Про будову періодичних груп, скінченно породжені підгрупи яких або переставні, або пронормальні
Розглянуто періодичні групи, в яких скінченно породжені підгрупи або переставні, або пронормальні. Отримано повний опис таких груп. Рассмотрены периодические группы, у которых конечно порожденные подгруппы или переставляемые, или пронормальные. Получено полное описание таких групп. We consider perio...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49799 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про будову періодичних груп, скінченно породжені підгрупи яких або переставні, або пронормальні / Л.А. Курдаченко, Т.В. Єрмолкевич, I.Я. Субботiн // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 23-25. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49799 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Курдаченко, Л.А. Єрмолкевич, Т.В. Субботін, I.Я. 2013-09-28T01:15:22Z 2013-09-28T01:15:22Z 2012 Про будову періодичних груп, скінченно породжені підгрупи яких або переставні, або пронормальні / Л.А. Курдаченко, Т.В. Єрмолкевич, I.Я. Субботiн // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 23-25. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49799 512.544 Розглянуто періодичні групи, в яких скінченно породжені підгрупи або переставні, або пронормальні. Отримано повний опис таких груп. Рассмотрены периодические группы, у которых конечно порожденные подгруппы или переставляемые, или пронормальные. Получено полное описание таких групп. We consider periodic groups, whose finitely generated subgroups are either permutable or pronormal. The complete description of such groups is given. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про будову періодичних груп, скінченно породжені підгрупи яких або переставні, або пронормальні Про структуру периодических групп, конечно порожденные подгруппы которых или переставляемые, или пронормальные On the structure of periodic groups whose finitely generated subgroups are either permutable or pronormal Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про будову періодичних груп, скінченно породжені підгрупи яких або переставні, або пронормальні |
| spellingShingle |
Про будову періодичних груп, скінченно породжені підгрупи яких або переставні, або пронормальні Курдаченко, Л.А. Єрмолкевич, Т.В. Субботін, I.Я. Математика |
| title_short |
Про будову періодичних груп, скінченно породжені підгрупи яких або переставні, або пронормальні |
| title_full |
Про будову періодичних груп, скінченно породжені підгрупи яких або переставні, або пронормальні |
| title_fullStr |
Про будову періодичних груп, скінченно породжені підгрупи яких або переставні, або пронормальні |
| title_full_unstemmed |
Про будову періодичних груп, скінченно породжені підгрупи яких або переставні, або пронормальні |
| title_sort |
про будову періодичних груп, скінченно породжені підгрупи яких або переставні, або пронормальні |
| author |
Курдаченко, Л.А. Єрмолкевич, Т.В. Субботін, I.Я. |
| author_facet |
Курдаченко, Л.А. Єрмолкевич, Т.В. Субботін, I.Я. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2012 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про структуру периодических групп, конечно порожденные подгруппы которых или переставляемые, или пронормальные On the structure of periodic groups whose finitely generated subgroups are either permutable or pronormal |
| description |
Розглянуто періодичні групи, в яких скінченно породжені підгрупи або переставні, або пронормальні. Отримано повний опис таких груп.
Рассмотрены периодические группы, у которых конечно порожденные подгруппы или переставляемые, или пронормальные. Получено полное описание таких групп.
