Наближений регулятор для еволюційного включення субдиференціального типу
Розглянуто задачу оптимальної стабілізації для еволюційного включення субдиференціального типу з неліпшицевою многозначною функцією взаємодії eF(y), де e>0 — малий параметр. За умови, що при e=0 задача допускає оптимальний регулятор u[y], доведено, що формула u[y] забезпечує наближену стабілізаці...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50152 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Наближений регулятор для еволюційного включення субдиференціального типу / О.А. Капустян, В.В. Ясінський // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 1. — С. 87-93. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859595501251330048 |
|---|---|
| author | Капустян, О.А. Ясінський, В.В. |
| author_facet | Капустян, О.А. Ясінський, В.В. |
| citation_txt | Наближений регулятор для еволюційного включення субдиференціального типу / О.А. Капустян, В.В. Ясінський // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 1. — С. 87-93. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Системні дослідження та інформаційні технології |
| description | Розглянуто задачу оптимальної стабілізації для еволюційного включення субдиференціального типу з неліпшицевою многозначною функцією взаємодії eF(y), де e>0 — малий параметр. За умови, що при e=0 задача допускає оптимальний регулятор u[y], доведено, що формула u[y] забезпечує наближену стабілізацію вихідної задачі при малих e>0.
Рассматрена задача оптимальной стабилизации для эволюционного включения субдифференциального типа с нелипшицевой многозначной функцией взаимодействия eF(y), где e>0 — малый параметр. При условии, что при e=0 задача допускает оптимальный регулятор u[y], доказано, что формула u[y] обеспечивает приближенную стабилизацию исходной задачи при малых e>0.
A problem of an optimal stabilization for evolutional inclusion of subdifferential type with non-Lipschitz multi-valued interaction function eF(y), where e>0 is a small parameter, is considered. Under the condition where e=0 the problem admits optimal regulator u[y], it is proved that the formula u[y] guarantees approximated stabilization of the initial problem under small e>0.
|
| first_indexed | 2025-11-27T19:29:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
© О.А. Капустян, В.В. Ясінський, 2012
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 87
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
УДК 517.977
НАБЛИЖЕНИЙ РЕГУЛЯТОР ДЛЯ ЕВОЛЮЦІЙНОГО
ВКЛЮЧЕННЯ СУБДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ТИПУ
О.А. КАПУСТЯН, В.В. ЯСІНСЬКИЙ
Розглянуто задачу оптимальної стабілізації для еволюційного включення суб-
диференціального типу з неліпшицевою многозначною функцією взаємодії
)( yFε , де 0>ε — малий параметр. За умови, що при 0=ε задача допускає
оптимальний регулятор ][yu , доведено, що формула ][ yu забезпечує набли-
жену стабілізацію вихідної задачі при малих .0>ε
ВСТУП
Розглядається задача оптимальної стабілізації для еволюційного включення
з субдиференціальною головною частиною — ϕ∂ та неліпшицевим многоз-
начним збуренням )(yFε , де 0>ε — малий параметр. Методи розв’язання
нескінченновимірних еволюційних задач із розривними та многозначними
коефіцієнтами активно розвиваються у зв’язку з численними застосування-
ми в механіці та фізиці‚ починаючи з 70-х рр. минулого сторіччя [1–3]. Сис-
темний підхід до вивчення питань розв’язності‚ прогнозування та керова-
ності для таких об’єктів було застосовано в роботах [4–7].
Мета роботи — з’ясування умов на відображення ϕ та F , при яких
формула точного регулятора цієї задачі при 0=ε дає наближений розв’язок
вихідної задачі стабілізації при малих 0>ε .
Задача наближеного синтезу для таких об’єктів на скінченному про-
міжку часу розв’язана в [8], задача наближеної стабілізації для включення
параболічного типу — у [9].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Нехай H — сепарабельний гільбертів простір; ⋅ і ),( ⋅⋅ — норма та ска-
лярний добуток у H ; ];(: ∞+−∞→Hϕ — власна, опукла, напівнеперервна
знизу функція, HDclH =))(( ϕ ; ϕ∂ — її субдиференціал; )(HСv — сукуп-
ність замкнених‚ опуклих, обмежених підмножин H ; )(: HCHF v→ —
многозначне відображення; 0>ε — малий параметр, .Hg∈
О.А. Капустян, В.В. Ясінський
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 88
Розглядається задача стабілізації
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈
+−−∂∈
,=(0)
0,>),())(())((
0 Hyy
ttgutyFty
dt
dy εϕ (1)
,0,опуклазамкнена,)(0,)( 2 ULUu ∈+∞⊆∈⋅ (2)
.inf))()((=),( 22
0
→+∫
+∞
dttutyuyJ γ (3)
Припустимо, що }~,~{ εε uy — оптимальний процес в (1)–(3), =εJ~
)~,~( εε uyJ= . Нехай при 0=ε відома формула оптимального регулятора
][yu . Розглянемо задачу:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ +−−∂∈
.=(0)
0,>)],([))(())((
0yy
ttygutyFty
dt
dy εϕ (4)
Нехай εŷ — розв’язок задачі (4), ])ˆ[,ˆ(=ˆ εε
ε yuyJJ .
