Проекционно-итерационный алгоритм решения некорректных интегральных уравнений Вольтерра

Дослiджено питання про застосування проекцiйно-iтерацiйного підходу до розв’язання некоректних інтегральних рівнянь Вольтера I-го роду. Проведено порiвняльний аналiз запропонованих обчислювальних схем із використанням різних способів вибору параметра регуляризації, демонструється їх практична збіжні...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2012
Main Author:	Гарт, Л.Л.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2012
Series:	Системні дослідження та інформаційні технології
Subjects:	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50154
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Проекційно-ітераційний алгоритм розв’язання некоректних інтегральних рівнянь Вольтера / Л.Л. Гарт // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 1. — С. 101-112. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50154
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-501542025-02-09T21:50:33Z Проекционно-итерационный алгоритм решения некорректных интегральных уравнений Вольтерра A projection-iteration algorithm of solution the ill-posed integral equations of Volter Гарт, Л.Л. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Дослiджено питання про застосування проекцiйно-iтерацiйного підходу до розв’язання некоректних інтегральних рівнянь Вольтера I-го роду. Проведено порiвняльний аналiз запропонованих обчислювальних схем із використанням різних способів вибору параметра регуляризації, демонструється їх практична збіжність на прикладi розв’язання конкретних задач Исследован вопрос о применении проекционно-итерационного подхода к решению некорректных интегральных уравнений Вольтерра I-го рода. Проводится сравнительный анализ предложенных вычислительных схем, использующих различные способы выбора параметра регуляризации, демонстрируется их практическая сходимость на примере решения конкретных задач. The problem of applying the projection-iteration approach to the solution of ill-posed integral equations of Volter of the first kind is investigated. The comparative analysis of the suggested computational schemes, which use the various ways of a regularization parameter choice is carried out, the practical convergence of these schemes for solving concrete problems is demonstrated. 2012 Article Проекційно-ітераційний алгоритм розв’язання некоректних інтегральних рівнянь Вольтера / Л.Л. Гарт // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 1. — С. 101-112. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50154 519.6 uk Системні дослідження та інформаційні технології application/pdf Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
spellingShingle	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Гарт, Л.Л. Проекционно-итерационный алгоритм решения некорректных интегральных уравнений Вольтерра Системні дослідження та інформаційні технології
description	Дослiджено питання про застосування проекцiйно-iтерацiйного підходу до розв’язання некоректних інтегральних рівнянь Вольтера I-го роду. Проведено порiвняльний аналiз запропонованих обчислювальних схем із використанням різних способів вибору параметра регуляризації, демонструється їх практична збіжність на прикладi розв’язання конкретних задач
format	Article
author	Гарт, Л.Л.
author_facet	Гарт, Л.Л.
author_sort	Гарт, Л.Л.
title	Проекционно-итерационный алгоритм решения некорректных интегральных уравнений Вольтерра
title_short	Проекционно-итерационный алгоритм решения некорректных интегральных уравнений Вольтерра
title_full	Проекционно-итерационный алгоритм решения некорректных интегральных уравнений Вольтерра
title_fullStr	Проекционно-итерационный алгоритм решения некорректных интегральных уравнений Вольтерра
title_full_unstemmed	Проекционно-итерационный алгоритм решения некорректных интегральных уравнений Вольтерра
title_sort	проекционно-итерационный алгоритм решения некорректных интегральных уравнений вольтерра
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50154
