Развитие формул Нехендзи-Гиршовича в науке о литье. Сообщение 1
Представлена давняя проблема математического описания и оптимизации процессов формирования усадочной пористости, усадочных раковин и усадки в металлах и отливках. Изложена концепция решения названной проблемы, выбраны и приведены для этого исходные формулы Нехендзи-Гиршовича и необходимые понятия дл...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Процессы литья |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Фізико-технологічний інститут металів та сплавів НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49764 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Развитие формул Нехендзи-Гиршовича в науке о литье. Сообщение 1 / В.Г. Кострица, О.А. Кострица // Процессы литья. — 2010. — № 2. — С. 25-35. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860200474302480384 |
|---|---|
| author | Кострица, В.Г. Кострица, О.А. |
| author_facet | Кострица, В.Г. Кострица, О.А. |
| citation_txt | Развитие формул Нехендзи-Гиршовича в науке о литье. Сообщение 1 / В.Г. Кострица, О.А. Кострица // Процессы литья. — 2010. — № 2. — С. 25-35. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Процессы литья |
| description | Представлена давняя проблема математического описания и оптимизации процессов формирования усадочной пористости, усадочных раковин и усадки в металлах и отливках. Изложена концепция решения названной проблемы, выбраны и приведены для этого исходные формулы Нехендзи-Гиршовича и необходимые понятия для их развития. На этой основе создана общая математическая модель формирования усадочной пористости, усадочных раковин и усадки, отвечающая наиболее высокому – четвертому уровню развития математических моделей в физике – математическому полю, названному усадочным полем затвердевающей отливки.
Представлена давня проблема математичного опису та оптимізації процесів формування усадочної пористості, усадочних раковин та усадки в металах та виливках. Викладена концепція рішення даної проблеми, вибрані та наведені для цього вихідні формули Нехендзі-Гіршовича та необхідні поняття для їх розвитку. На цій основі створена загальна математична модель формування усадочної пористості, усадочних раковин та усадки, яка відповідає найбільш високому – четвертому рівню розвитку математичних моделей в фізиці – математичному полю, яке названо усадочним полем виливки, яка затвердіває.
There is shown the old problem of mathematical formulation and optimization of shrinkage porosity, shrinkage holes and shrinkage formation in metals and alloys. There is stated the conception of this problem solution, the initial Nehendzi-Girshovich's formulas and necessary concepts for their development are chosen and shown. On this base there is made the common mathematical model of shrinkage porosity and shrinkage holes formation that corresponds to the highest forth level of mathematical models in physics maturity such as mathematical fields, that is named as shrinkage field of solidifying casting.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:10:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2010. № 2 (80) 25
ЗАТВЕРДЕВАНИЕ СПЛАВОВ
УДК 518.5; 621.746.62
В. Г. Кострица, О. А. Кострица
Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского
«Харьковский авиационный институт», Харьков
РАЗВИТИЕ фОРмУЛ НЕхЕНДЗИ-ГИРшОВИчА
В НАУКЕ О ЛИТьЕ. Сообщение1*
Представлена давняя проблема математического описания и оптимизации процессов
формирования усадочной пористости, усадочных раковин и усадки в металлах и отливках.
Изложена концепция решения названной проблемы, выбраны и приведены для этого ис-
ходные формулы Нехендзи-Гиршовича и необходимые понятия для их развития. На этой
основе создана общая математическая модель формирования усадочной пористости, уса-
дочных раковин и усадки, отвечающая наиболее высокому – четвертому уровню развития
математических моделей в физике – математическому полю, названному усадочным полем
затвердевающей отливки.
Ключевые слова: усадочная пористость, усадочные раковины, усадки в металлах и от-
ливках.
Представлена давня проблема математичного опису та оптимізації процесів формуван-
ня усадочної пористості, усадочних раковин та усадки в металах та виливках. Викладена
концепція рішення даної проблеми, вибрані та наведені для цього вихідні формули Нехендзі-
Гіршовича та необхідні поняття для їх розвитку. На цій основі створена загальна математична
модель формування усадочної пористості, усадочних раковин та усадки, яка відповідає
найбільш високому – четвертому рівню розвитку математичних моделей в фізиці – мате-
матичному полю, яке названо усадочним полем виливки, яка затвердіває.
Ключові слова: усадочна пористість, усадочні раковини, усадки в металах та виливках.
There is shown the old problem of mathematical formulation and optimization of shrinkage porosity,
shrinkage holes and shrinkage formation in metals and alloys. There is stated the conception of
this problem solution, the initial Nehendzi-Girshovich's formulas and necessary concepts for their
development are chosen and shown. On this base there is made the common mathematical model
of shrinkage porosity and shrinkage holes formation that corresponds to the highest forth level of
mathematical models in physics maturity such as mathematical fields, that is named as shrinkage
field of solidifying casting.
