О законе возрастания энтропии технологического процесса
Обосновано применение статистического подхода для описания закономерностей поведения макропараметров технологического процесса. Приведено выражение для энтропии технологического процесса. Установлен механизм необратимости технологических явлений производственно-технических систем, который обусловлен...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49802 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О законе возрастания энтропии технологического процесса / Н.А. Азаренков, О.М. Пигнастый, В.Д. Ходусов // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 32-37. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859702588411215872 |
|---|---|
| author | Азаренков, Н.А. Пигнастый, О.М. Ходусов, В.Д. |
| author_facet | Азаренков, Н.А. Пигнастый, О.М. Ходусов, В.Д. |
| citation_txt | О законе возрастания энтропии технологического процесса / Н.А. Азаренков, О.М. Пигнастый, В.Д. Ходусов // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 32-37. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Обосновано применение статистического подхода для описания закономерностей поведения макропараметров технологического процесса. Приведено выражение для энтропии технологического процесса. Установлен механизм необратимости технологических явлений производственно-технических систем, который обусловлен взаимодействием предметов труда с технологическим оборудованием. На основе модельного представления о стохастическом характере воздействия технологического оборудования на предметы труда получен закон возрастания энтропии для замкнутой производственно-технической системы.
Обгрунтовано застосування статистичного підходу для опису закономірностей поведінки макропараметрів технологічного процесу. Наведено вираз для ентропії технологічного процесу. Показано механізм необоротності технологічних явищ виробничо-технічних систем. З використанням модельного уявлення про стохастичний характер взаємодії технологічного обладнання та предметів праці доведено закон зростання ентропії для замкнутої виробничо-технічної системи. Необоротність технологічних явищ полягає у взаємодії предметів праці з технологічним обладнанням.
The application of a statistical approach to the description of regularities of a behavior of macroparameters of a technological process is substantiated. The formula for the entropy of a technological process is deduced. A mechanism of irreversibility of technological phenomena is presented. With the use of a model idea of the stochastic character of the interaction of technological facilities and the objects of labor, the entropy increase law for a closed productive-technical system is proved. The irreversibility of technological phenomena is related to the interaction of the objects of labor and technological facilities.
|
| first_indexed | 2025-12-01T01:42:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2012
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 658.51.012
© 2012
Член-корреспондент НАН Украины Н.А. Азаренков,
О.М. Пигнастый, В.Д. Ходусов
О законе возрастания энтропии технологического
процесса
Обосновано применение статистического подхода для описания закономерностей пове-
дения макропараметров технологического процесса. Приведено выражение для энтро-
пии технологического процесса. Установлен механизм необратимости технологических
явлений производственно- технических систем, который обусловлен взаимодействием
предметов труда с технологическим оборудованием. На основе модельного представле-
ния о стохастическом характере воздействия технологического оборудования на пред-
меты труда получен закон возрастания энтропии для замкнутой производственно-тех-
нической системы.
Впервые на важность применения энтропийных методов в теории управления указал Дж.
фон Нейман [1]. В работах А.А. Красовского освещены основы термодинамического подхода
к задачам управления и анализу сложных стохастических динамических систем [2]. Энтро-
пийный подход к моделированию технологических процессов детально рассмотрен в [3, 4].
Зависимость энтропии технологического процесса от функции распределения параметров
технологического процесса по возможным состояниям x показана в [3]
HΩ =
∞∫
0
f(t, x) ln
(
e
f(t, x)
)
dx, (1)
где функция f(t, x) в явной форме не связана с параметрами, описывающими состояние
предметов труда в ходе технологической обработки. В то же время современные тради-
ционные подходы к построению моделей технологических процессов, фундамент которых
заложен в работах [5–7], основаны на особенностях движения предметов труда по техно-
логическому маршруту.
В связи с этим актуальным является построение моделей технологического процесса,
в которых энтропия производственно-технической системы связана с функцией распреде-
ления предметов труда по состояниям, а также статистическое обоснование закона возрас-
тания энтропии технологического процесса, основанное на кинетическом уравнении, опи-
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
сывающем эволюцию функции распределения предметов труда по состояниям. Поэтому це-
лью настоящей работы является статистическое обоснование закона возрастания энтропии
технологического процесса, основанное на модельных представлениях характера взаимо-
действия предметов труда и технологического оборудования.
