Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів
Запропоновано методи щодо прогнозування фінансових часових рядів, на які накладаються зовнішні вимоги, представлено алгоритм послідовної побудови лінійних регресійних рівнянь із різними наборами регресорів. Для виконання деяких зовнішніх вимог сформульовано задачу лінійної оптимізації. Алгоритм заст...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49694 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів / О.Г. Зражевський // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 1. — С. 123-142. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860245122329870336 |
|---|---|
| author | Зражевський, О.Г. |
| author_facet | Зражевський, О.Г. |
| citation_txt | Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів / О.Г. Зражевський // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 1. — С. 123-142. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Системні дослідження та інформаційні технології |
| description | Запропоновано методи щодо прогнозування фінансових часових рядів, на які накладаються зовнішні вимоги, представлено алгоритм послідовної побудови лінійних регресійних рівнянь із різними наборами регресорів. Для виконання деяких зовнішніх вимог сформульовано задачу лінійної оптимізації. Алгоритм застосовано щодо прогнозування часових рядів, що відображають вимоги банків за кредитами, наданими суб’єктам господарювання за 2007 рік.
Разработаны методы прогнозирования финансовых временных рядов, на которые накладываются внешние условия; предложено алгоритм последовательного построения линейных регрессионных уравнений с разными наборами регрессоров. Сформулирована задача линейной оптимизации для выполнения набора внешних требований. Алгоритм использован для прогнозирования временных рядов, отображающих требования банков по кредитам, предоставленным юридическим лицам за 2007 год.
Methods for prediction of the financial time series with external conditions are developed. An algorithm of step-by-step construction of linear regression equations with different combinations of repressors is offered. The linear optimization problem is applied to meet the external conditions. The algorithm is used for long-term prediction of the time series according to the requirements of Ukrainian banks on juristic persons credits in 2007.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:35:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
© О.Г. Зражевський, 2010
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 123
УДК 519-226
МЕТОДИ ПОБУДОВИ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ДОВГОСТРОКОВОГО
ПРОГНОЗУВАННЯ ФІНАНСОВИХ ЧАСОВИХ РЯДІВ
О.Г. ЗРАЖЕВСЬКИЙ
Запропоновано методи щодо прогнозування фінансових часових рядів, на які
накладаються зовнішні вимоги, представлено алгоритм послідовної побудови
лінійних регресійних рівнянь із різними наборами регресорів. Для виконання
деяких зовнішніх вимог сформульовано задачу лінійної оптимізації. Алгоритм
застосовано щодо прогнозування часових рядів, що відображають вимоги бан-
ків за кредитами, наданими суб’єктам господарювання за 2007 рік.
ВСТУП
Одне із важливих завдань економіки — розробка методів прогнозування
часових рядів. З цією проблемою стикаються в багатьох сферах суспільної
діяльності. На практиці прогнозування часових рядів, переважно зводять до
кількох етапів, які можуть здійснюватись неодноразово. Серед них найваж-
ливішими є:
• вибір стохастичної моделі;
• адаптація обраної моделі;
• знаходження прогнозу на основі обраної моделі.
Стохастичну модель, зазвичай, обирають, зважаючи на інформацію
щодо явища, яке досліджується, та потреб її подальшого використання. У
наш час розроблено багато різних параметричних/непараметричних, ліній-
них/нелінійних, стаціонарних/нестаціонарних моделей. Прикладом парамет-
ричних моделей, що часто використовують в аналізі часових рядів, є регре-
сійні моделі, FARIMA, GARCH [1–7]. В аналізі часових рядів критеріями
для вибору моделі можуть бути історичні дані, інформація щодо їх природи,
зовнішні вимоги щодо результатів. На практиці вибір моделі ускладнений
браком історичних даних або складністю розробленої моделі.
Інша істотна проблема — вибір найкращої, в певному сенсі, з класу мо-
делей. Прикладом щодо цього є обрання регресійної кривої з певного класу,
яка максимально повно описує історичні дані. Адаптація моделі здійснюєть-
ся шляхом оцінки параметрів моделі та визначення таких її характеристик,
як оцінка скінчено вимірних розподілів. Для пошуку оцінок параметрів ре-
гресійної моделі розроблені алгоритми та методи. Зокрема, метод най-
менших квадратів, метод найменших абсолютних відхилень, узагальнений
метод найменших квадратів, алгоритм ортогональних найменших квадратів
[2–7]. Прогнозування на основі обраної моделі проводять здебільшого шля-
хом екстраполяції, тобто продовження цієї моделі на необхідний в подаль-
шому проміжок часу. Це можна зробити, наприклад, через використання
провідних індикаторів або функції прогнозування [1, 6].
О.Г. Зражевський
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 124
У запропонованій роботі представлено метод прогнозування набору ча-
сових рядів, який передбачає виконання певних вимог щодо результату і
максимально враховує специфіку походження даних. Він базується на тех-
ніці регресійного аналізу і використовує метод найменших квадратів у ви-
значенні моделі прогнозування. Кінцеву корекцію результатів здійснюють-
шляхом лінійної оптимізації. Розроблений метод можна застосувати щодо
прогнозування фінансових часових рядів, а у підсумку, використати під час
планування у банківській діяльності.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Розглянемо набір часових рядів },),({ Θ∈∈ θθ Ttty , кожен з яких функціо-
нальним чином пов’язаний із часом. Тобто для Θ∈∀θ :
)()()( ttfty θθθ ξ+= , Tt∈ , (1)
де Ftf ∈)(θ — певна функція часу, )(tθξ — незалежні, однаково розподі-
лені випадкові величини, 0)( =tE θξ , ∞<)(tD θξ .
Припустимо, що досліджувані часові ряди },),({ Θ∈∈ θθ Ttty апріор-
но поділяються на два типи: }),({ 1 Tttyi ∈ , Ii∈ та }),({ 2 Ttty j ∈ Jj∈ —
часові ряди першого та другого рівнів відповідно, враховуючи наступне:
A — умова балансу, де кожен часовий ряд першого рівня є сумою певного
фіксованого набору часових рядів другого рівня: ∑
∈
=
iJj
ji tyty )()( 21 ,
IiTt ∈∈ , , lkJJ lk ≠∅=∩ , , JJi
Ii
=
∈
∪ .
Мета — розробка довгострокових прогнозів часових рядів першого та
другого рівнів. Прогнозування часового ряду за моделлю (1) включає задачу
визначення з класу F функції, яка найкращим, в певному сенсі, чином опи-
сує історичні значення часового ряду. Прогноз часового ряду обчислюють
як значення обраної функції у необхідні моменти часу.
