Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії в задачі реконструкції кісткової тканини
Представлено задачу побудови режимів медикаментозної терапії та фізіотерапії як задачу оптимального керування із фазовими обмеженнями для моделі реконструкції кісткової тканини. У моделі враховуються такі фактори: популяції остеоцитів, остеобластів, остеокластів та щильність матриксу. Цей підхід був...
Saved in:
| Published in: | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50117 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії в задачі реконструкції кісткової тканини / В.П. Марценюк, Д.В. Вакуленко, І.Є. Андрущак // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 3. — С. 108-122. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50117 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Марценюк, В.П. Вакуленко, Д.В. Андрущак, І.Є. 2013-10-05T11:53:14Z 2013-10-05T11:53:14Z 2011 Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії в задачі реконструкції кісткової тканини / В.П. Марценюк, Д.В. Вакуленко, І.Є. Андрущак // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 3. — С. 108-122. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50117 519. 876.2: 611.018.4 Представлено задачу побудови режимів медикаментозної терапії та фізіотерапії як задачу оптимального керування із фазовими обмеженнями для моделі реконструкції кісткової тканини. У моделі враховуються такі фактори: популяції остеоцитів, остеобластів, остеокластів та щильність матриксу. Цей підхід був чисельно реалізований за допомогою програмного середовища VisSim. Представлена задача построения режимов медикаментозной терапии и физиотерапии как задача оптимального управления с фазовыми ограничениями для модели реконструкции костной ткани. В модели учтены следующие факторы: популяции остеоцитов, остеобластов, остеокластов и плотность матрикса. Данный поход был численно реализован при помощи программной среды VisSim. The problem of building the drug therapy and physiotherapy models is presented as a problem of an optimal control with state limits for the model of reconstruction of bone tissue. The model includes the follocoing factors: population of osteocytes, osteoblasts and the density of the matrix. This approach has been numerically implemented using VisSim software. uk Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії в задачі реконструкції кісткової тканини Оптимальное управление режимами медикаментозной терапии и физиотерапии в задаче реконструкции костной ткани Optimal control of drug therapy and physiotherapy models for the problem of reconstraction of bone tissue Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії в задачі реконструкції кісткової тканини |
| spellingShingle |
Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії в задачі реконструкції кісткової тканини Марценюк, В.П. Вакуленко, Д.В. Андрущак, І.Є. Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор |
| title_short |
Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії в задачі реконструкції кісткової тканини |
| title_full |
Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії в задачі реконструкції кісткової тканини |
| title_fullStr |
Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії в задачі реконструкції кісткової тканини |
| title_full_unstemmed |
Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії в задачі реконструкції кісткової тканини |
| title_sort |
оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії в задачі реконструкції кісткової тканини |
| author |
Марценюк, В.П. Вакуленко, Д.В. Андрущак, І.Є. |
| author_facet |
Марценюк, В.П. Вакуленко, Д.В. Андрущак, І.Є. |
| topic |
Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор |
| topic_facet |
Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор |
| publishDate |
2011 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Системні дослідження та інформаційні технології |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Оптимальное управление режимами медикаментозной терапии и физиотерапии в задаче реконструкции костной ткани Optimal control of drug therapy and physiotherapy models for the problem of reconstraction of bone tissue |
| description |
Представлено задачу побудови режимів медикаментозної терапії та фізіотерапії як задачу оптимального керування із фазовими обмеженнями для моделі реконструкції кісткової тканини. У моделі враховуються такі фактори: популяції остеоцитів, остеобластів, остеокластів та щильність матриксу. Цей підхід був чисельно реалізований за допомогою програмного середовища VisSim.
Представлена задача построения режимов медикаментозной терапии и физиотерапии как задача оптимального управления с фазовыми ограничениями для модели реконструкции костной ткани. В модели учтены следующие факторы: популяции остеоцитов, остеобластов, остеокластов и плотность матрикса. Данный поход был численно реализован при помощи программной среды VisSim.
The problem of building the drug therapy and physiotherapy models is presented as a problem of an optimal control with state limits for the model of reconstruction of bone tissue. The model includes the follocoing factors: population of osteocytes, osteoblasts and the density of the matrix. This approach has been numerically implemented using VisSim software.
