Про варiацiйний принцип Гамiльтона–Остроградського i початково-крайовi динамiчнi задачi електропружностi
The Hamilton–Ostrogradskii variation principle is formulated, and, on its basis, the definition of initial-boundary dynamic problems of electroelasticity is grounded.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4976 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про варiацiйний принцип Гамiльтона–Остроградського i початково-крайовi динамiчнi задачi електропружностi / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 76-81. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859669676885278720 |
|---|---|
| author | Шульга, М.О. |
| author_facet | Шульга, М.О. |
| citation_txt | Про варiацiйний принцип Гамiльтона–Остроградського i початково-крайовi динамiчнi задачi електропружностi / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 76-81. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | The Hamilton–Ostrogradskii variation principle is formulated, and, on its basis, the definition of initial-boundary dynamic problems of electroelasticity is grounded.
|
| first_indexed | 2025-11-30T13:21:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
3. Отже, iз аналiзу формули (26) випливає, що на виважену в рiдинi (η = 1) сферичну
частинку радiацiйна сила не дiє. Вiдстанi вiд плоскої межi рiдини, якi вiдповiдають значен-
ням β = nπ (n = 1, 2, . . .), є положеннями рiвноваги. При цьому β = (2n + 1)π визначають
стiйкi положення рiвноваги, вiдносно яких сферична частинка може коливатися, а β = 2nπ
визначають нестiйкi положення рiвноваги.
1. Гузь О.М., Жук О.П., Геращенко Н.В. Про рух цилiндра бiля твердої плоскої поверхнi в радiацiй-
ному полi звукової хвилi // Доп. НАН України. – 1994. – № 11. – С. 61–65.
2. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. – Москва: Наука, 1966. – 520 с.
3. Жук О.П. Рух сферичної краплi рiдини пiд дiєю радiацiйної сили акустичного поля // Доп. НАН
України. – 2007. – № 7. – С. 55–59.
4. King L.V. On the acoustic radiation pressure on spheres // Proc. Roy. Soc. Ser. A. – 1934. – 147, No 861. –
P. 246–265.
5. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. – Киев: Наук. думка,
1972. – 254 с.
6. Морз Ф. Колебания и звук. – Москва; Ленинград: ГИТТЛ, 1949. – 496 с.
7. Ржевкин С.Н. Курс лекций по теории звука. – Москва: Изд-во Моск. ун-та, 1960. – 336 с.
Надiйшло до редакцiї 23.11.2007Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
УДК 537.226.86
© 2008
Член-кореспондент НАН України М. О. Шульга
Про варiацiйний принцип Гамiльтона–Остроградського
i початково-крайовi динамiчнi задачi електропружностi
The Hamilton–Ostrogradskii variation principle is formulated, and, on its basis, the definition
of initial-boundary dynamic problems of electroelasticity is grounded.
Динамiчнi початково-крайовi задачi в математичнiй фiзицi вивчаються для рiвнянь гiпер-
болiчного i параболiчного типiв [2]. В той же час в механiцi зустрiчаються системи рiвнянь
негiперболiчного типу, для яких необхiдно розглядати неусталенi динамiчнi процеси, а от-
же i формулювати початково-крайовi задачi.
У данiй роботi математична постановка початково-крайових задач електропружностi
формулюється на основi iнтегрального варiацiйного принципу Гамiльтона–Остроградського;
поряд iз загальноприйнятою системою рiвнянь електропружностi розглядається її модифi-
кований варiант, запропонований в роботi [3].