Зауважимо, що умова A наслідує умову рівності відповідних прогноз-
них значень. Якщо клас функцій F є замкненим щодо операції додавання,
то умови балансу можна досягти шляхом прогнозування часових рядів дру-
гого рівня і, просумувавши відповідні значення, отримати прогнози для ча-
сового ряду першого рівня. В іншому випадку, умова балансу не може бути
виконана шляхом використання функцій з класу F . У цьому разі пропону-
ється прогнозувати ряди першого і другого рівнів, а умову балансу досягати
шляхом корекції отриманих значень. Цей підхід задовольняє апріорні вимо-
ги щодо прогнозних значень, не враховані при побудові моделі (1).
Прикладом тут може слугувати задача прогнозування показників бан-
ківської діяльності, які представлені у вигляді викладених часових рядів:
значення статті у всьому банку, яке обчислюється як сума значень цієї ж
статті у всіх філіях.
Отже, запишемо умови, яким мають відповідати прогнозні часові ряди:
Б 1 — умова балансу, аналогічна умові A на прогнозному інтервалі часу;
Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 125
Б 2 — необхідність одночасного прогнозування рядів першого і другого
рівнів;
Б 3 — збереження загальних тенденцій протягом значних інтервалів ча-
су;
Б 4 — незменшення прогнозних значень в подальшому;
Б 5 — поведінка прогнозних значень повинна мати заданий ступінь
гладкості;
Б 6 — модель прогнозу має підкорятись певним індикативним умовам
(експертним оцінкам).
Зауважимо, що умови Б 1–Б 2 є наслідками умови А та припущення, що
клас F є незамкненим щодо операції додавання. Умова Б 3 відображає спе-
цифіку довгострокового прогнозування. Умови Б 4–Б 6 є прикладами додат-
кових вимог щодо прогнозу часових рядів і обумовлені специфікою їх пода-
льшого використання.
Визначимо кінцеву мету: необхідно побудувати набір прогнозів часо-
вих рядів першого та другого рівнів, які відповідають умовам Б 1–Б 6 і зада-
ні своїми історичними значеннями. Розв’язання задачі здійснюємо за насту-
пною схемою:
• прогнозування часового ряду }),({ Ttty ∈ без деталізації, до якого
типу він належить (першого чи другого), з врахуванням умови Б 3 включає:
а) вибір моделі, яка найкращим чином описує історичні дані;
б) побудову прогнозу шляхом екстраполяції моделі пункту a);
• корекція прогнозів, обчислених попередньо, шляхом застосування
лінійної оптимізації для задоволення вимог Б 1–Б 6.
ПРОГНОЗУВАННЯ ЧАСОВОГО РЯДУ
Розглянемо часовий ряд }),({ Ttty ∈ , заданий своїми історичними даними за
період часу },...,1{ NT = . Для прогнозування цього часового ряду запропо-
нуємо використати наступний параметричний клас функцій.
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈∈Λ∈+= ∑
=
PxTtatxaaF kk
p
k
kk ,,,)(
1
0 .
Тоді рівняння (1) запишемо наступним чином:
t
p
k
kk txaaty ξ++= ∑
=1
0 )()( , Nt ,...,1= , (2)
де Ptxk ∈)( , },...,1{ pk∈ — певний набір регресорів, які є перетвореннями
індексу часу; ka , },...,1{ Kk∈ — параметри регресії; tξ — випадкова по-
хибка, 0=tEξ , ∞<tDξ [2–8].
Подальше завдання — обрати певний набір функцій )({* txP k= ,
Psk ⊂= },...,1 та оцінити параметри ),...,,( 10 saaaa = регресії (2) з цим на-
бором регресорів.
О.Г. Зражевський
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 126
Опишемо один із загальних підходів розвязання цієї задачі: перебираю-
чи всі можливі набори регресорів із P , будуємо регресійні рівняння типу (2)
та знаходимо оцінки для параметрів. Останнє можна зробити, наприклад, за
методом найменших квадратів або за методом абсолютних відхилень
[3, 4, 7]. Використовуючи певний критерій якості, порівнюємо побудовані
регресійні рівняння та обираємо з них найкраще в сенсі заданого критерію [3].
На практиці, при аналізі досить малої кількості даних, застосування
описаного метода може призвести до неправильного вибору моделі, що
обумовлюється функціональною подібністю деяких регресорів. Для усунен-
ня цієї проблеми в роботі запропоновано покроковий алгоритм вибору оп-
тимального набору регресорів, при якому враховується специфіка досліджу-
ваних часових рядів. За цим методом на кожному кроці використовується не
весь клас регресорів, а його підмножина.
АЛГОРИТМ
• Розбиваємо клас усіх регресорів на скінченну кількість підкласів
mPPP ∪∪= ...1 , для яких вводимо ієрархічну структуру. Тобто, 1+i -й клас
має перевагу перед і-м щодо можливості його застосування у аналізі даних:
ii PP 1+ ;
• будуємо оцінки параметрів для регресійного рівняння із регресора-
ми, що належать до 1P ;.
• обираємо оптимальний в сенсі певного критерію набір регресорів із
першого класу: 1
*
1 PP ⊂ ;
• аналізуємо залишки побудованого регресійного рівняння щодо наяв-
ності залишку корисної інформації. Якщо останнє справджується, то пере-
ходимо до наступного пункту. Якщо ні, то використовуємо побудовану
регресійну модель для прогнозування;
• використовуючи залишки регресійного рівняння з попереднього
пункту як нові історичні дані (відгук), повторюємо «Кроки» 2–4. При цьому
застосовуємо набори регресорів з 2P ;
• здійснюємо «Кроки» 2 і 5 необхідну кількість разів. Кінцеву модель
записуємо як лінійну комбінацію відповідних регресійних рівнянь.
Зауважимо, що запропонований алгоритм сприяє контролю параметру
перезгладження моделі.
Наведемо приклад застосування запропонованого алгоритма в побудові
моделі прогнозування фінансових часових рядів.
Крок 1. Запропонуємо клас регресорів, які можна використати для опи-
су фінансових часових рядів. Для цього розглянемо функції виду:
αttx =)( , ],[ ααα ∈ . (3)
Модель типу (2) з регресорами виду (3) широко застосувується в аналізі
економічних та фінансових часових рядів і в економетриці має назву «мо-
дель кривих росту». Включення функцій типу (3) до класу регресорів, фак-
тично означає введення до моделі трендової складової [6].
Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 127
Оскільки багато фінансових часових рядів демонструють періодичні
коливання, зокрема мають сезонну компоненту, то іншим типом функцій,
які слід включити до класу регресорів, є періодичні функції:
)(sin)( mttx = , )(cos)( mttx = , ],[ mmm∈ . (4)
Застосування регресорів типу (4) до аналізу часового ряду фактично
наслідує можливість досліджувати часові ряди із пам’яттю, тобто вводити у
модель авторегресійну складову (у даному випадку лише авторегресію 2-го
порядку (див. твердження 1–2).