|
| issn |
1681–6048 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50117 |
| citation_txt |
Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії в задачі реконструкції кісткової тканини / В.П. Марценюк, Д.В. Вакуленко, І.Є. Андрущак // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 3. — С. 108-122. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT marcenûkvp optimalʹnekeruvannârežimamimedikamentoznoíterapíítafízíoterapíívzadačírekonstrukcííkístkovoítkanini AT vakulenkodv optimalʹnekeruvannârežimamimedikamentoznoíterapíítafízíoterapíívzadačírekonstrukcííkístkovoítkanini AT andruŝakíê optimalʹnekeruvannârežimamimedikamentoznoíterapíítafízíoterapíívzadačírekonstrukcííkístkovoítkanini AT marcenûkvp optimalʹnoeupravlenierežimamimedikamentoznoiterapiiifizioterapiivzadačerekonstrukciikostnoitkani AT vakulenkodv optimalʹnoeupravlenierežimamimedikamentoznoiterapiiifizioterapiivzadačerekonstrukciikostnoitkani AT andruŝakíê optimalʹnoeupravlenierežimamimedikamentoznoiterapiiifizioterapiivzadačerekonstrukciikostnoitkani AT marcenûkvp optimalcontrolofdrugtherapyandphysiotherapymodelsfortheproblemofreconstractionofbonetissue AT vakulenkodv optimalcontrolofdrugtherapyandphysiotherapymodelsfortheproblemofreconstractionofbonetissue AT andruŝakíê optimalcontrolofdrugtherapyandphysiotherapymodelsfortheproblemofreconstractionofbonetissue |
| first_indexed |
2025-11-25T20:39:15Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:39:15Z |
| _version_ |
1850525249123123200 |
| fulltext |
© В.П. Марценюк, Д.В. Вакуленко, І.Є. Андрущак, 2011
108 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3
УДК 519. 876.2: 611.018.4
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ РЕЖИМАМИ
МЕДИКАМЕНТОЗНОЇ ТЕРАПІЇ ТА ФІЗІОТЕРАПІЇ В ЗАДАЧІ
РЕКОНСТРУКЦІЇ КІСТКОВОЇ ТКАНИНИ
В.П. МАРЦЕНЮК, Д.В. ВАКУЛЕНКО, І.Є АНДРУЩАК
Представлено задачу побудови режимів медикаментозної терапії та фізіотера-
пії як задачу оптимального керування із фазовими обмеженнями для моделі
реконструкції кісткової тканини. У моделі враховуються такі фактори: попу-
ляції остеоцитів, остеобластів, остеокластів та щильність матриксу. Цей підхід
був чисельно реалізований за допомогою програмного середовища VisSim.
ВСТУП
Протягом попереднього десятиріччя робилися значні спроби для аналізу
режимів медикаментозної терапії під час лікування різних захворювань
шляхом використання детермінованих математичних моделей. Однією з
причин такої великої уваги є значне поширення серед населення різних кра-
їн остеопоротичних переломів, раку кісткової тканини, що визначає велику
соціальну роль цих патологій.
Застосування оптимального керування медикаментозною терапією та
фізіотерапією для реконструкції кісткової тканини ми не зустрічали.
Завданням буде перевірити оптимальність існуючих методів приписування
ліків та фізіотерапевтичних процедур і там, де відповідь негативна, запро-
понувати альтернативні методики.
Мета роботи — досягти компромісу між оптимальним рівнем щіль-
ності матриксу та токсичною дією на кісткову тканину в цілому. У роботі
використовується модель хіміотерапії, яка запропонована в [14].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Модель, що вивчатиметься, складається із системи диференціальних рів-
нянь. Одне з рівнянь описуватиме динаміку щільності матриксу, тоді як інші
характеризуватимуть динаміку кількох популяцій клітинних елементів кіст-
кової тканини. При цьому щільність матриксу не може виходити за межі
певних заданих рівнів. Такі вимоги до методик лікування відповідають об-
меженням на токсичність медикаментозної терапії. Метою лікування є
досягнення нормальної щільності матриксу.
Введемо такі позначення: )(tC — концентрація остеоцитів ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3см
клітин
— це популяція клітин, які розміщені в кісткових лакунах (порожнинах) у
складі звапнованого міжклітинного матриксу кісткової тканини; )(tB —
Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 109
концентрація остеобластів ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3см
клітин
(остеобласти — популяція клітин, які
продукують практично всі інгредієнти кісткового матриксу); )(tK — кон-
центрація остеокластів ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3см
клітин
(остеокласти — популяція клітин, які
розсмоктують кісткову тканину); )(tM — щільність матриксу ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3см
г
;
)t(uCh — концентрація медикаментозного препарату, який взаємодіє з ос-
теоцитами та матриксом; )t(uM — процедура масажу, яка призводить до
змін у кістковій тканині шляхом покращення кровопостачання та інервації
кісткової тканини.
Припускається, що популяція клітин кісткової тканини і матрикс —
однорідні. Тобто, динаміка їх росту однакова для всіх ділянок кісткової тка-
нини.