Keywords: shrinkage porosity, shrinkage holes, shrinkage in metals and alloy.
Введение
В 1963-1986 гг. в ВНИИТэлектромаше** (г. Харьков) в ходе разработки прогрес-
*Разделы 1, 2 (кроме п. 2.5.3), 3 (п. 3.1.1 – 3.1.4) написаны В. Г. Кострицей, п. 2.5.3 - совместно
О. А. Кострицей и В. Г. Кострицей в порядке обсуждения
**Всесоюзный научно-исследовательский и проектно-конструкторский институт технологий
электромашиностроения
26 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2010. № 2 (80)
Затвердевание сплавов
сивных технологий производства отливок под давлением (с заданной электро-
проводностью) роторов асинхронных электродвигателей [1-4] был проведен ряд
исследований [5-11] по формированию отливок с заданной электропроводностью
при некоторой допустимой их пористости [10, 11], оптимальной по критериям устой-
чивости величины пористости изготовляемых отливок и наименьшей их стоимости
(оптимизационная задача) [1, 2, 6].
При этом в 1974-1976 гг. была решена задача о формировании усадочной по-
ристости (и усадочных раковин) в металлах и отливках [7, 8], которая оказалась
развитием первой формулы Нехендзи-Гиршовича [12, с. 43].
В настоящей статье излагается последовательное развитие указанной первой
и второй [13, с. 132] формул Нехендзи-Гиршовича в единой детерминированной
системе.
Цель данного исследования – создать основы математического обеспечения
для широкого компьютерного математического моделирования и оптимизации
технологий изготовления отливок.
1. Проблема математического описания усадочной пористости и усадоч-
ных раковин в металлах и отливках
Для решения названной выше оптимизационной задачи обязательным и непре-
менным условием [14] является математическая модель объекта управления – про-
цесса формирования усадочных пор и усадочных раковин в отливках.
В 1931 [12] и 1948 гг. [13] Ю. А. Нехендзи указал на главный общий недостаток
ранее предложенных соответствующих математических моделей, который заключа-
ется в том, что они не учитывают или неправильно учитывают уменьшение размеров
и объема отливки в процессе затвердевания по сравнению с объемом первоначально
залитого в форму металла. В указанных работах Ю. А. Нехендзи в качестве первого
приближения вывел первую [12] и вторую [13] формулы Нехендзи-Гиршовича об
относительном объеме усадочных раковин и усадочных пор в стальных отливках и
в этих формулах интуитивно учел отмеченное уменьшение объема отливки в про-
цессе затвердевания.
В 1957 г. Б. Б. Гуляев в докладе [15] привел вторую формулу Нехендзи–Гиршовича и
широко изложил проблему усадочных процессов в металлах. В 1979 г. Г. Ф. Баландин
рассмотрел и сравнил другие математические модели формирования усадочной
пористости и усадочных раковин в отливках, нашел эти модели противоречивыми
и поэтому названную выше проблему посчитал нерешенной [16].
В 1974 г. В. Г. Кострица в ВНИИТэлектромаше ввел новый специальный пара-
метр – функцию сжимаемости для учета изменения объема отливки в процессе
затвердевания (наружная пористость отливки: усадочная, газовая, общая [7],
далее – п. 2.5.2), затем с привлечением этого параметра решил представленную
выше оптимизационную задачу [6-11], методология и ряд зависимостей которой
используются далее.
2. Концепция решения проблемы
2.1. Научный подход
При решении рассматриваемой проблемы, согласно логике Г. В. Ф. Гегеля [17,
с. 91], этот подход именуем «концепцией абсолютно простого».
Корректную постановку изложенной выше оптимизационной задачи (проблемы)
и математическое описание усадочных процессов выполняем согласно методологии
А. Н. Тихонова, А. А. Самарского и Б. М. Будака [18]: сначала в пунктах 2.2, 2.3 – в
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2010. № 2 (80) 27
Затвердевание сплавов
форме физической задачи (Ф-задачи) для постановки по ней и решения затем в
п. 3 – краевой задачи (К-задачи).
2.2. Понятие и стадии формирования отливки
Сначала уточним понятие отливки в широком и узком смыслах. Отливка в широ-
ком смысле представляет собой литое изделие вместе с его литниковой системой
(заливочной чашей, стояком, коллектором, прибылями, питателями, выпорами),
то есть отливку образует весь вылитый в форму металл как одно целое. Отливка в
узком смысле – это литое изделие, то есть отлитая деталь вместе с припусками на
ее механическую обработку.
Конструкция отливки непременно должна быть технологичной при литье.
Для математического описания процесса формирования усадочной пористости
гравитационной отливки (п. 2.3) выделяем четыре стадии ее формирования со-
гласно табл. 1.
Главная особенность представленной в таблице классификации состоит в том,
что образование отливки заканчивается при температуре металла Т0 в конце пер-
вой стадии и именно с температуры металла Т0 начинается эволюция усадочной
пористости во второй стадии.