Загальноприйнята система рiвнянь електропружностi складається [1, 4] з механiчних
рiвнянь коливань суцiльного середовища
ρ
∂2uk
∂t2
=
∂σk1
∂x1
+
∂σk2
∂x2
+
∂σk3
∂x3
+ fk, k = 1, 2, 3, (1)
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
i квазiстатичного наближення рiвнянь Максвелла для речовини вiдносно компонент елект-
ричного поля
∂D1
∂x1
+
∂D2
∂x2
+
∂D3
∂x3
= 0, eijkEk,j = 0. (2)
Для поляризованої вздовж осi ox3 п’єзоелектричної керамiки (п’єзокерамiки) i п’єзоелектри-
кiв гексагональної системи класу 6mm з вiссю симетрiї шостого порядку ox3 рiвняння (1), (2)
замикаються матерiальними залежностями
σ11 = c11
∂u1
∂x1
+ c12
∂u2
∂x2
+ c13
∂u3
∂x3
− e13E3,
σ22 = c21
∂u1
∂x1
+ c11
∂u2
∂x2
+ c13
∂u3
∂x3
− e13E3,
σ33 = c31
∂u1
∂x1
+ c31
∂u2
∂x2
+ c33
∂u3
∂x3
− e33E3,
σ23 = c44
(
∂u3
∂x2
+
∂u2
∂x3
)
− e42E2, D1 = ε11E1 + e42
(
∂u3
∂x1
+
∂u1
∂x3
)
,
σ31 = c44
(
∂u3
∂x1
+
∂u1
∂x3
)
− e42E1, D2 = ε11E2 + e42
(
∂u3
∂x2
+
∂u2
∂x3
)
,
σ12 = c66
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
, D3 = ε33E3 + e31
(
∂u1
∂x1
+
∂u2
∂x2
)
+ e33
∂u3
∂x3
,
(3)
в яких врахованi формули Кошi ui,k + uk,i = 2Kik для деформацiй i 2c66 = c11 − c12.
Звичайним чином система (1)–(3) зводиться до чотирьох рiвнянь типу Ламе
ρ
∂2uk
∂t2
= Lk(u1, u2, u3, ϕ), 0 = L4(u1, u2, u3, ϕ), k = 1, 2, 3 (4)
вiдносно компонент вектора механiчних перемiщень uk(x1, x2, x3, t) i електричного потенцi-
алу ϕ(x1, x2, x3, t), який вводиться градiєнтним розв’язком E = − grad ϕ другого рiвняння
з (2).
В динамiчних задачах електропружностi система (4) трактується як гiперболоелiптична
система, хоча математичний аналiз типу системи (4) вiдсутнiй. Такий висновок грунтується
на тому, що вiдповiднi (4) системи незв’язаних рiвнянь (при eij = 0) теорiї пружностi
ρ
∂2uk
∂t2
= Lk(u1, u2, u3, 0), k = 1, 2, 3 (5)
i електростатики
L4(0, 0, 0, ϕ) = 0 (6)
будуть вiдповiдно рiвняннями гiперболiчного i елiптичного типу [1, 2, 4].
Для правильного формулювання динамiчно крайових задач електропружностi для сис-
теми (1)–(3) будемо виходити з iнтегрального варiацiйного принципу Гамiльтона–Остро-
градського. Для цього, перш за все, для системи рiвнянь (1), (2) сформулюємо спiввiдно-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 77
шення, аналогiчне теоремi про змiну кiнетичної енергiї. З цiєю метою помножимо рiвнян-
ня (1) на u̇k, перше рiвняння (2) на ϕ̇ i утворимо iнтегральну рiвнiсть
∫
V
((ρük − σik,i − fk)u̇k − Dk,kϕ̇) dV = 0. (7)
Пiсля стандартних перетворень [4] надамо виразу (7) вигляду
∫
V
(
∂
∂t
(
1
2
ρu̇ku̇k
)
+ σikK̇ik − DkĖk − fku̇k
)
dV −
∮
S
(σikniu̇k + Diniϕ̇) dS = 0, (8)
де σikK̇ik−DiĖi = Ḣел — змiна електричної ентальпiї [4] (крапка над буквою означає похiдну
за часом); ni — напрямнi косинуси зовнiшньої одиничної нормалi n до поверхнi S тiла V .