Враховуючи результати робіт [15–18], приходимо до такої задачі опти-
мального керування. Нехай +− MM , — мінімальне та максимальне значен-
ня щільності матриксу; −−− KBC ,, — мінімальні та +++ KBC ,, — макси-
мальні значення концентрацій популяцій клітинних елементів здорової
кісткової тканини. Критерій якості:
u
T
MCh nfidtuuMMtMuJ →
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−= ∫
+−
0
22
2
2
)()( , (1)
який вказує на бажану щільність матриксу, що відповідає значенням здоро-
вої кістки.
Для системи рівнянь:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−−+++=
+−=
+−=
−=
,)()()(
,)(
,)(
,)(
MkMKkBMuukCuuk
dt
tdM
MKKdK
dt
tdK
MBBdB
dt
tdB
CdB
dt
tdC
MKMMChBMChC
KMKK
BMBB
CCB
αβ
γβ
β
(2)
задамо початкові умови:
,)( 0CtC = 0)( BtB = , 0)( KtK = , 0)( MtM = . (3)
Тут CBβ , Cd , Bβ , Bd , BMγ , Kβ , Kd , KMα , Ck , Bk , KMk , Mk , 2,1=i
— невід’ємні задані параметри задачі [1].
Обмеження «комфортності лікування»:
max)()(0 ututu MCh ≤+≤ δ , ],0[ Tt∈ . (4)
В.П. Марценюк, Д.В. Вакуленко, І.Є. Андрущак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 110
Якщо 0max =u , то це означає, що відповідне керування відсутнє.
Обмеження токсичності:
+− ≤≤ MtMM )( , +− ≤≤ BtBB )( , +− ≤≤ CtCC )( , +− ≤≤ KtKK )( ,
0)()(1 ≥−= −CtCth , 0)()(2 ≥−= + tCCth , 0)()(3 ≥−= −BtBth ,
0)()(4 ≥−= + tBBth , 0)()(5 ≥−= −KtKth , 0)()(6 ≥−= + tKKth ,
0)()(7 ≥−= −MtMth , 0)()(8 ≥−= + tMMth . (5)
Обмеження (4) має такий зміст: одночасно пацієнт може отримати не
більше MCh uuu δ+=max одиниць медикаментозного препарату та масажу, а
також може бути застосований лише один фактор керування. При цьому
константа δ вказує на той факт, що процедуру масажу в δ разів комфорт-
ніше (або навпаки — менш комфортно) отримати в порівнянні з медикамен-
тозним препаратом. Процедура масажу проводиться перед медикамен-
тозною терапією, що підвищує її ефективність.
Для знаходження підозрілого на оптимальне керування задачі (1)–(5)
скористаємося принципом максимуму Л.С. Понтрягіна для задачі з фазо-
вими обмеженнями [15]. На жаль, зробити це в аналітичному вигляді не
вдається.
Змішані обмеження відсутні, тобто ,0≡ig 2,1=i .
РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧІ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ПРОЦЕСОМ
РЕКОНСТРУКЦІЇ КІСТКОВОЇ ТКАНИНИ
Для розв’язку цієї задачі використовуємо результат [3]. Введемо функцію
Понтрягіна задачі (1)–(5).
+
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
−−=
+−
22
2
00 2
),,,,,,,( MCh uuMMMpuCKBMtH λλ
++−+−+ )()( 21 MBBdBpCdBp BMBBCCB γββ
++++−+ CuukpMKKdKp MChCKMKK )(()( 43 αβ
,))( MkMKkBMuuk MKMMChB −−++ (6)
де })()(0;),{( 2 BtutuRuuU MChMCh ≤+≤∈= δ .
Розглянемо нерегулярний випадок 00 =λ . Функція Понтрягіна прийме
вигляд:
++−+−= )()(),,,,,,( 21 MBBdBpCdBppuCKBMtH BMBBCCB γββ
++++−+ CuukpMKKdKp MChCKMKK )(()( 43 αβ
Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 111
,))( MkMKkBMuuk MKMMChB −−++ (7)
а функція Лагранжа запишеться так:
++−+−= )()(),,,,,,( 21 MBBdBpCdBppuCKBMtL BMBBCCB γββ
−+++++−+ BMuukCuukpMKKdKp MChBMChCKMKK )()(()( 43 αβ
+−+−+−− +− ))()(())()(() 21 tMMtMtMtMkMKk MKM µµ
+−+−+−+ −+− ))()(())()(())()(( 543 BtBttCCtCtCt µµµ
. ))()(())()(())()(( 876 tKKtKtKttBBt −+−+−+ +−+ µµµ (8)
Майже по всій [ ]T,0 виконується принцип максимуму
=)(* tu
)),(,,,),(),(),(),(,(maxarg 0
****
))(),(),(),(,( ****
tuutMtKtBtCtH MCh
tMtKtBtCtu
λλ
Ω∈
=
[ ]Tt ,0∈ . (9)
Умова стаціонарності по u функції Лагранжа:
[ ] [ ] ,0** == tHtL uu (10)
де ),,,),(),(),(),(),(),(,( 0
***** gtututMtKtBtCt
u
LL MChu µλλ
∂
∂
= — часткова
похідна L по u , обчислена протягом оптимального процесу. Спряжена век-
тор-функція )(tp майже всюди задовольнятиме системі диференціальних
рівнянь:
).()(),()(),()(),()( *
4
*
3
*
2
*
1 tLtptLtptLtptLtp MKBC −=−=−=−=
••••
(11)
Повні похідні по t функції H та L співпадають протягом оптимально-
го процесу та рівні частковій похідній по t функції L :
t
tL
dt
tdL
dt
tdH
∂
∂
==
][][][ ***
.
