Инвариантность по скалярному критерию распознавания образов
Построено изоморфное отображение множества распознаваемых образов на множество вещественных чисел из интервала [0, 1], которое позволяет связать классификацию распознаваемых образов с поведением скалярного критерия в пространстве ошибок. Предложенный в статье функционал и решающее правило (скалярный...
Saved in:
| Published in: | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50095 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Инвариантность по скалярному критерию распознавания образов / П.В. Четырбок // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 2. — С. 28-34. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860249651796508672 |
|---|---|
| author | Четырбок, П.В. |
| author_facet | Четырбок, П.В. |
| citation_txt | Инвариантность по скалярному критерию распознавания образов / П.В. Четырбок // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 2. — С. 28-34. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Системні дослідження та інформаційні технології |
| description | Построено изоморфное отображение множества распознаваемых образов на множество вещественных чисел из интервала [0, 1], которое позволяет связать классификацию распознаваемых образов с поведением скалярного критерия в пространстве ошибок. Предложенный в статье функционал и решающее правило (скалярный критерий для распознавания образов) позволяют создать модель нейронной сети инвариантной к трансформациям распознаваемых образов.
Побудовано ізоморфне відображення множини розпізнавальних образів на множину дійсних чисел з інтервалу [0,1], яке дозволяє поєднати класифікацію розпізнавальних образів із поведінкою скалярного критерію в просторі помилок. Запропонований в статті функціонал і вирішальне правило (скалярний критерій для розпізнання образів) дозволяють створити модель нейронної мережі інваріантної до трансформації образів, які розпізнаються.
An isomorphic mapping of the set of distinctive images to a set of real numbers from the interval [0,1] is built, that allows to combine classification of distinctive images with the behavior of scalar criterion in the space of errors. The proposed in the article functional and decision rule (scalar criterion for images recognition) allow to create a model of neuron network invariant to the transformation of images, which are recognised.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:41:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
© П.В. Четырбок, 2011
28 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 2
УДК 004.032.26:004.8
ИНВАРИАНТНОСТЬ ПО СКАЛЯРНОМУ КРИТЕРИЮ
РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ
П.В. ЧЕТЫРБОК
Построено изоморфное отображение множества распознаваемых образов на
множество вещественных чисел из интервала [0, 1], которое позволяет связать
классификацию распознаваемых образов с поведением скалярного критерия в
пространстве ошибок. Предложенный в статье функционал и решающее правило
(скалярный критерий для распознавания образов) позволяют создать модель
нейронной сети инвариантной к трансформациям распознаваемых образов.
ВВЕДЕНИЕ
Из известных методов обучения нейронных сетей наиболее широкое приме-
нение имеют градиентные методы со случайным изменением начальных
условий [1, 3, 4]. Недостатком этих методов являются трудности распозна-
вания образов в случае близости по норме Евклида сравниваемых образов.
Существует также множество подходов к определению степени сходства
входных сигналов. Один из них применяется для определения степени подо-
бия входных образов для нейронных сетей на основе Евклидова расстояния [1].
Пусть существует некоторый вектор x размерности m :
[ ] .,...,, 21
T
imiii xxxx =
Элементы вектора — действительные числа, а обозначение «Т» указы-
вает на транспонирование матрицы. Вектор ix определяет некоторую точку
в m -мерном Евклидовом пространстве .)( mR Евклидово расстояние между
парой m -мерных векторов ix и jx вычисляется по формуле:
( ) ( )
2/1
1 ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=−=− ∑
=
m
k
jkikjiji xxxxxxd ,
где ikx и jkx — k -е элементы векторов ix и jx соответственно. Чем ближе
друг к другу отдельные элементы векторов ikx и jkx , тем меньше Евклидо-
во расстояние. В данной работе рассматривается подход к определению сте-
пени сходства образов, который основывается на скалярном критерии рас-
познавания образов нейронной сетью, построенный на идее скалярного
произведения векторов.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Цель работы — построить отображение множества распознаваемых обра-
зов на множество действительных чисел из интервала [0, 1] так, чтобы зада-
вая определенные интервалы для этих чисел, можно было бы группировать
Инвариантность по скалярному критерию распознавания образов
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 2 29
образы, распознавать, сравнивать и анализировать их. Сходные входные
сигналы от схожих классов должны формировать единое представление в
нейронной сети. Исходя из этого, они должны быть классифицированы как
принадлежащие к одной категории [1, 2]. Необходимо также определить
степень сходства, используя скалярный критерий для распознавания
образов [5].
