Математическая модель намораживания металла на непрерывный закристаллизовавшийся слиток
Разработана математическая модель намораживания металла на непрерывный закристаллизовавшийся слиток, которая дает возможность анализировать параметры процесса кристаллизации при получении слитка больших размеров. Розроблено математичну модель наморожування металу на безперервний зливок, який закрист...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Процессы литья |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Фізико-технологічний інститут металів та сплавів НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49778 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математическая модель намораживания металла на непрерывный закристаллизовавшийся слиток / А.А. Мочалов, Н.А. Шаповал, К.Д. Евфимко // Процессы литья. — 2010. — № 3. — С. 24-29. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860062860563972096 |
|---|---|
| author | Мочалов, А.А. Шаповал, Н.А. Евфимко, К.Д. |
| author_facet | Мочалов, А.А. Шаповал, Н.А. Евфимко, К.Д. |
| citation_txt | Математическая модель намораживания металла на непрерывный закристаллизовавшийся слиток / А.А. Мочалов, Н.А. Шаповал, К.Д. Евфимко // Процессы литья. — 2010. — № 3. — С. 24-29. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Процессы литья |
| description | Разработана математическая модель намораживания металла на непрерывный закристаллизовавшийся слиток, которая дает возможность анализировать параметры процесса кристаллизации при получении слитка больших размеров.
Розроблено математичну модель наморожування металу на безперервний зливок, який закристалізувався, що дає можливість аналізувати параметри процесу кристалізації при отриманні зливків великих розмірів.
The mathematical model of metal silvering on the continuous crystallized ingot, that enables to analyze the parameters of the crystallization process in order to receive the bigger ingot is developed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:05:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
24 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2010. № 3 (81)
НОВЫЕ МЕТОДЫ И ПРОГРЕССИВНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ЛИТЬЯ
УДК 669:546.3.62-412
А. А. Мочалов, Н. А. Шаповал, К. Д. Евфимко
Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова, Николаев
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НАМОРАЖИВАНИЯ МЕТАЛЛА
НА НЕПРЕРЫВНЫЙ ЗАКРИСТАЛЛИЗОВАВШИЙСЯ СЛИТОК
Разработана математическая модель намораживания металла на непрерывный закристал-
лизовавшийся слиток, которая дает возможность анализировать параметры процесса кри-
сталлизации при получении слитка больших размеров.
Ключевые слова: математическая модель, кристаллизация, непрерывный слиток, наморо-
женная корочка, жидкая лунка.
Розроблено математичну модель наморожування металу на безперервний зливок, який
закристалізувався, що дає можливість аналізувати параметри процесу кристалізації при
отриманні зливків великих розмірів.
Ключові слова: математична модель, кристалізація, безперервний зливок, наморожена
корка, рідка лунка.
The mathematical model of metal silvering on the continuous crystallized ingot, that enables
to analyze the parameters of the crystallization process in order to receive the bigger ingot is
developed.
Keywords: mathematical model, crystallization, continuos inhot, scum silvering, liquid of
indentation.
В настоящее время процесс получения непрерывного слитка больших размеров
традиционным способом исчерпал свои возможности. Увеличение размеров слитка
приводит к повышению скорости разливки стали, увеличению глубины жидкой лунки
и, как следствие, к росту габаритов установки непрерывного литья заготовок, а также
и продолжительности кристаллизации [2, 5]. С целью уменьшения глубины жидкой
лунки в кристаллизатор вводят затвердевший непрерывный слиток.
В настоящее время нет методик расчета намораживания металла на непрерывный
слиток, поэтому возникла необходимость создать такую методику.
Рассмотрим случай кристаллизации, при котором непрерывный слиток, имею�
щий размеры А×В, непрерывно подается с постоянной скоростью V в расплавлен� расплавлен�
ный металл того же состава. Считаем, что в начальный момент времени известны
распределение температуры внутри слитка, температура жидкого металла и его
физические свойства, то есть имеем симметричную задачу.
Схема выделенного элемента представлена на рис. 1.
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2010. № 3 (81) 25
Новые методы и прогрессивные технологии литья
Для составления уравнений
воспользуемся методикой, кото-
рая дает возможность исследо-
вать влияние изменения отдель-
ных физических и геометрических
параметров, описывающих про-
цесс кристаллизации, на динами-
ку процесса кристаллизации не-
прерывного слитка. При исполь-
зовании данной методики слиток
разбивают на следующие зоны:
зону полностью затвердевшего
металла, двухфазную, буферную,
зону смешения и центральную.
