Качественный анализ систем регулирования нейтрального типа в условиях неопределенности с позиций функций Ляпунова
Доказаны достаточные условия абсолютной интервальной устойчивости решений нелинейных систем регулирования с отклоняющимся аргументом нейтрального типа как равномерной, так и неравномерной по запаздыванию. Построены оценки экспоненциального затухания решений. Аппаратом исследования выбран метод функц...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49804 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Качественный анализ систем регулирования нейтрального типа в условиях неопределенности с позиций функций Ляпунова / А.В. Шатырко // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 43-48. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859637284600545280 |
|---|---|
| author | Шатырко, А.В. |
| author_facet | Шатырко, А.В. |
| citation_txt | Качественный анализ систем регулирования нейтрального типа в условиях неопределенности с позиций функций Ляпунова / А.В. Шатырко // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 43-48. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Доказаны достаточные условия абсолютной интервальной устойчивости решений нелинейных систем регулирования с отклоняющимся аргументом нейтрального типа как равномерной, так и неравномерной по запаздыванию. Построены оценки экспоненциального затухания решений. Аппаратом исследования выбран метод функций Ляпунова. Результаты представлены в виде конструктивных алгебраических матричных неравенств.
Доведено достатні умови абсолютної інтервальної стійкості розв'язків нелінійних систем регулювання з відхиленням аргументу нейтрального типу як рівномірної, так і нерівномірної за запізнюванням. Побудовано оцінки експоненціального затухання розв'язків. Апаратом дослідження обрано метод функцій Ляпунова. Результати наведено у вигляді конструктивних алгебраїчних матричних нерівностей.
Sufficient conditions for the absolute interval stability of solutions of nonlinear control systems with neutral type time-delay, both uniform and irregular by delay, are proved. Estimates of the exponential decay of solutions are constructed. Results are presented in terms of constructive algebraic matrix inequalities, by using the Lyapunov function method.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:16:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929
© 2012
А.В. Шатырко
Качественный анализ систем регулирования
нейтрального типа в условиях неопределенности
с позиций функций Ляпунова
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины С.И. Ляшко)
Доказаны достаточные условия абсолютной интервальной устойчивости решений не-
линейных систем регулирования с отклоняющимся аргументом нейтрального типа как
равномерной, так и неравномерной по запаздыванию. Построены оценки экспоненциаль-
ного затухания решений. Аппаратом исследования выбран метод функций Ляпунова.
Результаты представлены в виде конструктивных алгебраических матричных нера-
венств.
Рассматриваются нелинейные системы дифференциально-разностных уравнений нейтраль-
ного типа. Математические модели, описывающие реально функционирующие обьекты,
зачастую работают в условиях неопределенности. Они могут иметь как вероятностную,
так и детерминированную природу. В нашем случае под неопределенностью понимается
произвольность в выборе нелинейного регулирующего воздействия из заданного линейного
сектора и интервальная неточность в выборе коэффициентов линейной части системы. Ис-
следование поведения решений систем в подобной постановке получило название задач аб-
солютной интервальной устойчивости [1–3]. Одним из эффективных методов качественного
анализа подобных систем является прямой метод Ляпунова. С учетом фактора отклонения
аргумента естественной является работа в функциональных пространствах с построением
функционалов Ляпунова–Красовского. Ряд интересных результатов в этом направлении
представлен в работах [4–9]. Однако, с позиций прикладной математики, конструктивность
этих результатов с вычислительной точки зрения не достаточна. В настоящей работе пред-
принята попытка устранить предыдущие недостатки путем применения функций Ляпунова
для получения достаточных условий устойчивости и построения оценок решений в конеч-
номерных пространствах.
Абсолютная интервальная равномерная устойчивость. В работе [4] автором на-
чато изучение систем нелинейных дифференциально-разностных уравнений с отклоняю-
щимся аргументом нейтрального типа
d
dt
[x(t)−Dx(t− τ)] = Ax(t) +Bx(t− τ) + bf(σ(t)), σ(t) = c⊤x(t), t > 0, (1)
d
dt
[x(t)−Dx(t− τ)] = (A+∆A)x(t) + (B +∆B)x(t− τ) + bf(σ(t)),
σ(t) = c⊤x(t), t > 0.
