Нечеткий фондовый портфель. Исследование и оптимизация
Изучается нечеткий фондовый портфель, функции принадлежности активов которого имеют треугольный вид. Исследована зависимость риск-доходности портфеля для различных расположений функций принадлежностей активов и критериального значения. Показывается, что общая задача оптимизации может быть сведена к...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50056 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нечеткий фондовый портфель. Исследование и оптимизация / Н.А. Мурга // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 3. — С. 60-71. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50056 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Мурга, Н.А. 2013-10-04T00:31:12Z 2013-10-04T00:31:12Z 2010 Нечеткий фондовый портфель. Исследование и оптимизация / Н.А. Мурга // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 3. — С. 60-71. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50056 004.8 Изучается нечеткий фондовый портфель, функции принадлежности активов которого имеют треугольный вид. Исследована зависимость риск-доходности портфеля для различных расположений функций принадлежностей активов и критериального значения. Показывается, что общая задача оптимизации может быть сведена к двумерному случаю и приводятся некоторые алгоритмы оптимизации портфеля. Рассмотрены некоторые закономерности поведения зависимости риск-доходность портфеля. Вивчається нечіткий фондовий портфель, функції належності активів якого мають трикутний вид. Досліджено залежність ризик-дохідності портфелю для різних розташувань функцій належності активів та критеріального значення. Показано, що загальну задачу оптимізації може бути зведено до двовимірного випадку та приводяться деякі алгоритми оптимізації портфелю. Розглянуто деякі закономірності поведінки залежності ризик-дохідність портфелю. A fuzzy stock portfolio whose membership functions are triangular is studied. The risk-profit relationship is investigated for various assets of membership functions and criterion values. It is shown that the general optimization problem may be reduced to the two-dimensional case, and some algorithms of the portfolio optimization are proposed. Some regularities of the risk-profit relationship behaviour are considered. ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Нечеткий фондовый портфель. Исследование и оптимизация Нечіткий фондовий портфель. Дослідження та оптимізація Fuzzy stock portfolio. Research and optimization Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Нечеткий фондовый портфель. Исследование и оптимизация |
| spellingShingle |
Нечеткий фондовый портфель. Исследование и оптимизация Мурга, Н.А. Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| title_short |
Нечеткий фондовый портфель. Исследование и оптимизация |
| title_full |
Нечеткий фондовый портфель. Исследование и оптимизация |
| title_fullStr |
Нечеткий фондовый портфель. Исследование и оптимизация |
| title_full_unstemmed |
Нечеткий фондовый портфель. Исследование и оптимизация |
| title_sort |
нечеткий фондовый портфель. исследование и оптимизация |
| author |
Мурга, Н.А. |
| author_facet |
Мурга, Н.А. |
| topic |
Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| topic_facet |
Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Системні дослідження та інформаційні технології |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Нечіткий фондовий портфель. Дослідження та оптимізація Fuzzy stock portfolio. Research and optimization |
| description |
Изучается нечеткий фондовый портфель, функции принадлежности активов которого имеют треугольный вид. Исследована зависимость риск-доходности портфеля для различных расположений функций принадлежностей активов и критериального значения. Показывается, что общая задача оптимизации может быть сведена к двумерному случаю и приводятся некоторые алгоритмы оптимизации портфеля. Рассмотрены некоторые закономерности поведения зависимости риск-доходность портфеля.
Вивчається нечіткий фондовий портфель, функції належності активів якого мають трикутний вид. Досліджено залежність ризик-дохідності портфелю для різних розташувань функцій належності активів та критеріального значення. Показано, що загальну задачу оптимізації може бути зведено до двовимірного випадку та приводяться деякі алгоритми оптимізації портфелю. Розглянуто деякі закономірності поведінки залежності ризик-дохідність портфелю.
A fuzzy stock portfolio whose membership functions are triangular is studied. The risk-profit relationship is investigated for various assets of membership functions and criterion values. It is shown that the general optimization problem may be reduced to the two-dimensional case, and some algorithms of the portfolio optimization are proposed. Some regularities of the risk-profit relationship behaviour are considered.
|
| issn |
1681–6048 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50056 |
| citation_txt |
Нечеткий фондовый портфель. Исследование и оптимизация / Н.А. Мурга // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 3. — С. 60-71. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT murgana nečetkiifondovyiportfelʹissledovanieioptimizaciâ AT murgana nečítkiifondoviiportfelʹdoslídžennâtaoptimízacíâ AT murgana fuzzystockportfolioresearchandoptimization |
| first_indexed |
2025-11-24T21:03:18Z |
| last_indexed |
2025-11-24T21:03:18Z |
| _version_ |
1850494362803240960 |
| fulltext |
© Н.А. Мурга, 2010
60 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 3
УДК 004.8
НЕЧЕТКИЙ ФОНДОВЫЙ ПОРТФЕЛЬ.
ИССЛЕДОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Н.А. МУРГА
Изучается нечеткий фондовый портфель, функции принадлежности активов
которого имеют треугольный вид. Исследована зависимость риск-доходности
портфеля для различных расположений функций принадлежностей активов и
критериального значения. Показывается, что общая задача оптимизации может
быть сведена к двумерному случаю и приводятся некоторые алгоритмы опти-
мизации портфеля. Рассмотрены некоторые закономерности поведения зави-
симости риск-доходность портфеля.
ВСТУПЛЕНИЕ
Задача оптимизации доходности фондового портфеля имеет полувековую
историю, но это не уменьшает ее актуальности и сегодня. Впервые матема-
тическая модель данной задачи была предложена Марковицем. Однако,
предложенная им модель имеет ряд недостатков, например, параболический
вид функции полезности, учет как риск, ситуация, когда инвестор получает
доход выше ожидаемого и др. Все эти недостатки описаны в работах [1], [2]
и мы на них останавливаться не будем. В этих работах предложен путь раз-
решения данных проблем, выполнив постановку данной задачи в терминах
нечеткой логики. В данной работе анализируются определенные аспекты
связанные с решением задачи оптимизации фондового портфеля в нечеткой
постановке, а также предложены некоторые факты, позволяющие на прак-
тике упростить процесс оптимизации.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для описания исследуемой модели обратимся к работам [1] и [2]. Допуска-
ется, что значение доходности каждого определенного актива можно задать
в виде нечеткого множества с определенной степенью принадлежности дан-
ному множеству. Конкретно в данной работе используется треугольный вид
нечетких множеств, называемый для простоты «треугольными нечеткими
числами». Каждое треугольное нечеткое число задается, де-факто, своим
минимальным, наиболее ожидаемым (не обязательно средним) и максималь-
ным значением. Запишем, соответственно, символьное выражение этого:
( )maxmin rrrr = , (1)
где r — треугольное нечеткое число, minr — минимальное его значение,
r — наиболее ожидаемое, maxr — максимальное.
Задается в виде треугольного нечеткого числа критериальное ( *r ) зна-
чение доходности для фондового портфеля целиком и вычисляется функция
Нечеткий фондовый портфель. Исследование и оптимизация
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 3 61
возможности «попадения» доходности портфеля за значение данного крите-
рия в худшую сторону, то есть — значение доходности портфеля меньше
критериального значения. Обозначается данная функция как ),,( *rxrβ , где
)( 1 nrrr …= — вектор доходностей активов портфеля, а )( 1 nxxx …= —
вектор долей активов в портфеле. Эта функция называется уровнем риска
портфеля.
Составляется следующая задача:
.),1()10(1const*,,max
11
nixixrxrrrix i
n
i
n
i
=∧≤≤∧⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=∧⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ≤⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛∧⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
× ∑∑
==
β (2)
Данная задача называется прямой задачей.
Существует двойственная к ней задача, записывающаяся следующим
образом:
( )( ) ( ) .),1(101const,,min
11
* nixxrxrxr i
n
i
i
n
i
ri =∧≤≤∧⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=∧⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≥×∧ ∑∑
==
β (3)
Цель работы — изучение свойств данной математической модели с
целью облегчения процесса оптимизации.
ОПТИМИЗАЦИЯ НЕЧЕТКОГО ФОНДОВОГО ПОРТФЕЛЯ
В работах [1], [2], [5] показана зависимость вида функции риска β от взаи-
морасположения niri ,1, = и *r на плоскости «доходность – функция при-
надлежности».
Зависимость может иметь не очевидную форму.
Рассмотрим конкретный случай и изобразим его для наглядности на
рис. 1.