Запишем основные уравнения,
описывающие процесс намора-
живания металла на слиток.
Уравнение закона сохранения
массы для элемента объема
t
-
''
'' 1
1
'
1 = ,
d M
m m
d (1)
где m'1 – расход металла, затвердевшего в оболочке слитка на входе, кг/с; m’’1 –
расход металла, затвердевшего в оболочке слитка на выходе, кг/с.
Уравнение изменения энтальпии в элементе объема
( )
'' '' ''
' ' '' '' '' ''1 1 1
1 1 1 1 1 1 ж 1 ж кр 1 1 1 1 ,
dM dM dT
m c T m c T F T T r с Т M c
d d d
- +a - + = +
t t t
(2)
где Тж – температура восходящего потока жидкого металла в центральной части
слитка, К; с1 – удельная теплоемкость на поверхности слитка, Дж/(кг ⋅ К); αж – ко-
эффициент теплоотдачи, Дж/(м2 с · К);
' ''
1 1,T T – среднеинтегральные температуры
на входе и выходе из затвердевшей оболочки слитка, К; F1 – наружная поверхность
слитка, м2; Ткр – температура кристаллизации, К.
Уравнение теплового баланса на поверхности кристаллизации
( )
''
кр ц1
ж 1 ж кр 1 1- ,
T ТdM
F T T r F
d
-
a + =l
t d+x (3)
где
×
d
2
=
+
А В
А В
– приведенная толщина слитка; λ1 – коэффициент теплопроводности
жидкого металла в граничном слое, Дж/(м · К); ξ – толщина затвердевшей корочки, м.
Величины, входящие в уравнения (1)-(3), записываются так:
( ) x Dé ùë û1 = 2 + + 8 ,F A B x ;
(4)
( )× x x × ré ù
ë û
2
1 1= + + + ,m A B A B V ; (5)
Рис. 1. Схема выделенного элемента для расчета на-
мораживания металла на непрерывный слиток
26 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2010. № 3 (81)
Новые методы и прогрессивные технологии литья
( )× x x × r Dé ù
ë û
2
1 1= + + + ,M A B A B x (6)
кр ц
1
+
= .
+1
nT Т
T
n
(7)
Ввиду того, что приведенные уравнения (1)-(7) существенно нелинейные, ли-
неаризуем их. Для этого перейдем к приращениям переменных, уравнения (1)-(7)
запишутся следующим образом [3]:
D
D
t
1
1- = ;
d M
m
d
(8)
( ) 1 1 1
1 1 1 1 1 1 ж 1 ж кр 1 1 1 1- + = ,
d M d M d T
m c T c T m F T T r c T M c
d d d
D D D
- D - D +a +
t t t
(9)
( ) ( )
( )
1 1 1 1
ж 1 ж кр ц 1 кр ц 2
= ;
d M F F F
F T T r T T T
d
é ùD l D Dxê úa - + - D +l - -ê út d+x d+xê úd+xë û (10)
D D ×Dx1 = 8 ;F x
(11)
( )D x r Dx1 1= + + 2 ;m A B V (12)
( )1 12 ,M A B xD = + + x r D Dx
(13)
ц
1 ,
1
T
T
n
D
D =
+
(14)
где ρ
1
– плотность затвердевшего металла кг/м3; n – коэффициент пропорциональ-
ности; υ – скрытая теплота затвердевания ккал/кг.
Подставляя выражения (8), (11)-(14) в уравнения (9), (10), получим
( ) ( )ц ц1 1
1 1 ж 1 ж кр 12 ,
1 1
T d TM cd
m c F T T A B x
n d n d
D DDx
- +a - + + + x r D u - ×
+ t + t
(15)
( ) ( )
( )
( )
lDx
a x r D u D
t d x
D
l Dx
d x d x
-
é ù
ê ú- -ê ú
ê úë û
1 1
ж 1 ж кр 1 ц
1
1 кр ц 2
+ + + 2 = +
+
8
+ .
+ +
Fd
F T T A B x T
d
Fх
T Т
(16)
Выразив из уравнения (16) величину ∆Тц через ∆ξ, будем иметь
;
;
;
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2010. № 3 (81) 27
Новые методы и прогрессивные технологии литья
( )( ) ( ) ( )1
ц ж кр
1 1
кр ц 1
1 1
1
ж 2
8 .
