∞
f(x, ℓ)Ln(y − ℓ),
J1,mJ2,nf(x, y) =
∞
∑
k=−∞
∞
∑
ℓ=−∞
f(k, ℓ)Lm(x − k)Ln(y − ℓ).
Цi оператори мають властивостi
J1,mf(p, y) = f(p, y), p ∈ Z,
J2,nf(x, q) = f(x, q), q ∈ Z,
J1,mJ2,nf(p, q) = f(p, q), (p, q] ∈ Z
2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 27
Теорема 1. Оператори
Im,nf(x, y) = (J1,m + J2,n − J1,mJ2,n)f(x, y)
є операторами сплайн-iнтерлiнацiї порядку m за змiнною x та n за змiнною y з такими
властивостями:
Im,nf(p, y) = f(p, y), p ∈ Z,
Im,nf(x, q) = f(x, q), q ∈ Z,
(I − Im,n)f(x, y) = (I − J1,m)(I − J2,n)f(x, y).
Мiшана апроксимацiя локальними сплайн-апрoксимацiйними операторами. Зазначимо,
що використання фундаментального сплайну Lm(x) дає точне розв’язання задачi iнтерпо-
ляцiї та iнтерлiнацiї. У той же час задачу наближення функцiї однiєї та двох змiнних можна
розв’язати з достатньо високою точнiстю також за допомогою операторiв апроксимацiї ло-
кальними апроксимацiйними операторами.
Хай для функцiї f ∈ C(R2) побудованi лiнiйнi апроксимацiйнi сплайн-оператори поряд-
кiв m та n вiдповiдно
Q1,m,kf(x, y) :=
∞
∑
µ=−∞
(Λ1,kf)(µ, y)Nm
(
x +
m
2
− µ
)
,
Q2,n,rf(x, y) :=
∞
∑
ν=−∞
(Λ2,rf)(x, ν)Nn
(
y +
n
2
− ν
)
,
Q1,m,kQ2,n,rf(x, y) :=
∞
∑
µ=−∞
∞
∑
ν=−∞
(Λ1,kΛ2,rf)(µ, ν)Nm
(
x +
m
2
− µ
)
Nn
(
y +
n
2
− ν
)
.
При деякому виборi Λ1,kΛ2,r цi оператори мають такi властивостi:
Q1,m,kp1(x, y) = p1(x, y), p1(x, y) =
k
∑
s=0
as(y)xs, as(y) ∈ C(R), s = 0, . . . , k,
Q2,n,rp2(x, y) = p2(x, y), p2(x, y) =
r
∑
q=0
bq(x)yq, bq(x) ∈ C(R), q = 0, . . . , r,
Q1,m,kQ2,n,rp3(x, y) = p3(x, y) ∀ p3(x, y) =
k
∑
s=0
r
∑
q=0
cs,qx
syq.
Теорема 2. Якщо R1,mf(x, y) = (I −Q1,m,k)f(x, y), R2,mf(x, y) = (I −Q2,n,r)f(x, y), то
оператори мiшаної апроксимацiї
Qm,n,k,rf(x, y) = (Q1,m,k + Q2,n,r − Q1,m,kQ2,n,r)f(x, y)
мають властивостi
Qm,n,k,rf(x, y) = f(x, y) ∀ f(x, y) = p1(x, y) + p2(x, y) + p3(x, y),
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
(I − Qm,n,k,r)f(x, y) = (R1,m · R2,m)f(x, y),
тобто цей залишок дорiвнює операторному добутку залишкiв одновимiрної iнтерполяцiї
за змiнними x та y вiдповiдно. Вiдзначимо, що для залишку наближення функцiї f(x, y)
операторами Q1,m,kQ2,n,rf(x, y), якi є класичними операторами сплайн-iнтерполяцiї вико-
нується така операторна рiвнiсть:
(I − Q1,m,kQ2,n,r)f(x, y) = (R1,m + R2,n − R1,mR2,n)f(x, y).