(2)
Здесь x(t) ∈ R
n, A, B, D — квадратные матрицы с постоянными коэффициентами; b, c ∈ R
n,
τ > 0 — постоянное запаздывание; f(σ) — непрерывная нелинейная Липшицева функция,
f(0) = 0, удовлетворяющая “условиям сектора”
[kσ − f(σ)]σ > 0, k > 0, (3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 43
∆A = {∆aij}, ∆B = {∆bij}, i, j = 1, n, — матрицы с коэффициентами, принимающими свои
значения из некоторых фиксированных интервалов
|∆aij| 6 αij , |∆bij| 6 βij , i, j = 1, n. (4)
В работах [5, 7] для систем (1), (2) получены достаточные условия абсолютной устойчивости
и оценки на поведение их решений. Все результаты получены с применением функциона-
лов Ляпунова–Красовского в бесконечномерных функциональных пространствах. Данный
факт усложняет применение этих результатов с точки зрения прикладной математики.
Используя терминологию, определения абсолютной и интервальной устойчивости, введен-
ные нормы и обозначения работ [4–9], продолжим исследования систем (1), (2).
Для исследования абсолютной интервальной устойчивости будем применять конечно-
мерную функцию Ляпунова вида Лурье–Постникова [1, 2] с экспоненциальным множителем
V (x, t) = eγt
{
x⊤Hx+ β
σ(x)∫
0
f(σ) dσ
}
(5)
и с положительно определенной матрицей H. Для нее справедлива следующая двусторон-
няя оценка:
eγtλmin(H)|x|2 6 V (x, t) 6 eγtλmax(H,β)|x|2, λmax(H,β) = λmax(H) +
1
2
βk|c|2. (6)
Для проведения дальнейших исследований в конечномерных пространствах существенным
является использование условий Б.С. Разумихина [10, 11] при построении оценки полной
производной функции V (x, t) вдоль решений системы.
Будем считать, что система без отклонения аргумента
d
dt
(I −D)x(t) = (A+B)x(t) + bf(σ(t)), σ(t) = c⊤x(t), t > 0
асимптотически устойчива.
Обозначим
ϕ(H,β) =
λmax(H,β)
λmin(H)
,
S1[H,β, ν, γ] =
S0
11 −
1
1
γβk2 S0
12 +
1
2
νc
(S0
12)
⊤ +
1
2
νc⊤ S0
22 +
1
k
ν
, S0[H,β, γ] =
[
S0
11 S0
12
(S0
12)
⊤ S0
22
]
,
S0
11 = −γH − [(I −D)−1(A+B)]⊤H −H[(I −D)−1(A+B)],
S0
12 = −H[(I −D)−1b]−
1
2
β(A+B)c, S0
22 = −βc⊤(I −D)−1b,
R1(B,D) = {2[|HB(I −D)−1|+ |HD(I −D)−1|k] + βk|c|[|c⊤(I −D)−1B|+
+ |c⊤(I −D)−1|K]}[1 + eγτ
√
ϕ(H,β)],
R2(B,D) = 2(1 +D)[|HD(I −D)−1|+ βk|c||c⊤(I −D)−1D|], (7)
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
L1(·) =
2|HD(I −D)−1|+ βk|c||c⊤(I −D)−1D|
1− |D|
[1 + eγτ
√
ϕ(H,β)] +
+ βk|c||c⊤H(I −D)−1|,
L2(·) =
[
2|HD(I −D)−1D|+ βk|c||c⊤(I −D)−1D|
1− |D|
+ βk|c||c⊤(I −D)−1|+
+ 2|H(I −D)−1|
]
[1 + eγτ
√
ϕ(H,β)] + βk|c||c⊤H(I −D)−1|
L3(·) = 2(1 + |D|)[2|HD(I −D)−1|+ βk|c||c⊤(I −D)−1D|],
M̃ [·] = (1− α1 − α2){λmin(S1[H,β, ν, γ]) −R1(B,D)}, N [·] =
R2(B,D)
|D|
‖ẋ(0)‖τ ,
α1 > 0, α2 > 0, α1 + α2 < 1, θ = γ −
1
τ
ln
1
|D|
.
Приведем утверждение об интервальной абсолютной устойчивости системы (1) и получим,
соответственно, оценки сходимости решений системы (2).
