Дiя радiацiйних сил звукового поля на сферичну частинку в околi плоскої межi рiдини
The influence of the radiation force on a spherical particle in the vicinity of the plane boundary of a liquid is investigated. Dependences of the force on the ratio of densities, the distance to the boundary, and the parameters of the acoustic field are established.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4975 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Дiя радiацiйних сил звукового поля на сферичну частинку в околi плоскої межi рiдини / О.П. Жук // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 71-76. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4975 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Жук, О.П. 2009-12-29T15:50:28Z 2009-12-29T15:50:28Z 2008 Дiя радiацiйних сил звукового поля на сферичну частинку в околi плоскої межi рiдини / О.П. Жук // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 71-76. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4975 532.59:534.29 The influence of the radiation force on a spherical particle in the vicinity of the plane boundary of a liquid is investigated. Dependences of the force on the ratio of densities, the distance to the boundary, and the parameters of the acoustic field are established. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Дiя радiацiйних сил звукового поля на сферичну частинку в околi плоскої межi рiдини Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Дiя радiацiйних сил звукового поля на сферичну частинку в околi плоскої межi рiдини |
| spellingShingle |
Дiя радiацiйних сил звукового поля на сферичну частинку в околi плоскої межi рiдини Жук, О.П. Механіка |
| title_short |
Дiя радiацiйних сил звукового поля на сферичну частинку в околi плоскої межi рiдини |
| title_full |
Дiя радiацiйних сил звукового поля на сферичну частинку в околi плоскої межi рiдини |
| title_fullStr |
Дiя радiацiйних сил звукового поля на сферичну частинку в околi плоскої межi рiдини |
| title_full_unstemmed |
Дiя радiацiйних сил звукового поля на сферичну частинку в околi плоскої межi рiдини |
| title_sort |
дiя радiацiйних сил звукового поля на сферичну частинку в околi плоскої межi рiдини |
| author |
Жук, О.П. |
| author_facet |
Жук, О.П. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2008 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
The influence of the radiation force on a spherical particle in the vicinity of the plane boundary of a liquid is investigated. Dependences of the force on the ratio of densities, the distance to the boundary, and the parameters of the acoustic field are established.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4975 |
| citation_txt |
Дiя радiацiйних сил звукового поля на сферичну частинку в околi плоскої межi рiдини / О.П. Жук // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 71-76. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT žukop diâradiaciinihsilzvukovogopolânasferičnučastinkuvokoliploskoímežiridini |
| first_indexed |
2025-11-25T22:51:30Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:51:30Z |
| _version_ |
1850577529424838656 |
| fulltext |
УДК 532.59:534.29
© 2008
О.П. Жук
Дiя радiацiйних сил звукового поля на сферичну
частинку в околi плоскої межi рiдини
(Представлено академiком НАН України О.М. Гузем)
The influence of the radiation force on a spherical particle in the vicinity of the plane boundary
of a liquid is investigated. Dependences of the force on the ratio of densities, the distance to
the boundary, and the parameters of the acoustic field are established.
Дiю радiацiйної сили акустичного поля на цилiндр, який знаходиться в околi твердої плос-
кої поверхнi, що обмежує iдеальну рiдину, дослiджено в роботi [1]. Поставлена в [1] задача
сформульована в лагранжовiй системi координат, i радiацiйний тиск визначався як серед-
нє в часi значення акустичного тиску на поверхню цилiндра, який коливається в рiдинi.
Як вiдомо iз розв’язку у другому наближеннi хвильового рiвняння (з урахуванням квад-
ратичних членiв) [2], змiна тиску в околi твердої сферичної частинки вiдрiзняється вiд
синусоїдного закону, тому його середнє в часi значення не дорiвнює нулю. Отже, на сфе-
ричну частинку в акустичному полi буде дiяти стала в часi складова гiдродинамiчної сили.
