Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального аварийного восстановления
Рассмотрена стратегия минимальных восстановлений с периодически полными заменами и учетом времени восстановления. Для системы с простой структурой введен альтернирующий процесс минимального восстановления. Исследовано его асимптотическое поведение с помощью тауберовых теорем. Определены оптимальные...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50048 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального аварийного восстановления / А.И. Песчанский // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 2. — С. 106-117. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860062864477257728 |
|---|---|
| author | Песчанский, А.И. |
| author_facet | Песчанский, А.И. |
| citation_txt | Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального аварийного восстановления / А.И. Песчанский // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 2. — С. 106-117. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Системні дослідження та інформаційні технології |
| description | Рассмотрена стратегия минимальных восстановлений с периодически полными заменами и учетом времени восстановления. Для системы с простой структурой введен альтернирующий процесс минимального восстановления. Исследовано его асимптотическое поведение с помощью тауберовых теорем. Определены оптимальные сроки проведения полных замен.
Розглянуто стратегію мінімальних поновлень із періодично повними змінами й урахуванням часу поновлення. Для системи з простою структурою введено альтернуючий процес мінімального поновлення. Досліджено його асимптотичну поведінку за допомогою тауберових теорем. Визначено оптимальні терміни проведення повних замін.
Strategy for minimal fallback renewal with periodical total replacement is considered taking into account the time of renewal. For single-component systems, an alternating process of minimal renewal is introduced and its asymptotic behavior is investigated using tauberian theorems. Optimal terms of total replacement are determined.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:05:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.И. Песчанский, 2010
106 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 2
TIДC
ЕВРИСТИЧНІ МЕТОДИ ТА АЛГОРИТМИ
В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ ТА УПРАВЛІННІ
УДК 519.873
КАЛЕНДАРНОЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ
ПРОСТОЙ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ МИНИМАЛЬНОГО
АВАРИЙНОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ
А.И. ПЕСЧАНСКИЙ
Рассмотрена стратегия минимальных восстановлений с периодически полны-
ми заменами и учетом времени восстановления. Для системы с простой струк-
турой введен альтернирующий процесс минимального восстановления. Иссле-
довано его асимптотическое поведение с помощью тауберовых теорем.
Определены оптимальные сроки проведения полных замен.
ВВЕДЕНИЕ
Одной из стратегий технического обслуживания простой системы является
стратегия минимальных восстановлений с периодически полными заменами
[1]. Данная стратегия предполагает полное обновление системы только в
определенные моменты времени. Если же система отказывает на интервале
между двумя последовательными полными восстановлениями, то произво-
дится лишь минимальное восстановление. Минимальное восстановление
означает, что наработка восстановленной системы, проработавшей к момен-
ту отказа время ,s имеет следующую функцию распределения:
)(
)()()(
sF
tFtsFtFs
−+
= . (1)
В работе [1] оптимальное планирование профилактических замен по-
лучено в предположении, что все мероприятия по восстановлению осущест-
вляются за пренебрежительно малое время. Поэтому, при построении мате-
матической модели функционирования системы время восстановления
считается равным нулю. Однако, на практике это предположение нередко не
выполняется и приходится учитывать время на восстановительные мероп-
риятия.
Цель статьи — исследование стратегии минимальных восстановлений
с периодически полными заменами и учетом времени восстановления.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим систему, состоящую из одного элемента, в которой возможно
проведение планового технического обслуживания (ТО) и внеплановых ава-
Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 107
рийно-профилактических ремонтов. Установим следующую очередность
проведения восстановительных работ. Время безотказной работы элемента в
нулевой момент времени СВ α с ФР ( ).)( tPtF ≤= α После каждого отказа
элемента, который обнаруживается мгновенно, начинается его минимальное
аварийное восстановление (МАВ) [1]. Продолжительность МАВ–СВ β с
ФР ).()( tPtG ≤= β По определению, после МАВ элемент, проработавший
время s , имеет «остаточную наработку» с ФР (1).
