Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi трьох рентгенiвських знiмкiв у трьох взаємоперпендикулярних ракурсах
The explicit description of a class of functions of three variables that are a mathematical model of the inner structure of a 3D body (density, attenuation constant), which can be restored by three X-ray pictures in mutually perpendicular aspects is given.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4972 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi трьох рентгенiвських знiмкiв у трьох взаємоперпендикулярних ракурсах / I.В. Сергiєнко, О.О. Литвин // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 53-59. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859525761718812672 |
|---|---|
| author | Сергiєнко, I.В. Литвин, О.О. |
| author_facet | Сергiєнко, I.В. Литвин, О.О. |
| citation_txt | Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi трьох рентгенiвських знiмкiв у трьох взаємоперпендикулярних ракурсах / I.В. Сергiєнко, О.О. Литвин // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 53-59. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | The explicit description of a class of functions of three variables that are a mathematical model of the inner structure of a 3D body (density, attenuation constant), which can be restored by three X-ray pictures in mutually perpendicular aspects is given.
|
| first_indexed | 2025-11-25T22:19:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
8. Стоян Ю.Г., Чугай А.М. Размещение цилиндров и параллелепипедов в призме с учетом заданных
кратчайших расстояний // Доп. НАН України. – 2006. – № 3. – С. 29–35.
9. Стоян Ю.Г., Соколовский В. З. Решение некоторых многоэкстремальных задач методом сужающи-
хся окрестностей. – Киев: Наук. думка, 1980. – 205 с.
10. Стоян Ю.Г., Пацук В.Н. Покрытие многоугольной области минимальным количеством одинаковых
кругов заданного радиуса // Доп. НАН України. – 2006. – № 3. – С. 74–77.
11. Злотник М.В., Кривуля А.В., Романова Т.Е. Аналитическое описание условия покрытия прямоу-
гольной области прямоугольными объектами // Искусств. интеллект. – 2006. – № 4. – С. 175–183.
Поступило в редакцию 12.02.2008Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
УДК 535.3:537.876.23:631.3
© 2008
Академiк НАН України I. В. Сергiєнко, О. О. Литвин
Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D
тiла на основi трьох рентгенiвських знiмкiв у трьох
взаємоперпендикулярних ракурсах
The explicit description of a class of functions of three variables that are a mathematical model
of the inner structure of a 3D body (density, attenuation constant), which can be restored by
three X-ray pictures in mutually perpendicular aspects is given.
Дана робота присвячена дослiдженню класу функцiй, що описують внутрiшню структуру
3-вимiрного тiла (щiльнiсть, коефiцiєнт поглинання), якi можна точно вiдновити за допо-
могою всього трьох рентгенiвських знiмкiв у взаємоперпендикулярних ракурсах методом,
описаним в [1]. Вказаний метод оснований на використаннi операторiв мiшаної апроксимацiї
функцiй [2, 3]. Ця робота є продовженням дослiджень роботи [4], у якiй для вiдновлення
об’єктiв використовувалось всього два рентгенiвських знiмка. Огляд дослiджень з близької
за змiстом тематики наведено в [5–12].
Основнi твердження роботи. Для побудови математичної моделi внутрiшньої струк-
тури тривимiрного тiла будемо використовувати мiшану апроксимацiю Bm,n,pf(x, y, z) су-
мами Фур’є функцiй трьох змiнних f(x, y, z) ∈ L2[0, 1]
3⋂C[0, 1]3 за змiнними x, y, z, по-
будовану за допомогою сум Фур’є функцiй f(x, y, z) порядкiв m, n, p за змiнними x, y, z,
вiдповiдно,
Fm,xf(x, y, z) =
m
∑
k1=−m
c1k1
(f ; y, z)ei2πk1x, c1k1
(f ; y, z) =
1
∫
0
f(x, y, z)e−i2πk1xdx,
Fn,yf(x, y, z) =
n
∑
k2=−n
c2k2
(f ;x, z)ei2πk2y, c2k2
(f ;x, z) =
1
∫
0
f(x, y, z)e−i2πk2ydy,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 53
Fp,zf(x, y, z) =
p
∑
k3=−p
c3k3
(f ;x, y)ei2πk3z, c3k3
(f ;x, y) =
1
∫
0
f(x, y, z)e−i2πk3zdz.