В качестве функции состояния технологического процесса введем функцию HΩ, харак-
теризующую меру его неопределенности [3, 4, 8]:
HΩ =
∞∫
0
χ(t, S, µ) ln
(
e
χ(t, S, µ)
)
dµ. (2)
Энтропия технологического процесса HΩ (1) записана через функцию распределения
χ(t, S, µ) предметов труда по микросостояниям, где S и µ — соответственно усредненные
по бесконечно малой ячейке фазового технологического пространства ∆Ω характеристи-
ки состояния предметов труда Sj , µj, представляющие затраты, перенесенные на предмет
труда и интенсивность переноса технологических ресурсов на предмет труда. Функция рас-
пределения предметов труда по микросостояниям определяется кинетическим уравнением
технологического процесса [9]
∂χ(t, S, µ)
∂t
+
∂χ(t, S, µ)
∂S
µ+
∂χ(t, S, µ)
∂µ
f(t, S) =
= λ(t, S)
{ ∞∫
0
ψ(t, S, µ)µ̃χ(t, S, µ̃) dµ̃ − µχ(t, S, µ)
}
,
χ(t, S, 0) = 0, χ(t, S,∞) → 0.
(3)
Производственная функция [7] обобщенной единицы технологического оборудования f(t, S)
определяется из способа производства. Оборудование воздействует на предмет труда, изме-
няя его качественно и количественно. Учитывает вероятностный характер воздействия тех-
нологического оборудования на предмет труда функция ψ(t, S, µ), определяющая вероят-
ность того, что после воздействия технологического оборудования на предмет труда ско-
рость переноса затрат станет равной µ. Определим моменты [ψ]k и [χ]k функции ψ(t, S, µ)
и следующими выражениями:
∞∫
0
ψ(t, S, µ) dµ = 1,
∞∫
0
µkψ(t, S, µ) dµ = [ψ]k, k = 1, 2 . . . , (4)
∞∫
0
χ(t, S, µ) dµ = [χ]0,
∞∫
0
µkχ(t, S, µ) dµ = [χ]k. (5)
Если функция ψ(t, S, µ) не зависит от состояния предметов труда до испытания воз-
действия со стороны технологического оборудования, то уравнение (1) примет вид:
∂χ(t, S, µ)
∂t
+
∂χ(t, S, µ)
∂S
µ+
∂χ(t, S, µ)
∂µ
f(t, S) = λ(t, S){ψ(t, S, µ)[χ]1 − µχ(t, S, µ)}. (6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 33
На основе (5) изменение энтропии технологического процесса со временем может быть опре-
делено
dHΩ
dt
=
d
dt
∞∫
0
χ(t, S, µ) ln
(
e
χ(t, S, µ)
)
dµ =
= −
∞∫
0
λ(t, S){ψ(t, S, µ)[χ]1 − µχ(t, S, µ)} lnχ(t, S, µ) dµ. (7)
Состояние статистического равновесия полностью симметрично относительно замены
будущего настоящим. При изменении знака времени необходимо переставить состояния до
воздействия и после воздействия технологического оборудования на предмет труда. Следо-
вательно, мы можем утверждать, что в состоянии статистического равновесия число взаи-
модействий продуктов труда с технологическим оборудованием µχ(t, S, µ) при переходе в со-
стояние ψ(t, S, µ)[χ]1 (прямой процесс) равно числу взаимодействий предметов с техноло-
гическим оборудованием ψ∗(t, S, µ∗)[χ]∗1 при переходе в состояние µ∗χ∗(t, S, µ∗) (обратный
процесс). Правую часть уравнения (7), которая описывает прямой процесс при переходе
предмета труда в состояние ψ(t, S, µ)[χ]1, обозначим Jpr. Если провести замену µχ(t, S, µ)
на µ∗χ∗(t, S, µ∗) и ψ(t, S, µ)[χ]1 на ψ∗(t, S, µ∗)[χ]∗1, то для обратного процесса можно записать
Jobr = −
∞∫
0
λ(t, S){ψ∗(t, S, µ∗)[χ]∗1 − µ∗χ∗(t, S, µ∗)} ln
(
ψ∗(t, S, µ∗)[χ]∗1
µ∗
)
dµ. (8)
Правую часть уравнения (7) можно представить в следующем виде:
J =
Jpr + Jobr
2
= −
1
2
∞∫
0
λ(t, S){ψ(t, S, µ)[χ]1 − µχ(t, S, µ)} lnχ(t, S, µ) dµ −
−
1
2
∞∫
0
λ(t, S){ψ∗(t, S, µ∗)[χ]∗1 − µ∗χ∗(t, S, µ∗)} ln
(
ψ∗(t, S, µ∗)[χ]∗1
µ∗
)
dµ. (9)
С применением соотношения
µ∗ = −µ, χ∗(t, S, µ∗) = χ(t, S, µ), [χ]∗1 = −[χ]1, ψ∗(t, S, µ∗) = ψ(t, S, µ) (10)
интеграл (7) может быть записан окончательно в виде:
dHΩ
dt
= −
1
2
∞∫
0
λ(t, S)ψ(t, S, µ)[χ]1
{
1−
µχ(t, S, µ)
