О законе распределения вероятности смеси стохастических и полигармонических колебаний
The laws for the probability density distribution of additive, multiplicative, and generalized mixtures of polyharmonic and stochastic oscillatory processes are determined.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4970 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О законе распределения вероятности смеси стохастических и полигармонических колебаний / А.Е. Божко, В.Е. Корсун // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 43-48. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860130046709071872 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. Корсун, В.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. Корсун, В.Е. |
| citation_txt | О законе распределения вероятности смеси стохастических и полигармонических колебаний / А.Е. Божко, В.Е. Корсун // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 43-48. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The laws for the probability density distribution of additive, multiplicative, and generalized mixtures of polyharmonic and stochastic oscillatory processes are determined.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:44:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
7 • 2008
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 620.178.3
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко, В.Е. Корсун
О законе распределения вероятности смеси
стохастических и полигармонических колебаний
The laws for the probability density distribution of additive, multiplicative, and generalized
mixtures of polyharmonic and stochastic oscillatory processes are determined.
В данной работе показано построение одномерного закона распределения вероятности ад-
дитивной и мультипликативной смесей стационарного стохастического ξ(t) и полигармони-
ческого
x(t) =
N
∑
k=1
Ak sin(ωkt + ϕk) (1)
процессов. Подобная задача с аддитивной смесью решена С. Райсом [1] для нормальной
помехи и моногармонического процесса. Ниже рассматривается более общий случай с не-
сколькими гармониками. Причем будем различать две постановки задачи: первая — час-
тоты гармоник ωk, k = 1, N , несоизмеримы (их отношения — иррациональные числа), все
начальные фазы ϕk, k = 1, N , случайны и равномерно распределены в пределах 0–2π;
вторая — частоты ωk = kω1, k = 1, N , а сдвиги фаз — ϕk = kϕ1 зафиксированы относи-
тельно ϕ1. При этом ϕ1 равномерно распределен на интервале 0–2π.
Аддитивная смесь — это y(t) = ξ(t) + x(t), мультипликативная — y(t) = ξ(t)x(t). Для
обеих задач из-за стохастичности ϕk, k = 1, N , процесс (1) является стационарным эр-
годическим [2] и его одномерную функцию распределения Fx(u) можно определить в ви-
де [3]
Fx(u) = lim
r→∞
1
r
r
∫
0
η[u − x(t)] dt,
где
x(t) 6 u, η(·) =
{
1, (·) > 0
0, (·) < 0
}
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 43
Плотность вероятности стохастического смешанного процесса
y(t) = ξ(t) + x(t) (2)
при независимых составляющих является композицией
Py(υ) =
∞
∫
−∞
Px(u)Pξ(υ − u) du (3)
закона распределения процесса ξ(t) и плотности распределения полигармонического про-
цесса
Px(u) =
dFx(u)
du
= lim
r→∞
1
r
r
∫
0
δ[u − x(t)] dt, (4)
где δ(α) = dη(α)/dα — дельта-функция.
При несоизмеримых ωk и ϕk, k = 1, N , гармониках (1) плотность вероятности (1) может
быть описана в виде [4]
Px(u) =
1
2SA
[
1 + 2
∞
∑
l=1
cos
πlu
SA
N
∏
k=1
I0
(
Akπl
SA
)
]
, |u| 6 SA,
0, |u| > SA,
(5)
где I0 — функция Бесселя первого рода нулевого порядка; SA =
N
∑
k=1
Ak.
Для второй постановки задачи, рассматривая период (−ϕ1/ω1, T − ϕ1/ω1) реализации
процесса (1), где T = 2π/ω1, и вводя вместо времени безразмерную координату τ = t/T −
− ϕ1/(2π), можно записать выражение для плотности вероятности Px(u) в следующем
виде [5, 6]:
Px(u) =
∞
∑
l=1
1
|q′(τl)|
, xmin 6 u 6 xmax,
0, u < xmin, u > xmax,
(6)
где τl, l = 1, L — корни на интервале (0,1) транцендентного уравнения
q(τ) = A1 sin 2πτ +
N
∑
k=2
Ak sin(2πkτ + ϕk − kϕ1) = u.
