Застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів та систем

Представлено метод побудови апроксимуючих поліноміальних функцій багатьох змінних, який засновано на використанні в поліномах від’ємних степенів та застосуванні до поліномів обмеження на сумарну величину ступеня добутку змінних. Запропоновано використання штрафної функції на кількість членів поліном...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автор:	Желдак, Т.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2012
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50181
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів та систем / Т.А. Желдак // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 3. — С. 95-106. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50181
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-501812025-02-23T17:17:13Z Застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів та систем Применение обратных зависимостей в математических моделях сложных объектов и систем Application of inverse dependencies in mathematical models of complex objects and systems Желдак, Т.А. Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Представлено метод побудови апроксимуючих поліноміальних функцій багатьох змінних, який засновано на використанні в поліномах від’ємних степенів та застосуванні до поліномів обмеження на сумарну величину ступеня добутку змінних. Запропоновано використання штрафної функції на кількість членів полінома. Експериментальним шляхом отримано оптимальну величину коефіцієнта запропонованої штрафної функції. Представлен метод построения аппроксимирующих полиномиальных функций многих переменных, основанный на использовании в полиномах отрицательных степеней и применении к полиномам ограничения на суммарную величину степени произведения переменных. Предложено использование штрафной функции на количество членов полинома. Экспериментальным путем получена оптимальная величина коэффициента предложенной штрафной функции. A method of constructing approximating polynomials functions of many variables, based on the use of the negative degrees in polynomials and the application of the limitation on the total value of the product variable to polynoms is presented. The usage of the penalty function for the number of polynomial members is suggested. The optimum value of the proposed penalty functions coefficient is experimentally obtained. 2012 Article Застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів та систем / Т.А. Желдак // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 3. — С. 95-106. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50181 517.518.8 : 669.184 uk Системні дослідження та інформаційні технології application/pdf Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності
spellingShingle	Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Желдак, Т.А. Застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів та систем Системні дослідження та інформаційні технології
description	Представлено метод побудови апроксимуючих поліноміальних функцій багатьох змінних, який засновано на використанні в поліномах від’ємних степенів та застосуванні до поліномів обмеження на сумарну величину ступеня добутку змінних. Запропоновано використання штрафної функції на кількість членів полінома. Експериментальним шляхом отримано оптимальну величину коефіцієнта запропонованої штрафної функції.
format	Article
author	Желдак, Т.А.
author_facet	Желдак, Т.А.
author_sort	Желдак, Т.А.
title	Застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів та систем
title_short	Застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів та систем
title_full	Застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів та систем
title_fullStr	Застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів та систем
title_full_unstemmed	Застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів та систем
title_sort	застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів та систем
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50181
