Задача распределения ресурса при нечетко заданных исходных данных
Задача рационального распределения однородного ресурса поставлена в предположении, что параметры целевой функции — нечеткие числа с известными функциями принадлежности. Проанализирована стандартная технология решения этой задачи, выявлены ее недостатки. Предложены два подхода, в которых эти недостат...
Saved in:
| Published in: | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50030 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Задача распределения ресурса при нечетко заданных исходных данных / О.В. Серая, Т.И. Каткова // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2013. — № 2. — С. 44-53. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50030 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Серая, О.В. Каткова, Т.И. 2013-10-02T23:36:12Z 2013-10-02T23:36:12Z 2013 Задача распределения ресурса при нечетко заданных исходных данных / О.В. Серая, Т.И. Каткова // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2013. — № 2. — С. 44-53. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50030 519.85 Задача рационального распределения однородного ресурса поставлена в предположении, что параметры целевой функции — нечеткие числа с известными функциями принадлежности. Проанализирована стандартная технология решения этой задачи, выявлены ее недостатки. Предложены два подхода, в которых эти недостатки устраняются. Первый из них основан на следующем. Отыскивается функция принадлежности нечеткого значения целевой функции задачи. Положение этой функции зависит от оптимизируемого набора, который выбирается таким образом, чтобы максимально сместить тело неопределенности целевой функции в область экстремального ее значения. Другой подход использует следующую двухэтапную процедуру. На первом этапе исходная задача решается при условии, что все ее нечеткие параметры заданы на уровне модальных значений. Далее конструируется составной критерий, одна компонента которого определяет компактность тела неопределенности значения целевой функции, а вторая характеризует меру отклонения искомого решения от модального. Таким образом, исходная нечеткая задача сводится к четкой задаче математического программирования. Приведен пример. Задача раціонального розподілу однорідного ресурсу поставлена в припущенні, що параметри цільової функції — нечіткі числа з відомими функціями приналежності. Проаналізовано стандартну технологію вирішення цієї задачі, виявлено її недоліки. Запропоновано два підходи, в яких ці недоліки усуваються. Перший з них засновано на наступному. Відшукується функція приналежності нечіткого значення цільової функції задачі. Положення цієї функції залежить від того, який набір оптимізується, що вибирається таким чином, щоб максимально змістити тіло невизначеності цільової функції в область екстремального її значення. Інший підхід використовує наступну двоетапну процедуру. На першому етапі вихідна задача вирішується за умови, що всі її нечіткі параметри вказані на рівні модальних значень. Далі конструюється складовий критерій, одна компонента якого визначає компактність тіла невизначеності значення цільової функції, а друга характеризує міру відхилення шуканого рішення від модального. Таким чином, вихідна нечітка задача зводиться до чіткої задачі математичного програмування. Наведено приклад. The problem of rational distribution of a homogeneous resource was set on the assumption that the parameters of the objective function are fuzzy numbers with known membership functions. Standard technology of solving this problem is analyzed, its shortcomings are identified. Two approaches, in which these disadvantages are eliminated, are suggested. The first is based on the following. Membership function of the fuzzy value of the objective function of the problem is found. The position of this function depends on optimized choice, which is chosen in such a way as to move the body of the uncertainty of the objective function in the area of its extreme value. Another approach uses the following two-step procedure. In the first phase the original problem is solved, in condition that all of its fuzzy parameters are set at the level of modal values. Further composite criterion is constructed, one component of which determines the density of the body of uncertainty of the objective function, and the second describes the degree of deviation from the desired modal solutions. Thus, the original fuzzy problem is reduced to precise mathematical programming. The example is given. ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Прогресивні інформаційні технології, високопродуктивні комп’ютерні системи Задача распределения ресурса при нечетко заданных исходных данных Задача розподілу ресурсу за нечітко заданих вхідних даних Problem of resource distribution at the fuzzy set of basic data Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Задача распределения ресурса при нечетко заданных исходных данных |