На второй и на третьей стадиях гравитационную отливку подпитывают путем орга-
низации управляемого переноса жидкого металла из прибыли в отливку и дуального
обратного (встречного) переноса усадочных пор из литого изделия в прибыль.
На четвертой стадии реализуется равномерное термическое сжатие литого из-
делия с переносом усадочных пор (четвертой стадии их образования) на наружную
поверхность отливки.
2.3. Физическая модель элементарной отливки
Сначала с позиций «концепции абсолютно простого» (п. 2.1) за объект исследова-
ний принимаем наиболее простые отливки, формируемые из непрерывного, одно-
родного, однокомпонентного металлического расплава наиболее простым способом
– способом гравитационного литья (течение расплава в форме под действием его
сил тяжести). Предметом исследований становится математическое описание и рас-
крытие закономерностей формирования усадочных пор в выбранных выше простых
отливках.
Усадочные раковины представляем и учитываем как области концентрации (ско-
пления и объединения) в отливке, возникшие ранее в металле усадочных пор.
Для математического описания процесса формирования усадочных пор и уса-
дочных раковин в отливках Ю. А. Нехендзи в 1931 [12] и 1948 гг. [13] использовал,
ссылаясь на Е. Гейна (1912 г.), простую геометрическую модель элементарной (наи-
меньшей, общей) отливки в виде куба с ровными стенками, а в 1965 г. предложил
Номер
стадии
Температура
металла
в начале
и конце стадии
Описание стадии
формирования отливки
Остаточная
усадочная
пористость отливки
I Тзал – Т0
заполнение полости литейной формы
металлом и образование отливки –
II Т0 – Т1
охлаждение отливки в жидком
состоянии
Пу(Т1) ≥ 0
III Т1 – Т2
кристаллизация металла Пу(Т2) ≥ 0
IV Т2 – Т3
полное охлаждение отливки Пу(Т3) = 0
Таблица 1. Стадии формирования гравитационных отливок
28 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2010. № 2 (80)
Затвердевание сплавов
[19] общую геометрическую модель в виде куба (рис. 1 – с ровными (а), вогнутыми
(б) и выпуклыми (в) стенками).
В настоящей работе используем предложенную Ю. А. Нехендзи вторую (рис.
1, б) геометрическую модель элементарной отливки, для которой в качестве эле-
ментарных частиц ее среды [20] задаем зерна плотного (беспористого) металла
удельным объемом υ
м
(Т), а по границам зерен – усадочные поры.
Определенное количество указанных зерен образуют объем υ
от
(Т) элементарной
отливки на рис. 1. Материал такой отливки характеризуется его плотностью ρ
м
(Т).
Усадочные поры в элементарной отливке принимаем пустыми, то есть
ρп.у(Тi) = 0; i = 0, 1, 2, 3. (1)
В процессе охлаждения элементарной отливки ее масса и масса фазы металла
в микроструктуре отливки (по закону сохранения массы) равны
Мот(Т0) = Мот(Тi); (2)
Мм(Т0) = Мм(Тi); (3)
Мот(Т0) = Мм(Тi); (4)
Мот(Тi) = Vот(Тi) ∙ ρот(Тi); (5)
Мм(Тj) = Vм(Тj) ∙ ρм(Тj), (6)
где i = 0, 1, 2; j = 1, 2, 3; i < j.
В результате уменьшение объема элементарной отливки в процессе затверде-
вания, согласно (2)–(6), можно описать следующими простыми соотношениями:
r
x
r
r
e
r
üïïïïïïýïïïïïïþ
ji
i- j
j i
j
i- j
j i
TV T
Т
V T T
V T Ti Т
V T T
от от
от
от от
м м
м
м м
( )( )
= = ( )
( ) ( )
,
( ) ( )
= = ( )
( ) ( )
(7)
где
xот ( )i- jТ – число подобия, характеризует физический эффект сжатия от-
ливки в процессе охлаждения ее от Ti до Tj; e i jТм -( ) – критерий подобия, харак-
Рис. 1. Геометрическая модель элементарной отливки по Ю. А. Нехендзи [19]: 1 –
литейная форма; 2 – отливка; 3 – уровень усадки металла в жидком состоянии
а б в
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2010. № 2 (80) 29
Затвердевание сплавов
теризует физический эффект сжатия металла в процессе охлаждения его от Ti
до Tj; термины «число подобия», «критерий подобия» – обобщенные переменные
по А. А. Гухману [21].
Величина усадочной пористости элементарной отливки безразмерна. Ее можно
выразить в долях единицы или в процентах. Первый способ используем в матема-
тических описаниях, второй более наглядный и удобный – для технологических
оценок и расчетов.