citation_txt	Проекційно-ітераційний алгоритм розв’язання некоректних інтегральних рівнянь Вольтера / Л.Л. Гарт // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 1. — С. 101-112. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT gartll proekcionnoiteracionnyialgoritmrešeniânekorrektnyhintegralʹnyhuravneniivolʹterra AT gartll aprojectioniterationalgorithmofsolutiontheillposedintegralequationsofvolter
first_indexed	2025-12-01T04:25:18Z
last_indexed	2025-12-01T04:25:18Z
_version_	1850278539748704256
fulltext	© Л.Л. Гарт, 2012 Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 101 УДК 519.6 ПРОЕКЦІЙНО-ІТЕРАЦІЙНИЙ АЛГОРИТМ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕКОРЕКТНИХ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ВОЛЬТЕРА Л.Л. ГАРТ Дослiджено питання про застосування проекцiйно-iтерацiйного підходу до розв’язання некоректних інтегральних рівнянь Вольтера I-го роду. Проведено порiвняльний аналiз запропонованих обчислювальних схем із використанням різних способів вибору параметра регуляризації, демонструється їх практична збіжність на прикладi розв’язання конкретних задач. ВСТУП Дослідження багатьох складних явищ та об’єктів шляхом складання та вивчення їх математичного опису (моделей) отримує все більшого роз- повсюдження, охоплюючи багато напрямів у фізиці, біології, економіці, соціології та інших науках. Значне місце в такому підході належить інтег- ральним рівнянням. В останні десятиліття спостерігається значне розши- рення області застосування інтегральних рівнянь I-го роду типу Вольтера. До кола численних природничо-наукових застосувань цього класу рівнянь входять, наприклад, такі задачі [1]: • про розподіл мас у галактиках при відомому законі обертання; • визначення локальної випромінювальної властивості плазми за її ін- тегральною інтенсивністю випромінювання; • відновлення сигналу, прийнятого динамічною системою; • автоматичного регулювання. Базові поняття та методи розв’язання некоректних задач, як відомо, бу- ло запроваджено московською школою академіка А.М. Тихонова та новоси- бірською школою академіка М.М. Лаврентьєва. Зокрема, необхідно відміти- ти роботу [2], в якій подано стійкі методи для розв’язання задач у різних областях математики (оптимальне планування, оптимальне керування, су- мування рядів Фур’є, інтегральні рівняння першого роду типу згортки, сис- теми лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) та операторні рівняння). Роботи А.М. Тихонова, в яких подано поняття регуляризуючого оператора або ал- горитму, а також сформульовано один з найефективніших методів розв’язання некоректних задач (серед методів, які використовують міні- мальну апріорну інформацію про розв’язок — лише його гладкість) — ме- тод α -регуляризації Тихонова, роботу [3], в якій запроваджено поняття умовної коректності або коректності за Тихоновим, запропоновано низку регуляризаційних схем розв’язання: метод α -регуляризації та метод ітера- цій, зокрема, їх реалізація на компакті. Варто звернути увагу на роботу В.М. Фрідмана, яка поклала початок методам ітеративної регуляризації з параметром регуляризації — числом ітерацій, яке визначається, наприклад, способом узагальненої нев’язки з використанням значень похибки правої частини та оператора. Л.Л. Гарт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 102 Вагомий внесок у розробку теорії некоректних задач зробили В.А. Морозов, В.Ю. Кудринський, В.К. Іванов, І.Н. Домбровська та інші автори, які засто- сували до розв’язання некоректних задач проекційні методи (типу Рітца, Гальоркіна та ін.) спільно з методами регуляризації, квазірозв’язків та нев’язки. У роботах цих авторів знайшов своє строге обґрунтування спосіб нев’язки розв’язання некоректних задач, ідея якого до цього була висловле- на без доведення Філліпсом, а також Л.В. Канторовичем. У роботі [1] до- сліджуються питання теорії умовно-коректних задач та стійкості різницевих схем і подано декілька обернених задач у різницевій та неперервній постановках. Необхідно відмітити також роботи А.Б. Бакушинського й А.