| spellingShingle |
Задача распределения ресурса при нечетко заданных исходных данных Серая, О.В. Каткова, Т.И. Прогресивні інформаційні технології, високопродуктивні комп’ютерні системи |
| title_short |
Задача распределения ресурса при нечетко заданных исходных данных |
| title_full |
Задача распределения ресурса при нечетко заданных исходных данных |
| title_fullStr |
Задача распределения ресурса при нечетко заданных исходных данных |
| title_full_unstemmed |
Задача распределения ресурса при нечетко заданных исходных данных |
| title_sort |
задача распределения ресурса при нечетко заданных исходных данных |
| author |
Серая, О.В. Каткова, Т.И. |
| author_facet |
Серая, О.В. Каткова, Т.И. |
| topic |
Прогресивні інформаційні технології, високопродуктивні комп’ютерні системи |
| topic_facet |
Прогресивні інформаційні технології, високопродуктивні комп’ютерні системи |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Системні дослідження та інформаційні технології |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Задача розподілу ресурсу за нечітко заданих вхідних даних Problem of resource distribution at the fuzzy set of basic data |
| description |
Задача рационального распределения однородного ресурса поставлена в предположении, что параметры целевой функции — нечеткие числа с известными функциями принадлежности. Проанализирована стандартная технология решения этой задачи, выявлены ее недостатки. Предложены два подхода, в которых эти недостатки устраняются. Первый из них основан на следующем. Отыскивается функция принадлежности нечеткого значения целевой функции задачи. Положение этой функции зависит от оптимизируемого набора, который выбирается таким образом, чтобы максимально сместить тело неопределенности целевой функции в область экстремального ее значения. Другой подход использует следующую двухэтапную процедуру. На первом этапе исходная задача решается при условии, что все ее нечеткие параметры заданы на уровне модальных значений. Далее конструируется составной критерий, одна компонента которого определяет компактность тела неопределенности значения целевой функции, а вторая характеризует меру отклонения искомого решения от модального. Таким образом, исходная нечеткая задача сводится к четкой задаче математического программирования. Приведен пример.
Задача раціонального розподілу однорідного ресурсу поставлена в припущенні, що параметри цільової функції — нечіткі числа з відомими функціями приналежності. Проаналізовано стандартну технологію вирішення цієї задачі, виявлено її недоліки. Запропоновано два підходи, в яких ці недоліки усуваються. Перший з них засновано на наступному. Відшукується функція приналежності нечіткого значення цільової функції задачі. Положення цієї функції залежить від того, який набір оптимізується, що вибирається таким чином, щоб максимально змістити тіло невизначеності цільової функції в область екстремального її значення. Інший підхід використовує наступну двоетапну процедуру. На першому етапі вихідна задача вирішується за умови, що всі її нечіткі параметри вказані на рівні модальних значень. Далі конструюється складовий критерій, одна компонента якого визначає компактність тіла невизначеності значення цільової функції, а друга характеризує міру відхилення шуканого рішення від модального. Таким чином, вихідна нечітка задача зводиться до чіткої задачі математичного програмування. Наведено приклад.
The problem of rational distribution of a homogeneous resource was set on the assumption that the parameters of the objective function are fuzzy numbers with known membership functions. Standard technology of solving this problem is analyzed, its shortcomings are identified. Two approaches, in which these disadvantages are eliminated, are suggested. The first is based on the following. Membership function of the fuzzy value of the objective function of the problem is found. The position of this function depends on optimized choice, which is chosen in such a way as to move the body of the uncertainty of the objective function in the area of its extreme value. Another approach uses the following two-step procedure. In the first phase the original problem is solved, in condition that all of its fuzzy parameters are set at the level of modal values. Further composite criterion is constructed, one component of which determines the density of the body of uncertainty of the objective function, and the second describes the degree of deviation from the desired modal solutions. Thus, the original fuzzy problem is reduced to precise mathematical programming. The example is given.