2.4. Формулы Нехендзи-Гиршовича
2.4.1. Первая формула
В работе [12] названная формула представлена следующим образом:
r
g
¢ g e
V
т
ж 1
= [1- ] 100,
1- 3
(8)
где
rV /
- относительный объем усадочных раковин в отливке, %; γ
ж
– плотность зали-
того в форму жидкого металла, кг/м3; γ
т
– плотность беспористого металла отливки
в твердом состоянии, кг/м3; 3ε – объемная усадка отливки.
2.4.2. Вторая формула
В работе [13] указанная исходная формула имеет вид:
r e e e eV V V VV
Т
/ / /
ж з отл
= + + - , (9)
где
rV /
– относительный объем усадочных раковин в отливке, %; e
/
жV – объемная
усадка жидкого металла внутри затвердевающей отливки (от начала до конца за-
твердевания);
e
зV – объемная усадка при затвердевании;
eV
/
Т
– объемная усадка
твердого металла внутри затвердевающей отливки (за период от начала до конца
затвердевания);
e/
отлV – объемная усадка всей отливки в целом за период от начала
до конца ее затвердевания.
2.5. Развитие формул Нехендзи-Гиршовича расширением их понятий
о пористости и усадке отливки
2.5.1. Понятие об усадочной пористости как физическом свойстве отливок
Внутреннюю остаточную усадочную пористость выражаем по [7-9]
V Т
T
V Т
п.у/
y *)Def
от
( )
П ( ) = ,
( )
Т3 < Т < Т0 . (10)
Согласно (10), остаточная усадочная пористость отливки – объемная концен-
трация ее усадочных пор в материале отливки при конкретной его температуре Т.
Остаточная усадочная пористость уже сформирована в отливке и задается точкой
в области T < T0.
2.5.2. Понятие о наружной усадочной пористости отливки
Ю. А. Нехендзи в 1931 [12] и 1948 гг. [13] отметил факты уменьшения размеров
*Знак = Def означает, что левое (от знака равенства) определяется через правое (см. Зегерт В.
Элементарная логика: Пер. с англ. – М.: Высш. шк., 1985. – 256 с.)
30 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2010. № 2 (80)
Затвердевание сплавов
металла, назвал это проявлением внешних усадочных раковин, утяжин и интуитивно
учел их в формулах Нехендзи–Гиршовича: в выражении (8) – множителем 1/(1-3ε),
в (9) – слагаемым
e/
отлV .
В 1953 г. А. И. Вейник образование наружных усадочных пор учел в составе га-
зового зазора между отливкой и формой [22].
В 1965 г. В. А. Ефимов обратил внимание на необходимость исследования за-
кономерностей образования зазора между стенкой формы и отливкой [23].
В 1974 г. В. Г. Кострица в работе [7] ввел понятие о наружных усадочных порах
отливки как бывших ее внутренних усадочных
порах, перенесенных наружу отливки в процессе
ее затвердевания и подпитывания, и предложил
учитывать их специальным понятием – наружная
усадочная пористость Пн.у(Т). При этом величину
наружной усадочной пористости в ряду внутренних
усадочных пористостей требовалось рассматри-
вать как отрицательную усадочную пористость.
Далее элемент процесса формирования
наружной усадочной пористости (отмеченное
В. А. Ефимовым образование зазора между
стенкой формы и отливкой) будем интерпрети-
ровать простой геометрической моделью в под-
вижной системе координат [22] с расположением
точки О начала системы координат на наружной
поверхности отливки и направлением оси отрица-
тельных значений X влево от точки О на рис. 2.
Вследствие показанного сжатия отливки 2 в
процессе охлаждения значение толщины зазора
(по правилам, принятым в науке о сопротивлении
материалов [26]) получается отрицательным.
Таким образом предложена простая разностная
мера эволюции (то есть свободного образования
в интервале температур (Т0 – Т1), (Т1 – Т2), (Т2 – Т3),
(Т0 – Т3)) наружной усадочной пористости в раз-
ностной форме
j
j
j
V Т
T
V Т
н.п.у 0-/
н.y 0- Def
от
- ( )
П ( ) = ;
( )
(11)
где
º Dj j
T- V Т Vн.п.у 0- от 0-
( );( ) -
(11а)
-D é ù
ë ûj jV Т V T V Tот 0- от 0 от( ) = - ( ) - ( ) ;
(12)
j = 1, 2, 3; Tj < T0,
где| | – знак абсолютной величины пористости (ее параметра) соответствует
способу сравнения родов пористости в табл. 2.
Согласно выражению (11), наружная усадочная пористость отливки – это объем-
ная концентрация в материале той ее части усадочных пор, которые образовались
б
Рис. 2. Геометрическая модель об-
разования зазора между стенкой
формы и отливкой в процессе ее
формирования: а – при начальной
температуре отливки Тот = То: 1 – стен-
ка формы, 2 – отливка, 3 – граница
между стенкой формы и отливкой,
О – начало подвижной системы ко-
ординат; б – при последующей тем-
пературе отливки Тот < То: 1 – стенка
формы, 2 – отливка, 3 – граница
между стенкой формы и отливкой,
4 – зазор, О – начало подвижной
системы координат, ΔX – толщина
зазора
а
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2010. № 2 (80) 31
Затвердевание сплавов
(могут образоваться) в отливке при охлаждении ее от Т
0
до Т
j
и перенесены (могут
быть перенесены) из отливки наружу.