Цi оператори мають вигляд
Bm,n,pf(x, y, z) = Fm,xf + Fn,yf + Fp,zf − Fm,xFn,yf − Fm,xFp,zf − Fn,yFp,zf + Fm,n,pf,
де
Fm,xFn,yf(x, y, z) =
m
∑
k1=−m
n
∑
k2=−n
c12k1,k2
(f ; z)ei2π(k1x+k2y);
c12k1,k2
(f ; z) =
1
∫
0
1
∫
0
f(x, y, z)e−i2π(k1x+k2y)dxdy;
Fm,xFp,zf(x, y, z) =
m
∑
k1=−m
p
∑
k3=−p
c13k1,k3
(f ; y)ei2π(k1x+k3z);
c13k1,k3
(f ; y) =
1
∫
0
1
∫
0
f(x, y, z)e−i2π(k1x+k3z)dxdz;
Fn,yFp,zf(x, y, z) =
n
∑
k2=−n
p
∑
k3=−p
c23k2,k3
(f ;x)ei2π(k2y+k3z);
c23k2,k3
(f ;x) =
1
∫
0
1
∫
0
f(x, y, z)e−i2π(k2y+k3z)dydz;
Fm,n,pf = Fm,xFn,yFp,zf =
m
∑
k1=−m
n
∑
k2=−n
p
∑
k3=−p
ck1,k2,k3
ei2π(k1x+k2y+k3z);
ck1,k2,k3
=
1
∫
0
1
∫
0
f(x, y, z)e−i2π(k1x+k2y+k3z)dxdydz.
Для подальшого потрiбна така лема.
Лема 1. Для функцiй f(x, y, z) ∈ L2[0, 1]
3⋂C[0, 1]3 виконуються рiвностi (−m 6 k′
1 6
6 m;−n 6 k′
2 6 n;−p 6 k′
3 6 p)
c1k′
1
(Bm,n,pf ; y, z) =
1
∫
0
Bm,n,pfe−i2πk′
1
xdx = c1k′
1
(f ; y, z) =
1
∫
0
fe−i2πk′
1
xdx,
c2k′
2
(Bm,n,pf ;x, z) =
1
∫
0
Bm,n,pfe−i2πk′
2
ydy = c2k′
2
(f ;x, z) =
1
∫
0
fe−i2πk′
2
ydy,
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
c3k′
3
(Bm,n,pf ;x, y) =
1
∫
0
Bm,n,pfe−i2πk′
3
zdz = c3k′
3
(f ;x, y) =
1
∫
0
fe−i2πk′
3
zdz.
Для того щоб цi математичнi результати використати при математичному моделюван-
нi внутрiшньої структури тривимiрного тiла за допомогою трьох рентгенiвських знiмкiв
у напрямках осей x, y та z, вiдповiдно, зауважимо, що доданок
c10(f ; y, z) =
1
∫
0
f(x, y, z)e−i2π0xdx =
1
∫
0
f(x, y, z) dx
у формулi Fm,xf(x, y, z) =
m
∑
k1=−m
c1k1
(f ; y, z)ei2πk1x може розглядатися як функцiя змiнних
(y, z), що описує зображення на рентгенiвському знiмку, яке отримується в результатi про-
свiчування об’єкта (вважаємо, що об’єкт дослiдження повнiстю розмiщений у кубi [0, 1]3)
рентгенiвськими променями вздовж осi Ox при умовi, що рентгенiвський промiнь прохо-
дить через точку (y, z) площини Oyz.
