Соотношение вероятностного и пространственно-временного средних для турбулентного потока суспензии
Составлено дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее вероятностное и пространственно-временное средние для неоднородного стационарного поля осредненной гидродинамической величины турбулентного потока суспензии. На его основе разработан метод пересчета эмпирических пространственно...
Збережено в:
| Дата: | 2001 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2001
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5004 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Соотношение вероятностного и пространственно-временного средних для турбулентного потока суспензии / С.И. Криль, В.П. Берман // Прикладна гідромеханіка. — 2001. — Т. 3, № 3. — С. 32-41. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859588683846385664 |
|---|---|
| author | Криль, С.И. Берман, В.П. |
| author_facet | Криль, С.И. Берман, В.П. |
| citation_txt | Соотношение вероятностного и пространственно-временного средних для турбулентного потока суспензии / С.И. Криль, В.П. Берман // Прикладна гідромеханіка. — 2001. — Т. 3, № 3. — С. 32-41. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Составлено дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее вероятностное и пространственно-временное средние для неоднородного стационарного поля осредненной гидродинамической величины турбулентного потока суспензии. На его основе разработан метод пересчета эмпирических пространственно-временных средних на вероятностные с учетом влияния неоднородности поля гидродинамической величины, а также формы и размеров объема осреднения на относительное отклонение значений рассматриваемых средних друг от друга. Найдено условие, при котором эмпирические пространственно-временные средние по своей величине практически совпадают с вероятностными, и в данном случае измеренные пространственно-временные средние могут быть использованы для сопоставления результатов статистической модели турбулентности.
Складено диференцiйне рiвняння у часткових похiдних, що зв'язує iмовiрносне та прострово-часове середнi для неоднорiдного стацiонарного поля осередненої гiдродинамiчної величини турбулентного потоку суспензiї. На його основi розроблено метод перерахунку емпiричних прострово-часових середнiх на ймовiрноснi з урахуванням впливу неоднорiдностi поля осередненої гiдродинамiчної величини, а також форми i розмiрiв об'єму осереднення на вiдносне вiдхилення значень цих середнiх одне вiд одного. Знайдено умову, за якої емпiричнi прострово-часовi середнi по своїй величинi практично спiвпадають з iмовiрносними, i в даному випадку вимiрянi прострово-часовi середнi можуть використовуватись для спiвставлення результатiв статистичної теорiї турбулентностi.
A partial differential equation has been set up relating the probability-averaged mean value to the spatial-temporal-averaged one for the nonuniform stationary field of an averaged hydrodynamic quantity of turbulent suspension flow. Based on it, a method has been developed of transformation of empirical spatial-temporal mean values into probabilistic ones with allowance made for the influence of hydrodynamic quantity field nonuniformity as well as of the averaging volume form and size on the relative difference of the studied mean values from each other. A condition has been found wherein empirical spatial-temporal mean values by its magnitude practically coincide with probabilistic ones, and in this case the spatial-temporal mean values measured can be used for comparing results of the turbulence statistical model.
|
| first_indexed | 2025-11-27T12:20:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2001. �®¬ 3 (75), N 3. �. 32 { 41��� 532.542.4 ����������� �������������� ���������������� - ����������������� ��� ������������� ������ ����������. �. �����, �. �. �������áâ¨âãâ £¨¤à®¬¥å ¨ª¨ ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�®«ã祮 03.10.2000�®áâ ¢«¥® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå, á¢ï§ë¢ î饥 ¢¥à®ïâ®á⮥ ¨ ¯à®áâà á⢥®-¢à¥¬¥®¥ á।¨¥ ¤«ï ¥®¤®à®¤®£® áâ 樮 ண® ¯®«ï ®á।¥®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë âãà¡ã«¥â®£®¯®â®ª áãᯥ§¨¨. � ¥£® ®á®¢¥ à §à ¡®â ¬¥â®¤ ¯¥à¥áç¥â í¬¯¨à¨ç¥áª¨å ¯à®áâà á⢥®-¢à¥¬¥ëå á।¨å ¢¥à®ïâ®áâë¥ á ãç¥â®¬ ¢«¨ï¨ï ¥®¤®à®¤®á⨠¯®«ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë, â ª¦¥ ä®à¬ë ¨ à §¬¥-஢ ®¡ê¥¬ ®á।¥¨ï ®â®á¨â¥«ì®¥ ®âª«®¥¨¥ § 票© à áᬠâਢ ¥¬ëå á।¨å ¤à㣠®â ¤à㣠. � ©¤¥®ãá«®¢¨¥, ¯à¨ ª®â®à®¬ í¬¯¨à¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà á⢥®-¢à¥¬¥ë¥ á।¨¥ ¯® ᢮¥© ¢¥«¨ç¨¥ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ᮢ¯ ¤ îâá ¢¥à®ïâ®áâ묨, ¨ ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¨§¬¥à¥ë¥ ¯à®áâà á⢥®-¢à¥¬¥ë¥ á।¨¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ 뤫ï ᮯ®áâ ¢«¥¨ï १ã«ìâ ⮢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬®¤¥«¨ âãà¡ã«¥â®áâ¨.�ª« ¤¥® ¤¨ä¥à¥æi©¥ ài¢ïï ã ç á⪮¢¨å ¯®åi¤¨å, é® §¢'ï§ãõ i¬®¢ià®á¥ â ¯à®áâ஢®-ç ᮢ¥ á¥à¥¤i ¤«ï¥®¤®ài¤®£® áâ æi® ண® ¯®«ï ®á¥à¥¤¥®ù £i¤à®¤¨ ¬iç®ù ¢¥«¨ç¨¨ âãà¡ã«¥â®£® ¯®â®ªã áãᯥ§iù. � ©®£®®á®¢i ஧஡«¥® ¬¥â®¤ ¯¥à¥à åãªã ¥¬¯ià¨ç¨å ¯à®áâ஢®-ç ᮢ¨å á¥à¥¤iå ©¬®¢ià®ái § ãà åã¢ ï¬ ¢¯«¨¢ã¥®¤®ài¤®áâi ¯®«ï ®á¥à¥¤¥®ù £i¤à®¤¨ ¬iç®ù ¢¥«¨ç¨¨, â ª®¦ ä®à¬¨ ÷ ஧¬iài¢ ®¡'õ¬ã ®á¥à¥¤¥ï ¢i¤®á¥¢i¤å¨«¥ï § ç¥ì æ¨å á¥à¥¤iå ®¤¥ ¢i¤ ®¤®£®. � ©¤¥® 㬮¢ã, § 类ù ¥¬¯ià¨çi ¯à®áâ஢®-ç ᮢi á¥à¥¤i¯® ᢮ù© ¢¥«¨ç¨i ¯à ªâ¨ç® á¯i¢¯ ¤ îâì § i¬®¢ià®á¨¬¨, i ¢ ¤ ®¬ã ¢¨¯ ¤ªã ¢¨¬iàïi ¯à®áâ஢®-ç ᮢi á¥à¥¤i¬®¦ãâì ¢¨ª®à¨á⮢㢠â¨áì ¤«ï á¯i¢áâ ¢«¥ï १ã«ìâ âi¢ áâ â¨áâ¨ç®ù ⥮àiù âãà¡ã«¥â®áâi.A partial di�erential equation has been set up relating the probability-averaged mean value to the spatial-temporal-averaged one for the nonuniform stationary �eld of an averaged hydrodynamic quantity of turbulent suspension