Зауважимо, що клас функцій від індексу часу для регресійного рівнян-
ня (2), загалом, не обмежується функціями типів (3) та (4) [6]. Проте, не
втрачаючи загальності, надалі ми будемо припускати, що зазначеного набо-
ру регресорів цілком достатньо для опису досліджуваних часових рядів.
Отже, клас функцій, які будуть застосовуватись як регресори рівняння
(2), можна записати наступним чином:
},,,)({
1
0 PxTtatxaaF kk
p
k
kk ∈∈Λ∈+= ∑
=
,
21 PPP ∪= ,
},...,1,],[,)({ 11 KkttxP k
k =∈== αααα ,
( ){ }22 ,...,1),2/,0(),(cos)(,sin)( KkttxttxP kkk =∈=== πβββ . (5)
Зауважимо, що регресори з класу 1P стануть основою для довгостроко-
вого прогнозу, і, тому будуть використовуватись у регресуванні першочер-
гово. Регресійна модель із регресорами з класу 2P є авторегресійною мо-
деллю 2-го порядку. Тобто, її застосування до залишків першого
регресійного рівняння необхідне у випадку їх закорельованості. Очевидно,
що регресійна модель (2) із регресорами класу (5) добре узгоджується з
умовою Б 3.
Параметри функцій класів 1P та 2P визначемо так:
1hkk =α , 1,...,1 Kk = ,
2
2
K
hk
k
π
β = , 2,...,1 Kk = . (6)
При достатньо малих кроках 1h та 2h це суттєво спростить вибір опти-
мального набору регресорів, а саме: призведе до можливості розглядати ли-
ше одноелементні підмножини відповідних класів (надалі 1=p ). Необхідна
кількість регресорів 1K та 2K в класах 1P та 2P визначається з практичних
міркувань.
Крок 2. Запишемо регресійні рівняння (1) із регресорами з класу 1P :
k
tkk
ktbaty ξα ++=)( , Nt ,...,1= , },...,1{ 1Kk∈ . (7)
О.Г. Зражевський
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 128
Оцінки параметрів регресійного рівняння kâ та kb шукаємо за допомо-
гою зваженого метода найменших квадратів, тобто, як значення, які мінімі-
зують зважену середньоквадратичну похибку:
min)(
1
2 →∑
=
N
t
k
ttw ξ , },...,1{ 1Kk∈ . (8)
Оцінка для залежної змінної за регресійною моделлю (7): =)(ˆ tyk
ktba kk
αˆˆ += . Залишки регресійної моделі: )(ˆ)()( tytytr kk −= .
Крок 3. Сформулюємо критерій якості для вибору оптимального регре-
сійного рівняння (7), яке в середньоквадратичному сенсі найкращим чином
описує історичні дані часового ряду. Для кожного регресійного рівняння (7)
визначаємо значення статистики Дурбіна–Ватсона та перевіряємо тести Фі-
шера, Стьюдента, Дурбіна–Ватсона та тест на основі методу складного ножа
[3, 4, 5, 7].
Тест Фішера. Перевіряє гіпотезу про адекватність запропонованої мо-
делі (7) історичним даним. Для цього розраховуємо рівень значущості рів-
няння регресії, отриманий на основі вибіркового коефіцієнта детермінації
2R̂ , який вказує, наскільки залежна зміна (відгук) залежить від незалежної
(регресора). Отримане значення порівнюємо з теоретичним квантилем роз-
поділу Фішера заданого рівня достовірності α :
α−−>
−
−
1,2,12
2
ˆ1
)2(ˆ
Nf
R
NR , тоді 1=kF . (9)
У протилежному випадку 0=kF .
Тест Стьюдента. Перевіряє гіпотезу про необхідність включення до
регресійного рівняння (7) параметрів ka та kb . Для цього визначимо рівень
значущості кожного параметра, який порівнюється з теоретичним кванти-
лем розподілу Стьюдента заданого рівня достовірності α :
2/1,2
ˆ
α
ξ
−−> N
xk t
S
SNa
, тоді 11 =ktS , інакше 01 =ktS ,
2/1,2
ˆ
α
ξ
−−> N
xk t
S
SNb
, тоді 12 =ktS , інакше 02 =ktS , (10)
де 2
xS — вибіркова дисперсія регресора ktα ; 2
ξS — вибіркова дисперсія за-
лишків регресійного рівняння kr .
Тест Дурбіна–Ватсона. Перевіряє гіпотезу про незалежність похибок.
Для цього розраховуємо статистику Дурбіна–Ватсона:
∑
∑
=
−
=
−+
= N
j
k
N
j
kk
jr
jrjr
DW
1
2
1
1
2
)(
))()1((
. (11)
Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 129
Ця величина набуває значень від 0 до 4. Якщо 2≈DW , то залишки не-
залежні, якщо 2<DW , то 0))1(),((Cov >+jrjr kk , якщо 2>DW , то
0))1(),((Cov <+jrjr kk . Зауважимо, що якщо 0),(Cov 1 ≠+jj rr , то залишки
не є випадковим шумом, а, отже, містять залишкову корисну інформацію.
Тест Дурбіна–Ватсона порівнює DW із табличними значеннями ld та ud .
Якщо ldDW < , то приймається гіпотеза про залежність залишків і 0=kD .
Якщо udDW > , то залишки незалежні та 1=kD , в іншому випадку, коли
ul dDWd << , результат не визначений і 5,0=kD .
Тест на основі метода складного ножа. Цей тест побудовано на ідео-
логії методу складного ножа, за яким покроково відкидаються історичні дані
із загального набору і будуються середньоквадратичні відхилення залишків,
які порівнюють з деяким пороговим рівнем. Тест надає можливість знай-
ти всі елементи, при відкиданні яких середньоквадратична похибка регресії
більша за середньоквадратичну похибку регресії з усіма даними. Якщо є та-
кі елементи, то значення тесту для даного регресійного рівняння дорівнює
нулю: 0=kJ , інакше 1=kJ .
Кожен із описаних тестів перевіряє модель (7) на адекватність історич-
ним даним досліджуваного часового ряду. За числовий критерій для визна-
чення оптимального регресора оберемо зважене середнє за всіма значення-
ми тестів:
)/5JgDgStgStgF(gcriteria k5k4
2
k3
1
k2k1 ++++= , (12)
де, ig , 5,...,1=i — деякі вагові коефіцієнти.