ψ(t, S, µ)[χ]1
}
ln
χ(t, S, µ)µ
ψ(t, S, µ)[χ]1
dµ > 0. (11)
Подынтегральное выражение, а следовательно и весь интеграл, положителен. Действитель-
но, величина λ(t, S)ψ(t, S, µ)[χ]1 положительна по определению. Функция же вида (1−y) ln y
положительна при всех y > 0, поскольку ln y > 0 при y > 1 и ln y < 0 при y < 1. Таким обра-
зом, приходим к закону возрастания энтропии для технологического процесса. Равенство
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
выполняется только для квазистатических процессов, когда макропараметры технологи-
ческого процесса находятся в состоянии установившегося равновесия:
dHΩ
dt
= 0. (12)
Средние значения параметров технологического процесса, определяемые через функцию
распределения предметов труда по микросостояниям χ(t, S, µ) [2, 3, 9], могут быть опреде-
лены как для равновесного, так и для неравновесного состояния технологического процесса.
Функция распределения χ(t, S, µ) характеризует степень неполноты задания микросостоя-
ний ансамбля предметов труда. При этом возможно выделить два предельных случая:
а) технологический процесс находится в равновесном состоянии с заданными межопера-
ционными заделами и темпом выпуска продукции. Состояние предметов труда определяется
набором параметров технологического оборудования и параметрами системы управления
запасами предприятия. Число задаваемых параметров технологического процесса много
меньше полного числа степеней свободы предметов труда, находящихся в технологическом
процессе (для технологического процесса с N предметов труда число степеней свободы
производственно-технической системы равно 2N);
б) предполагается, что в начальный момент функционирования технологического про-
цесса для каждого предмета труда известны координаты S и µ в фазовом технологическом
пространстве (S, µ). В этом случае из уравнений Эйлера
d
dt
∂I
∂Ṡi
=
∂I
∂Si
, i = 1, . . . , N, (13)
описывающего перемещение предмета труда вдоль технологического маршрута производ-
ственно-технической системы с целевой функцией I(S, µ), можно однозначно найти значе-
ния координат S и µ в произвольный момент времени. Поэтому функция распределения
предметов труда по микросостояниям χ(t, S, µ) для технологического процесса представи-
ма в виде
χ(t, S, µ) =
N∑
j=1
δj(Sj − Sj(Sj0, t− t0)). (14)
Первый случай соответствует максимальной неопределенности состояния предметов
труда, а второй — полному динамическому описанию изменения параметров состояния пре-
дметов труда технологического процесса, при котором неопределенность состояния пред-
метов труда равна нулю. Между этими предельными случаями есть огромное множество
различных вариантов функционирования технологического процесса, соответствующих той
или иной степени неопределенности его состояния. Для неравновесных технологических
процессов различные степени неопределенности производственно-технической системы со-
ответствуют различным стадиям релаксационных процессов. Производственная практи-
ка показывает, что релаксационные технологические процессы являются необратимыми.
В то же время исходные уравнения Эйлера (13) являются обратимыми. Формально это
проявляется в том, что уравнения Эйлера остаются неизменными при замене
t→ −t, µj → −µj (j = 1, 2, . . . , N). (15)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 35
Вопрос о том, на какой стадии и по каким причинам исходные уравнения Эйлера (13) за-
меняются необратимыми уравнениями, является одним из важных вопросов, возникающих
при исследовании социально-экономических и производственно-технических систем.