В. Гончарського, присвячені ітеративним методам розв’язання неко- ректних задач та їх застосуванню до розв’язання прикладних задач. Стійкі методи розв’язання некоректних задач викладені у багатьох мо- нографіях та публікаціях. Однак у них більше уваги приділяється інтеграль- ним рівнянням Фредгольма I-го роду, а інтегральні рівняння Вольтера I-го роду лише згадуються як такі, що можуть бути некоректними. Недостатньо уваги приділено доведенню методів їх розв’язання до практичних алгорит- мів та особливо до машинних програм. У цій роботі вперше досліджено можливість застосування проекційно- ітераційного підходу до розв’язання некоректних інтегральних рівнянь Вольтера I-го роду, який полягає в модифікації класичного методу α - регуляризації Тихонова та дозволяє замінити регуляризоване інтегральне рівняння деякою послідовністю простіших апроксимуючих його скінченно- вимірних задач на сукупності сіток, що роздрібнюються. Для кожної з «наближених» задач за допомогою деякої ітераційної процедури будується лише декілька наближень до розв’язку, останнє з яких з використанням кус- ково-лінійної інтерполяції береться за початкове наближення в ітераційному процесі для наступної «наближеної» задачі. Послідовність лінійних інтерпо- лянтів побудованих наближених розв’язків оголошується послідовністю наближень до розв’язку вихідного інтегрального рівняння. Слід відзначити, що загальна ідея проекційно-ітераційних методів для розв’язання операторних рівнянь та задач мінімізації в абстрактних просто- рах належить С.Д. Балашовій [4], у роботах якої ці методи знайшли своє строге теоретичне обґрунтування та застосування до розв’язання різних конкретних класів математичних задач, а нині продовжують розвиватися в роботах її учнів. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ Лінійне одновимірне інтегральне рівняння Вольтера I-го роду має вигляд: )( )( ),( xfdssysxKyA x a =≡ ∫ , bxa ≤≤ , (1) де ),( sxK — ядро інтегрального рівняння, )(xf — вільний член, )(xy — шуканий розв’язок рівняння. Задача розв’язання рівняння Вольтера I-го роду є у певному сенсі про- міжною між задачами розв’язання рівнянь Вольтера II-го роду та Фредголь- Проекційно-ітераційний алгоритм розв’язання некоректних інтегральних рівнянь Вольтера Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 103 ма I-го роду. Якщо задача розв’язання рівняння Вольтера II-го роду є корект- ною та ефективно розв’язується класичними методами (квадратур, ітерацій тощо), а задача розв’язання рівняння Фредгольма I-го роду є некоректною в будь-яких «розумних» функціональних просторах і вирішується спеціаль- ними методами (регуляризації, квазірозв’язків тощо), то задача розв’язання рівняння Вольтера I-го роду може бути коректною чи некоректною залежно від того, в яких просторах вона розглядається, і яким методом розв’язується. Відомо, наприклад, що задача розв’язання рівняння (1) під час виконання умов: ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ≠===′= ≥×∈ − ∈ − ;0),(min ,0),(...),(),( 1; ]),,[],([),( )1( ],[ )2( )( xxKxxKxxKxxK nbabaCsxK n bax n n ] ,[)( )( baCxf n∈ , 0)(...)()( )1( ===′= − afafaf n є коректною в трійці ( )( , , nCVC ), де ],[)( baCsy ∈ , V — інтегральний опе- ратор Вольтера, ] ,[)( )( baCxf n∈ . Якщо ж розглядати трійку ( )( , , mCVC ), nm < , то задача стає некоректною. Крім того, навіть у тих просторах, де вона коректна, може бути певна нестійкість розв’язку. Мета роботи — розробка проекційно-інтераційних алгоритмів розв’язання некоректних інтегральних рівнянь Вольтера, дослідження їх практичної збіжності та ефективності на прикладі розв’язання конкретних задач. МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ Зазначені особливості рівняння Вольтера I-го роду дозволяють використо- вувати для його розв’язання як класичні методи (наприклад, метод квадра- тур, причому сама процедура дискретизації в цьому методі володіє регуля- ризуючою властивістю, якщо зв’язати крок дискретизації з помилкою вихідних даних), так і спеціальні методи регуляризації [5]. Ідея методу регуляризації Тихонова для розв’язання рівняння (1) з ]),[],([),( 2 babaLsxK ×∈ , ],[)( 2 baLxf ∈ , ],[)( )1( 2 baWsy ∈ полягає в тому [2], що для забезпечення стійкості розв’язку рівняння (1) пропонується умо- ва мінімуму так званого «згладжуючого» функціонала [ ]∫ ∈ →Ω+−=Φ b a W ydxxfyAfy (1) 2y 2 min ][)( ),,( αα . (2) Тут 0>α — параметр регуляризації, для визначення якого існують різні способи (нев’язки, відносної похибки, квазіоптимальний та ін. [6]), ][yΩ — стабілізуючий функціонал, який зазвичай обирається у вигляді: [ ]∫ ′+=Ω b a dssyqsyy ))( )((][ 22 , (3) причому величина 0≥q визначає порядок регуляризації (нульовий при 0=q та перший при 0>q ). Розкриття умови (2) із використанням виразу Л.