Условия (11а)–(12) выражают физический эффект образования в отливке вну-
тренних усадочных пор и переноса их наружу, уменьшая этим по балансу (11а) объ-
ем отливки в системе формирования другого ее физического свойства – усадки
(п. 2.5.3).
Теперь рассмотрим происхождение и роль знака – (минус) в зависимостях (11)-
(12). В выражении (11) числитель Vн.п.у (Т0-j) является носителем всех усадочных
пор, перемещенных наружу отливки, где они согласно определению (п. 2.5.2.) ста-
новятся отрицательными. Поэтому знак – (минус) у объема Vн.п.у (Т0-j) является его
собственным по происхождению.
В правой части выражения (11а) знак – (минус) тоже является собственным у из-
менения объема отливки ΔVот (Т0-j), но по причине отмеченного выше (п. 2.5.2.) ее тер-
мического сжатия [26], элемент – ΔХ показан на рис. 2, а так как сжатие элементарной
отливки (рис. 1) идет по трем прямоугольным координатным осям, то
D × D × D D ×D ×D º D- - - - - jV Тот о-( X) ( Y) ( Z) = ( X Y Z) ( ). (13)
2.5.3. Понятие об усадке отливки
Принимаем определение понятия усадка отливки, которое обосновал и выбрал
К. Н. Милицин [24], но вводим в указанное понятие усадки два уточнения: первое –
фиксируем объем отливки V
от
(Т
0
) именно в момент начала (при Т
0
) ее образования;
второе – интерпретируем усадку как меру деформации отливки. Причем в нашей
физической задаче (п. 2.3) реализуется деформация сжатия отливки и сжатия ме-
талла отливки (п. 2.3). Поэтому согласно работе [26] величину деформации – усадки
(отливки, металла) необходимо записывать со знаком – (минус).
В результате понятие усадка отливки в разностной форме выражается следую-
щим образом:
- -i j
j
V Т V Т
U T
V Т
от от/
от 0-
от 0
[ ( ) ( )]
( ) = ,Def ( )
(14)
где i = 0, 1, 2; j = 1, 2, 3; i < j.
Формулы (11)–(14) выражают полное научное понятие соответственно о на-
ружной усадочной пористости отливки и об усадке отливки: при i = 0 – для отливок,
изготовленных по технологии литья из жидкого металла; при i = 1 – для отливок,
изготовленных по технологии литья из твердо-жидкого металла; при i = 2 – для от-
ливок, изготовленных по технологии литья из кашеобразного (литье под солидусом)
металла.
Далее с позиции «концепции абсолютно простого» (п. 2.1) рассматриваем лишь
исходный (при i = 0) вариант технологии гравитационного литья.
Относительно границы отливки с формой П /
у(Т) П /
н.у(Т)
изнутри отливки до границы >0 0
На границе 0 0
за границей вне отливки 0 <0
Таблица 2. Значения усадочной пористости отливки
32 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2010. № 2 (80)
Затвердевание сплавов
3. Краевая задача о формировании усадочной пористости гравитацион-
ных отливок
Рассмотренная задача связана с развитием первой формулы Нехендзи -Гир-
шовича (п. 2.4.1) на основе введенных новых понятий о пористости отливки согласно
п. 2.5.1 и 2.5.2.
3.1. Постановка краевой задачи
3.1.1. Выбор функции, характеризующей формирование усадочной пористости
отливки
Такую простую функцию усадочной пористости в разностной форме мы выбрали
в п. 2.5.1 – выражение (10).
Далее необходимо найти функцию формирования усадочной пористости – вну-
тренней (п. 2.5.1) и наружной (п. 2.5.2) – за один и тот же промежуток времени по
стадиям эволюции отливки.
Первая стадия. Заполнение полости формы металлом и образование отливки
3.1.2. Начальные условия
Определяются физической задачей (технологией литья) в момент τ
0
следующим
образом. Литейная форма отвечает условиям п. 2.3. Температура залитого рас-
плава – Т0. Объем полости литейной формы – Vф(Т0). В результате складываются
следующие начальные условия:
Vот(Т0) = Vф(Т0); (15)
Mот(Т0) = Мм(Т0); (16)
Мот(Т0) = Vот(Т0) ∙ ρот(Т0); (17)
Мм(Т0) = Vм(Т0) ∙ ρм(Т0); (18)
ρот(Т0) = ρм(Т0). (19)
По приведенным начальным условиям в момент τ
0
граница, определяющая на-
ружную поверхность отливки и отделяющая ее от формы, не свободна: она порож-
дается рабочей поверхностью литейной формы.