Основным фактором, приводящим к необратимости, является неустойчивость (расходи-
мость) технологических траекторий предметов труда [3, 9]. При точном задании начальных
условий Sj(t0) в момент времени t0 можно однозначно предсказать состояние предмета тру-
да Sj(t) в произвольный момент времени t. При задании начальных условий для предметов
труда Sj(t0) с небольшой погрешностью ∆Sj(t0) возможны следующие ситуации:
а) расхождение траекторий ∆Sj(t) с начальными условиями ∆Sj(t0) в любой последую-
щий момент времени t остается малым lim
t→∞
∆Sj(t) → 0;
б) расхождение траекторий ∆Sj(t) становится сколь угодно большим | lim
t→∞
∆Sj(t)| → ∞.
В последнем случае говорят о неустойчивости поведения микропараметров предметов
труда. Можно утверждать, что в фазовом технологическом пространстве (S, µ) происходит
перемешивание фазовых технологических траекторий. Если расходимость траекторий про-
исходит по экспоненциальному закону, то имеет место стохастизация. Последнее означает,
что, с точки зрения динамической теории, траектории движения предметов труда в фа-
зовом технологическом пространстве (S, µ) становятся непредсказуемыми. Вследствие не-
предсказуемости технологической траектории предмета труда становится возможным лишь
статистическое предсказание наиболее вероятного поведения средних характеристик техно-
логического процесса.
Впервые на роль неустойчивости движения и фактора перемешивания в возникнове-
нии необратимости явлений указал Н.С. Крылов. Для оценки меры неустойчивости ди-
намической системы из N объектов А.Н. Колмогоров ввел специальную характеристику,
получившую название энтропии Крылова–Колмогорова, или К-энтропии. Для технологи-
ческого процесса К-энтропия определяется формулой
k(t) =
1
t
ln
(√√√√
N∑
j=1
(∆Sj(t))2
/√√√√
N∑
j=1
(∆Sj(0))2
)
(j = 1, 2, . . . , N ). (16)
Если движение предметов труда по технологическому маршруту является асимптоти-
чески устойчивым, то lim
t→∞
∆Sj(t) → 0 и lim
t→∞
k(t) → 0.
Таким образом, необратимость явлений при движении предметов труда по технологичес-
кому маршруту заключается во взаимодействии предметов труда с технологическим обору-
дованием. Траектории движения предметов труда в фазовом технологическом пространстве
(S, µ) после взаимодействия с технологическим оборудованием оказываются непредсказуе-
мыми. Становится возможным лишь статистическое предсказание. При этом важным яв-
ляется нахождение наиболее вероятных значений параметров технологического процесса.
Таким образом, на основании понятия энтропии технологического процесса [3, 4] в рабо-
те доказан закон возрастания энтропии для замкнутой производственно-технической сис-
темы. Постоянство энтропии характеризует квазистатические технологические процессы,
являющиеся идеализацией реальных технологических процессов производственно-техни-
ческих систем.
1. Нейман Дж. Теория самовоспроизводящих автоматов. – Москва: Мир, 1971. – 382 с.
2. Красовский А.А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. – Москва:
Наука, 1974. – 232 с.
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
3. Петров Б.Н., Уланов Г.М., Гольденблат И.И., Ульянов С.В. Теории моделей в процессах управле-
ния (информационный и термодинамический аспекты). – Москва: Наука, 1978. – 224 с.
4. Прангишвили И.В. Энтропийные и другие системные закономерности: Вопросы управления слож-
ными системами. – Москва: Наука, 2003. – 428 с.
5. Шкурба В. В. и др. Планирование дискретного производства в условиях АСУ. – Киев: Техника, 1975. –
296 с.
6. Первозванский А.А. Математические методы в управлении производством. – Москва: Наука, 1975. –
616 с.
7. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. – Москва: Наука, 1978. – 356 с.
8. Faber M., Niemes H., Stephan G. Entropy, environment and resources. An essay in physico-economics. 2nd
ed. – Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1995. – 205 p.
9. Пигнастый О.М. Статистическая теория производственных систем. – Харьков: Изд-во Харьк. нац.
ун-та им. В.Н. Каразина, 2007. – 388 с.
Поступило в редакцию 17.05.2011Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина После доработки — 13.12.2011
Член-кореспондент НАН України Н.А. Азаренков, О.М. Пiгнастий,
В.Д. Ходусов
Про закон зростання ентропiї технологiчного процесу
Обгрунтовано застосування статистичного пiдходу для опису закономiрностей поведiнки
макропараметрiв технологiчного процесу. Наведено вираз для ентропiї технологiчного про-
цесу. Показано механiзм необоротностi технологiчних явищ виробничо-технiчних систем.