citation_txt	Застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів та систем / Т.А. Желдак // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 3. — С. 95-106. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT želdakta zastosuvannâzvorotnihzaležnostejumatematičnihmodelâhskladnihobêktívtasistem AT želdakta primenenieobratnyhzavisimostejvmatematičeskihmodelâhsložnyhobʺektovisistem AT želdakta applicationofinversedependenciesinmathematicalmodelsofcomplexobjectsandsystems
first_indexed	2025-11-24T03:28:20Z
last_indexed	2025-11-24T03:28:20Z
_version_	1849640773446795264
fulltext	© Т.А. Желдак, 2012 Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 95 УДК 517.518.8 : 669.184 ЗАСТОСУВАННЯ ЗВОРОТНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ У МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЯХ СКЛАДНИХ ОБ’ЄКТІВ ТА СИСТЕМ Т.А. ЖЕЛДАК Представлено метод побудови апроксимуючих поліноміальних функцій бага- тьох змінних, який засновано на використанні в поліномах від’ємних степенів та застосуванні до поліномів обмеження на сумарну величину ступеня добутку змінних. Запропоновано використання штрафної функції на кількість членів полінома. Експериментальним шляхом отримано оптимальну величину коефі- цієнта запропонованої штрафної функції. ВСТУП Технологічний процес виробництва сталі в кисневому конвертері передба- чає, що у ванну конвертера завантажується чавун та металобрухт у певній пропорції, які потім обдуваються під тиском струменем кисню [1]. Кисень вступає в реакцію з рідкоземельними елементами, легкими металами, сір- кою та фосфором, розплавлені фракції яких видаляються у вигляді газів чи долучаються до шлаку. Звичайно, окислювальні реакції відбуваються з ви- діленням тепла. Кінцевою метою такого процесу є окислення всіх можливих домішок, які залишалися в чавуні чи були в металобрухті, з одночасним отриманням на виході розчину заліза певної температури та певним вмістом вуглецю. Водночас сталь як матеріал і відповідні вироби з неї, зокрема, сортовий прокат, характеризуються низкою фізичних властивостей: границя текучос- ті, границя міцності, ударна пружність, границя витривалості та відносне здовження зразку при фіксованому механічному навантаженні [2]. Саме ці параметри регламентують державні чи міжнародні стандарти для виробів з тієї чи іншої марки сталі. Саме марка сталі є ідентифікатором, який пов’язує на рівні технологіч- ного процесу хімічний склад металу з механічними характеристиками гото- вої продукції, що з цього металу виготовляється. Цей зв’язок, а також послі- довність технологічних операцій з металом ілюструє рис. 1. Слід відзначити, що до моменту, коли безпосередніми вимірюваннями чи статистично виконується експертиза готової продукції, виконання будь- яких вимірів ускладнене, з одного боку — через високі температури розпла- ву та зливків, а з іншого — такі виміри не дадуть повної картини механічних властивостей. Річ у тім, що сортовий прокат набуває властивостей у тому числі й після завершення всіх технологічних операцій — під час охолоджен- ня. Тому доволі складно прогнозувати механічні властивості за хімічним складом розпеченої сталі. Т.А. Желдак ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 96 Одним із факторів, властивих конвертерному виробництву, особливо на застарілому обладнанні, як на Дніпропетровському металургійному заводі ім. Петровського [3], є великий вміст у розплаві вільного кисню та його спо- луки з вуглецем у вигляді газових вкраплень (дисперсії). Задля зв’язування цих молекул і перетворення на рідкий шлак використовують спеціальні при- садки — феросплави. Існує декілька різновидів феросплавів на основі мар- ганцю, алюмінію та кремнію, що мають різну вартість та різні зв’язуючі властивості. Комбінуючи вміст окремих феросплавів, що додаються до кип- лячої сталі на заключному етапі її виготовлення та їх загальний об’єм, мож- на досягти бажаних показників якості готової продукції. При цьому слід за- уважити, що питома вартість феросплавів значно вища за всі інші вихідні матеріали, тому головна математична задача, яка вирішується під час їх за- стосування — оптимізація собівартості готової продукції, для якої необхід- ний хімічний склад сталі буде природним багатовимірним обмеженням. Отже, актуальною бачиться задача прогнозування механічних власти- востей майбутньої готової продукції на ранніх етапах виготовлення вугле- цевої сталі з метою формування таких керуючих впливів, які б могли скори- гувати процес, що вже відбувається. Мета роботи — розробка сімейства моделей залежностей механічних характеристик готової продукції від хімічного складу сталі та формування цільової функції оптимізації процесу розкислення. АНАЛІЗ ОСТАННІХ ДОСЛІДЖЕНЬ І ПУБЛІКАЦІЙ Як зазначено в [2], хімічний склад розчину у ванні конвертера невідомий, адже до чавуну з певним хімічним складом та температурою додається ме- талобрухт, склад якого оцінити, навіть у вигляді нечіткої множини чи ймо- вірнісно, вкрай важко. Останніми роками все частіше спостерігаються випадки «несумлінного» збирання металобрухту, коли в матеріалі, що постачається на переробку, вміст, власне, заліза не перевищує 30–50 %. Тож оператор конвертера виконує процес плавки виключно на досвіді, керуючи двома головними параметрами — висотою фурми, через яку подається ки- Рис. 1. Технологічний процес виробництва сортового прокату на ДМЗ ім. Пет- ровського Рафінація сталі Розкислення сталі Прокатка профілів ОПР, досвід ОПР, if ОПР, iF Х ім іч ни й ан ал із За мо вн ик ов і З доменного цеху З пунктів прийому брухт чавун кисень сталь феросплави сертифікат зливок прокат Застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів … Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 97 сень, та швидкістю подачі кисню. Його задача полягає в тому, аби якнай- швидше (з метою економії кисню) отримати розчин, кількість домішок в якому не вищий за припустиму норму, а температура не виходить за межі рекомендованої для розливки. Після цього ванну нахиляють і зливають метал у ківш, де і відбувається розкислення. Під час розливання береться експрес-аналіз хімічного складу, за яким технолог має швидко прийняти рішення про кількість феросплавів та їх пропорцію, аби досягти бажаних властивостей сталі. У [4] показано, що майбутня марка сталі з надійністю 0,9624 визна- чається такими одинадцятьма вимірами: вміст вуглецю, марганцю, кремнію, сірки, фосфору, хрому, нікелю, міді, титану та алюмінію в розчині під час розливки та температурою розливки. Також отримана нейронно-мережева модель, що дозволяє прогнозувати марку сталі за згаданими вище парамет- рами. Утім, така модель не дозволяє сформувати керуючий вплив у випадку, якщо хімічний склад металу в ході розливки виявися невідповідним заданій марці чи бажаним механічним властивостям готової продукції. Застосовуючи класичний підхід [5, 6], який засновано на використанні багатовимірної нелінійної регресії, в якості базових модельних функції якої є прості поліноми , 1 0 1 ∑∑ − = = = M i k j S jij ijxay (1) де k — кількість змінних; M — кількість членів полінома; ija — коефі- цієнти при складових полінома; ijS — ступені аргументів, дозволяє отрима- ти запис у вигляді суми функцій окремих змінних. Недолік подібного підходу зумовлений тим, що за його використання ігнорується взаємозв’язок між хімічними складовими, тобто кожна з функ- цій ∑ = == n i i ij kjxaf 0 1, … (2) є незалежною від усіх інших. Результуючий функціонал будується фактично як сума функцій (2) . 0 ∑ = = k j jfy (3) Таке припущення, хоч і не критичне з точки зору математики, обмежує результуючі модельні функції, оскільки не дозволяє враховувати взаємний вплив хімічних складових один на одного. Зокрема, вміст сірки й фосфору, або ж нікелю й хрому зазвичай мають високу кореляцію між собою, тоді як вміст сірки чи фосфору з вмістом легких металів (марганцю, нікелю, хрому, титану) взагалі не корелює. Застосування методу [5] обмежене ще одним об’єктивним фактором. Більшість залежностей, наприклад, для функції необхідної кількості феро- сплаву від хімічного складу, є суттєво нелінійними. Тож для встановлення Т.