|
| issn |
1681–6048 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50030 |
| citation_txt |
Задача распределения ресурса при нечетко заданных исходных данных / О.В. Серая, Т.И. Каткова // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2013. — № 2. — С. 44-53. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT seraâov zadačaraspredeleniâresursaprinečetkozadannyhishodnyhdannyh AT katkovati zadačaraspredeleniâresursaprinečetkozadannyhishodnyhdannyh AT seraâov zadačarozpodíluresursuzanečítkozadanihvhídnihdanih AT katkovati zadačarozpodíluresursuzanečítkozadanihvhídnihdanih AT seraâov problemofresourcedistributionatthefuzzysetofbasicdata AT katkovati problemofresourcedistributionatthefuzzysetofbasicdata |
| first_indexed |
2025-11-25T22:45:34Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:45:34Z |
| _version_ |
1850571736250056704 |
| fulltext |
© О.В. Серая, Т.И. Каткова, 2013
44 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 2
УДК 519.85
ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСА ПРИ НЕЧЕТКО
ЗАДАННЫХ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
О.В. СЕРАЯ, Т.И. КАТКОВА
Задача рационального распределения однородного ресурса поставлена в пред-
положении, что параметры целевой функции — нечеткие числа с известными
функциями принадлежности. Проанализирована стандартная технология ре-
шения этой задачи, выявлены ее недостатки. Предложены два подхода, в кото-
рых эти недостатки устраняются. Первый из них основан на следующем. Оты-
скивается функция принадлежности нечеткого значения целевой функции
задачи. Положение этой функции зависит от оптимизируемого набора, кото-
рый выбирается таким образом, чтобы максимально сместить тело неопреде-
ленности целевой функции в область экстремального ее значения. Другой
подход использует следующую двухэтапную процедуру. На первом этапе ис-
ходная задача решается при условии, что все ее нечеткие параметры заданы на
уровне модальных значений. Далее конструируется составной критерий, одна
компонента которого определяет компактность тела неопределенности значе-
ния целевой функции, а вторая характеризует меру отклонения искомого ре-
шения от модального. Таким образом, исходная нечеткая задача сводится
к четкой задаче математического программирования. Приведен пример.
ВВЕДЕНИЕ
Рациональное распределение ограниченного ресурса — одна из традицион-
ных задач практики. Качество распределения ресурса непосредственно свя-
зано с эффективностью функционирования элементов сложных социальных,
экономических, технических систем, а также этих систем в целом. Тради-
ционная постановка задачи такова: имеющийся некоторый ограниченный
ресурс необходимо каким-либо разумным образом распределить между его
потребителями. Задача в такой постановке является обычной задачей мате-
матического программирования и многократно обсуждалась. Количество
публикаций по этой проблеме огромно (объединенная библиография наибо-
лее популярных работ [1–5] содержит более 500 наименований).
Уровень сложности задач распределения ресурса существенно зависит
от принятых предположений относительно характера исходных данных,
структуры системы, между элементами которой осуществляется распреде-
ление ресурса, размерности задачи. При этом, проблематика детерминиро-
ванных задач рассматривалась достаточно тщательно. Гораздо менее иссле-
дованы недетерминированные задачи. По вполне понятным причинам
исходная информация, используемая при планировании и управлении сис-
темами, как правило, недостаточно достоверна. Это касается, в частности,
данных о ходе выполнения плана, состоянии объектов, его реализующих,
а также факторов внешней среды, в которой функционирует система. При
этом, характер неопределенности в отношении численных значений влияю-
щих факторов может быть разным. Во многих случаях практический опыт,
статистическое исследование процессов, обуславливающих искажение ис-
Задача распределения ресурса при нечетко заданных исходных данных
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 2 45
ходных данных, позволяют установить вероятностные характеристики неде-
терминированных параметров системы и найти их распределения. Однако
достаточно часто возникает ситуация, когда реальных статистических дан-
ных об этих параметрах недостаточно для формулировки и проверки пра-
вильности каких-либо правдоподобных гипотез относительно характера
соответствующих распределений. В этих случаях для описания таких пара-
метров естественно использовать формальный аппарат нечеткой матема-
тики [6].
