Хаотическая адвекция в двумерном Стоксовом течении в круге
Рассматривается течение Стокса, обусловленное ротлетом в круге. Решение показывает, что для определенного положения ротлета течение имеет дополнительную неподвижную точку, симметрично расположенную внутри круга. Таким образом, может быть построена модель "мерцающих'' ротлетов, в котор...
Saved in:
| Date: | 2000 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2000
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5023 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Хаотическая адвекция в двумерном Стоксовом течении в круге / Х. Ареф, Т.А. Дунаева, В.В. Мелешко // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859728621277544448 |
|---|---|
| author | Ареф, Х. Дунаева, Т.А. Мелешко, В.В. |
| author_facet | Ареф, Х. Дунаева, Т.А. Мелешко, В.В. |
| citation_txt | Хаотическая адвекция в двумерном Стоксовом течении в круге / Х. Ареф, Т.А. Дунаева, В.В. Мелешко // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассматривается течение Стокса, обусловленное ротлетом в круге. Решение показывает, что для определенного положения ротлета течение имеет дополнительную неподвижную точку, симметрично расположенную внутри круга. Таким образом, может быть построена модель "мерцающих'' ротлетов, в которой "выключенный'' ротлет не возмущает поток. По-видимому, такая модель выглядит предпочтительней модели "мерцающих'' вихрей при обсуждении процессов хаотической адвекции в Стоксовых течениях. Она может быть успешно применена для сравнения с экспериментальными и численными исследованиями данного явления в круглом цилиндрическом сосуде с двумя вращающимися цилиндрами.
Розглядається течiя Стокса у кpузi, яка зумовлена pухом ротлета. Як показує розв'язок, для визначенного положення ротлету течiя має додаткову нерухому точку, яка симетрично розташована всерединi круга. Таким чином, може бути побудована модель "блимаючих'' ротлетiв, у якiй "виключений'' ротлет не збурює потiк. Очевидно, така модель переважить модель "блимаючих'' вихорiв при обговореннi процесiв хаотичної адвекцiї у Стоксових течiях. Вона може бути з успiхом використана для порiвняння з експериментальними та численними дослiджуваннями даного явища в круглому цилiндричному сосудi з двома цилiндрами, якi обертаються.
The Stokes flow due to a rotlet in a circle is determined.The solution shows that for a certain position of the rotlet, the flow has a second stagnation point symmetrically placed inside the circle. Thus, a "blinking rotlet'' model can be constructed in which the rotlet that is "off'' does not disturb the flow. This model seems preferabl to the "blinking vortex'' flow when discussing chaotic advection by a Stokes flow, and is useful for comparisons with experimental and computational investigations of this phenomenon in a cylindrical tank with two rotating cylinders.