Множники Лагранжа (вектор-функції )(tµ ) задовольняють умові:
,0][)( * =tht iiµ 0)( ≥tiµ , 8,,1…=i . (12)
Введемо функцію перемикання )(tMΦ та )(tChΦ :
)()( 4 BMkCkpt BCM +=Φ , )()( 4 BMkCkpt BCCh +=Φ .
Для знаходження оптимального керування за допомогою масажу та
хіміотерапії розв’яжемо задачу:
Uu
M t
∈
→Φ sup)( , або
Uu
M t
∈
→Φ− inf)( ,
В.П. Марценюк, Д.В. Вакуленко, І.Є. Андрущак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 112
Uu
Ch t
∈
→Φ sup)( , або
Uu
Ch t
∈
→Φ− inf)( .
Знайдемо оптимальне керування, використовуючи принцип максимуму
Понтрягіна:
⎩
⎨
⎧
<Φ
>Φ
=
,0)(,
,0)(,0
)(
max
*
tu
t
tu
Ch
Ch
Ch
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<Φ
>Φ
=
.0)(,
,0)(,0
)( max
*
t
u
t
tu
M
M
M
δ
(13)
Кількість перемикань функцій Mu та Chu на відрізку ],0[ T пов’язана з
числом зміни знака функції )(tMΦ , )(tChΦ та )(tpi , 4,3,2,1=i . Спряжені
функції задовольняють системі інтегральних рівнянь:
,))(()( 121
**
41 ∫ ∫ ∫−+−+−=
T
t
T
t
T
t
CMChC ddddpuukptp µµτ
∫ ++++−+−=
T
t
MChBBMBBCB dMuukpMdpptp τγββ ))()(()( ***
4
*
212
∫∫ −+
T
t
T
t
dd 34 µµ ,
,))(()( 56
*
4
*
33 ∫ ∫∫ −+−+−−=
T
t
T
t
T
t
KMKMKK dddMkpMdptp µµταβ
∫ +++−+−=
T
t
MChBKMKMBM duuBkpkppKBptp ταγ ))()(()( ***
443
**
24
∫∫ −+
T
t
T
t
dd 78 µµ . (14)
Припустимо, що міри iµ мають густину:
,dtd ii ρµ = ,0≥iρ ,8,,2,1 …=i (15)
де iρ — густина міри. Продиференціюємо рівняння (14) по t , враховуючи
припущення (15). Спряжена вектор-функція )(tp майже скрізь задовольняє
системі диференціальних рівнянь:
,)()( 12
**
411 ρρ −++−=
∂
∂
−=•
MChCC uukpdp
C
Ltp
−+−−−=
∂
∂
−=
•
)()( *
212 Mdpp
B
Ltp BMBBCB γββ
,)( 34
***
4 ρρ −++− Muukp MChB
,)()( 56
*
3
*
43 ρραβ −++−−=
∂
∂
−=
•
MdpMkp
K
Ltp KMKKKM
Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 113
−−−−=
∂
∂
−=
•
)()( 43
**
24 KMKMBM kppKBp
M
Ltp αγ
.)( 78
***
4 ρρ −++− MChB uuBkp (16)
Невід’ємні міри 0≥idµ , 8,,2,1 …=i , які визначено на множинах iT ,
,8,,2̀,1 …=i задовольняють умовам:
,0)( 1
* =− − µdCC ,0)( 2
* =−+ µdCC ,0)( 3
* =− − µdBB ,0)( 4
* =−+ µdBB
,0)( 5
* =− − µdKK ,0)( 6
* =−+ µdKK
,0)( 7
* =− − µdMM 0)( 8
* =−+ µdMM . (17)
Використовуючи (15), та враховуючи те, що 0>dt , отримаємо:
,0)( 1
* =− − ρCC ,0)( 2
* =−+ ρCC 0)( 3
* =− − ρBB , ,0)( 4
* =−+ ρBB
,0)( 5
* =− − ρKK ,0)( 6
* =−+ ρKK ,0)( 7
* =− − ρMM 0)( 8
* =−+ ρMM .