Вибір регресора здійснюється так: обираються регресійні рівняння, для
яких значення criteria є максимальним. З цього набору рівнянь беремо те, в
якому значення 2−DW — мінімальне. Отримана регресійна модель є оп-
тимальною з позицій визначеного критерію, а її залишки є найкращими що-
до некорельованості.
Крок 4. Відповідно до «Кроку 3», була обрана оптимальна за критері-
єм (12) модель 0k із регресорами, що належать до класу 1P , та побудовані
оцінки для її параметрів:
0
000
ˆˆ)(ˆ ktbaty kkk
α
+= , Nt ,...,1= , 1
0 Pt k ∈
α . (13)
Залишки цієї регресії:
)(ˆ)()(
00
tytytr kk −= , Nt ,...,1= . (14)
Для оцінок параметрів регресії kâ та kb̂ використовувався метод най-
менших квадратів. Як відомо з регресійного аналізу, ці оцінки є ефективни-
ми за виконання умов 2L — регресії [3]. Проте, практично може скластися
так, що умова некорельованості залишків не виконується, і, відповідно, оці-
нки параметрів не є ефективними. Слід зауважити, що у виборі оптимальної
регресії не відкидалась можливість, коли 1
0
≠kD . Отже, можлива ситуація,
О.Г. Зражевський
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 130
коли для обраної моделі залишки автокорельовані: 0))(),1((Corr
00
≠+ trtr kk .
Наразі в роботі запропоновано перейти до наступного кроку алгоритму.
Крок 5. Використаємо залишки (14) як залежні змінні у побудові нової
регресійної моделі з регресорами класу 2P . Слід зауважити, що за невико-
нання тесту Дурбіна–Ватсона можливі дві ситуації: 0))(),1((Corr
00
>+ trtr kk
та 0))(),1((Corr
00
<+ trtr kk , що еквівалентно 2<DW та 2>DW . У пер-
шому випадку на практиці, зазвичай, роблять висновок про наявність
циклічної складової. Доведемо наступне твердження:
Твердження 1. Розглянемо часовий ряд авторегресії 2-го порядку
...},2,1,{ =jx j , який задовольняє співвідношення:
111 +−+ +−= jjjj xxqx ε , ...,3,2=j , 20 ≤≤ q , (15)
jε — незалежні, однаково розподілені похибки із середнім 0.
Тоді автокореляція додатна 0),(Corr 1 ≥+ jj xx .
Доведення. Очевидно, що 0=x , оскільки в протилежному випадку
2=q . Розглянемо вибіркову автокореляцію часового ряду }...,2,1),({ =ttx :
=
++−
==
∑
∑
∑
∑
=
−
=
+−
=
−
=
+
+
∧
N
j
jN
N
N
j
jjjjjN
N
j
jN
N
j
jjN
jj
x
xxxxxqx
x
xx
xx
1
21
12
1
1
2
11
21
1
21
1
1
1
1
1
)(
),(Corr
ε
∑
∑∑∑
=
−
=
+
−
=
−
−
=
++−
= N
j
jN
N
N
j
jjN
N
j
jjN
N
j
jN
x
xxxxxxq
1
21
12
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
21 ε
.
Переходячи до межі при ∞→N та враховуючи той факт, що jx та jε
незалежні, отримаємо:
),(Corr),(Corr 11 jjjj xxqxx ++ −= , тобто 02/),(Corr 1 ≥=+ qxx jj .
Очевидно, що будь-який регресор з класу 2P відповідає умові (15) із
параметром )2,0()(cos2 ∈= kq β , )2/,0( πβ ∈k .
Отже, коли 0
0
=kD , та 2<DW , спираючись на результати «Твер-
дження 1», записуємо нову регресійну модель:
p
tpppppk twtvutr ξββ +++= )(cos)(sin)(
0
, Nt ,...,1= , },...,1{ 2Kp∈ .(16)
Вибір оптимального регресора та пошук оцінок параметрів регресійно-
го рівняння (16) здійснюється аналогічно дослідженням регресійного рів-
няння (7) за «Кроками 2–3». Зауважимо, що за необхідності можна побуду-
вати ще один клас регресорів 3P та дослідити залишки оптимальної
Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 131
регресійної моделі (16). Проте, з практичних міркувань та заради зменшення
ймовірності перезгладження, в цій роботі пропонуємо обмежитись двома
описаними класами (5) і (6).
При переході від регресійного рівняння (7) до (16) середньоквадратич-
на похибка та автокореляція залишків не зростає. Доведено це у наступному
твердженні.
Твердження 2. Розглянемо таку регресійну модель:
)()()( 11 ttxbaty ε++= , )()()( 22 ttzbatr η++= , Nt ,...,1= . (17)
де )(tε та )(tη — випадкові похибки, що відповідають умовам 2L — ре-
гресії; )(tx , )(tz — регресори, до того, як )1()()1( −−=+ tztzqtz ,
20 ≤≤ q ; )(ˆ)()( tytytr −= — залишки першого регресійного рівняння у
застосуванні до нього МНК: )(ˆˆ)(ˆ 11 txbaty += , до того ж
0))(),1((Corr ≥+
∧
jrjr ; )(ˆ)()( trtrtu −= — залишки другого регресійного
рівняння при застосуванні до нього МНК: )(ˆˆ)(ˆ 22 tzbatr += . Тоді:
1. 22
ru SS ≤ ,
2. ))(),1((Corr))(),1((Corr trtrtutu +≤+ , за умови, що
2
))(),1((Corr
))(),((Corr2
))(),((Corr
2
2
2
qjrjr
jrjz
jrjzq
≤+≤
−
.
Доведення. Оскільки 0)(
1
1 == ∑
=
N
j
N jrr за побудовою, то легко показа-
ти, що 0ˆ == ur . Відповідно до теорії регресійного аналізу, оцінки коефіці-
єнтів рівнянь (17) за МНК записуємо так:
zbra 22
ˆˆ −= , 22
))(),((Covˆ
zS
tztrb
∧
= .
1. Доведемо перше твердження:
∑∑∑∑
====
+−==
N
j
N
N
j
N
N
j
N
N
j
Nu jrjrjrjrjuS
1
21
1
1
1
21
1
212 )(ˆ)(ˆ)(2)()( ,
( )
2
2
1
2
1
22
1
))(),((Cov)()(ˆ)(ˆˆ)()(ˆ)(
z
N
j
N
j
N
j S
jzjrNjzjrbjzbajrjrjr
∧
===
==+= ∑∑∑ ,
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+= ∑∑∑∑∑
=====
N
j
N
j
N
j
N
j
N
j
jzzjzbbjzajzbjr
1
2
1
2
2
1
2
2
1
22
1
2 )()(ˆˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ
2
2
22
2
))(),((Covˆ
z
z
S
jzjrNSNb
∧
==
О.Г. Зражевський
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 132
Тоді 2
2
22 ))(),((Cov
z
ru
S
jzjrSS
∧
−= . Оскільки другий доданок завжди не-
додатній, то 22
ru SS ≤ .