ow.Based on it, a method has been developed of transformation of empirical spatial-temporal mean values into probabilisticones with allowance made for the in
uence of hydrodynamic quantity �eld nonuniformity as well as of the averagingvolume form and size on the relative di�erence of the studied mean values from each other. A condition has been foundwherein empirical spatial-temporal mean values by its magnitude practically coincide with probabilistic ones, and in thiscase the spatial-temporal mean values measured can be used for comparing results of the turbulence statistical model.��������� ⥮ਨ âãà¡ã«¥â®á⨠áãᯥ§¨© è¨à®ª®¯à¨¬¥ïîâáï ¯à®áâà áâ¢¥ë© ¨ ¢à¥¬¥®© ¬¥-â®¤ë ®á।¥¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¯ à ¬¥â஢.�®á⮨á⢮¬ ¨å ï¥âáï £«ï¤®áâì, ¯à®áâ®â ¨, çâ® á ¬®¥ £« ¢®¥, ᮣ« ᮢ ®áâì á ¯à ªâ¨ç¥-᪨¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ á।¨å ¢¥«¨ç¨, ¯®áª®«ìªã ¢íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¨áá«¥¤®¢ ¨ïå ¨áª«îç¨â¥«ì®¨á¯®«ì§ãîâáï á।¨¥ ¯® ª ª®©-«¨¡® ®¡« á⨠¯à®-áâà á⢠¨ ¯à®¬¥¦ãâªã ¢à¥¬¥¨. �¬¥á⥠á ⥬,í⨠¬¥â®¤ë ®á।¥¨©, ª ª ¨§¢¥áâ®, ¨¬¥îâ áã-é¥áâ¢¥ë¥ ¥¤®áâ ⪨ [1 { 3].� â®çª¨ §à¥¨ï ᮢ६¥®© ⥮ਨ âãà¡ã«¥â-®áâ¨, 㤮¡ë¬ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢¥à®ïâ®áâ멬¥â®¤ ®á।¥¨ï. � ï¥âáï ®¡ê¥ªâ¨¢ë¬ ¨ ¡®-«¥¥ 㨢¥àá «ìë¬ ¯® ᢮¥© ¯à¨à®¤¥ ¨ áâண® 㤮-¢«¥â¢®àï¥â ¢á¥¬ ¯à ¢¨« ¬ ®á।¥¨ï �¥©®«ì¤-á [3]. �¤ ª® ¯à¨ ¥£® ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¢®§¨ª îââà㤮áâ¨, á¢ï§ ë¥ á ¯à ªâ¨ç¥áª¨¬ ®¯à¥¤¥«¥¨-¥¬ ¢¥à®ïâ®áâëå á।¨å, ¯®áª®«ìªã ¢ íªá¯¥à¨-¬¥â «ì®¬ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ â ª®© ¬¥â®¤ ®á।¥¨ï¨ª®£¤ ¥ ¯à¨¬¥ï¥âáï. � í⮩ á¢ï§¨ ¢®§¨ª ¥â¢®¯à®á: á 祬 áà ¢¨¢ âì १ã«ìâ âë áâ â¨áâ¨ç¥-
᪮© ⥮ਨ âãà¡ã«¥â®áâ¨. �«ï ᮯ®áâ ¢«¥¨ï¨å á íªá¯¥à¨¬¥â «ì묨 ¤ 묨 ¢ áâ â¨áâ¨-ç¥áª®© £¨¤à®¬¥å ¨ª¥ ¯®«ì§ãîâáï "í࣮¤¨ç¥áª®©£¨¯®â¥§®©" [3]. � ¤®¯ã᪠¥â á室¨¬®áâì ¯à®-áâà á⢥®£® ¨«¨ ¢à¥¬¥®£® á।¥£® ª ¢¥à®-ïâ®á⮬㠢 á«ãç ¥ ª¢ §¨®¤®à®¤®£® ¨«¨ ª¢ §¨-áâ 樮 ண® ¯®«ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë¯à¨ ¥®£à ¨ç¥®¬ ®¡ê¥¬¥ ¨«¨ ¨â¥à¢ «¥ ®á।-¥¨ï. � ¤à㣨å á«ãç ïå í⨠á।¨¥, ª®¥ç®, ¥¨¤¥â¨çë.�ᮢ ï § ¤ ç ¤ ®© áâ âì¨ { ¢ëïá¨âì -᪮«ìª® ®â«¨ç ¥âáï ¨§¬¥à¥®¥ ¯à®áâà á⢥®-¢à¥¬¥®¥ á।¥¥ ®â ¢¥à®ïâ®á⮣® ¢ § ¢¨á¨¬®-á⨠®â á⥯¥¨ ¥®¤®à®¤®á⨠¯®«ï ®á।¥®©£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë, â ª¦¥ ®â à §¬¥-஢ ¨ ä®à¬ë ®¡ê¥¬ ®á।¥¨ï. �«ï í⮣® á®-áâ ¢«¥® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢ ç áâëå¯à®¨§¢®¤ëå, á¢ï§ë¢ î饥 ¬¥¦¤ã ᮡ®© à áᬠ-âਢ ¥¬ë¥ á।¨¥ ¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âà뮡ꥬ ®á।¥¨ï ¢ á«ãç ¥ ãáâ ®¢¨¢è¥£®áï à ¢-®¬¥à®£® âãà¡ã«¥â®£® â¥ç¥¨ï áãᯥ§¨¨. � ¥£® ®á®¢¥ ãáâ ®¢«¥ë á®®â®è¥¨ï ¢¥à®ïâ®áâ-ëå ¨ í¬¯¨à¨ç¥áª¨å ¯à®áâà á⢥®-¢à¥¬¥ëåá।¨å ¤«ï ª®ªà¥âëå ®¯ëâëå ¤ ëå ¯® ¨§-32 c
�. �. �ਫì, �. �. �¥à¬ , 2001
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2001. �®¬ 3 (75), N 3. �. 32 { 41¬¥à¥¨î ®á।¥ëå ª®æ¥âà 樨 ¨ ᪮à®á⥩¢ ¯®â®ª¥.����� ����� �������������� ��������������� - ����������������� ��� ������������ ��-��� ����������������� �������� íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¨áá«¥¤®¢ ¨ïå âãà¡ã«¥â-ë¥ ¯®â®ª¨ áãᯥ§¨© ¢ âàã¡ å ¨«¨ ª « å ï-îâáï, ç é¥ ¢á¥£®, ãáâ ®¢¨¢è¨¬¨áï ¨ à ¢®¬¥à-묨. �¨ å à ªâ¥à¨§ãîâáï ⥬, çâ® ¯®«ï ®á।-¥ëå ª®æ¥âà 樨 ¨ ᪮à®á⥩ ¯®áâ®ïë ¢®¢à¥¬¥¨ ¨ ¥ ¨§¬¥ïîâáï ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â ®¤®-£® ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï ¯®â®ª ª ¤à㣮¬ã. �⨯®«ï ¥®¤®à®¤ë ⮫쪮 ¢ ¯®¯¥à¥çëå á¥ç¥¨-ïå ¯®â®ª . �¬¥® â ª¨¥ ¯®â®ª¨ ¡ã¤¥¬ à á-ᬠâਢ âì ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢-¥¨ï, á¢ï§ë¢ î饣® ¢¥à®ïâ®á⮥ á।¥¥ á¯à®áâà á⢥®-¢à¥¬¥ë¬.� ¤ ¤¨¬ ¥¯®¤¢¨¦ãî ¯àאַ㣮«ìãî á¨á⥬㪮®à¤¨ â Oxyz, ®á¨ Ox ¨ Oy ª®â®à®© à ᯮ«®-¦¥ë ¢ ¯«®áª®á⨠¯à®¨§¢®«ì®£® ¯®¯¥à¥ç®£® á¥-ç¥¨ï ¯®â®ª , ®áì Oz { ¨¦¥© á⥪¥ ª - « ¨«¨ âàã¡ë. � ¯à ¢¨¬ í⨠®á¨ á«¥¤ãî騬®¡à §®¬: Ox { ¯®¯¥à¥ª ¯®â®ª , Oy { ¢¥à⨪ «ì-® ¢¢¥àå, Oz { ¢¤®«ì ¡«î¤ ¥¬®£® â¥ç¥¨ï.�஬¥ ⮣®, ¯®áâந¬ ¢á¯®¬®£ ⥫ìãî ¯àאַ-㣮«ìãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â O0x0y0z0, ¯à®å®¤ï-éãî ç¥à¥§ ¯à®¨§¢®«ì® § ¤ ãî â®çªã ¯®â®ª O0(x; y; z), ¯à¨ í⮬ ®á¨ O0x0, O0y0 ¨ O0z0 ¯à -¢¨¬ ¯ à ««¥«ì® ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®áï¬ Ox, Oy¨ Oz.�ãáâì '(x; y; z; t) { ¯®«¥ «î¡®© ¬£®¢¥®© £¨-¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë ¢ âãà¡ã«¥â®¬ ¯®â®-ª¥. �á।¨¬ ¥£® ¯® ¯à®áâà áâ¢ã ¨ ¢à¥¬¥¨. �«ïí⮣® ¢ ®¡« á⨠¯®â®ª ¢ë¤¥«¨¬ ¢®ªà㣠§ ¤ ®©â®çª¨ O0(x; y; z) ®¡ê¥¬ ®á।¥¨ï V ¢ ¢¨¤¥ ¯ à «-«¥«¥¯¨¯¥¤ ¨«¨ 樫¨¤à á æ¥â஬ ¢ í⮩ â®çª¥¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ®áìî, ¯ à ««¥«ì®© ®á¨ O0z0 .�â¥à¢ « ¦¥ ¢à¥¬¥¨ T ¡ã¤¥¬ áç¨â âì ¡¥áª®¥ç-® ¡®«ì訬.�।¥¥ § 票¥ äãªæ¨¨ ' ¯® ¢ëè¥ãª § 묮¡ê¥¬ã ¨ ¨â¥à¢ «ã ¢à¥¬¥¨ ®¡®§ 稬 ᨬ¢®«®¬�'�. � á«ãç ¥ ãáâ ®¢¨¢è¥£®áï à ¢®¬¥à®£® âãà-¡ã«¥â®£® â¥ç¥¨ï ¢¥«¨ç¨ �'� ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª�'� = 1V ZZV Z �'(x+ x0; y + y0)dx0dy0dz0 == 1F ZZF �'(x + x0; y + y0)dx0dy0; (1)�'(x+ x0; y + y0) = (2)
= limT!1 1T T=2Z�T=2 '(x+ x0; y + y0; : : : ; t0)dt0;£¤¥ F { ¯«®é ¤ì ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï ®¡ê¥¬ ®á।¥¨ï V ; ¢¥«¨ç¨ �', ᮣ« á® "í࣮¤¨ç¥-᪮© £¨¯®â¥§¥" { ¢¥à®ïâ®á⮥ ¡¥§ãá«®¢®¥ á।-¥¥ § 票¥ äãªæ¨¨ '.� §«®¦¨¢ äãªæ¨î �'(x+ x0; y + y0) ¢ á⥯¥®©àï¤ �í©«®à , ¯®«ã稬 ®á®¢ ¨¨ (1):�'�(x; y) = (3)= 1F ZZF 1Xn;m=0 1n!m! @n+m �'(x; y)@xn@ym dx0dy0:� á«ãç ¥, ª®£¤ ®¡ê¥¬ V ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤, ®¡« áâìî ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¢ (3)ï¥âáï ¯àאַ㣮«ì¨ª�a2 � x0 � a2 ;� b2 � y0 � b2 ; (4) ¢ á«ãç ¥ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ä®à¬ë ®¡ê¥¬ V { ªàã£x02 + y02 � r2; (5)£¤¥ a ¨ b { è¨à¨ ¨ ¢ëá®â ¯àאַ㣮«ì¨ª ; r {à ¤¨ãá ªà㣠.�⥣à¨àãï ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (3) ¯® ¯«®é ¤¨ ¯àï-¬®ã£®«ì¨ª , ¨¬¥¥¬�'�(x; y; a; b) = (6)= 1ab 1Xn;m=0 1n!m! @n+m@xn@ym a=2Z�a=2 b=2Z�b=2 x0ny0mdx0dy0:¨«¨, ¯®á«¥ ¢ëç¨á«¥¨ï ¨â¥£à «®¢,�'�(x; y; a; b) = (7)= 1Xn;m=0 a2nb2m22(n+m)(2n+ 1)!(2m+ 1)! @2(n+m) �'(x; y)@x2n@y2m :�âáî¤ ¯®«ãç ¥¬ ¢ à §¢¥àã⮬ ¢¨¤¥�'� = �' + (8)+a224 @2 �'@x2 + b224 @2 �'@y2 + a2b2576 @4 �'@x2@y2 + � � � :� ¯à ¢®© ç á⨠ãà ¢¥¨© (7) ¨ (8) ®âáãâáâ¢ãîâ¥ç¥âë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥, ¯®áª®«ìªã ¢å®¤ï騥 ¢ (6)¨â¥£à «ë à ¢ïîâáï ã«î ¯à¨ ¥ç¥âëå § ç¥-¨ïå n ¨ m.�. �. �ਫì, �. �. �¥à¬ 33
