До теорії неосесиметричних електропружних коливань п'єзокерамічних пластин
Одержано загальний розв'язок задачі про неосесиметричні електромеханічні коливання п'єзокерамічної кільцевої пластини. У випадку вільних від механічних напружень границь для пластин з радіальними розрізами електродного покриття визначено власні частоти і форми коливань для перших гармонік...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50004 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | До теорії неосесиметричних електропружних коливань п'єзокерамічних пластин / М.О. Шульга, В.В. Левченко // Доп. НАН України. — 2012. — № 6. — С. 61-68. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859628725420687360 |
|---|---|
| author | Шульга, М.О. Левченко, В.В. |
| author_facet | Шульга, М.О. Левченко, В.В. |
| citation_txt | До теорії неосесиметричних електропружних коливань п'єзокерамічних пластин / М.О. Шульга, В.В. Левченко // Доп. НАН України. — 2012. — № 6. — С. 61-68. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Одержано загальний розв'язок задачі про неосесиметричні електромеханічні коливання п'єзокерамічної кільцевої пластини. У випадку вільних від механічних напружень границь для пластин з радіальними розрізами електродного покриття визначено власні частоти і форми коливань для перших гармонік за окружною координатою.
Получено общее решение задачи о неосесимметричных электромеханических колебаниях пьезокерамической кольцевой пластины. В случае свободных от механических напряжений границ для пластин с радиальными разрезами электродного покрытия определены собственные частоты и формы колебаний для первых гармоник по окружной координате.
The general solution of the problem of nonaxisymmetric electromechanical vibrations of a piezoceramic ring plate is obtained. For the plates with boundaries free from mechanical stresses and with radial cuts of the electrode covering, the eigenfrequencies and the forms of vibrations for the first harmonics on the circular coordinate are determined.
|
| first_indexed | 2025-11-29T14:01:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 534-21:537.226.86
© 2012
Член-кореспондент НАН України М. О. Шульга, В.В. Левченко
До теорiї неосесиметричних електропружних коливань
п’єзокерамiчних пластин
Одержано загальний розв’язок задачi про неосесиметричнi електромеханiчнi коливан-
ня п’єзокерамiчної кiльцевої пластини. У випадку вiльних вiд механiчних напружень
границь для пластин з радiальними розрiзами електродного покриття визначено власнi
частоти i форми коливань для перших гармонiк за окружною координатою.
П’єзоелектричнi тонкi пластинчастi перетворювачi з товщинною поляризацiєю використо-
вуються в пристроях рiзного функцiонального призначення [1–3]. У дискових i кiльцевих
вiбраторах з суцiльними електродами на лицьових площинах збуджуються осесиметрич-
нi коливання [2, 4]. Якщо ж електроди кiльцевої пластини мають дiаметральнi розрiзи
i електропружнi сектори збуджуються противофазно, то в нiй виникають неосесиметричнi
за окружною координатою коливання. Форми цих коливань за цiєю координатою апрiорi
визначаються числом дiаметральних розрiзiв електродiв. Систематичне теоретичне дослiд-
ження частотного спектра, а також форм коливань за радiальною координатою вiдсутнi [2,
4–6]. Цим питанням i присвячена дана робота.
Тонку п’єзокерамiчну пластину товщиною h вiднесемо до прямокутних декартових ко-
ординат x, y, z, причому координатна площина z = 0 збiгається з серединною площиною
пластини. При товщиннiй поляризацiї скористаємося [1, 2] матерiальними залежностями
у формi
εxx = sE11σxx + sE12σyy + sE13σzz + d13Ez,
εyy = sE21σxx + sE11σyy + sE13σzz + d13Ez,
εzz = sE31(σxx + σyy) + sE33σzz + d33Ez,
2εyz = sE55σyz + d15Ey, Dy = εT11Ey + d15σyz,
2εxz = sE55σxz + d15Ex, Dx = εT11Ex + d15σxz,
2εyx = sE66σyx, Dz = εT33Ez + d31(σxx + σyy) + d33σzz,
(1)
причому sE66 = 2(sE11 − sE12).