Цель работы — совершенствование технологий решения задач рацио-
нального распределения ресурса при нечетких исходных данных.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть с единиц однородного ресурса необходимо рационально распреде-
лить между потребителями. Введем набор функций ))(( jj xϕ , ,,,2,1 nj K=
определяющих прибыль, получаемую j-м потребителем, при использовании
ресурса .jx Тогда задача распределения формализуется следующим обра-
зом: найти набор ,),,,( 21 nxxxX K= максимизирующий:
∑
=
=
n
j
jj xХF
1
)()( ϕ (1)
и удовлетворяющий ограничениям
∑
=
=
n
j
j cx
1
, (2)
0≥jx , nj ,,2,1 K= . (3)
Будем считать теперь, что функции, задающие прибыль от реализации
ресурса, содержат параметр, заданный нечетко. При этом соответствующую
функцию для j-го потребителя запишем в виде ),,( jjj ахϕ где jа — нечет-
кое число с известной функцией принадлежности ).( jaμ
Тогда задача (1)–(3) становится задачей нечеткого математического
программирования. Рассмотрим возможные подходы к решению этой задачи.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Стандартная технология решения этой задачи состоит в сведении ее к чет-
кой задаче математического программирования следующим образом [7, 8].
Вводится некоторое значение α уровня принадлежности нечетких
параметров ,jа nj ,,2,1 L= . Теперь исходная задача (1)–(3) переформули-
руется так: найти набор ,),,,( 21 nxxxX K= а также набор ,),,,( 21 naaaA K=
максимизирующие
∑
=
=
n
j
jjj axAХF
1
),(),( ϕ (4)
О.В. Серая, Т.И. Каткова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 2 46
и удовлетворяющие ограничениям (2), (3) и ограничениям
,)( αμ ≥ja .,,2,1 nj K= (5)
При этом считают, что получаемый в результате решения задачи (2)–(5)
набор ∗Х удовлетворяет ограничениям (2), (3) и принадлежит совокупности
альтернатив, максимизирующих (4), со степенью не ниже α. К этому подхо-
ду может быть предъявлен ряд очевидных и естественных претензий. Во-
первых, размерность получаемой задачи выше размерности исходной, так
как содержит вдвое больше варьируемых переменных. Во-вторых, задача
(2)–(5) может оказаться существенно сложнее задачи (1)–(3). Например, ес-
ли в исходную функцию варьируемые переменные jх входят линейно, то
в преобразованную функцию переменные jх и jа могут входить квадра-
тично. В третьих, получаемый в результате решения задачи набор ∗Х дос-
тавляет целевой функции (4) максимальное значение, если компоненты на-
бора А примут конкретные значения *
jj aa = , что плохо согласуется с их
нечетким статусом. Свободный от указанных недостатков подход предло-
жен в [9, 10]. Используя правила выполнения операций над нечеткими чис-
лами [6–9], с учетом функций принадлежности )( jaμ , nj ,,2,1 K= , найдем
функцию принадлежности )),(( AХFμ нечеткого значения целевой функ-
ции ),( AХF . Выберем некоторое фиксированное значение 1<α уровня
принадлежности нечеткого числа ),( AХF и решим уравнение
.)()),(( αμμ == yAХF (6)
Поскольку функции принадлежности, как правило, выпуклы вверх,
уравнение (6) имеет два корня: )).(),(( 1
2
1
12,1 αμαμ −−=y
Каждый из полученных корней представляет собой некоторую функ-
цию переменных задачи Х. Выберем из них, например, )(1 Xу и поставим
задачу отыскания набора ,∗Х максимизирующего )(1 Xу и удовлетворяю-
щего ограничениям (2), (3). Понятно, что в результате реализации этой про-
цедуры тело неопределенности, соответствующее функции принадлежности
полученного нечеткого значения целевой функции ,),( AХF ∗ максимально
сместится в область больших значений целевой функции задачи, что вполне
соответствует постановке исходной задачи. Поясним сказанное простым
примером.