Теорема 1. Пусть |D| < 1 и существует положительно определенная матрица H
и параметры β > 0, ν > 0, 0 < γ <
1
τ
ln
1
|D|
, при которых выполняется неравенство
λmin(S1[H,β, ν, γ]) −R1(B,D) > 0, (8)
а “возмущенные” матрицы удовлетворяют соотношениям
|∆A| < α1
M̃ [·]
L1(·)
, |∆B| < α2
M̃ [·]
L2(·)
, α1 > 0, α2 > 0, α1 + α2 < 1. (9)
Тогда система (1) абсолютно интервально устойчива в метрике C1 при произвольном
τ > 0. Причем для произвольного решения x(t), t > 0 системы (2) справедлива следующая
оценка сходимости:
|x(t)| 6
√
ϕ(H,β)‖x(0)‖τ exp
{
−
1
2
(
M̃ [·]
λmax(H,β)
+ γ
)
t
}
+
λmax(H,β)
λmin(H)
×
×
Ñ [·]
M̃ [·] + (2θ − γ)λmax(H,β)
[
exp{(θ − γ)t} − exp
{
−
1
2
(
M̃ [·]
λmax(H,β)
+ γ
)
t
}]
, (10)
а для его производной —
|
·
x(t)|6
[
‖
·
x(0)‖τ+
|B|
|D|
‖x(0)‖τ
]
e
−
t
τ
ln 1
|D| +
[
|A|+
k|b||c|+|DA+B|+|∆A|+|∆B|
1− |D|
]
×
×
√
ϕ(H,β)‖x(0)‖τ exp
{
−
1
2
(
M̃ [·]
λmax(H,β)
+ γ
)
t
}
+
λmax(H,β)
λmin(H)
×
×
Ñ [·]
M̃ [·] + (2θ + γ)λmax(H,β)
[
e(θ−γ)t − exp
{
−
1
2
(
M̃ [·]
λmax(H,β)
+ γ
)
t
}]
. (11)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 45
Замечание 1. В теореме 1 получены условия равномерной по запаздыванию абсолют-
ной устойчивости. Поэтому эти условия накладывают очень строгие ограничения (9) на
матрицу B.
Абсолютная интервальная неравномерная устойчивость. Можно получить
ослабленные условия абсолютной интервальной устойчивости, т. е. такие, которые будут со-
храняться при величине отклонения аргумента, не превосходящей критическую. При этом
значение этой величины удается четко определить через параметры системы.
Введем обозначения
S1[H,β, ν, γ] =
S0
11 −
1
2
γβk2 S0
12 +
1
2
νc
(S0
12)
⊤ +
1
2
νc⊤ S0
22 +
ν
k
, S0 =
[
S0
11 S0
12
(S0
12)
⊤ S0
22
]
,
S0
11 = −γH − [(I −D)−1(A+B)]⊤H −H[(I −D)−1(A+B)],
S0
12 = −H[(I −D)−1b]−
1
2
β(I −D)−1(A+ C)c, S0
22 = −βc⊤(I −D)−1b.
R1(B) = 2|HB(I −D)−1|+ βk|c||c⊤(I −D)−1B|,
R2(D) = 2|HD(I −D)−1|+ βk|c||c⊤(I −D)−1D|,
(12)
Q1(B,D, τ) = [R1(B) + 2KR2(D)]
ϕ(H,β)
1− |D|
τ,
Q2(B,D, τ) = [R1(B) + 2KR2(D)]
ϕ(H,β)
1− |D|
τ + L[1 +K
√
ϕ(H,β)τ ],
Q11(D, τ) =
R2(D)
(1− |D|)2
√
ϕ(H,β)τ,
Q12(D, τ) =
[
2R2(D)
(1− |D|)2
+
R3(D)
1− |D|
]√
ϕ(H,β)τ,
Q22(D, τ) =
[
R2(D)
(1− |D|)2
+
R3(D)
1− |D|
]√
ϕ(H,β)τ,
G1(B,D, τ, α) = αQ1(B,D, τ) + (1− α)Q2(B,D, τ),
G2(D, τ, α) = α2Q11(D, τ) + α(1 − α)Q12(D, τ) + (1− α)2Q22(D, τ),
M [·] = (1− ξ)λmin(S[H,β, ν, γ]) − [αQ1(B,D, τ) + (1 − α)Q2(B,D, τ)]∆ −
− [α2Q11(D, τ) + α(1− α)Q12(D, τ) + (1− α)2Q22(D, τ)]∆2,
N [·] =
2(1 + |D|)
|D|
{[R1(B) +R2(D)K]‖x(0)‖τ +R2(D)‖
·
x(0)‖τ },
ξ =
τ
τ0
, θ = γ −
1
τ
ln
1
|D|
, L = |A|+ |b||c|k.
(13)
Приведем утверждение об абсолютной неравномерной интервальной устойчивости нулевого
решения системы (1) и, соответственно, оценки сходимости решений системы (2).