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2001. �®¬ 3 (75), N 3. �. 32 { 41�ਠ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¢ ãà ¢¥¨¨ (3) ¯® ¯«®é -¤¨ ªà㣠¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì�'�(x; y; r) = (9)= 1Xn;m=0 1n!m! @n+m �'(x; y)@xn@ym rZ�r pr2�x2Z�pr2�x2 x0ny0mdx0dy0:�믮«¨¢ ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (9) ¯®ç«¥®¥ ¨â¥£à¨à®-¢ ¨¥, § ⥬ § ¬¥¨¢ à ¤¨ãá r ¯®«®¢¨ã ¤¨ ¬¥-âà ªà㣠d=2, ¯®«ã稬 ®ª®ç ⥫ì®:�'� = �'+ (10)+d232 @2 �'@x2 + d232 @2 �'@y2 + d41536 @4 �'@x2@y2 + � � � :� ãà ¢¥¨¥ (10), «®£¨ç® ª ª ¨ ¢ (8), ¥ ¢å®-¤ïâ á« £ ¥¬ë¥, ᮤ¥à¦ 騥 ¥ç¥âë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥.�ãáâì x = �L; y = �L;a = �aL; b = �bL; d = �dL;£¤¥ L { ¥ª®â®à ï å à ªâ¥à ï ¤«ï ¯®â®ª ¤«¨ ;�, �, �a,�b ¨ �d { ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë. �®¤áâ ¢¨¢í⨠§ 票ï x, y, a, b ¨ d ¢ ãà ¢¥¨ï (8) ¨ (10),¯®«ã稬 �'� = �' + (11)+�a224 @2 �'@�2 + �b224 @2 �'@�2 + �a2�b2576 @4 �'@�2@�2 + � � � ;�'� = �'+ (12)+ �d232 @2 �'@x2 + �d232 @2 �'@y2 + �d41536 @4 �'@x2@y2 + � � � :�®áª®«ìªã à §¬¥àë ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï ®¡ê¥¬ ®á।¥¨ï áç¨â îâáï ¬ «ë¬¨ ¢ áà ¢¥¨¨ á å -à ªâ¥àë¬ à §¬¥à®¬ ¯®â®ª , ¢å®¤ï騥 ¢ (11) ¨(12) ¢¥«¨ç¨ë �a � 1, �b � 1 ¨ �d � 1. �®íâ®-¬ã, ®â¡à áë¢ ï ¢ ¯à ¢®© ç á⨠ãà ¢¥¨© (11) ¨(12) á« £ ¥¬ë¥ ¢ëá襣® ¯®à浪 ¬ «®áâ¨, ¯®«ãç -¥¬ ã¯à®é¥ë¥ ãà ¢¥¨ï�a224 @2 �'@�2 + �b224 @2 �'@�2 + �' = �'�;�d232 @2 �'@�2 + �d232 @2 �'@�2 + �' = �'�:�å ¬®¦® § ¯¨á âì ®¡é¨¬ ãà ¢¥¨¥¬p@2 �'@�2 + q@2 �'@�2 + �' = �'�; (13)
¢ ª®â®à®¬ ª®íää¨æ¨¥âë p ¨ q ¡ã¤ãâp = �a232 ; q = �b232 (14)¢ á«ãç ¥ ¯àאַ㣮«ì®£® ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï®¡ê¥¬ ®á।¥¨ï, p̈ = q = �d232 (15)¢ á«ãç ¥ ªà㣫®£® ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï.�à ¢¥¨¥ (13) á¢ï§ë¢ ¥â ¯à®áâà á⢥®-¢à¥¬¥®¥ á।¥¥ �'�(�; �; �a;�b) ¨«¨ �'�(�; �; �d) á ¡¥§-ãá«®¢ë¬ ¢¥à®ïâ®áâë¬ á।¨¬ �'(�; �) ¨ ¯ à -¬¥âà ¬¨ ®¡ê¥¬ ®á।¥¨ï. �§ í⮣® ãà ¢¥¨ïá«¥¤ã¥â, çâ® à §®áâì § 票© ¢¥«¨ç¨ �'� ¨ �'¢ ¯à®¨§¢®«ì® § ¤ ®© â®çª¥ ¯®â®ª (�0; �0) § -¢¨á¨â ª ª ®â ªà¨¢¨§ë «¨¨© �'(�; �0) ¨ �'(�0; �) ¯®¢¥àå®á⨠�'(�; �) ¢ í⮩ â®çª¥, â ª ¨ ®â ä®à¬ë ¨à §¬¥à®¢ ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï ®¡ê¥¬ ®á।¥¨ï.�§ ãà ¢¥¨ï (13) ¢ë⥪ ¥â â ª¦¥, çâ® § 票ïá।¨å �'� ¨ �' ®¤¨ ª®¢ë ¢® ¢á¥© ®¡« á⨠¯®â®ª ¢ ¤¢ãå á«ãç ïå: ª®£¤ �' «¨¥©® ¨§¬¥ï¥âáï ¢¤®«ì®á¥© ª®®à¤¨ â ��� ¨ �� ¨«¨ ï¥âáï ¯®áâ®ï®©¢¥«¨ç¨®©, ¨ ¢ ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥, ª®£¤ �a ! 0,�b! 0 ¨ �d! 0.� «¥¥, á ¡¤¨¬ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ⢥म© ¨ ¦¨¤-ª®© ä § ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ¨¦¨¬¨ ¨¤¥ªá ¬¨ p¨ f ¨ ¢ëà §¨¬ ¢¥à®ïâ®á⮥ á।¥¥ £¨¤à®¤¨ -¬¨ç¥áª®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ áãᯥ§¨¨ �' ç¥à¥§ ¡¥§-ãá«®¢ë¥ ¢¥à®ïâ®áâë¥ á।¨¥ ®¤®¨¬¥ëå £¨-¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ ä § �'p ¨ �'f ¯®ä®à¬ã«¥ [1] �' =Xk �'k; (k = p; f): (16)�®£¤ ãà ¢¥¨¥ (13) ¯à¥®¡à §ã¥âáï á ãç¥â®¬ (16)ª ¢¨¤ãpXk @2 �'k@�2 + qXk @2 �'k@�2 +Xk �'k =Xk �'�k:� ᨫ㠫¨¥©®á⨠í⮣® ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥¬p@2 �'k@�2 + q@2 �'k@�2 + �'k = �'�k: (17)�à ¢¥¨¥ (17) á¢ï§ë¢ ¥â ¯à®áâà á⢥®-¢à¥¬¥®¥ á।¥¥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© å à ªâ¥à¨-á⨪¨ k-⮩ ä §ë �'�k á ¡¥§ãá«®¢ë¬ ¢¥à®ïâ®áâ-ë¬ á।¨¬ å à ªâ¥à¨á⨪¨ í⮩ ä §ë �'k. �å®-¤ï饥 ¢ (17) ¡¥§ãá«®¢®¥ ¢¥à®ïâ®á⮥ á।¥¥ �'k¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ �'k = ��kh'ki; (18)34 �. �. �ਫì, �. �. �¥à¬
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2001. �®¬ 3 (75), N 3. �. 32 { 41£¤¥ ��k { ¢¥à®ïâ®áâ ï ª®æ¥âà æ¨ï k-⮩ ä -§ë, à ¢ ï ¢¥à®ïâ®á⨠⮣®, çâ® § ¤ ï â®ç-ª ¯®â®ª ¢ 䨪á¨à®¢ ë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ ¡ã¤¥â¯à¨ ¤«¥¦ âì k-⮩ ä §¥ áãᯥ§¨¨; h'ki { ãá«®¢-®¥ ¢¥à®ïâ®á⮥ á।¥¥, ¯®«ãç ¥¬®¥ ¯à¨ ãá«®-¢¨¨, çâ® ¤ ï â®çª ¯®â®ª § ïâ k-⮩ ä §®©.�।¥¥ ¦¥ ¯® ¯à®áâà áâ¢ã ¨ ¢à¥¬¥¨ �'�k § ¯¨-襬 â ª: �'�k = �ckh'�ki; (19)£¤¥ �ck { á।ïï ¢® ¢à¥¬¥¨ ®¡ê¥¬ ï ª®æ¥â-à æ¨ï k-⮩ ä §ë; h'�ki { äà ª«¥¢® ¯à®áâà áâ-¢¥®-¢à¥¬¥®¥ á।¥¥, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¥ ä®à¬ã«®©[4]h'�ki = 1�ck 1Z ZZZZZ'k(x+x0; y+y0; z0; t0)dx0dy0dz0dt0 == 1Zk ZZZkZZ '(x+ x0; y + y0; z0; t0)dx0dy0dz0dt0;£¤¥ Z { "ç¥âëà¥å¬¥àë© æ¨«¨¤à", ®á®¢ ¨¥ ª®-â®à®£® { ®¡ê¥¬ V , ¢ëá®â { ¨â¥à¢ « ¢à¥¬¥¨®á।¥¨ï T ; Zk { ç áâì 樫¨¤à , § ¯®«¥ ïk-⮩ ä §®©.�¨á⥬ ãà ¢¥¨© (17) { (19) á¢ï§ë¢ ¥â ãá«®¢-®¥ ¢¥à®ïâ®á⮥ á।¥¥ h'ki á äà ª«¥¢ë¬¯à®áâà á⢥®-¢à¥¬¥ë¬ á।¨¬ h'�ki, â ª-¦¥ ¢¥à®ïâ®áâãî ª®æ¥âà æ¨î ��k á® á।¥© ¯®¢à¥¬¥¨ ®¡ê¥¬®© ª®æ¥âà 樥© �ck.� ãà ¢¥¨ïå (13) ¨ (17) § ¤ 묨 áç¨â îâáïäãªæ¨¨ �'� ¨ �'�k, ¯à¥¤áâ ¢«ïî騥 ᮡ®© ¯¯à®ª-ᨬ 樨 ®¯ëâëå ¤ ëå, â ª¦¥ § ç¥¨ï ª®íä-ä¨æ¨¥â®¢ p ¨ q, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ä®à¬¥ ¨ à §¬¥-à ¬ í«¥¬¥â ன ¯«®é ¤ª¨, ¯® ª®â®à®© ®á।¥-ë ¨áá«¥¤ã¥¬ë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¢ ¯à®æ¥áᥠ¨§¬¥à¥¨ï.�®í⮬ã à¥è¥¨¥ ¢ëè¥ãª § ëå ãà ¢¥¨© ¯®-§¢®«ï¥â ©â¨ ¨áª®¬ë¥ ¢¥à®ïâ®áâë¥ á।¨¥ �'¨ �'k ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®¯à¥¤¥«¨âì á⥯¥ì ®âª«®-¥¨ï í¬¯¨à¨ç¥áª¨å á।¨å �'� ¨ �'�k ®â ᮮ⢥â-áâ¢ãîé¨å ¢¥à®ïâ®áâëå á।¨å �' ¨ �'k. �®ª -¦¥¬ íâ® ª®ªà¥â®¬ ¯à¨¬¥à¥, ¨á¯®«ì§®¢ ¢ ¯à¨-¢¥¤¥ë¥ ¢ [5] ®¯ëâë¥ ¤ ë¥ ¯® ¨§¬¥à¥¨î «®-ª «ìëå ®á।¥ëå ª®æ¥âà 樨 ¨ ᪮à®á⥩¢ ¯®à®¬ ¯®â®ª¥ áãᯥ§¨¨. �ëè¥ãª § 륯 à ¬¥âàë ¨§¬¥à¥ë á ¯®¬®éìî ¯®à®© âàã¡-ª¨, ¨§¢¥á⮩ ¯®¤ §¢ ¨¥¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®-£® ¯ã«ì¯®¬¥à �à«®¢ -�ä¨ . �®áâàãªâ¨¢ë¥®á®¡¥®á⨠¨ ¯à¨æ¨¯ à ¡®âë í⮩ âà㡪¨ ®¯¨-á ë ¢ [5, 6].