Заметим, что поскольку τl отыскиваются на периоде функции q(τ), их количество будет
четным, а это значит, что L будет четным.
Из (6) видно, что
lim
∆u→0
Px(Umin
m + ∆u) = lim
∆u→0
Px(Umax
m − ∆u) = ∞,
а величина Px(Umin
m − ∆u) > Px(Umax
m + ∆u) является конечной при любых сколь угодно
малых ∆u. Нахождение каждого из значений плотностей распределения (5) и (6) обоих
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
рассматриваемых типов квазидетерминированного полигармонического процесса x(t) свя-
зано с трудоемкими вычислениями, которые могут быть частично устранены преобразо-
ванием (3) к виду, удобному для численных расчетов. В связи с этим рассмотрим случай
с гауссовской шумовой составляющей ξ(t), при которой (4) приобретает вид
Py(υ) =
1
σξ
√
2π
=
∞
∫
−∞
Px(u) exp
[
−(υ − u)2
2σξ
]
du. (7)
Разлагая экспоненциальную функцию в ряд
exp(−α) =
∞
∑
n=0
(−1)n
αn
n!
(8)
и интегрируя затем почленно, получим
Py(υ) =
1
σξ
√
2π
∞
∑
n=0
(−1)n
(2σ2
ξ )nn!
2n
∑
s=0
(−1)sCs
2nυ2n−sµx
s , (9)
где Cs
2n — биноминальные коэффициенты; µx
s — нормированные центральные моменты про-
цесса x(t), вводимые через его плотность распределения µx
s =
∞
∫
−∞
U sPx(u) du, s = 2, 3, 4, . . .,
по аналогии со стохастическими процессами.
Так как x(t) является стационарным эргодическим процессом для двух задач, то мо-
ментные характеристики можно определить как усредненные по времени в виде
µx
s =
1
r
r
∫
0
[x(t)]sdt, (10)
где r → ∞ при несоизмеримых ωk с ω1 и r = T = 2π/ω1 при ωk = kω1. Подставляя (10) в (9),
заменяя сумму интегралов интегралом от суммы и переходя обратно к экспоненциальной
функции с помощью разложения (8), получим
Py(υ) =
1
rσξ
√
2π
r
∫
0
exp
{
− [υ − x(t)]2
2σ2
ξ
}
dt. (11)
Таким образом, выражение (7) преобразовано к (11), где подынтегральная функция
единым образом задана аналитически для Px(u)Pξ(υ − u). Отметим, что аналогичное ре-
шение можно получить и в общем виде, не конкретизируя закон распределения Pξ(u) сто-
хастической составляющей ξ(t). Для этого представим плотность вероятности Pξ(u) в виде
разложения в ряд Маклорена
Pξ(u) =
∞
∑
n=0
P
(n)
ξ (0)
Un
n!
. (12)
Подставляя (12) в (3), получим
Py(υ) =
∞
∫
−∞
Px(u)
∞
∑
n=0
P
(n)
ξ (0)
2n
∑
s=0
(−1)sCs
2nυ2n−susdu.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 45
Интегрируя почленно это выражение и используя свойство эргодичности полигармоничес-
кого процесса, получаем
Py(υ) =
∞
∑
n=0
P
(n)
ξ (0)
2n
∑
s=0
(−1)sCs
2nυ2n−s 1
r
r
∫
0
xs(t) dt,
где r → ∞ или r = 2π/ω1.
