Повышение эффективности оценивания параметров распределения в условиях ограниченной экспериментальной информации
Для исследования статистических свойств оценок в условиях ограниченной экспериментальной информации в работе предлагается совмещать обработку экспериментальных данных с процедурой имитационного моделирования, имитирующей продолжение эксперимента в тех же условиях. Предложенная методика используется...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2011
|
| Series: | Системні дослідження та інформаційні технології |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50094 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Повышение эффективности оценивания параметров распределения в условиях ограниченной экспериментальной информации / Е.В. Редько, Т.В. Подладчикова, В.Н. Подладчиков // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 2. — С. 21-27. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50094 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-500942025-02-09T21:07:52Z Повышение эффективности оценивания параметров распределения в условиях ограниченной экспериментальной информации Підвищення ефективності оцінювання параметрів розподілу в умовах обмеженої експериментальної інформації Increasing of estimation efficiency for parameters of distribution of limited experimental data Редько, Е.В. Подладчикова, Т.В. Подладчиков, В.Н. Прогресивні інформаційні технології, високопродуктивні комп’ютерні системи Для исследования статистических свойств оценок в условиях ограниченной экспериментальной информации в работе предлагается совмещать обработку экспериментальных данных с процедурой имитационного моделирования, имитирующей продолжение эксперимента в тех же условиях. Предложенная методика используется для повышения эффективности процедуры оценивания показателя степени закона распределения энергии солнечных вспышек. Для дослідження статистичних властивостей оцінок в умовах обмеженої експериментальної інформації в роботі пропонується поєднати обробку експериментальних даних із процедурою імітаційного моделювання, що імітує продовження експерименту в тих самих умовах. Запропонована методика використовується для підвищення ефективності процедури оцінювання показника степеня закону розподілу енергії сонячних спалахів. To study the statistical properties of estimates under conditions of limited experimental data it is proposed in the work to combine the experimental data processing with the procedure of simulation modeling, which simulates the continuing of the experimentation under the same conditions. The proposed methodology is used to increase the efficiency the estimation of exponent of the solar flares distribution law. 2011 Article Повышение эффективности оценивания параметров распределения в условиях ограниченной экспериментальной информации / Е.В. Редько, Т.В. Подладчикова, В.Н. Подладчиков // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 2. — С. 21-27. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50094 007:681.3.06 ru Системні дослідження та інформаційні технології application/pdf Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Прогресивні інформаційні технології, високопродуктивні комп’ютерні системи Прогресивні інформаційні технології, високопродуктивні комп’ютерні системи |
| spellingShingle |
Прогресивні інформаційні технології, високопродуктивні комп’ютерні системи Прогресивні інформаційні технології, високопродуктивні комп’ютерні системи Редько, Е.В. Подладчикова, Т.В. Подладчиков, В.Н. Повышение эффективности оценивания параметров распределения в условиях ограниченной экспериментальной информации Системні дослідження та інформаційні технології |
| description |
Для исследования статистических свойств оценок в условиях ограниченной экспериментальной информации в работе предлагается совмещать обработку экспериментальных данных с процедурой имитационного моделирования, имитирующей продолжение эксперимента в тех же условиях. Предложенная методика используется для повышения эффективности процедуры оценивания показателя степени закона распределения энергии солнечных вспышек. |
| format |
Article |
| author |
Редько, Е.В. Подладчикова, Т.В. Подладчиков, В.Н. |
| author_facet |
Редько, Е.В. Подладчикова, Т.В. Подладчиков, В.Н. |
| author_sort |
Редько, Е.В. |
| title |
Повышение эффективности оценивания параметров распределения в условиях ограниченной экспериментальной информации |
| title_short |
Повышение эффективности оценивания параметров распределения в условиях ограниченной экспериментальной информации |
| title_full |
Повышение эффективности оценивания параметров распределения в условиях ограниченной экспериментальной информации |
| title_fullStr |
Повышение эффективности оценивания параметров распределения в условиях ограниченной экспериментальной информации |
| title_full_unstemmed |
Повышение эффективности оценивания параметров распределения в условиях ограниченной экспериментальной информации |
| title_sort |