На поверхнi S повиннi виконуватися кiнематичнi (головнi) граничнi умови
uk(xS , t) = ukS(xS , t), ϕ(xS , t) = uS(xS , t) (9)
або динамiчнi (природнi) граничнi умови
niσik(xS , t) = pk(xS , t), niDi(xS , t) = −qпов(xS , t). (10)
Зважаючи на iнтегральну рiвнiсть (8) i природнi граничнi умови, сформулюємо варiацiй-
ний принцип Гамiльтона–Остроградського: якщо справедливi залежностi (3), тобто iснує
потенцiальна функцiя деформацiї, i зовнiшнi сили i електричний заряд на поверхнi тiла не
залежить вiд перемiщень ui(x1, x2, x3, t) i електричного потенцiалу ϕ(x1, x2, x3, t), то при
iдеальних двостороннiх стацiонарних в’язях функцiонал
HO =
t2
∫
t1
(
∫
V
(
1
2
ρu̇ku̇k − Hел + fiui
)
dV +
∮
(piui − qповϕ)dS
)
dt (11)
набуває стацiонарного значення на iзохронних варiацiях δuk, δϕ. Тут pi — компоненти за-
даних зовнiшнiх поверхневих сил на одиницю площi (Н/м2); qпов — густина поверхневого
заряду, Кл/м2; fi — густина заданих об’ємних сил на одиницю об’єму, Н/м3.
Електричну ентальпiю визначимо таким чином:
Hел =
1
2
c11
(
∂u1
∂x1
)2
+ c12
∂u1
∂x1
∂u2
∂x2
+ c13
∂u1
∂x1
∂u3
∂x3
+
1
2
c11
(
∂u2
∂x2
)2
+ c23
∂u2
∂x2
∂u3
∂x3
+
+
1
2
c33
(
∂u3
∂x3
)2
+
1
2
c44
(
∂u2
∂x3
+
∂u3
∂x2
)2
+
1
2
c44
(
∂u3
∂x1
+
∂u1
∂x3
)2
+
1
2
c66
(
∂u1
∂x2
+
∂u3
∂x1
)2
−
−
1
2
ε11
(
∂ϕ
∂x1
)2
−
1
2
ε11
(
∂ϕ
∂x2
)2
−
1
2
ε33
(
∂ϕ
∂x3
)2
+ e13
∂u1
∂x1
∂ϕ
∂x3
+ e13
∂u2
∂x2
∂ϕ
∂x3
+
+ e33
∂u3
∂x3
∂ϕ
∂x3
+ e42
(
∂u2
∂x3
+
∂u3
∂x2
)
∂ϕ
∂x2
+ e42
(
∂u3
∂x1
+
∂u1
∂x3
)
∂ϕ
∂x1
. (12)
У функцiоналi (11) допустимими є функцiї ui(x, t), ϕ(x, t), якi задовольняють кiнематичнi
(головнi) граничнi умови (9) на поверхнi S тiла V i умови
ui(x, t1) = ui,1(x), ui(x, t2) = ui,2(x). (13)
78 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
Виконавши iзохронну варiацiю функцiоналу (11), користуючись перестановкою операцiй
δ(·) i ∂(·)/∂xi, ∂(·)/∂t та формулою Остроградського–Гаусса, одержимо
t2
∫
t1
∫
V
((
−ρ
∂2uk
∂t2
+ σik,i + fk
)
δuk + Dk,kδϕ
)
dV dt +
+
t2
∫
t1
∮
S
((−σiknk + pi)δui − (Dini + qпов)δϕ)dSdt +
∫
V
ρ
∂uk
∂t
δuk
∣
∣
∣
∣
∣
t=t2
t=t1
dV = 0. (14)
Оскiльки варiацiї δuk, δϕ незалежнi, то з iнтегральної рiвностi (14) одержуємо механiчнi
рiвняння коливань (1), перше рiвняння (рiвняння Гаусса) (2) i природнi умови на границi
областi S
σiknk = pi, (15)
Dini = −qпов. (16)
З останнього iнтегралу в (14) випливає:
1) початковi умови в початково-крайових задачах електропружностi необхiдно форму-
лювати тiльки для механiчних перемiщень
ui(x, t = 0) =
0
u
i
(x), ∂tui(x, t = 0) =
1
u
i
(x); (17)
2) початковi значення електричного потенцiалу ϕ(x, t = 0) апрiорi формулювати не
потрiбно;
3) початковi значення електричного потенцiалу ϕ(x, t = 0) узгоджуються з початко-
вими значеннями механiчних перемiщень ui(x, t = 0) шляхом iнтегрування рiвняння 0 =
= L4(u1, u2, u3, ϕ) системи (4) при t = 0.