Якщо тонка п’єзокерамiчна пластина з електродорованими лицьовими площинами z =
= ±h/2 знаходиться в умовах плоского напруженого стану, то, прийнявши гiпотези ux =
= ux(x, y, t), uy = uy(x, y, t), σzz = σyz = σxz = 0, Ex = Ey = 0, Ez = Ez(x, y, t), iз загальних
матерiальних спiввiдношень (1) отримаємо [2] формули
σxx =
1
sE11(1− ν2E)
(
∂ux
∂x
+ νE
∂uy
∂y
− (1 + νE)d31Ez
)
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №6 61
σyy =
1
sE11(1− ν2E)
(
νE
∂ux
∂x
+
∂uy
∂y
− (1 + νE)d31Ez
)
, (2)
σxy =
1
2(1 + νE)s
E
11
(
∂ux
∂y
+
∂uy
∂x
)
,
в яких аналог коефiцiєнта Пуассона νE = −sE12/s
E
11. З трьох рiвнянь механiчних коливань
при нехтуваннi товщиннами прискореннями залишаться тiльки два
∂σxx
∂x
+
∂σxy
∂y
= ρ
∂2uy
∂t2
,
∂σxy
∂x
+
∂σyy
∂y
= ρ
∂2uy
∂t2
. (3)
З формул (2), (3) пiсля нескладних перетворень отримаємо рiвняння коливань у пере-
мiщеннях
∂2ux
∂x2
+
∂2uy
∂x∂y
+
1− νE
2
(
∂2ux
∂y2
−
∂2uy
∂x∂y
)
− (1 + νE)d31
∂Ez
∂x
= (1− ν2E)s
E
11ρ
∂2ux
∂t2
,
∂2ux
∂x∂y
+
∂2uy
∂y2
+
1− νE
2
(
∂2uy
∂x2
−
∂2ux
∂x∂y
)
− (1 + νE)d31
∂Ez
∂y
= (1− ν2E)s
E
11ρ
∂2uy
∂t2
.
(4)
Розв’язок системи (4) подамо [5] у виглядi
ux =
∂Φ
∂x
+
∂Ψ
∂y
, uy =
∂Φ
∂y
−
∂Ψ
∂x
. (5)
Якщо функцiї Φ(x, y, t), Ψ(x, y, t) визначити з хвильових рiвнянь
∆Φ− (1 + νE)d31Ez = (1− ν2E)s
E
11ρ
∂2Φ
∂t2
,
∆Ψ = 2(1 + νE)s
E
11ρ
∂2Ψ
∂t2
,
(6)
то рiвняння (4) будуть виконанi. Для пластини з суцiльними електродами на лицьових
площинах z = ±h/2 електричний потенцiал (при нехтуваннi впливом країв пластини) ϕ =
= h−1zV0(t). Такому потенцiалу вiдповiдають [1] компоненти напруженостi електричного
поля Ex = Ey = 0, Ez = h−1V0(t), а значить, у рiвняннi (6), враховуючи (4), потрiбно знехту-
вати величиною (1 + νE)d31Ez. У полярних координатах r cos θ = x, r sin θ = y, вирази (5)
для перемiщень будуть такими:
ur =
∂Φ
∂r
+
1
r
∂Ψ
∂θ
, uθ =
1
r
∂Φ
∂θ
−
∂Ψ
∂r
. (7)
Матерiальнi залежностi (2) для механiчних напружень з урахуванням формул Кошi
для деформацiй запишуться у виглядi
σrr =
1
(1− ν2E)s
E
11
(
∂ur
∂r
+ νE
1
r
∂uθ
∂θ
+
ur
r
− (1 + νE)d31Ez
)
,
σθθ =
1
(1− ν2E)s
E
11
(
νE
∂ur
∂θ
+
1
r
∂uθ
∂θ
− (1 + νE)d31Ez
)
,
σrθ =
1
2(1 + νE)s
E
11
(
r
∂
∂r
uθ
r
+
1
r
∂ur
∂θ
)
.