Аналогiчно, доданки
c20(f ;x, z) =
1
∫
0
f(x, y, z)e−i2π0ydy =
1
∫
0
f(x, y, z) dy
у формулi
Fn,yf(x, y, z) =
n
∑
k2=−n
c2k2
(f ;x, z)ei2πk2y
та
c30(f ;x, y) =
1
∫
0
f(x, y, z)e−i2π0zdz =
1
∫
0
f(x, y, z) dz
у формулi
Fp,zf(x, y, z) =
p
∑
k3=−p
c3k3
(f ;x, y)ei2πk3z
можуть розглядатися як функцiї двох змiнних (x, z), (x, y), вiдповiдно, що описують зо-
браження на рентгенiвських знiмках, отриманих в результатi опромiнення (просвiчування)
об’єкта рентгенiвськими променями вздовж осей Oy та Oz, вiдповiдно, при умовi, що рент-
генiвський промiнь проходить через точку (x, z) площини Oxz та точку (x, y) площини
Oxy, вiдповiдно. Далi врахуємо, що доданок
c120,0(z) =
1
∫
0
1
∫
0
f(x, y, z)e−i2π(0x+0y)dxdy =
1
∫
0
1
∫
0
f(x, y, z) dxdy
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 55
у сумi
Fm,nf(x, y, z) =
m
∑
k1=−m
n
∑
k2=−n
c12k1,k2
(z)ei2π(k1x+k2y)
може бути отриманий за допомогою вказаних двох знiмкiв
c10(f ; y, z) =
1
∫
0
f(x, y, z)dx, c20(f ;x, z) =
1
∫
0
f(x, y, z)dy,
тобто
c120,0(z) =
1
∫
0
1
∫
0
f(x, y, z) dxdy =
1
∫
0
( 1
∫
0
f(x, y, z)dx
)
dy =
1
∫
0
c10(f ; y, z)dy
i, iналогiчно,
c120,0(z) =
1
∫
0
1
∫
0
f(x, y, z) dxdy =
1
∫
0
( 1
∫
0
f(x, y, z)dy
)
dx =
1
∫
0
c20(f ;x, z)dx.
Це дозволяє написати наступне важливе з практичної точки зору твердження.
Твердження 1. Якщо c10(f ; y, z), c20(f ;x, z), c30(f ;x, y) — функцiї, що описують тi-
ньовi зображення внутрiшньої структури тривимiрного тiла при просвiчуваннi (опромi-
неннi) тiла рентгенiвськими променями вздовж осей Ox, Oy та Oz, вiдповiдно, а коефi-
цiєнти c120,0(z), c130,0(y), c230,0(x) отримуються за однiєю з формул
c120,0(z) =
1
∫
0
c10(f ; y, z)dy, c120,0(z) =
1
∫
0
c20(f ;x, z)dx
(аналогiчнi формули можна написати також для c130,0(y), c230,0(x)), то функцiя
Bm,n,pf(x, y, z) = Fm,xf(x, y, z) + Fn,yf(x, y, z) + Fp,zf(x, y, z) − Fm,xFn,yf(x, y, z) −
− Fm,xFp,zf(x, y, z) − Fn,yFp,zf(x, y, z) + Fm,n,pf(x, y, z),
що є математичною моделлю внутрiшньої структури тривимiрного тiла, буде задоволь-
няти умову
c10(Bm,n,pf ; y, z) = c10(f ; y, z), c20(Bm,n,pf ; y, z) = c20(f ; y, z),
c30(Bm,n,pf ; y, z) = c30(f ; y, z),
c0,0,0(Bm,n,pf) = c0,0,0(f) =
1
∫
0
1
∫
0
1
∫
0
f(x, y, z) dxdydz
незалежно вiд вибору всiх iнших виразiв
c1p(y, z), 1 6 |p| 6 m та c2p(x, z), 1 6 |p| 6 n i
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
c12p,q(z), 1 6 |p| + |q| 6 2n,
c13p,q(y), 1 6 |p| + |q| 6 2n; c23p,q(x), 1 6 |p| + |q| 6 2n.
Твердження 1 (при m = n = p = 0) лежить в основi патента [1] на спосiб вiдновлен-
ня внутрiшньої структури тривимiрного тiла за допомогою трьох рентгенiвських знiмкiв
у трьох взаємоперпендикулярних напрямках.
2. Аналiз точностi математичної моделi. Вище вiдзначено, що формулу
B0,0,0f(x, y, z) = c10(f ; y, z) + c20(f ;x, z) + c30(f ;x, y) − c10(c20(f ; ., .); z) −
− c10(c30(f ; ., .); y) − c20(c30(f ; ., .);x) + c0,0,0
можна використовувати як математичну модель внутрiшньої структури тривимiрного тiла,
яка має такi властивостi:
1
∫
0
B0,0,0fdx =
1
∫
0
fdx;
1
∫
0
B0,0,0fdy =
1
∫
0
fdy;
1
∫
0
B0,0,0fdz =
1
∫
0
fdz.