Нейронные сети обладают естественной способностью классификации
образов. Эту способность можно использовать для обеспечения инвариант-
ности сети к трансформациям. Сеть обучается на множество примеров од-
ного и того же объекта, при этом в каждом примере объект подается в не-
сколько измененном виде (например, снимки с разных ракурсов). Если
количество таких примеров достаточно велико и если нейронная сеть обу-
чена отличать разные точки зрения на объект, можно ожидать, что эти дан-
ные будут обобщены и сеть сможет распознать ракурсы объекта, которые не
использовались при обучении. Однако с технической точки зрения инва-
риантность по обучению имеет два существенных недостатка:
• во-первых, если нейронная сеть научена распознавать трансформа-
ции объектов некоторого класса, то совсем не обязательно, что она будет
обладать инвариантностью по отношению к трансформациям объектов дру-
гих классов;
• во-вторых, такое обучение является очень ресурсоемким, особенно
при большой размерности пространства признаков.
Скалярный критерий распознавания обзоров можно получить с помо-
щью вектора ошибок, полученного при распознавании нейронной сетью
входного образа, и вектора ошибок, полученного при распознавании ней-
ронной сетью эталонного образа. Если за эталонные образы взять образы
трансформации объектов, то получим алгоритм их распознавания. То есть,
каждому образу трансформации объекта будет отвечать свое значение ска-
лярного критерия. Поскольку вычисление скалярного критерия не изменяет
значения весовых коэффициентов нейронной сети, то нейронная сеть может
распознавать трансформацию объектов нескольких классов одновременно и
при этом расчет скалярного критерия является не расходным по ресурсам.
ПОСТРОЕНИЕ СКАЛЯРНОГО КРИТЕРИЯ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ
СИГНАЛОВ
Построим модель нейронной сети в виде: ,ii Wxy = где
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
m
i
i
i
i
y
y
y
y
...
2
1
— век-
торы выхода; ( )m
iii
T
i xxxx ...;;; 21= — векторы входных воздействий; m —
размерность пространства образов; ni ,,1…= , где n — число обучаемых
образов.
Матрица весовых коэффициентов нейронной сети, обученной распо-
знавать образ ,1y будет иметь вид:
П.В. Четырбок
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 2 30
;
.....................
11
1
11
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
mmm
m
m
xyxy
xyxy
xyxy
W
…
…
…
( )
( )
( )
.
..............................................
11
2
1
2
1
1
1
1
11
11
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
11
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
+++
+++
=
mmm
mm
mm
xxxxxxy
xxxxxxy
xxxxxxy
y
…
…
…
Необходимым и достаточным условием для точного воспроизведения
эталонного выхода является ортогональность и ортонормированность вход-
ных векторов сигналов при обучении нейронной сети.
Пусть отклонение на этапе распознавания образа на входе будут равны:
( )m
i
m
ii
T
i xxxx ∆∆∆=∆ ;;;1 … .
Тогда
.
..............
22
11
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆+
∆+
∆+
=∆+
m
i
m
i
ii
ii
xx
xx
xx
Wyy
Для отклонений на выходе можно записать:
( )
( )
( )
.
......................................................
11
2
1
2
1
1
1
1
11
11
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
11
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆++∆+∆
∆++∆+∆
∆++∆+∆
=∆
mmm
mm
mm
xxxxxxy
xxxxxxy
xxxxxxy
y
…
…
…
Оценим ошибку на выходе:
,2
1
1∑
=
∆=
m
i
iyE mi ,,1…= ;
,3
1
1∑
=
∆=
m
i
iyE mi ,,1…= ;
,)(max4 1
iyE ∆= mi ,,1…= .
Построим функционал, который равен скалярному произведению нор-
мированных векторов ошибок ,)4,3,2( EEEE = )3,2,1( XXXX = при рас-
познавании нейронной сетью сигналов и соответствующих им элементов.
Скалярный критерий распознавания образов (сигналов) вычислим следую-
щим образом:
( ) ,),(cos
cc XE
XE
=λ
где E — вектор ошибок в пространстве ошибок, полученный при распозна-
вании нейронной сетью входного образа; X — вектор ошибок, полученный
при распознавании нейронной сетью эталонного образа.
Инвариантность по скалярному критерию распознавания образов
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 2 31
Для распознавания двух векторов сигналов ( )mT xxxx 1
2
1
1
11 ;;; …= и
( )mT xxxx 2
2
2
1
22 ;;; …= найдем:
;
....................