�¨á. 1. �¯îàë à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª®æ¥âà 樨 �cp(1) ¨¯à®¤®«ì®© ᪮à®á⨠�u�(2) ¯® ¢¥à⨪ «ì®¬ã¤¨ ¬¥âàã âàã¡ë����������� ��������������� ��������������� - ����������������� ��� ���������� ������� �������� ������� ®á®¢¥ à ¡®âë ¨§¬¥à¨â¥«ì®£® ¯à¨¡®à , ª ª®-¢ë¬ ï¥âáï ¯®à ï âà㡪 , «¥¦¨â «®ª «ìë©®â¡®à ¯à®¡ë áãᯥ§¨¨ ¨§ ¯®â®ª ¢ ¬¥àë© á®áã¤.�§¬¥à¨¢ ¬ ááã m ¨ ®¡ê¥¬ V áãᯥ§¨¨, ¯®áâ㯨¢-襩 § ¢à¥¬ï T ¢ á®áã¤, ®¯à¥¤¥«ïîâ «®ª «ì륮á।¥ãî ¯® ¢à¥¬¥¨ ®¡ê¥¬ãî ª®æ¥âà æ¨î⢥à¤ëå ç áâ¨æ �cp ¨ ®á।¥ãî ᪮à®áâì ¤¢¨¦¥-¨ï áãᯥ§¨¨ �u� ᮣ« á® ä®à¬ã« ¬�cp = m � V �fV (�p � �f ) ; (20)�u� = � VTF ; (21)£¤¥ �f ¨ �p { ¯«®â®á⨠¦¨¤ª®© ¨ ⢥म© ä §;� { â à¨à®¢®çë© ª®íää¨æ¨¥â; F { ¯«®é ¤ì ¯®-¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï ®áª ¯®à®© âà㡪¨. � ¤ -®¬ á«ãç ¥ ¯à®áâà á⢥®¥ ®á।¥¨¥ ¨§¬¥àï¥-¬ëå ¯ à ¬¥â஢ ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯® ¯«®é ¤¨ ¯®¯¥-à¥ç®£® á¥ç¥¨ï ®áª ¯®à®© âà㡪¨, ¢à¥¬¥-®¥ { ¯® ¢à¥¬¥¨ ®â¡®à ¯à®¡ë áãᯥ§¨¨. �â®-á¨â¥«ì ï ¯®£à¥è®áâì ¨§¬¥à¥¨ï ª®æ¥âà 樨¨ ᪮à®á⥩ ¥ ¯à¥¢ëè ¥â ¢ á।¥¬ 2 { 3%.� à¨á. 1 ¯®ª § ë § ¨¬á⢮¢ ë¥ ¨§ [5] í¯î-àë à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª®æ¥âà 樨 �cp ¨ ¯à®¤®«ìëå᪮à®á⥩ �u� ¯® ¢¥à⨪ «ì®¬ã ¤¨ ¬¥âàã âàã¡ë,¯®«ãç¥ë¥ ¢ १ã«ìâ ⥠¨áá«¥¤®¢ ¨ï â¥ç¥¨ïᬥᨠ¢®¤ë ¨ ¯¥áª á।¥© ªà㯮áâìî 0.4 ¬¬ ¢�. �. �ਫì, �. �. �¥à¬ 35
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2001. �®¬ 3 (75), N 3. �. 32 { 41£®à¨§®â «ì®© ªà㣫®æ¨«¨¤à¨ç¥áª®© âàã¡¥ ¤¨ -¬¥â஬ D = 103 ¬¬. � íâ¨å ®¯ëâ å á।¨¥¯® ¯®¯¥à¥ç®¬ã á¥ç¥¨î âàã¡ë ᪮à®áâì ¯®â®ª ¨ ®¡ê¥¬ ï ª®æ¥âà æ¨ï ⢥à¤ëå ç áâ¨æ à ¢ï-îâáï ᮮ⢥âá⢥® 2.4 ¬/á ¨ 0.121, ¢ãâà¥-¨© ¤¨ ¬¥âà ®áª ¯®à®© âà㡪¨, á ¯®¬®éìâ®à®© ¨§¬¥à﫨áì ¯ à ¬¥âàë, á®áâ ¢«ï¥â 8 ¬¬.�â®è¥¨¥ ¢ãâ॥£® ¤¨ ¬¥âà ®áª ¯®à®©âà㡪¨ d ª ¢ãâ॥¬ã ¤¨ ¬¥âàã âàã¡ë D, â.¥.¢¥«¨ç¨ �d, à ¢ï¥âáï 0.0777.�।áâ ¢«¥ë¥ à¨á. 1 ¯à®ä¨«¨ ®á।¥ë媮æ¥âà 樨 ¨ ᪮à®á⥩ ¯¯à®ªá¨¬¨àãîâáï á®-®â¢¥âáâ¢ãî騬¨ § ¢¨á¨¬®áâﬨ:�cp = 0:978e�6:94�; (22)�u� = �u�m �1 + f(�) ln ��m� ; (23)0:125 � � � 0:95; (24)£¤¥ � = y=D { ¡¥§à §¬¥à ï ®à¤¨ â ; �u�m { ¬ ª-ᨬ «ì ï ¢ ¯®¯¥à¥ç®¬ á¥ç¥¨¨ ¯®â®ª ®á।¥- ï ᪮à®áâì, à ¢ ï 3,2 ¬/á; �m { § 票¥ ®à¤¨- âë �, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¬¥á⮯®«®¦¥¨î ᪮à®-á⨠�u�m, à ¢®¥ 0.6. �室ïé ï ¢ ãà ¢¥¨¥ (23)äãªæ¨ï f(�) ¨¬¥¥â ¢¨¤f(�) = 0:2767 + 0:922�� 2:3053�2 (25)¢ ¯à®¬¥¦ã⪥ 0:125 � � � 0:6, ¨f(�) = 1:065� 1:775� (26)¢ ¯à®¬¥¦ã⪥ 0:6 < � � 0:95.� 㪠§ ëå ¢ëè¥ ¯à®¬¥¦ãâª å ¨§¬¥¥¨ï ®à-¤¨ âë � äãªæ¨ï f(�) ¯à¨¨¬ ¥â à §«¨çë© ¢¨¤¯® ⮩ ¯à¨ç¨¥, çâ® ¯à®ä¨«ì ®á।¥ëå ᪮à®-á⥩ �u� ᨬ¬¥âà¨ç¥ ®â®á¨â¥«ì® £¥®¬¥âà¨ç¥-᪮© ®á¨ âàã¡ë. �§®¡à ¦¥ë¥ à¨á㪥 ᯫ®è-ë¥ «¨¨¨ ®â®áïâáï ª à áç¥âë¬ § ç¥¨ï¬ ¯ -à ¬¥â஢ �cp ¨ �u�, ¯®«ãç¥ë¬ ¯® ᮮ⢥âáâ¢ãî-騬 ä®à¬ã« ¬ (22) ¨ (23), â®çª¨ { ª ¨§¬¥à¥-ë¬. �⬥⨬ â ª¦¥, çâ® ¯à®ä¨«ì ª®æ¥âà -樨 (22) å à ªâ¥à¨§ã¥âáï íªá¯®¥æ¨ «ì®© ¥®¤-®à®¤®áâìî, ¯à®ä¨«ì ᪮à®á⥩ (23) { «®£ à¨ä-¬¨ç¥áª®©.�â ª, § ¤ ç § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ®¡ë ¯® § -¤ ë¬ äãªæ¨ï¬ �cp, �u� ¨ § ç¥¨î ¯ à ¬¥âà �d®¯à¥¤¥«¨âì ¯à®ä¨«¨ ¢¥à®ïâ®á⮩ ª®æ¥âà 樨��p ¨ ®á।¥ëå ¯® ¢¥à®ïâ®á⨠᪮à®á⥩ �u, § ⥬ ãáâ ®¢¨âì á⥯¥ì ®â®á¨â¥«ì®£® ®âª«®-¥¨ï § 票© ¨§¬¥à¥ëå ¯ à ¬¥â஢ �cp ¨ �u� ®â§ 票© ¢¥à®ïâ®áâëå á।¨å ��p ¨ �u ᮮ⢥â-á⢥®. �âã § ¤ çã à¥è¨¬ ¢ ç «¥ ¤«ï ª®æ¥-âà 樨, ¨á¯®«ì§®¢ ¢ ãà ¢¥¨¥ (13) á ª®íää¨æ¨-¥â ¬¨ p ¨ q, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ªà㣫®¬ã ¯®¯¥-à¥ç®¬ã á¥ç¥¨î ®¡ê¥¬ ®á।¥¨ï. �®¤áâ ¢¨¢
¢ íâ® ãà ¢¥¨¥ ¢¬¥áâ® �' ¢¥à®ïâ®áâãî ª®æ¥-âà æ¨î ��p, ¢¬¥áâ® �'� { ®á।¥ãî ¯® ¢à¥¬¥¨®¡ê¥¬ãî ª®æ¥âà æ¨î �cp, ¨ ¯à¨ï¢ ¢ ª ç¥á⢥å à ªâ¥à®£® à §¬¥à ¯®â®ª ¤¨ ¬¥âà âàã¡ë D,¯®«ã稬 �d232 �@2��p@�2 + @2��p@�2 �+ ��p = �cp; (27)£¤¥ � = x=D, � = y=D.�®£« á® íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¬ ¤ ë¬, ¯à¨ ¤¢¨-¦¥¨¨ áãᯥ§¨© ¯® £®à¨§®â «ìë¬ ¯àï¬ë¬ âàã-¡ ¬ ª®æ¥âà æ¨ï ⢥à¤ëå ç áâ¨æ ¯à ªâ¨ç¥áª¨à ¢®¬¥à® à á¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® £®à¨§®â «ìë¬å®à¤ ¬ ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï âàã¡ë. �®í⮬㠢ãà ¢¥¨¨ (27) ¯à®¨§¢®¤ãî @2��p=@�2 ¬®¦® ¥ãç¨âë¢ âì, ¢ á¢ï§¨ á 祬 íâ® ãà ¢¥¨¥ ¯à¨¨¬ -¥â ã¯à®é¥ë© ¢¨¤"2 d2��pd�2 + ��p = �cp; (28)£¤¥ "2 = �d2=32 { ¬ «ë© ¯ à ¬¥âà. �᫨ ¯®¤áâ -¢¨âì ¢ ãà ¢¥¨¥ (28) ¢¬¥áâ® �cp ä®à¬ã«ã (22) ¨¯à¨ïâì § 票¥ ¯ à ¬¥âà "2 à ¢ë¬ 1:887��10�4, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢¥«¨ç¨¥ �d = 0:0777, ⮢ í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (28) ®¯¨áë¢ ¥â ¯à®ä¨«ì¢¥à®ïâ®á⮩ ª®æ¥âà 樨 ��p, ᮮ⢥âáâ¢ãî-騩 § ¤ ®¬ã í¬¯¨à¨ç¥áª®¬ã ¯à®ä¨«î ®á।-¥®© ¯® ¢à¥¬¥¨ ®¡ê¥¬®© ª®æ¥âà 樨 �cp.�ਠ®âë᪠¨¨ ç á⮣® à¥è¥¨ï ®¡ëª®¢¥-®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï (28) ¢®§¨ª -îâ âà㤮áâ¨, á¢ï§ ë¥ á ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ª®áâ â¨â¥£à¨à®¢ ¨ï. �¥«® ¢ ⮬, çâ® ¢® ¢á¥¬ ¯à®¬¥-¦ã⪥ ¨§¬¥¥¨ï ®à¤¨ âë �, ¢ ª®â®à®¬ ®¯à¥¤¥-«¥ äãªæ¨ï �cp, ¢¥à®ïâ®áâ ï ª®æ¥âà æ¨ï ��p¥¨§¢¥áâ , ¯®í⮬㠧 ¤ ¨¥ § 票© ª®æ¥âà -樨 ��p ¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤ëå ª®æ å í⮣® ¯à®¬¥-¦ã⪠á 楫ìî ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®áâ ⠨⥣à¨à®-¢ ¨ï ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢®§¬®¦ë¬. � ¤ ¨¥ ¦¥¯à¨¡«¨¦¥ëå £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¤«ï ãà ¢¥¨ï(28) ⮦¥ ¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ãᯥåã, ¨¡® íâ® ãà ¢¥¨¥®¡« ¤ ¥â ᨣã«ïன ®á®¡¥®áâìî, â ª ª ª ª®-íää¨æ¨¥â "2 ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤®© d2��p=d�2 ï¥âáï¬ «®© ¢¥«¨ç¨®©, ¨ ¯®í⮬ã ç á⮥ à¥è¥¨¥ à á-ᬠâਢ ¥¬®£® ãà ¢¥¨ï ®ª §ë¢ ¥âáï çã¢á⢨-⥫ìë¬ ª £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬. � ç¥ £®¢®àï,¥§ ç¨â¥«ì®¥ ¨§¬¥¥¨¥ £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¬®-¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª § ¬¥â®¬ã ¨§¬¥¥¨î à áç¥â®£®¯à®ä¨«ï ª®æ¥âà 樨 ��p.