Пусть исходная задача формируется следующим образом: найти набор
),,,( 21 nxxxX K= , максимизирующий целевую функцию
1,),(
1
<=∑
=
pхaAХF
n
j
p
jj (7)
и удовлетворяющий ограничениям (2), (3), причем ja — нечеткие числа
с гауссовыми функциями принадлежности
Задача распределения ресурса при нечетко заданных исходных данных
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 2 47
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ −
−= 2
2)0(
2
)(
exp)(
j
jj
j
aa
a
σ
μ , .,,2,1 nj K= (8)
Тогда для любого набора Х целевая функция (7) будет нечетким чис-
лом с функцией принадлежности
( )
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ −
−==
)(2
)(exp)()),(( 2
2)0(
Х
XууyAXF
уσ
μμ , (9)
где
∑
=
=
n
j
p
jj хaXу
1
0)0( )( , .)(
1
222 ∑
=
=
n
j
p
jjy хX σσ (10)
Зададим значение функции принадлежности αμ =)(y и решим урав-
нение
α
σ
μ =
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ −
−=
)(2
))((exp)( 2
2)0(
Х
Хууy
у
. (11)
Отсюда
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
2
1
2
2)0(2
1
2
2)0(
2,1
1ln)()(,1ln)()(
α
σ
α
σ XXyXXyу yy .
Выбирая меньший из этих корней, запишем целевую функцию:
2
1
1
22
1
0
1 )(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−= ∑∑
==
∗
n
j
p
jj
n
j
p
jj хkхaXy σ ,
2
1
2
1ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
α
k . (12)
Получена следующая четкая задача математического программирова-
ния: найти ,∗Х максимизирующий (12) и удовлетворяющий (2), (3). Реше-
ние этой задачи легко трактуется — четкому набору ∗Х соответствует не-
четкое число с функцией принадлежности:
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
∑
∑
=
∗
=
∗
n
j
p
jj
n
j
p
jj
х
хау
X
1
22
2
1*
)(2
)(
exp)(
σ
μ ,
максимально смещенной в область больших значений целевой функции за-
дачи.
Следует отметить, что и этот подход не безупречен. При его реализа-
ции остаются не ясными следующие вопросы: во-первых, зависит ли ре-
зультат решения задачи от выбираемого значения α и, если зависит, то как
это значение задавать; во-вторых, зависит ли результат решения задачи от
О.В. Серая, Т.И. Каткова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 2 48
того, какой из корней уравнения (11) нужно максимизировать и, если зави-
сит, то как выбирать нужный корень.
В связи с этим рассмотрим еще один метод решения задачи (2)–(4).
Вначале решим эту задачу, задав значения нечетких ее параметров равными
модальным. При этом целевая функция (7) примет вид:
∑
=
=
n
j
p
jj хaAХF
1
)0()0( ),( . (13)
Найдем набор ∗Х , максимизирующий (13) и удовлетворяющий (2), (3).
Сформируем функцию Лагранжа:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+= ∑∑
==
n
j
j
n
j
p
jj хсхaAХ
11
)0()0( ),(Ф λ . (14)
Дифференцируя (14) по jх и приравнивая производные к нулю, полу-
чим:
,0),(Ф 1)0(
)0(
=−= − λp
jj
j
рхa
dx
AХd
nj ,,2,1 K= .