11
1
11
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
mmm
m
m
xyxy
xyxy
xyxy
W
…
…
…
.
....................
22
1
22
2
2
2
1
2
2
2
21
1
2
1
2
1
2
2
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
mmm
m
m
xyxy
xyxy
xyxy
W
…
…
…
Учитывая, что TWxy 11 = и TWxy 22 = получим ,21 WWW += откуда на-
ходим .W Для обучения распознавания трех образов получим условие
321 WWWW ++= и в общем случае ∑
=
=
n
i
iWW
1
, где n — число обучаемых
образов.
Таким образом, построено отображение множества входных сигналов
на множество действительных чисел. Это отображение разбивает множество
векторов входных сигналов на классы. Отображение является отношением
эквивалентности, то есть оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Отображение разбивает множество векторов входных сигналов на непересе-
кающиеся классы. Отображение состоит из композиции двух отображений.
Сначала множество векторов входных сигналов (конечное множество)
отображается в трехмерное векторное пространство ошибок, а затем конеч-
ное множество векторов ошибок отображается на конечное подмножество
множества действительных чисел.
КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ НЕЙРОННОЙ СЕТИ
Нейронная сеть обучена распознавать 128 двоичных 7-ми разрядных вход-
ных образов с помощью пакета программ «Универсальная система интел-
лектуального анализа данных, распознавания и прогноз INTENSIV» [5], ко-
торая включает в свой состав программу обучения, программу
самообучения нейронной сети и программу распознавания образов. Для
обучения используем 8 двоичных образов: 10000000, 01000000, 00100000,
00010000, 00001000, 00000100, 000000010, 00000001. В результате работы
программы сформирован массив весовых коэффициентов, то есть нейронная
сеть обучена распознавать 8 образов (рассчитан скалярный взвешенный
критерий). Далее с помощью программы самообучения обучаем нейронную
сеть распознавать остальные 120 образов, при этом их двоичные коды и ко-
ды их эталонов, берем из таблицы. Программа самообучения в отличии от
программы обучения не изменяет весовые коэффициенты, а только рассчи-
тывает скалярный коэффициент близости образов. В результате обучения и
самообучения нейронной сети получена таблицы, которая используется
программой распознавания образов. Программа распознавания образа, ко-
торая согласно скалярного критерия )(cos λ из таблицы распознает произ-
вольный входной двоичный образ, поданный на вход нейронной сети одно-
временно может служить классификатором, в котором за вектора ядер
П.В. Четырбок
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 2 32
классов образов (объектов) взять вектора (10000000, 01000000, 00100000,
00010000, 00001000, 00000100, 000000010, 00000001). Они расположены
друг от друга на Хемминговом расстоянии равном 2. Тогда 128 образов бу-
дут разбиты на 8 классов. Так, например, к 5-му классу относятся образы
(объекты) для которых скалярный взвешенный критерий )(cos λ принадле-
жит интервалу (0,941047928053614–0,943743056402821). Изменяя количест-
во классов (ядер) получаем новый набор интервалов изменения взвешенного
критерия, тем самым получаем новую классификацию образов.
Т а б л и ц а . Классификатор 128 двоичных 7-ми разрядных образов
Двоичный
код образа
Эталон об-
раза
)(λcos Код ASCII
образа
Расстояние
Хемминга
1 2 3 4 5
10000000 10000000 0,826060581600673 7
10100000 01000000 0,936690872552962 Пробел 6
11000000 01000000 0,937353881522576 @ 6
10001000 01000000 0,939245716842437 6
10000010 01000000 0,939263409282480 6
10000100 01000000 0,939304982387979 6
10000001 01000000 0,939647045540305 6
10010000 01000000 0,940389901624390 6
10100010 00100000 0,941047928053614 " 5
… … …
10100110 00010000 0,956128458420992 & 4
… … …
11101010 00001000 0,958826663453392 j 3
… … …
10111101 00000100 0,969290551841973 2
… … …
11110111 00000010 0,975981352716797 w 1
11111110 00000010 0,976329462651463 1
11111011 00000010 0,976432641051323 1
10111111 00000010 0,976457343732489 1
11101111 00000010 0,976467676878091 o 1
11111111 00000001 0,979024638356988 0
Из анализа результатов, представленных в таблицы (классификатор 128
двоичных 7-ми разрядных образов) образы классифицированные по рас-
стоянию Хемминга компактно расположены на скалярной оси величин
)(cos λ и не наблюдается случаев, когда нарушалась бы однозначность
отображения множества значений расстояний между образами по Хеммин-
гу и множества значений скалярного произведения векторов отклонения от
эталонных. При таком отображении сохраняется не только однозначность,
но и компактность ядра образов и гладкость отображения. Если сравнить с
сетью Хопфилда, которая используется для ассоциативной памяти, то мо-
жем утверждать что предложенный алгоритм обучения НС позволяет по-
строить более надежную память. Для сети Хопфилда число запоминаемых
Инвариантность по скалярному критерию распознавания образов
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 2 33
образов m не должно превышать величины, примерно равной n15,0 . Кроме
того, если два образа A и B сильно похожи, они, возможно, будут вызы-
вать у сети перекрестные ассоциации, то есть предъявление на входы сети
вектора A приведет к появлению на ее выходах вектора B и наоборот. Ас-
социативная память, построенная с помощью скалярного критерия надежно
запоминает n2 образов, где n — размерность пространства входных обра-
зов и никогда не распознает образ, ранее невиденый.