А. Желдак ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 98 зв’язку між, наприклад, вмістом у розплаві фосфору й кількістю необхідно- го феросплаву першого типу (феросиліцій) застосовується поліном третього порядку з чотирма коефіцієнтами. Якщо ж врахувати, що змінних, які ви- значають хімічний склад і рекомендовані [2, 3] для оцінки кількості фе- росплавів для певних марок сталі використовується 12, а для деяких інших 14 і навіть 15, результуючі моделі матимуть по 30–50 коефіцієнтів. Оскільки, відновлення моделей відбувається в результаті спостережень за реальними процесами під час дослідження, підприємство випускає при- близно 70 видів готової продукції з більше, ніж 30 марок сталі, а одна плав- ка триває 20–40 хв, то для отримання необхідної вибірки, за якою можна було б побудувати необхідні залежності, потрібні роки. Адже для забезпе- чення моделі з 30–50 коефіцієнтами, відновленими методом найменших квадратів (МНК) із бажаною надійністю хоча б 0,95, необхідно мати базу з 5000–8000 плавок. Уникнути недоліків моделі, що застосовується, дозволяє використання для апроксимації керованої змінної від певного набору параметрів моделі узагальнених поліномів вигляду: . 1 0 1 ∑ ∏ − = = = M i k j S ji ijxay (4) У (4), як і в (1), ступені, в яких предиктори входять до моделі, — нату- ральні числа, але вже наявні добутки параметрів. Відома низка методів, що дозволяють отримати коефіцієнти полінома для будь-якого заданого критерію якості апроксимації, наприклад, критерію регулярності або мінімального зміщення [7]. Зокрема, комбінаторний алго- ритм дає можливість отримати запис шляхом викреслювання певних скла- дових із повного полінома, а метод групового врахування аргументів (МГУА) — навпаки, поступово ускладнює модель на основі елементарних поліномів першого-другого порядку. Проблема комбінаторного алгоритму щодо застосування до розгляне- ної задачі очевидна — для 15=k змінних, кожна з яких може виступати в ступені від 0 до ,m необхідно переглянути 1+km різних поліномів, від- новивши для кожного коефіцієнта методом найменших квадратів. Останнє нереально не лише з точки зору часу, а й виходячи з того, що починаючи з певного порядку матриці коефіцієнтів стануть погано зумовленими і безпосереднє рішення системи матричних рівнянь в МНК виявиться не- ефективним. З точки зору швидкості та простоти синтезу моделей МГУА, звичайно, має перевагу. Утім, на жаль, для вирішення цієї задачі застосування цього універсального методу призводить до небажаних наслідків: уже на третьому кроці самоорганізації під час застосування найпростішої форми базової мо- делі другого порядку 2132211021 ),( xxaxaxaaxxf +++= (5) серед кращих моделей опиняються такі, що зовсім спотворюють реальні фі- зичні залежності. Насамперед це стосується складових п’ятого, шостого та інших порядків, коефіцієнти при яких, відповідно, мають розмірність тисяч Застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів … Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 99 і десятків тисяч. З точки зору критерію регулярності, такі моделі найкращі на своєму кроці, проте вкрай чутливі до точності визначення вхідних факто- рів. Оскільки йдеться про результати експрес-хімічного аналізу розпеченого металу при температурі приблизно 1600°С, помилки можливі. Через це отримані як за критерієм регулярності, так і за критерієм мінімуму зміщен- ня, моделі у випадку практичного застосування на даних, які не були вико- ристані під час навчання дають викиди, що значно виходять за можливий діапазон варіювання параметрів. Як зазначено в [6], рідко в яких технічних чи природних системах пара параметрів мають між собою залежність, складнішу за другий порядок. Са- ме це зумовило пропозицію [8] обмежити ступені поліномів, що входять до виразу (4) умовою: mSij ≤∑ , (6) де m — заздалегідь визначена максимальна степінь поліному моделі. Зазна- чимо, що нерівність (6) обмежує не тільки максимальний рівень змінної jx в складовій i , а й степінь усіх параметрів у складовій. Тобто, для 3=m можливі вирази 3 1xai , 2 2 1 xxai , 2 21 xxai , 3 2xai та 321 xxxai , або ж входження тих самих змінних у нижчих степенях. При цьому складова 4321 xxxxai за- боронена по (6), хоча кожна змінна входить до виразу в першій степені, про- те сума степенів усіх змінних більша за 3. Подібне обмеження дозволило авторам [8] застосувати генетичний ал- горитм до розв’язання задачі розрахунку невідомих коефіцієнтів виразу (4), адже замість хромосом довжиною 1−km матимемо лише !! )!