Таким образом, МАВ делает элемент работоспособным, но по его
окончании интенсивность отказов такая же, как непосредственно перед от-
казом. После следующего отказа и МАВ ФР «остаточной наработки» опре-
деляется по-прежнему формулой (1), в которой s — суммарное время рабо-
ты элемента с начала его эксплуатации и т.д. Кроме внеплановых аварийно-
профилактических ремонтов в системе проводится предупредительное ТО.
Предупредительное ТО элемента планируется через время τ после начала
его работы, независимо от того в работоспособном или отказовом состоянии
он находится. Продолжительность ТО – СВ pβ с ФР )()( tPtG pp ≤= β . В
результате ТО элемент полностью обновляет свои надежностные характери-
стики и очередное ТО планируется через время τ после обновления эле-
мента. Временная диаграмма функционирования элемента изображена на
рис. 1.
Предполагается, что СВ βα , и pβ независимы, имеют абсолютно не-
прерывные ФР и конечные математические ожидания .,, pMMM ββα От-
ключение и включение элемента происходит мгновенно. Доход за единицу
времени исправного функционирования, плата за единицу времени аварий-
ного восстановления и плата за единицу времени ТО элемента соответст-
венно равны cc ,0 и .pc
Необходимо определить следующие показатели качества функциони-
рования системы: стационарный коэффициент технического использования
)(τuK , среднюю удельную прибыль )(τS , приходящуюся на единицу ка-
лендарного времени и средние удельные затраты )(τC , приходящиеся на
единицу времени исправного функционирования системы. Определить про-
межутки времени τ между окончанием предыдущего и началом последую-
щего ТО элемента, для которых указанные показатели качества функциони-
рования системы имели бы оптимальные значения.
β
τ τ τ
β p t
α αs α αs α
β β β
β p
Рис. 1. Временная диаграмма функционирования системы
А.И. Песчанский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 2 108
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Элемент может находиться в одном из трех физических состояний: в рабо-
тоспособном состоянии, в состоянии восстановления или пребывать в сос-
тоянии ТО. Случайный процесс, описывающий эволюцию системы во вре-
мени является регенерирующим. Точками регенерации являются моменты
обновления системы после ТО. Тогда коэффициент технического использо-
вания (КТИ) uK элемента можно определить по формуле
MX
MXKu
)1(
= [2],
где MX среднее время между точками регенерации, а )1(MX среднее время
работы элемента за период между точками регенерации. В нашем случае
.pMMX βτ += Для нахождения )1(MX подготовим определенные теорети-
ческие основы, для чего введем и исследуем альтернирующий процесс ми-
нимального восстановления.
Рассмотрим следующий случайный процесс. Элемент отказывает спус-
тя случайную наработку 1α и осуществляется его минимальное восстанов-
ление по прошествии случайного времени .1β Восстановленный элемент
работает время 2α , затем наступает отказ и новое минимальное восстанов-
ление через время 2β и т.д. (рис. 2). Моменты времени == 211 , TT α
,...,211 αβα ++= в которые элемент отказывает, назовем моментами
0-восстановлений. Моменты времени ,...,, 22112111 βαβαβα +++=+= SS
в которые заканчиваются восстановления, назовем моментами
1-восстановления.
Каждая СВ из последовательности }1,{ ≥nnβ имеет ФР ).(tG СВ 1α из
последовательности }1,{ ≥nnα имеет ФР )(tF , а ФР всех остальных СВ
определяются формулой (1). Последовательность }1,{ ≥nnα порождает не-
стационарный пуассоновский процесс с параметром )(ln)( sFs −=Λ [1].
Определение. Последовательность ( ){ }1,, ≥nnn βα , так же как и после-
довательность ( ){ }1,, ≥nST nn , назовем альтернирующим процессом мини-
мального восстановления.