Рассмотрим особенности этого случая. В работах [1], [2] и [5] показано,
что, если обозначить r как доходность всего портфеля активов (очевидно,
Рис. 1. Особый расположения функций принадлежностей на плоскости «доход-
ность-функция принадлежности»
)(rµ
*r
µ
1rµ
2rµ
r 0
1
Н.А. Мурга
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 3 62
что 1,
11
=×= ∑∑
==
n
i
i
n
i
ii xxrr ), к примеру, ( )*
minmin rr < , то функция риска β
будет иметь вид 1β . Если рассматривать случай ∧> )( *
minmin rr
)( *
maxmin rr <∧ , то функция риска β будет иметь вид 2β . Из рис. 1 видно,
что мы имеем дело как с одним случаем, так и с другим. Мы имеем неопре-
деленность.
Первый подход к разрешению данной неопределенности предложен в
работе [5].
Серьезным недостатком данного подхода было то, что он проводил ли-
нейную аппроксимацию данной проблемы. Естественно, оптимизация дава-
ла не точные результаты.
Позднее был проведен более глубокий анализ проблемы и сделан вы-
вод, что можно нелинеаризировать задачу и вид ее будет достаточно прост.
Количество видов функции риска для нечеткого критериального значе-
ния превышает десяток. Подробное рассмотрение каждого случая заняло
бы очень много места, и, быть может, отвлекло бы внимание от главных
фактов. Аналогичность логических выкладок позволяет ограничиться сле-
дующим случаем. Рассмотрим только случаи: ∧>∧< )()( **
minmin rrrr
)( *
maxmax rr >∧ , )()()( *
maxmax
**
minmin rrrrrr >∧>∧> и промежуточный ме-
жду ними случай (далее — промежуточный случай).
Рассмотрим нелинеаризацию промежуточного случая.
Показана подобность случаев, когда в одном случае рассматриваются
два актива, а в другом — больше чем два. Для простоты рассуждений под-
разумевается, что рассматривается случай оптимизации распределения двух
активов. Выясним, меняет ли функция β свою структуру один раз при из-
менении 1x от 0 до 1. Ответ на данный вопрос положителен, т.к. при
*
minmin rr < функция β имеет структуру 1β , а при *
minmin rr < функция β
имеет структуру 2β . Следовательно, изменение структуры происходит
именно в точке *
minmin rr = .
Необходимо ответить на вопрос: происходит ли скачок в данной точке.
Ответ на данный вопрос отрицателен. Очевидно, что в данной точке система
имеет одно значение уровня риска (доказательство данного факта очевидно
и будет лишь загромождать изложение). Скачок же подразумевает сущест-
вование двух значений. Противоречие. Следовательно, функция риска в
данном случае непрерывна.
Отсюда получается очень важное с практической точки зрения следст-
вие. Значения функций 1β и 2β в точке *
minmin: rrx = должны совпадать.
Расчет интегралов-формул для определения вида данных функций риска
весьма трудоемок и высока вероятность ошибок расчетов, а совпадение зна-
чений данных функций в вышеуказанной точке является необходимым ус-
ловием правильности расчета функций. Если же совпадения нет — значит,
есть ошибки в расчетах.
Нечеткий фондовый портфель. Исследование и оптимизация
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 3 63
Находится значение данной точки для случая двух активов. Итак,
1
2
1
=∑
=i
ix , *
min
2
1
1min
rxr
i
i =×∑
=
. Таким образом, получается: ×+×
21 1 ii rxr
*
min1)1( rx =−× . Решая данное уравнение относительно 1x , получается:
21
2
*
min
1
ii
i
rr
rr
x
−
−
= . (4)
И, соответственно:
12
1
*
min
12 1
ii
i
rr
rr
xx
−
−
=−= . (5)
Рассматривается вопрос оптимизации распределения активов.
Рассуждения, предложенные ниже будут касаться как прямой, так и об-
ратной задачи, но упоминаться будет только прямая задача. Вызвано это
тем, что логика рассуждений в этих случаях аналогична, отличаться будут
только методы решения. Наибольший интерес будет представлять решение
прямой задачи, упоминания и детальные рассуждения касательно двойст-
венной задачи будут только загромождать даные.
Следующий вопрос, на который необходимо найти ответ: существует
ли единственное решение для прямой задачи оптимизации в общем n - мер-
ном случае, если решение есть. Ответ на данный вопрос отрицателен. Рас-
сматривается случай двух активов. Значение доходности портфеля может
быть представлено в виде ( )xrxrr −×+×= 121 , 01 ≥≥ x . Очевидно, что ка-
ждому [ ]1;0∈x соответствует однозначно в обе стороны свое r .