( nm kmM + = (7) можливих складових. Наприклад, для залежності границі міцності сталі від хімічного складу та товщини готового виробу 9( =k змінних), якщо при- пустити входження в моделі ступенів змінних від 0 до 3 ),4( =m замість 262143 можливих складових розглядаються лише 715. Знайти рішення для задачі такої складності можна навіть повним пере- бором можливих моделей. ОПИС ДОСЛІДЖЕННЯ Серія експериментів із відновлення апроксимаційних функцій з використан- ням моделей вигляду (2)–(3) та скорочених поліномів вигляду (4)–(6) вико- наних на базовому підприємстві, показали, що відновлення функцій розкис- лення та результуючих механічних характеристик за цими методами має вкрай обмежену точність. Оцінка коефіцієнтів парної кореляції між окремими вхідними аргумен- тами (складові хімічного аналізу) та змінною, що описує шукану функцію, майже в половині випадків мала від’ємне значення. І хоча коефіцієнт парної кореляції свідчить лише про наявність та степінь лінійного зв’язку, подібні Т.А. Желдак ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 100 результати, зокрема як подано в табл. 1, дозволяють припустити наявність суттєвих зворотних зв’язків між предикторами та вихідною змінною. Т а б л и ц я 1 . Коефіцієнти парної кореляції між значеннями механічних властивостей сортового прокату та значень показників хімічного складу сталі до розкислення Механічні характеристики сортового прокату Показники хімічного складу, % Границя текучості, кгс/мм2 Границя міцності, кгс/мм2 Ударна в’язкість при 20−=t °С, кгсм/см2 Ударна в’язкість після механічно- го старіння, кгсм/см2 Відносне подовшання, % Вуглець 0,084097 0,133192 –0,08043 0,009997 –0,14025 Марганець –0,11697 –0,16656 –0,05853 0,025829 0,113689 Кремній 0,02797 –0,16319 0,076881 0,159299 –0,06278 Сірка 0,129429 –0,24827 –0,08207 –0,04637 –0,12497 Фосфор 0,250497 –0,18007 –0,17694 –0,09435 0,072617 Хром –0,03198 –0,04063 –0,05504 –0,10765 0,115402 Нікель 0,119189 –0,12141 –0,15062 –0,24716 –0,01625 Мідь 0,078779 –0,1984 –0,38222 –0,45227 –0,1956 Товщина полки, мм –0,03506 –0,47014 –0,09082 –0,24628 –0,39667 Введення в моделі (4) дозволу на від’ємність степенів ijS дозволяє не тільки значно підвищити фізичну відповідність моделей сутності процесів, а й створити новий тип предикторів, а саме різні співвідношення. Викорис- товуючи замість (6) обмеження mSij ≤∑ , (8) можна отримати в якості складових результуючого поліному базові функції вигляду, наприклад 2 1 x x ai . Як показують дослідження, саме на подібні спів- відношення припадає найбільший внесок інформації про механічні власнос- ті матеріалу, яку можна отримати з хімічного аналізу. Наприклад, пластич- ність матеріалу )( 5y набагато краще корелює із відношенням вмісту фосфору до сірки 45 / xx , ніж з кожним із цих параметрів окремо. Слід зауважити, що поліноми, які забезпечують для функцій апрокси- мації прийнятний рівень критерію регулярності, найчастіше натрапляють на проблему нестачі вхідних даних. З одного боку, чим складніший характер мають моделі, тим менша їх середньоквадратична похибка апроксимації. З іншого — чим більше коефіцієнтів у моделі, отриманій за обмеженою кількістю прикладів даних, тим нижча їх якість, гірша t — статистика і, як наслідок, адекватність усієї апроксимаційної моделі. Як наслідок — майже випадкові результати на виході моделі у випадку надходження на вхід нових даних, що виходять за діапазони навчальної вибірки. Застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів … Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 101 З огляду на це пропонується ввести штрафну функцію на розмірність апроксимаційного поліному. Зокрема, у традиційний [7] критерій регуляр- ності пропонується додати складову штрафу у вигляді тиску розмірності min,)(),( 1 