|
| first_indexed | 2025-12-01T11:47:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
•€“ŠŽ‚ö ‘’€’’ö ISSN 1561 -9087 •à¨ª« ¤ £÷¤à ®¬¥ å ÷ª . 2000. ’ ®¬ 2 (74), N 1. ‘. 3 { 9
“„Š 517.4
•€Ž’ˆ—…‘Š€Ÿ €„‚…Š–ˆŸ ‚ „‚“Œ…••ŽŒ
‘’ŽŠ‘Ž‚ŽŒ ’…—…•ˆˆ ‚ Š•“ƒ…
•. € • … ”
�
, ’. €. „ “ • € … ‚ €
��
, ‚. ‚. Œ … ‹ … ˜ Š Ž
���
�
“ ¨¢¥à á¨â ¥ â èâ. ˆ««¨®©á, “ à ¡ -˜ ¬¯¥©, ‘˜€
��
• 樮 «ìë© â ¥ å¨ç¥ ᪨© 㨢¥à á¨â ¥ â “ ªà ¨ë "Š•ˆ", Š¨¥¢
���
ˆáâ¨âãâ £¨¤à ®¬¥ å ¨ª¨ •€• “ ªà ¨ë, Š¨¥¢
•®«ã祮 28.12.1999
• á ᬠâਢ ¥ âáï ⠥票¥ ‘â ®ª á , ® ¡ ã á« ®¢ « ¥ ® ¥ à ® â« ¥ â ®¬ ¢ ªà㣠¥. •¥è¥¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥ â, çâ ® ¤«ï ®¯à ¥ ¤¥« ¥®£ ®
¯®« ® ¦¥¨ï à ® â« ¥ â ⠥票¥ ¨¬¥ ¥ â ¤®¯®«¨â ¥«ìãî ¥¯®¤¢¨¦ãî â ®çª ã, ᨬ¬¥ âà¨ç® à ᯮ« ® ¦¥ãî ¢ãâਠªàã-
£ . ’ ª¨¬ ® ¡à § ®¬, ¬® ¦¥ â ¡ëâì ¯® áâà ® ¥ ¬®¤¥«ì \¬¥àæ îé¨å" à ® â« ¥ â ®¢, ¢ ª ® â ®à ®© \¢ëª«îç¥ë©" à ® â« ¥ â ¥
¢®§¬ãé ¥ â ¯® â ®ª. •®-¢¨¤¨¬®¬ã, â ª ï ¬®¤¥«ì ¢ë£«ï¤¨â ¯à ¥ ¤¯®çâ¨â ¥«ì¥© ¬®¤¥«¨ \¬¥àæ îé¨å" ¢¨åà ¥© ¯à¨ ® ¡ áã-
¦¤¥¨¨ ¯à ®æ¥ á á ®¢ å ® â¨ç¥ ᪠®© ¤¢¥ªæ¨¨ ¢ ‘â ®ª á ®¢ëå ⠥票ïå. Ž ¬® ¦¥ â ¡ëâì ã á¯¥è® ¯à¨¬¥¥ ¤«ï áà ¢¥¨ï
á íª á¯¥à¨¬¥â «ì묨 ¨ ç¨á« ¥ë¬¨ ¨á á« ¥ ¤®¢ ¨ï¬¨ ¤ ®£ ®  ¥¨ï ¢ ªà㣫 ®¬ 樫¨¤à¨ç¥ ᪠®¬ á ® áã ¤¥ á ¤¢ã¬ï
¢à é î騬¨áï 樫¨¤à ¬¨.
•®§£«ï¤ õâìáï â ¥ç÷ï ‘â ®ª á ã ªpã§÷, ïª §ã¬®¢« ¥ pãå ®¬ à ® â« ¥ â . Ÿª ¯®ª §ã õ à ®§¢'ï§ ®ª, ¤«ï ¢¨§ 祮£ ® ¯®« ® ¦¥-
ï à ® â« ¥ âã â ¥ç÷ï ¬ õ ¤®¤ ⪠®¢ã ¥àãå ®¬ã â ®çª ã, ïª á¨¬¥ âà¨ç® à ®§ â 订 ¢á ¥à ¥ ¤¨÷ ªà㣠. ’ ª¨¬ 種¬, ¬® ¦¥
¡ ã⨠¯® ¡ ã ¤®¢ ¬®¤¥«ì \¡«¨¬ îç¨å" à ® â« ¥ â÷¢, ã ïª÷© \¢¨ª«î票©" à ® â« ¥ â ¥ § ¡ ãàîõ ¯® â÷ª. Žç¥¢¨¤®, â ª ¬®¤¥«ì
¯¥à ¥¢ ¦¨âì ¬®¤¥«ì \¡«¨¬ îç¨å" ¢¨å ®à÷¢ ¯à¨ ® ¡£ ®¢®à ¥÷ ¯à ®æ¥ á÷¢ å ® â¨ç®ù ¤¢¥ªæ÷ ù ã ‘â ®ª á ®¢¨å â ¥ç÷ïå. ‚®
¬® ¦¥ ¡ ã⨠§ ã á¯÷å ®¬ ¢¨ª ®à¨áâ ¤«ï ¯®à÷¢ïï § ¥ª ᯥਬ¥â «ì¨¬¨ â ç¨á« ¥¨¬¨ ¤® á«÷¤¦ã¢ ﬨ ¤ ®£ ®
ï¢¨é ¢ ªà㣫 ®¬ã 樫÷¤à¨ç®¬ã á ® áã ¤÷ § ¤¢®¬ 樫÷¤à ¬¨, ïª÷ ® ¡ ¥à â îâìáï.
The Stok es
o w due to a rotlet in a circle is determined.The solution sho ws that for a certain p osition of the rotlet, the
o w
has a second stagnation p oin t symmetrically placed inside the circle. Th us, a \blinking rotlet" mo del can b e constructed
in whic h the rotlet that is \o� " do es not disturb the
o w. This mo del seems preferabl to the \blinking v ortex"
o w
when discussing c haotic adv ection b y a Stok es
o w, and is useful for comparisons with exp erimen tal and computational
in v estigations of this phenomenon in a cylindrical tank with t w o rotating cylinders.