Л. Гарт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 104 (3) та врахуванням вольтеровості рівняння (1) призводить до інтегро- диференціального рівняння II-го роду типу Фредгольма )( )(),()]()([ tFdssystBtyqty b a =+′′− ∫α , bta ≤≤ , (4) задача розв’язання якого вже є коректною. У цьому рівнянні ∫= b st dxsxKtxKstB } ,{ max ),( ),(),( , ∫= b t dxxftxKtF )( ),()( . (5) Найвжиливішим способом визначення параметра регуляризації α в тому випадку, якщо замість точної правої частини )(xf вихідного рівняння (1) задана функція ],[)(~ 2 baLxf ∈ така, що δ≤− ],[2 ~ baL ff є спосіб нев’язки, згідно з яким за шукане значення обирається таке α , за яким δα =− ],[2 ~ baL fyA , (6) де )(tyα — розв’язок рівняння (4) при відповідному значенні α . Співвід- ношення (6) можна трактувати як рівняння щодо α , яке при визначених умовах має єдиний розв’язок [2]. На практиці, щоб уникнути необхідності розв’язання цього рівняння, часто обирають ряд значень mααα ,, 21 … , пов’язаних співвідношенням 1 −= ii αθα , 10 << θ , для кожного з яких об- числюють розв’язок )(ty iα рівняння (4) та нев’язку ],[2 ~ baL fyA i −α . За оптимальне значення optα обирають таке iα , для якого з найбільшим сту- пенем точності виконується наближена рівність δα ≈− ],[2 ~ baL fyA i . Спосіб відносної похибки визначення параметра регуляризації не по- требує знання похибки δ правої частини вихідного рівняння. Згідно з цим способом за шукане значення обирають таке iα із ряду значень mααα ,, 21 … , для якого величина i ii y yy α αα 1− − набуває найменшого зна- чення. Одним із найефективніших методів розв’язання рівняння (4) є сполу- чення методів скінченних сум та різниць. Нехай права частина )(xf вихідного рівняння (1) задана таблицею сво- їх значень на нерівномірній x-сітці вузлів bxxxa M =<<<= …21 , а розв’язок )(syα шукається на іншій нерівномірній s-сітці вузлів bsssa N =<<<= …21 , причому t-сітка в рівнянні (4) збігається із s-сіткою. Якщо інтеграли в (4), (5) розписати за квадратурною формулою трапецій зі змінним кроком, Проекційно-ітераційний алгоритм розв’язання некоректних інтегральних рівнянь Вольтера Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 105 а )(tyα′′ апроксимувати різницевою похідною, отримаємо наступний дис- кретний аналог рівняння (4) (опускаючи тимчасово індекс α в :))(ty ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − −==+ + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−− =+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ === − === + + + − === , , 1,2 , 11 , 111 1 111 1 1 1 1 1 1 1 1 121 12 1 M i iiNi M i jijiNi N j j NN NN N M i iiki M i jijiki N j j k k k kkk k k k M i iii M i jijii N j j fKpyKKpr hr yy qy NkfKpyKKpr h y y hhh y r qy fKpyKKpr hr yy qy α α α , (7) де )( jj tyy α≈ , ),( jiij txKK = , )( ii xff = , Nj ,1= , Mi ,1= ; 1−−= jjj ssh , Nj ,2= ; 22 212 1 hss r = − = , 22 111 jjjj j hhss r + = − = +−+ , 1,2 −= Nj , 22 1 NNN N hss r = − = − ; 2 12 1 xx p − = , 2 11 −+ − = ii i xx p , 1,2 −= Mi , 2 1−− = MM M xx p . Рівняння (7) утворюють СЛАР відносно jy , Nj ,1= , однак матриця цієї системи у зв’язку з непостійністю коефіцієнтів jr втрачає властивості симетричності та додатньої визначеності, хоча вихідний інтегро- диференціальний оператор рівняння (4) цими властивостями володів. Для усунення цього недоліку кожний k -й рядок системи (7) домножується на величину ρ kr , де ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++= ∑ − = N N j j rrr N 221 1 2 1ρ . Після чого одержана СЛАР із вже симетричною додатньо визначеною матрицею (що, зокрема, гарантує її єдину розв’язність) може бути розв’язана будь-яким відомим методом — як прямим, так й ітераційним. Для усунення цього недоліку кожний k -й рядок системи (7) домножується на величину ρ kr , де ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++= ∑ − = N N j j rrr N 221 1 2 1ρ , після чого одержана СЛАР виду v~y~ D~ = (7′) із вже симетричною додатньо визначеною матрицею D~ (що, зокрема, гаран- тує її єдину розв’язність), векторами правих частин ),...,,(~ 21 Nvvvv = та не- відомих ),...,,(~ 21 Nyyyy = може бути розв’язана будь-яким відомим мето- дом як прямим, так й ітераційним. Л.