2 →+−=∑ = MyYMAJ N t tt α (9) де A — вектор коефіцієнтів при складових поліному ia ; M — кількість ненульових значень коефіцієнтів; ty — значення вихідної змінної в прикла- ді ;..1 Nt = tY — значення апроксимаційної функції в тому ж прикладі; α — параметр тиску розмірності, .10 <<α Значення, що може приймати параметр тиску розмірності та його вплив на результати апроксимації будуть досліджені нижче. Запропонований штраф за розмірність функції також має об’єктивне обґрунтування з точки зору технологічного процесу. Річ у тім, що система підтримки прийняття рішень, якою користується оператор конвертерного виробництва [3], повинна мати якомога простішу організацію з точки зору використання пам’яті та швидкодії. Більшість робочих місць не обладнані ЕОМ, тож використання функції апроксимації кладеться або на мікроконт- ролер з обмеженим обсягом пам’яті, або ж на віддалений комп’ютер, зв’язок з яким виконується каналом низької пропускної здатності. Десятки (іноді сотні) коефіцієнтів, які породжуються традиційними методами самооргані- зації моделей, практично унеможливлюють застосування таких функцій на практиці. Запропонований підхід до побудови апроксимаційних функцій був пе- ревірений на двох моделях металургійного виробництва: залежності меха- нічних характеристик готової продукції від хімічного складу та необхідності у феросплавах в процесі розкислення вуглецевої сталі при її конвертерному виробництві. У ході серії експериментів було відновлено низку функціональних за- лежностей механічних характеристик та необхідних обсягів розкислювачів під час виробництва двох профілів готової продукції: швелерів 18П та про- філю кутового шириною 125 мм. Зведені результати чисельної апроксимації подані в табл. 2. Тут в якос- ті МНК позначено результати застосування класичного підходу з незалеж- ними поліномами від окремих параметрів за (2)–(3). В якості МГУА — ре- зультати застосування методу групового врахування аргументів на опорній функції другого порядку (5) з критерієм регулярності. Також наведені ре- зультати застосування генетичного алгоритму з цільовою функцією вигляду (9) та степенями — натуральними числами («ГА-натур») і, відповідно — запропонованого методу генетичного алгоритму з цільовою функцією вигляду (9) та обмеженням (8) («ГА-від’ємні»). В обох останніх випадках .3=m Оцінками якості роботи алгоритмів у табл. 2 є: M — кількість членів полінома функції апроксимації (кількість коефіцієнтів, що відновлюються); maxS — максимальна степінь члена поліному (для МНК — окремого аргу- менту, для всіх інших методів — добутку аргументів); SSR — середнє квад- ратичне відхилення апроксимованої величини від безпосередньо виміряного Т.А. Желдак ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 102 значення (оскільки різні функції ky мають різну розмірність, використане відносне значення похибки, приведене до середнього по всім дослідам). Т а б л и ц я 2. Порівняння результатів відновлення функцій за чотирма ме- тодиками МНК МГУА ГА-натур ГА- від’єм- ні Задача Функція Кіль- кість змінних М Smax SSR М Smax SSR М Smax SSR М Smax SSR Границя текучості 9 23 5 0,04 69 5 0,01 14 3 0,14 6 3 0,04 Границя міцності 9 27 6 0,03 110 7 0,02 21 3 0,12 8 3 0,05 Сер- тифі- кація Відн. по- довження 9 21 5 0,06 76 6 0,02 15 3 0,15 4 3 0,09 Феросилі- цій 14 43 5 0,11 166 5 0,03 17 3 0,23 11 3 0,11 Розкис- лення Силікмар- ганець 15 37 4 0,13 123 4 0,03 19 3 0,24 9 3 0,13 Як видно з табл. 2, найкращу якість апроксимації забезпечує метод групового урахування аргументів, який водночас дає найбільшу кількість коефіцієнтів результуючого поліному. Недоліки такої апроксимації викла- дено раніше. Застосування генетичного алгоритму відновлення коефіцієнтів функції апроксимації з обмеженням степені забезпечує прийнятну якість результатів за меншої кількості коефіцієнтів, ніж під час використання традиційної методики багатовимірної нелінійної регресії. Додатково слід відзначити, що використання від’ємних степенів у поліномах апроксимаційної функції дозволяє у два-три рази зменшити кількість коефіцієнтів, що відновлюються, при