Зауваження 1. У практицi наближення функцiї з кроком h = 1 використовується дуже
рiдко. Для того щоб використати оператори iнтерлiнацiї та мiшаної апроксимацiї з кро-
ками h = 1/N , замiсть наближуваної функцiї g(u, v) розглядається функцiя f(x, y) =
= g(x/N, y/N). У результатi значення функцiї f(i, j), (i, j) ∈ Z
2 з кроком 1 будуть до-
рiвнювати значенням функцiї g(u, v) з кроком 1/N : f(i, j) = g(i/N, j/N).
Наслiдок 1. Оператори Λ1,kf(µ, y), що забезпечують точнiсть оператора (Q1,3,2) на
полiномах степеня k = 2, мають вигляд
Λ1,2f(µ, y) = −1
8
f
(
µ − 1
N
, y
)
+
5
4
f
(
µ
N
, y
)
− 1
8
f
(
µ + 1
N
, y
)
.
При цьому досягається похибка ‖f − Q3,3,2,2f‖C ≈ (0,04/N3)2, а похибка найкращого на-
ближення класичними локальними сплайнами Q1,3,2Q2,3,2f має такий головний член при
n → ∞: sup
f∈W
3,3
∞
‖f − Q1,2Q2,2f‖C ≈ 0,05/N3.
Аналогiчно, оператори Λ1,3f(µ, y), що забезпечують точнiсть оператора (Q1,4,3) на
полiномах степеня k = 3, мають вигляд
Λ1,3f(µ, y) = −1
6
f
(
µ − 1
N
, y
)
+
4
3
f
(
µ
N
, y
)
− 1
6
f
(
µ + 1
N
, y
)
.
При цьому досягається похибка ‖f − Q4,4,3,3f‖C ≈ (0,03/N4)2, а похибка найкращого на-
ближення класичними локальними сплайнами Q1,4,3Q2,4,3f має такий головний член при
N → ∞: sup
f∈W
3,3
∞
‖f − Q1,4,3Q2,4,3f‖C ≈ 0,013/N4.
Таким чином, у данiй роботi розглянуто загальний пiдхiд до побудови операторiв сплайн-
iнтерлiнацiї з використанням фундаментальних сплайнiв, а також їх апроксимацiйних ана-
логiв, якi використовують локальнi апроксимацiйнi сплайни, точнi на полiномах заданого
степеня. Подальшi дослiдження планується провести з використанням сплайн-вейвлетiв при
побудовi операторiв мiшаної вейвлет-апроксимацiї [10, 11], оскiльки функцiї L
(m)
2m (x) можуть
бути використанi при побудовi сплайн-вейвлетiв [8].
1. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя функцiй та деякi її застосування. – Харкiв: Основа, 2002. – 544 с.
2. Литвин О.М. Методи обчислень. Додатковi роздiли. – Київ: Наук. думка, 2005. – 331 с.
3. Lytvyn O.N. Interlineation and interflatation function of many variables (blending function interpolation)
and economical algorithms in the approximation theory // Computational Methods. Pt. 2 / Eds. G.R.
Liu, V.B. C. Tan, Х. Han. – Singapore: Springer, 2006. – P. 1105–1110.
4. Литвин О.Н., Сергиенко И.В. Методы аппроксимации функций и современные компьютерные те-
хнологии (обзор) // Кибернетика и систем. анализ. – 2007. – № 1. – С. 64–81.
5. Литвин О.М., Нечуйвiтер О.П. Базиснi сплайни другого порядку // Матерiали XXXVIII наук.-
практ. конф. науково-педагогiчних працiвникiв, науковцiв, аспiрантiв та спiвробiтникiв академiї. –
Харкiв: УIПА, 2005. – С. 96–97.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 29
6. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам: Пер. с англ. – Москва: Радио и связь, 1985. –
304 с.
7. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. – Москва: Наука, 1984. – 352 с.
8. Чуи Ч. Введение в вэйвлеты: Пер. с англ. – Москва: Мир, 2001. – 412 с.
9. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация / Под ред. Г.Ш. Рубинштейна, Н.Н. Яненко. – Москва:
Мир, 1975. – 496 с.