Отсюда
)1/(1 −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
р
j р
x λ ,1
)1/(1
)0(
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
р
jа
nj ,,2,1 K= . (15)
Подставим (15) в (2). Имеем:
,1
1
)1/(1
)0(
)1/(1
1
∑∑
=
−−
=
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
n
j
р
j
рn
j
j c
ар
х λ
откуда
1
1
)1/(1
)0(
)1/(1
∑
=
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
n
j
р
j
р
а
с
р
λ . (16)
Тогда, объединяя (15) и (16), получим:
,
)(
)(
1
1
1
)1(
1
)0(
)1(
1
)0(
1
)1(
1
)0(
)1(
1
)0(
)0(
∑∑ =
−
−
=
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
j
р
j
р
j
n
j
p
j
p
j
j
a
ca
a
c
a
х .,,2,1 nj K= (17)
Набор ),...,,( )0()0(
2
)0(
1
)0(
nxxxX = соответствует модальным значениям
нечетких параметров задачи.
Задача распределения ресурса при нечетко заданных исходных данных
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 2 49
Таким образом, в результате проведенных действий определено мо-
дальное решение задачи ,)0(X и, кроме того, получено описание функции
принадлежности (9), (10) нечеткого значения целевой функции, соответст-
вующее произвольному набору .X Теперь искомым четким решением ис-
ходной нечеткой задачи (2)–(4) будем считать набор ,∗X которому соответст-
вует наиболее компактное тело неопределенности относительно функции
принадлежности нечеткого значения целевой функции задачи, и, одновре-
менно, который наименее уклоняется от модального набора .)0(X
Естественной мерой компактности тела неопределенности для функции
принадлежности нечеткого числа является его площадь. В соответствии
с этим, мера компактности тела неопределенности нечеткого значения целе-
вой функции задачи с учетом (11) определяется выражением:
∫
∑
∑
∫∫
∞
∞−
=
=
∞
∞−
∞
∞−
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−== .
2
exp
)(2
))((exp)(
1
22
2
1
)0(
2
2)0(
1 dy
xσ
xay
dy
Xσ
Xy-ydyyJ n
j
p
jj
n
j
p
jj
y
μ
С другой стороны, мера отклонения искомого набора ∗X от модально-
го )0(X рассчитывается по формуле:
).()( )0()0(
2 XXXXJ T −−=
Объединяя два последних выражения, получим функционал:
,)()(
2
)(y
exp )0()0(
1
22
1
2)0(
21 ∫
∑
∑∞
∞−
=
= −−+
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
−=+= XXXXdy
х
ха
JJJ T
n
j
р
jj
n
j
р
jj
σ
(18)
минимизация которого определяет искомый набор .*X
Так как σπσ 22
2
2
)(
=∫
∞
∞−
−
−
due
uu
, то (18) преобразуется к виду:
.)(2
1
2)0(
2
1
1
22 ∑∑
==
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
j
jj
n
j
p
jj хххJ σπ (19)
Тогда набор ,∗Х минимизирующий (19) и удовлетворяющий (2), есть
искомое решение исходной задачи.