2.
∑
∑
=
−
=
−∧
+
=+ N
j
N
N
j
N
ju
juju
tutu
1
21
1
1
1
1
)(
)()1(
))(),1((Corr ,
−+++=+ ∑∑∑
−
=
−
=
−
=
1
1
1
1
1
1
)(ˆ)1(ˆ)()1()()1(
N
j
N
j
N
j
jrjrjrjrjuju
∑∑
−
=
−
=
+−+−
1
1
1
1
)(ˆ)1()()1(ˆ
N
j
N
j
jrjrjrjr ,
( )∑∑
−
=
−
=
−−=+
1
1
2
1
1
)()1()(ˆ)()1(ˆ
N
j
N
j
jrjzjqzbjrjr
∑∑
−
=
−
=
+=+
1
1
2
1
1
)(ˆ)1()(ˆ)1(
N
j
N
j
jzbjrjrjr .
( ) ++−−−=+ ∑∑
−
=
−
−
=
1
1
2
2
122
2
1
1
1
1 )()1()(ˆˆ)(ˆ)1(ˆ
N
j
NN
N
N
j
N jzjzjqzzbzbjrjr
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−≈−−+
∧
∞→
−
=
∑ ))(),1((ˆ)()1()(ˆ 22
2
1
1
22
2
1 jzjzCovqSbjzjzjqzb z
N
N
j
N .
Оскільки ∑∑
−
=∞→
−
=
+≈−
1
1
1
1
1
1 )1()()()1(
N
j
NN
N
j
N jrjzjrjz , то
∞→
∧∧
∧−
=
≈
−
−+=+∑
Nz
N
j
N S
jzjzjrjz
jrjrjuju
2
21
1
1 ))(),1((Corr))(),((Cov
))(),1((Cov)()1(
2
2))(),((Cov
2
))(),1((Cov
zN S
jrjzqjrjr
∧
∧
∞→
−+≈ .
=+
∧
))(),1((Corr juju
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
∧
∧
∧ 2
2
22
))(),((Cov
2
))(),1((Cov
))(),((Corr1
1
z
r
S
jrjzqjrjr
jzjrS
Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 133
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
∧∧
∧
2
2
))(),((Corr
2
))(),1((Corr
))(),((Corr1
1 jrjzqjrjr
jzjr
.
Оскільки 1))(),((Corr 2 <
∧
jzjr , то, базуючись на сумі нескінченної
арифметичної прогресії, останній вираз можна переписати наступним
чином:
×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+=+
∧∧∧
2))(),((Corr
2
))(),1((Corr))(),1((Corr jrjzqjrjrjuju
++=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++×
∧∧∧
))(),1((Corr...))(),((Corr))(),((Corr1 42 jrjrjzjrjzjr
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−++
∧∧∧
...))(),((Corr))(),((Corr
2
))(),1((Corr 42 jzjrjzjrqjrjr .
Отже, переходячи до межі ∞→N , отримаємо ≤+ ))(),1((Corr tutu
))(),1((Corr trtr +≤ за умови, що
2
))(),1((Corr qjrjr ≤+ .
Якщо 0))(),1((Corr <+ tutu , то ))(),1((Corr))(),1((Corr trtrtutu +≤+−
виконується за умови, що 2
2
))(),((Corr2
))(),((Corr
2))(),1((Corr
jrjz
jrjzq
jrjr
−
≥+ .
Зауважимо, що за «Твердженням 2-м», автокореляція залишків не зрос-
тає лише тоді, коли
2
))(),1((Corr qjrjr ≤+ . Оскільки перехід від регресійної
моделі (7) до (16) відбувається лише у випадку, коли 0
0
=kD , тобто статис-
тика Дурбіна–Ватсона (11): ldDW < , то ldjrjr −>+ 2))(),1((Corr . Таким
чином, клас регресорів 2P має бути звужений, виходячи з умови: ldq
−> 2
2
,
що еквівалентно умові: lk d−> 2)(Cos β . Друга умова незбільшення авто-
кореляції залишків може бути перевірена за практичній реалізації алго-
ритму.
Крок 6. Кінцева модель, яка використовується у моделюванні прогноз-
них значень, визначається моделями (7) та (16) (звичайно у випадку, коли
регресійна модель (16) будується). Функція прогнозування на s кроків впе-
ред задається наступним чином:
++++++=+ ))((Sinˆˆ)(ˆˆ)(ˆ
000
0
00
sNvusNbasNy pppkk
k βα
))((Cosˆ
00
sNw pp ++ β , (18)
де Ms ,...,1= ; M — необхідна кількість прогнозованих значень (за довго-
строковому прогнозуванні 2/NM > ).
О.Г. Зражевський
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 134
Окрім дослідження якості моделі, яка описує емпіричні дані, на прак-
тиці іноді корисно перевірити якість побудованого за цією моделлю
прогнозу. Для цього розіб’ємо історичні дані на дві групи: },...,1),({ Ntty =
— навчаюча вибірка, тобто дані, за якими оцінюється модель, та
},...,1),({ MNNtty ++= — тестова вибірка, тобто дані з якими буде порів-
нюватись прогноз },...,1),(ˆ{ MNNtty ++= . У літературі запропоновані
різні міри точності прогнозу [2]. Опишемо деякі із них:
відносна похибка прогнозу
%100
)(
)(ˆ)()(RE
ky
kykyk −
= , MNNk ++= ,...,1 ; (19)
середньоквадратична похибка прогнозу
M
NkyNky
M
k
∑
=
+−+
= 1
2))(ˆ)((
MSE ; (20)
середньоабсолютна процента похибка прогнозу
∑
=
+=
M
k
Nk
M 1
)(RE1MAPE ; (21)
коефіцієнт невідповідності (коефіцієнт Тейла)
∑∑
∑
==
=
+++
+−+
= M
k
M
k
M
k
NkyNky
NkyNky
U
1
2
1
2
1
2
)(ˆ)(
))(ˆ)((
. (22)
Крім точкового прогнозу, побудованого за допомогою функції прогно-
зування (18), на практиці іноді виникає потреба у побудові інтервальних
прогнозів. Використовуючи моделі регресійного аналізу, задача обчислення
(розробки) інтервальних прогнозів зводиться до пошуку довірчих інтервалів
з їх подальшою екстраполяцією [4, 5]. Розглянемо дві методики побудови
довірчих інтервалів із заданим рівнем достовірності α :
• для індивідуального значення:
2
))((11
2
1,2)(ˆ
XSN
xjx
N
SNtjy −
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−± ξ
α , (23)
де 2S — вибіркова дисперсія залишків; 2
XS — вибіркова дисперсія регресо-
ра; ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−
2
1,2 αNt — теоретичний квантіль рівня
2
1 α
− розподілу Стьюден-
та з 2−n ступенями вільності;
• для середнього значення:
2
))((1
2
1,2)(ˆ
XSN
xjx
N
SNtjy −
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−± ξ
α . (24)
Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 135
КОРЕКЦІЯ ПРОГНОЗІВ ШЛЯХОМ ВИКОРИСТАННЯ ЛІНІЙНОЇ
ОПТИМІЗАЦІЇ
У попередньому розділі було розроблено метод прогнозування часових ря-
дів. Запропонована модель відповідає умові Б 3, проте не гарантує виконан-
ня інших умов. Для вирішення цієї проблеми пропонуємо використати ме-
тоди лінійної оптимізації і здійснити корекцію побудованих прогнозів.