Традиционные искусственные нейронные сети оказались не в состоя-
нии решить проблему стабильности-пластичности. Очень часто обучение
новому образу уничтожает или изменяет результаты предшествующего обу-
чения. В некоторых случаях это не существенно. Если имеется только фик-
сированный набор обучающих векторов, они могут предъявляться при обу-
чении циклически. Рассмотренные нейронные системы не адаптированы к
решению этой задачи. Так, например, многослойный персептрон, обучаю-
щийся по методу обратного распространения, запоминает весь пакет обу-
чающей информации, при этом образы обучающей выборки предъявляются
в процессе обучения многократно. Попытки затем обучить персептрон но-
вому образу приведут к модификации синаптических связей с неконтроли-
руемым разрушением структуры памяти о предыдущих образах. Таким об-
разом, персептрон не способен к запоминанию новой информации, и
необходимо полное переобучение сети. Аналогичная ситуация имеет место
и в сетях Кохонена и Хемминга, обучающихся на основе самоорганизации.
Данные сети всегда выдают положительный результат при классификации.
Тем самым, эти нейронные сети не в состоянии отделить новые образы от
искаженных или зашумленных версий старых образов.
В реальной ситуации сеть будет подвергаться постоянно изменяющим-
ся воздействием; она может дважды не увидеть один и тот же обучающий
вектор. При таких обстоятельствах сеть, скорее всего, не будет обучаться;
она будет непрерывно изменять свои веса, не достигая удовлетворительных
результатов. Более того, приведены примеры сети, в которой только четыре
обучающих вектора, предъявляемых циклически, заставляют веса сети из-
меняться непрерывно, иногда не сходясь. Такая временная нестабильность
явилась одним из главных факторов, заставивших Гроссберга и его сотруд-
ников исследовать радикально отличные конфигурации [1]. Адаптивная ре-
зонансная теория (АРТ) является одним из результатов исследования этой
проблемы. Нейронные сети АРТ, при всех их замечательных свойствах,
имеют ряд недостатков. Один из них — большое количество синаптических
связей в сети, в расчете на единицу запоминаемой информации. При этом
многие из весов этих связей оказываются после обучения нулевыми. Эту
особенность следует учитывать при аппаратных реализациях. Сеть АРТ-1
приспособлена к работе только с битовыми векторами. Это неудобство пре-
одолевается в сетях АРТ-2 и АРТ-3. Однако в этих архитектурах, равно как
и в АРТ-1, сохраняется главный недостаток АРТ — локализованность памя-
ти. Память нейронной сети АРТ не является распределенной, и некоторой
заданной категории отвечает вполне конкретный нейрон слоя распознава-
П.В. Четырбок
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 2 34
ния. При его разрушении теряется память обо всей категории. Эта особен-
ность, не позволяет говорить о сетях адаптивной резонансной теории как
о прямых моделях биологических нейронных сетей. Память последних яв-
ляется распределенной. Скалярный критерий позволяет создать модель рас-
пределенной памяти.
ВЫВОДЫ
Каждому образу, распознаваемому многослойным персептроном в много-
факторном пространстве ошибок соответствует свое значение скалярного
критерия )(cos λ . В данной работе построено изоморфное отображение
множества распознаваемых образов на множество действительных чисел из
интервала [0,1], которое позволяет связать классификацию распознаваемых
образов с поведением )(cos λ в многофакторном пространстве ошибок. За-
давая определенные интервалы для значений )(cos λ мы можем группиро-
вать образы, распознавать, сравнивать и анализировать их. Построено ре-
шающее правило для классификации образов в виде утверждений: каждому
образу, распознаваемому многослойным персептроном в многофакторном
пространстве ошибок будет соответствовать свое значение )(cos λ . Образ
тем ближе к эталону, чем больше скалярный критерий.