В случае трех активов 332211 xrxrxrr ×+×+×= , 01 ≥≥ ix . Здесь r
уже соответствует отрезок прямой.
Индуктивно продолжая эти рассуждения, приходим к выводу, что в
общем n -мерном случае портфель может иметь множество решений мощ-
ностью алеф-один. Здесь можно сделать замечание, что имеется еще функ-
ция риска, которая ограничена.
Для прояснения картины рассмотрим следующий случай. Пусть есть
три актива ),,( maxmin iiii rrrr = , 3,2,1=i . Для определенности принимается
min3min2min1 rrr >> , 123 rrr >> и max3max2max1 rrr << . Допускается, что
получен некоторый оптимум ( ) 31opt 1 rrr ×−+×= αα согласно рассмот-
ренному выше индуктивному рассуждению ∧≥≥∧≥≥∃ )01()01( 21 xx
∑∑
==
×=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=∧≥≥∧
3
1
opt
3
1
3 :1)01(
i
ii
i
i rxrxx . Введя данные ix риск лишь
уменьшается (в некоторых случаях). Следовательно, в общем случае нельзя
говорить о существовании единственного решения.
Таким образом, метод, не обеспечивающий в случае необходимости
множественности решений, не может считаться универсальным для данной
задачи.
Н.А. Мурга
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 3 64
Но данную задачу можно упростить следующим образом. У заказчиков
оптимизации могут быть различные запросы: предпочтение какому-либо
активу (активам), желание диверсифицировать портфель, желание миними-
зировать риск при максимизации доходности и т.д.
Для конкретных запросов пользователя было построено два алгоритма
решения задачи.
Самый простой — алгоритм построения диверсифицированного порт-
феля.
Суть алгоритма состоит в том, чтобы максимально диверсифицировать
(дробить) портфель при одновременной максимизации доходности
портфеля.
Множество средних доходностей портфеля — n -мерный симплекс
∑
=
×
n
i
ii rx
1
, 1
1
=∑
=
n
i
ix , 01 ≥≥ ix , ni ,1= . Если максимальному значению до-
ходности соответствует наименьший риск — оптимальное значение. Иначе
рассчитывается центр масс симплекса. Если уровень риска центра масс вы-
ше заданного значения — удаляется значение с максимальным риском и
ставится центр масс на его место, если ниже, то удаляется вершина сим-
плекса с наименьшим средним значением и наименьшим риском и ставим
центр масс на ее место. Если отклонение уровня риска центра масс от за-
данного значения в меньшую сторону ниже допуска, то рассчитывается
центр масс оптимальным значением. Так же рассчитывается центр масс оп-
тимальным значением, если средняя доходность образуемая ним — макси-
мальна, а риск ниже допуска.
Более сложный алгоритм — алгоритм целенаправленного поиска. Цель
его работы — найти такое распределение активов, которое будет обеспечи-
вать как можно большее значение доходности портфеля, но при этом уро-
вень риска должен быть меньше заданного.
Рассмотрим его более подробно.
Пусть ir — треугольное нечеткое число, характеризующее доходность
i -го актива.
Тогда доходность всего портфеля можно представить в виде:
[ ]1;0,1,
11
∈=×= ∑∑
==
i
n
i
i
n
i
ii rr ααα . (6)
Выберем самый доходный актив.
Для удобства считается, что все наши активы проранжированы по убы-
ванию наиболее ожидаемой доходности.
Преобразуем формулу (6) к виду:
( )∑
= −
−+×=
n
i
i
i rrr
2 1
111 1
1
α
α
αα . (7)
Введем обозначения:
1,1,
1 1
1 −=
−
= + nii
i α
α
β . (8)
Нечеткий фондовый портфель. Исследование и оптимизация
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 3 65
Обозначим:
∑
−
=
+×=′
1
1
12
n
i
ii rr β . (9)
Отметим, что из 1
1
=∑
=
n
i
iα следует
1
1
1
=∑
−
=
n
i
iβ . (10)
Доказательство этого факта очевидно.
Согласно указанному выше, выражение (7) корректно записать в виде:
( ) ,1 2111 rrr ′×−+×= αα (11)
2r ′ аналогично можно привести к виду (7). При помощи (8) получим 3r ′ ана-
логично (9). Получаем
31212 )1( rrr ′×−+×=′ ββ .
Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока не будет получено
ir ′ , где 1−= ni .
Итак, такое разбиение корректно.