�ਠà¥è¥¨¨ ãà ¢¥¨ï (28) ¡ã¤¥¬ ¯®«ì§®¢ âìáﬥ⮤®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¦¥¨©, ¯¥à¥¯¨-á ¢ íâ® ãà ¢¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥��p = �cp � "2 d2��pd�2 : (29)36 �. �. �ਫì, �. �. �¥à¬
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2001. �®¬ 3 (75), N 3. �. 32 { 41�¡®§ 稬 ç¥à¥§ ��p;1 ¯¥à¢®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ª ¨á-ª®¬®© äãªæ¨¨ ��p, ¢ ª ç¥á⢥ ª®â®à®£® ¯à¨¬¥¬äãªæ¨î �cp, â ª çâ® ��p;1 = �cp. �®¤áâ ¢«ïï ¢ ¯à -¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï (29) ¢¬¥áâ® ��p äãªæ¨î ��p;1¯®«ã稬 á«¥¢ ®¢ãî äãªæ¨î ��p;2, ïîéãîáï¢â®àë¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥¬ ª ��p. �®¤áâ ¢«ïï ⥯¥àì ¢¯à ¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï (29) ��p;2 ¢¬¥áâ® ��p, ¡ã¤¥¬¨¬¥âì âà¥âì¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¨ â.¤. �¡é ï ä®à¬ã« ,¤ îé ï n -¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥, ¨¬¥¥â ¢¨¤��p;n = nXk=1(�1)k�1"2(k�1)d2(k�1)�cpd�2(k�1) : (30)�®ª § ®, çâ® ¯®«ãç¥ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìäãªæ¨© ��p;1, ��p;2, : : :, ��p;n à ¢®¬¥à® áâ६¨â-áï ª ¯à¥¤¥«ã, ïî饬ãáï ¨áª®¬®© äãªæ¨¥© ��p,¯à¨ n!1.�ç¨âë¢ ï, çâ® "2 ¨¬¥¥â ç¥â¢¥àâë© ¯®à冷ª ¬ -«®áâ¨, ¤®áâ â®ç® ®£à ¨ç¨âìáï ¢ (30) ¢â®à묯ਡ«¨¦¥¨¥¬ ª ��p. �â®á¨â¥«ì ï ¯®£à¥è®áâ쮯।¥«¥¨ï ª®æ¥âà 樨 § áç¥â ®â¡à áë¢ ¨ï¢ (30) á« £ ¥¬ëå ¢ëá襣® ¯®à浪 ¬ «®á⨠(¯à¨n � 3) á®áâ ¢«ï¥â 0:008%. � ª çâ® ¢ ¤ ®¬ á«ã-ç ¥ ¬®¦® ¢¬¥áâ® ä®à¬ã«ë (30) ¯¨á âì��p = �cp � "2 d2�cpd�2 : (31)�®¤áâ ¢«ïï ¢ (31) ¢¬¥áâ® �cp äãªæ¨î (22) ¨ ãç¨-âë¢ ï, çâ® "2 = 1:887 � 10�4, ¯®«ãç ¥¬ ¨áª®¬®¥¢ëà ¦¥¨¥ ¯à®ä¨«ï ¢¥à®ïâ®á⮩ ª®æ¥âà 樨��p = 0:9691e�6:94�: (32)� ª¨¬ ®¡à §®¬, à¥è¥ ¯àï¬ ï § ¤ ç , á¢ï§ - ï á ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¯à®ä¨«ï ¢¥à®ïâ®á⮩ ª®-æ¥âà 樨 ¢ á«ãç ¥ § ¤ ¨ï ¯à®ä¨«ï ®á।¥®©¯® ¢à¥¬¥¨ ®¡ê¥¬®© ª®æ¥âà 樨, ᮮ⢥âáâ¢ã-î饣® ª®ªà¥â®¬ã § ç¥¨î ¯ à ¬¥âà �d.�¥¯¥àì à¥è¨¬ ®¡à âãî § ¤ çã, § ª«îç îéã-îáï ¢ ⮬, çâ®¡ë ¯® ©¤¥®¬ã ¯à®ä¨«î ¢¥-à®ïâ®á⮩ ª®æ¥âà 樨 ®¯à¥¤¥«¨âì ¯à®ä¨«¨®á।¥®© ¯® ¢à¥¬¥¨ ®¡ê¥¬®© ª®æ¥âà 樨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ®â®á¨â¥«ìë¥ ®âª«®¥¨ï ¨å®â ¯à®ä¨«ï ¢¥à®ïâ®á⮩ ª®æ¥âà 樨 ¯à¨ à §-«¨çëå, ® ¬ «ëå ¢ áà ¢¥¨¨ á ¥¤¨¨æ¥©, § ç¥-¨ïå ¯ à ¬¥âà �d. �¥è¥¨¥ í⮩ § ¤ ç¨ ¯®§¢®«ï-¥â ¢ëïá¨âì ¨â¥à¥áãî騩 á ¢®¯à®á ® ⮬, ª ª¢«¨ï¥â ¤¨ ¬¥âà ®áª ¯®à®© âà㡪¨ �d áâ¥-¯¥ì ®â®á¨â¥«ì®£® ®âª«®¥¨ï ¨§¬¥à¥®© ª®-æ¥âà 樨 ®â ¢¥à®ïâ®á⮩.�«ï à¥è¥¨ï ®¡à ⮩ § ¤ ç¨ ¨á¯®«ì§ã¥¬ ãà ¢-¥¨¥ (28). �ç¨âë¢ ï, çâ® "2 = �d2=32 ¨, ᮣ« á®(32), d2��pd�2 = 6:942��p;
¯®«ãç ¥¬ ®á®¢ ¨¨ (28):�cp = (1 + 1:506�d2)��p: (33)�â®á¨â¥«ì®¥ ®âª«®¥¨¥ § 票© ª®æ¥âà -権 �cp ¨ ��p ®¡®§ 稬 ᨬ¢®«®¬ �c ¨ ®¯à¥¤¥«¨¬¯® ®¡ë箩 ä®à¬ã«¥:�c = j�cp � ��pj��p :�¥«¨ç¨ã �c ¬®¦® ©â¨ ¤¢ã¬ï ᯮᮡ ¬¨: ¯®¤-áâ ®¢ª®© ¢ ç¨á«¨â¥«ì ¢ëè¥ãª § ®© ä®à¬ã«ë¢¬¥áâ® ��p ¥£® ¢ëà ¦¥¨¥ (32) ¨«¨ ¢¬¥áâ® �cp { ¢ë-à ¦¥¨¥ (33). �¥à¢ë¬ ᯮᮡ®¬ ¯®«ãç ¥¬�c = "2��p :d2�cpd�2¨«¨, ãç¨âë¢ ï ¢ëà ¦¥¨ï (22) ¨ (32) ¨ à ¢¥á⢮"2 = �d2=32, �c = 1:519�d2: (34)�®£« á® ¢â®à®¬ã ᯮᮡã, �c = 1:506�d2, çâ® ¥-᪮«ìª® ®â«¨ç ¥âáï ®â ¢ëà ¦¥¨ï (34). �â® ®¡ê-ïáï¥âáï ⥬, çâ® ¢ ¯¥à¢®¬ ᯮᮡ¥ ãç¨âë¢ ¥â-áï ¯à®¨§¢®¤ ï d2�cp=d�2, ¢® ¢â®à®¬ { d2��p=d�2.�®áª®«ìªã ¯à®¨§¢®¤ ï d2�cp=d�2 á¢ï§ á® ¢â®-àë¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥¬ ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ª®æ¥âà -樨 ��p, ¤«ï ®æ¥ª¨ ¢¥«¨ç¨ë �c ¡ã¤¥¬ ¯®«ì§®¢ âì-áï ä®à¬ã«®© (34). �à 䨪 äãªæ¨¨ �c, ¯®áâà®-¥ë© ᮣ« á® (34) ¢ ¯à®¬¥¦ã⪥ 0 � �d � 0:1,¨§®¡à ¦¥ à¨á. 2. �§ ¥£® á«¥¤ã¥â, ¢ ç áâ®-áâ¨, çâ® ¤«ï § ç¥¨ï ¯ à ¬¥âà �d = 0:0777, á®®â-¢¥âáâ¢ãî饣® ¨á¯®«ì§ã¥¬ë¬ ®¯ëâë¬ ¤ ë¬ ¯®¨§¬¥à¥¨î ª®æ¥âà 樨, ¢¥«¨ç¨ �c á®áâ ¢«ï-¥â 0:92%. �â® ®âª«®¥¨¥ ¢ ¥áª®«ìª® à § ¬¥ì襯®£à¥è®á⨠¨§¬¥à¥¨ï ª®æ¥âà 樨. �᫨ ¡ë¢ ¤ ëå ¨§¬¥à¥¨ïå ®â®á¨â¥«ìë© ¤¨ ¬¥âà -¯®à®© âà㡪¨ �d à ¢ï«áï, ¯à¨¬¥à, 0.05 ¨«¨ 0.1,â® ¢¥«¨ç¨ �c 㦥 á®áâ ¢«ï« ¡ë 0.38 ¨«¨ 1:52%ᮮ⢥âá⢥®.�¥à¥©¤¥¬ ª ®¯à¥¤¥«¥¨î á⥯¥¨ ®â®á¨â¥«ì®-£® ®âª«®¥¨ï § 票© ¨§¬¥à¥ëå, ®á।¥ë寮 ¯à®áâà áâ¢ã ¨ ¢à¥¬¥¨, ¯à®¤®«ìëå ᪮à®-á⥩ ¯®â®ª ®â ¢¥à®ïâ®áâëå á।¨å § 票©.�®¤áâ ¢¨¢ ¢ ¢ëà ¦¥¨¥ (13) ¢¬¥áâ® �' ®á।¥-ãî ¯® ¢¥à®ïâ®á⨠᪮à®áâì ¤¢¨¦¥¨ï áãᯥ§¨¨�u, ¢¬¥áâ® �'� { ®á।¥ãî ¯® ¯à®áâà áâ¢ã ¨¢à¥¬¥¨ ᪮à®áâì �u�, ¨ ®¡®§ 稢 ¢¥«¨ç¨ã �d2=32ç¥à¥§ "2, ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì"2�@2�u@�2 + @2�u@�2�+ �u = �u�: (35)�¤¥áì, ª ª ¨ ¢ ãà ¢¥¨¨ (27), ¡¥§à §¬¥àë¥ ª®®à-¤¨ âë � = x=D, � = y=D. �᫨ ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (35)�. �. �ਫì, �. �. �¥à¬ 37
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2001. �®¬ 3 (75), N 3. �. 32 { 41