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
Теорема 2. Пусть |D| < 1, и существует положительно определенная матрица H
и параметры β > 0, ν > 0, 0 < γ <
1
τ
ln
1
|D|
, при которых матрица S1[H,β, ν, γ] также
положительно определенная. Тогда при τ < τ0, где
τ0 =
λmin(S1[H,β, ν, γ])
K[R1(B) +R2(D)K]
√
ϕ(H,β)
, (14)
и
|∆A| < α∆, |∆B| < (1− α)∆, 0 < α < 1, 0 < ∆ < ∆0, (15)
∆0 =
1
2
√
G2
1(B,D, τ, α) + 4(1 − ξ)λmin(S[H,β, ν, γ])G2(D, τ, α) −
1
2
G1(B,D, τ, α), (16)
нулевое решение системы (1) абсолютно интервально устойчиво в метрике C1. Причем
для произвольного решения x(t), t > 0 справедлива оценка сходимости
|x(t)| 6
√
ϕ(H,β)(1+ |D|+ |Bτ |)‖x(0)‖τ exp
{
Lτ−
1
2
(
M [·]
λmax(H,β)
+ γ
)
(t− τ)
}
+
+
λmax(H,β)
λmin(H)
N [·]
M + (2θ − γ)λmax(H,β)
×
×
[
exp{(θ − γ)t} − exp
{
−
1
2
(
M [·]
λmax(H,β)
+ γ
)
(t− τ) + (θ − γ)τ
}]
, (17)
а для его производной —
|
·
x(t)| 6
[
‖
·
x(0)‖τ +
|B|
|D|
‖x(0)‖τ
]
e
−
t
τ
ln 1
|D| +
[
|A|+
k|b||c| + |DA+B|
1− |D|
]
×
×
{√
ϕ(H,β)(1+ |D|+ |B|τ)‖x(0)‖τ exp
{
Lτ−
1
2
(
M [·]
λmax(H,β)
+ γ
)
(t− τ)
}
+
+
λmax(H,β)
λmin(H)
N [·]
M + (2θ − γ)λmax(H,β)
×
×
[
exp{(θ − γ)t} − exp
{
−
1
2
(
M [·]
λmax(H,β)
+ γ
)
(t− τ) + (θ − γ)τ
}]}
. (18)
Замечание 2. В условиях абсолютной устойчивости, сформулированных в теоремах 1
и 2, требуется существования положительно определенной матрицы H и параметров β > 0,
ν > 0, 0 < γ < 1/τ ln 1/|D|, при которых разность λ1(S1[H,β, ν, γ])−R1(B,D) либо матрица
S1[H,β, ν, γ] также положительно определенная. В теореме 2 вычислено значение крити-
ческого отклонения аргумента τ < τ0 (14). Нахождение конструктивных значений этих
величин переходит в отдельную задачу нелинейной оптимизации.
1. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. – Москва; Ле-
нинград: Гостехиздат, 1951. – 251 с.
2. Айзерман М.А., Гантмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. – Москва: Изд-во
АН СССР, 1963. – 261 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 47
3. Liao X., Yu. P. Absolute stability of nonlinear control systems. – New York: Springer Science + Business
Media B. V., 2008. – 390 p.
4. Шатырко А.В. Абсолютная интервальная устойчивость систем регулирования нейтрального типа //
Доп. НАН України. – 2011. – № 2. – С. 18–23.
5. Шатирко А.В., Хусаiнов Д.Я. Дослiдження iнтервальної стiйкостi диференцiальних систем регулю-
вання iз запiзненням за допомогою функцiоналiв Ляпунова–Красовського // Вiсн. Київ. нац. ун-ту
iм. Тараса Шевченка. Фiз.-мат. науки. – 2009. – Вип. 3. – С. 212–221.
6. Шатирко А.В., Хусаiнов Д.Я. Отримання умов абсолютної стiйкостi систем непрямого регулювання
методом функцiоналiв Ляпунова–Красовського // Там само. – 2009. – Вип. 4. – С. 145–152.
7. Шатирко А.В., Хусаiнов Д.Я. Абсолютна iнтервальна стiйкiсть диференцiальних систем регулю-
вання нейтрального типу // Пробл. динамiки та стiйкостi багатовимiрних систем: Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. – 2009. – 6, № 3. – С. 232–247.
8. Шатырко А.В., Хусаинов Д.Я. Абсолютная интервальная устойчивость систем непрямого регули-
рования нейтрального типа // Междунар. науч.-техн. журн. “Пробл. управления и информатики”. –
2009. – № 3. – С. 5–16.
9. Шатырко А.В., Хусаинов Д.Я., Диблик И. и др. Оценки возмущений интервальных нелинейных
систем непрямого регулирования нейтрального типа // Там же. – 2011. – № 1. – С. 15–29.
10. Разумихин Б.С. Устойчивость эредитарных систем. – Москва: Наука, 1988. – 112 с.
11. Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием // Прикл. математика и механика. –
1956. – 20, № 4. – С. 500–512.
Поступило в редакцию 01.06.2011Киевский национальный университет
им. Тараса Шевченко
А.В. Шатирко
Якiсний аналiз систем регулювання нейтрального типу в умовах
невизначеностi з позицiй функцiй Ляпунова
Доведено достатнi умови абсолютної iнтервальної стiйкостi розв’язкiв нелiнiйних систем
регулювання з вiдхиленням аргументу нейтрального типу як рiвномiрної, так i нерiвно-
мiрної за запiзнюванням. Побудовано оцiнки експоненцiального затухання розв’язкiв. Апа-
ратом дослiдження обрано метод функцiй Ляпунова. Результати наведено у виглядi конст-
руктивних алгебраїчних матричних нерiвностей.
A.V. Shatyrko
Qualitative analysis of neutral type control systems under uncertainties
from positions of Lyapunov’s functions
Sufficient conditions for the absolute interval stability of solutions of nonlinear control systems with
neutral type time-delay, both uniform and irregular by delay, are proved. Estimates of the exponen-
tial decay of solutions are constructed. Results are presented in terms of constructive algebraic
matrix inequalities, by using the Lyapunov function method.
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-49804 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:16:49Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шатырко, А.В. 2013-09-28T01:21:51Z 2013-09-28T01:21:51Z 2012 Качественный анализ систем регулирования нейтрального типа в условиях неопределенности с позиций функций Ляпунова / А.В. Шатырко // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 43-48. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49804 517.929 Доказаны достаточные условия абсолютной интервальной устойчивости решений нелинейных систем регулирования с отклоняющимся аргументом нейтрального типа как равномерной, так и неравномерной по запаздыванию. Построены оценки экспоненциального затухания решений. Аппаратом исследования выбран метод функций Ляпунова. Результаты представлены в виде конструктивных алгебраических матричных неравенств. Доведено достатні умови абсолютної інтервальної стійкості розв'язків нелінійних систем регулювання з відхиленням аргументу нейтрального типу як рівномірної, так і нерівномірної за запізнюванням. Побудовано оцінки експоненціального затухання розв'язків. Апаратом дослідження обрано метод функцій Ляпунова. Результати наведено у вигляді конструктивних алгебраїчних матричних нерівностей. Sufficient conditions for the absolute interval stability of solutions of nonlinear control systems with neutral type time-delay, both uniform and irregular by delay, are proved. Estimates of the exponential decay of solutions are constructed. Results are presented in terms of constructive algebraic matrix inequalities, by using the Lyapunov function method. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Качественный анализ систем регулирования нейтрального типа в условиях неопределенности с позиций функций Ляпунова Якісний аналіз систем регулювання нейтрального типу в умовах невизначеності з позицій функцій Ляпунова Qualitative analysis of neutral type control systems under uncertainties from positions of Lyapunov's functions Article published earlier |
| spellingShingle | Качественный анализ систем регулирования нейтрального типа в условиях неопределенности с позиций функций Ляпунова Шатырко, А.В. Інформатика та кібернетика |
| title | Качественный анализ систем регулирования нейтрального типа в условиях неопределенности с позиций функций Ляпунова |
| title_alt | Якісний аналіз систем регулювання нейтрального типу в умовах невизначеності з позицій функцій Ляпунова Qualitative analysis of neutral type control systems under uncertainties from positions of Lyapunov's functions |
| title_full | Качественный анализ систем регулирования нейтрального типа в условиях неопределенности с позиций функций Ляпунова |
| title_fullStr | Качественный анализ систем регулирования нейтрального типа в условиях неопределенности с позиций функций Ляпунова |
| title_full_unstemmed | Качественный анализ систем регулирования нейтрального типа в условиях неопределенности с позиций функций Ляпунова |
| title_short | Качественный анализ систем регулирования нейтрального типа в условиях неопределенности с позиций функций Ляпунова |
| title_sort | качественный анализ систем регулирования нейтрального типа в условиях неопределенности с позиций функций ляпунова |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/49804 |
| work_keys_str_mv | AT šatyrkoav kačestvennyianalizsistemregulirovaniâneitralʹnogotipavusloviâhneopredelennostispoziciifunkciilâpunova AT šatyrkoav âkísniianalízsistemregulûvannâneitralʹnogotipuvumovahneviznačenostízpozicíifunkcíilâpunova AT šatyrkoav qualitativeanalysisofneutraltypecontrolsystemsunderuncertaintiesfrompositionsoflyapunovsfunctions |