A B x d
T T T
F d
T Т F
x
F
+ + D u + D
D =- - - × +
l
é ù-
ê ú+ D - Dê úë û
x r d xa xd+x
l t
x
l d+x (17)
Подставляя выражение (17) в (15) и группируя их, получим дифференциальное
уравнение относительно приращения затвердевшей корочки
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
кр ц1 1 1 1 1
ж 1 ж кр
1 1 1 1
кр ц1 1 1 1 1
1
1 1 1 1
2
1 1
1
1 1
1 8
1 1
2 1 8
1
2
1
T Тm l m l F
F T T x
F n n F
T Тm c M c F d
A B x x
F n F d
A BM c d
x
n F
é ù - é ùd+xê ú ê úa - × + + × D - Dx+ê ú ê úl + + l d+xë ûë û
ì üï ïé ù - é ùd+x Dxï ïï ïê ú ê ú+ + + x r D u + - × D +í ýê ú ê úï ïl + l d+x tê ú ë ûï ïë ûï ïî þ
+ + x Dx
+ × ×r D u d+x
+ l 2
0.
d
=
t
(18)
Введем обозначения, тогда уравнение (18) примет следующий вид:
Dx Dx Dxtt
2
1 2 3 42 + + + = 0,
d d
N N N Ndd (19)
где
( ) ( )1 1= + +2 ;N A B xvx r D d+x
( ) ( ) ( )d x
x r D × D
l l d x
é ù - é ù
ê ú ê ú- -ê ú ê úë ûë û
кр ц1 1 1 1 1
2 1
1 1 1 1
+
= + + 2 +1 8 ,
+1 +
T Тm c M c F
N A B xr x
F F n
;
( )
× D
l d x
- é ù
ê ú-
ê úë û
кр ц1 1 1
3
1 1
= 8 ,
+1 +
T Тm c F
N x
F n
;
( ) d x
a ×
l
é ù
ê ú- ê úë û
1 1
4 ж 1 ж кр
1 1
+
= +1 .
+1
m c
N F T Т
n F
Дифференциальное уравнение (19) решается при следующих начальных услови-
ях: τ = 0, ∆ξ = 0,
Dx
t
= const
d
d
в квазистационарном приближении операционным
методом [1]. Получим выражение зависимости приращения затвердевшей корочки
от времени, образовавшейся в данном слитке в выделенном элементе,
28 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2010. № 3 (81)
Новые методы и прогрессивные технологии литья
( )
( )
2
4
1
0
2 2
0
4
1
2 2
4
1
0
sin arctg arctg .
N
N d
d ed
d
N
N
N
N d
d
t=
t=
t=
bt
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷b+ç ÷xç ÷÷ç ÷ç ÷çè øt × ´x b +w
tDx= × æ ö÷çw ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷w w ÷ç ÷´ wt- + +ç ÷ç ÷bç b +w÷ç ÷b+ç ÷ç ÷xç ÷÷ç ÷çè øt
(20)
Используя выражение
Dx
Dx
t
1 2 1+ + = 0
d
N N K
d
, найдем величину
Dx
t
d
d
tt
bt
t
t
w w
b wt
b b
xx
Dx tt b w
xt w
t
w w
+w wt
b b
x
t
é æ ö÷çê ÷ç ÷ê ç ÷ç ÷ê ç ÷ç ÷ê ç ÷÷çê ÷ç ÷ç ÷ç ÷æ ö ç ÷ç÷ ÷ç ÷ ç ÷ç è ø÷ç ÷ç ÷ç ÷ æ öç ÷ç ÷ ÷ç÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è øë
4
2
1 =0=0
24
=0
4
1 =0
sin + arctg + arctg +
+
= + +
cos - arctg + arctg
+
N
dd N
Nd dd e
dd
d
N
d
N
d
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
û
.
(21)
Подставляя выражения (20), (21) в (17), найдем изменение температуры центра
слитка со временем.
Значения искомых величин ξ, ∆Т
ц
на выходе из К�го положения элемента опреде�
ляются, согласно принципу суперпозиции, суммированием с учетом переходных
процессов всех предыдущих положений элемента в текущий момент времени
( )0
1
1 ,
k
i
ik k i
=
é ùx = x + Dx - + Dtë ûå
( )Dtå é ùë ûц ц0 ц
=1
= + - +1 .
k
i
i
T Т Т k i
Результаты расчета по изложенной методике приведены на рис. 2 и могут быть
использованы для расчета многослойного непрерывного слитка.
Предположенная технология получения крупных непрерывных слитков [4], бази�
рующаяся на предлагаемой математической модели, позволяет увеличить скорость
разливки металла, уменьшить по массе габаритные характеристики машины непре�
рывного литья заготовок, улучшить качество слитка, уменьшить результирующее
время кристаллизации и глубину жидкой лунки.