В роботi [3] запропонована модифiкована система рiвнянь електропружностi
ρ
∂2uk
∂t2
=
∂σ1k
∂x1
+
∂σ2k
∂x2
+
∂σ3k
∂x3
+ fk, k = 1, 2, 3, (18)
µε2
ср
∂2ϕ
∂t2
= −
∂D1
∂x1
−
∂D2
∂x2
−
∂D3
∂x3
, (19)
яку треба доповнити тими ж матерiальними спiввiдношеннями (3). Особливiстю систе-
ми (18), (19) є те, що вона є системою гiперболiчного типу.
В рiвняння (19) входить стала εср = (ε11 + ε33)/2. Модифiкований варiант може засто-
совуватися для матерiалiв, для яких max(1 − ε11/εср, 1 − ε33/εср) є малою величиною. До
таких матерiалiв належать ЦТС-19, ZnO, CdS та iн. [5].
На основi рiвнянь (18), (19) в об’ємi V з граничною поверхнею S утворимо iнтегральну
рiвнiсть
∫
V
[(
ρ
∂2uk
∂t2
−
∂σ1k
∂x1
−
∂σ2k
∂x2
−
∂σ3k
∂x3
− fk
)
∂uk
∂t
−
−
(
µε2
ср
∂2ϕ
∂t2
+
∂D1
∂x1
+
∂D2
∂x2
+
∂D3
∂x3
)
∂ϕ
∂t
]
dV = 0. (20)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 79
Як i в попередньому випадку, зведемо вираз (20) до вигляду
∫
V
(
∂
∂t
(
1
2
ρu̇ku̇k
)
−
∂
∂t
(
1
2
µε2
ср
ϕ̇ϕ̇
)
+ Ḣeл − fku̇k
)
dV −
∮
S
(σikniu̇k + Diniϕ̇) dS = 0. (21)
Тут знову використано позначення Ḣел = σikε̇ik − DkĖk для приросту електричної енталь-
пiї. За iнтегральною рiвнiстю (21) можна сформувати структуру функцiоналу варiацiйного
принципу Гамiльтона–Остроградського:
HO =
t2
∫
t1
(
∫
V
(
1
2
ρ
∂uk
∂t
∂uk
∂t
−
1
2
µε2
ср
∂ϕ
∂t
∂ϕ
∂t
− Ḣeл + fkuk
)
dV +
+
∮
S
(pkuk − qповϕ) dS
)
dt. (22)
Електрична ентальпiя визначається формулою (12).
Виконавши iзохронну варiацiю функцiоналу (22), пiсля стандартних перетворень одер-
жимо
t2
∫
t1
∫
V
((
−ρ
∂2uk
∂t2
+ σik,i + fk
)
δuk +
(
ρ
∂2ϕ
∂t2
+ Dk,k
)
δϕ
)
dV dt +
+
t2
∫
t1
∮
S
((−σiknk + pi)δui − (Dini + qпов)δϕ) dSdt +
+
∫
V
(
ρ
∂uk
∂t
δuk − µε2
ср
∂ϕ
∂t
δϕ
)∣
∣
∣
∣
t2
t1
dV = 0. (23)
З iнтегральної рiвностi (23) одержуємо механiчнi рiвняння коливань (18), модифiковане
рiвняння (19) i природнi граничнi умови (15), (16).