‚‚…„…•ˆ…
ˆ§¢¥ áâ® [1, 2, 8, 11], çâ ® ¤¢ã¬¥àë¥ ¥ áâ 樮-
àë¥ « ¬¨ àë¥ â ¥ç¥¨ï ¦¨¤ª ® á⨠¬®£ãâ £ ¥-
¥à¨à ®¢ âì å ® â¨ç¥ ᪨¥ âà ¥ªâ ®à¨¨ ¨¤¨¢¨¤ã «ì-
ëå ¦¨¤ª¨å ç áâ¨æ. ‚ ¯® á« ¥ ¤¥ ¥ ¢à ¥¬ï ª íâ ®¬ã
 ¥¨î, ¯®«ã稢襬㠧¢ ¨¥ "å ® â¨ç¥ áª ï ¤-
¢¥ªæ¨ï" [1], ¯à ®ï¢«ï¥ âáï ¡ ®«ì让 ¨â ¥à ¥ á ¨á á« ¥-
¤®¢ â ¥« ¥© [2, 3, 12, ¨ á á뫪¨ ¢ ¨å]. € «¨§ § -
¤ ç¨ ® ¡ ¤¢¥ªæ¨¨ ¢ ® ¡é¥¬ á«ãç ¥ ¢áâà ¥ç ¥ â àï¤
âàã ¤® áâ ¥©, ª ® â ®àë¥, ¢ ¯¥à¢ãî ®ç¥à ¥ ¤ì, á¢ï§ -
ë á âàã ¤® áâìî ®¯¨á ¨ï ¯®«ï â ¥ç¥¨ï ¦¨¤ª ®-
á⨠¨ ¯® á« ¥ ¤ãî饣 ® «¨§ ® á ® ¡ ¥® áâ ¥© ¯®«ï
᪠®à ® á⨠¨ ᢮©á⢠âà ¥ªâ ®à¨© ¤¢¨¦¥¨ï ® ⤥«ì-
ëå ¦¨¤ª¨å ç áâ¨æ. ‚ íâ ®© á¢ï§¨ «¨§ ¯à ® ¡« ¥-
¬ë ã¯à ®é¥ëå ¬®¤¥«ìëå ⠥票ïå, ¢ ª ® â ®-
àëå ¯®« ¥ ᪠®à ® á⨠¬® ¦¥ â ¡ëâì ¯à ¥ ¤áâ ¢« ¥® ¤®-
áâ â ®ç® ¯à ® áâ묨 á ® ® â®è¥¨ï¬¨, ¯à ¥ ¤áâ ¢«ï-
¥ â ¥ á ®¬¥ë© ¨â ¥à ¥ á á ã箩 ⠮窨 §à ¥¨ï ¨
® âªàë¢ ¥ â ¤®¯®«¨â ¥«ìë¥ ¢®§¬® ¦® á⨠¢ ¯®¨-
¬ ¨¨ â ¥ å ¯à ®æ¥ á á ®¢, ª ® â ®àë¥ ¯à¨¢®¤ïâ ª å ® â¨-
§ 樨 ¤¢¨¦¥¨ï ¯ á ᨢ®© ¦¨¤ª ® á⨠¢ à ¥ «ìëå
£¨¤à ®¤¨ ¬¨ç¥ ᪨å á¨áâ ¥¬ å.
Ž¤¨¬ ¨§ ¯à¨¬¥à ®¢ ¬®¤¥«ìëå ⠥票© ¦¨¤-
ª ® áâ¨, ª ® â ®àë¥ ¯à ®ï¢«ïîâ å ® â¨ç¥ ᪨¥ ᢮©á⢠,
¬®£ãâ á«ã¦¨âì ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨¥ ⠥票ï. ‘ã-
é¥ á⢥®© ® á ® ¡ ¥® áâìî â ª¨å ⠥票© ï¢«ï¥ âáï
¯® á« ¥ ¤®¢ â ¥«ì® áâì áâ 樮 àëå à ¥¦¨¬®¢, ª ® â ®-
àë¥ á¬¥ïîâáï ç¥à ¥§ ®¯à ¥ ¤¥« ¥ë© ¯à ®¬¥¦ãâ ®ª
¢à ¥¬¥¨ ¡ ¥§ ª ª¨å-«¨¡ ® ¨¥à樮ëå íää ¥ªâ ®¢
[1, 7]. •à¨¬¥à ®¬ â ª¨å ⠥票© ¬®£ãâ ¡ëâì â ª -
§ë¢ ¥¬ë¥ \¬¥àæ î騥 ¢¨åà¨": £ ¥¥à¨à㥬® ¥ ¯®-
« ¥ ᪠®à ® á⨠®¯à ¥ ¤¥«ï¥ âáï ¯® á« ¥ ¤®¢ â ¥«ì® áâìî ¢®
¢à ¥¬¥¨ \à ¡ ® âë" ® ⤥«ìëå ¢¨åà ¥©. ‚ ⠥票¥
ª ¦¤®£ ® ¢à ¥¬¥®£ ® ¨â ¥à¢ « ⠥票¥ ¦¨¤ª ® áâ¨
ï¢«ï¥ âáï áâ 樮 àë¬.