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2010. № 3 (81) 29
Новые методы и прогрессивные технологии литья
1. Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление. – М.: Высш. шк., 1966. – 405 с.
2. Ефимов В. А. Разливка и кристаллизация стали. – М.: Металлургия, 1976. – 551 с.
3. .Любов Б. Я. Расчет скорости кристаллизации металла в больших объемах // Кристаллизация
металлов. – М.: Металлургия, 1970. – С. 35–42.
4. Сладкоштеев В. Т., Потанин Р. В., Суладзе О. Н., Рутес В.С. Непрерывная разливка стали
на радиальных установках. – М.: Металлургия, 1974. – 285 с.
5. Непрерывная разливка стали в сортовые заготовки / В. С. Рутес, Н. Н. Гугулин, Д. П. Ев�
тесь и др. – М.: Металлургия, 1967. – 144 с.
Поступила 13.10.2010
Вниманию авторов!
C 2009 г. в соответствии с требованиями ВАКа все статьи, поступа-
ющие в редакции научных журналов, должны обязательно проходить ре-
цензирование, иметь аннотации и ключевые слова на русском, украин-
ском и английском языках. Объем статьи — не более 10 стр., рисунков
— не более 5.
Статьи в редакции поступают как на бумажном, так и электронном носи-
телях. Для текстовых материалов желательно использовать формат doc.
Для графических материалов — формат jpeg. Графические материалы не-
обходимо сохранять в отдельных файлах. Фотографии, рисунки, графики
и чертежи должны быть черно-белыми, четкими и контрастными.
Рис. 2. Изменение влияния температуры центра слитка и
толщины намороженной корочки металла на поверхность
непрерывного слитка А×В = 0,22×0,28 м, скорость подачи металла
в расплав V = 0,01м/с, Т
ж
= 1560оС, Т
L
=1 535оС (при t = 0)
ξ, м-2
,
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49778 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0235-5884 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:05:37Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Фізико-технологічний інститут металів та сплавів НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мочалов, А.А. Шаповал, Н.А. Евфимко, К.Д. 2013-09-27T23:58:12Z 2013-09-27T23:58:12Z 2010 Математическая модель намораживания металла на непрерывный закристаллизовавшийся слиток / А.А. Мочалов, Н.А. Шаповал, К.Д. Евфимко // Процессы литья. — 2010. — № 3. — С. 24-29. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0235-5884 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49778 669:546.3.62-412 Разработана математическая модель намораживания металла на непрерывный закристаллизовавшийся слиток, которая дает возможность анализировать параметры процесса кристаллизации при получении слитка больших размеров. Розроблено математичну модель наморожування металу на безперервний зливок, який закристалізувався, що дає можливість аналізувати параметри процесу кристалізації при отриманні зливків великих розмірів. The mathematical model of metal silvering on the continuous crystallized ingot, that enables to analyze the parameters of the crystallization process in order to receive the bigger ingot is developed. ru Фізико-технологічний інститут металів та сплавів НАН України Процессы литья Новые методы и прогрессивные технологии литья Математическая модель намораживания металла на непрерывный закристаллизовавшийся слиток Article published earlier |
| spellingShingle | Математическая модель намораживания металла на непрерывный закристаллизовавшийся слиток Мочалов, А.А. Шаповал, Н.А. Евфимко, К.Д. Новые методы и прогрессивные технологии литья |
| title | Математическая модель намораживания металла на непрерывный закристаллизовавшийся слиток |
| title_full | Математическая модель намораживания металла на непрерывный закристаллизовавшийся слиток |
| title_fullStr | Математическая модель намораживания металла на непрерывный закристаллизовавшийся слиток |
| title_full_unstemmed | Математическая модель намораживания металла на непрерывный закристаллизовавшийся слиток |
| title_short | Математическая модель намораживания металла на непрерывный закристаллизовавшийся слиток |
| title_sort | математическая модель намораживания металла на непрерывный закристаллизовавшийся слиток |
| topic | Новые методы и прогрессивные технологии литья |
| topic_facet | Новые методы и прогрессивные технологии литья |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49778 |
| work_keys_str_mv | AT močalovaa matematičeskaâmodelʹnamoraživaniâmetallananepreryvnyizakristallizovavšiisâslitok AT šapovalna matematičeskaâmodelʹnamoraživaniâmetallananepreryvnyizakristallizovavšiisâslitok AT evfimkokd matematičeskaâmodelʹnamoraživaniâmetallananepreryvnyizakristallizovavšiisâslitok |