�¨á. 2. �à 䨪 äãªæ¨¨ �c( �d)¯à¨ïâì ¢ ª ç¥á⢥ äãªæ¨¨ �u� ¯à®ä¨«ì ®á।-¥ëå ᪮à®á⥩ (23), â® á« £ ¥¬ë¥ «¥¢®© ç -á⨠ãà ¢¥¨ï (35) ¤®«¦ë à áᬠâਢ âìáï ª ªäãªæ¨¨ ®à¤¨ âë � ¢ ¯«®áª®á⨠� = 0. �®áª®«ì-ªã, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ª®æ¥âà 樨, ®á।¥ë¥ ¯à®-¤®«ìë¥ áª®à®á⨠¯®â®ª à á¯à¥¤¥«ïîâáï ¥à ¢-®¬¥à® ¢¤®«ì £®à¨§®â «ìëå å®à¤ ¯®¯¥à¥ç®£®á¥ç¥¨ï âàã¡ë, ¯à®¨§¢®¤®© @2�u=@�2 ¢ ãà ¢¥¨¨(35) ¯à¥¥¡à¥çì ¥«ì§ï ¨ ® ¤®«¦ ¡ëâì ¯à¥¤-áâ ¢«¥ , ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¢ ¢¨¤¥ § ¤ ®© äãª-樨 ¯¥à¥¬¥®© �. �¤ ª® § ¤ ¨¥ í⮩ äãªæ¨¨¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢®§¬®¦ë¬,¯®áª®«ìªã ¢ ¨á¯®«ì§ã¥¬ëå ¬¨ ®¯ëâëå ¤ ëå¥ ¨áá«¥¤®¢ ë í¯îàë à á¯à¥¤¥«¥¨ï ®á।¥ëå᪮à®á⥩ ¢¤®«ì £®à¨§®â «ìëå å®à¤ ¯®¯¥à¥ç®-£® á¥ç¥¨ï âàã¡ë. � á¢ï§¨ á í⨬ ¯®¯ëâ ¥¬áïãç¥áâì ¯à®¨§¢®¤ãî @2�u=@�2 ¯® «®£¨¨ á â ª®-¢®© ¢ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ ¯®â®ª¥.� áᬮâਬ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¥ â¥ç¥¨¥ áãᯥ-§¨¨ ¢ ªà㣫®æ¨«¨¤à¨ç¥áª®© âàã¡¥ à ¤¨ãᮬ R.�à¨ï¢ íâ®â à ¤¨ãá ¢ ª ç¥á⢥ å à ªâ¥à®£® à §-¬¥à ¯®â®ª , ¢¢¥¤¥¬ ¯¥à¥¬¥ë¥ �� = x=R ¨�� = y=R, á¢ï§ ë¥ á � ¨ � à ¢¥á⢠¬¨ � = RD ��¨ � = RD��. � «¥¥, ¯¥à¥©¤¥¬ ¢ ãà ¢¥¨¨ (35) ª ®-¢ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬ �� ¨ ��, ¢ १ã«ìâ ⥠祣® ¡ã¤¥¬¨¬¥âì "2� �@2�u@�2� + @2�u@�2��+ �u = �u�; (36)£¤¥ "2� = 1(RD )2 "2:� ãà ¢¥¨¨ (36) ®à¤¨ â �� ¨§¬¥ï¥âáï ®â ã«ï á⥪¥ âàã¡ë ¤® ¥¤¨¨æë ®á¨ âàã¡ë.�à ¢¥¨¥, «®£¨ç®¥ (36), ® ¯¨á ®¥ ¢¯®«ïàëå ª®®à¤¨ â å, ¨¬¥¥â ¤«ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç-
®£® ¯®â®ª ¢¨¤"2��1� d�ud� + d2�ud�2�+ �u = �u�; (37)£¤¥ � = r=R { ¡¥§à §¬¥àë© à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à, ç «®ª®â®à®£® (¯®«îá) 室¨âáï ¢ æ¥âॠ¯®¯¥à¥ç®-£® á¥ç¥¨ï âàã¡ë. �ਠ§ ¬¥¥ ¢ ãà ¢¥¨¨ (37)¥§ ¢¨á¨¬®© ¯¥à¥¬¥®© � ��, á¢ï§ ãî á �ä®à¬ã«®© � = 1� ��, ¯®«ãç ¥¬"2��� 11� �� d�ud�� + d2�ud�2��+ �u = �u�: (38)�à ¢¨¢ ï ãà ¢¥¨¥ (38) á (36), ã¡¥¦¤ ¥¬áï,çâ® ¢¥«¨ç¨ � 11� �� d�ud�� ¢ (38) à ¢®§ ç ¯à®-¨§¢®¤®© d2�u=d�2� ¢ (36). � ª çâ® ¢ á«ãç ¥ ®á¥-ᨬ¬¥âà¨ç®£® ¯à®ä¨«ï ®á।¥ëå ᪮à®á⥩ãà ¢¥¨¥ (36) ¬®¦® § ¬¥¨âì íª¢¨¢ «¥â묥¬ã ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨-¥¬ (38).�â® ª á ¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç®£® ¯à®ä¨«ï ®á।-¥ëå ᪮à®á⥩, ¯à¥¤áâ ¢«¥®£® à¨á. 1, ⮨¦îî ¨ ¢¥àåîî ç á⨠¥£® ¡ã¤¥¬ ®â¤¥«ì® à á-ᬠâਢ âì ª ª í¯îàë ®á।¥ëå ᪮à®á⥩ ¥-ª®â®àëå ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå ¯®â®ª®¢ ¢ âàã¡ å à -¤¨ãá ¬¨ R ¨ Rb ᮮ⢥âá⢥®, £¤¥ R { à ááâ®-逸 ®â ¨¦¥© á⥪¨ âàã¡ë ¤® ª¨¥¬ â¨ç¥áª®©®á¨ ¯®â®ª , ª®â®à®© ®á।¥ ï ᪮à®áâì ¯à¨-¨¬ ¥â ¬ ªá¨¬ «ì®¥ § 票¥, Rb { à ááâ®ï¨¥®â ¢¥à奩 á⥪¨ âàã¡ë ¤® í⮩ ®á¨. � ç «¥à áᬮâਬ ¨¦îî ç áâì ¯à®ä¨«ï.�à¨ï¢ ¢ ª ç¥á⢥ å à ªâ¥à®£® à §¬¥à ¢®-®¡à ¦ ¥¬®£® ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®£® ¯®â®ª à ¤¨ãáR, ¬®¦¥¬ ¯¨á âì ¯® «®£¨¨ á (38):"2�� 11� � d�ud� + d2�ud�2 �+ �u = �u�: (39)£¤¥ "2 = "2 1�RD �2 = "2=�2m; � = y=R:�®áª®«ìªã ¯¥à¥¬¥ ï � á¢ï§ á � ä®à¬ã«®©� = �m�, ¨¦ïï ç áâì ¯à®ä¨«ï ᪮à®á⥩ à¨á.1 ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ®¡« á⨠0:125 � � � �m, § ç¥-¨ï ¯¥à¥¬¥®© � ®â®áïâáï ª ¯à®¬¥¦ãâªã0:208 � � � 1: (40)� §¤¥«¨¢ ®¡¥ ç á⨠ãà ¢¥¨ï (39) �u�m, ¯®«ã稬"2�� 11� � d�vd� + d2�vd�2 �+ �v = �v�: (41)38 �. �. �ਫì, �. �. �¥à¬
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2001. �®¬ 3 (75), N 3. �. 32 { 41�¤¥áì ¡¥§à §¬¥àë¥ áª®à®á⨠�v = �u=�u�m,�v� = �u�=�u�m.� «¥¥ ¯¥à¥©¤¥¬ ¢ ãà ¢¥¨ïå (23) ¨ (25) ª ¯¥à¥-¬¥®© �, ¢ (23), ªà®¬¥ ⮣®, ª ¡¥§à §¬¥à®©áª®à®á⨠�v�. �®£¤ í⨠ãà ¢¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢ïâáïâ ª: �v� = 1 + f(�) ln�; (42)f(�) = 0:2767+ 0:5532�� 0:8299�2: (43)�¥è¥¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï (41) ¬¥-⮤®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¦¥¨©, ᮮ⢥â-áâ¢ãî饥 ¢â®à®¬ã ¯à¨¡«¨¦¥¨î ª �v, ¨¬¥¥â ¢¨¤�v = �v� + "2� 11� � d�v�d� � d2�v�d�2 � : (44)� (44) äãªæ¨ï �v� ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮣ« á® ä®à-¬ã« ¬ (42) ¨ (43), ¥¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ d�v�d� ¨ d2�v�d�2 {á®®â®è¥¨ï¬¨d�v�d� = f 0 ln � + f� ; (45)d2�v�d�2 = �1:66 ln� + 2f 0� � f�2 ; (46)£¤¥ f 0 = 0:5532� 1:6598�: (47)�â ª, ä®à¬ã«ë (42) ¨ (43) ¯®§¢®«ïîâ ®¯à¥¤¥-«¨âì ¢ «î¡®© â®çª¥ ¯à®¬¥¦ã⪠(40) § 票¥®á।¥®© ¯® ¯à®áâà áâ¢ã ¨ ¢à¥¬¥¨ ᪮à®áâ¨�v�, ãà ¢¥¨¥ (44) { § 票¥ ®á।¥®© ¯®¢¥à®ïâ®á⨠᪮à®á⨠�v. �â®á¨â¥«ì®¥ ®âª«®-¥¨¥ § 票© íâ¨å ᪮à®á⥩ ¤à㣠®â ¤à㣠®¡®-§ 稬 ᨬ¢®«®¬ � ¨ ©¤¥¬ ᮣ« á® ä®à¬ã«¥� = j�v� � �vj�v :�®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¦¥¨¥ (44) ¢ ç¨á«¨â¥«ì í⮩ ä®à-¬ã«ë ¨ ãç¨âë¢ ï à ¢¥á⢠"2 = �d232 1�2m == 0:0868�d2, ¯®«ãç ¥¬� = 0:0868 �d2�v � 11� � d�v�d� � d2�v�d�2 � : (48)�⬥⨬, çâ® ¢ (48) ¯ à ¬¥âà �d2 ï¥âáï ¯¥à¥-¬¥®© ¢¥«¨ç¨®©, ®¤ ª® ᪮à®áâì �v §¤¥áì ®¯à¥-¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (44) ¯à¨ ¯®áâ®ï®¬ § ç¥-¨¨ �d = 0:0777. �¯à¥¤¥«ï¥¬ ï ¯® ä®à¬ã«¥ (48)¢¥«¨ç¨ � ï¥âáï äãªæ¨¥© ¯¥à¥¬¥®© � ¨¯ à ¬¥âà �d. �«ï ®æ¥ª¨ á⥯¥¨ ®â®á¨â¥«ì®-£® ®âª«®¥¨ï § 票© ᪮à®á⥩ �v� ¨ �v ¡ã¤¥¬