Альтернирующий процесс минимального восстановления можно
эквивалентным образом описать процессом }0),({ ≥ttZ с помощью соот-
ношения
Рис. 2. Реализация альтернирующего процесса минимального восстановления
T1 S1 S2 T2
1α 2α1β 2β
t 0
Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 109
[ )
[ )⎩
⎨
⎧
∉
∈
=
.,,1
,,,0
)(
nn
nn
STt
STt
tZ (2)
По определению процесс )(tZ задает состояние элемента в момент t :
1)( =tZ , если элемент работает в момент t , и 0)( =tZ , если элемент в мо-
мент t восстанавливается (рис. 3).
Отметим, что в случае экспоненциального распределения наработки
альтернирующий процесс минимального восстановления есть обычный аль-
тернирующий процесс восстановления.
Через )(0 tN обозначим случайное число 0-восстановлений, а через
)(1 tN — случайное число 1-восстановлений на интервале ],0( t . Очевидно,
)(0 tN и )(1 tN являются считающими альтернирующими процессами, для
которых справедливы соотношения
( ) ( ) =≤=≥ tTPktNP k)(0
[ ] ( )∫ ∈≡−
−
−Λ
= ∗
−
−∗
t k
k NksGdsstf
k
stsG
0
)0(
1
)1( ,1)(,)(
)!1(
)()( ,
( ) ( ) [ ]
∫ ∈−
−
−Λ
=≤=≥
−
∗
t k
k
k Nkdsstf
k
stsGtSPktNP
0
1
)(
1 ,)(
)!1(
)()()( .
Здесь )(tΛ — накопленная интенсивность отказов: ∫=Λ
t
dsst
0
)()( λ ,
)(tλ — интенсивность отказов. Отсюда средние значения 0- и 1-
восстановлений на интервале ],0[ t задаются такими функциями восстанов-
ления:
[ ] [ ]∑ ∫
∞
=
∗ −
−Λ
+==
1 0
)(
0
)0( )(
!
)()()()()(~
n
t n
n dsstf
n
stsGtFtNMtH ,
[ ] [ ]∑∫
∞
=
−
∗ −
−
−Λ
==
1 0
1
)(
1
)1( )(
)!1(
)()()()(~
n
t n
n dsstf
n
stsGtNMtH .
Плотности 0- и 1-восстановлений определяются формулами:
[ ]∑ ∫
∞
=
∗ −
−Λ
+==
1 0
)()0()0( )(
!
)()()()(~)(~
n
t n
n dsstf
n
stsgtftH
dt
dth ,
T1 T2 S1 S2
1
0 t
Z(t)
Рис. 3. Реализация процесса )}({ tZ
А.И. Песчанский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 2 110
[ ]∑ ∫
∞
=
−
∗ −
−
−Λ
==
1 0
1
)()1()1( )(
)!1(
)()()(~)(~
n
t n
n dsstf
n
stsgtH
dt
dth .
Плотности восстановлений имеют следующую вероятностную интерп-
ретацию: ( )dtthdtth )(~)(~ )1()0( . Она представляет собой вероятность того, что
0-восстановление (1-восстановление) произойдет в интервале времени
( ]dttt +, .
Особый интерес представляет вероятность ( )tVtZP u >= )1(~,1)( , где )1(~
uV
означает остаточную наработку. Очевидно ( )tVtZP u >= )1(~,1)( означает ве-
роятность того, что исправный к моменту u элемент не откажет на следу-
ющем интервале времени ( ]tuu +, .
С учетом соотношения (2) по формуле полной вероятности получаем
( )=>== tVtZPtuV u
)1()1( ~,1)(),(~
[ ]∑∫
∞
=
∗−Λ
+−++=
1 0
)( )(
!
)()()(
n
u
n
n
dssg
n
sutsuFtuF . (3)
Выражение ( )tVtZPtuV u >== )1()1( ~,1)(),(~ называется нестационарным
коэффициентом оперативной готовности для альтернирующего процесса
минимального восстановления. Нестационарный коэффициент готовности
определяется соотношением ( ) ( ) .)(1)()( uZMuZPuK === Он равен вероя-
тности того, что элемент работает в момент u . Если положить в соотноше-
нии (3) 0=t , то для этого частного случая
[ ]∑ ∫
∞
=
∗−Λ
−+=
1 0
)( )(
!