Умови трансверсальності мають вигляд [4]:
[ ] [ ]TTTp 121 )( µµ −= , [ ] [ ]TTTp 342 )( µµ −= ,
[ ] [ ]TTTp 563 )( µµ −= , [ ] [ ]TTTp 784 )( µµ −= . (18)
Множник Лагранжа 0λ визначає чутливість оптимального розв’язку
задачі до виду інтегральної частини функціонала. У виродженому випадку
00 =λ функція H є лінійною по Chu та Mu , тому її максимум досягається
на кінцевих Chu та Mu тільки за 0)( ≡tµ (в силу (16)), що суперечить умо-
вам теореми [18]. Тому далі можна покласти 10 =λ .
Розглянемо регулярний випадок 10 =λ .
Функція Понтрягіна прийме вигляд:
+−−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
−−=
+−
22
2
2
),,,,,,( MCh uuMMMpuCKBMtH
++−+−+ )()( 21 MBBdBpCdBp BMBBCCB γββ
++++−+ CuukpMKKdKp MChCKMKK )(()( 43 αβ
),)( MkMKkBMuuk MKMMChB −−++ (19)
а функція Лагранжа матиме такий вигляд:
+−+−−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
−−=
+−
)(
2
),,,,,,( 1
22
2
CdBpuuMMMpuCKBMtL CCBMCh β
++−++−+ )()( 32 MKKdKpMBBdBp KMKKBMBB αβγβ
В.П. Марценюк, Д.В. Вакуленко, І.Є. Андрущак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 114
+−−++++ ))()((4 MkMKkBMuukCuukp MKMMChBMChC
+−+−+−+ −+− ))()(())()(())()(( 321 CtCttMMtMtMt µµµ
+−+−+−+ +−+ ))()(())()(())()(( 654 tBBtBtBttCCt µµµ
)).()(())()(( 87 tKKtKtKt −+−+ +− µµ (20)
Запишемо принцип максимуму Понтрягіна:
=)(* tu
)),(,,,),(),(),(),(,(maxarg 0
******
))(),(),(),(,( ****
tuutMtKtBtCtH MCh
tMtKtBtCtu
λλ
Ω∈
=
[ ]Tt ,0∈ . (21)
Для знаходження оптимального керування розв’яжемо задачу:
[ ] ,min)(
max)(0
4
2
utu
BCCh
Ch
Ch
BMkCkupu
≤≤
→++−
[ ] .min)(
max)(0
*
4
2
utu
BCM
Ch
M
BMkCkupu
≤≤
→++−
Введемо функцію перемикання )(tMΦ та )(tChΦ :
)()( 4 BMkCkpt BCM +=Φ , )()( 4 BMkCkpt BCCh +=Φ .
Оптимальне керування має вигляд:
,sup)(
Uu
M t
∈
→Φ ,inf)(
Uu
M t
∈
→Φ−
,sup)(
Uu
Ch t
∈
→Φ
Uu
Ch t
∈
→Φ− .inf)(
Знайдемо оптимальне керування, використовуючи принцип максимуму
Понтрягіна:
⎩
⎨
⎧
<Φ
>Φ
=
,0)(,
,0)(,0
)(
max
*
tu
t
tu
Ch
Ch
Ch
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<Φ
>Φ
= .0)(,
,0)(,0
)( max
*
t
u
t
tu
M
M
M
δ
(22)
Кількість перемикань функцій Mu та Chu на відрізку ],0[ T пов’язана з
числом зміни знака функції )(tMΦ , )(tChΦ та )t(pi , 4,3,2,1=i . Спряжені
функції для оптимального керування за допомогою хіміотерапії та масажу
мають однаковий вигляд та задовольняють системі інтегральних рівнянь:
,
2
)(
)( 121
4
1 ∫ ∫ ∫−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−=
T
t
T
t
T
t
C
MChC ddddp
uukp
tp µµτ
∫ ++++−+−=
T
t
MChBBMBBCB duuMkpMdpptp τγββ ))()(()( ***
4212
Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 115
∫∫ −+
T
t
T
t
dd 34 µµ ,
,))(()( 56433 ∫ ∫∫ −+−+−−=
T
t
T
t
T
t
KMKMKK dddMkpMdptp µµταβ
∫ +⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ++−+
−=
T
t
MChBKMKMBM d
uuBkpkppKBp
tp τ
αγ
2
)()(
)(
***
4432
4
∫∫ −+
T
t
T
t
dd 78 µµ . (23)
Продиференціюємо рівняння (14) по ,t враховуючи припущення (15):
,)()( 12
**
411 ρρ −++−=
∂
∂
−=
•
MChCC uukpdp
C
Ltp
−+−−−=
∂
∂
−=
•
)()( *
212 Mdpp
B
Ltp BMBBCB γββ
,)( 34
***
4 ρρ −++− MChB uuMkp
,)()( 56
*
3
*
43 ρραβ −++−−=
∂
∂
−=
•
MdpMkp
K
Ltp KMKKKM
+
++−+
=
∂
∂
−=
•
2
)()(
)(
***
443
**
2
4
MChBKMKMBM uuBkpkppKBp
M
Ltp
αγ
.78 ρρ −+ (24)
Дослідимо рух по фазовій границі:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
<
= −
−
,,
,,0
1 CCС
CC
µ
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
<
= +
+
,,
,,0
2 CCC
CC
µ
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
<
= −
−
,,
,,0
3 BBB
BB
µ
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
<
= +
+
,,
,,0
4 BBB
BB
µ
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
<
= −
−
,,
,,0
5 KKK
KK
µ