�¨á. 3. �à 䨪 äãªæ¨¨ �:cà( �d)¯®«ì§®¢ âìáï ¥ á ¬®© äãªæ¨¥© �, á।¨¬ ¥¥§ 票¥¬ �:áà ¢ ¯à®¬¥¦ã⪥ 0:208 � � � 1:�:áà( �d) = 10:792 1Z0:208 �(�; �d)d�: (49)� १ã«ìâ ⥠¢ëç¨á«¥¨ï ¨â¥£à « ¢ ãà ¢¥-¨¨ (49) ãáâ ®¢«¥ § ¢¨á¨¬®áâì�:áà = 0:42�d2: (50)�à 䨪 äãªæ¨¨ �:áà, ¯®áâà®¥ë© ¢ ¯à®¬¥-¦ã⪥ 0 � �d � 0:1, ¨§®¡à ¦¥ à¨á. 3. �§¥£® á«¥¤ã¥â, ¢ ç áâ®áâ¨, çâ® ¢ à áᬠâਢ ¥-¬®© ¨¦¥© ç á⨠¯à®ä¨«ï ®á।¥ëå ᪮à®-á⥩, ¨§¬¥à¥ëå á ¯®¬®éìî ¯®à®© âà㡪¨¯à¨ �d = 0:0777, ¢¥«¨ç¨ �:áà à ¢ï¥âáï 0:25%,çâ® ¯®à冷ª ¬¥ìè¥ ¯®£à¥è®á⨠¨§¬¥à¥¨ï.�᫨ ¡ë § 票¥ ¯ à ¬¥âà �d ¢ ¤ ëå ®¯ëâ åà ¢ï«®áì, ᪠¦¥¬, 0.05 ¨«¨ 0.1, â® ¢ í⮬ á«ãç ¥¢¥«¨ç¨ �:áà á®áâ ¢¨« ¡ë 0.1 ¨«¨ 0:42%.�¥à¥å®¤ï ª à áᬮâà¥¨î ¢¥à奩 ç á⨠¯à®ä¨-«ï ®á।¥ëå ᪮à®á⥩ à¨á.1, ¡ã¤¥¬ à ááã-¦¤ âì «®£¨ç®, ª ª ¨ ¯à¨ à áᬮâ२¨ ¨¦-¥© ç á⨠í⮣® ¯à®ä¨«ï. �à¨ï¢ ¢ ª ç¥á⢥å à ªâ¥à®£® à §¬¥à ¢®®¡à ¦ ¥¬®£® ®á¥á¨¬¬¥-âà¨ç®£® ¯®â®ª à ¤¨ãá Rb, ¬®¦¥¬ ¯¨á âì ¯® «®£¨¨ á ãà ¢¥¨¥¬ (41):"2b �� 11� �b d�vbd�b + d2�vbd�2b �+ �vb = �v�b : (51)£¤¥ "2b = "2=(1��m)2; �b = (D�y)=Rb; �vb = �ub=�u�m,�v�b = �u�b=�u�m,�. �. �ਫì, �. �. �¥à¬ 39
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2001. �®¬ 3 (75), N 3. �. 32 { 41�®áª®«ìªã ¯¥à¥¬¥ ï �b á¢ï§ á � ä®à¬ã«®©� = 1� (1��m)�b, ¢¥àåïï ç áâì ¯à®ä¨«ï ᪮à®-á⥩ à¨á.1 ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ®¡« á⨠0:6 � � � 0:95,§ ç¥¨ï ¯¥à¥¬¥®© �b 室ïâáï ¢ ¯à®¬¥¦ã⪥0:125 � �b � 1: (52)�室ïé ï ¢ ãà ¢¥¨¥ (51) ᪮à®áâì �v�b ¡ã¤¥â:�v�b = 1 + fb(�b) ln 1� 0:4�b0:6 ; (53)£¤¥ fb(�b) � 0:71(1� �b): (54)� १ã«ìâ ⥠à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (51) ¬¥â®¤®¬¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¦¥¨© ¢â®à®¥ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥ ª �vb ¤ ¥â�vb = �v�b + "2b � 11� �b d�v�bd�b � d2�v�bd�2b � : (55)� (55) ¯ à ¬¥âà "2b = 1:179 � 10�3, äãªæ¨ï �v�b®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᮣ« á® ãà ¢¥¨© (53) ¨ (54), ¥¥¯à®¨§¢®¤ë¥ { ª ªd�v�bd�b = 0:71 ln 1� 0:4�b0:6 � 0:41� 0:4�b � fb; (56)d2�v�bd�2b = � 0:81� 0:4�b �0:71 + 0:2fb1� 0:4�b� : (57)�â®á¨â¥«ì®¥ ®âª«®¥¨¥ § 票© ᪮à®á⥩�v�b ¨ �v�b , â.¥. ¢¥«¨ç¨ã �b = j�v�b � �vbj�vb 室¨¬ ¯®ä®à¬ã«¥�b = 0:1953 �d2�vb � 11� �b d�v�bd�b � d2�v�bd�2b � : (58)�।¥¥ § 票¥ äãªæ¨¨ �b ¢ ¯à®¬¥¦ã⪥ (52)¡ã¤¥â �b:áà( �d) = 10:875 1Z0:125 �b(�b; �d)d�b¨«¨ ¢ १ã«ìâ ⥠¢ëç¨á«¥¨ï ¨â¥£à « �b:áà = 0:31�d2: (59)�à 䨪 äãªæ¨¨ (59), ¯®áâà®¥ë© ¢ ¯à®¬¥¦ãâ-ª¥ 0 � �d � 0:1, ¯à¥¤áâ ¢«¥ à¨á.4. �§ ¥£® á«¥-¤ã¥â, çâ® ¯à¨ �d = 0:0777 ¢¥«¨ç¨ �b:áà = 0:19%,⮣¤ ª ª, ¯à¨¬¥à, ¯à¨ �d = 0:05 ¨«¨ 0.1 ® á®-áâ ¢«ï¥â 0.08 ¨«¨ 0:31%.�â ª, ¢ëè¥ ¯à¨¢¥¤¥ë १ã«ìâ âë ¯¥à¥áç¥-â ¯à®áâà á⢥®-¢à¥¬¥ëå á।¨å ¢¥à®-ïâ®áâë¥ ¤«ï ®¯ëâëå ¤ ëå ¯® ¨§¬¥à¥¨î
�¨á. 4. �à 䨪 äãªæ¨¨ �b:cà( �d)®á।¥ëå ª®æ¥âà 樨 ¨ ᪮à®á⥩ á ¯®¬®-éìî ¯®à®© âà㡪¨. � ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¯®¯¥-à¥ç®¥ á¥ç¥¨¥ ®¡ê¥¬ ®á।¥¨ï ¨¬¥¥â ªà㣫ãîä®à¬ã. � «®£¨çë¥ à áç¥âë ¢ë¯®«¥ë ¬¨¤«ï ¯à¨¢¥¤¥ëå ¢ [5] ®¯ëâëå ¤ ëå ¯® ¨§¬¥à¥-¨î ®á।¥ëå ª®æ¥âà 樨 ¨ ᪮à®á⥩ ¬¥-⮤®¬ ª¨®áꥬª¨. � íâ¨å ®¯ëâ å ¯®¯¥à¥ç®¥á¥ç¥¨¥ ®¡ê¥¬ ®á।¥¨ï ¨¬¥¥â ¯àאַ㣮«ìãîä®à¬ã, ®â®è¥¨¥ å à ªâ¥à®£® ¥£® à §¬¥à ª£«ã¡¨¥ ¯®â®ª á®áâ ¢«ï¥â 0.067. � १ã«ìâ â¥ãáâ ®¢«¥®, çâ® ®â®á¨â¥«ìë¥ ®âª«®¥¨ï í¬¯¨-à¨ç¥áª¨å ¯à®áâà á⢥®-¢à¥¬¥ëå á।¨å ®â¢¥à®ïâ®áâëå ⮦¥ ¯®à冷ª ¬¥ìè¥ ¯®£à¥è-®á⨠¨§¬¥à¥¨ï.����������� §à ¡®â ¬¥â®¤ ¯¥à¥áç¥â í¬¯¨à¨ç¥áª®£®¯à®áâà á⢥®-¢à¥¬¥®£® á।¥£® ¢¥à®ïâ-®á⮥ ¤«ï ¥®¤®à®¤®£® áâ 樮 ண® ¯®«ï®á।¥®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë âãà¡ã-«¥â®£® ¯®â®ª áãᯥ§¨¨. � ®á®¢¥ ¥£® «¥-¦¨â ¯®«ã祮¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå, á¢ï§ë¢ î饥 ¬¥¦¤ã á®-¡®© í⨠á।¨¥ ¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âà뮡ꥬ ®á।¥¨ï. �áâ ®¢«¥ á⥯¥ì ¢«¨ï-¨ï ¥®¤®à®¤®á⨠¯®«ï ¨§¬¥à塞®© ®á।¥-®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë, â ª¦¥ à §-¬¥à®¢ ¨ ä®à¬ë ®¡ê¥¬ ®á।¥¨ï ®â®á¨-⥫쮥 ®âª«®¥¨¥ ¯à®áâà á⢥®-¢à¥¬¥®£®á।¥£® ®â ¢¥à®ïâ®á⮣®. �®ª § ®, ¢ ç áâ-®áâ¨, çâ® ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ ¯®«¥ ®á।¥®© £¨-¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë å à ªâ¥à¨§ã¥âáï íªá-¯®¥æ¨ «ì®© ¨«¨ «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© ¥®¤®à®¤-®áâìî, ®â®è¥¨¥ å à ªâ¥à®£® à §¬¥à ®¡ê-40 �. �. �ਫì, �. �. �¥à¬
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2001. �®¬ 3 (75), N 3. �. 32 { 41¥¬ ®á।¥¨ï ª å à ªâ¥à®¬ã à §¬¥àã ¯®â®ª ¥ ¯à¥¢ëè ¥â 0.08, ¨§¬¥à¥®¥ ¯à®áâà á⢥®-¢à¥¬¥®¥ á।¥¥ § 票¥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®©¢¥«¨ç¨ë ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¥¥ ¢¥à®ïâ®áâ-ë¬ á।¨¬ § 票¥¬. �ਠí⮬ ®â®á¨â¥«ì-®¥ ®âª«®¥¨¥ § 票© íâ¨å á।¨å ¤à㣠®â¤à㣠¯®à冷ª ¬¥ìè¥ ¯®£à¥è®á⨠¨§¬¥à¥¨ï.� ¤ ®¬ á«ãç ¥ íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¤ ë¥ ¯®¨§¬¥à¥¨î ¯à®áâà á⢥®-¢à¥¬¥ëå á।¨å¬®¦® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ᮯ®áâ ¢«¥¨ï १ã«ìâ -⮢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ⥮ਨ âãà¡ã«¥â®áâ¨.
1. �ਫì �. �. � ¯®àë¥ ¢§¢¥á¥¥áã騥 ¯®â®ª¨.{ �.:� ãª. ¤ã¬ª , 1990.{ 160 á.2. �ਫì �.�., �¥à¬ �.�. �à ¢¥¨ï âãà¡ã«¥â®-£® â¥ç¥¨ï £ §®¢§¢¥á¥© // �ਪ«. £¨¤à®¬¥å ¨ª .{1999.{ 1(73), N 1.{ �. 26{34.3. �®¨ �.�., �£«®¬ �.�. �â â¨áâ¨ç¥áª ¤à®¬¥å ¨ª .{ �.: � 㪠, 1965.{ 639 á.4. �à ª«ì �.�.� á¨á⥬¥ ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï ¢§¢¥-è¥ëå ®á®¢ // �áá«¥¤®¢ ¨¥ ¬ ªá¨¬ «ì®£®á⮪ , ¢®«®¢®£® ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ¨ ¤¢¨¦¥¨ï ®á®¢.{�.{ 1960.{ �. 132{137.5. �¨«¨ �.�., �¨â®èª¨ �.�., � à ᨪ �.�. ¨ ¤à.�̈ ¤à®âà ᯮàâ.{ �.: � ãª. ¤ã¬ª , 1971.{ 157 á.6. �¨«¨ �.�. ¨ ¤à. �ਡ®àë ¤«ï ¨§¬¥à¥¨ï ¯ à ¬¥â-஢ £¨¤à®âà ᯮàâ¨à®¢ ¨ï ⢥à¤ëå ¬ â¥à¨ -«®¢.{ �.: �§¤-¢® �� ����, 1963.{ 160 á.
