Застосування проекційно-ітеративного методу до багатоточкових задач для диференціальних рівнянь з параметрами та запізненням
Обгрунтовано застосування проекційно-ітеративного методу до розв'язання багатоточкових задач для диференціальних рівнянь з параметрами та запізненням. Обосновано применение проекционно-итеративного метода к решению многоточечных задач для дифференциальных уравнений с параметрами и запаздыванием...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49800 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Застосування проекційно-ітеративного методу до багатоточкових задач для диференціальних рівнянь з параметрами та запізненням / В.В. Листопадова // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 26-31. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860147549896179712 |
|---|---|
| author | Листопадова, В.В. |
| author_facet | Листопадова, В.В. |
| citation_txt | Застосування проекційно-ітеративного методу до багатоточкових задач для диференціальних рівнянь з параметрами та запізненням / В.В. Листопадова // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 26-31. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Обгрунтовано застосування проекційно-ітеративного методу до розв'язання багатоточкових задач для диференціальних рівнянь з параметрами та запізненням.
Обосновано применение проекционно-итеративного метода к решению многоточечных задач для дифференциальных уравнений с параметрами и запаздыванием.
The application of the projection-iterative method to the multipoint problems for parametric differential equations with delay is substantiated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:50:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.927.6
© 2012
В.В. Листопадова
Застосування проекцiйно-iтеративного методу
до багатоточкових задач для диференцiальних рiвнянь
з параметрами та запiзненням
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
Обгрунтовано застосування проекцiйно-iтеративного методу до розв’язання багато-
точкових задач для диференцiальних рiвнянь з параметрами та запiзненням.
У даний час багатоточковi задачi для диференцiально-рiзницевих рiвнянь з параметрами
знаходять все бiльш широке застосування в рiзних областях природознавства. Оскiльки
побудувати точний розв’язок таких задач в бiльшостi випадкiв неможливо, то вагомого
значення набуває питання побудови ефективних наближених методiв їх розв’язування. Се-
ред них широке поширення отримали проекцiйно-iтеративнi методи [1–3], якi поєднують
в собi iдеї як проекцiйних, так i iтеративних методiв.
У даному повiдомленнi розглядається застосування проекцiйно-iтеративного методу до
задачi
y(m)(x) +
m
∑
τ=1
gτ (x)y
(m−τ)(x) +
m
∑
τ=1
dτ (x)y
(m−τ)(x−∆) = f(x) + c(x)λ, x ∈ (a, b), (1)
y(xs) = αs, αs ∈ R, s = 1, p, a = x1 < x2 < · · · < xs < · · · < xp = b, (2)
y(x−∆) = y′(x−∆) = · · · = y(m−1)(x−∆) = 0, x ∈ (a, c), c = a+∆, (3)
в якiй c(x)λ — скалярний добуток вектора λ = (λ1, λ2, . . . , λl) i вектор-функцiї
c(x) = (c1(x),c2(x), . . . , cl(x)), l = p−m.
Припустимо, що функцiї c(x), gτ (x), dτ (x), τ = 1,m, є неперервними на (a, b), f ∈ L2(a, b).
У роботi [4] вiдзначалося, що задачу (1)–(3) можна подати у виглядi
(Ay)(x) = f(x) + c(x)λ+ (By)(x),
y(xs) = αs, s = 1, p,
(4)
де
(Ay)(x) = y(m)(x) +
m
∑
τ=1
aτ (x)y
(m−τ)(x),
(By)(x) =
m
∑
τ=1
rτ (x)y
(m−τ)(x)−
0, x ∈ (a, c),
m
∑
τ=1
dτ (x)y
(m−τ)(x−∆), x ∈ [c, b),
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
rτ (x) = aτ (x)− gτ (x), τ = 1,m.
Також у [4] показано, що за допомогою замiни
(Ay)(x) = u(x), y(xs) = αs, s = 1, p, (5)
задача (4) зводиться до рiвносильного iнтегрального рiвняння Фредгольма другого роду.
Розглянемо, в чому полягає суть проекцiйно-iтеративного методу щодо задачi (1)–(3).