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
<
= +
+
,,
,,0
6 KKK
KK
µ
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
<
= −
−
,,
,,0
7 MMM
KM
µ
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
<
= +
+
.,
,,0
8 MMM
MM
µ (25)
З принципу максимуму випливає, що оптимальне керування задо-
вольняє умовам:
),()( tptu i=∗ ,4,,1…=i ),()( 1
* tptC =
•
),()( 2 tptB =
∗•
),()( 3 tptK =
∗•
)()( 4 tptM =
∗•
.
Використовуючи (2–5) та (16–17), отримаємо:
В.П. Марценюк, Д.В. Вакуленко, І.Є. Андрущак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 116
,)( 12
**
41 ρρ −++−=
••
MChCC uukpdpC
,)()( 34
***
4
*
21 ρργββ −++−+−−−=
••
MMBkCkkpMdppB BCBBMBBCB
,)( 56
*
3
*
4 ρραβ −++−−=
••
MdpMkpK KMKKKM
.
2
)()(
78
***
443
**
2 ρρ
αγ
−+
++−+
=
••
MChBKMKMBM uuBkpkppKBp
M (26)
З умови доповнюючої не жорсткості при +− << MtMM )( , <<− )(tBB
+< B , +− << CtCC )( , +− << KtKK )( 0=iµ , 8,,2,1 …=i . Якщо 0C > ,
0>B , 0>K , 0>M , то функції MKBC ,,, задовольнють рівнянням
.,,, MMKKBBCC ====
••••••••
Виходячи з (1):
ττ −+= BeAeM . (27)
Оскільки
•
M є неперервною функцією, то в першій точці τ контакту M
із фазовими обмеженнями виконується умова ∗= MM )(τ . Похідні функції
справа та зліва співпадають і 0)( =
•
τM . Ми маємо систему рівнянь для ви-
значення параметрів руху τ,, BA . Початковими значеннями для щільності
матриксу приймемо 0M , значення ∗M вздовж оптимального процесу .M
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+=
=−=
=−=
∗−
∗−
.)(
,)0(
,)(
0
MBeAeM
MBAM
MBeAeM
ττ
ττ
τ
τ
(28)
Розв’язуючи систему (27), знаходимо значення сталих τ,, BA :
,0=B 0MA = , .ln 0
*
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
M
Mτ
Обчислимо функцію Понтрягіна протягом оптимального розв’язку:
=),,,,,,,( puuCKBMtH MCh
+−+−−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
−−=
+−
)(
2 1
22
2
* CdBpuuMMM CCBMCh β
++−++−+ )()( *
3
*
2 KMKdKpBMBdBp KMKKBMBB αβγβ
).)()(( **
4 MkMKkBMuukCuukp MKMMChBMChC −−++++ (29)
Приведене обчислення показує, що функція Понтрягіна є сталою по
всій оптимальній траєкторії по M . Цього і слід було очікувати через авто-
номність вказаної задачі.
Побудова аналітичного розв’язку цієї задачі має певні складності. Тут
ми сформулювали тільки крайову задачу принципу максимуму, яка може
бути розв’язана чисельними методами.
Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 117
ЧИСЕЛЬНИЙ ЕКСПЕРИМЕНТ
За допомогою VisSim (візуальний стимулятор — програма моделювання
технічних та фізичних об’єктів та систем) здійснено кількісне дослідження
оптимального керування медикаментозної терапії для моделі реконструкції
кісткової тканини на основі звичайних диференційних рівнянь у випадку,
коли:
0,78=βCB ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
3смдіб
клітинг , 0,8=dC ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
3смдіб
клітинг , 21=Bβ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
3смдіб
клітинг ,
22=d B ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
3смдіб
клітинг , 47,0=γBM ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
6
2
смдіб
клітинг , 10000=βK ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
3смдіб
клітинг ,
1=d K ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
3смдіб
клітинг , 10=αKM ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
6
2
смдіб
клітинг , 12,0=kB ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
6
2
смдіб
клітинг
,
12,0=kM ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
3смдіб
клітинг
, ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
= 312,0
смдіб
клітингkC , 12,0=kKM ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
6
2
смдіб
клітинг .