)()()()(
n
u
n
n
dssg
n
susuFuFuK .
Найдем среднее время работы элемента за период между точками реге-
нерации .)1(MX Суммарное время безотказной работы )(τU элемента за
время ( ]t,0 : ∫=
τ
τ
0
)()( dttZU . Очевидно, что )(τU равняется сумме наработок
iα (интерпретирующиеся здесь как рабочие периоды) до момента τ , вклю-
чая, возможно, неполный рабочий период, непосредственно примыкающий
к моменту .τ
[ ] ===
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
== ∫∫∫
τττ
τ
000
)1( )()]([)()( duuKduuZMduuZMUMMX
[ ]∑ ∫∫
∞
=
∗−Λ
−+=
1 0
)(
0
)(
!
)()()(
n
n
n
dssG
n
susuFduuF
ττ
.
С учетом соотношения [ ] [ ] [ ] ds
n
ssfds
n
ssf
n
ttF
t nt nn
∫∫
Λ
−
−
Λ
=
Λ −
00
1
!
)()(
)!1(
)()(
!
)()( ,
Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 111
выражение в правой части последнего равенства приводится к виду:
( )∫ −−=
τ
τ
0
)1()0()1( )(~)(~ duuHuHMX .
Следовательно, КТИ определяется формулой
( )
pu
M
duuHuH
K
βτ
τ
τ
τ
+
−−
=
∫
0
)1()0( )(~)(~
)( . (4)
Средний удельный доход )(τS , приходящийся на единицу календарно-
го времени, и средние удельные затраты )(τC , приходящиеся на единицу
времени исправного функционирования элемента, определяются соотноше-
ниями [2]:
,)(
)2()0()1(0
MX
MXccMXMXcS
p−−
=τ ,)( )1(
)2()0(
MX
MXccMXC
p+
=τ (5)
где )2()0( , MXMX среднее суммарное время АВ и среднее время ТО элемен-
та за период регенерации соответственно. В нашем случае эти формулы
принимают вид:
( )
p
pp
M
McduuHuHccc
S
βτ
βτ
τ
τ
+
−−+−
=
∫
0
)1()0(00 )(~)(~)(
)( ,
( )
( )∫
∫
−−
+−
=
τ
τ
τ
β
τ
0
)1()0(
0
)1()0(
)(~)(~
)(~)(~
)(
duuHuH
McduuHuHc
C
pp
.
ОПТИМИЗАЦИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА
Определение наилучших показателей качества функционирования системы
сводится к отысканию точек экстремума функций (4) и (5). Приравнивая к
нулю производные этих функций, получаем уравнения:
( )( ) ( ) ,)(~)(~)(~)(~
0
)1()0()1()0( pp MduuHuHHHM βττβτ
τ
=−−−+ ∫
( )( ) ( ) ,)(~)(~)(~)(~
0
0
0
)1()0()1()0( p
p
p M
cc
ccduuHuHHHM βττβτ
τ
+
+
=−−−+ ∫ (6)
( ) ( ) +−−− ∫
τ
τττ
0
)1()0()1()0( )(~)(~)(~)(~ duuHuHHH
А.И. Песчанский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 2 112
( ) p
p
p
p
M
c
cHHM
c
c βττβ =−+ )(~)(~ )1()0( .
Для доказательства существования решений этих уравнений определим
множество значений непрерывных функций в левых частях уравнений.
Функции в точке 0=τ равны нулю. Для определения поведения при ∞→τ
исследуем асимптотическое поведение функций )(~)(~ )1()0( tHtH − и
( ) ( )∫ −−−≡Ψ
t
duuHuHtHtHtt
0
)1()0()1()0( )(~)(~)(~)(~)( при ∞→t с помощью
тауберовых теорем.