З останнього iнтегралу в (23) випливає, що початковi умови необхiдно формулювати як
для механiчних перемiщень (умови (17)), так i для електричного потенцiалу
ϕ(x, t = 0) =
0
ϕ(x), ∂tϕ(x, t = 0) =
1
ϕ(x). (24)
Насамкiнець зауважимо, що енергетична рiвнiсть для рiвнянь механiчних коливань (1)
i повної системи рiвнянь Максвелла
eijkHk,j =
∂Di
∂t
, Di,i = qел,
eijkEk,j = −
∂Bi
∂t
, Bi,i = 0
(25)
для дiелектрика формулюється [4] вiдмiнним вiд (7), (20) шляхом, виходячи з iнтегрального
спiввiдношення
∫
V
((ρüi − σij,j − fi)u̇i + Ei(Ḋi − eijkHk,j) + Hi(Ḃi + eijkEk,j)) dV = 0. (26)
80 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №7
Пiсля стандартних перетворень, користуючись тотожнiстю HieijkEk,j − EieijkHk,j, знахо-
димо
∂
∂t
∫
V
(
1
2
ρu̇iu̇i + Ẇвн
)
dV =
∫
V
fiu̇idV +
∮
S
piu̇idS −
∮
S
njhjdS, (27)
де Ẇвн = σij ε̇ij + EiḊi + HiḂi — прирiст внутрiшньої енергiї; hj = eijkEiHk — вектор
Умова–Пойтинга.
В квазiелектростатичному наближеннi, користуючись рiвняннями (25), для вектора
Умова–Пойтинга шляхом перетворення
hj,j = (ejikEiHk),j = ejikEkHk,j = −EjḊj = (ϕḊj),j
одержимо hj = ϕḊj . В цьому разi (27) набуде [1, 4] вигляду
∂
∂t
∫
V
(
1
2
ρu̇iu̇i + Ẇвн
)
dV =
∫
V
fiu̇idV +
∮
S
piu̇idS −
∮
S
njϕḊjdS, (28)
причому тепер прирiст внутрiшньої енергiї Ẇвн = σij ε̇ij + EiḊi.
Очевидно, що за енергетичною рiвнiстю (28) важко безпосередньо визначити структуру
функцiоналу Гамiльтона–Остроградського, як це зроблено в данiй роботi.
1. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 5. Электроупругость / Гринченко В.Т.,
Улитко А.Ф., Шульга Н.А. – Киев: Наук. думка, 1989. – 280 с.
2. Положiй Г.М. Рiвняння математичної фiзики. – Киев: Рад. шк., 1959. – 478 с.
3. Шульга М.О. Про структуру рiвнянь електропружностi // Доп. НАН України. – 2008. – № 4. –
С. 81–85.
4. Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезокермических тел. – Киев: Наук. думка, 1990. – 270 с.
5. Шульга М.О., Карлаш В.Л. Резонанснi електромеханiчнi коливання п’єзоелектричних пластин. – К.:
Наук. думка, 2007.
Надiйшло до редакцiї 17.12.2007Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №7 81
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4976 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T13:21:43Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шульга, М.О. 2009-12-29T15:51:26Z 2009-12-29T15:51:26Z 2008 Про варiацiйний принцип Гамiльтона–Остроградського i початково-крайовi динамiчнi задачi електропружностi / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2008. — № 7. — С. 76-81. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4976 537.226.86 The Hamilton–Ostrogradskii variation principle is formulated, and, on its basis, the definition of initial-boundary dynamic problems of electroelasticity is grounded. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Про варiацiйний принцип Гамiльтона–Остроградського i початково-крайовi динамiчнi задачi електропружностi Article published earlier |
| spellingShingle | Про варiацiйний принцип Гамiльтона–Остроградського i початково-крайовi динамiчнi задачi електропружностi Шульга, М.О. Механіка |
| title | Про варiацiйний принцип Гамiльтона–Остроградського i початково-крайовi динамiчнi задачi електропружностi |
| title_full | Про варiацiйний принцип Гамiльтона–Остроградського i початково-крайовi динамiчнi задачi електропружностi |
| title_fullStr | Про варiацiйний принцип Гамiльтона–Остроградського i початково-крайовi динамiчнi задачi електропружностi |
| title_full_unstemmed | Про варiацiйний принцип Гамiльтона–Остроградського i початково-крайовi динамiчнi задачi електропружностi |
| title_short | Про варiацiйний принцип Гамiльтона–Остроградського i початково-крайовi динамiчнi задачi електропружностi |
| title_sort | про варiацiйний принцип гамiльтона–остроградського i початково-крайовi динамiчнi задачi електропружностi |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4976 |
| work_keys_str_mv | AT šulʹgamo provariaciiniiprincipgamilʹtonaostrogradsʹkogoipočatkovokraiovidinamičnizadačielektropružnosti |