Основним завданням роботи є обгрунтувати граничну рівність
0.|=ˆ~|lim
0
εε
ε
JJ −
→
(5)
Рівність (5) означає, що ми можемо коректно використовувати формулу
регулятора незбуреної задачі (при 0=ε ) для наближеної стабілізації
вихідної (збуреної) задачі.
Наприклад, у випадку
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∞+
Ω∈∇∫
Ω
,інакше,
),(,||
2
1
=)(
1
0
2 Hudxu
uϕ
uu ∆−∂ =)(ϕ і маємо включення параболічного типу, розглянене в [9]. Про-
те, у багатьох задачах механіки та фізики з вільною межею [1, 2] та в проце-
сах, які описують потік однорідного газу через однорідне пористе середо-
вище [3], виникають крайові задачі виду:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
Ω×+∞∋
Ω×+∞∋∆−
,)(0,на0)),((
,)(0,на,)(
xtu
fu
dt
du
β
β (6)
де j∂=β , RRj →: — неперервна, ∞
∞→
=
||
)(
lim
|| r
rj
r
.
Тоді (6) зводиться до включення вигляду ,)( fu
dt
du
+−∂∈ ϕ де
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∞+
Ω∈Ω∈∫
Ω
,інакше,
),()(),(,))((
=)(
11 LujLudxxuj
uϕ з )(=)( 1 Ω−HD ϕ .
Наближений регулятор для еволюційного включення субдиференціального типу
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 89
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ
Розглянуто такі умови на параметри задачі (1)–(3):
1) })(,|{=множина0> RuRuHuMR R ≤≤∈∀ ϕ — ;y компакт H
2) )(: HCHF v→ — ;зверху ервнанапівнепер
3) ;)(1sup=:)(0> 1
)(
1 uCzuFHuC
uFz
+≤∈∀∃
∈
+
4) 2
2
)(
2 ),(inf0 uCuHuС
uF
−≥∈∀>∃
∈
ξ
ξ
;
5) 0>δ∃ )( ϕ∂∈∀ Dy )(yu ϕ−∂∈∀ . ),( 2yyu δ−≤
Задача (1)–(3) при 0=ε має єдиний розв’язок }~,~{ uy , причому має
місце закон оберненого зв’язку
)].(~[=)(~ tyutu (7)
Відображення HHu →: неперервне,
.<|][|
sup
0 gy
yu
y
δ
≠
(8)
Лема. За умов 1–5 задача (1)–(3) для достатньо малих 0>ε має
розв’язок }~,~{ εε uy .
Доведення. При фіксованому ,Uu∈ ∞∫
+∞
<)(=: 2
0
2 dttuu U задача (1)
для 0>ε∀ має принаймні один (сильний) розв’язок [7], для якого справед-
ливі такі оцінки з константами 0>1δ , 0>C , які не залежать від 0>ε :
0)(0,0> 00 ≥≥∀∈∀∃ stεεε ,
≤−+−≤ −− ∫ dppupteCstesyty
t
s
)()()()()( 21122 δδ
,)()( 212
UuCstesy +−≤ −δ (9)
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≤ ∫∫ dppuCsydppy
t
s
t
s
)()(1)( 22
1
2
δ
( ).)(1 22
1
UuCsy +≤
δ
(10)
З цих оцінок випливає, що ∞<),( uyJ . Нехай εJ~ — значення задачі
(1)–(3). Виберемо Uun ⊂}{ так, щоб
n
JuyJ nn
1~),( +≤ ε . Тоді 1~2 +≤ εJu Un
О.А. Капустян, В.В. Ясінський
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 90
0nn ≥∀ . Отже, Uu ∈∃~ таке, що по підпослідовності uu
w
n
~→ в )(0,2 TL
0>T∀ .