цьому помилка апроксимації також зменшується у 1,5–2,5 рази. Ілюстрацією якості апроксимації може слугувати рис. 2, де показано дані експериментів та їх апроксимацію за допомогою МГУА та ГА з вико- ристанням від’ємних степенів поліномів та тиску розмірності. Програмне забезпечення, що реалізує запропоновану методику віднов- лення коефіцієнтів апроксимуючого поліному, було реалізовано мовою Matlab. На рис. 3 показано результат апроксимації тієї ж функції границі міцності від хімічного складу сталі (пунктир — дані спостережень, суцільна — результати апроксимації всього вісьмома членами). Із рис. 3 видно, що похибка апроксимації присутня майже в усіх дослі- дах, утім, отримана апроксимаційна залежність поводить себе так само, як і реальні дані (пікам даних відповідають піки функції, западинам — запади- ни). Це дозволяє стверджувати про прийнятність отриманої моделі для оцін- ки механічних властивостей готової продукції. Питання величини параметра тиску розмірності α є компромісом між бажанням отримати якомога простішу залежність із меншою кількістю кое- фіцієнтів, та бажанням якомога точніше описати вхідні дані. Як видно з табл. 2, застосування генетичного алгоритму з критерієм оптимізації, що включає складову тиску розмірності, далеко не завжди забезпечує середнє Застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів … Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 103 квадратичне відхилення функції від реальних даних, менше ніж 5 %. Аби проілюструвати вплив величини α на результати апроксимації, було прове- дено низку досліджень на одній із функцій 5(y — відносне подовження зразку), результати якого наведено в табл. 3. Т а б л и ц я 3. Дослідження впливу тиску розмірності на результати апрок- симації Величина α в (9) Кількість членів апроксимаційного поліному M Середня квадратич- на похибка апроксимації, SSR Кількість ітерацій ГА пошуку коефіцієнтів функції 0 68 0,023 2740 0,001 33 0,0246 1230 0,01 22 0,026 330 0,05 15 0,034 216 0,1 8 0,051 189 0,2 6 0,075 234 0,3 4 0,09 716 0,5 3 0,21 1210 Аналізуючи результати, що зведені в табл. 3, слід відзначити, що вели- чину в розмірності варто обирати не більшою за 0,1. Оскільки для функції, для якої була побудована залежність, будувався апроксимаційний поліном від 9=k змінних, можна зробити припущення, що оптимальною величи- ною коефіцієнта, що досліджується, є ./1 k=α Утім, подібне припущення потребує додаткової експериментальної перевірки на ширшому наборі да- Рис. 2. Порівняння якості апроксимації залежності границі міцності сортового про- кату від хімічного складу сталі (95 прикладів) двома методами Номер прикладу y3 Т.А. Желдак ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 104 них, за різної кількісті вхідних параметрів функцій та різному вигляді за- лежностей. Також побачимо, що за відсутності тиску розмірності 0=α результати відновлення функції забезпечують прийнятну похибку апроксимації, не гіршу за апроксимацію з допомогою МГУА, застосовуючи при цьому полі- номи з порівняльною кількістю коефіцієнтів. Коли ж розмірності стають більшим від 0,1 одразу погіршується якість апроксимації, зважаючи на те, що зменшення кількості коефіцієнтів уже відбувається несуттєво. Привертає увагу також останній стовпчик табл. 3, в якому наведено кількості кроків (поколінь) генетичного алгоритму, витрачені на пошук най- кращого за критерієм (9) рішення. Очевидно, що за середніх значень 2,001,0 …=α найкращий поліном знаходиться набагато швидше, ніж зави- сокому чи занизькому значенні α . Це свідчить про те, що оптимум при ма- лих чи навпаки надто великих значеннях параметра тиску розмірності зна- ходиться серед сотень близьких локальних оптимумів. Результат апроксимації залежності відносного подовження від хімічно- го складу сталі (9 параметрів) при найкращому, на думку автора, значенні 1,0=α наведено на рис. 4. Як можна побачити на рис. 4, при вказаному значенні α апроксимуюча функція достатньо якісно відтворює залежність, враховуючи ключові коли- вання та екстремуми. Рис. 3. Апроксимація залежності границі міцності сортового