Воспользовавшись снова выражением (12), получим плотность вероятности смешанного
процесса
Py(υ) = lim
r→∞
1
r
∞
∫
−∞
Pξ[υ − x(t)] dt (13)
при несоизмеримых ωk, k = 1, N , и стохастических ϕk составляющей x(t) и
Py(υ) =
ω1
2π
2π/ω1
∫
0
Pξ[υ − x(t)] dt (14)
при ωk = kω1 и фиксированных сдвигов фаз ϕk−kφ1 высших гармоник x(t) относительно его
первой гармоники. При нормальном законе распределения из выражений (13), (14) следует
выражение (11). Если же x(t) содержит одну гармонику, то из (14) получается как частный
случай формула Райса для распределения смеси гармоники и гауссовского шума [1].
Так как плотность вероятности Py(υ) = dFy(υ)/dυ, то с учетом (16)
Fy(υ) = lim
r→∞
1
r
r
∫
0
Fξ[υ − x(t)] dt
и с учетом (17)
Fy(υ) =
ω1
2π
2π/ω1
∫
0
Fξ[υ − x(t)] dt.
Из полученных результатов следует, что плотность распределения вероятности процесса (2)
в случае x(t) с несоизмеримыми частотами обладает свойствами симметрии и стремится
к нормальной с увеличением числа гармоник N и дисперсии σ2
ξ функции ξ(t). Плотность
распределения вероятности (2) с x(t) с кратными частотами несимметрична и в меньшей
мере стремится к нормальной с увеличением σ2
ξ составляющей ξ(t).
Далее перейдем к рассмотрению мультипликативной смеси
y(t) = ξ(t)x(t). (15)
Из работы [7] известно, что если стохастические величины α и β независимы и им соот-
ветствуют плотности вероятности P1(α) и P2(β), то произведению γ = αβ соответствует
плотность вероятности P3(γ), определяемая выражением
P3(γ) =
∞
∫
−∞
P1(α)P2
(
γ
α
)
1
|α|dα. (16)
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
В соответствии с (16) одномерное распределение вероятности процесса (15) при гауссовской
ξ(t) запишем в виде
Py(υ) =
1
σξ
√
2π
∞
∫
−∞
Px(u) exp
{
− υ2
2σ2
ξu
2
}
1
|u|du. (17)
Далее, подставляя в (17) выражение для Px(u) в виде (15), получим
Py(υ) =
1
rσξ
√
2π
∞
∫
−∞
r
∫
0
δ[u − x(t)] exp
{
− υ2
2σ2
ξu
2
}
1
|u|dudt.
Изменяя очередность интегрирования и используя фильтрующее свойство δ-функции, по-
лучаем
Py(υ) =
1
rσξ
√
2π
r
∫
0
1
|x(t)| exp
{
− υ2
2σ2
ξx
2(t)
}
dt, (18)
где r = T = 2π/ω1 — для x(t) с кратными частотами и r → ∞ — для x(t) с несоизмеримыми
частотами.
На основании проведенного исследования плотность вероятности обобщенной модели
стохастического процесса [8]
y(t) = x1(t)ξ(t) + x2(t),
где ξ(t) — стационарный нормальный стохастический процесс, x1(t), x2(t) описываются
выражением (1), включающим в себя одновременно аддитивную и мультипликативную со-
ставляющие, может быть представлена в виде
Py(υ) =
1
rσξ
√
2π
r
∫
0
1
|x1(t)|
exp
{
− [υ − x2(t)]
2
2σ2
ξx2
1(t)
}
dt. (19)
Таким образом, с помощью выражений (14), (18), (19) могут быть численно оценены
плотности распределения вероятностей аддитивной, мультипликативной и обобщенной сме-
сей колебательного процесса y(t).
1. Райс С. Теория флуктуационных шумов // Теория передачи электрических сигналов при наличии
помех / Под ред. А.Н. Железнова. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1953. – 288 с.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. – Москва: Наука, 1973. – 720 с.
3. Коловский М. З. Нелинейная теория виброзащитных систем. – Москва: Наука, 1966. – 317 с.
4. Левин Б.Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. – Москва:
Радио и связь, 1985. – 312 с.