We consider periodic groups, whose finitely generated subgroups are either permutable or pronormal. The complete description of such groups is given.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49799 |
| citation_txt |
Про будову періодичних груп, скінченно породжені підгрупи яких або переставні, або пронормальні / Л.А. Курдаченко, Т.В. Єрмолкевич, I.Я. Субботiн // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 23-25. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT kurdačenkola probudovuperíodičnihgrupskínčennoporodženípídgrupiâkihaboperestavníabopronormalʹní AT êrmolkevičtv probudovuperíodičnihgrupskínčennoporodženípídgrupiâkihaboperestavníabopronormalʹní AT subbotíniâ probudovuperíodičnihgrupskínčennoporodženípídgrupiâkihaboperestavníabopronormalʹní AT kurdačenkola prostrukturuperiodičeskihgruppkonečnoporoždennyepodgruppykotoryhiliperestavlâemyeilipronormalʹnye AT êrmolkevičtv prostrukturuperiodičeskihgruppkonečnoporoždennyepodgruppykotoryhiliperestavlâemyeilipronormalʹnye AT subbotíniâ prostrukturuperiodičeskihgruppkonečnoporoždennyepodgruppykotoryhiliperestavlâemyeilipronormalʹnye AT kurdačenkola onthestructureofperiodicgroupswhosefinitelygeneratedsubgroupsareeitherpermutableorpronormal AT êrmolkevičtv onthestructureofperiodicgroupswhosefinitelygeneratedsubgroupsareeitherpermutableorpronormal AT subbotíniâ onthestructureofperiodicgroupswhosefinitelygeneratedsubgroupsareeitherpermutableorpronormal |
| first_indexed |
2025-11-24T16:13:06Z |
| last_indexed |
2025-11-24T16:13:06Z |
| _version_ |
1850484617803464704 |
| fulltext |
УДК 512.544
© 2012
Л.А. Курдаченко, Т.В. Єрмолкевич, I. Я. Субботiн
Про будову перiодичних груп, скiнченно породженi
пiдгрупи яких або переставнi, або пронормальнi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В. П. Моторним)
Розглянуто перiодичнi групи, в яких скiнченно породженi пiдгрупи або переставнi, або
пронормальнi. Отримано повний опис таких груп.
Вивчення впливу важливих природних систем пiдгруп на структуру групи було i є однiєю
з найвагомiших задач теорiї груп. За весь перiод її розвитку виникло декiлька важливих
пiдходiв. Один з найстарiших пiдходiв полягає в розглядi груп, усi власнi пiдгрупи яких
мають деяку спiльну властивiсть. Вiн випливає з класичних робiт Р. Дедекiнда [1], яким
були повнiстю описанi скiнченнi групи, всi пiдгрупи яких є нормальними, Г. Мiллера та
X. Морено [2], якi описали скiнченнi неабелевi групи, всi власнi пiдгрупи яких є абелевими,
та О.Ю. Шмiдта [3], який описав скiнченнi групи, всi власнi пiдгрупи яких нiльпотентнi.
Вказанi роботи зiграли дуже важливу роль у розвитку теорiї груп. Вони мали численнi
продовження та узагальнення, в яких властивiсть, що визначає систему (власних) пiдгруп,
ставала все ширшою, як у теорiї скiнченних груп (див., наприклад, [4, гл. VI), так i в теорiї
нескiнченних груп (див., наприклад, [5]).
Однак треба зазначити, що ситуацiї, коли всi пiдгрупи групи мають одну, нехай навiть
дуже широку, властивiсть, зустрiчаються не так вже й часто. Значно частiше пiдгрупи мо-
жуть мати цiлковито рiзнi властивостi, iнодi навiть протилежнi. Наприклад, групи можуть
мати одночасно як субнормальнi, так i самонормалiзованi пiдгрупи, нормальнi та абнор-
мальнi пiдгрупи i т. д. Говорячи образно, пiдгрупи та їх антиподи утворюють як би два
полюси, навколо яких та мiж якими розташованi iншi пiдгрупи. Чим менше таких промiж-
них пiдгруп, тим бiльш виразною, бiльш чiткою стає структура групи. Зокрема, природно
розглянути ситуацiю, коли серед пiдгруп групи присутнi тiльки пiдгрупи одного певного
типу та їх антиподи. Одним з перших цей пiдхiд почав реалiзовувати А. Фаттахi у роботi [6],
в якiй були описанi скiнченнi групи, кожна пiдгрупа яких або нормальна, або абнормальна.