(8)
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №6
З формул (7), (8) одержимо такi вирази для механiчних напружень через потенцiали Φ, Ψ
в полярних координатах:
σrr =
1
(1− ν2E)s
E
11
[(
∂2Φ
∂r2
+
∂
∂r
(
1
r
∂Ψ
∂θ
))
+ νE
(
1
r
∂Φ
∂r
+
1
r2
∂2Φ
∂θ2
−
∂
∂r
(
1
r
∂Ψ
∂θ
))
−
− (1 + νE)d13Ez
]
,
σθθ =
1
(1− ν2E)s
E
11
[
νE
(
∂2Φ
∂r2
+
∂
∂r
(
1
r
∂Ψ
∂θ
))
+
(
1
r
∂Φ
∂r
+
1
r2
∂2Φ
∂θ2
−
∂
∂r
(
1
r
∂Ψ
∂θ
))
−
− (1 + νE)d13Ez
]
,
σrθ =
1
2(1 + νE)sE11
(
2
r
∂2Φ
∂r∂θ
−
2
r2
∂Φ
∂θ
−
∂2Ψ
∂r2
+
1
r
∂Ψ
∂r
+
1
r2
∂2Φ
∂θ2
)
.
(9)
Однорiднi граничнi умови для механiчних перемiщень i напружень (по двi умови при r = r0
i r = r1)) вибираються по однiй з двох альтернативних пар (j = 0, 1)
ur(rj , θ, t) = 0 ∧ σrr(rj , θ, t) = 0,
uθ(rj , θ, t) = 0 ∧ σrθ(rj , θ, t) = 0.
(10)
Початковi умови при усталених гармонiйних коливаннях не формулюються.
Розглянемо п’єзокерамiчне кiльце з внутрiшнiм r0 i зовнiшнiм r1 радiусами. Електрод-
нi покриття на лицьових площинах z = ±h/2 роздiленi на 2N секторiв з протифазними
сусiднiми пiдключеннями так, що Eza = (−1)n−1V0/h, n = 1, . . . , 2N .
Розв’язок рiвнянь (6) у полярних координатах r, θ, в першому з яких доданок (1+ν)d31Ez
потрiбно брати рiвним нулевi [5], при гармонiйних коливанняхf(r, θ, t) = Re fa(r, θ) exp iωt
з циклiчною частотою ω вибираємо у виглядi [7]
Φ(r, θ, t) = R2Re
∑
m
{Am1Jm(k1r) +Am2Ym(k1r)} sinmθ exp iωt,
Ψ(r, θ, t) = R2Re
∑
m
{Am3Jm(k2r) +Am4Ym(k2r)} cosmθ exp iωt.
(11)
Тут Jm(kjr) та Jm(kjr) — цилiндричнi функцiї першого та другого роду m-го порядку [5],
k21 = (1− ν2E)s
E
11ρω
2, k22 = 2(1+ νE)s
E
11ρω
2. За формулами (11), (7) i (9) знаходимо механiчнi
перемiщення
ur = RRe
∑
m
[
Am1
(
−m
R
r
Jm(k1r) + k1RJm−1(k1r)
)
+Am2
(
−m
R
r
Ym(k1r) +
+ k1RYm−1(k1r)
)
+Am3m
R
r
Jm(k2r)−Am4m
R
r
Ym(k2r)
]
sinmθ exp iωt,
uθ = RRe
∑
m
[
Am1m
R
r
Jm(k1r) +Am2m
R
r
Ym(k1r) +Am3
(
m
R
r
Jm(k2r)−
− k2RJm−1(k2r)
)
+Am3
(
m
R
r
Ym(k2r)− k2RYm−1(k2r)
)]
cosmθ exp iωt,
(12)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №6 63
i механiчнi напруження
σrr(r, θ, t) = −Re
1
(1− ν2E)s
E
11
{
∑
m
(am1(k1r)Am1 + am2(k1r)Am2 + am3(k2r)Am3 +
+ am4(k2r)Am4) sinmθ +
4
π
V0(1 + νE)d13 +
∞∑
n=1
sinN(2n− 1)θ
2n− 1
}
exp iωt,
σθθ(r, θ, t) = −Re
1
(1− ν2E)s
E
11
{
∑
m
(bm1(k1r)Am1 + bm2(k1r)Am2 + bm3(k2r)Am3 +
+ bm4(k2r)Am4) sinmθ +
4
π
V0(1 + νE)d13
∞∑
n=1
sinN(2n− 1)θ
2n− 1
}
exp iωt,
σrθ(r, θ, t) = Re
1
(1 + νE)s
E
11
∑
m
(cm1(k1r)Am1 + cm2(k1r)Am2 + cm3(k2r)Am3 +
+ cm4(k2r)Am4) cosmθ exp iωt.