Т.к. целью работы является максимизация доходности портфеля, но с
условием, что уровень риска будет менее или равен заданному ранее значе-
нию, будет логично поступить следующим образом.
(а) Принимается 11 =α , а 1,0 ≠= iiα . Отмечается значение уровня
риска. Если оно меньше заданного значения, то процесс оптимизации счита-
ется завершенным. Если минимальный уровень риска больше допуска —
задача считается неразрешимой.
(в) Далее, задаются начальные ( )1;01 ∈=αα и согласно (7)–(9) выде-
ляется 2r ′ . Процедура (в) повторяется до тех пор, пока не получим 1−′nr .
(с) В итоге получается задача двухмерной оптимизации. Она решается
и выполняется подъем на уровень выше. Повторяется (с), пока не будет дос-
тигнут первый уровень.
Достигнув первого уровня, повторяется процедура (в)–(с), пока не вы-
полнится следующее условие εαα <′′−′ || ii , где iα ′ — значение iα на пре-
дыдущей итерации, iα ′′ — полученное после текущей, ni ,1= , ε — допуск.
После получения данного результата, процесс оптимизации считается за-
вершенным.
Таким образом, процесс многомерной оптимизации сводится к опреде-
ленному количеству процессов двумерной оптимизации.
Работу завершает исследование случая двумерной оптимизации.
Необходимо отметить, что функция зависимости риска портфеля от
наиболее ожидаемого его значения непрерывна. Доказательство этого факта
аналогично доказательству непрерывности функции риска в переходном
случае, рассмотренном раннее в данной работе.
Н.А. Мурга
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 3 66
Исследования проводились следующим образом. Для трех оговоренных
случаев написана программа, которая по введенным минимальным, наибо-
лее ожидаемым, максимальным значениям доходностей активов и критерия
при заданном шаге строим сетку-массив, содержащую значения долей акти-
вов, соответствующие значения доходности портфеля и уровень риска.
Пример работы программы при шаге 0,1 приведен в табл. 1.
Т а б л и ц а 1 . Данные, подающиеся на вход программы для демонстрации
работы
Параметр
Нечетное число
Min Mid Max
Krit 0,1 0,3 0,4
Akt1 0,2 0,5 0,6
Akt2 0,25 0,45 0,55
На выходе программы получаем результаты, которые приведены в табл. 2.
Т а б л и ц а 2 . Данные, полученные после обработки программой данных
табл. 1
Актив
First Second
Profit Risk
0 1 0,45 0,028426
0,1 0,9 0,455 0,029374
0,2 0,8 0,46 0,030322
0,3 0,7 0,465 0,031269
0,4 0,6 0,47 0,032217
0,5 0,5 0,475 0,033164
0,6 0,4 0,48 0,034112
0,7 0,3 0,485 0,035059
0,8 0,2 0,49 0,036007
0,9 0,1 0,495 0,036954
1 0 0,5 0,037902
Таким образом, для различных значений вводимых данных произведе-
но более 400 опытов и построены графики зависимости уровня риска от
наиболее ожидаемой доходности портфеля. Здесь описаны лишь обнару-
женные закономерности и сделанные выводы. Ниже приводятся следующие
примеры.
Пример 1. Значения всех параметров нечеткого числа критериального
значения меньше значений соответствующих параметров нечетких чисел
активов.
Т а б л и ц а 3 . Данные, которые подаются на вход программы для примера 1.
Параметр
Нечетное число
Min Mid Max
Krit 0,1 0,3 0,4
Akt1 0,2 0,7 0,9
Akt2 0,25 0,42 0,8
Нечеткий фондовый портфель. Исследование и оптимизация
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 3 67
Изобразим данную ситуацию на рис. 3.
Необходимо отметить, что точка пересечения левых «крыльев» находи-
тся за пересечением их с правым «крылом» критериального значения. Это
очень важный факт, т.к. это влияет на вид зависимости риск-доходности
были произведены расчеты.
Далее были произведены расчеты: определение точек (А), (Б), (В), (Г),
(Д) и площадей: 1S , треугольника (А)(Б)(В) и 2S — (В)(Г)(Д).
Соответствующие значения равны: (А) — (0,2; 0), (Б) — (0,25; 0), (В) —
(0,27576; 0,15152), (Г) — (0,3444; 0,55556), (Д) — (0,36667; 0,33333);
012,01 ≈S , 0037,02 ≈S .