Нехай {ψi(x)}, i = 1, n, — задана система лiнiйно незалежних функцiй iз L2(a, b). Наближенi
розв’язки задачi (1)–(3) визначаємо за формулами
(Ayk)(x) = f(x) + c(x)λk + (Bzk)(x),
yk(xs) = αs, s = 1, p, k ∈ N,
(6)
де
zk(x) = yk−1(x) + αk(x), (7)
αk(x) =
n
∑
j=1
akj ηj(x), (8)
невiдомi коефiцiєнти akj = akj (n) знаходимо з умови
b
∫
a
{(Ayk(x)− (Azk)(x))}ψi(x) dx = 0, i = 1, n. (9)
Системи функцiй {ηj(x)} i {ϕj(x)}, j = 1, n, зв’язанi спiввiдношенням
(Aηj)(x) = ϕj(x), ηj(a) = ηj(b) = 0, j = 1, n. (10)
Нехай
ϑk(x) = f(x) + (Byk−1)(x), k ∈ N, (11)
γj(x) = (Bηj)(x), j = 1, n. (12)
Тодi формула (6) з урахуванням (11), (12) набуде вигляду
(Ayk)(x) = ϑk(x) + c(x)λk +
n
∑
j=1
akj γj(x),
yk(xs) = αs, s = 1, p.
(13)
Нехай µj(x), ζk(x), ξ(x) — розв’язки таких допомiжних задач вiдповiдно:
(Aµj)(x) = γj(x), µj(xs) = 0, s = 1, p, j = 1, n, (14)
(Aζk)(x) = ϑk(x), ζk(xs) = αs, s = 1, p, k ∈ N, (15)
(Aξ)(x) = c(x), ξ(xs) = 0, s = 1, p. (16)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 27
На основi формул (14)–(16) шукане наближення, яке визначаємо iз задачi (13), матиме
вигляд
yk(x) = ζk(x) + ξ(x)λk +
n
∑
j=1
akjµj(x). (17)
Пiдставивши (17) у спiввiдношення (9) i врахувавши умову
αs = yk(xs) = ζk(xs) + ξ(xs)λk +
n
∑
j=1
akjµj(xs), s = 2, p − 1,
яка випливає з умови задачi i виразу (17), для визначення невiдомих коефiцiєнтiв akj , j =
= 1, n, i параметрiв λk одержимо систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
Pρ
k
= θk, (18)
в якiй
P =
β11 β12 . . . β1n l11 l12 . . . l1e
β21 β22 . . . β2n l21 l22 . . . l2e
...
...
βn1 βn2 . . . βnn ln1 ln2 . . . lne
β11 β12 . . . β1n l11 l12 . . . l1e
β21 β22 . . . β2n l21 l22 . . . l2e
...
...
βe1 βe2 . . . βen le1 le2 . . . lee
, (19)
ρk = (ak1 , a
k
2 , . . . , a
k
n, λ
k
1 , λ
k
2 , . . . , λ
k
e)
⊥, θk = (bk1 , b
k
2 , . . . , b
k
n, d
k
1 , d
k
2 , . . . , d
k
e )
⊥, (20)
βij =
b
∫
a
{ϕi(x)− γj(x)}ψi(x) dx, i, j = 1, n, (21)
liν = −
b
∫
a
cν(x)ψi(x) dx, i = 1, n, ν = 1, l, (22)
βsj = µj(xs+1), lsν = ξν(xs+1), s = 1, l, (23)
bki =
b
∫
a
εk(x)ψi(x) dx, εk(x) = ϑk(x)− (Ayk−1)(x), (24)
dks = αs+1 − ζk(xs+1). (25)
Якщо система рiвнянь (18) має єдиний розв’язок, то функцiя zk(x) i параметр λk визна-
чаються однозначно. Пiдставивши їх значення в (6) i розв’язавши вказану задачу, одержимо
шукане наближення yk(x).