Применим теперь описанную технологию для решения другой класси-
ческой задачи распределения ресурса [11]. Традиционно используемый
в этой задаче критерий Кобба–Дугласа имеет вид:
2
2
1
1021 ),( аа ххaxxF = . (20)
О.В. Серая, Т.И. Каткова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 2 50
Задача распределения ресурса формулируется следующим образом:
найти набор ,),( 21 xxX = максимизирующий (20) и удовлетворяющий огра-
ничениям:
,121 =+ xx (21)
.0,0 21 ≥≥ xx (22)
Пусть параметры 1а , 2а — нечеткие числа с функциями принадлеж-
ности ),( 11 aμ ).( 22 aμ Решим четкую задачу (20)–(22), задав параметры 1а
и 2а на уровне их модальных значений ., 0
2
0
1 аа При этом целевая функция
(20) примет вид:
.),(
)0(
2
)0(
1
210210
aa xxaxxF =
Используем метод неопределенных множителей Лагранжа. Функция
Лагранжа имеет вид:
.)1( ),,( 2121021
)0(
2
)0(
1 ххххaхх аа −−+=Φ λλ
Далее
,0
),,( )0(
2
)0(
1
2
1
1
)0(
10
1
21 =−=
Φ − λ
λ aa xxaa
dx
ххd
,0),( 210
1
)0(
10
21
1
)0(
10 )0(
2
)0(
1 =−=− λλ xxF
x
аа
хх
x
аа аа
,),( 210
)0(
10)0(
1 xxF
аа
x
λ
= (23)
,0),(
),,(
210
2
)0(
201
21
)0(
20
2
21
)0(
2
)0(
1 =−=−=
Φ − λλ
λ
xxF
x
аа
ххaa
dx
ххd аа
).,( 210
)0(
20)0(
2 xxF
аа
x
λ
= (24)
Подставляя (23) и (24) в (21), получим
,1))(,( )0(
2
)0(
1210
0 =+ aaxxF
a
λ
откуда
)0(
2
)0(
1
210
0 1),(
aa
xxF
a
+
=
λ
,
)0(
2
)0(
1
)0(
1)0(
1 аа
а
х
+
= , .)0(
2
)0(
1
)0(
2)0(
2 аа
ах
+
= (25)
Задача распределения ресурса при нечетко заданных исходных данных
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 2 51
Пусть, для простоты, нечеткие числа 1а и 2а заданы интервально. При
этом
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∉
∈=
],,[,0
, ] ,[,1)(
12111
12111
11 ааа
ааааμ
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∉
∈=
.],[,0
, ] ,[,1)(
22212
22212
22 ааа
ааааμ
Найдем функции принадлежности нечетких чисел ,1
1
ax .2
2
ax В соответ-
ствии с принципом обобщения [6] функция принадлежности нечеткого зна-
чения )(xfy = , где x — нечеткое число с функцией принадлежности ,)(xμ
имеет вид )).(()( 1 yfy xy
−= μμ
Зададим ,1
11
axy = .2
22
axy = Отсюда
1
1
1 ln
ln
x
y
a = ,
2
2
2 ln
ln
x
y
a = .
Поэтому
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∉
≤≤
=
.],[
ln
ln
,0
,
ln
ln
,1
)(
1211
1
1
12
1
1
11
11
аа
x
y
а
x
y
а
yμ
Из (21), (22), с учетом смысла переменных ,1x 2x , следует, что .11<x
Тогда .0ln 1 <x Поэтому неравенство
12
1
1
11 ln
ln
а
x
y
а ≤≤
преобразуется к виду:
.lnlnln 1121111 xаyxа ≥≥
Отсюда
.lnlnln 1211
111
аа xyx ≥≥
Так как логарифмическая функция возрастает, то 1211
111
аа xyx ≥≥ или
.1112
111
аа xyx ≤≤ Поэтому
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∉
≤≤
=
].,[ ,0
, ,1
)(
1112
1112
111
111
11 aa
aa
xxy
xyx
yμ
Аналогично этому, получим:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∉
≤≤
=
].,[ ,0
, ,1
)(
2122
2122
222
222
22 aa
aa
xxy
xyx
yμ
Введем множество S точек с координатами ,1y 2y таких, что
]},[],,[:),{( 21221112
22221121
aaaa xxyxxyyyS ∈∈= .