повышение эффективности оценивания параметров распределения в условиях ограниченной экспериментальной информации |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Прогресивні інформаційні технології, високопродуктивні комп’ютерні системи |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50094 |
| citation_txt |
Повышение эффективности оценивания параметров распределения в условиях ограниченной экспериментальной информации / Е.В. Редько, Т.В. Подладчикова, В.Н. Подладчиков // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 2. — С. 21-27. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Системні дослідження та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT redʹkoev povyšenieéffektivnostiocenivaniâparametrovraspredeleniâvusloviâhograničennoiéksperimentalʹnoiinformacii AT podladčikovatv povyšenieéffektivnostiocenivaniâparametrovraspredeleniâvusloviâhograničennoiéksperimentalʹnoiinformacii AT podladčikovvn povyšenieéffektivnostiocenivaniâparametrovraspredeleniâvusloviâhograničennoiéksperimentalʹnoiinformacii AT redʹkoev pídviŝennâefektivnostíocínûvannâparametrívrozpodíluvumovahobmeženoíeksperimentalʹnoíínformacíí AT podladčikovatv pídviŝennâefektivnostíocínûvannâparametrívrozpodíluvumovahobmeženoíeksperimentalʹnoíínformacíí AT podladčikovvn pídviŝennâefektivnostíocínûvannâparametrívrozpodíluvumovahobmeženoíeksperimentalʹnoíínformacíí AT redʹkoev increasingofestimationefficiencyforparametersofdistributionoflimitedexperimentaldata AT podladčikovatv increasingofestimationefficiencyforparametersofdistributionoflimitedexperimentaldata AT podladčikovvn increasingofestimationefficiencyforparametersofdistributionoflimitedexperimentaldata |
| first_indexed |
2025-11-30T20:22:28Z |
| last_indexed |
2025-11-30T20:22:28Z |
| _version_ |
1850248168295366656 |
| fulltext |
© Е.В. Редько, Т.В. Подладчикова, В.Н. Подладчиков, 2011
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 2 21
TIДC
ПРОГРЕСИВНІ ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ,
ВИСОКОПРОДУКТИВНІ КОМП’ЮТЕРНІ
СИСТЕМИ
УДК 007:681.3.06
ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ
ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В УСЛОВИЯХ
ОГРАНИЧЕННОЙ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Е.В. РЕДЬКО, Т.В. ПОДЛАДЧИКОВА, В.Н. ПОДЛАДЧИКОВ
Для исследования статистических свойств оценок в условиях ограниченной
экспериментальной информации в работе предлагается совмещать обработку
экспериментальных данных с процедурой имитационного моделирования,
имитирующей продолжение эксперимента в тех же условиях. Предложенная
методика используется для повышения эффективности процедуры оценивания
показателя степени закона распределения энергии солнечных вспышек.
ВВЕДЕНИЕ
При обработке экспериментальных данных для оценки неизвестных пара-
метров широко используется метод наименьших квадратов (МНК). Приме-
нение этого метода в условиях недостаточного объема экспериментальных
данных и нарушений основных предположений МНК может привести к
смещению оценок и не обеспечивает надежность выводов, непосредственно
основанных на полученных оценках.
Смещение оценки неизвестного параметра может привести к искаже-
нию физического представления об исследуемом процессе. Так, величина
показателя степени закона распределения энергии солнечных вспышек, ко-
торый принято считать степенным, является принципиально важным [1].
Если показатель степени больше двух, то среднее количество энергии, вно-
симое в солнечную корону вспышками, определяется верхней границей
диапазона энергии солнечных вспышек, если меньше двух, то нижней гра-
ницей.
Как альтернативный способ оценивания рассмотрен бутстреп-метод.
Идеей метода является размножение имеющейся выборки, что представ-
ляется эффективным способом оценивать параметры распределения в ус-
ловиях ограниченной экспериментальной информации [3]. Бутстреп-метод
позволяет получить асимптотически несмещенные и эффективные оценки [4].
В качестве оценки результата выступает усредненная по N выборкам оцен-
ка. При сравнении результатов оценивания с помощью фильтра Калмана и
бустреп-метода показано, что последний является более точным [5].
Е.В. Редько, Т.В. Подладчикова, В.Н. Подладчиков
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 2 22
Поэтому для определения смещения оценок в условиях ограниченной
экспериментальной информации, предлагается использовать статистическую
модель–прототип, имитирующую продолжение эксперимента в тех же условиях.
На основе модели-прототипа проводится обработка данных измерения
энергии солнечных вспышек спутником Trace (Transition region and coronal
explorer — исследователь короны и переходной области Солнца) и выполня-
ется коррекция смещения оценок МНК показателя степени, изменяющего
представление о влиянии энергии солнечных вспышек.
АНАЛИЗ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЯ
Плотность )( *
ixf степенного закона распределения α−= Axxf )( )0( >α по
экспериментальной выборке аппроксимируется величиной ii ∆ω , где iω —
относительная частота попадания в i -й интервал группирования; i∆ — ши-
рина i -го интервала ),( iii xx ∆+ ; *
ix — точка, принадлежащая i -му интер-
валу, ( Ni ,,1…= ); N — число интервалов группирования.