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
Для дослiдження збiжностi проекцiйно-iтеративного методу зведемо алгоритм (6)–(10)
до проекцiйно-iтеративного методу для iнтегрального рiвняння Фредгольма. Для цього зро-
бимо замiну
(Ayk)(x) = uk(x), yk(xs) = αs, s = 1, p. (26)
Врахувавши формули (7), (8), (10), (26), матимемо спiввiдношення
(Azk)(x) = uk−1(x) + ωk(x), zk(xs) = αs, s = 1, p, (27)
де
ωk(x) =
n
∑
j=1
akjϕj(x). (28)
Знайдемо розв’язок задачi (27)
zk(x) = h(x) +
b
∫
a
G(x, t)[uk−1(t) + ωk(t)] dt, x ∈ (a, b),
i пiдставимо його у спiввiдношення (6), (9), пiсля чого одержимо
uk(x) = l(x) + c(x)λk +
b
∫
a
K(x, t)[uk−1(t) + ωk(t)] dt, (29)
b
∫
a
G(xs, t)uk(t)dt = αs − h(xs), s = 2, p− 1, (30)
b
∫
a
{uk(x)− uk−1(x)− ωk(x)}ψi(x) dx = 0, i = 1, n, (31)
де
l(x) = f(x) + (Bh)(x),
K(x, t) =
m
∑
τ=1
rτ (x)G
(m−τ)(x)−
0, x ∈ (a, c),
m
∑
τ=1
dτ (x)G
(m−τ)(x−∆, t), x ∈ [c, b), t ∈ (a, b).
Пiдставивши (29) в (30), матимемо систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
Cλk = dk,
де
C = {csτ}, csτ =
b
∫
a
G(xs+1, t)cτ (t) dt, s = 1, l, τ = 1, l, dk = (dk1 , d
k
2 , . . . , d
k
l ),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 29
dsk = αs+1 − h(xs+1)−
b
∫
a
G(xs+1, t)l(t) dt −
b
∫
a
b
∫
a
G(xs+1, t)K(t, ζ){uk−1(ζ) + ωk(ζ)} dζdt,
s = 1, l.
Виключимо з неї параметр λk
λk = C−1dk,
i пiдставимо його в (29), одержимо
uk(x) = g(x) +
b
∫
a
M(x, t){uk−1(t) + ωk(t)} dt, (32)
де
g(x) = l(x) + c(x)C−1p, M(x, t) = K(x, t) + c(x)C−1D(t),
p,D(t) — вектор i вектор-функцiя вiдповiдно, компоненти яких мають вигляд
ps = αs+1 − h(xs+1)−
b
∫
a
G(xs+1, t)l(t) dt,
Ds(t) = −
b
∫
a
G(xs+1, ζ)K(ζ, t) dζ, s = 1, l.
Таким чином, збiжнiсть проекцiйно-iтеративного методу (6)–(10) розв’язання задачi (1)–
(3) зводиться до збiжностi проекцiйно-iтеративного методу (32), (28), (31) розв’язання iн-
тегрального рiвняння Фредгольма другого роду. Використавши результати [3], одержимо
таке твердження.
Теорема. Якщо одиниця не є точкою спектра iнтегрального оператора (Mu)(x) =
=
b
∫
a
M(x, t)u(t) dt, системи функцiй {ϕi(x)} i {ψi(x)} задовольняють умову Польського
i перша система є повною в L2(a, b), то знайдеться такий номер n, при якому проек-
цiйно-iтеративний метод (6)–(10) збiгається, i швидкiсть збiжностi збiльшується зi
зростанням n.
Обчислення за алгоритмом (6)–(10) можна провести таким чином. Задаємо лiнiйно неза-
лежнi системи функцiй {ϕi(x)}, {ψi(x)}, i = 1, n, i з задачi (10) знаходимо систему функцiй
{ηj(x)}. Обчислюємо функцiї
γj(x) = (Bηj)(x).
Розв’язуючи допомiжнi задачi (14), (16), знаходимо µj(x), ξ(x). Обчислюємо елементи βij ,
liυ, βsj , lsυ матрицi P за формулами (21)–(23) i знаходимо її обернену P−1. Пiсля цього
переходимо до реалiзацiї основної обчислюваної схеми.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
Нехай наближення yk−1(x) вже побудовано. Обчислюємо функцiю uk−1(x) = (Ayk−1)(x).
Виконавши iтерацiю
ϑk = f(x) + (Byk−1)(x),
розв’язуємо допомiжну задачу
(Aζk)(x) = ϑk(x), ζk(xs) = αs, s = 1, p,
i знаходимо нев’язку
εk(x) = ϑk(x)− uk−1(x).
Формуємо вектор θk = (bk1 , b
k
2 , . . . , b
k
n, d
k
1 , d
k
2 , . . . , d
k
l )
⊥, координати якого обчислюємо за
формулами (24), (25).