О.В. Серая, Т.И. Каткова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 2 52
Тогда функция принадлежности нечеткого числа 21
21
aa xxy = описыва-
ется соотношением:
⎩
⎨
⎧
∉
∈
=
.),(,0
, ),(,1
)(
21
21
Syy
Syy
yМ
При этом составной критерий качества распределения ),( 21 xх , учиты-
вающий площадь тела неопределенности функции принадлежности )(yμ
и меру отклонения набора ),( 21 xх от ),( 0
2
0
1 хх , имеет вид:
=−+−+= ∫ ∫
11
1
12
1
21
2
22
2
20
22
20
1121 )()(
a
a
a
a
x
x
x
x
xxxxdxdxJ
.)()()()( 20
22
20
112211
22211211 xxxxxxxx aaaa −+−+−−= (26)
Теперь задача сведена к следующему: найти набор ,),( 21 xх минимизи-
рующий (26) и удовлетворяющий (21), (22). Эта задача легко решается. По-
нятно, что в случае необходимости компонентам критерия (26) можно при-
давать разный вес, если по каким-либо причинам целесообразно либо
приблизить решение к модальному, либо улучшить компактность тела неоп-
ределенности, соответствующего функции принадлежности нечеткого зна-
чения целевой функции, вычисленной на полученном решении. При этом
критерий (26) примет вид:
].)()[()1()()( 20
22
20
112211
22211211 xxxxxxxxJ aaaa −+−−+−−= δδ (27)
Пусть, например, .5,0;3,0;7,0;5,0 22211211 ==== аааа
Тогда в соответствия с (25): .4,0;6,0 0
2
0
1 == xx Минимизация (27) с уче-
том (21), (22): для 5,0=δ дает набор ;398,0;602,0 21 == ∗∗ xх для 83,0=δ
получим ;393,0;607,0 21 == ∗∗ xх для 91,0=δ получим .383,0;617,0 21 == ∗∗ xх
ВЫВОДЫ
Таким образом, предложен метод решения задачи рационального распреде-
ления ограниченного ресурса в условиях, когда параметры задачи — нечет-
кие числа с известными функциями принадлежности. Предложенная проце-
дура сводит исходную нечеткую задачу к четкой задаче математического
программирования. Конструируется составной критерий этой задачи. Пер-
вое слагаемое критерия характеризирует уровень неопределенности нечет-
кого значения целевой функции на искомом наборе, численно оцениваемой
площадью тела неопределенности. Второе слагаемое определяет меру от-
клонения оптимизируемого набора от модельного, получаемого при реше-
нии исходной задачи при фиксации нечетких ее параметров на уровне мо-
дальных значений. В случае необходимости слагаемых в этой аддитивной
конструкции можно придавать разный вес.
Задача распределения ресурса при нечетко заданных исходных данных
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 2 53
Направления дальнейших исследований: разработка метода решения
задачи распределения многомерного ресурса при нечетко заданных исход-
ных данных; разработка метода решения нечеткой задачи распределения
многомерного ресурса с несепарабельным критерием.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гурин Л.С., Дымарский Я.С., Меркулов А.В. Задачи и методы оптимального
распределения ресурсов. — М.: Сов. радио, 1968. — 463 с.
2. Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования. — М.: Сов.
радио, 1979. — 342 с.
3. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая тео-
рия. — М.: Айрис–пресс, 2009. — 576 с.
4. Иванилов Ю.П. Математические модели в экономике. — М.: Наука, 1999. —
357 с.
5. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, биз-
несе. — М.: ЮНИТИ, 2001. — 367 с.
6. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Information and Control. — 1965. — № 8. — Р. 338–353.
7. Негойцэ К. Применение теории систем к проблемам управления. — М.: Мир,
1981. — 180 с.
8. Орловский С.А. Проблема принятия решений при нечеткой исходной информа-
ции. — М.: Наука, 1981. — 206 с.
9. Раскин Л.Г. Нечеткая математика. Основы теории. Приложения. — Х.: Парус,
2008. — 352 с.
10. Серая О.В. Многомерные модели логистики в условиях неопределенности: мо-
ногр. — Х.: ФЛ-П Стеценко И. И., 2010. — 512 с.
11. Замков О.О. Математические методы в экономике. — М.: МГУ им. Л.В. Ло-
моносова, 1998. — 368 с.
Поступила 24.06.2011
|