Неизвестные параметры A и α оцениваются на основе построения мо-
дели линейной регрессии вида
iii xAxf εα +−= ** lnln)(~ln , (1)
где iε — ошибка, флуктуационная составляющая модели.
Покажем, что для модели (1) математическое ожидание 0)( ≠iE ε . От-
носительная частота iω является несмещенной состоятельной оценкой ве-
роятности iP попадания случайной величины в i -й интервал группирования
данных, т.е. iii P ςω += , где iς — случайная величина, распределенная по
биномиальному закону с параметрами 0)( =iE ς , == )()(var 2
ii E ςς
n
PP ii )1( −
= , где n — длина выборки.
В качестве оценки плотности распределения )(~ *
ixf используется от-
ношение
i
i
∆
ω , т.е.
i
ii
i
i
i
P
xf
∆
+
=
∆
=
ςω
)(~ * . Или
.)()(~ **
iii xfxf η+= (2)
Здесь ,
i
i
ii ∆
+=
ς
ξη где )( *
i
i
i
i xf
P
−
∆
=ξ — составляющая ошибки, обу-
словленная заменой предела )(lim *
i
i
i xf
P
=
∆
при 0→∆ i отношением .
i
iP
∆
Математическое ожидание )( iE η ошибки модели (2) определяется ошибкой
выбора точки *
ix на интервале группирования и равно
)()( *
i
i
i
i xf
P
E −
∆
=η .
Повышение эффективности оценивания параметров распределения в условиях …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 2 23
Рассмотрим смещение ошибки iε модели (1) при больших n .
Логарифм правой части выражения (2) имеет вид
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=+
)(
1ln)(ln)(ln *
**
i
i
iii
xf
xfxf
η
η .
Используя разложение в ряд Тейлора логарифмической функции и ог-
раничиваясь двумя членами разложения, получим для больших n асимпто-
тическое представление
)(2)(
~
)(
1ln *2
2
**
i
i
i
i
i
i
xfxfxf
ηηη
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ .
Следовательно, флюктуационная составляющая модели (1) имеет вид
.
)(2)()()(2)(
~ *2
2
***2
2
*
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
xfxfxfxfxf
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∆
+
−
∆
+=−
ς
ξ
ςξηη
ε
Математическое ожидание ошибки iε равно
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
)(2)(2)(
~)( *22
2
*2
2
*
i
i
i
i
i
i
i
xf
E
xf
E
xf
EE
ςξξ
ε
0
)(2
)1(1
)(2
11
)( *22
2
** ≠
∆
−
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∆
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∆
=
ii
ii
ii
i
ii
i
xfn
PP
xf
P
xf
P .
Таким образом, флюктуационная составляющая модели (1) смещена,
что обусловливает смещение оценки показателя степени.
ОЦЕНКА ХАРАКТЕРИСТИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ
ИМИТАЦИОННОЙ МОДЕЛИ
Описание модели
В соответствии с моделью (1) определим оценку показателя α по данным
измерения энергии солнечных вспышек спутником Trace.
Длина экспериментальной выборки составляет ;1215=n минимальное
и максимальное выборочные значения равны ,8523,14min =x .57,2515max =x
Весь интервал наблюдения ),( maxmin xx первоначально разбивается на
49 равных интервалов группирования. После объединения тех интервалов, в
которых оказывается менее пяти выборочных значений, число интервалов
группирования составляет 9=N .
На основе МНК была получена оценка показателя степени 828,1ˆ =α .
Непосредственные выводы о действительных значениях показателя степени
на основе этой оценки в условиях смещения оценок МНК, обусловленного
смещением ошибок iε модели (1) могут оказаться ненадежными.
Для определения вероятностных характеристик оценок в условиях ог-
раниченной экспериментальной информации предлагается использовать
Е.В. Редько, Т.В. Подладчикова, В.Н. Подладчиков
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 2 24
статистическую модель-прототип, имитирующую продолжение экспериме-
нта в тех же условиях по ансамблю реализаций. Вычисленные по экспери-
ментальным данным оценки параметров распределения рассматриваются
как один из результатов, которые могут быть получены при моделировании.
В предлагаемой модели генерируется выборка случайных величин рас-
пределенная по степенному закону, таким образом, что длина выборки, ми-
нимальное и максимальное выборочные значения полностью соответствуют
экспериментальным данным. Алгоритм обработки предполагает также пер-
воначальное разбиение на 49 интервалов с последующим объединением тех
интервалов, в которых оказалось менее пяти выборочных значений.