(13)
У формулах (13) використанi позначення
am1(k1r) = [(1− νE)k1rJm−1(k1r) + (k21r
2 − (1− νE)m(m+ 1))Jm(k1r)]
R2
r2
,
am2(k1r) = [(1− νE)k1rYm−1(k1r) + (k21r
2 − (1− νE)m(m+ 1))Ym(k1r)]
R2
r2
,
am3(k2r) = (1− νE)m[k2rJm−1(k2r)− (m+ 1)Jm(k2r)]
R2
r2
,
am4(k2r) = (1− νE)m[k2rYm(k2r)− (m+ 1)Ym(k2r)]
R2
r2
,
bm1(k1r) = [−(1− νE)k1rJm−1(k1r) + (νEk
2
1r
2 + (1− νE)m(m+ 1))Jm(k1r)]
R2
r2
,
bm2(k1r) = [−(1− νE)k1rYm−1(k1r) + (νEk
2
1r
2 + (1− νE)m(m+ 1))Ym(k1r)]
R2
r2
,
bm3(k2r) = −(1− νE)m[k2rJm−1(k2r)− (m+ 1)Jm(k2r)]
R2
r2
,
bm4(k2r) = −(1− νE)m[k2rYm−1(k2r)− (m+ 1)Ym(k2r)]
R2
r2
,
(14)
cm1(k1r) = m[k1rJm−1(k1r)− (m+ 1)Jm(k1r)]
R2
r2
,
cm2(k1r) = m[k1rYm−1(k1r)− (m+ 1)Ym(k1r)]
R2
r2
,
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №6
cm3(k2r) =
[
k2rJm−1(k2r) +
(
1
2
k22r
2 −m(m+ 1)
)
Jm(k2r)
]
R2
r2
,
cm4(k2r) =
[
k2rYm−1(k2r) +
(
1
2
k22r
2 −m(m+ 1)
)
Ym(k2r)
]
R2
r2
.
Оскiльки амплiтуда Ea
z = (−1)n−1V0h
−1, n = 1, 2, . . . , 2N , напруженостi електричного поля
Ez = ReEa
z exp iωt розкладається в ряд Фур’є за кутовою координатою θ
Eza = −
2V0
πh
∞∑
n=1
sinN(2n − 1)θ
2n− 1
, (15)
то в формулах (12) та (13) iндекс m = N(2n − 1), n = 1, 2, . . ..
При резонансних коливаннях доцiльно скористатися концепцiєю комплексних модулiв
[2, 6], згiдно з якою в формулах (12)–(14) фiзико-механiчнi матерiальнi параметри будуть
комплексними величинами s̃Eij = sEij − isE Im
ij , d̃ij = dij − idImij , ε̃Tij = εTij − iεT Im
ij .
При визначеннi резонансних частот тангенсами малих кутiв втрат можна знехтувати
i користуватися дiйсними значеннями фiзико-механiчних матерiальних параметрiв.