Теорема 1. Если существует ( ))(~)(~lim )1()0( tHtH
t
−
∞→
, тогда
( ) ∞≤∞≤
∞+
∞
=−
∞→
)(0,
)(1
)()(~)(~lim )1()0( λ
βλ
βλ
M
MtHtH
t
. (7)
Для доказательства этого утверждения воспользуемся предельным со-
отношением [3]
1),(ˆlim)()1(lim 1
0
−>=
+Γ +
+→+∞→
νϕϕν ν
ν
ppt
t pt
, (8)
где )(ˆ pϕ — преобразование Лапласа функции :)(tϕ [ ] =≡ )()()(ˆ ptLp ϕϕ
∫
∞
−=
0
)( dtet ptϕ .
Имеем
[ ] [ ]
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ Λ
−−=− ∑∫
∞
=
∗ )(
!
)()()()()()(~)(~
1 0
)()1()0( pds
n
ssFstgtFLptHtHL
n
t n
n
[ ] [ ] ( )∫∑ ∫
∞
Λ−−
∞
=
∞
− −=
Λ
−=
0
)()(ˆ1
1 0
1
!
)()()(ˆ)(ˆ
dtee
p
dt
n
ttFepg
p
pf tpgpt
n
n
ptn .
Вычислим предел в правой части соотношения (8) в случае :0=ν
[ ] ( )
∫
∞ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Λ−−
−
+→+→
−=−
0
)(ˆ1
0
)1()0(
0
lim1)()(~)(~lim dseeptHtHpL p
spg
s
pp
.
Равномерная сходимость относительно p позволяет совершить предель-
ный переход под знаком интеграла. Учитывая равенство ( ) =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Λ−
→ p
spg
p
)(ˆ1lim
0
βλ sM)(∞= , приходим к формуле (7).
Следствие. Если ТО элемента не проводится, тогда стационарный КТИ
равен
βλ M
Ku )(1
1)(
∞+
=∞ .
Действительно,
Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 113
( )
( )[ ]
βλ
ττ
βτ
τ
τ
τ
τ M
HH
M
duuHuH
p )(1
1)(~)(~1lim
)(~)(~
lim )1()0(0
)1()0(
∞+
=−−=
+
−−
∞→∞→
∫
.
Таким образом, если интенсивность отказов )(tλ стремится к нулю,
тогда КТИ системы стремится к единице и ТО системы проводить нецеле-
сообразно. В случае неограниченного возрастания интенсивности отказов
КТИ системы стремится к нулю, поэтому естественно проводить ТО системы.
Далее исследуем асимптотическое поведение функции ).(tΨ
Теорема 2. Если 0),()( >= ελ εtOt , тогда )()( 1
1
+=Ψ εtOt при ∞→t .
Доказательство. Используем предельное соотношение (8) в случае
1
1
+
=
ε
ν . Заметим, что
( )∫ −=Ψ
t
duuhuhut
0
)1()0( )(~)(~)( ,
[ ] ( ) ( )∫
∞
Λ−−− Λ′+−=Ψ
0
)()(ˆ1 )()(ˆ11)()( dttpgppte
p
ptL tpgpt .
Имеем
( ) ( ) =Λ′+−= ∫
∞
Λ−−−+
→
+
+
→
0
)()(ˆ11
1
0
1
1
1
0
)()(ˆ1lim)(ˆlim dttpgppteppp tpgpt
pp
εε ψ
∫
∞
++
→
+
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
==
0
1
1
1
1
0
1
1
)(ˆ1
1lim
)(ˆ1
εεε
pg
xpp
pg
xt
p
( )
( )
dxx
pg
e
pg
xpgp
pg
xpg
pg
xp
1
1
1
1
1
)(ˆ1
)(ˆ1
)(ˆ1
1
1
)(ˆ1)1()(ˆ1
)(ˆ
1
1
1
1
−
+
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
Λ−−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
+
−+⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
Λ′+
++
ε
ε
ε
ε
εε
.
Совершим предельный переход под знаком интеграла и учтем, что
( ) =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
Λ−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
→
+
→
1
1
0
1
1
0 )(ˆ1
)(ˆ1lim,0
)(ˆ1
lim
εε
pg
xpg
pg
xp
pp
( ) βεε
ε
M
Kx
pg
xpKx
p +
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
Λ
+
=
+
→ 1)(ˆ1
lim,
1
1
1
0
.
