Побудова апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсії прогнозованих значень із використанням систем комп’ютерної математики
Розглядаються матриці планування експериментів на основі трьохкомпонентних сполук. Описано метод побудови апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсії прогнозованих значень для експериментальних матриць планування як для випадку, коли експериментальні точки знаходяться у вершинах або на гранях си...
Saved in:
| Published in: | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50023 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Побудова апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсії прогнозованих значень із використанням систем комп’ютерної математики / І.В. Гадзаман, В.І. Баранецький // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2013. — № 1. — С. 118-125. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50023 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гадзаман, І.В. Баранецький, В.І. 2013-10-02T20:25:04Z 2013-10-02T20:25:04Z 2013 Побудова апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсії прогнозованих значень із використанням систем комп’ютерної математики / І.В. Гадзаман, В.І. Баранецький // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2013. — № 1. — С. 118-125. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50023 519.24: 519.25: 519.688 Розглядаються матриці планування експериментів на основі трьохкомпонентних сполук. Описано метод побудови апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсії прогнозованих значень для експериментальних матриць планування як для випадку, коли експериментальні точки знаходяться у вершинах або на гранях симплекса, так і тоді, коли вони усі розташовуються всередині області, що досліджується. Наведено схему побудови ізоліній дисперсії прогнозованих значень у випадку регресійних поліномів другого, третього та четвертого порядків у декартовій системі координат. Для побудови тернарних графіків у декартовій системі координат використовуються формули переходу Дрейпера-Лоуренса. Цю схему апробовано на експериментальних матрицях D-оптимальних та симплекс-ґраткових планів із другого по четвертий порядок включно. За допомогою систем комп’ютерної математики отримано декілька оптимальних матриць для експериментальних планів другого порядку, та побудовано ізоліній дисперсії прогнозованих значень для цих планів. Рассматриваются матрицы планирования экспериментов на основе трехкомпонентных соединений. Описан метод построения аппроксимационных полиномов и изолиний дисперсии предсказанных значений для экспериментальных матриц планирования как для случая, когда экспериментальные точки находятся в вершинах или на гранях симплекса, так и тогда, когда они все располагаются внутри исследуемой области. Приведена схема построения изолиний дисперсии предсказанных значений в случае регрессионных полиномов второго, третьего и четвертого порядков в декартовой системе координат. Для построения тернарных графиков в декартовой системе координат используются формулы перехода Дрейпера-Лоуренса. Данную схему апробировано на экспериментальных матрицах D-оптимальных и симплекс-решотчатых планов со второго по четвертый порядок включительно. С помощью систем компьютерной математики получено несколько оптимальных матриц для экспериментальных планов второго порядка, и построено изолиний дисперсии прогнозируемых значений для этих планов. The matrix of planning experiments based on three-component compounds is considered. The method for the construction of the approximation polynomials and dispersion isolines of the forecasted values for experimental planning matrices is described for two different cases: when the experimental points are located at the simplex vertices simplex edges or when they are located inside the investigated region. The construction scheme for dispersion isolines of forecasted values in the case of regression polynomials of the second, the third and the fourth orders in the Cartesian coordinates is proposed. For the construction of ternary plots using Cartesian coordinates, the Draper-Lawrence transition formula was exploited. Proposed scheme is approved using experimental matrices of D-optimal and simplex-grate plans of the second, third and fourth order. Several optimal matrices for experimental plans of the second order were obtained using the computer mathematics system. Dispersion isolines of the forecasted values for these plans were constructed. uk Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Побудова апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсії прогнозованих значень із використанням систем комп’ютерної математики Построение аппроксимационных полиномов и изолиний дисперсии прогнозируемых значений с использованием систем компьютерной математики Construction of approximation polynomials and dispersion isolines of forecasted values using computer mathematics systems Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Побудова апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсії прогнозованих значень із використанням систем комп’ютерної математики |