Розглянемо коливання кiльцевої пластини з вiльними вiд механiчних напружень грани-
цями r = r0 i r = r1
σrr(rj, θ, t) = 0, σrθ(rj , θ, t) = 0, j = 0, 1. (16)
З граничних умов (16), використовуючи вирази (13) для механiчних напружень, отримаємо
блочнi системи алгебраїчних рiвнянь для визначення безрозмiрних сталих AN(2n−1), n =
= 1, 2, . . .
aN(2n−1),1(k1r0)AN(2n−1).1 + aN(2n−1),2(k1r0)AN(2n−1).2 +
+ aN(2n−1),3(k2r0)AN(2n−1).3 + aN(2n−1),4(k2r0)AN(2n−1).4 =
= −
4
π
V0
(1 + νE)d13
2n− 1
,
aN(2n−1),1(k1r1)AN(2n−1).1 + aN(2n−1),2(k1r1)AN(2n−1).2 +
+ aN(2n−1),3(k2r1)AN(2n−1).3 + aN(2n−1),4(k2r1)AN(2n−1).4 =
= −
4
π
V0
(1 + νE)d13
2n− 1
,
cN(2n−1),1(k1r0)AN(2n−1).1 + cN(2n−1),2(k1r0)AN(2n−1).2 +
+ cN(2n−1),3(k2r0)AN(2n−1).3 + cN(2n−1),4(k2r0)AN(2n−1).4 = 0,
cN(2n−1),1(k1r1)AN(2n−1).1 + cN(2n−1),2(k1r1)AN(2n−1).2 +
+ cN(2n−1),3(k2r1)AN(2n−1).3 + cN(2n−1),4(k2r1)AN(2n−1).4 = 0.
(17)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №6 65
Таблиця 1
k
N = 0
ω0,k
N = 1
ω1,k
N = 2
ω2,k
N = 3
ω3,k
N = 4
ω4,k
1 1,42334 1,6265 0,69281 1,54389 2,35656
2 3,31746 3,85103 2,34721 3,18735 4,01180
3 5,49151 5,20302 4,85053 4,97488 5,31515
4 6,05803 6,53165 5,05288 6,17078 7,31794
5 8,896337 8,88278 7,294018 7,983204 8,45249
6 10,59329 10,72654 8,93175 9,28126 10,06834
7 11,76887 11,81621 11,049 11,42551 11,84558
Резонанснi частоти визначаються з умови рiвностi нулю визначникiв четвертого порядку
однорiдної (при V0 = 0) системи алгебраїчних рiвнянь (17)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
am1(k1r0) am2(k1r0) am3(k2r0) am4(k2r0)
am1(k1r1) am2(k1r1) am3(k2r1) am4(k2r1)
cm1(k1r0) cm2(k1r0) cm3(k2r0) cm4(k2r0)
cm1(k1r1) cm2(k1r1) cm3(k2r1) cm4(k2r1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0, (18)
в яких азимутний iндекс m = N(2n − 1), n = 1, 2, . . . , N , — число дiаметральних розрiзiв
електродного покриття.
Iз граничних умов (16) для напружень i частотного рiвняння (18) випливають такi за-
гальнi властивостi частотного спектра. При коливаннях пластини з одним дiаметральним
розрiзом (N = 1, два електроди) виникають резонанси на частотах f1,k, f3,k, f5,k, . . . ; з дво-
ма дiаметральними розрiзами (N = 2, чотири електроди) — резонанси на частотах f2,k, f6,k,
f10,k, . . . ; з трьома дiаметральними розрiзами (N = 3, шiсть електродiв) — резонанси на ча-
стотах f3,k, f9,k, f15,k, . . . ; з чотирма дiаметральними розрiзами (N = 4, вiсiм розрiзiв) — ре-
зонанси на частотах f4,k, f12,k, f20,k, . . . ; з п’ятьма дiаметральними розрiзами (N = 5, десять
електродiв) — резонанси на частотах f5,k, f15,k, f25,k, . . . ; з шiстьма дiаметральними розрi-
зами (N = 6, дванадцять електродiв) — резонанси на частотах f6,k, f18,k, f30,k, . . . ; з сiмома
дiаметральними розрiзами (N = 7, чотирнадцять електродiв) — резонанси на частотах f7,k,
f21,k, f35,k, . . . ; з вiсьмома дiаметральними розрiзами (N = 8, шiстнадцять електродiв) —
резонанси на частотах f8,k, f24,k, f40,k, . . . . У прийнятiй нумерацiї частот fmk перший iндекс
вiдповiдає номеру гармонiки за азимутним кутом θ (номер форми за азимутом), а другий
iндекс k є порядковим номером кореня вiдповiдного частотного рiвняння (18).