Л. Гарт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 106 Нескладно показати, що описаний метод зведення інтегрального рів- няння (4) до скінченної СЛАР (7′) щодо наближених значень розв’язку )(syα у точках розбиття Nsss ,, 21 … , відрізку ] ,[ ba укладається в загальну схему проекційних (апроксимаційних) методів, запропонованих у [7] і роз- винутих у [8] для розв’язання лінійних операторних рівнянь II-го роду у ба- нахових просторах. Згідно із цією схемою задача розв’язання рівняння gyTy += (8) з лінійним обмеженим оператором ,T заданим у банаховому просторі ,X апроксимується послідовністю «наближених» рівнянь nnnn gyTy ~~~~ += , …2, ,1=n , (9) заданих у деяких банахових просторах nX~ , ізоморфних підпросторам nX вихідного простору ( XXXX n ⊂⊂⊂⊂⊂ ......21 ). При цьому вважається, що існують лінійні оператори nΦ , що взаємно однозначно відображують nX на nX~ , а також лінійні оператори nΦ , що є розширеннями операторів nΦ на X ))()(( nnnn XX Φ=Φ , зокрема може бути nnn PΦ=Φ , де nP — лінійний проектор, що переводить X на nX ( nn XXP =)( , nnn yyP = для nn Xy ∈ ). Припускається також, що виконуються умови «близькості» nn XnnXnnnnn yyTyT ~~ 1 ~ ~ ~~~ η ′≤ΦΦ− − , (10) XnXn yyTyTP η ′′≤− , (11) XnXn gggP η≤− (12) для всіх nn Xy ~~ ∈ , Xy∈ , причому 0 , ,~ nn →′′′ ηηηn при ∞→n . Тоді за умов існування обмеженого оберненого оператора 1)( −−TI , якщо gg nn Φ=~ ( …2, ,1=n ) та 0~1 →Φ′Φ− nnn η при ∞→n , кожне з рівнянь (9), починаючи з деякого номера 0nn = , має єдиний розв’язок ∗ ny~ та послідовність }~{ 1 ∗−Φ nn y , 0nn ≥ збігається до розв’язку y рівняння (8) при ∞→ n [8]. Якщо до того ж послідовність обернених операторів 1)~( −− nTI , 0nn ≥ рів- номірно по n обмежена, тобто CTI n ~)~( 1 ≤− − для вказаних номерів n , то виконується умова nXnnn n yTyT β~ ~ ~ ≤Φ−Φ , 0 n →β при ∞→n , (13) то сама послідовність { } ny~ , 0nn ≥ збігається до елемента ynΦ при ∞→ n з оцінкою похибки nXnn Cyy n β~~~ ~ * ≤Φ− . (14) Справді, інтегральне рівняння (4) з 0=q можна розглядати як опера- торне рівняння виду (8) у просторі ],[ baCX = неперервних на відрізку Проекційно-ітераційний алгоритм розв’язання некоректних інтегральних рівнянь Вольтера Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 107 ] ,[ ba функцій з нормою )( max syy bsaX ≤≤ = , а СЛАР (7′) щодо наближених значень розв’язку рівняння (4) у точках розбиття Nsss ,, 21 … відрізку ] ,[ ba можна розглядати як рівняння вигляду (9) у просторі nN n RX = ~ векторів ),...,,(~ 21 nNn yyyy = з нормою j NjXn yy nn ≤≤ = 1 ~ max~ . Підпростори XX n ⊂ можна обирати різні для різних квадратурних формул. У випадку квадра- турної формули трапецій за nX природно обрати підпростір неперервних функцій )(syn , лінійних на кожному з проміжків ] ,[ 1+jj ss , 1,1 −= nNj : )()( 1 1 jj jj j jn yy ss ss ysy − − − += + + , 1+≤≤ jj sss . (15) Кожна така функція може бути одержана інтерполюванням таблиці значень nNyyy ,...,, 21 поліномом першого ступеню на частковому проміжку ] ,[ 1+jj ss . Тим самим визначене відображення 1−Φn простору nX~ на nX . Оператор nΦ здійснює обернене відображення: кожній неперервній функції nn Xsy ∈)( виду (15) він ставить у відповідність вектор ),...,,(~ 21 nNn yyyy = її значень у вузлах js , nNj ,1= відрізку ] ,[ ba . Що стосується відображення nΦ , то воно кожній функції ],[)( baCsy ∈ ставить у відповідність вектор ))(,),(),((~ 21 nNn sysysyy …= , її значень у вузлах nNsss ,, 21 … відрізку ] ,[ ba . Легко помітити, що nXnXn yy ~~= , тобто простори nX й nX~ ізо- метричні, звідки, зокрема, випливає, що 11 =Φ=Φ − nn . Можна показати так само, як у роботі [9], що умови збіжності проекційного методу щодо рівняння (4) також виконуються. Розглянемо питання про застосування проекційно-ітераційного підходу до розв’язання інтегрального рівняння (4). Для кожної з «наближених» задач (7′) (або, що те ж саме, «наближених» рівнянь (9), починаючи з деякого но- мера 0nn = ) будуватимемо за допомогою деякого ітераційного процесу, визначеного оператором Q~ , лише декілька ( nk ) наближень )(~ k ny ( …,2 ,1=k nk,… ), останнє з яких братимемо з використанням кусково-лінійної інтер- поляції за початкове наближення в ітераційному процесі для наступної, ( 1+n )-ї «наближеної» задачі: )~ ;~ ;~( ~~ )()1( nn k n k n gTyQy =+ , )(1 1 )0( 1 y~ ~ nk nnnny − ++ ΦΦ= , (16) ( 1,...,1 ,0 −= nkk ; 0nn ≥ ; 1 )0( 1 ~~ Xy ∈ ). Щодо оператора Q~ припускатимемо, що він монотонний, тобто для всіх nn Xy ~~ ∈ nn XnnnXnnnn yyqygTyQ ~ * ~ * ~~ ~~)~ ;~ ;~( ~ −≤− , 1~0 << nq , (17) Л.Л. Гарт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 108 причому 1~~ <≤ qqn для будь-якого 0nn ≥ . Збіжність послідовності набли- жень { })(1~ nk nn y−Φ , визначеної за формулами (16), до розв’язку y рівняння (8) при ∞→ n досліджено в [8]. У цій роботі, зокрема, коли T є оператором стискання на X ( qT ≤ , 10 << q ) та виконані умови (10)–(12), доведено збіжність проекційно-ітераційного методу, що походить від методу послі- довних наближень: n k nn k n gyTy ~ ~~~ )()1( +=+ , )(1 1 )0( 1 y~ ~ nk nnnny − ++ ΦΦ= ( 1,...,1 ,0 −= nkk ; 0nn ≥ ; 1 )0( 1 ~~ Xy ∈ ) та отримано відповідну оцінку похибки n n X k nn yy ~ )(1 ~ −Φ− . Збіжність послідовностей }~{ )(1 nk nn y−Φ до y та }~{ )( nk ny до ynΦ при ∞→ n , як випливає із доведення теорем про збіжність проекційно- ітераційних методів [8], має місце за довільним вибором чисел nk , зокрема всі числа nk можуть бути рівними 1. Однак зі зростанням n збільшується обсяг обчислювальної роботи, необхідної для знаходження чергового набли- ження. Тому потрібно прагнути того, щоб завдяки належного вибору nk за можливістю максимально наблизитися до шуканого розв’язку при цьому n ( 0nn ≥ ) і тільки тоді переходити до «наближеної» задачі вищої розмір- ності. Деякі рекомендації щодо цього наведено в роботі [8]. Розглянемо спосіб доцільного вибору чисел nk , виходячи із заданої точності 0>nε ітераційного процесу при розв’язуванні «наближених» рів- нянь (9). Очевидно, у ролі nε для n -го «наближеного» рівняння ( 0nn ≥ ) виступає nk nq~ , оскільки через умову монотонності (17) n n n n Xnn k nXn k n yyqyy ~ )0( ~ )( ~~ ~~~ −≤− , 1~0 << nq . З урахуванням оцінки (14) nXnn k nXnnXn k nXn k n Cyyqyyyyyy n n nn n n n β~~~~~~~~~ ~ )0( ~ ~ )( ~ )( +−≤Φ−+−≤Φ− . Оскільки 0~ →nk nq при ∞→nk , а величина nCβ~~ , як видно з умови (13), постійна при даному n , то порядок n n Xn k n yy ~ )( ~ Φ− визначається ве- личиною nCβ~~ . Тому число nk достатньо обрати таким, щоб nCβ~~ та n n Xnn k n yyq ~ )0( ~~~ − мали однаковий порядок мализни, наприклад, найменше з чисел k , що справджують нерівність n k n Cq β~~ ≤ , де C — стала. Звідси випливає, що за точність nε ітераційного процесу при даному n розумно взяти величину порядку nβ ~ , яка стосовно до задачі, що розглядається за суттю є величиною порядку апроксимації інтегрального рівняння (4) його скінченновимірним аналогом (7′). Проекційно-ітераційний алгоритм розв’язання некоректних інтегральних рівнянь Вольтера Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 109 Для багатьох ітераційних методів, як показано, наприклад у [10], спра- ведливі наближені формули для визначення числа ітерацій, що забезпечу- ють задану точність. Ці формули можна застосовувати до СЛАР (7′) для знаходження nk . Слід відзначити однак, що в деяких випадках отримані оцінки для nk можуть виявитися сильно завищеними, що небажано, оскіль- ки, починаючи з деякого моменту, збільшення числа ітерацій не призводить до істотного покращення чергових наближень щодо розв’язку вихідного рівняння. Тому іноді доцільно буває задавати числа nk апріорно, виходячи з експерименту та практичного досвіду. Подамо проекційно-ітераційний алгоритм розв’язання некоректного ін- тегрального рівняння вигляду (1), який базується на методі регуляризації Тихонова зі способом відносної похибки визначення параметру регуляриза- ції, з використанням сіткового методу як методу проекційного типу та за- гального монотонного ітераційного процесу, визначеного оператором Q~ . ПРОЕКЦІЙНО-ІТЕРАЦІЙНИЙ АЛГОРИТМ Підготовчий етап Задаємо точність 0>ε обчислень у проекційно-ітераційному алгоритмі, фіксовану кількість m значень )()( 2 )( 1 ,..., , n m nn ααα ( 1>m ) параметра регуля- ризації α , що будуть використовуватись на кожному n -му кроці алгоритму ( 1≥n ), початкове значення 0α та обмежуюче (достатньо мале) значення limα параметра регуляризації. Етап 1. Задаємо спадаючу послідовність значень параметра регуляри- зації α (таку, що lim )1( αα ≥i , mi ,1= ) за формулами: )1( 1 )1( −= ii αθα , mi ,2= , 10 << θ ; 0 )1( 1 αα = . Обираємо на відрізку ] ,[ ba s-сітку вузлів js , 1,1 Nj = та x-сітку вузлів ix , 1,1 Mi = та задаємо на s-сітці довільне початкове наближення ),...,,(~ )0()0( 2 )0( 1 )0( 1 1Nyyyy = в ітераційному процесі (16) для розв’язання відпо- відної СЛАР (7′), де )0( jy ( jNj ,1= ) — наближене значення розв’язку )(syα рівняння (4) у вузлі ],[ bas j ∈ при заданому α . Покладаємо номер кроку 1=n . Етап 2. Визначаємо точність 0>nε закінчення ітераційного процесу на цьому кроці за правилом: 2 nn Cτε = , де C — деяка стала, =nτ } ,{ max )()( nn dh= , )(max 1 2 )( − ≤≤ −= jj Nj n ssh n — діаметр s-розбиття, =)(nd )(max 1i 2 − ≤≤ −= i Mi xx n — діаметр x-розбиття відрізку ] ,[ ba . Для кожного зна- чення )(n iαα = , mi ,1= , виходячи з початкогвого наближення )0(~ ny , будуємо ітераційним методом декілька ( )(n i k α ) наближень )(~ k ny , )(,...,2,1 n i kk α = до Л.Л. Гарт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 110 досягнення точності обчислень 0>nε , а також знаходимо відносну похибку 1 ~ )( ~ )()( )()( 1 )( ~~~ − −− n n i n n i n i X k n X k n k n yyy ααα , mi ,2= останнього з побудованих набли- жень. Наближений розв’язок )( )(~ n l k ny α ( ml ,2= ) з найменшою відносною по- хибкою (або )( )( 1~ nk ny α , якщо 1=m ) та відповідне значення параметра α (яке будемо позначати )( opt nα ) беремо за оптимальні на цьому кроці. Якщо εε ≤n , то переходимо до етапу 4. Етап 3. Збільшуємо номер кроку: 1: += nn . Задаємо послідовність зна- чень параметра регуляризації α (таку, що lim )( αα ≥n i , mi ,1= ) за формула- ми: )( 1 )( n i n i −= αθα , mi ,2= , 10 << θ ; )1( opt )( 1 −= nn αα . Якщо виявляється при деякому із зазначених номерів 0ii = , що lim )( αα <n io , то покладаємо на цьому кроці алгоритму 1: 0 −= im та побудова значень параметра α завершується. Проводимо дискретизацію рівняння (4) на s-сітці вузлів js , nNj ,1= та x-сітці вузлів ix , nMi ,1= на відрізку ] ,[ ba , де 1−≥ nn NN , 1−≥ nn MM і хоча б одна з останніх двох нерівностей виконується строго. Здійснюємо кусково-лінійну інтерполяцію наближеного розв’язку )( 1 )1(~ − − n opt k ny α , отриманого на попередньому кроці, за допомогою фор- мули (15) та задаємо початкове наближення ),...,,(~ )0()0( 2 )0( 1 )0( nNn yyyy = в іте- раційному процесі для відповідної СЛАР (7′), де )0( jy — значення інтерпо- люючої функції )(1 syn− вигляду (15) у вузлі ],[ bas j ∈ , nNj ,1= . Переходимо до етапу 2. Етап 4. Кінець алгоритму. АНАЛІЗ ОДЕРЖАНИХ РЕЗУЛЬТАТІВ Практична збіжність проекційно-ітераційного алгоритму розв’язання неко- ректних інтегральних рівнянь вигляду (1) досліджувалась на декількох мо- дельних задачах, зокрема таких: )1( )( 1 1 σ+= + − ∫ x x edssy , 10 ≤≤ x , точний розв’язок — 1)( += sesy ; (18) )(1 cos )( 0 σ+=∫ xdssy x , 10 ≤≤ x , точний розв’язок — ssy sin)(* −= ; (19) )1( )( 2 0 σ+=∫ xdssy x , 10 ≤≤ x , точний розв’язок — ssy 2)(* = , (20) Проекційно-ітераційний алгоритм розв’язання некоректних інтегральних рівнянь Вольтера Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 111 де 11 <<− σ — деяка мала величина. Для розв’язання задач (18)–(20) було застосовано різні обчислювальні схеми проекційно-ітераційного алгоритму, основаного на сітковому методі та методі простої ітерації (МПІ): із використанням двох стратегій вибору параметра регуляризації α під час розв’язання інтегрального рівняння (4) (способу нев’язки та способу відносної похибки розв’язку) з варіацією кіль- кості m його значень )()( 2 )( 1 ,..., , n m nn ααα на кожному n -му кроці алгоритму, різних способів вибору чисел nk (апріорного та з урахуванням точності об- числень nε ), різних