Нагадаємо, що пiдгрупа H групи G називається абнормальною, якщо для будь-якого еле-
мента g iз G пiдгрупа 〈H,Hg〉 мiстить цей елемент g. Г. Эберт та С. Бауман [7] узагальнили
результати цiєї роботи, розглянувши скiнченнi групи, всi пiдгрупи яких або субнормаль-
нi, або абнормальнi. Вивчення нескiнченних груп з цiєю властивiстю проводилось пiзнiше
у роботi М. де Фалько, Л.А. Курдаченка, I.Я. Субботiна [8]. У цiй же роботi також були
розглянутi групи, всi пiдгрупи яких або субнормальнi, або контранормальнi. Наслiдуючи
Д. Роуса [9], пiдгрупу H групи G будемо називати контранормальною, якщо HG = G. Пi-
знiше в роботi Л.А. Курдаченка та X. Смiта [10] були розглянутi групи, всi пiдгрупи яких
або субнормальнi, або збiгаються зi своїм нормалiзатором. Абнормальнi пiдгрупи є частко-
вим випадком пронормальних пiдгруп. Пiдгрупа H групи G називається пронормальною,
якщо для будь-якого елемента g з G пiдгрупи H та Hg спряженi в 〈H,Hg〉. Вiдзначимо, що
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 23
мiж субнормальними i пронормальними пiдгрупами вже не iснує такого рiзкого контрасту,
як мiж субнормальними та абнормальними пiдгрупами. Пронормальна пiдгрупа може бути
субнормальною, але у цьому випадку вона буде нормальною. В роботах П. Леговiнi [11, 12]
дослiджувалися скiнченнi групи, всi пiдгрупи яких або субнормальнi, або пронормальнi.
В роботi [13] було розпочато вивчення нескiнченних груп такого роду. Нарiвнi з субнормаль-
ними, природним узагальненням нормальних пiдгруп будуть також i переставнi пiдгрупи.
Пiдгрупа H групи G називається переставною, якщо HK = KH для кожної пiдгрупи K
групи G. Вивчення переставних пiдгруп проводиться вже досить давно, у цiй областi отри-
мано багато рiзноманiтних цiкавих результатiв (див., наприклад, [14]). Ми розпочинаємо
вивчати групи, кожна пiдгрупа яких або переставна, або пронормальна. Бiльш того, ми
розглядаємо значно загальнiшу ситуацiю, точнiше вивчаємо групи, скiнченно породженi
пiдгрупи яких або переставнi, або пронормальнi. Треба зазначити, що в групах, скiнченно
породженi пiдгрупи яких є переставними, всi пiдгрупи переставнi. Групи, скiнченно пород-
женi пiдгрупи яких є пронормальними, вивчались I.Я. Субботiним та М.Ф. Кузенним [15].
У цiй роботi ми дослiджуємо локально скiнченнi групи, скiнченно породженi пiдгрупи яких
або переставнi, або пронормальнi.
Нехай G — група та нехай M = {H | H — нормальна пiдгрупа G, для якої G/H є ло-
кально нiльпотентною}.
Нагадаємо, що перетин L усiх пiдгруп системи M називається локально нiльпотентним
резидуалом групи G. Якщо група G є локально скiнченною, то не важко побачити, що
факторгрупа G/L є локально нiльпотентною.
Основним результатом роботи є така теорема.
Teoреmа A. Нехай G — локально скiнченна група, L — її локально нiльпотентний
резидуал та D — локально нiльпотентний радикал G. Якщо кожна скiнченно породжена
пiдгрупа G є пронормальною або переставною, то виконуються такi умови:
(i) комутант [G,G] є абелевою пiдгрупою;
(ii) D = L × Z, де Z — верхнiй гiперцентр групи G;
(iii) силовська p-пiдгрупа L є силовською p-пiдгрупою усiєї групи G для кожного прос-
того числа p ∈
∏
(L);
(iv) [L,G] = L, CL(G) = 〈1〉 та кожна пiдгрупа L є G-iнварiантною;
(v) G/L є гiперцентральною i кожна пiдгрупа G/L переставна.
Бiльш того:
(vi) якщо множина
∏
(G/D) мiстить два рiзних простих числа, то G/L є дедекiндовою
групою; у цьому випадку кожна скiнченно породжена пiдгрупа G пронормальна;
(vii) якщо факторгрупа G/D є нескiнченною p-групою для деякого простого числа p,
то G/L є дедекiндовою групою; у цьому випадку кожна скiнченно породжена пiдгрупа G
пронормальна;
(viii) якщо факторгрупа G/D є скiнченною p-групою для деякого простого числа p, a
факторгрупа G/L не є дедекiндовою, тодi G = A⋋P , де P — силовська p-пiдгрупа G, A —
дедекiндова група, а також P є обмеженою та скiнченною над центром i P/CP (A) —
скiнченна.