За приклад візьмемо перший часовий ряд першого рівня та відповідний
набір часових рядів другого рівня: Nttyty
Jj
j ,...,1,)()( == ∑
∈
. Нехай, шля-
хом використання алгоритму з минулого пункту, для них були обрані опти-
мальні функції Fff j ∈ˆ,ˆ та побудовані прогнози )(ˆ)(ˆ tfty = , )(ˆ)(ˆ tfty jj = ,
MNNt ++= ,...,1 . Оскільки клас F не є замкненим щодо операції дода-
вання, то умова Б 1 не виконується: ∑
∈
≠
Jj
j tftf )(ˆ)(ˆ .
Додамо до прогнозів часових рядів деякі величини )(tx , )(tx j , визна-
чені умовою балансу Б 1:
∑
∈
+=+
Jj
jj txtftxtf )()(ˆ)()(ˆ . (25)
Зауважимо, що при Nt ,...,1= за )(tx та )(tx j можна взяти залишки
регресійних рівнянь )(ˆ)()( tytytr −= , )(ˆ)()( tytytr jjj −= . При …,1+= Nt
MN +,… величини )(tr j , 1Jj∈ невідомі, але їх можна визначити з тої
самої умови, що і на історичному періоді часу. А саме: будемо вимагати,
щоб для отриманих прогнозів часових рядів )()(ˆ)(~ txtfty jjj += оцінки
)(ˆ tf j були оптимальними в середньоквадратичному сенсі. Таким чином,
величини )(tx j , 1Jj∈ будемо шукати як значення, що мінімізують функ-
ціонали min)(1
1
2 →∑
+
+=
MN
Ni
j ix
M
. Зауважимо, що аналогічним чином можна
отримати і величини )(tx , MNNt ++= ,...,1 , додатково наклавши умо-
ву (25). Для простоти в даній роботі пропонується визначати відхилення для
часового ряду першого рівня наступним чином: −+= ∑
∈Jj
jj txtftx ))()(ˆ()(
)(ˆ tf− , MNNt ++= ,...,1 .
Виходячи із зазначених міркувань, запишемо цільову функцію:
min)(~)(
11
1
2
''
1
2 →+ ∑ ∑∑ ∑
∈
−+
+=∈
+
+= Jj
MN
Nt
j
Jj
MN
Nt
jj tytx λν , (26)
О.Г. Зражевський
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 136
де )1(~)(~2)1(~)(~ '' ++−−= tytytyty jjjj — скінченно-різницева друга похідна
)()(ˆ)(~ txtyty jjj += в момент часу t , jν — вага j -го часового ряду,λ —
коефіцієнт штрафу гладкості.
Зауважимо, що друга похідна із деяким штрафом гладкості додається
до цільової функції для виконання умови Б 5.
Запишемо обмеження:
1. Обмеження на неспадання, що постає з умови Б 4 (наступне значен-
ня прогнозу завжди не менше попереднього):
0))()(ˆ())1()1(ˆ( ≥+−+++ txtytxty jjjj , MNNt ++= ,...,1 , 1Jj∈ .
2. Обмеження на неспадання щодо останнього історичного значення
)(Ny j (умова Б 4):
)()1()1(ˆ NyNxNy jjj ≥+++ , 1Jj∈ .
3. Обмеження балансу щодо часового ряду першого рівня:
)()(ˆ))()(ˆ()(ˆ)(
1
tytytxtytyty
Jj
jj
−
∈
− ∆+≤+≤+∆− ∑ , MNNt ++= ,...,1 .
де )0()( ≥∆ ± ty — допустимі межі для виконання балансу.
4. Індивідуальні обмеження:
)()()( ttxt jjj
+− ∆≤≤∆− , 1Jj∈ , MNNt ++= ,...,1 ,
де )0)(( ≥∆± tj — допустимі межі для прогнозів часових рядів другого рівня.
Сформульована задача (26) належить до задач лінійного програмуван-
ня, і для її розв’язання у наш час розроблено багато різних алгоритмів. На-
приклад — симплекс-метод.
Визначимо допустимі межі )0)(( ≥∆ ± ty та )0)(( ≥∆± tj для зміни про-
гнозів першого та другого рівнів. Як допустимі межі відхилень можна за-
пропонувати довірчі інтервали. Проте, на практиці може виникнути ситуа-
ція, коли названих меж недостатньо для задовільнення умови балансу. В
Рис.1. Схема прогнозування часових рядів за розробленим алгоритмом
Історичні
значення
часових рядів
Визначення
трендової
складової
Побудова
функцій
прогнозування
Корекція
прогнозних
значень
Результат
Моделі тренда
Моделі циклічної
компоненти
Визначення
циклічної
складової
Залишки
регресійних
рівнянь
Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 137
цьому випадку постає необхідність для їхнього розширення на мінімально
можливу величину. В цій роботі запропоновано ітераційну процедуру для
встановлення оптимальних меж. Вона полягає у збільшенні довірчих інтер-
валів з певним кроком до отримання сумісного розв’язку оптимізаційної
задачі.
Використання оптимальної моделі дозволяє задовольняти індикативні
умови, що накладаються на прогноз Б 6, наприклад, експертні висновки)
через введення в цільову функцію оптимізаційної задачі умов із заданим
коефіцієнту штрафу.
ДОВГОСТРОКОВИЙ ПРОГНОЗ ЧАСОВИХ РЯДІВ БАНКІВСЬКОЇ
ДІЯЛЬНОСТІ. ЧИСЛОВИЙ ПРИКЛАД.