Получаем
А.И. Песчанский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 2 114
( )
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
= ∫
∞ −
++
−
+
+
+
→
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0 1
1
)1(
1)(ˆlim dxxxKe
M
pp
xK
p
εε
ε
ε
ε
βε
ψ
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
Γ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
+
=−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
+
=
+
∞ −
+−+
∫ εβ
ε
ε
ε
β
ε
ε
εεε
1
11
)1(
11
)1(
1 1
1
2
0
1
1
1
1
1
KM
dssse
KM
s .
Следовательно,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
Γ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
Γ
+
+
∞→ εβ
ε
ε
ε
ψ
ε ε
ε
1
11
)1(
)(1
1
1
lim
1
1
2
1
1 KM
t
t
t
,
,1
1
~)( 1
1
1
1
εε
β
ε
ε
εψ ++
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
+
t
KM
t ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= +εψ 1
1
)( tOt .
Заметим, что условия этой теоремы удовлетворяют СВ, имеющие усе-
ченное слева нормальное распределение, а также распределенные по закону
Вейбулла-Гнеденко с плотностью 1,0,)(
1
>>⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−−
λθ
θθ
λ
λ
θ
λ t
ettf .
Для исследования асимптотического поведения функции )(tΨ в случае
ограниченного возрастания функции интенсивности )(tλ нам понадобится
следующая лемма.
Лемма. Если
t
t
t ln
)(lim ϕ
+∞→
существует, то существует )(ˆ
)ln(
lim
0
p
p
p
p
ϕ
γ
−
+→
,
где ...577215,0),1(, =Γ′−== CCeCγ — постоянная Эйлера, и эти пределы
равны.
Доказательство. Пусть существует A
t
t
t
=
+∞→ ln
)(lim ϕ . В силу условия тео-
ремы для любого положительного числа ε существует такое 1>N , что
2ln
)( εϕ
<− A
t
t для всех .Nt > Тогда из равенства
( ) −
−Γ′
=−
− ∫∫
∞
−
∞
−
00
)(
ln)1(
)(
ln
dtet
p
pAdtet
p
p ptpt ϕϕ
γ
−
−Γ′
=
−Γ′
−Γ′
− ∫
∞
−
0
)(
ln)1(ln)1(
ln)1( dtet
p
p
p
pA ptϕ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−Γ′
− ∫∫
∞
−
∞
−
00
lnln
ln)1(
dsepsdse
p
A ss
Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 115
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−Γ′
= ∫∫
∞
−
∞
−
00
ln)(
ln)1(
1 dse
p
sAdtetp
p
sptϕ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−Γ′
= ∫∫
∞
−
∞
−
00
ln)(
ln)1(
1 dtetpAdtetp
p
ptptϕ
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+−
−
= ∫∫
∞
−−
N
pt
N
pt dttA
t
tedtetAt
p
p ln
ln
)(ln)(
)ln( 0
ϕϕ
γ
имеем
≤−+−≤−
− ∫∫∫
∞
−
∞
−
N
pt
N
pt dttA
t
te
p
pdttAt
p
pAdtet
p
p ln
ln
)(
)ln(
ln)(
)ln(
)(
)ln( 00
ϕ
γ
ϕ
γ
ϕ
γ
2
ln
)ln(
ln)(
)ln( 0
ε
γ
ϕ
γ ∫∫
∞
−+−≤
N
pt
N
tdte
p
pdttAt
p
p .
Выберем 0>δ настолько малым, чтобы для всех δ<< p0 выполня-
лись неравенства
1ln
)ln(
,
2
ln)(
)ln( 0
≤<− ∫∫
∞
−
N
pt
N
dtte
p
pdttAt
p
p
γ
εϕ
γ
.
В таком случае получаем
εεεϕ
γ
=+<−
− ∫
∞
−
22
)(
)(ln 0
Adtet
p
p pt при δ<< p0 .