| spellingShingle |
Побудова апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсії прогнозованих значень із використанням систем комп’ютерної математики Гадзаман, І.В. Баранецький, В.І. Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень |
| title_short |
Побудова апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсії прогнозованих значень із використанням систем комп’ютерної математики |
| title_full |
Побудова апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсії прогнозованих значень із використанням систем комп’ютерної математики |
| title_fullStr |
Побудова апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсії прогнозованих значень із використанням систем комп’ютерної математики |
| title_full_unstemmed |
Побудова апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсії прогнозованих значень із використанням систем комп’ютерної математики |
| title_sort |
побудова апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсії прогнозованих значень із використанням систем комп’ютерної математики |
| author |
Гадзаман, І.В. Баранецький, В.І. |
| author_facet |
Гадзаман, І.В. Баранецький, В.І. |
| topic |
Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень |
| topic_facet |
Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень |
| publishDate |
2013 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Системні дослідження та інформаційні технології |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Построение аппроксимационных полиномов и изолиний дисперсии прогнозируемых значений с использованием систем компьютерной математики Construction of approximation polynomials and dispersion isolines of forecasted values using computer mathematics systems |
| description |
Розглядаються матриці планування експериментів на основі трьохкомпонентних сполук. Описано метод побудови апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсії прогнозованих значень для експериментальних матриць планування як для випадку, коли експериментальні точки знаходяться у вершинах або на гранях симплекса, так і тоді, коли вони усі розташовуються всередині області, що досліджується. Наведено схему побудови ізоліній дисперсії прогнозованих значень у випадку регресійних поліномів другого, третього та четвертого порядків у декартовій системі координат. Для побудови тернарних графіків у декартовій системі координат використовуються формули переходу Дрейпера-Лоуренса. Цю схему апробовано на експериментальних матрицях D-оптимальних та симплекс-ґраткових планів із другого по четвертий порядок включно. За допомогою систем комп’ютерної математики отримано декілька оптимальних матриць для експериментальних планів другого порядку, та побудовано ізоліній дисперсії прогнозованих значень для цих планів.
Рассматриваются матрицы планирования экспериментов на основе трехкомпонентных соединений. Описан метод построения аппроксимационных полиномов и изолиний дисперсии предсказанных значений для экспериментальных матриц планирования как для случая, когда экспериментальные точки находятся в вершинах или на гранях симплекса, так и тогда, когда они все располагаются внутри исследуемой области. Приведена схема построения изолиний дисперсии предсказанных значений в случае регрессионных полиномов второго, третьего и четвертого порядков в декартовой системе координат. Для построения тернарных графиков в декартовой системе координат используются формулы перехода Дрейпера-Лоуренса. Данную схему апробировано на экспериментальных матрицах D-оптимальных и симплекс-решотчатых планов со второго по четвертый порядок включительно. С помощью систем компьютерной математики получено несколько оптимальных матриц для экспериментальных планов второго порядка, и построено изолиний дисперсии прогнозируемых значений для этих планов.
The matrix of planning experiments based on three-component compounds is considered. The method for the construction of the approximation polynomials and dispersion isolines of the forecasted values for experimental planning matrices is described for two different cases: when the experimental points are located at the simplex vertices simplex edges or when they are located inside the investigated region. The construction scheme for dispersion isolines of forecasted values in the case of regression polynomials of the second, the third and the fourth orders in the Cartesian coordinates is proposed. For the construction of ternary plots using Cartesian coordinates, the Draper-Lawrence transition formula was exploited. Proposed scheme is approved using experimental matrices of D-optimal and simplex-grate plans of the second, third and fourth order. Several optimal matrices for experimental plans of the second order were obtained using the computer mathematics system. Dispersion isolines of the forecasted values for these plans were constructed.