Початкові умови:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 3
0 0,7
см
клітинC , ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 3
0 2,42
см
клітинВ ,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 3
0 0,2
см
клітинК , ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 3
0 0,6
см
гМ .
Обмеження «комфортності лікування»: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 3max
см
5 гu .
Обмеження токсичності:
,7,0 3 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=−
см
клітинC ,2,2 3 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=+
см
клітинC ,6,0 3 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=−
см
клітинB
,5 3 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=+
см
клітинB ,0 3 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=−
см
клітинK ,5,1 3 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=+
см
клітинK
,9,0 3 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=−
см
клітинM .1,1 3 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=+
см
клітинM
Приймемо значення по всьому оптимальному процесу для
,1
3
* ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
см
клітинC ,1 3
* ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
см
клітинB ,1 3
* ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
см
клітинK ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 3
* 1
см
клітинM .
Було розв’язано систему з восьми звичайних диференціальних рівнянь
та блок-схеми, що зображено на рис. 1, рис. 2. На рис. 3 зображено блок-
схему оптимального керування (19). У блок-схемах рис. 1–3 вказано назви
В.П. Марценюк, Д.В. Вакуленко, І.Є. Андрущак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 118
змінних у програмі на VisSim, які відповідають змінним й параметрам моде-
лі, яка розглядається (1)–(5). У результаті розв’язку системи з восьми зви-
чайних диференціальних рівнянь було отримано оптимальне керування
процесу ремоделювання кісткової тканини (рис. 4). З біологічної точки зору,
для приведення щільності кісткової тканини до норми необхідно з першого
по четвертий, з шостого по восьмий, з дванадцятого по тринадцятий (вісім-
надцятий) день ввести пацієнту медикаментозноий препарат, який би
збільшив концентрацію остеобластів на ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 3max
см
5 клітинu . Результати роз-
рахунку зміни щільності матриксу під впливом керуючого фактора u (дії
медикаментозного препарату та масажу) показано на рис. 5. На рис. 6, 7, 8
зображено результати розрахунку зміни концентрацій остеобластів, остео-
цитів, остеобластів під впливом керуючого фактора u .
Рис. 1. Блок-схема системи рівнянь (2)
C
B
*
*
dC
betaCB
+
-
C
1/S
K
*
*
*
+
+
dK
betaK
alphaKM
*
+
-
M
1/S
K
M
*
kB
kC
*
kKM
kM
*
*
*
+
+
*
*
+
-
+
-
1/S
C
K
u
M
B
M
+
+
*
*
*
gamaBM
dB
betaB
*
+
-
B
1/S
Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 119
Рис. 2. Блок-схема спряженої системи рівнянь (24)
p1+
-
C-
+
-
*
1/S
p4
p1
u*
+
+
+
dC
*
*
kC
C
-X
C+
+
-
p2
1/S
*betaCB
p1
betaB *
p2
*
dB
p2
*
gamaBM *
p2
M*
kB
*p4 *
u*
*
+
+
+
+
-
+
+
+
B
B +
-
B-
+
-
+
-
B+
p3
K-
+
-
+
-
1/S
p4
p3
M*
K
K
kM
**
*
betaK
*dK
*
alphaKM
+
-
*
+
+
+
+
-
K+
+
-
p4
+
-
1/S
p3
p2
M
B*
*
*
gamaBM
*
*
alphaKM
+
-M-
M
kM
*p4
+
-
*
+
+
+
kB
*p4 *
u*
B*
*
M+
+
-
+
+
+
M
2
*
K*
В.П. Марценюк, Д.В. Вакуленко, І.Є. Андрущак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 120
umerge
b
t
f
p4
>=l
r0
0
B1
Рис. 3. Блок-схема оптимального керування (22)
Рис. 4. Результати розрахунку оптимального керування процесом ремоделювання
кісткової тканини
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
Time (days)
Керування за допомогою
Масажу Хіміотерепії
Рис. 5. Результати розрахунку зміни щільності матриксу під впливом керуючого
фактора u
Time (days)
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
Рис. 6. Результати розрахунку зміни концентрації остеобластів під впливом керую-
чого фактора u
5
4
3
2
1
Time (days)
Оптимальне керування режимами медикаментозної терапії та фізіотерапії …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 121
ВИСНОВКИ
Таким чином, розглянуто задачу побудови режимів медикаментозної терапії
та масажу як задачу оптимального керування з фазовими обмеженнями.