Вторая стадия. Охлаждение отливки в жидком состоянии от Т0 до Т
3.1.3. Разностное уравнение формирования усадочной пористости отливки
Запишем выражение фазового состава отливки по объему в начале второй стадии
ее формирования (см. табл. 1)
Vот(Т) = Vм(Т) + Vп.у(Т) (20)
и преобразуем его делением на Vот(Т). Получаем базисную функцию названного
выше уравнения
п.у м
от от
( ) ( )
+ = 1.
( ) ( )
V Т V Т
V Т V Т
(21)
В этом выражении первое слагаемое отвечает определению (10) усадочной по-
ристости, второе слагаемое неизвестно.
Для его определения запишем уравнение сплошности рассматриваемой отливки,
которое, как показал А. А. Гухман [21], выражает закон сохранения массы
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2010. № 2 (80) 33
Затвердевание сплавов
Мм(Т) = Vм(Т) ∙ ρм(Т); (22)
Мот(Т) = Vот(Т) ∙ ρот(Т). (23)
Из (22) и (23) находим
r
r
отм
от м
.
( )( )
=
( ) ( )
ТV Т
V Т Т
(24)
Теперь подставим переменную ρот(Т) в выражение (24) через известные входные
параметры: приравняем (17) и (23) по закону сохранения массы, полученное выра-
жение разделим на Vот(Т) и после преобразований с учетом выражений (11), (11а),
(12), (19) (и замены в них координат (Т0-j) и (Тj) на (Т)) находим
×r r é ù
ë ûТ Т Т/
м 0 н.у( ) = ( ) .от 1+ П ( ) (25)
Далее подставим в (21) выражение первого слагаемого по (10) и выражение вто-
рого слагаемого по (24) с (25). Получаем разностное уравнение формирования
усадочной пористости отливки
r r
×
r r
/ /м 0 м 0
y н.y
м м
( ) ( )
П ( ) + П ( ) + = 1
( ) ( )
Т Т
T T
Т Т
(26)
и общее его решение – разностную математическую модель формирования уса-
дочной пористости в начале второй стадии (см. табл. 1)
r
×
r
/ /м 0
y н.у
м
( )
П ( ) = 1- [1+ П ( )].
( )
Т
T Т
Т
(27)
Выражение (27), записанное для четвертой стадии формирования отливок,
впервые было получено В. Г. Кострицей в 1974 г. в составе математической модели
пористости отливок под давлением (42) в [7].
Теперь из выражения (25) находим разностное выражение наружной усадочной
пористости через известные начальные параметры (значение ρот (Т) должно быть
измерено)
r
r
é ù
ê ú
ê úë û
/ от
н.y
м 0
( )
П ( ) = - 1- ,
( )
Т
T
Т
(28)
а из (27), (28) – разностное выражение внутренней усадочной пористости через
известные начальные параметры
r
r
/ от
y
м
( )
П ( ) = 1- .
( )
Т
T
Т
(29)
В 1974 г. В. Г. Кострица ввел понятие о частной усадочной внутренней, частной
усадочной наружной и общей усадочной пористости отливки [7, 9]. Сказанное в
рассматриваемой задаче (п. 3.1.3) выражается следующим образом:
П /
у(Т) + П /
н.у(Т) = П /
у.об(Т) . (30)
После подстановки (29) и (28) в (30) получаем значение общей усадочной пористости
через известные начальные параметры в виде
34 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2010. № 2 (80)
Затвердевание сплавов
r
r r
é ù
ê ú
ê úë û
T Т
Т Т
/
оту.об
м 0 м
1 1
П ( ) = ( ) - .
( ) ( ) (31)
В процессе формирования отливки усадочные внутренняя и наружная пористо-
сти в соответствии с определением последней по п. 2.5.2 принимают значения,
согласно табл. 2
3.1.4. Общая математическая модель формирования усадочной пористости
отливки
Названную математическую модель составляют математические объекты (26)-
(31) и табл. 2 вместе с неотъемлемой их физической основной (Ф-задача, п. 2.1.3) по
пунктам 2.2 и 2.3. Слово «общая» в названии п. 3.1.4 означает, что математические
объекты используются с общей свободной координатой (Т).
В указанной (п. 3.1.4) математической модели обнаруживается нелогичность:
функционирование самостоятельного математического объекта (28) (наружная уса-
дочная пористость отливки) требует далее представлять для нее отливку с прибылью
и другими элементами согласно п. 2.2.1, чему противоречит используемая до сих пор
первоначальная (Е. Гейн, 1912 г. – Ю. А. Нехендзи, 1965 г.) простейшая модель отливки
в виде куба (см. рис. 1). Поэтому в п. 3.1.5 мы переходим к новой топологической
модели элементарной отливки, лишенной указанных недостатков.