Розглянемо приклад застосування наведеного в роботі методу прогнозуван-
ня часових рядів (рис. 1). З цією метою представлено часові ряди, які відо-
бражають вимоги банків за кредитами, наданими суб’єктам господарювання
за 2007 рік. Часовим рядом першого рівня є сумарні значення кредитів
суб’єктів господарювання в Україні. Часовими рядами другого рівня — зна-
чення з 26 регіонів. Подібне розбиття часових рядів на групи природний,
відповідно до умови А. Необхідно побудувати довгостроковий прогноз на
12 місяців наперед для 27-ми часових рядів, використовуючи історичні зна-
чення, зібрані за 12 місяців. Отримані результати порівняємо із фактичними
значеннями за перші 4 місяці 2008 року. Зауважимо, що зараз доступні дані
за весь 2008 рік, проте використовувати їх для аналізу якості прогнозів не
бажано через економічну кризу в країні. Додамо, що поділ даних на навча-
ючу та тестову вибірки було зроблено, зважаючи на економічні вимоги що-
до подальшого застосування результатів у плануванні банківської діяльнос-
ті, при якому за означений період береться увесь 2008 рік.
Побудуємо прогнози для часових рядів, використовуючи модель (7),
для якої крок та кількість регресорів з класу 1P (6): 1,01 =h та 201 =K від-
повідно. При застосуванні зваженого методу найменших квадратів (8) ваги
підбиралися з практичних міркувань: 01,01 =w , 1,02 =w , 5,03 =w , 211 =w ,
312 =w , інші рівні 1. Ваги для тестів при виборі оптимального регресора
приймалися рівними: 24 =g , інші рівні 1.
Для прикладу наведено результати з моделювання прогнозів для 5-ти
часових рядів: загальна сума по країні та значення в Луганській, Миколаїв-
ській, Донецькій та Волинській областях. Обрані за критерієм якості (12)
оптимальні регресори з класу 1P разом зі значеннями тестів Фішера (9),
Стьюдента (10), Дурбіна–Ватсона, тесту на основі метода складного ножа та
статистикою Дурбіна–Ватсона (11) наведені в табл. 1. Побудовані за обра-
ними регресійними рівняннями прогнозні значення зіставлені з фактичними
значеннями за допомогою характеристик якості (20)–(22). Результати від-
бражені в табл. 1.
О.Г. Зражевський
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 138
Т а б л и ц я 1 . Результати з моделювання прогнозів
P )(tx Характеристики якості моделі Характеристики
якості прогнозу
F 1St 2St 3St D J DW MSE MAPE U
Сумарні значення кредитів суб’єктів господарювання в Україні
1P 1,3 1 1 1 1 1 1,63 19395 4,22% 0,03
2P
Кінцевий прогноз 19686 4,31% 0,03
Часовий ряд кредитів суб’єктів господарювання в Луганській області
1P 1 1 1 1 1 1 1,38 139,99 2,97% 0,021
2P
Кінцевий прогноз 104,66 2,23% 0,016
Часовий ряд кредитів суб’єктів господарювання в Миколаївській області
1P 1,2 1 1 1 1 1 2,13 82,55 1,91% 0,014
2P
Кінцевий прогноз 53,29 1,28% 0,009
Часовий ряд кредитів суб’єктів господарювання в Донецькій області
1P 1,5 1 1 1 0,5 1 1,09 807,24 2,45% 0,022
2P 6/π 1 1 1 0 0,5 1 1,11
Кінцевий прогноз 1029,94 3,75% 0,028
Часовий ряд кредитів суб’єктів господарювання в Волинській область
1P 1,1 1 1 1 0,5 1 1,32 184,26 4,47% 0,032
2P 24/5π 1 0 0 1 1 1 1,67
Кінцевий прогноз 87,12 2,12% 0,015
Результати, отримані шляхом моделювання обраного регресійного рів-
няння, разом з довірчими інтервалами (23), (24) та історичними даними для
часових рядів сумарного значення по усій країні та Волинській області, зок-
рема зображені на рис. 2, 3.
Зауважимо, що для Донецької та Волинської областей тест Дурбіна–
Ватсона не дав чіткої відповіді і одержана статистика менша 2-х. У цих ви-
падках робиться припущення щодо наявності циклічної складової і для за-
лишків відповідних регресійних рівнянь складаються регресійні рівняння
(16). При цьому для визначення класу 2P параметри приймалися наступни-
ми (6): 2/12 =h , 122 =K . Ваги для методу найменших квадратів усі дорів-
нюють 1, а ваги тестів для вибору оптимальних регресорів такі самі, як і у
випадку регресійних рівнянь (7).
Обрані за критерієм якості (11) оптимальні регресори з класу 2P разом
зі значеннями тестів та статистикою Дурбіна–Ватсона (11) наведені в
табл. 1. Результати, отримані шляхом моделювання обраного регресійного
рівняння разом з довірчими інтервалами (23), (24) та історичними даними
для часового ряду кредитів суб’єктів господарювання в Волинській області
Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 139
зображені на рис. 4. Слід зауважити, що автокореляція залишків при
застосуванні регресорів із класу 2P зменшилася.
Наголосимо, що для аналізу часового ряду кредитів у Волинській
області подальші дослідження можна не проводити, адже автокореляція
похибок за тестом Дурбіна–Ватсона достатньо мала ( 1=D ). Для Донець-
кої області тест Дурбіна–Ватсона не дав бажаного результату і, загалом, є
необхідність у побудові нової моделі із регресорами з певного класу 3P
Рис. 2. Часовий ряд сумарних значень кредитів суб’єктів господарювання
в Україні: 1 — історичні дані; 2 — змодельовані значення; 3 — довірчі інтервали
t
грн
1
2
3
Рис. 3. Часовий ряд кредитів суб’єктів господарювання у Волинській області: 1 —
історичні дані; 2 — змодельовані значення; 3, 4 — довірчі інтервали
t
грн
1
3
2
4
О.Г. Зражевський
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 140
для залишків регресійного рівняння (16). У цій роботі подібні дослідження
не проводились, зважаючи на можливість ймовірного перезгладження моделі.
Після отримання прогнозів за моделями (7) та (16) для всіх описаних
вище 27-ми часових рядів, була розв’язана задача лінійної оптимізації (26).
Кінцеві результати разом із історичними даними, фактичними даними за
перші 4 місяці 2008 року, довірчими інтервалами (18), (19) та початковим
прогнозом для Волинської області зображено на рис. 5.
Рис. 4. Часовий ряд кредитів суб’єктів господарювання в Волинській області: 1 —
залишки першого регресійного рівняння; 2 — змодельовані значення; 3, 4 — довір-
чі інтервали
t
грн
1 3
2 4
Рис. 5. Часовий ряд кредитів суб’єктів господарювання в Волинській області: 1 —
історичні дані; 2 — початковий прогноз; 3 — кінцевий прогноз; 4, 5 — довірчі
інтервали
t
грн
1
3
2
4
5
Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 141
Підсумкові прогнози для сумарного значення по країні та по чотирьом
областям порівнювались із фактичними значення за допомогою характерис-
тик якості (20)–(22). Результати наведені в табл. 1.