Розв’язування задачi про визначення цiєї сили проведемо в три етапи [3]. Оскiльки обчис-
лення тиску в рiдинi з урахуванням величин другого порядку можливе через потенцiали
поля вектора швидкостi, одержанi в лiнiйному наближеннi [4], обмежимося на першому
етапi розв’язування задачi, при визначеннi потенцiалiв поля швидкостi рiдини, розв’язками
лiнiйного хвильового рiвняння. На другому етапi визначимо результуючу силу дiї рiдини
на сферичну частинку. I на третьому етапi осередненням останньої в часi вiдфiльтруємо
її сталу складову.
1. Розв’язування задачi розсiяння акустичної хвилi на сферi i плоскiй поверх-
нi. Вважатимемо, що простiр влiво вiд вертикальної плоскої поверхнi заповнено iдеальною
рiдиною, густина якої ρ0, а швидкiсть звуку в нiй a0. На вiдстанi l вiд плоскої поверхнi
помiстимо в рiдинi сферичну частинку радiусом R i густиною ρ1. Виберемо прямокутну де-
картову систему координат Oxyz, вiсь Oz якої перпендикулярна до плоскої поверхнi межi
i направлена в протилежний вiд сферичної частинки бiк (рис. 1). Нехай в просторi, заповне-
ному iдеальною стисливою рiдиною, поширюється вздовж осi Oz плоска акустична хвиля,
яка задана потенцiалом
Φi = A exp[i(κz − ωt)], (1)
де A — амплiтуда; κ = ω/a0 — хвильове число; ω — кутова частота.
З математичної точки зору визначення потенцiалiв поля швидкостi в рiдинi зводиться
до розв’язування лiнiйної задачi розсiяння акустичної хвилi (1) на нерухомiй твердiй межi
рiдини i вiльнiй сферичнiй частинцi: знаходження розв’язкiв лiнiйного хвильового рiвняння
∇Φ −
1
a2
0
∂2Φ
∂t2
= 0, (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 71
Рис. 1
що описують поле вектора швидкостi рiдини
v = grad Φ, (3)
який задовольняє граничнi умови на поверхнi твердої плоскої межi
v(x, y, z = 0) = 0, (4)
на поверхнi S сферичної частинки
v|S = V (5)
i умови згасання на нескiнченностi його складових вiд розсiяних на сферичнiй частинцi
хвиль.
Вектор швидкостi V коливального руху сферичної частинки в рiдинi при умовi її сфе-
ричної iзотропiї визначається з рiвняння
m
dV
dt
= −
∫∫
S
pndS, (6)
в якому m = 4/3πR3ρ1 — маса сферичної частинки; n — орт нормалi до її поверхнi; p —
звуковий тиск в рiдинi. В лiнiйному наближеннi тиск p обчислюється за формулою
p = −ρ0
∂Φ
∂t
. (7)
При падiннi акустичної хвилi (1) на тверду межу рiдини швидкiсть v рiдини на її по-
верхнi повинна задовольняти умову (4), що передбачає появу вiдбитої хвилi, потенцiал якої
можна записати в такому виглядi:
Φs = A exp[−i(κz + ωt)]. (8)
Отже, поставлена задача фактично зводиться до задачi визначення потенцiалiв звукових
хвиль, розсiяних в результатi падiння на сферичну частинку хвиль (1) i (8) та перерозсi-
яних на плоскiй межi рiдини. Для її розв’язування скористаємося методами, розвинутими
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
в роботi [5] для задач дифракцiї пружних хвиль в багатозв’язних тiлах. Розв’язки рiвнян-
ня (2) побудуємо методом роздiлення змiнних у сферичнiй системi координат. Для цього
зв’яжемо з сферичною частинкою прямокутну декартову O1x1y1z1 i сферичну (r1, ϕ1, θ1)
системи координат (див. рис. 1).