Теперь определим уровень развития нашей математической модели формирова-
ния усадочной пористости в отливке – математических объектов (26)-(31) и табл. 2
– согласно классификации математических моделей в физике по Е. И. Несису [25].
В основу классификации положена мера физического свойства. На первом уровне
физические свойства измеряли скалярными величинами, на втором – векторными,
на третьем – тензорными. На четвертый уровень математических моделей отнесе-
но представление о математическом поле – области пространства, каждой точке
которого соответствует определенное значение некоторой физической величины.
Именно на четвертый уровень эволюции математических моделей, как показал
анализ, и следует отнести математические объекты (26)–(31) и табл. 2 вместе с
их физической основой по пунктам 2.2, 2.3, 3.1.5, которые далее будем именовать
усадочным полем затвердевающей отливки.
(Продолжение читайте в сообщении 2)
Условные обозначения
Символы: М – масса, кг; П – пористость; ρ – плотность, кг/м3; τ – время (продолжительность цикла
изготовления отливки), с; Т – температура, К; U – усадка, V – объем, м3; ε – критерий сжатия; ξ – число
сжатия.
Индексы нижние (буквы): зал – заливка; i – начало стадии изготовления отливки; j – окончание
стадии изготовления отливки; м – металл; н – наружная, об – общее значение; от – отливка; п – пора;
у – усадочная; ф – форма.
Индексы нижни (цифры): 0 – начальное значение температуры в момент окончания заполнения по-
лости формы металлом и образования отливки; 1, 2, 3 – последующие значения температуры металла
соответственно: 1 – ликвидус, 2 – солидус, 3 – окружающая среда.
Индексы верхние (штрихи): / (один штрих) – меньшее значение параметра, // (два штриха) – большее
значение параметра.
Примеры обозначений: Vп.у (Т) – объем усадочных пор в отливке при температуре ее Т, м3; Vп.у (Т1-2) –
объем усадочных пор в отливке при температуре Т2, образованных в процессе охлаждения ее от Т1 до Т2,
м3; П/ - пористость отливки, части ее, измеренная (выраженная) в разностной форме.
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2010. № 2 (80) 35
Затвердевание сплавов
1. Двигатели асинхронные мощностью от 0,6 до 100 кВт. Роторы диаметром от 70 до
300 мм. Типовой технологический процесс изготовления отливок: РТМ ОАА.686.060-70.
− М.: Изд-во ВНИИстандартэлектро, 1970. – 78 с.
2. Машины электрические асинхронные общего применения мощностью до 100 кВт серии
4А с высотами оси вращения от 71 до 100 мм. Роторы. Изготовление отливок. Типовой техно-
логический процесс: ОЕСТПП. ОСТ 16.0686.596 – 77. – М.: Изд-во ВНИИстандартэлектро,
1977. – 27 с.
3. Кострица В. Г., Бондаренко А. А., Бронин С. В. Совершенствование технологии литья ро-
торов электродвигателей // Технология электротехнического производства. – 1971. – Спец.
вып. – С. 22-24.
4. Влияние электропроводности клетки ротора на параметры электродвигателя / В. Г. Костри-
ца, Г. С. Абрамов, С. В. Бронин и др. // Там же. – 1972. – Вып. 2 (35). – С. 6-9.
5. Применение вакуума при литье под давлением роторов электродвигателей / В. Г. Кострица,
Э. Ф. Стома, Н. Г. Щербина и др. // ВНИИТэлектромаш. – 1972. – Вып. 10. – С. 42-55.
6. Кострица В. Г. Оценка факторов образования пористости литья под давлением // Вестн.
Харьковск. политехн. ин-та «Литейное производство». – 1974. – Вып. 6, № 90. – С.12-16.
7. Кострица В. Г. Расчет пористости литья под давлением // ВНИИТэлектромаш. – 1974. –
Вып. 11. – С. 24-42.
8. Кострица В. Г. Закономерности образования пористости литья под давлением // Там же.
– 1976. – Вып. 13. – С. 40-49.
9. Кострица В. Г. Метод оценки источников пористости отливок // Там же. – 1981. – Вып.
18. – С. 22-34.
10. Кострица В. Г. Влияние пористости на электоропроводность литого металла // Там же.
– 1978. – Вып. 15. – С. 33-45.
11. Кострица В. Г. Получение отливок с заданной электропроводностью // Там же. – 1978.
– Вып. 16. – С.15-24.
12. Нехендзи Ю. А. Стальное литье. – Л.: Изд-во Кубуч, 1931. – 452 с.
13. Нехендзи Ю. А. Стальное литье. – М.: Металлургиздат, 1948. – 766 с.
14. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике: Пер. с англ. – М.: Мир,
1986. – 350 с.
15. Гуляев Б. Б. Проблема усадочных процессов в металлах // Тр. 3-го совещания по теории
литейных процессов. – М.: Изд-во АН СССР, 1960. – С. 5-18.