прокату від хімічного складу сталі (95 прикладів) з використанням генетичного алгоритму й обмеження степенів членів поліному Номер прикладу y3 48 46 44 42 40 38 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів … Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 3 105 ВИСНОВКИ У металургійному виробництві існує актуальна задача відновлення залеж- ностей керуючих функцій розкислення та стану об’єкта управління (меха- нічні властивості готової продукції) від хімічного складу розпеченої сталі в кисневому конвертері. При цьому набір параметрів, що визначають шукані характеристики, відомий заздалегідь. У роботі подано метод побудови апроксимуючих поліноміальних функ- цій багатьох змінних, який засновано на використанні у поліномах від’ємних степенів та застосуванні до поліномів обмеження на сумарну ве- личину степені добутку змінних. Перше дозволяє значно наблизити отрима- ні апроксимаційні залежності до їх фізичного сенсу, а друге — значно спрос- тити вигляд результуючих функцій, зменшивши кількість коефіцієнтів, що відновлюються. В якості базового алгоритму розрахунку коефіцієнтів апроксимуючої функції використано метод найменших квадратів, а в якості алгоритму по- шуку найкращої структури функції — простий генетичний алгоритм із тур- нірним оператором селекції, рівномірним схрещуванням та рівномірною випадковою мутацією. Подібне сполучення алгоритмів дозволяє за вірних настроюваннях отримати залежності механічних властивостей та керуючих функцій розкислення в режимі реального часу (200–300 поколінь). У результаті аналізу роботи та отриманих результатів викладеного ме- тоду побудови апроксимуючої функції з використанням від’ємних степенів Рис. 4. Апроксимація залежності відносного подовження сталевого прокату від хімічного складу Номер прикладу y5 14 13,5 13 12,5 12 11,5 11 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Т.А. Желдак ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 106 у поліномах апроксимаційної функції було з’ясовано, що його застосування дозволяє в 2–3 рази зменшити кількість коефіцієнтів, що відновлюються, при цьому середньоквадратична помилка апроксимації також зменшується в 1,5–2,5 рази. У результаті виконаної роботи оцінено оптимальну величину парамет- ра тиску розмірності, запропонованого автором у якості штрафної функції критерію оптимізації. Запропоновано надалі користуватися значенням 1,0≤α , оскільки при більших значеннях неприпустимо зростає помилка ап- роксимації. ЛІТЕРАТУРА 1. Демидов В.А. Производство конвертерной стали [Технологическая инструкция] ТИ-233-СТ КК-02-2002. — Д.: ДМЗ им. Петровского — 2002. — 148 с. 2. Богушевский В.С., Литвинов Л.Ф. Математические модели и системы управле- ния конвертерной плавкой. — К.: НПК «Киев. ин-т автоматики», 1998. — 304 с. 3. Нестеров М.Е., Желдак Т.А. Повышение эффективности устаревшего произ- водства с помощью современных самообучающихся систем поддержки принятия решений на примере кислородно-конвертерного цеха ДМЗ им. Петровского // Зб. наук. пр. НГУ. — Д.: Нац. гірничий ун-т. — 2010. — № 34, Т. 2. — С. 202–207. 4. Желдак Т.А., Кучеренко Н.А. Використання систем самонавчання для іден- тифікації марки сталі в киснево-конвертерному виробництві // Наук. вісн. НГУ. — Д.: Нац. гірничий ун-т. — 2011. — № 1. — С. 94–98. 5. Гаранжа Д.М. Система статистичного контролю якості прокатної продукції // Системний аналiз та iнформацiйнi технологiї: матер. мiжнар. наук.-техн. конф. SAIT–2011, 23–28 трав. — К.: ННК «IПСА» НТУУ «КПI». — 2011. — С. 216. 6. Дрейпер Н., Смит Г., Дрейпер Н. Прикладной регрессионный аналіз. — 3-е изд., пер. с англ. — М.: Издат. дом «Вильямс», 2007. — 912 с. 7. Ивахненко А.Г. Индуктивный метод самоорганизации моделей сложных сис- тем: монографія. — К.: Наук. думка, 1981. — 296 с. 8. Горбійчук М.І., Шуфнарович М.А. Метод побудови математичних моделей складних процесів на засадах генетичних алгоритмів // Искусственный интеллект. — 2010. — № 4. — С. 50–57. Надійшла 09.12.2011

Застосування зворотних залежностей у математичних моделях складних об’єктів та систем

Репозитарії

Схожі ресурси