„à㣨¬ ¯à¨¬¥à ®¬ ⠥票ï, ¯à ®ï¢«ïî騬 å -
® â¨ç¥ ᪨¥ ᢮©á⢠, ï¢«ï¥ âáï ⠥票¥ ¦¨¤ª ® áâ¨
¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å •¥©®«ì¤á , ¯à¨ ª ® â ®à ®¬ ¢«¨-
逸¬ ¨¥à樮ëå íää ¥ªâ ®¢ ¬® ¦® ¯à ¥¥ ¡à ¥çì
(¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ‘â ®ª á ). „à㣨¬¨ á« ®¢ ¬¨, ¢á ¥
¯à ®¨áå ®¤ïé¥ ¥ ¢ãâਠ§ ¬ªãâ ®© ® ¡« á⨠⠥票ï
®¯à ¥ ¤¥«ï¥ âáï ¬£®¢¥ë¬ § 票¥¬ ᪠®à ® áâ¨
£à ¨æ¥. ’ ª¨¥ ¬®¤¥«ìë¥ â ¥ç¥¨ï å ®à ®è® á ®£« -
áãîâáï á íª á¯¥à¨¬¥â «ì묨 ¤ 묨 ( ¯à¨-
¬¥à [1, 11]).
c
öáâ¨âãâ £÷¤à ®¬¥ å ¨ª¨ •€• “ ªà ù¨, 2000 3
ISSN 1561 -9087 •à¨ª« ¤ £÷¤à ®¬¥ å ÷ª . 2000. ’ ®¬ 2 (74), N 1. ‘. 3 { 9
‚ áâ ®ï饩 à ¡ ® â ¥ à á ᬠâਢ ¥ âáï ¤¢ã嬥à-
® ¥ ⠥票¥ áâ ®ª á ®¢®© ¦¨¤ª ® á⨠¢ ªà㣠®¢®© ® ¡« á-
â¨, ® ¡ ã á« ®¢« ¥® ¥ ¤¢ã¬ï ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨ ¬¥ ¤« ¥®
¢à é î騬¨áï ªà㣠®¢ë¬¨ 樫¨¤à ¬¨ ª ®¥ç®£ ®
à ¤¨ã á - « ®£ \¬¥àæ îé¨å" ¢¨åà ¥©. •à¨ íâ ®¬
¯à ® áâë¥ «¨â¨ç¥ ᪨¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï ®¯¨á ¨ï
¯®«ï ᪠®à ® á⨠¯®§¢®«ïîâ ¤® áâ â ®ç® ¯à ® áâ ® ¯à ®-
¢¥ á⨠¨§ã票¥ ® á ® ¡ ¥® áâ ¥© ¯®«ï ᪠®à ® á⨠¨ ¨å
¢«¨ï¨¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ®ªà㦠î饩 ¯ á ᨢ®© ¦¨¤-
ª ® áâ¨. ‚ áâ ®ï饩 à ¡ ® â ¥ ¯à¨¢®¤ïâáï ¤ ë¥
® á ¥ç¥¨ïå •ã ª à ¥, å à ªâ ¥à¨§ãî騥 ¯à ®æ¥ á á
¯¥à ¥¬¥è¨¢ ¨ï, ¯à ¥ ¤« £ ¥ âáï íää ¥ªâ¨¢ë© «£ ®-
à¨â¬ ¯®¨áª ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨å ⠮祪 ¢ â ª ®¬ â ¥ç¥-
¨¨.