В системi координат O1x1y1z1 потенцiали Φi i Φs мають, вiдповiдно, такий вигляд:
Φ
(1)
i = A exp(−iκl) exp[i(κz1 − ωt)], (9)
Φ(1)
s = A exp(iκl) exp[−i(κz1 + ωt)]. (10)
Верхнiй iндекс в (9) i (10) свiдчить, що данi потенцiали вiднесено до системи коорди-
нат, зв’язаної з сферичною частинкою. У сферичнiй системi координат (r1, ϕ1, θ1) їх можна
записати так:
Φ
(1)
i = A exp(−iκl)
∞
∑
n=0
(2n + 1)injn(κr1)Pn(cos θ1), (11)
Φ(1)
s = A exp(iκl)
∞
∑
n=0
(2n + 1)(−i)njn(κr1)Pn(cos θ1), (12)
де jn(w) — сферичнi функцiї Бесселя; Pn(cos θ1) — полiноми Лежандра. Потенцiал Φd вiдби-
тої вiд сферичної частинки хвилi, який є розв’язком рiвняння (2) i описує хвилi, що згасають
на нескiнченностi, запишемо у виглядi узагальненого ряду Фур’є
Φ
(1)
d
=
∞
∑
n=0
A(1)
n h(1)
n (κr1)Pn(cos θ1). (13)
В (13) h(1)
n (κr1) — сферична функцiя Ганкеля 1-го роду. У виразах (11)–(13) спiвмнож-
ник exp(−iωt) не наведено.
На поверхнi твердої плоскої межi рiдини (z1 = 0) поле швидкостi v розсiяної сферич-
ною частинкою хвилi Φ
(1)
d також повинно задовольняти граничну умову (4). В результатi
з’являється перерозсiяна межею хвиля Φds. Для її визначення застосуємо метод уявних
зображень. Цей метод при дотриманнi граничних умов на поверхнi плоскої межi дозволяє
проводити обчислення в сферичнiй системi координат.
Вважатимемо, що рiдина заповнює весь простiр i є друга уявна сферична частинка, си-
метрична вiдносно площини z = 0 першiй. Введемо сферичну систему координат (r2, ϕ2, θ2),
яка зв’язана з уявною частинкою. Тепер достатньо пiдпорядкувати поле вектора швидко-
стi рiдини, утворене розсiяними на сферичних частинках хвилями Φ
(1)
d
i Φ
(2)
d
, граничнiй
умовi (4). В результатi потенцiал розсiяної на другiй частинцi хвилi буде потенцiалом пере-
розсiяної плоскою межею хвилi Φ
(2)
d = Φ
(2)
ds . В системi координат (r2, ϕ2, θ2) потенцiал Φ
(2)
d
матиме такий вигляд:
Φ
(2)
d = Φ
(2)
ds =
∞
∑
n=0
A(2)
n h(1)
n (κr2)Pn(cos θ2) exp(−iωt). (14)
Iз граничної умови (4) на плоскiй межi рiдини запишемо для радiальної компоненти
вектора швидкостi v таке спiввiдношення:
vr1
(r1 = l, ϕ1 = 0, θ1 = 0) + vr2
(r2 = l, ϕ2 = 0, θ2 = π) = 0. (15)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 73
Iз рiвняння (15), враховуючи вирази (3), (13) i (14), одержуємо наступну залежнiсть
мiж коефiцiєнтами A(1)
n i A(2)
n :
A(2)
n = (−1)n+1A(1)
n . (16)
Отже, визначення потенцiалiв Φ
(1)
d
i Φ
(2)
d
зводиться до обчислення коефiцiєнтiв A(1)
n . Їх
знайдемо, використавши граничну умову (5) на поверхнi частинки, яку запишемо
vr1
(r1 = R,ϕ1, θ1, t) = Vz1
cos θ1, (17)
де Vz1
— проекцiя на вiсь O1z1 вектора V швидкостi руху сферичної частинки. Iз рiвнян-
ня (6), враховуючи (7), одержуємо
Vz1
=
3
2
η
R
π
∫
0
Φ sin θ1 cos θ1dθ1, (18)
де η = ρ0/ρ1, а потенцiал Φ задається сумою потенцiалiв Φ = Φ
(1)
i +Φ(1)
s +Φ
(1)
d +Φ
(2)
ds , в якiй
Φ
(2)
ds
необхiдно записати в сферичнiй системi координат (r1, ϕ1, θ1).