Теорема 1. Оператор B0,0,0f точно вiдновлює всi функцiї f вигляду
f(x, y, z) = u(y, z) + v(x, z) + w(x, y).
Доведення. Запишемо таку низку рiвностей:
c10(f ; y, z) =
1
∫
0
fdx =
1
∫
0
[u(y, z) + v(x, z) + w(x, y)]dx = u +
1
∫
0
vdx +
1
∫
0
wdx,
c20(f ;x, z) =
1
∫
0
fdy =
1
∫
0
[u(y, z) + v(x, z) + w(x, y)]dy =
1
∫
0
udy + v +
1
∫
0
wdy,
c30(f ;x, y) =
1
∫
0
fdz =
1
∫
0
[u(y, z) + v(x, z) + w(x, y)]dz =
1
∫
0
udz +
1
∫
0
vdz + w,
c10(c20(f ; ., .); z) =
1
∫
0
( 1
∫
0
f(x, y, z)dy
)
dx =
1
∫
0
( 1
∫
0
[u(y, z) + v(x, z) + w(x, y)]dy
)
dx =
=
1
∫
0
udy +
1
∫
0
vdx +
1
∫
0
1
∫
0
wdxdy,
c10(c30(f ; ., .); y) =
1
∫
0
1
∫
0
f(x, y, z)dxdz =
1
∫
0
1
∫
0
[u(x, y) + v(x, z) + w(x, y)]dxdz =
=
1
∫
0
udz +
1
∫
0
1
∫
0
vdxdz +
1
∫
0
wdx,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 57
c20(c30(f ; ., .);x) =
1
∫
0
1
∫
0
f(x, y, z)dydz =
1
∫
0
1
∫
0
[u(y, z) + v(x, z) + w(x, y)]dydz =
=
1
∫
0
1
∫
0
udydz +
1
∫
0
vdz +
1
∫
0
wdy,
c0,0,0 =
1
∫
0
1
∫
0
1
∫
0
f(x, y, z)dxdydz =
1
∫
0
1
∫
0
1
∫
0
[u(y, z) + v(x, z) + w(x, y)]dxdydz =
=
1
∫
0
1
∫
0
u(y, z)dydz +
1
∫
0
1
∫
0
v(x, z)dxdz +
1
∫
0
1
∫
0
w(x, y)dxdy.
Пiдставляючи цi формули у вираз для оператора B0,0,0f(x, y, z), одержимо
B0,0,0f(x, y, z) = c1,0(f ; y, z) + c2,0(f ;x, z) + c3,0(f ;x, y) −
− c1,0(c2,0(f ; ., .); z) − c1,0(c3,0(f ; ., .); y) − c2,0(c3,0(f ; ., .);x) + c0,0,0 =
= u +
1
∫
0
vdx +
1
∫
0
wdx +
1
∫
0
udy + v +
1
∫
0
wdy +
1
∫
0
udz +
1
∫
0
vdz + w −
−
( 1
∫
0
1
∫
0
udydz +
1
∫
0
vdz +
1
∫
0
wdy
)
−
( 1
∫
0
udy +
1
∫
0
vdx +
1
∫
0
1
∫
0
wdxdy
)
−
−
( 1
∫
0
udz +
1
∫
0
1
∫
0
vdxdz +
1
∫
0
wdx
)
+
( 1
∫
0
1
∫
0
udydz +
1
∫
0
1
∫
0
vdxdz +
1
∫
0
1
∫
0
wdxdy
)
=
= u(y, z) + v(x, z) + w(x, y) = f(x, y, z).
Таким чином, B0,0,0f(x, y, z) = f(x, y, z). Тому
1
∫
0
B0,0,0fdx =
1
∫
0
fdx;
1
∫
0
B0,0,0fdy =
1
∫
0
fdy;
1
∫
0
B0,0,0fdz =
1
∫
0
fdz.
Теорема 2 доведена.
Отже, в роботi одержано явний вигляд функцiй, що описують внутрiшню структуру 3D
тiла i точно можуть бути вiдновленi за допомогою трьох рентгенiвських знiмкiв у взаємо-
перпендикулярних напрямках.