Пример 2. Соотношение параметров аналогично предыдущему примеру,
но максимальное значение для второго актива по сравнению с предыдущим
примером значительно меньше. Значения параметров представлены в табл. 4.
Т а б л и ц а 4 . Данные, которые подаются на вход программы для примера 2
Параметр
Нечетное число
Min Mid Max
Krit 0,1 0,3 0,4
Akt1 0,2 0,7 0,9
Akt2 0,32 0,42 0,47
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
0,016
0,018
0,02
P
ro
fit
0,
43
82
0,
45
66
8
0,
47
51
6
0,
49
36
4
0,
51
21
2
0,
53
06
0,
54
90
8
0,
56
75
6
0,
58
60
4
0,
60
45
2
0,
62
3
0,
64
14
8
0,
65
99
6
0,
67
84
4
0,
69
69
2
Risk
Risk
Рис. 2. График зависимости уровня риска портфеля от доходности для примера 1
)(rµ
*r
µ 1rµ
2rµ
r 0 0,1 0,2 0,25 0,4 0,8 0,9
1
(1)
(3)
(2)
(5)
(4)
Рис. 3. График расположения функций принадлежности активов и критерия «до-
ходность — функция принадлежности» для примера 1
Н.А. Мурга
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 3 68
Данная ситуация изображена на рис. 5.
Отмечается, что точка пересечения левых «крыльев» находится за пе-
ресечением их с правым «крылом» критериального значения.
Произведены следующие расчеты: определениы точки (А), (Б), (В), (Г),
(Д) и площадей: 1S , треугольника (А)(Б)(В) и 2S — (В)(Г)(Д).
Соответствующие значения равны: (А) — (0,2; 0), (Б) — (0,32; 0), (В) —
(0,35; 0,3), (Г) — (0,36; 0,4), (Д) — (0,36667; 0,33333); 00066685,01 ≈S ,
18,02 ≈S .
Пример 3. Соотношение параметров аналогично предыдущему приме-
ру, но наиболее ожидаемое значение второго актива значительно больше
случая примера 1. Значении параметров приведены в табл. 5. График зави-
симости риск-доходность приведен на рис. 6.
Т а б л и ц а 5 . Данные, которые подаются на вход программы для примера 3
Параметр
Нечетное число
Min Mid Max
Krit 0,1 0,3 0,4
Akt1 0,2 0,7 0,9
Akt2 0,25 0,65 0,8
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
P
ro
fit
0,
43
82
0,
45
66
8
0,
47
51
6
0,
49
36
4
0,
51
21
2
0,
53
06
0,
54
90
8
0,
56
75
6
0,
58
60
4
0,
60
45
2
0,
62
3
0,
64
14
8
0,
65
99
6
0,
67
84
4
0,
69
69
2
Risk
Risk
Рис. 4. График зависимости уровня риска портфеля от доходности для примера 2
Рис 5. График расположения функций принадлежности активов и критерия «до-
ходность — функция принадлежности» для примера 2
)(rµ
*r
µ 1rµ
2rµ
r 0 0,1 0,2 0,32 0,4 0,47 0,9
1
(А)
(В)
(Б)
(Д)
(Г)
Нечеткий фондовый портфель. Исследование и оптимизация
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 3 69
Данная ситуация изображена на рис. 7.
Как видно из изложенного выше, если точки пересечения левых
«крыльев» функций принадлежности доходностей активов пересекутся ме-
жду собой до их пересечения с критериальным значением (рис. 7), то график
зависимости риска от доходности будет иметь вид, показанный на рис. 6.
В противном случае: если 21 SS > , то будет иметь место нелинейная
зависимость, изображенная на рис. 2; иначе, зависимость будет иметь вид,
изображенный на рис. 4.
Данная закономерность подтвердилась для большинства проведенных
опытов. Но есть опыты, свидетельствующие о том, что данную закономер-
ность можно опровергнуть (табл. 6).
Т а б л и ц а 6 . Значения параметров к примеру опровержения общности
найденной закономерности
Параметр
Нечетное число
Min Mid Max
Krit 0,1 0,3 0,4
Akt1 0,2 0,52 0,9
Akt2 0,3 0,42 0,48
Рис. 7. График расположения функций принадлежности активов и критерия «до-
ходность — функция принадлежности» для примера 3
)(rµ
*r
µ 1rµ
2rµ
r 0 0,1 0,2 0,25 0,4 0,8 0,9
1
Рис. 6. График зависимости уровня риска портфеля от доходности для примера 3
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
P
ro
fit
0,
65
32
5
0,
65
65
5
0,
65
98
5
0,
66
31
5
0,
66
64
5
0,
66
97
5
0,
67
30
5
0,
67
63
5
0,
67
96
5
0,
68
29
5
0,
68
62
5
0,
68
95
5
0,
69
28
5
0,
69
61
5
0,
69
94
5
Risk
Risk
Н.А. Мурга
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 3 70
Зависимость риск-доходность для данного случая представлена на рис. 8.