ВИСНОВКИ
Метою роботи є розробка методу прогнозування набору часових рядів зі
специфічною структурою та деякими зовнішніми вимогами. Для вирішення
проблеми було побудовано алгоритм послідовного знаходження лінійних
регресійних рівнянь із різними наборами регресорів. Для аналізу фінансових
часових рядів було запропоновано використати два класи регресорів, а саме:
клас кривих зростання та клас циклічних перетворень часового індексу.
Оцінки параметрів регресійних рівнянь будувались за допомогою зваженого
методу найменших квадратів. Щоб обрати оптимальний регресор із відпові-
дного класу, довелось розробити критерій якості, що базується на стандарт-
них методах перевірки якості регресійного рівняння, зважаючи на її адеква-
тність історичним даним. За перший набір регресорів брали криві зростання,
що обумовлено специфікою довгострокового прогнозування. Рішення про
необхідність побудови регресійних моделей для залишків першого регре-
сійного рівняння ухвалювалося на основі тесту Дурбіна–Ватсона та знаку
вибіркової автокореляції. Доведено, що при корельованості залишків із до-
датною автокореляцією можна використовувати регресори циклічного виду
для покращення моделі з погляду зменшення вибіркової дисперсії похибок
та статистики Дурбіна–Ватсона. Для виконання зовнішніх вимог щодо про-
гнозних значень була сформульована задача лінійної оптимізації.
Як приклад у роботі розглянуто прогнозування часових рядів, які відо-
бражають вимоги банків за кредитами, наданими суб’єктам господарювання
за 2007 рік. Результати характерні для загального показника по усій країні
та по 4-х областях: Луганська, Миколаївська, Донецька, Волинська. Для су-
марного показника та двох областей — Луганської та Миколаївської — було
розроблено модель, що базується на кривих росту. А на основі тесту Дурбі-
на–Ватсона зроблено висновок про недоцільність подальшого аналізу. Для
двох інших областей — Донецької та Волинської, окрім кривих росту, було
побудовано регресійну модель для залишків з циклічними регресорами.
Прогнози для досліджуваних часових рядів отримані шляхом екстраполяції
відповідних регресійних моделей на 12 місяців навперед (2008 рік). Корек-
ція прогнозів, з метою задоволення поставлених вимог, проведена за допо-
могою розв’язання лінійної оптимізаційної задачі. Перші чотири значення
остаточного прогнозу були порівняні з фактичним використанням трьох ха-
рактеристик: середньоквадратичної похибки прогнозу, середньоабсолютної
процентної похибки прогнозу, коефіцієнта невідповідності. Результати про-
гнозування наведено в графічному вигляді. Всі алгоритми були запрограмо-
вані в пакеті Mathematica 5.2.
О.Г. Зражевський
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 142
Кризисна ситуація в країні не дає змоги використовувати чисто статис-
тичні методи для прогнозування економічних та фінансових часових рядів.
Проте запропонований метод може враховувати ряд зовнішніх експертних
вимог, і результати, отримані за його допомогою, можуть стати основою для
подальшого планування діяльності фінансових інститутів.
ЛІТЕРАТУРА
1. Бідюк П.І. Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових
рядів // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2003. —
№ 3. — С. 88–110.
2. Винн Р., Холден К. Введение в прикладной эконометрический анализ. — М.:
Финансы и статистика, 1981. — 294 с.
3. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. — М.: Мир, 1980. — 456 с.
4. Cook R., Weisberg S. Residuals and Influence in Regression. — N.Y.: Chapman and
Hall, 1982. — 230 p.
5. Cryer J. D., Chan, K. Time Series Analysis With Applications in R. Second Edition.
— N.Y.: Springer, 2008. — 491 p.
6. Palit A., Popovic D. Computational intelligence in time series forecasting: Theory
and engineering applications. — London: Springer, 2005. — 372 p.
7. Rawlings J., Pantula S., Dickey D. Applied Regression Analysis. A Research Tool.
Second Edition. — N.Y.: Springer Verlag, 1998. — 671 p.
Надійшла 15.12.2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49694 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:35:44Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зражевський, О.Г. 2013-09-24T21:03:24Z 2013-09-24T21:03:24Z 2010 Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів / О.Г. Зражевський // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 1. — С. 123-142. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49694 519-226 Запропоновано методи щодо прогнозування фінансових часових рядів, на які накладаються зовнішні вимоги, представлено алгоритм послідовної побудови лінійних регресійних рівнянь із різними наборами регресорів. Для виконання деяких зовнішніх вимог сформульовано задачу лінійної оптимізації. Алгоритм застосовано щодо прогнозування часових рядів, що відображають вимоги банків за кредитами, наданими суб’єктам господарювання за 2007 рік. Разработаны методы прогнозирования финансовых временных рядов, на которые накладываются внешние условия; предложено алгоритм последовательного построения линейных регрессионных уравнений с разными наборами регрессоров. Сформулирована задача линейной оптимизации для выполнения набора внешних требований. Алгоритм использован для прогнозирования временных рядов, отображающих требования банков по кредитам, предоставленным юридическим лицам за 2007 год. Methods for prediction of the financial time series with external conditions are developed. An algorithm of step-by-step construction of linear regression equations with different combinations of repressors is offered. The linear optimization problem is applied to meet the external conditions. The algorithm is used for long-term prediction of the time series according to the requirements of Ukrainian banks on juristic persons credits in 2007. uk Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів Методы построения моделей для долгосрочного прогнозирования финансовых временных рядов Methods for building models of long-term prediction of financial time series Article published earlier |
| spellingShingle | Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів Зражевський, О.Г. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| title | Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів |
| title_alt | Методы построения моделей для долгосрочного прогнозирования финансовых временных рядов Methods for building models of long-term prediction of financial time series |
| title_full | Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів |
| title_fullStr | Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів |
| title_full_unstemmed | Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів |
| title_short | Методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів |
| title_sort | методи побудови моделей для довгострокового прогнозування фінансових часових рядів |
| topic | Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| topic_facet | Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49694 |
| work_keys_str_mv | AT zraževsʹkiiog metodipobudovimodeleidlâdovgostrokovogoprognozuvannâfínansovihčasovihrâdív AT zraževsʹkiiog metodypostroeniâmodeleidlâdolgosročnogoprognozirovaniâfinansovyhvremennyhrâdov AT zraževsʹkiiog methodsforbuildingmodelsoflongtermpredictionoffinancialtimeseries |