�. �. �ਫì, �. �. �¥à¬ 41
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5004 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T12:20:45Z |
| publishDate | 2001 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Криль, С.И. Берман, В.П. 2010-01-06T14:49:48Z 2010-01-06T14:49:48Z 2001 Соотношение вероятностного и пространственно-временного средних для турбулентного потока суспензии / С.И. Криль, В.П. Берман // Прикладна гідромеханіка. — 2001. — Т. 3, № 3. — С. 32-41. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5004 532.542.4 Составлено дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее вероятностное и пространственно-временное средние для неоднородного стационарного поля осредненной гидродинамической величины турбулентного потока суспензии. На его основе разработан метод пересчета эмпирических пространственно-временных средних на вероятностные с учетом влияния неоднородности поля гидродинамической величины, а также формы и размеров объема осреднения на относительное отклонение значений рассматриваемых средних друг от друга. Найдено условие, при котором эмпирические пространственно-временные средние по своей величине практически совпадают с вероятностными, и в данном случае измеренные пространственно-временные средние могут быть использованы для сопоставления результатов статистической модели турбулентности. Складено диференцiйне рiвняння у часткових похiдних, що зв'язує iмовiрносне та прострово-часове середнi для неоднорiдного стацiонарного поля осередненої гiдродинамiчної величини турбулентного потоку суспензiї. На його основi розроблено метод перерахунку емпiричних прострово-часових середнiх на ймовiрноснi з урахуванням впливу неоднорiдностi поля осередненої гiдродинамiчної величини, а також форми i розмiрiв об'єму осереднення на вiдносне вiдхилення значень цих середнiх одне вiд одного. Знайдено умову, за якої емпiричнi прострово-часовi середнi по своїй величинi практично спiвпадають з iмовiрносними, i в даному випадку вимiрянi прострово-часовi середнi можуть використовуватись для спiвставлення результатiв статистичної теорiї турбулентностi. A partial differential equation has been set up relating the probability-averaged mean value to the spatial-temporal-averaged one for the nonuniform stationary field of an averaged hydrodynamic quantity of turbulent suspension flow. Based on it, a method has been developed of transformation of empirical spatial-temporal mean values into probabilistic ones with allowance made for the influence of hydrodynamic quantity field nonuniformity as well as of the averaging volume form and size on the relative difference of the studied mean values from each other. A condition has been found wherein empirical spatial-temporal mean values by its magnitude practically coincide with probabilistic ones, and in this case the spatial-temporal mean values measured can be used for comparing results of the turbulence statistical model. ru Інститут гідромеханіки НАН України Соотношение вероятностного и пространственно-временного средних для турбулентного потока суспензии Relationship between probabilistic and spatial-temporal mean values for turbulent suspension flow Article published earlier |
| spellingShingle | Соотношение вероятностного и пространственно-временного средних для турбулентного потока суспензии Криль, С.И. Берман, В.П. |
| title | Соотношение вероятностного и пространственно-временного средних для турбулентного потока суспензии |
| title_alt | Relationship between probabilistic and spatial-temporal mean values for turbulent suspension flow |
| title_full | Соотношение вероятностного и пространственно-временного средних для турбулентного потока суспензии |
| title_fullStr | Соотношение вероятностного и пространственно-временного средних для турбулентного потока суспензии |
| title_full_unstemmed | Соотношение вероятностного и пространственно-временного средних для турбулентного потока суспензии |
| title_short | Соотношение вероятностного и пространственно-временного средних для турбулентного потока суспензии |
| title_sort | соотношение вероятностного и пространственно-временного средних для турбулентного потока суспензии |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5004 |
| work_keys_str_mv | AT krilʹsi sootnošenieveroâtnostnogoiprostranstvennovremennogosrednihdlâturbulentnogopotokasuspenzii AT bermanvp sootnošenieveroâtnostnogoiprostranstvennovremennogosrednihdlâturbulentnogopotokasuspenzii AT krilʹsi relationshipbetweenprobabilisticandspatialtemporalmeanvaluesforturbulentsuspensionflow AT bermanvp relationshipbetweenprobabilisticandspatialtemporalmeanvaluesforturbulentsuspensionflow |