1. Сергiєнко I. В., Литвин О.М., Литвин О.О. Спосiб вiдновлення внутрiшньої структури тривимiр-
ного об’єкта. Патент на винахiд № 78569. – Зареєстр. в Держ. реєстрi патентiв України на винаходи
10.04.2007.
2. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя функцiй та деякi її застосування. – Харкiв: Основа, 2002. – 545 с.
3. Литвин О.М. Методи обчислень. Додатковi роздiли. – Київ: Наук. думка, 2005. – 333 с.
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
4. Сергiєнко I. В., Литвин О.М., Межуєв В. I. та iн. Спосiб вiдновлення внутрiшньої структури три-
вимiрного об’єкта. Патент на винахiд № 78568. – Зареєстр. в Держ. реєстрi патентiв України на
винаходи 10.04.2007.
5. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Под ред. В.П. Паламодова. –
Москва: Мир, 1990. – 279 с.
6. Троицкий И.Н. Статистическая теория томографии. – Москва: Радио и связь, 1989. – 240 с.
7. Левин Г. Г., Вишняков Г.Н. Оптическая томография. – Москва: Радио и связь, 1989. – 224 с.
8. Лаврентьев М.М., Зеркаль С.М., Трофимов О.Е. Численное моделирование в томографии и услов-
но-корректные задачи. – Новосибирск: Изд-во ИДМИ НГУ, 1999. – 172 с.
9. Терещенко С.А. Методы вычислительной томографии. – Москва: Физматлит, 2004. – 320 с.
10. Пикалов В. В., Преображенский Н.Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике
плазм. – Новосибирск: Наука, 1987. – 232 с.
11. Пикалов В.В., Мельникова Т.С. Томография плазм. – Новосибирск: Наука, 1995. – 230 с.
12. Филонин О.В. Малоракурсная томография. – Самара: Самар. научн. центр РАН, 2006. – 253 с.
Надiйшло до редакцiї 22.02.2008Iнститут кiбернетики iм. В.М. Глушкова
НАН України, Київ
Українська iнженерно-педагогiчна академiя, Харкiв
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 59
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4972 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-25T22:19:08Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сергiєнко, I.В. Литвин, О.О. 2009-12-29T15:47:42Z 2009-12-29T15:47:42Z 2008 Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi трьох рентгенiвських знiмкiв у трьох взаємоперпендикулярних ракурсах / I.В. Сергiєнко, О.О. Литвин // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 53-59. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4972 535.3:537.876.23:631.3 The explicit description of a class of functions of three variables that are a mathematical model of the inner structure of a 3D body (density, attenuation constant), which can be restored by three X-ray pictures in mutually perpendicular aspects is given. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi трьох рентгенiвських знiмкiв у трьох взаємоперпендикулярних ракурсах Article published earlier |
| spellingShingle | Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi трьох рентгенiвських знiмкiв у трьох взаємоперпендикулярних ракурсах Сергiєнко, I.В. Литвин, О.О. Інформатика та кібернетика |
| title | Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi трьох рентгенiвських знiмкiв у трьох взаємоперпендикулярних ракурсах |
| title_full | Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi трьох рентгенiвських знiмкiв у трьох взаємоперпендикулярних ракурсах |
| title_fullStr | Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi трьох рентгенiвських знiмкiв у трьох взаємоперпендикулярних ракурсах |
| title_full_unstemmed | Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi трьох рентгенiвських знiмкiв у трьох взаємоперпендикулярних ракурсах |
| title_short | Математичне моделювання внутрiшньої структури 3D тiла на основi трьох рентгенiвських знiмкiв у трьох взаємоперпендикулярних ракурсах |
| title_sort | математичне моделювання внутрiшньої структури 3d тiла на основi трьох рентгенiвських знiмкiв у трьох взаємоперпендикулярних ракурсах |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4972 |
| work_keys_str_mv | AT sergiênkoiv matematičnemodelûvannâvnutrišnʹoístrukturi3dtilanaosnovitrʹohrentgenivsʹkihznimkivutrʹohvzaêmoperpendikulârnihrakursah AT litvinoo matematičnemodelûvannâvnutrišnʹoístrukturi3dtilanaosnovitrʹohrentgenivsʹkihznimkivutrʹohvzaêmoperpendikulârnihrakursah |