Використовуючи теореми додавання для сферичних хвильових функцiй [5], запише-
мо (14) у такому виглядi:
Φ
(1)
ds
=
∞
∑
n=0
S(2)
n jn(κr1)Pn(cos θ1) exp(−iωt). (19)
Тут S(2)
n =
∞
∑
p=0
(−1)p+1A(1)
p Q
(1,2)
0n0p(2κl, π).
Формули для параметра Q
(1,2)
0n0p(2κl, π) наведено в роботi [5]. Проiнтегрувавши (18), для
обчислення швидкостi Vz1
твердої частинки вздовж осi O1z1 одержимо таке спiввiдношення:
Vz1
=
η
R
[6A sin(κl)j1(κR) + A
(1)
1 h
(1)
1 (κR) + S
(2)
1 j1(κR)] exp(−iωt). (20)
Тепер, iз граничної умови (17), враховуючи (3) i (20), одержуємо нескiнченну систему
алгебраїчних рiвнянь для визначення коефiцiєнтiв A(1)
n в узагальнених рядах Фур’є для
потенцiалiв Φ
(1)
d
i Φ
(1)
ds
anA(1)
n + S(2)
n = −(2n + 1)Ainbn, (21)
bn =
{
2 cos β, n парне,
−2i sin β, n непарне,
β = κl,
an =
nαh
(1)
n (α) − α2h
(1)
n+1(α)
nαjn(α) − α2jn+1(α)
(n 6= 1),
a1 =
(1 − η)αh
(1)
1 (α) − α2h
(1)
2 (α)
(1 − η)αj1(α) − α2j2(α)
, α = κR.
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
Надалi обмежимося випадком, коли радiус сферичної частинки R малий порiвняно з дов-
жиною акустичної хвилi, яка в свою чергу мала порiвняно з вiдстанню l частинки до межi
рiдини. Для цього випадку справедливi умови: α ≪ 1, β ≫ 1. Будемо також вважати, що
α ∼ 1/β. Для таких умов при розрахунках можна скористатися асимптотичними пред-
ставленнями для функцiй jn(w) i h(1)
n (w) та їх похiдних при малих i великих значеннях
аргумента w [6, 7] i спростити обчислення коефiцiєнтiв A(1)
n .
Iз системи рiвнянь (21), враховуючи формулу для S(2)
n та прийнятi обмеження на вели-
чини α i β, одержимо такi формули для обчислення перших трьох коефiцiєнтiв A(1)
n :
A
(1)
0 = −2iAα cos
β
2
,
A
(1)
1 = 2iA
1 − η
2 + η
α3 sin
β
2
,
A
(1)
2 = −
4
27
iAα5 cos
β
2
.
(22)
Оскiльки вже коефiцiєнт A
(1)
2 вiдрiзняється вiд коефiцiєнта A
(1)
1 на величину порядка α2,
маючи при цьому порядок α5, то можна стверджувати, що потенцiали Φ
(1)
d i Φ
(1)
ds вiдповiд-
но розсiяної на сферичнiй частинцi i перерозсiяної на плоскiй межi хвиль визначаються
першими трьома членами в рядах (13) i (19).