Выбор допустимого диапазона действительных значений показателя
степени
Экспериментальная выборка рассматривается как одна из реализаций ими-
тационной модели. Поэтому обязательным требованием к имитационной
модели-прототипу является выбор такого интервала ),( maxmin αα , чтобы для
каждого действительного значения показателя степени ),( maxmin ααα ∈ су-
ществовала ненулевая вероятность совпадения результатов моделирования с
результатами обработки экспериментальных данных. С возможным совпа-
дением полученных при моделировании и при обработке эксперименталь-
ных данных оценки 828,1ˆ =α можно связать лишь вероятность нуль. По-
этому при выборе интервала ),( maxmin αα следует исходить из требования
существования ненулевой вероятности попадания полученной при модели-
ровании оценки в некоторый интервал ),ˆ,ˆ( 21 αα внутри которого находится
оценка 828,1ˆ =α . Кроме того, диапазон выбираемых действительных значе-
ний α ограничивается условием существования ненулевой вероятности со-
кращения числа интервалов группирования до 9=N после их объединения
при первоначальном разбиении на 49 равных интервалов.
Вероятность сокращения числа интервалов до 9 оценивается как отно-
сительная частота появления этого события в 1000 реализациях выборки
случайных величин, распределенных по степенному закону при различных
действительных значениях α , взятых с шагом .01,0
Как показали результаты моделирования, число интервалов группиро-
вания после объединения уменьшается с ростом действительного значения
α . Наименьшее значение показателя степени, при котором хотя бы в одной
из 1000 реализаций число интервалов после объединения сократилось до 9,
равно 71,1=α . Максимальное значение показателя, при котором еще с не-
нулевой вероятностью число интервалов после объединения сокращается до
9, равно .32,2=α
Относительная частота попадания оценки показателя α̂ в интервал
,)ˆ,ˆ( 21 αα включающий точку 828,1ˆ =α , определялся по 1000 реализациям
для всех значений ),32,2;71,1(∈α взятых с шагом 0,01 , для двух случаев:
);835,1;825,1()ˆ,ˆ( 21 =αα ).86,1;8,1()ˆ,ˆ( 21 =αα
Как показали результаты моделирования, минимальное значение α ,
при котором еще существует ненулевая вероятность попадания оценки
Повышение эффективности оценивания параметров распределения в условиях …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 2 25
в интервал )835,1;825,1( равно ;85,1min =α а в интервал )86,1;8,1( равно
.82,1min =α
На рис. 1 приведена зависимость от )(kα значений оценок условной
вероятности ,)]32,2;825,1(/)835,1;825,1(ˆ[ˆ )()(
1 ∈=∈= kkP ααα на рис. 2 при-
ведена зависимость от )(kα значений оценок условной вероятности
.)]32,2;825,1(/)86,1;8,1(ˆ[ˆ )()(
2 ∈=∈= kkP ααα
Как видно из рис. 1 и 2, в обоих случаях наиболее вероятно попадание
в интервал )ˆ;ˆ( 21 αα при .14,206,2 << α
АПОСТЕРИОРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ
Вероятность принадлежности действительного значения α интервалу
);( )1()( +kk αα при условии, что его оценка оказалась в интервале )ˆ;ˆ( 21 αα
рассчитывается по формуле вероятностей гипотез Байеса [2]:
=∈∈ + )]ˆ;ˆ(ˆ/);([ 21
)1()( αααααα kkP
∑ −
=
++
++
∈∈∈
∈∈∈
= 1
0
)1()(
21
)1()(
)1()(
21
)1()(
)];(/)ˆ;ˆ(ˆ[)];([(
);(/)ˆ;ˆ(ˆ[)];([
L
j
jjjj
kkkk
PP
PP
ααααααααα
ααααααααα
.
Здесь )],([ )1()( +∈ kkP ααα — априорная вероятность принадлежности
действительного значения показателя степени α интервалу ).,( )1()( +kk αα
Рис. 1.Оценка условной вероятности при )835,1;825,1(ˆ ∈α
)(
1̂
kP
1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0 )(kα
Рис. 2.Оценка условной вероятности при )86,1;8,1(ˆ ∈α
)(
2
ˆ kP
1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0 )(kα
Е.В. Редько, Т.В. Подладчикова, В.Н. Подладчиков
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 2 26
),(/)ˆ;ˆ(ˆ[ )1()(
21
+∈∈ kkP αααααα — вероятность попадания оценки по-
казателя степени в интервал )ˆ;ˆ( 21 αα при условии, что его действительное
значение принадлежит интервалу ),,( )1()( +kk αα определялось как среднее
арифметические рассчитанных при моделировании значений вероятностей
попадания оценок α̂ в интервал )835,1;825,1( при условиях, что его дейст-
вительные значения принадлежат границам этого интервала, т.е. )(kαα = и
.)1( += kαα
На рис. 3, 4 показана оценка апостериорной плотности распределения
показателя степени ,α если α̂ оказалась в интервалах )835,1;825,1( и
)86,1;8,1( соответственно.