Результати чисельних розрахункiв iлюструє табл. 1, в якiй наведенi значення безрозмiр-
ної частоти ω̄ =
√
(1− ν2E)s
E
11ρωr1 власних коливань кiльцевої пластини при r0/r1 = 0,4.
Матерiал пластини — п’єзокерамiка ЦТС-19 з такими значеннями матерiальних параметрiв:
ρ = 7,74 кг/м3, sE11 = 15,2 · 10−12 м2/Н, sE12 = −5,8 · 10−12 м2/Н, d31 = −125 · 10−12 Кл/Н.
Визначалися сiм перших власних частот при перших гармонiках за азимутом (тобто cos θ
при N = 1, cos 2θ при N = 2, cos 3θ при N = 3, cos 4θ при N = 4). Випадок N = 0 вiдповiдає
осесиметричним коливанням пластини, якi дослiджувалися в [4]. З табл. 1 видно, що при
зростаннi номера частоти k вiдносна рiзниця частот, якi вiдповiдають рiзним значенням N ,
зменшується (при k = 7 рiзниця в частотах менше п’яти вiдсоткiв).
Власнi форми ur,m,7 = ur,m,7(r̄) sinmθ, uθ,m,7 = uθ,m,7(r̄) cosmθ визначалися для власних
частот ω̄m,7 при m = 1 (N = 1), m = 2 (N = 2), m = 3 (N = 3), m = 4 (N = 4).
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №6
Рис. 1
На рис. 1 показанi залежностi множникiв ur,m,7(r̄) для радiальних перемiщень (суцiльнi
лiнiї) та множникiв uθ,m,7(r̄) для азимутальних перемiщень (пунктирнi лiнiї) вiд радiуса
r̄ = r/r1. Основний висновок, який випливає з рис. 1, полягає в тому, що при рiзних зна-
ченнях N множник ur,m,7(r̄) для радiальних перемiщень має двi вузловi точки, тодi як
множник uθ,m,7(r̄) для азимутальних перемiщень — чотири вузловi точки.
1. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 5. Электроупругость / Под ред. В. Т. Грин-
ченко, А.Ф. Улитко, Н.А. Шульги. Отв. ред. А.Н. Гузь. – Киев: Наук. думка, 1989. – 280 с.
2. Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезоэлектрических тел. – Киев: Наук. думка, 1990. – 228 с.
3. Mason W.P. Piezoelectricity, its history and applications // J. Acoust. Soc. Am. – 1981. – 70, No 6. –
P. 1561–1566.
4. Shul’ga N.A., Bezverkhii O. I., Mekievskii O. I. Resonant frequencies of electroelastic vibrations of piezo-
ceramic plates // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, No 9. – P. 1031–1038.
5. Шульга М.О. До теорiї електромеханiчних неосесиметричних коливань п’єзокерамiчних пластин з
товщинною поляризацiєю // Системнi технологiї. – 2007. – Вип. 7. – С. 63–68.
6. Шульга М.О., Карлаш В.Л. Резонанснi електромеханiчнi коливання п’єзоелектричних пластин. –
Київ: Наук. думка, 2008. – 272 с.
7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – Москва: Наука, 1972. – 736 с.