|
| issn |
1681–6048 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50023 |
| citation_txt |
Побудова апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсії прогнозованих значень із використанням систем комп’ютерної математики / І.В. Гадзаман, В.І. Баранецький // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2013. — № 1. — С. 118-125. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT gadzamanív pobudovaaproksimacíinihpolínomívtaízolíníidispersííprognozovanihznačenʹízvikoristannâmsistemkompûternoímatematiki AT baranecʹkiiví pobudovaaproksimacíinihpolínomívtaízolíníidispersííprognozovanihznačenʹízvikoristannâmsistemkompûternoímatematiki AT gadzamanív postroenieapproksimacionnyhpolinomoviizoliniidispersiiprognoziruemyhznačeniisispolʹzovaniemsistemkompʹûternoimatematiki AT baranecʹkiiví postroenieapproksimacionnyhpolinomoviizoliniidispersiiprognoziruemyhznačeniisispolʹzovaniemsistemkompʹûternoimatematiki AT gadzamanív constructionofapproximationpolynomialsanddispersionisolinesofforecastedvaluesusingcomputermathematicssystems AT baranecʹkiiví constructionofapproximationpolynomialsanddispersionisolinesofforecastedvaluesusingcomputermathematicssystems |
| first_indexed |
2025-11-24T17:23:08Z |
| last_indexed |
2025-11-24T17:23:08Z |
| _version_ |
1850490278067044352 |
| fulltext |
І.В. Гадзаман, В.І.Баранецький, 2013
118 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 1
УДК 519.24: 519.25: 519.688
ПОБУДОВА АПРОКСИМАЦІЙНИХ ПОЛІНОМІВ
ТА ІЗОЛІНІЙ ДИСПЕРСІЇ ПРОГНОЗОВАНИХ ЗНАЧЕНЬ
ІЗ ВИКОРИСТАННЯМ СИСТЕМ
КОМП’ЮТЕРНОЇ МАТЕМАТИКИ
І.В. ГАДЗАМАН, В.І. БАРАНЕЦЬКИЙ
Розглядаються матриці планування експериментів на основі трьохкомпонент-
них сполук. Описано метод побудови апроксимаційних поліномів та ізоліній
дисперсії прогнозованих значень для експериментальних матриць планування
як для випадку, коли експериментальні точки знаходяться у вершинах або на
гранях симплекса, так і тоді, коли вони усі розташовуються всередині області,
що досліджується. Наведено схему побудови ізоліній дисперсії прогнозованих
значень у випадку регресійних поліномів другого, третього та четвертого
порядків у декартовій системі координат. Для побудови тернарних графіків
у декартовій системі координат використовуються формули переходу Дрей-
пера-Лоуренса. Цю схему апробовано на експериментальних матрицях
D-оптимальних та симплекс-ґраткових планів із другого по четвертий порядок
включно. За допомогою систем комп’ютерної математики отримано декілька
оптимальних матриць для експериментальних планів другого порядку, та по-
будовано ізоліній дисперсії прогнозованих значень для цих планів.
ВСТУП
Класична концепція планування статистичних експериментів плідно вико-
ристовується для розв’язання багатьох прикладних задач. Практика прове-
дення прикладних робіт засвідчила високу ефективність застосування
планування експериментів у хімії, фізиці, біології, матеріалознавстві та ба-
гатьох інших галузях науки і техніки [1, 2, 3]. Разом із цим ускладнення мо-
делей і їхнє різноманіття ставить задачі оптимізації наукових досліджень,
що у багатьох випадках виходять за рамки вже існуючих методів проведен-
ня та обробки результатів експериментів. Створення складних моделей по-
в’язане насамперед із використанням сучасної обчислювальної техніки, що
дозволила вивчати великі системи, які залежать від багатьох факторів [2, 4].
Мета роботи — побудова рівнянь регресії для трьохкомпонентних екс-
периментальних планів та ізоліній дисперсії прогнозованих значень для цих
планів, у випадку коли всі експериментальні точки знаходяться всередині
області досліджень.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Для побудови математичних моделей реальних процесів і явищ та розв’язку
задач по діаграмах «склад-властивість» широко використовуються плани
Шеффє, Кіфера, Бокса, Дрейпера-Лоуренса та ін. [1, 5, 6].