Пересечение «крыльев» в данном случае произошло до их пересечения
с критериальным значением.
Проведено ряд опытов, подтверждающих несостоятельность приведен-
ной ранее закономерности.
Но полностью отрицать ее не стоит. Установлено, что если значения
доходностей активов находятся достаточно «близко» друг к другу (парамет-
ры близко друг к другу) или при значительном отдалении наиболее ожидае-
мого значения одного актива от другого и максимальные значения так же
отдалены, то эта закономерность имеет место.
Но поиск универсальной закономерности все еще продолжается.
Поиск этой закономерности связан и определен поиском минимума
функции риска, точнее, его местоположением на плоскости риск-
доходность.
Этот критерий существует в следствии существования процедуры оп-
ределения минимума функции на отрезке, а функция риска дифференци-
руема. Вывод: критерий существует.
До обнаружения данного критерия целесообразно использовать раз-
личные методы нелинейного программирования. Например, шоковый метод
или генетический алгоритм, очень хорошо описанные в [3], [4].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотрена задача оптимизации фондового портфеля в нечетко-
множественной постановке. В процесе работы произведен более тонкий
анализ проблемы, рассмотренной в [5] и получен нелинейный вид зависимо-
сти риск-доходность, в отличие от линейного, рассмотренного в той же ра-
боте, установлен необходимый критерий правильности расчета формул за-
висимости риска от доходностей активов портфеля. Показано, что в общем
случае задача оптимизации имеет не одно решение, а множество решений
мощностью алеф-один. В соответствии с данным фактом сделан вывод, что
для решения данной задачи необходим метод, позволяющий на выходе по-
Рис. 8. График зависимости уровня риска портфеля от доходности для контр-
примера
0,0155
0,016
0,0165
0,017
0,0175
0,018
0,0185
0,019
0,0195
0,02
0,0205
P
ro
fit
0,
42
6
0,
43
3
0,
44
0,
44
7
0,
45
4
0,
46
1
0,
46
8
0,
47
5
0,
48
2
0,
48
9
0,
49
6
0,
50
3
0,
51
0,
51
7
Risk
Risk
Нечеткий фондовый портфель. Исследование и оптимизация
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 3 71
лучать множество решений. Предложены методы решения частных задач
оптимизации, дающие на выходе одно решение: метод диверсифицирован-
ного портфеля и метод целенаправленного поиска. Показано, что общую
задачу оптимизации можно упростить к задаче двумерной оптимизации.
Вследствие этого рассмотрены частные случаи задачи двумерной оптимиза-
ции и предложены обнаруженные закономерности относительно поведения
зависимости риск-доходность. Отмечено, что общей закономерности для
данной зависимости пока не найдено, однако она существует.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зайченко Ю.П., Есфандиярфард М. Анализ инвестиционного портфеля для
различных видов функций принадлежности // Системні дослідження та
інформаційні технології. — 2008. — № 2. — С. 59–76.
2. Зайченко Ю.П., Есфандиярфард М. Нечеткий метод индуктивного моделиро-
вания для прогнозирования курсов акций в задачах портфельной оптимиза-
ции // Вісн. Черкаського держ. технологічного ун-ту. — 2008. — № 1. —
С. 9–14.
3. Зайченко Ю.П. Исследование операций. — Киев: Изд. дом «Слово», 2003. —
688 с.
4. Зайченко Ю.П. Основи проектування інтелектуальних систем. Навчальний по-
сібник. — Київ: Видав. дім «Слово», 2004. — 352 с.
5. Мурга Н.А. Задачи квазиоптимиста и квазипессимиста в задаче оптимизации
доходности нечеткого фондового портфеля при заданном риске // Систем-
ний аналіз та інформаційні технології: Матеріали IX міжнар. наук.-техн.
конф. 15–19 травня 2007 р. — Київ: Видав. дім «Экмо», 2007. — 122 с.
Поступила 24.05.2007
|