правил формування порядку дискретизації рівняння (4) на черговому кроці алгоритму ( )( 1−= nn NN ψ , )( 1−= nn MM ϕ ). Проекційно- ітераційні модифікації (ПІМ) методу Тихонова було порівняно з класичним методом Тихонова розв’язання вихідного рівняння при відповідному фіксо- ваному найбільшому порядку дискретизації з застосуванням двох методів наближеного розв’язання відповідної СЛАР (7′) (МПІ та методу Гауса). Результати обчислювальних експериментів на прикладі розв’язання модельної задачі (18) з найбільшим порядком дискретизації 50== MN та 001,0=ε подано в таблиці. Т а б л и ц я . Результати експериментів за трьома обчислювальними страте- гіями Назва методу регуляризації Метод розв’я- зання СЛАР Час роз- рахунку, с αopt Норма набли- женого розв’язку Абсолютна похибка розв’язку Відносна похибка розв’язку Метод Гауса 93,8 0,001 38,7026 6,2227 0,1569 Метод Тихонова (за нев’язкою) МПІ 86,2 0,01 37,5862 2,8634 0,0722 Метод Гауса 93,9 0,01 37,6786 1,9678 0,0497 Метод Тихонова (за відносною похибкою) МПІ 101,8 0,01 37,6782 1,9672 0,0496 ПІМ методу Тихонова (за нев’язкою) МПІ 43,6 0,01 36,5139 0,6088 0,0161 Аналізуючи результати розрахунків, можна зробити висновки, що: • класичний метод Тихонова з вибором параметра регуляризації за нев’язкою працює швидше за метод із вибором параметра регуляризації за відносною похибкою розв’язку, особливо під час застосування МПІ до розв’язання СЛАР; • наближені розв’язки, отримані за допомогою методів Гауса та прос- тої ітерації розв’язання СЛАР, відрізняються між собою незначно, але точ- нішими для розглянених модельних задач є розв’язки, отримані за допомо- гою МПІ; • проекційно-ітераційні алгоритми працюють у півтора-два рази швид- ше, ніж класичний метод Тихонова; • чисельні результати, отримані за допомогою проекційно-ітераційних алгоритмів, порівняно з результатами застосування методу Тихонова; Л.Л. Гарт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 112 • ПІМ методу Тихонова має практичну збіжність (збільшення порядку дискретизації збільшує час роботи алгоритмів, але при цьому збільшується точність наближених розв’язків); • оптимальне значення optα параметра регуляризації в проекційно- ітераційному алгоритмі не залежить від початкового значення 0α в число- вій послідовності 0 )1( 1 αα = , )1()1( 2 ,..., mαα ( )1( 1 )1( −= ii αθα , mi ,2= , 10 << θ ) на першому кроці алгоритму. ВИСНОВКИ Аналіз результатів свідчить про те, що проекційно-ітераційний підхід щодо розв’язання некоректних інтегральних рівнянь призводить до зменшення обчислювальних витрат на побудову наближень, а також забезпечує більшу точність отриманих наближених розв’язків. Для автора у подальшому по- стає цікавим питання про застосування проекційно-ітераційних алгоритмів регуляризації до розв’язання деяких практичних некоректних задач. ЛІТЕРАТУРА 1. Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. — Новосибирск: Наука, 1983. — 240 c. 2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Нау- ка, 1979. — 288 c. 3. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные зада- чи. — М.: Наука, 1991. — 331 c. 4. Балашова С.Д. Проекционно-итерационные методы решения уравнений в нор- мированных пространствах: автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. физ.- мат. наук. — Д., 1974. — 20 c. 5. Апарцин А.С. О численном решении интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода регуляризованным методом квадратур // Методы оптимизации и их приложения. — 1979. — Вып. 9. — С. 99–107. 6. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. — К.: Наук. думка, 1986. — 544 c. 7. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // УМН. — 1948. — Вып. 6. — С. 89–185. 8. Балашова С.Д. Приближенные методы решения операторних уравнений. — Д.: ДГУ, 1980. — 112 c. 9. Тавадзе Л.Л. О проекционной реализации метода Ньютона-Канторовича для решения нелинейных интегральных уравнений. — Днепропетровск: Изд-во Днепропетровского гос. ун-та, 1996. — 15 c. 10. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 592 c. Надійшла 31.03.2011

Проекционно-итерационный алгоритм решения некорректных интегральных уравнений Вольтерра

Institution

Similar Items