Надiйшло до редакцiї 07.07.2011Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
Член-корреспондент НАН Украины Н. А. Шульга, В.В. Левченко
К теории неосесимметричных электромеханических колебаний
пьезокерамических пластин
Получено общее решение задачи о неосесимметричных электромеханических колебаниях пье-
зокерамической кольцевой пластины. В случае свободных от механических напряжений гра-
ниц для пластин с радиальными разрезами электродного покрытия определены собственные
частоты и формы колебаний для первых гармоник по окружной координате.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №6 67
Corresponding Member of the NAS of Ukraine M. O. Shul’ga, V.V. Levchenko
To the theory of nonaxisymmetric electroelastic vibrations of
piezoceramic plates
The general solution of the problem of nonaxisymmetric electromechanical vibrations of a pie-
zoceramic ring plate is obtained. For the plates with boundaries free from mechanical stresses and
with radial cuts of the electrode covering, the eigenfrequencies and the forms of vibrations for the
first harmonics on the circular coordinate are determined.
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50004 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-29T14:01:45Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шульга, М.О. Левченко, В.В. 2013-10-02T17:27:57Z 2013-10-02T17:27:57Z 2012 До теорії неосесиметричних електропружних коливань п'єзокерамічних пластин / М.О. Шульга, В.В. Левченко // Доп. НАН України. — 2012. — № 6. — С. 61-68. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50004 534-21:537.226.86 Одержано загальний розв'язок задачі про неосесиметричні електромеханічні коливання п'єзокерамічної кільцевої пластини. У випадку вільних від механічних напружень границь для пластин з радіальними розрізами електродного покриття визначено власні частоти і форми коливань для перших гармонік за окружною координатою. Получено общее решение задачи о неосесимметричных электромеханических колебаниях пьезокерамической кольцевой пластины. В случае свободных от механических напряжений границ для пластин с радиальными разрезами электродного покрытия определены собственные частоты и формы колебаний для первых гармоник по окружной координате. The general solution of the problem of nonaxisymmetric electromechanical vibrations of a piezoceramic ring plate is obtained. For the plates with boundaries free from mechanical stresses and with radial cuts of the electrode covering, the eigenfrequencies and the forms of vibrations for the first harmonics on the circular coordinate are determined. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка До теорії неосесиметричних електропружних коливань п'єзокерамічних пластин К теории неосесимметричных электромеханических колебаний пьезокерамических пластин To the theory of nonaxisymmetric electroelastic vibrations of piezoceramic plates Article published earlier |
| spellingShingle | До теорії неосесиметричних електропружних коливань п'єзокерамічних пластин Шульга, М.О. Левченко, В.В. Механіка |
| title | До теорії неосесиметричних електропружних коливань п'єзокерамічних пластин |
| title_alt | К теории неосесимметричных электромеханических колебаний пьезокерамических пластин To the theory of nonaxisymmetric electroelastic vibrations of piezoceramic plates |
| title_full | До теорії неосесиметричних електропружних коливань п'єзокерамічних пластин |
| title_fullStr | До теорії неосесиметричних електропружних коливань п'єзокерамічних пластин |
| title_full_unstemmed | До теорії неосесиметричних електропружних коливань п'єзокерамічних пластин |
| title_short | До теорії неосесиметричних електропружних коливань п'єзокерамічних пластин |
| title_sort | до теорії неосесиметричних електропружних коливань п'єзокерамічних пластин |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50004 |
| work_keys_str_mv | AT šulʹgamo doteorííneosesimetričnihelektropružnihkolivanʹpêzokeramíčnihplastin AT levčenkovv doteorííneosesimetričnihelektropružnihkolivanʹpêzokeramíčnihplastin AT šulʹgamo kteoriineosesimmetričnyhélektromehaničeskihkolebaniipʹezokeramičeskihplastin AT levčenkovv kteoriineosesimmetričnyhélektromehaničeskihkolebaniipʹezokeramičeskihplastin AT šulʹgamo tothetheoryofnonaxisymmetricelectroelasticvibrationsofpiezoceramicplates AT levčenkovv tothetheoryofnonaxisymmetricelectroelasticvibrationsofpiezoceramicplates |