Побудова апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсій прогнозованих значень …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 1 119
Основою побудови математичних моделей для цих планів є апарат
регресійного аналізу. Оскільки в більшості задач по вивченню поверхні
відклику, залежність між відкликом і незалежними змінними (факторами)
невідома, то, на першому етапі, необхідно знайти апроксимуючу функцію,
яка може бути представлена у вигляді звичайного поліному степені n від
q змінних, що містить n
nqC коефіцієнтів:
...=
1111
0
lkjiijkl
qlkji
kjiijk
qkji
jiij
qji
ii
qi
xxxxbxxxbxxbxbbY ,
де Y — функція відклику (вихідний параметр); ix — фактори (регульовані
керуючі параметри); iji bbb ,,0 тощо — коефіцієнти рівняння регресії; n —
число вхідних змінних.
Плануючи експеримент під час вивчення діаграм «склад-властивість»
факторний простір являє собою правильний )1( q — мірний симплекс, для
якого в афінній системі координат виконується співвідношення
1=
1=
i
q
i
x .
Для 3q правильний симплекс являє собою рівносторонній трикут-
ник, де кожна з точок трикутника відповідає одному складу потрійної сис-
теми, і, навпаки, кожний склад визначається однією точкою.
При побудові регресійних співвідношень, що представляють спрощену
математичну модель явища часто вдається обмежитися розкладанням за по-
ліномами другого порядку.
У планах, запропонованих Дрейпером та Лоуренсом, на відміну від ін-
ших, експеримент проводиться тільки з q -компонентними сполуками, що
є їх суттєвою перевагою, адже вони передбачають одночасне варіювання
всіх факторів. Для зручності побудови тернарних графіків (трьохкомпо-
нентні системи) Дрейпер і Лоуренс вводять нову систему координат. При
цьому початок координат співпадає з центром ваги концентраційного три-
кутника ),,( 321 xxx , одна з вершин лежить на осі 2z , а дві інші симетричні
відносно цієї осі [1, 7].
Для побудови полінома другого порядку стосовно трьохкомпонентних
систем Дрейпер і Лоуренс побудували плани, які містять від 8 до 15 експе-
риментальних точок [8].
Оцінку коефіцієнтів поліномів можна провести згідно матричного рів-
няння YXXX TT 1)( або отримати, використовуючи властивості наси-
ченості плану [5].
Оскільки точність прогнозування відклику неоднакова в різних точках
симплекса, то однією із характеристик «якості» планів можна використову-
вати дисперсію прогнозованиго значення відклику. Її можна визначити за
законом накопичення помилок, адже вона, здебільшого, залежить від числа
і розподілу паралельних дослідів між окремими точками плану. Збільшуючи
кількість паралельних дослідів дисперсію }{2 y можна зробити досить ма-
І.В. Гадзаман, В.І.Баранецький
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 1 120
лою. Проте на практиці число паралельних дослідів завжди обмежене і для
полегшення розрахунків часто обмежуються проведенням однакової кіль-
кості паралельних дослідів для всіх експериментальних точок.
У такому випадку дисперсію прогнозованого значення відклику шука-
ють за формулою:
r
yy }{}{ 22 ,
де }{2 y — дисперсія відтворюваності, r — число паралельних дослідів.
Для симплекс-ґраткових та D-оптимальних планів формули для розра-
хунку регресійних коефіцієнтів апроксимуючих поліномів (зведених полі-
номів Шеффе) отримані з урахуванням того, що вони є лінійними функція-
ми відкликів у вершинах симплекса [1].
Коли ж експеримент проводиться тільки з q -компонентними сполука-
ми, або використовуються ненасичені чи перенасичені плани, оцінку коефі-
цієнтів відповідних поліномів та значення дисперсії прогнозованого значен-
ня провести значно складніше. У таких випадках для розрахунків доцільно
використовувати спеціалізовані програми для статистичного опрацювання
даних.
У цій роботі для побудови графіків дисперсії прогнозованого значення
пропонується така схема: будується матриця планування, далі, на її основі,
використовуючи метод найменших квадратів, шукається апроксимаційний
поліном та отримуються значення }.ˆ{2 y Програмна реалізація здійснюєть-
ся за допомогою використання системи комп’ютерної математики
«Mathematica».