2. Визначення радiацiйної сили, яка дiє на сферичну частинку. Радiацiйну силу
обчислимо, осереднивши в часi гiдродинамiчну силу, яка дiє в акустичному полi на сферич-
ну частинку з боку рiдини. Завдяки осьовiй симетрiї поля вiдносно осi O1z1 гiдродинамiчна
сила направлена вздовж цiєї осi
Fz1
= −2πR
π
∫
0
p sin θ1 cos θ1dθ1. (23)
Тиск p в (23) будемо визначати з точнiстю до величин другого порядку. Для цього
скористаємося спiввiдношенням [3, 4]
p = −ρ0
∂Φ
∂t
−
1
2
ρ0(grad Φ)2 +
ρ0
2a2
0
(
∂Φ
∂t
)2
, (24)
в якому потенцiал Φ визначено вище. Вкажемо також, що в (24) похiдну ∂Φ/∂t необхiдно
обчислювати з урахуванням величин другого порядку за формулою [3, 4]
∂Φ
∂t
=
dΦ
dt
− Vz1
cos θ1
∂Φ
∂r
+ Vz1
sin θ1
r1
∂Φ
∂θ1
, (25)
де dΦ/dt — повна похiдна за часом, яка пiсля осереднення в часi дорiвнює нулю. Вкажемо,
що у формулах (24) i (25), як випливає з їх структури, необхiдно брати дiйснi частини
швидкостi Vz1
, потенцiалу Φ та його похiдних. Осереднюючи за перiодом первинної хвилi
гiдродинамiчну силу (23), в результатi одержуємо формулу для обчислення радiацiйної
сили, що дiє на сферичну частинку вздовж осi Oz:
〈F 〉 = −
8
3
A2πρ0
1 − η
2 + η
α3 sin β + O(α5). (26)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 75
3. Отже, iз аналiзу формули (26) випливає, що на виважену в рiдинi (η = 1) сферичну
частинку радiацiйна сила не дiє. Вiдстанi вiд плоскої межi рiдини, якi вiдповiдають значен-
ням β = nπ (n = 1, 2, . . .), є положеннями рiвноваги. При цьому β = (2n + 1)π визначають
стiйкi положення рiвноваги, вiдносно яких сферична частинка може коливатися, а β = 2nπ
визначають нестiйкi положення рiвноваги.
1. Гузь О.М., Жук О.П., Геращенко Н.В. Про рух цилiндра бiля твердої плоскої поверхнi в радiацiй-
ному полi звукової хвилi // Доп. НАН України. – 1994. – № 11. – С. 61–65.
2. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. – Москва: Наука, 1966. – 520 с.
3. Жук О.П. Рух сферичної краплi рiдини пiд дiєю радiацiйної сили акустичного поля // Доп. НАН
України. – 2007. – № 7. – С. 55–59.
4. King L.V. On the acoustic radiation pressure on spheres // Proc. Roy. Soc. Ser. A. – 1934. – 147, No 861. –
P. 246–265.
5. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. – Киев: Наук. думка,
1972. – 254 с.
6. Морз Ф. Колебания и звук. – Москва; Ленинград: ГИТТЛ, 1949. – 496 с.
7. Ржевкин С.Н. Курс лекций по теории звука. – Москва: Изд-во Моск. ун-та, 1960. – 336 с.
Надiйшло до редакцiї 23.11.2007Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
УДК 537.226.86
© 2008
Член-кореспондент НАН України М. О. Шульга
Про варiацiйний принцип Гамiльтона–Остроградського
i початково-крайовi динамiчнi задачi електропружностi
The Hamilton–Ostrogradskii variation principle is formulated, and, on its basis, the definition
of initial-boundary dynamic problems of electroelasticity is grounded.
Динамiчнi початково-крайовi задачi в математичнiй фiзицi вивчаються для рiвнянь гiпер-
болiчного i параболiчного типiв [2]. В той же час в механiцi зустрiчаються системи рiвнянь
негiперболiчного типу, для яких необхiдно розглядати неусталенi динамiчнi процеси, а от-
же i формулювати початково-крайовi задачi.
У данiй роботi математична постановка початково-крайових задач електропружностi
формулюється на основi iнтегрального варiацiйного принципу Гамiльтона–Остроградського;
поряд iз загальноприйнятою системою рiвнянь електропружностi розглядається її модифi-
кований варiант, запропонований в роботi [3].
Загальноприйнята система рiвнянь електропружностi складається [1, 4] з механiчних
рiвнянь коливань суцiльного середовища
ρ
∂2uk
∂t2
=
∂σk1
∂x1
+
∂σk2
∂x2
+
∂σk3
∂x3
+ fk, k = 1, 2, 3, (1)
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
|