10. Кулик С. I., Литвин О.М. Узагальненi оператори Хаара, побудованi на основi двовимiрної мiшаної
апроксимацiї вейвлетами Хаара // Працi Мiжнар. конф. Укробраз’2004. – Київ, 2004. – С. 297–300.
11. Кулик С. I., Литвин О.М. Використання мiшаної aпроксимацiї кусково-сталими сплайнами у стис-
куваннi iнформацiї // Працi Мiжнар. конф. Укробраз’2006. – Київ, 2006. – С. 155–158.
Надiйшло до редакцiї 07.06.2007Українська iнженерно-педагогiчна академiя, Харкiв
УДК 519.21
© 2008
Є.Ф. Царков, I. В. Малик
Асимптотична поведiнка розв’язку лiнiйних
стохастичних диференцiально-рiзницевих рiвнянь
нейтрального типу
(Представлено академiком НАН України В. С. Королюком)
Necessary and sufficient conditions of the mean square exponential stability of a linear stochastic
differential-difference equation of neutral type in the scalar case are obtained.
Питанню стiйкостi за Ляпуновим розв’язкiв детермiнованих диференцiально-функцiональ-
них рiвнянь нейтрального типу (ДДФРНТ) присвячено достатньо велику кiлькiсть робiт,
серед яких особливе мiсце займають працi наукових шкiл Дж. Хейла [1], Н. Азбелєва [2],
М. Каменського [3], Д. Хусаїнова [4], В. Слюсарчука [5]. У роботах В. Колмановського [6],
Є. Царкова [7], Д. Хусаїнова [4] та їхнiх учнiв вивчалися питання поведiнки розв’язкiв сто-
хастичних диференцiально-функцiональних рiвнянь. Питанню iснування сильного розв’яз-
ку стохастичних диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу та узагаль-
нення другого методу Ляпунова присвячено роботи Є. Андрєєвої, Л. Шайхета, В. Колма-
новського [6], В. Берези, В. Ясинського [8] та iн.
Нехай на iмовiрнiсному базисi [9] (Ω, F, P, Im), де Im ≡ {Ft, t > 0} — фiльтрацiя, задано
сильний розв’язок [6, 10] x(t) = x(t, ω) ∈ R1 лiнiйного стохастичного диференцiально-рiзни-
цевого рiвняння нейтрального типу (ЛСДРРНТ)
d{Dxt} = {Lxt}dt + {Gxt}dw(t) (1)
за початковою умовою
x0 = ϕ. (2)
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4968 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:05:11Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.М. Кулик, С.І. 2009-12-29T15:40:15Z 2009-12-29T15:40:15Z 2008 Інтерлінація функцій двох змінних з використанням фундаментальних сплайнів / О.М. Литвин, С.І. Кулик // Доповіді Національної академії наук України — 2008. — № 7. — С. 26-30. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4968 519.6 The problem of construction of the spline-interlineation operators for functions of two variables is investigated. The problem of construction of the blending approximation operators for functions of two variables with the use of the local spline approximation operators for every variable is also studied. In the construction, the fundamental splines are used. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Інтерлінація функцій двох змінних з використанням фундаментальних сплайнів Article published earlier |
| spellingShingle | Інтерлінація функцій двох змінних з використанням фундаментальних сплайнів Литвин, О.М. Кулик, С.І. Математика |
| title | Інтерлінація функцій двох змінних з використанням фундаментальних сплайнів |
| title_full | Інтерлінація функцій двох змінних з використанням фундаментальних сплайнів |
| title_fullStr | Інтерлінація функцій двох змінних з використанням фундаментальних сплайнів |
| title_full_unstemmed | Інтерлінація функцій двох змінних з використанням фундаментальних сплайнів |
| title_short | Інтерлінація функцій двох змінних з використанням фундаментальних сплайнів |
| title_sort | інтерлінація функцій двох змінних з використанням фундаментальних сплайнів |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4968 |
| work_keys_str_mv | AT litvinom ínterlínacíâfunkcíidvohzmínnihzvikoristannâmfundamentalʹnihsplainív AT kuliksí ínterlínacíâfunkcíidvohzmínnihzvikoristannâmfundamentalʹnihsplainív |