Предложенный в статье функционал и решающее правило (скалярный
критерий для распознавания образов) позволяют создать модель нейронной
сети инвариантной к трансформациям распознаваемых образов. Если за эта-
лонные образы взять образы трансформации объектов, то получим алгоритм
их распознавания. Т.е. каждому образу трансформации объекта будет отве-
чать свое значение скалярного критерия. Поскольку вычисление скалярного
критерия не изменяет значения весовых коэффициентов нейронной сети, то
нейронная сеть может распознавать трансформацию объектов нескольких
классов одновременно, и при этом расчет скалярного критерия является не
расходным по ресурсам.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс. — 2-е изд., пер. с англ. — М.: Изд.
дом «Вильямс», 2006. — 1104 с.
2. Згуровський М.З., Панкратова Н.Д. Основи системного аналізу. — Київ: Ви-
дав. група BHV, 2007. — 544 с.
3. Горбань А.Н. Обучение нейронных сетей. — М.: Изд. СССР-США СП «Пара-
граф», 1990. — 160 с.
4. Кохонен Т. Ассоциативная память. — М.: Мир, 1980. — 240 с.
5. Четырбок П.В. Скалярный критерий распознавания образов — функционал
качества системы // Штучний інтелект. — 2009. — № 4. — С. 100–103.
Поступила 29.05.2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50095 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:41:19Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Четырбок, П.В. 2013-10-04T22:10:13Z 2013-10-04T22:10:13Z 2011 Инвариантность по скалярному критерию распознавания образов / П.В. Четырбок // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 2. — С. 28-34. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50095 004.032.26:004.8 Построено изоморфное отображение множества распознаваемых образов на множество вещественных чисел из интервала [0, 1], которое позволяет связать классификацию распознаваемых образов с поведением скалярного критерия в пространстве ошибок. Предложенный в статье функционал и решающее правило (скалярный критерий для распознавания образов) позволяют создать модель нейронной сети инвариантной к трансформациям распознаваемых образов. Побудовано ізоморфне відображення множини розпізнавальних образів на множину дійсних чисел з інтервалу [0,1], яке дозволяє поєднати класифікацію розпізнавальних образів із поведінкою скалярного критерію в просторі помилок. Запропонований в статті функціонал і вирішальне правило (скалярний критерій для розпізнання образів) дозволяють створити модель нейронної мережі інваріантної до трансформації образів, які розпізнаються. An isomorphic mapping of the set of distinctive images to a set of real numbers from the interval [0,1] is built, that allows to combine classification of distinctive images with the behavior of scalar criterion in the space of errors. The proposed in the article functional and decision rule (scalar criterion for images recognition) allow to create a model of neuron network invariant to the transformation of images, which are recognised. ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Прогресивні інформаційні технології, високопродуктивні комп’ютерні системи Инвариантность по скалярному критерию распознавания образов Інваріантність по скалярному критерію розпізнавання образів Invariance by scalar criterion of images recognition Article published earlier |
| spellingShingle | Инвариантность по скалярному критерию распознавания образов Четырбок, П.В. Прогресивні інформаційні технології, високопродуктивні комп’ютерні системи |
| title | Инвариантность по скалярному критерию распознавания образов |
| title_alt | Інваріантність по скалярному критерію розпізнавання образів Invariance by scalar criterion of images recognition |
| title_full | Инвариантность по скалярному критерию распознавания образов |
| title_fullStr | Инвариантность по скалярному критерию распознавания образов |
| title_full_unstemmed | Инвариантность по скалярному критерию распознавания образов |
| title_short | Инвариантность по скалярному критерию распознавания образов |
| title_sort | инвариантность по скалярному критерию распознавания образов |
| topic | Прогресивні інформаційні технології, високопродуктивні комп’ютерні системи |
| topic_facet | Прогресивні інформаційні технології, високопродуктивні комп’ютерні системи |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50095 |
| work_keys_str_mv | AT četyrbokpv invariantnostʹposkalârnomukriteriûraspoznavaniâobrazov AT četyrbokpv ínvaríantnístʹposkalârnomukriteríûrozpíznavannâobrazív AT četyrbokpv invariancebyscalarcriterionofimagesrecognition |