16. Баландин Г. Ф. Основы теории формирования отливки. Формирование макроскопиче-
ского строения отливки. – М.: Машиностроение, 1979. – № 42. – 335 с.
17. Гегель Г. В.Ф. Наука логики. – М.: Мысль, 1970. – Т.1. – 501 с.
18. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике:
Учебное пособие. – М.: Наука, 1980. – 688 с.
19. Нехендзи Ю. А. Литейные свойства сплавов // Труды 11-го совещания по теории литейных
процессов (1965). – М.: Наука, 1967. – С. 25-38.
20. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред: Пер. с англ. – М.: Мир, 1974. – 319 с.
21. Гухман А. А. Введение в теорию подобия: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк.,
1973. – 296 с.
22. Вейник А. И. Тепловые основы теории литья. – М.: Машгиз, 1953. – 384 с.
23. Ефимов В. А. Предисловие // Усадочные процессы в сплавах и отливках. – Киев: Наук.
думка, 1970. – С. 3-4.
24. Милицин К. Н. Усадка металлов и сплавов в жидком состоянии и методы ее определения
// Труды 3-го совещания по теории литейных процессов (1957). – М.: Изд-во АН СССР, 1960.
– С. 65-73.
25. Несис Е. И. Методы математической физики. – М.: Просвещение, 1977. – 199 с.
26. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов: Пер. с англ. – М.: Наука, 1965. − Т. 1.
− 364 с.
Поступила 13.10.2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49764 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0235-5884 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:10:15Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Фізико-технологічний інститут металів та сплавів НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кострица, В.Г. Кострица, О.А. 2013-09-27T20:12:22Z 2013-09-27T20:12:22Z 2010 Развитие формул Нехендзи-Гиршовича в науке о литье. Сообщение 1 / В.Г. Кострица, О.А. Кострица // Процессы литья. — 2010. — № 2. — С. 25-35. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 0235-5884 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49764 518.5; 621.746.62 Представлена давняя проблема математического описания и оптимизации процессов формирования усадочной пористости, усадочных раковин и усадки в металлах и отливках. Изложена концепция решения названной проблемы, выбраны и приведены для этого исходные формулы Нехендзи-Гиршовича и необходимые понятия для их развития. На этой основе создана общая математическая модель формирования усадочной пористости, усадочных раковин и усадки, отвечающая наиболее высокому – четвертому уровню развития математических моделей в физике – математическому полю, названному усадочным полем затвердевающей отливки. Представлена давня проблема математичного опису та оптимізації процесів формування усадочної пористості, усадочних раковин та усадки в металах та виливках. Викладена концепція рішення даної проблеми, вибрані та наведені для цього вихідні формули Нехендзі-Гіршовича та необхідні поняття для їх розвитку. На цій основі створена загальна математична модель формування усадочної пористості, усадочних раковин та усадки, яка відповідає найбільш високому – четвертому рівню розвитку математичних моделей в фізиці – математичному полю, яке названо усадочним полем виливки, яка затвердіває. There is shown the old problem of mathematical formulation and optimization of shrinkage porosity, shrinkage holes and shrinkage formation in metals and alloys. There is stated the conception of this problem solution, the initial Nehendzi-Girshovich's formulas and necessary concepts for their development are chosen and shown. On this base there is made the common mathematical model of shrinkage porosity and shrinkage holes formation that corresponds to the highest forth level of mathematical models in physics maturity such as mathematical fields, that is named as shrinkage field of solidifying casting. ru Фізико-технологічний інститут металів та сплавів НАН України Процессы литья Затвердевание сплавов Развитие формул Нехендзи-Гиршовича в науке о литье. Сообщение 1 Article published earlier |
| spellingShingle | Развитие формул Нехендзи-Гиршовича в науке о литье. Сообщение 1 Кострица, В.Г. Кострица, О.А. Затвердевание сплавов |
| title | Развитие формул Нехендзи-Гиршовича в науке о литье. Сообщение 1 |
| title_full | Развитие формул Нехендзи-Гиршовича в науке о литье. Сообщение 1 |
| title_fullStr | Развитие формул Нехендзи-Гиршовича в науке о литье. Сообщение 1 |
| title_full_unstemmed | Развитие формул Нехендзи-Гиршовича в науке о литье. Сообщение 1 |
| title_short | Развитие формул Нехендзи-Гиршовича в науке о литье. Сообщение 1 |
| title_sort | развитие формул нехендзи-гиршовича в науке о литье. сообщение 1 |
| topic | Затвердевание сплавов |
| topic_facet | Затвердевание сплавов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49764 |
| work_keys_str_mv | AT kostricavg razvitieformulnehendzigiršovičavnaukeolitʹesoobŝenie1 AT kostricaoa razvitieformulnehendzigiršovičavnaukeolitʹesoobŝenie1 |