ПОБУДОВА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ
Покажемо реалізацію запропонованої схеми на прикладі моделі другого по-
рядку. Зважаючи на те, що часто експериментатору важко оперувати склад-
ними сполуками із дробовими співвідношеннями компонентів та досить
значним збільшенням дисперсії у вузлах симплекса, то обмежимось значен-
нями .8,0,, 321 xxx
Точки плану — вершини трикутників, подібних концентраційному,
з центром в початку координат і сторонами p та .g У системі 1z та 2z
координати точок обчислюються за формулами:
.
6
3,
2
1,
3
1,0,
6
3,
2
1,
3
1,0
gggppp
Формули для переходу від декартової системи координат 21zz до тер-
нарної 321 xxx та навпаки наведені в [5].
Побудуємо апроксимаційний поліном на прикладі моделі другого по-
рядку із параметрами 7,0p та .29,0g Значення експериментальних то-
чок наведені в табл. 1.
Побудова апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсій прогнозованих значень …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 1 121
Т а б л и ц я 1 . Матриця планування у тернарній системі координат
Номер досліду Значення експериментальних точок
i 1x 2x 3x
1 0,1 0,1 0,8
2 0,1 0,8 0,1
3 0,8 0,1 0,1
4 0,43 0,43 0,14
5 0,14 0,43 0,43
6 0,43 0,14 0,43
Використовуючи метод найменших квадратів (функцію Fit у середо-
вищі Mathematica), побудуємо апроксимаційний поліном:
1
2
21211
2
1321 0,1316650,6856720,131665),,( ysxysxxysxxxxf
1
2
3132131 99314,11,781861,78186 ysxysxxysxx
2
2
22212
2
1 99314,178186,1131665,0 ysxysxxysx
2
2
3232231 131665,078186,1685672,0 ysxysxxysxx
3
2
23213
2
1 131665,078186,199314,1 ysxysxxysx
3
2
3332331 131665,0685672,078186,1 ysxysxxysxx
4
2
24214
2
1 767133,089561,7767133,0 ysxysxxysx
4
2
3432431 277799,050878,150878,1 ysxysxxysxx
5
2
25215
2
1 767133,0508781,1277799,0 ysxysxxysx
5
2
3532531 767133,089561,750878,1 ysxysxxysxx
6
2
26216
2
1 277799,050878,1767133,0 ysxysxxysx
,767133,050878,189561,7 6
2
3632631 ysxysxxysxx
де
isy — значення відклику в експериментальних точках.
Звівши подібні доданки при ,
isy отримаємо середні квадратичні відхи-
лення, які піднесемо до квадрату. Оскільки математична модель не передба-
чає паралельних дослідів, то .1
isy Поліном для побудови ліній рівних
значень набуде вигляду:
4
2
3
21
2
2
2
12
3
1
4
1 26142,5029,181226,75029,1826142,5 xxxxxxxx
2
3
2
13
3
23
2
2132
2
13
3
1 1226,75029,188238,308238,30029,18 xxxxxxxxxxxx
І.В. Гадзаман, В.І.Баранецький
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 1 122
.26142,5029,18029,181226,758238,30 4
3
3
32
3
31
2
3
2
2
2
321 xxxxxxxxxx
Розташування експериментальних точок та лінії рівних значень для
даної моделі наведено на рис. 1.
Таким чином, можна провести оцінку коефіцієнтів регресійних поліно-
мів та побудувати контурний графік для моделей і вищих порядків.
АПРОБАЦІЯ МОДЕЛІ
На рис. 2–6 зображено лінії рівних значень для симплекс-ґраткових та
D-оптимальних планів. Зліва наведені графіки, що взяті з літературних дже-
рел [1, 5], справа — змодельовані.
Як видно з рис. 2–6 характер ізоліній є однаковим, тому запропоно-
вана схема може мати місце при обчисленні коефіцієнтів регресійних полі-
номів та побудові дисперсії прогнозованих значень.