Наслiдок A1. Якщо G — локально скiнченна група, кожна скiнченно породжена пiд-
група якої є пронормальною або переставною, то кожна зростаюча пiдгрупа переставна.
Наслiдок A2. Якщо G — локально скiнченна група, кожна скiнченно породжена пiд-
група якої є пронормальною або переставною, то переставнiсть є транзитивним вiдно-
шенням для групи G.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
Наслiдок A3. Якщо G — локально скiнченна група, кожна скiнченно породжена пiд-
група якої є пронормальною або переставною, то кожна скiнченно породжена пiдгрупа G
пронормальна або G — група типу (viii) з теореми A.
Наслiдок A4. Якщо G — локально скiнченна група, кожна пiдгрупа якої є пронор-
мальною або переставною, то кожна пiдгрупа G є пронормальною або G — група типу
(viii) з теореми A.
1. Dedekind R. Über Gruppen, deren sammtliche Teiler Normalteilersind // Math. Ann. – 1897. – 48. –
P. 548–561.
2. Miller G.A., Moreno H. Non-abelian groups in which every subgroup is abelian // Amer. Math. Soc. –
1903. – 4. – P. 389–404.
3. Schmidt O.Yu. Groups whose all subgroups are special // Math. Sb. – 1924. – 31. – P. 366–372.
4. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. – Москва: Наука, 1978. – 278 с.
5. Dixon M.R., Subbotin I.Ya. Groups with finiteness conditions on some subgroup systems // Algebra and
discrete mathematics. – 2009. – No 4. – P. 29–54.
6. Fattahi A. Groups with only normal and abnormal subgroups // J. Algebra. – 1974. – 28, No 1. – P. 15–19.
7. Ebert G., Bauman S. A note of subnormal and abnormal chains // Ibid. – 1975. – 36. – P. 287–293.
8. De Falco M., Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya. Groups with only abnormal and subnormal subgroups //
Atti Semin. Mat. e Fis. Univ. Modena. – 1998. – 47. – P. 435–442.
9. Rose J. S. Nilpotent subgroups of finite soluble groups // Math. Z. – 1968. – 106. – P. 97–112.
10. Kurdachenko L.A., Smith H. Groups with all subgroups either subnormal or self-normalizing // J. Pure
and Appl. Algebra. – 2005. – 196. – P. 271–278.
11. Legovini P. Gruppi finite i cue sottogruppi sono o subnormali o pronormali // Rend. Semin. Mat. Univ.
Padova. – 1977. – 58. – P. 129–147.
12. Legovini P. Gruppi finite i cue sottogruppi sono o subnormali o pronormali // Ibid. – 1981. – 65. – P. 47–51.
13. Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya., Chupordya V.A. On some near to nilpotent groups // Fund. and appl.
math. – 2008. – 14, No 6. – P. 121–134.
14. Schmidt R. Subgroups lattices of groups. – Berlin: Walter de Gruyter, 1994. – 572 p.
15. Kuzennyi N. F., Subbotin I. Ya. New characterization of locally nilpotent IH-groups // Ukr. Mat. J. –
1988. – 40. – P. 322–326.
Надiйшло до редакцiї 20.04.2011Днiпропетровський нацiональний унiверситет
iм. Олеся Гончара
Л. A. Курдаченко, Т.В. Ермолкевич, И.Я. Субботин
Про структуру периодических групп, конечно порожденные
подгруппы которых или переставляемые, или пронормальные
Рассмотрены периодические группы, у которых конечно порожденные подгруппы или пере-
ставляемые, или пронормальные. Получено полное описание таких групп.
L.A. Kurdachenko, T. V. Ermolkevich, I. Ya. Subbotin
On the structure of periodic groups whose finitely generated subgroups
are either permutable or pronormal
We consider periodic groups, whose finitely generated subgroups are either permutable or pronormal.
The complete description of such groups is given.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 25
|