З використанням модельного уявлення про стохастичний характер взаємодiї технологiч-
ного обладнання та предметiв працi доведено закон зростання ентропiї для замкнутої ви-
робничо-технiчної системи. Необоротнiсть технологiчних явищ полягає у взаємодiї пред-
метiв працi з технологiчним обладнанням.
Corresponding Member of the NAS of Ukraine N.A. Azarenkov, O.M. Pignasty,
V.D. Khodusov
On the entropy increase law for a technological process
The application of a statistical approach to the description of regularities of a behavior of macropa-
rameters of a technological process is substantiated. The formula for the entropy of a technological
process is deduced. A mechanism of irreversibility of technological phenomena is presented. With
the use of a model idea of the stochastic character of the interaction of technological facilities and
the objects of labor, the entropy increase law for a closed productive-technical system is proved.
The irreversibility of technological phenomena is related to the interaction of the objects of labor
and technological facilities.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 37
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49802 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T01:42:55Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Азаренков, Н.А. Пигнастый, О.М. Ходусов, В.Д. 2013-09-28T01:19:18Z 2013-09-28T01:19:18Z 2012 О законе возрастания энтропии технологического процесса / Н.А. Азаренков, О.М. Пигнастый, В.Д. Ходусов // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 32-37. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49802 658.51.012 Обосновано применение статистического подхода для описания закономерностей поведения макропараметров технологического процесса. Приведено выражение для энтропии технологического процесса. Установлен механизм необратимости технологических явлений производственно-технических систем, который обусловлен взаимодействием предметов труда с технологическим оборудованием. На основе модельного представления о стохастическом характере воздействия технологического оборудования на предметы труда получен закон возрастания энтропии для замкнутой производственно-технической системы. Обгрунтовано застосування статистичного підходу для опису закономірностей поведінки макропараметрів технологічного процесу. Наведено вираз для ентропії технологічного процесу. Показано механізм необоротності технологічних явищ виробничо-технічних систем. З використанням модельного уявлення про стохастичний характер взаємодії технологічного обладнання та предметів праці доведено закон зростання ентропії для замкнутої виробничо-технічної системи. Необоротність технологічних явищ полягає у взаємодії предметів праці з технологічним обладнанням. The application of a statistical approach to the description of regularities of a behavior of macroparameters of a technological process is substantiated. The formula for the entropy of a technological process is deduced. A mechanism of irreversibility of technological phenomena is presented. With the use of a model idea of the stochastic character of the interaction of technological facilities and the objects of labor, the entropy increase law for a closed productive-technical system is proved. The irreversibility of technological phenomena is related to the interaction of the objects of labor and technological facilities. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика О законе возрастания энтропии технологического процесса Про закон зростання ентропії технологічного процесу On the entropy increase law for a technological process Article published earlier |
| spellingShingle | О законе возрастания энтропии технологического процесса Азаренков, Н.А. Пигнастый, О.М. Ходусов, В.Д. Інформатика та кібернетика |
| title | О законе возрастания энтропии технологического процесса |
| title_alt | Про закон зростання ентропії технологічного процесу On the entropy increase law for a technological process |
| title_full | О законе возрастания энтропии технологического процесса |
| title_fullStr | О законе возрастания энтропии технологического процесса |
| title_full_unstemmed | О законе возрастания энтропии технологического процесса |
| title_short | О законе возрастания энтропии технологического процесса |
| title_sort | о законе возрастания энтропии технологического процесса |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49802 |
| work_keys_str_mv | AT azarenkovna ozakonevozrastaniâéntropiitehnologičeskogoprocessa AT pignastyiom ozakonevozrastaniâéntropiitehnologičeskogoprocessa AT hodusovvd ozakonevozrastaniâéntropiitehnologičeskogoprocessa AT azarenkovna prozakonzrostannâentropíítehnologíčnogoprocesu AT pignastyiom prozakonzrostannâentropíítehnologíčnogoprocesu AT hodusovvd prozakonzrostannâentropíítehnologíčnogoprocesu AT azarenkovna ontheentropyincreaselawforatechnologicalprocess AT pignastyiom ontheentropyincreaselawforatechnologicalprocess AT hodusovvd ontheentropyincreaselawforatechnologicalprocess |