Рис. 2. Ізолінії для симплекс-ґраткового плану 2-го порядку
X1
Рис. 1. Ізолінії дисперсії прогнозованого значення )29,0;7,0( gp
X1
X3
X2
Побудова апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсій прогнозованих значень …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 1 123
Рис. 3. Ізолінії для симплекс-ґраткового плану 3-го порядку
Рис. 4. Ізолінії для симплекс-ґраткового плану 4-го порядку
Рис. 5. Ізолінії для D-оптимального плану 3-го порядку
І.В. Гадзаман, В.І.Баранецький
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 1 124
РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ
Використовуючи запропоновану схему, було отримано ряд матриць
планування 2-го порядку. У табл. 2–3 наведено дві вибрані матриці,
а на рис. 7–8 — ізолінії ξ для цих матриць.
Рис. 6. Ізолінії для D-оптимального плану 4-го порядку
Т а б л и ц я 2 . Значення експеримен-
тальних точок )44,0;685,0( gp
n 1x 2x 3x 1x
1 0,105 0,105 0,79 1
2 0,105 0,79 0,105 1
3 0,79 0,105 0,105 1
4 0,48 0,48 0,04 1
5 0,04 0,48 0,48 1
6 0,48 0,04 0,48 1
Рис. 7. Ізолінії )44,0;685,0( gp
X3
X2
X1
Т а б л и ц я 3 . Значення експери-
ментальних точок )44,0;7,0( gp
n 1x 2x 3x 1x
1 0,1 0,1 0,8 1
2 0,1 0,8 0,1 1
3 0,8 0,1 0,1 1
4 0,48 0,48 0,04 1
5 0,04 0,48 0,48 1
6 0,48 0,04 0,48 1
Рис. 8. Ізолінії )44,0;7,0( gp
X3
X2
X1
Побудова апроксимаційних поліномів та ізоліній дисперсій прогнозованих значень …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 1 125
Вибірка матриць проводилася за критерієм max
6,04,1
SS , де
4,1S
та
6,0S — площі фігур, обмежені лініями та 6,0 відповідно.
Як видно із рисунків 7–8, досить великі ділянки досліджуваної області
обмежені значеннями , що близькі до одиниці; а отже, за допомогою наве-
дених у табл. 2–3 отриманих оптимальних матриць планування можна більш
достовірно описати взаємозв’язок між складом і властивістю.
Наведена схема оцінки коефіцієнтів регресійних поліномів та побудови
ізоліній дисперсії прогнозованого значення для випадків ненасичених чи
перенасичених експериментальних планів та у випадку, коли всі експери-
ментальні точки лежать усередині області дослідження дає змогу проводити
оцінку оптимальності матриць планування. Розроблена програма для побу-
дови ліній рівних значень дисперсії пройшла апробацію на матрицях плану-
вання симплекс-ґраткових і D-оптимальних планів другого, третього та чет-
вертого порядків. Отримано декілька матриць планування для 2-го порядку
з оптимальними значеннями дисперсії.
ЛІТЕРАТУРА
1. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Оптимизация эксперимента в химической тех-
нологии. — М.: Высш. школа, 1985. — 327 с.
2. Лапач С.Н., Губенко А.В., Бабич П.Н. Статистические методы в медико-
биологических исследованиях с использованием Excel. — 2-е изд., перераб.
и доп. — К: МОРИОН, 2001. — 408 с.
3. Спиридонов А.А. Планирование эксперимента при исследовании технологиче-
ских процессов. — М.: Машиностроение, 1981. — 184 с.
4. Дьяконов В.П. Mathematica 4.1/4.2/5.0 в математических и научно-технических
расчетах. — М.: СОЛОН-Пресс, 2004. — 316 с.
5. Зедгинидзе И.Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпо-
нентных систем. — М.: Наука, 1976. — 390 с.
6. Налимов В.В. Применение математической статистики при анализе вещест-
ва. — М.: Гос. изд-во лит-ры, 1960. — 430 с.
7. Баранецький В.І., Гадзаман I.В. Використання середовища Mathematica для оп-
тимізації аналітичного запису рівнянь регресії n-го порядку // Актуальні
проблеми фізики, математики та інформатики. — 2009. — № 1. — С. 38–40.
8. Draper N.R. and Lawrence W. Mixture designs for three factors // Journal of the
Royal Statistical Society. — 1965.— Series B, 27, № 3. — Р. 450–465.
Надійшла 07.06.2011
|