Запропоновану методику можна використовувати як для перевірки оп-
тимальності вже існуючих режимів медикаментозної терапії та масажу, так і
для побудови нових. Відзначимо, що розглянута система може бути викори-
стана також для моделювання терапевтичного лікування під час допомоги n
терапевтичних методик з впливом на інші ланки процесу реконструкції кіс-
ткової тканини шляхом введення додаткових змінних. Цей підхід було чисе-
льно реалізовано за допомогою програми VisSim, що дозволило знайти оп-
тимальне керування з фазовими обмеженнями для реконструкції кісткової
тканини.
В подальших дослідженнях необхідно врахувати неоднорідність
кісткової тканини, а також блокуючу дію медикаментозної препаратів на
клітинні цикли.
Рис. 7. Результати розрахунку зміни концентрації остеоцитів під впливом керуючо-
го фактора u
Time (days)
2,5
2
1,5
1
0,5
Рис. 8. Результати розрахунку зміни концентрації остеокластів під впливом керую-
чого фактора u
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5 Time (days)
В.П. Марценюк, Д.В. Вакуленко, І.Є. Андрущак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 122
ЛІТЕРАТУРА
1. Зайцев Ю.А. Структура модели метаболизма щелочноземельных элементов //
Радиобиология, 1988. — Т. 28, Вып. 6. — С. 852–856.
2. Guillaume T. Charras, Mike A. Horton. Determination of cellular strains by com-
bined atomic force microscopy and finite element modeling // Biophys Journal.
— 2002. — 83. — № 2. — Р. 858–879.
3. Winsor C.P. The gompertz curve as a growth curve // Proceedings of the National
Academy of Sciences of the United States of America. — 1932. — 18. — № 1.
— Р. 1–8.
4. Weiss C.M., Weiss A. Principles and Practice of Implant Dentistry. — St. Lousis:
Mosby Inc., 2001. — 447 p.
5. MacArthur B.D. et al. Bone cell remodelling // Biochemical and Biophysical Re-
search Communications. — 2003. — 313. — Р. 825–833.
6. Deen W.M. Hindered transport of large molecules in liquid-filled pores // American
Institute of Chemical Engineers Journal. — 1987. — 33. — № 9. — Р. 1409–
1425.
7. Chen C.Y., Byrne H.M., King J.R. The influence of growthinduced stress from the
surrounding medium on the development of multicell spheroids // Journal of
Mathematical Biology. — 2001. — 43. — № 3. — Р. 191–220.
8. Please C.P. Pettet G., McElwain D.L.S. A new approach to modelling the formation
of necrotic regions in tumours // Applied Mathematics Letters. — 1997. — 11.
— № 3. — Р. 89–94.
9. Kozusko F., Bajzer Z.Z. Combining gompertzian growth and cell population dy-
namics // Mathematical Biosciences. — 2003. — 185. — № 2. — Р. 153–167.
10. Pettet G.J., Please C.P., Tindall M.J., McElwain D.L.S. The migration of cells in
multicell tumour spheroids // Bulletion Mathematical Biology. — 2001. — 63.
— № 2. — Р. 231–257.
11. Tindall M. Modelling cell movement and the cell cycle in multicellular tumour sphe-
roids // Ph.D. Thesis, Faculty of mathematicalstudies, Southampton University.
— 2002. — 2. — P. 57–63.
12. Zhang X.-W., Audet J., Piret J.M., Li Y.-X. Cell cycle distribution of primitive
haematopoietic cells stimulated in vitro and in vivo // Cell Proliformation. —
2001. — 34. — Р. 321–330.
13. Savill N.J. Mathematical models of hierarchically structured cell populations under
equilibrium with applications to the epidermis // Cell Proliformation. — 2003. —
№ 36. — Р. 1–26.
14. Марценюк В.П., Вакуленко Д.В. Оптимальное управление режимами химиоте-
рапии в задаче реконструкции костной ткани // Кибернетика и вычисли-
тельная техника. — 2007. — Вып. 154. — С. 92–106.
15. Андреева Е.А., Бенке Х. Оптимизация управления систем. — Тверь: ТверГУ,
1996. — 164 с.
16. Андреев В.М., Тихомиров И.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. — М.:
Наука. Глав. редакция физ.-мат. лит-ры, 1979. — 224 c.
17. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конст-
руирования систем управления: учеб. пособ. для вузов. — М.: Высш. шк. —
447 с.
18. Сотсков А.И., Колесник Г.В. Оптимальное управление в примерах и задачах.
— М.: Российская экономическая шк. — 2002. — 58 с.
Надійшла 14.10.2009
|