Теорема 3. Пусть λλ =
∞→
)(lim t
t
и )(ln)()( tOttt =Λ−λ , тогда =Ψ )(t
)(ln tO= при ∞→t .
Для доказательства этого утверждения используем лемму. Имеем
( ) ( ) =Λ′+−−=
−
∫
∞
Λ−−−
→→
0
)()(ˆ1
00
)()(ˆ1
)(ln
1lim)(ˆ
)ln(
lim dttpgppte
p
p
p
p tpgpt
pp γ
ψ
γ
[ ]
( )
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Λ′+−−=== ∫
∞ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Λ−−−
→
0
)(ˆ1
0
)(ˆ1
)(ln
1lim dx
p
xpgpxe
pp
xpt p
xpgx
p γ
( )
∫
∞ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Λ−−−
→
⎢
⎣
⎡
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Λ′′
+
−=
0
)(ˆ1
0
)(ˆ
)(ln1
1lim
p
xppge
p
p
xpgx
p γ
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Λ′+−
+−′
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ dx
p
xpgpx
p
pgpgp
p
xx )(ˆ11)(ˆ)(ˆ
2λ
А.И. Песчанский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 2 116
( )
∫
∞ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Λ−−−
→ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Λ′+−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Λ−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
′
+
+
0
)(ˆ1
0
)(ˆ2)(ˆ
)ln(1
1lim dx
p
xpgpx
p
x
p
x
p
xpge
p
p
xpgx
p
λ
γ
.
При вычислении этих пределов учтем, что
( ) xM
p
xpgx
p
xp
pp
βλλ =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Λ−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Λ
→→
)(ˆ1lim,lim
00
,
2
)0(ˆ1)(ˆ)(ˆ
lim 20
g
p
pgpgp
p
′′
=
+′−′′
→
, K
p
p
x
p
x
p
x
p
=
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Λ−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
→ )(ln1
lim
0 γ
λ
,
где K — константа.
Имеем
( )
βλ
ββλβψ
γ
βλ
M
KMdxxMxeMKp
p
p xMx
p +
=+−+=
−
∫
∞
−−
→ 1
20)(ˆ
)(ln
lim
0
0
.
Следовательно,
βλ
β
M
tKMt
+
Ψ
1
ln~)( при ∞→t .
Отметим, что условиям теоремы удовлетворяют СВ, распределенные
по закону Эрланга.
Если выполняются условия теорем 2 и 3, тогда функции в правых час-
тях уравнений (6) неограниченно возрастают и, следовательно, эти уравне-
ния имеют решения. Тогда оптимальные показатели качества функциониро-
вания системы определяются формулами
( ))(~)(~1 )1()0(max uu
u HHK ττ −−= ,
( )( ))(~)(~ )1()0(00max ss HHcccS ττ −+−= ,
( )
( ))(~)(~1
)(~)(~
)1()0(
)1()0(
min
cc
cc
HH
HHcC
ττ
ττ
−−
−
= ,
где csu τττ ,, — точки абсолютных экстремумов соответственно функций
).(),(),( τττ CSK
Приведем пример применения формул (4) и (5). Пусть наработка на
отказ имеет распределение Вейбулла-Гнеденко с плотностью =)(tf
,
1
λ
θ
λ
θθ
λ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
t
et а время аварийного восстановления имеет гамма-
распределение с плотностью ( ) tettg µ
ν
ν
µµ −
−
Γ
=
)(
)(
1
.
Исходные данные и результаты расчетов приводятся в таблицах 1 и 2.
Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 117
Т а б л и ц а 1 . Исходные данные в примере
№ λ θ Mα µ ν Mβ pMβ 0c с pc
1 2 5 13,395 0,5 0,2 0,4 0,2 3 2 1
2 1,5 15 33,272 1,2 0,8 0,667 0,1 3 2 1
3 3 20 72,512 2 1,3 0,65 0,3 4 3 2
Т а б л и ц а 2 . Результаты расчетов
uτ uT+ uT− max
uK sτ sT+ sT− maxS cτ minC cT+ cT−
2,096 1,771 0,252 0,875 1,935 1,677 0,24 2,467 1,685 0,176 1,513 0,225
2,262 2,571 0,143 0,947 2,541 2,389 0,134 2,773 2,163 0,07 2,067 0,121
7,922 7,472 0,371 0,953 7,627 7,241 0,36 3,706 7,203 0,109 6,898 0,347
ВЫВОДЫ
Найдены стационарные надежностные и экономические характеристики
однокомпонентной восстанавливаемой системы в случае минимальных
аварийных восстановлений после ее отказов и полных обновлений после
календарного ТО на основании введенного альтернирующего процесса
минимальных восстановлений. Решены задачи по определению
оптимальной периодичности проведения ТО системы с учетом найденных
надежностных и экономических критериев. Установлены достаточные
условия существования конечных решений этих задач.
Предполагаемое направление для дальнейших исследований — перене-
сение рассмотренной стратегии технического обслуживания на системы со
сложной структурой и решение задач оптимизации надежностных показа-
телей системы при ограничении на стоимость показатели и наоборот.
ЛИТЕРАТУРА
1. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Матема-
тический подход. — М.: Радио и связь, 1988. — 392 с.
2. Каштанов В.А., Медведев А.И. Теория надежности сложных систем (теория и
практика). — М.: Европейский центр по качеству, 2002. — 470 с.
3. Черкесов Г.Н. Надежность аппаратно-программных комплексов. Учебное по-
собие. — СПб.: Питер, 2005. — 479 с.
Поступила 19.11.2008
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50048 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:05:18Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Песчанский, А.И. 2013-10-03T20:08:37Z 2013-10-03T20:08:37Z 2010 Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального аварийного восстановления / А.И. Песчанский // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 2. — С. 106-117. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50048 519.873 Рассмотрена стратегия минимальных восстановлений с периодически полными заменами и учетом времени восстановления. Для системы с простой структурой введен альтернирующий процесс минимального восстановления. Исследовано его асимптотическое поведение с помощью тауберовых теорем. Определены оптимальные сроки проведения полных замен. Розглянуто стратегію мінімальних поновлень із періодично повними змінами й урахуванням часу поновлення. Для системи з простою структурою введено альтернуючий процес мінімального поновлення. Досліджено його асимптотичну поведінку за допомогою тауберових теорем. Визначено оптимальні терміни проведення повних замін. Strategy for minimal fallback renewal with periodical total replacement is considered taking into account the time of renewal. For single-component systems, an alternating process of minimal renewal is introduced and its asymptotic behavior is investigated using tauberian theorems. Optimal terms of total replacement are determined. ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Евристичні методи та алгоритми в системному аналізі та управлінні Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального аварийного восстановления Календарне технічне обслуговування простої системи з урахуванням мінімального аварійного поновлення Calendar maintenance of a single-component system with minimal fallback renewal Article published earlier |
| spellingShingle | Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального аварийного восстановления Песчанский, А.И. Евристичні методи та алгоритми в системному аналізі та управлінні |
| title | Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального аварийного восстановления |
| title_alt | Календарне технічне обслуговування простої системи з урахуванням мінімального аварійного поновлення Calendar maintenance of a single-component system with minimal fallback renewal |
| title_full | Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального аварийного восстановления |
| title_fullStr | Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального аварийного восстановления |
| title_full_unstemmed | Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального аварийного восстановления |
| title_short | Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального аварийного восстановления |
| title_sort | календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального аварийного восстановления |
| topic | Евристичні методи та алгоритми в системному аналізі та управлінні |
| topic_facet | Евристичні методи та алгоритми в системному аналізі та управлінні |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50048 |
| work_keys_str_mv | AT pesčanskiiai kalendarnoetehničeskoeobsluživanieprostoisistemysučetomminimalʹnogoavariinogovosstanovleniâ AT pesčanskiiai kalendarnetehníčneobslugovuvannâprostoísistemizurahuvannâmmínímalʹnogoavaríinogoponovlennâ AT pesčanskiiai calendarmaintenanceofasinglecomponentsystemwithminimalfallbackrenewal |