Надалі будемо позначати fuyIy ),(= 0ε — розв’язок задачі Коші
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈
+−−∂∈
,=(0)
0,>),()())((
0 Hyy
ttugtfty
dt
dy εϕ (11)
де ))(()( tyFtf ∈ майже скрізь. Тоді nnn fuyIy ),(= 0ε , ))(()( tyFtf nn ∈
майже скрізь і за умовою 3 і оцінкою (9) mtfn ≤)( майже скрізь. Тоді з [7]
ff
w
n
~
→ в );(0,2 HTL , yyn
~→ в )];([0, HTC , де .)~,(=~
0 fuyIy ε Відповідно
до теореми Мазура [10]: скрізь майже)(cocl)(
=1=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∈
∞∞
tftf k
nk
H
n
∪∩ .
Отже, з умови 2 ))(~()( tyFtf ∈ майже скрізь. Таким чином, }~,~{ uy —
допустимий процес у задачі (1)–(3) та з нерівності ≥),( nn uyJ
dttudttyuyJ n
T
n
T
nnT )()(=:),( 2
0
2
0
∫∫ +≥ γ маємо 0>T∀
).~,~()(lim)(lim),(lim~ 2
0
2
0
uyJdttudttyuyJJ Tn
T
n
n
T
n
nnT
n
≥+≥≥ ∫∫
∞→∞→∞→
γε
Тому )~,~(=~ uyJJε , отже, }~,~{ uy — оптимальний процес у задачі (1)–(3). Ле-
му доведено.
Оскільки ][yuy — неперервне, y
g
yu δ<][ , то згідно з [7] задача
(4) має розв’язок, причому справедливі такі оцінки з константами 0>2δ ,
0>~C , які не залежать від ε : 0)(0,0> 00 ≥≥∀∈∀∃ stεεε
,)(~)]([,)()()( 222 tyCtyusystety ≤−≤ −δ (12)
із яких, зокрема, маємо, що ∞<])[,( yuyJ .
Теорема. Нехай виконані умови 1–5, а також (7)–(8), }~,~{ εε uy — оп-
тимальний процес у задачі (1)–(3), )~,~(=~ εε
ε uyJJ , εŷ — розв’язок задачі
(4), ])ˆ[,ˆ(=ˆ εε
ε yuyJJ . Тоді
.0=|ˆ~|lim
0
εε
ε
JJ −
→
(13)
Доведення. Спочатку покажемо, що 0
ˆ JJ →ε , 0→ε , де )~,~(=0 uyJJ ,
}~,~{ uy — єдиний оптимальний процес у задачі (1)–(3) при 0=ε .
Наближений регулятор для еволюційного включення субдиференціального типу
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 91
Нехай εŷ — розв’язок задачі (4), ε
ε
ε
ε fyuyIy ])ˆ[,(=ˆ 0 , ∈)(tfε
))(ˆ( tyF ε∈ майже скрізь. З оцінок (12) і умови 3 випливає, що mtfn ≤)(
майже скрізь. Тоді з [7] отримаємо, що yy ˆˆ →ε в )](ˆ[)](ˆ[ tyutyu →ε
][0,Tt∈∀ , тобто ŷ — розв’язок задачі при 0=ε . В силу максимальної мо-
нотонності ϕ∂ [3] задача (4) при 0=ε має єдиний розв’язок. Тому згідно
з (7) ])ˆ[,ˆ(=0 yuyJJ , тобто ]}ˆ[,ˆ{ yuy — оптимальний процес в (1)–(3) при
0.=ε
З оцінок (12) маємо, що 0≥∀ t
).~(1)](ˆ[)(ˆ 22
0
222
Cytetyuty +≤+ −δεε γ
Оскільки 0≥∀ t )(ˆ)(ˆ tyty →ε , )](ˆ[)](ˆ[ 22 tyutyu →ε при 0→ε , то
за теоремою Лебега
.=])ˆ[,ˆ(=ˆlim 0
0
JyuyJJε
ε→
(14)
Покажемо, що 0
~ JJ →ε , 0→ε . Нехай )~,~(=~ εε
ε uyJJ , де }~,~{ εε uy —
оптимальний процес в (1)–(3).