5. Божко А. Е., Штейнвольф А.Л. Воспроизведение полигармонических вибраций при стендовых ис-
пытаниях. – Киев: Наук. думка, 1981. – 167 с.
6. Штейнвольф А.Л. Моделирование случайных вибраций полигармоническими колебаниями // Прикл.
механика. – 1984. – 20, № 6. – С. 52–57.
7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – Москва: Наука, 1969. – 576 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 47
8. Гусев А.В., Светлицкий В.А. Расчет конструкций при случайных воздействиях. – Москва: Маши-
ностроение, 1984. – 240 с.
Поступило в редакцию 21.05.2007Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
УДК 519.85
© 2008
Т.Е. Романова, А.В. Кривуля, М. В. Злотник
Трансляционное прямоугольное покрытие
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.Г. Стояном)
The article considers a covering problem of a multiconnected compact polygonal region by a
finite family of rectangles. The Г-function technique is used for an analytical description of the
relationship between the region and the family of rectangles. A covering criterion is formalized.
A mathematical model of the problem is discussed. A solution strategy is developed. The solution
strategy is provided with an example.
Рассматривается задача покрытия [1] в следующей постановке. Пусть задана компактная
многоугольная область Ω(v) ⊂ R2 и семейство Λ = {Pi, i = 1, 2, . . . , n} прямоугольников
Pi = {(x, y) ∈ R2, −ai 6 x 6 ai, −bi 6 y 6 bi}, i = 1, 2, . . . , n, где R2 — двумерное
арифметическое евклидово пространство.
Полагаем, что v = const, а расположение Pi в пространстве R2 определяется вектором
ui = (xi, yi). Семейство транслированных прямоугольников Pi(ui), i = 1, 2, . . . , n, обозначим
Λ(u), где u = (u1, u2, . . . , un) ∈ R2n.
Семейство Λ(u) является покрытием области Ω [2], если существует вектор u ∈ R2n,
такой, что
Ω ⊆
n
⋃
i=1
Pi(ui). (1)
Задача. Определить — существует ли вектор u ∈ R2n такой, что выполняется усло-
вие (1).
Пусть u0 ∈ R2n удовлетворяет (1). Тогда справедливо
Ω
⋂
intH(u0) = ∅, (2)
где H(u0) = R2\int P (u0), P (u0) =
n
⋃
i=1
Pi(u
0
i ), intH(u0) — внутренность множества H(u0) [3].
Соотношение (2) может быть описано неравенством
Φ(w, v) > 0, (3)
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4970 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:44:23Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. Корсун, В.Е. 2009-12-29T15:45:27Z 2009-12-29T15:45:27Z 2008 О законе распределения вероятности смеси стохастических и полигармонических колебаний / А.Е. Божко, В.Е. Корсун // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 43-48. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4970 620.178.3 The laws for the probability density distribution of additive, multiplicative, and generalized mixtures of polyharmonic and stochastic oscillatory processes are determined. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика О законе распределения вероятности смеси стохастических и полигармонических колебаний Article published earlier |
| spellingShingle | О законе распределения вероятности смеси стохастических и полигармонических колебаний Божко, А.Е. Корсун, В.Е. Інформатика та кібернетика |
| title | О законе распределения вероятности смеси стохастических и полигармонических колебаний |
| title_full | О законе распределения вероятности смеси стохастических и полигармонических колебаний |
| title_fullStr | О законе распределения вероятности смеси стохастических и полигармонических колебаний |
| title_full_unstemmed | О законе распределения вероятности смеси стохастических и полигармонических колебаний |
| title_short | О законе распределения вероятности смеси стохастических и полигармонических колебаний |
| title_sort | о законе распределения вероятности смеси стохастических и полигармонических колебаний |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4970 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae ozakoneraspredeleniâveroâtnostismesistohastičeskihipoligarmoničeskihkolebanii AT korsunve ozakoneraspredeleniâveroâtnostismesistohastičeskihipoligarmoničeskihkolebanii |