Складаємо систему рiвнянь Pρk = θk, знаходимо її розв’язок
ρk = P−1θk = (ak1 , a
k
2 , . . . , a
k
n, λ
k
1 , λ
k
2 , . . . , λ
k
l )
⊥
i будуємо шукане наближення
yk(x) = ζk(x) + ξ(x)λk +
n
∑
j=1
akjµj(x).
Виконавши нескладнi перетворення, можна встановити рiвносильнiсть даної обчислю-
ваної схеми алгоритму (6)–(10).
1. Соколов Ю.Д. Метод осреднения функциональных поправок. – Киев: Наук. думка, 1967. – 336 с.
2. Курпель Н.С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений. – Киев: Наук.
думка, 1968. – 244 с.
3. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы решения дифференциальных и интегральных урав-
нений. – Киев: Наук. думка, 1980. – 264 с.
4. Листопадова В. В. Про одну багатоточкову задачу для диференцiальних рiвнянь з вiдхиленням ар-
гумента i параметрами // Доп. НАН України. – 2011. – № 4. – С. 30–33.
Надiйшло до редакцiї 30.06.2011НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
В.В. Листопадова
Применение проекционно-итеративного метода к многоточечным
задачам для дифференциальных уравнений с параметрами
и запаздыванием
Обосновано применение проекционно-итеративного метода к решению многоточечных за-
дач для дифференциальных уравнений с параметрами и запаздыванием.
V.V. Listopadova
Application of the projection-iteration method to multipoint problems
for parametric differential equations with delay
The application of the projection-iterative method to the multipoint problems for parametric diffe-
rential equations with delay is substantiated.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 31
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49800 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:50:40Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Листопадова, В.В. 2013-09-28T01:17:09Z 2013-09-28T01:17:09Z 2012 Застосування проекційно-ітеративного методу до багатоточкових задач для диференціальних рівнянь з параметрами та запізненням / В.В. Листопадова // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 26-31. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49800 517.927.6 Обгрунтовано застосування проекційно-ітеративного методу до розв'язання багатоточкових задач для диференціальних рівнянь з параметрами та запізненням. Обосновано применение проекционно-итеративного метода к решению многоточечных задач для дифференциальных уравнений с параметрами и запаздыванием. The application of the projection-iterative method to the multipoint problems for parametric differential equations with delay is substantiated. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Застосування проекційно-ітеративного методу до багатоточкових задач для диференціальних рівнянь з параметрами та запізненням Применение проекционно-итеративного метода к многоточечным задачам для дифференциальных уравнений с параметрами и запаздыванием Application of the projection-iteration method to multipoint problems for parametric differential equations with delay Article published earlier |
| spellingShingle | Застосування проекційно-ітеративного методу до багатоточкових задач для диференціальних рівнянь з параметрами та запізненням Листопадова, В.В. Математика |
| title | Застосування проекційно-ітеративного методу до багатоточкових задач для диференціальних рівнянь з параметрами та запізненням |
| title_alt | Применение проекционно-итеративного метода к многоточечным задачам для дифференциальных уравнений с параметрами и запаздыванием Application of the projection-iteration method to multipoint problems for parametric differential equations with delay |
| title_full | Застосування проекційно-ітеративного методу до багатоточкових задач для диференціальних рівнянь з параметрами та запізненням |
| title_fullStr | Застосування проекційно-ітеративного методу до багатоточкових задач для диференціальних рівнянь з параметрами та запізненням |
| title_full_unstemmed | Застосування проекційно-ітеративного методу до багатоточкових задач для диференціальних рівнянь з параметрами та запізненням |
| title_short | Застосування проекційно-ітеративного методу до багатоточкових задач для диференціальних рівнянь з параметрами та запізненням |
| title_sort | застосування проекційно-ітеративного методу до багатоточкових задач для диференціальних рівнянь з параметрами та запізненням |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49800 |
| work_keys_str_mv | AT listopadovavv zastosuvannâproekcíinoíterativnogometodudobagatotočkovihzadačdlâdiferencíalʹnihrívnânʹzparametramitazapíznennâm AT listopadovavv primenenieproekcionnoiterativnogometodakmnogotočečnymzadačamdlâdifferencialʹnyhuravneniisparametramiizapazdyvaniem AT listopadovavv applicationoftheprojectioniterationmethodtomultipointproblemsforparametricdifferentialequationswithdelay |