Из рис. 3 и 4 видно, что в обоих случаях плотность распределения ре-
зко возрастает от нуля до значений, превышающих 03,0 , при изменении
α от 82,1 до .03,2 Максимальных значений плотность распределения до-
стигает на интервале )15,2;03,2(∈α . При 15,2>α плотность распределе-
ния снижается и достигает значения 17,0016,0 − при .32,2=α
Апостериорные вероятности неравенства ,2>α для обоих рассматри-
ваемых случаев также отличаются незначительно:
,868,0)]835,1;825,1(ˆ/2[ˆ =∈>= ααP
.853,0)]86,1;8,1(ˆ/2[ =∈>= ααP
Рис. 3. Оценка апостериорной плотности распределения показателя степени α, если
)835,1;825,1(ˆ ∈α
1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3
0,04
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0 α
P
Рис. 4. Оценка апостериорной плотности распределения показателя степени α,
если )86,1;8,1(ˆ ∈α
P
1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3
0,04
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0 α
Повышение эффективности оценивания параметров распределения в условиях …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 2 27
Полученные оценки апостериорного распределения показателя степени
незначительно отличаются при изменении длины интервала, внутри которо-
го находится оцененное по экспериментальным данным значение α и по-
зволяют делать обоснованные выводы о диапазоне вероятных значений по-
казателя степени по полученной по экспериментальным данным оценке.
Таким образом, с высокой вероятностью можно утверждать, что пока-
затель степени больше 2 и среднее количество энергии, вносимое в солнеч-
ную корону вспышками, определяется верхней границей энергии солнечных
вспышек.
ВЫВОДЫ
В данной работе были рассмотрены статистические свойства оценок пара-
метров в условиях ограниченной выборки и доказана смещенность оценок,
которые можно получить используя МНК. Доказано, что вклад в смещение
оценок вносит линеаризация исходной модели и ограниченное количество
экспериментальной информации. В работе использован и описан метод по-
строения имитационной модели прототипа, позволяющий выполнить кор-
рекцию смещения полученных оценок.
В предлагаемой модели генерируется выборка случайных величин рас-
пределенная по степенному закону, таким образом, что длина выборки, ми-
нимальное и максимальное выборочные значения полностью соответствуют
экспериментальным данным. Алгоритм обработки предполагает также пер-
воначальное разбиение на 49 интервалов с последующим объединением тех
интервалов, в которых оказалось менее пяти выборочных значений.
Данная модель использована для определения действительного значе-
ния показателя степени экспоненциального закона распределения энергии
солнечных вспышек. Для этого было построено апостериорное распределе-
ние вероятностей значения показателя степени α , если α̂ оказалась в инте-
рвалах (1,825; 1,835) и (1,8; 1,86) соответственно.
Результаты показали, что в обоих случаях плотность распределения ре-
зко возрастает от нуля до значений, превышающих 03,0 , при изменении α
от 82,1 до .03,2 Максимальных значений плотность распределения достига-
ет на интервале ).15,2;03,2(∈α При 15,2>α плотность распределения сни-
жается и достигает значения 017,0016,0 − при .32,2=α
На основе графиков плотности вероятностей сделан окончательный
вывод о том, что показатель степени имеет действительное значение больше
2 и среднее количество энергии, вносимое в солнечную корону вспышками,
определяется верхней границей энергии солнечных вспышек.
ЛИТЕРАТУРА
1. Crosby N.B., Aschwanden M.J., Dennis B.R. Frequency Distribution and correlation
of solar X-Ray flare parameters // Solar Physics. — 1993. — № 143. — P. 275–299.
2. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математи-
ческой статистики. — М.: Наука, 1969. — 512 с.
3. Орлов А.И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2002. — 576 с.
4. Гаев Л.В. Рандомизированная обработка результатов имитационных экспери-
ментов. — http://www.gpss.ru/immod'03/017.html.
5. Prasad R.M., Sinha A.K. Two-stage bootstrap algorithms for parameter estimation //
International Journal of Systems Science. — 1977. — 8, № 12. — Р. 1365–1374.
Поступила 15.05.2009
|