Припустимо, що εz — розв’язок задачі (1) з керуванням .0= Uu ∈
Тоді з оптимальності εu~ маємо:
.)(1)ˆ(1~
1
2
02
0
2
γδγγ
εεε y
dttzuJu
U
≤≤≤ ∫
+∞
(15)
Повторюючи попередні міркування, випливає, що існує Uu ∈~ таке, що
по підпослідовності 0>T∀ uu
w ~~ →ε в )(0,2 TL , yy ~~ →ε в )];([0, HTC , де
y~ — розв’язок задачі (1) з 0=ε , uu ~= . Зокрема, 0>T∀
),~,~()~,~(lim~lim
00
uyJuyJJ TT ≥≥
→→
εε
ε
ε
ε
тобто
).~,~(~lim
0
uyJJ ≥
→
ε
ε
(16)
За принципом оптимальності Беллмана 0>T∀ процес }~,~{ εε uy на
),[ ∞T є оптимальним для задачі (1)–(3) із початковими даними ))(~,( TyT ε .
Отже,
,)(|)(~|)(~ 222
dttpdttudtty
TTT
εεε γ ∫∫∫
+∞+∞+∞
≤+ (17)
де εp — розв’язок задачі (1) на ),[ ∞+T з керуванням 0=u та початковими
даними .))(~,( TyT ε З (9), (10) маємо:
О.А. Капустян, В.В. Ясінський
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 92
.)(~1)(
2
1
2
Tydttp
T
εε
δ
≤∫
+∞
(18)
Тепер зафіксуємо Uu∈ і відповідний розв’язок εw задачі (1). Тоді
аналогічно попереднім міркуванням 0>T∀ ww →ε в )];([0, HTC , де
)();([0, 2 Ω+∞∈ LCw — розв’язок задачі (1) при 0=ε з керуванням u . Крім
того,
.)()(1)( 22
1
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≤ ∫∫
+∞+∞
dttuCdtTwdttw
TT
εε
δ
(19)
Тоді з нерівності ),(~ uwJJ ≤ε та оцінок (17)–(19) для 0>T∀ маємо:
.)()(1)()()~,~( 2
1
2
1
2
0
2
0
dttuCTwdttudttwuyJ
T
T
T ∫∫∫
+∞+∞
+++≤
δδ
γ εεεε (20)
Звідси
≤≤
→
)~,~(lim)~,~(
0
εε
ε
uyJuyJ TT
.)()()()(1 2
1
2
0
2
0
2
1
dttuCdttudttwTw
T
T
∫∫∫
+∞+∞
+++≤
δ
γ
δ
(21)
Тоді при ∞→T маємо, що ),()~,~( uwJuyJ ≤ .Uu∈∀
Отже, }~,~{ uy — оптимальний процес у задачі (1)–(3) із 0=ε . Тепер у
попередніх міркуваннях покладемо uu ~= . Тоді внаслідок єдиності yw ~~ →ε
в )];([0, HTC і маємо оцінку
,)(~|)(~|1)(~|)(~|lim 2
1
2
1
2
0
2
0
0
dttuCTydttudttu
T
∫∫∫
+∞+∞+∞
→
++≤
δδ
γ ε
ε
(22)
з якої при ∞→T маємо
.)(~|)(~|lim 2
0
2
0
0
dttudttu ∫∫
+∞+∞
→
≤ε
ε
Таким чином, uu ~~ →ε в )(0,2 ∞+L і оскільки
,)(~1)~,~(~ 2
1
TyuyJJ T
εεε
ε δ
+≤
то
.)(~1)~,~(~lim 2
10
TyuyJJ T δε
ε
+≤
→
Отже, при ∞→T одержуємо
,=)~,~(~lim 00
JuyJJ ≤
→
ε
ε
Наближений регулятор для еволюційного включення субдиференціального типу
Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 93
що разом із (16) гарантує збіжність 0
~ JJ →ε , 0→ε . Припускаючи від су-
противного, що збіжність йде не по всій послідовності 0→ε , можемо по-
вторити попередні міркування і, внаслідок єдиності оптимального процесу
}~,~{ uy , дійти до протиріччя. Теорему доведено.
ВИСНОВКИ
У роботі розглянено задачу оптимальної стабілізації для еволюційного
включення субдиференціального типу з нелінійним доданком )(yFε , де
0>ε — малий параметр. Доведено, що вихідна задача має розв’язок за пев-
них умов, накладених на параметри. За умови, що при 0=ε задача допускає
оптимальний регулятор, обґрунтовано, що такий регулятор забезпечує на-
ближену стабілізацію вихідної задачі при малих 0>ε .
ЛІТЕРАТУРА
1. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Пер. с
фр. Л.Р. Волевича. — М.: Мир, 1972. — 587 с.
2. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. — М.: Наука, 1980. —
382 с.
3. Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces. — Ley-
den: Noordhoff, 1976. — 360 p.
4. Иваненко В.И., Мельник В.С. Вариационные методы в задачах управления для
систем с распределенными параметрами. — К.: Наук. думка, 1988. — 288 c.
5. Згуровский М.З., Мельник В.С., Новиков А.Н. Прикладные методы анализа
и управления нелинейными процессами и полями. — К.: Наук. думка,
2004. — 588 с.
6. Zgurovsky M.Z., Mel’nik V.S., Kasyanov P.O. Evolution inclusions and variational
inequalities for Earth data processing. — NY.: Springer, 2011. — 250 p.
7. Kapustya O.V., Mel’nik V.S., Valero J., Yasinsky V.V. Global attractors of multi-
valued dynamical systems and evolution equations without uniqueness. — К.:
Наук. думка, 2008. — 215 p.
8. Ясінський В.В., Капустян О.А. Наближені екстремальні розв’язки для еволю-
ційних включень субдиференціального типу // Системні дослідження та
інформаційні технології. — 2009. — № 4. — С. 109–116.
9. Капустян О.А. Задача наближеної стабілізації для параболічного включення //
Журнал обчислювальної та прикладної математики. — 2011. — № 1. —
С. 62–67.
10. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — 623 с.
Надійшла 26.12.2011
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50152 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-27T19:29:12Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Капустян, О.А. Ясінський, В.В. 2013-10-05T23:56:58Z 2013-10-05T23:56:58Z 2012 Наближений регулятор для еволюційного включення субдиференціального типу / О.А. Капустян, В.В. Ясінський // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 1. — С. 87-93. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50152 517.977 Розглянуто задачу оптимальної стабілізації для еволюційного включення субдиференціального типу з неліпшицевою многозначною функцією взаємодії eF(y), де e>0 — малий параметр. За умови, що при e=0 задача допускає оптимальний регулятор u[y], доведено, що формула u[y] забезпечує наближену стабілізацію вихідної задачі при малих e>0. Рассматрена задача оптимальной стабилизации для эволюционного включения субдифференциального типа с нелипшицевой многозначной функцией взаимодействия eF(y), где e>0 — малый параметр. При условии, что при e=0 задача допускает оптимальный регулятор u[y], доказано, что формула u[y] обеспечивает приближенную стабилизацию исходной задачи при малых e>0. A problem of an optimal stabilization for evolutional inclusion of subdifferential type with non-Lipschitz multi-valued interaction function eF(y), where e>0 is a small parameter, is considered. Under the condition where e=0 the problem admits optimal regulator u[y], it is proved that the formula u[y] guarantees approximated stabilization of the initial problem under small e>0. uk Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Наближений регулятор для еволюційного включення субдиференціального типу Приближенный регулятор для эволюционного включения субдифференциального типа Close regulator for evolutional inclusion of subdifferential type Article published earlier |
| spellingShingle | Наближений регулятор для еволюційного включення субдиференціального типу Капустян, О.А. Ясінський, В.В. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| title | Наближений регулятор для еволюційного включення субдиференціального типу |
| title_alt | Приближенный регулятор для эволюционного включения субдифференциального типа Close regulator for evolutional inclusion of subdifferential type |
| title_full | Наближений регулятор для еволюційного включення субдиференціального типу |
| title_fullStr | Наближений регулятор для еволюційного включення субдиференціального типу |
| title_full_unstemmed | Наближений регулятор для еволюційного включення субдиференціального типу |
| title_short | Наближений регулятор для еволюційного включення субдиференціального типу |
| title_sort | наближений регулятор для еволюційного включення субдиференціального типу |
| topic | Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| topic_facet | Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50152 |
| work_keys_str_mv | AT kapustânoa nabliženiiregulâtordlâevolûcíinogovklûčennâsubdiferencíalʹnogotipu AT âsínsʹkiivv nabliženiiregulâtordlâevolûcíinogovklûčennâsubdiferencíalʹnogotipu AT kapustânoa približennyiregulâtordlâévolûcionnogovklûčeniâsubdifferencialʹnogotipa AT âsínsʹkiivv približennyiregulâtordlâévolûcionnogovklûčeniâsubdifferencialʹnogotipa AT kapustânoa closeregulatorforevolutionalinclusionofsubdifferentialtype AT âsínsʹkiivv closeregulatorforevolutionalinclusionofsubdifferentialtype |