1. •Ž‘’€•Ž‚Š€ ‡€„€—ˆ ˆ €•€‹ˆ’ˆ-
—…‘ŠŽ… •…˜…•ˆ…
• á ᬠâਢ ¥ âáï ¤¢ã¬¥à® ¥ ⠥票¥ ¥ ᦨ¬ ¥-
¬®© ®ç¥ì ¢ï§ª ®© ¦¨¤ª ® á⨠¢ãâਠªà㣠¡ ¥§à §-
¬¥à®£ ® à ¤¨ã á a = 1. „¢¨¦¥¨¥ £ ¥¥à¨à㥠âáï
â ®ç¥çë¬ à ® â« ¥ â ®¬ á ¨â ¥á¨¢® áâìî � , à ᯮ« ®-
¦¥®¬ ¢ â ®çª ¥ á ¯®«ïà묨 ª ® ®à¤¨ â ¬¨ r = b ,
� = 0. „¢ã¬¥à® ¥ ¯®« ¥ ᪠®à ® á⨠¢ 樫¨¤à ¥ § ¤ -
¥ âáï äãªæ¨¥© â ®ª ( r ; � ), ¯à¨ç¥¬
u
r
=
1
r
@
@ �
; u
�
= �
@
@ r
; (1)
¨ ã ¤®¢« ¥ ⢮àï¥ â ¡¨£ ମ¨ç¥ ᪠®¬ã ãà ¢¥¨î
� � = 0 ; (2)
£¤¥
� =
@
2
@ r
2
+
1
r
@
@ r
+
1
r
2
@
2
@ �
2
(3)
ï¢«ï¥ âáï ®¯¥à â ®à ®¬ ‹ ¯« á ¢ ¯®«ïàëå ª ®-
®à¤¨ â å ( r ; � ). ”ãªæ¨ï â ®ª á ®¤¥à¦¨â
« ®£ à¨ä¬¨ç¥ ᪨-ᨣã«ïàë© ç« ¥
( � )
:
( � )
( r ; � ) =
�
2
ln
�
r
2
� 2 br cos� + b
2
�
; (4)
®¯à ¥ ¤¥«ïî騩 ¤¢¨¦¥¨¥ à ® â« ¥ â . “ á« ®¢¨ï £à -
¨æ¥ ¯à¨ r = a ¨¬¥îâ ¢¨¤
u
r
= 0 ; u
�
= 0 ¯à¨ r = a (5)
¨«¨, çâ ® íª¢¨¢ « ¥â®,
= 0 ;
@
@ r
= 0 ¯à¨ r = a: (6)
„«ï ¡¨£ ମ¨ç¥ ᪠®£ ® ãà ¢¥¨ï (2) ¨ £à ¨ç-
ëå ã á« ®¢¨© (6) ¨¬¥ ¥ âáï â ®ç® ¥ à ¥è¥¨¥ [8] ¤«ï
äãªæ¨¨ â ®ª ( r ; � ):
( r ; � ) =
�
2
�
ln
r
2
� 2 br cos � + b
2
a
2
� 2 br cos � + b
2
r
2
=a
2
+
+
�
1 �
r
2
a
2
�
a
2
� b
2
r
2
=a
2
a
2
� 2 br cos � + b
2
r
2
=a
2
�
: (7)
‹®£ à¨ä¬¨ç¥ ᪨© ç« ¥ à ¥è¥¨ï (7) ¯à ¥ ¤áâ ¢«ï-
¥ â £ ମ¨ç¥ ᪠ãî äãªæ¨î â ®ª , ® ¡ ã á« ®¢« ¥ãî
¤¢¨¦¥¨¥¬ â ®ç¥ç®£ ® ¢¨åàï ¨ ¥£ ® \§ ¥àª «ì®£ ®"
® â ® ¡à ¦¥¨ï á ¨â ¥á¨¢® áâìî � � , à ᯮ« ® ¦¥-
ëå ¢ â ®çª å ( b; 0) ¨ ( a
2
=b; 0) á ® ® ⢥ âá⢥® ¤«ï
¥¢ï§ª ®© ¦¨¤ª ® á⨠á ã á« ®¢¨¥¬ ® âáãâáâ¢¨ï ¯à¨«¨-
¯ ¨ï £à ¨æ¥ u
r
= 0 ¯à¨ r = a , ¢â ®à ®© ç« ¥
à ¥è¥¨ï ¢ëà ¦ ¥ â ã á« ®¢¨¥ (5) ¯®«®£ ® ¯à¨«¨¯ -
¨ï £à ¨æ¥.
Ž¡ à㦥® [8], çâ ® «¨¨¥© = 0 ⠥票¥ ¤¥-
«¨âáï ¤¢¥ ® ¡« áâ¨. ’ ®çª¨ à § ¤¥« £à ¨æ¥
å ®¤ïâáï ¨§ ãà ¢¥¨ï
@
2
@ r
2
= 0 ¯à¨ r = a; (8)
çâ ® ¢ëà ¦ ¥ â ã á« ®¢¨¥ à ¢¥á⢠ã«î ¯à殮-
¨ï ᤢ¨£ ¢®£ãâ ®© áâ ¥ª ¥.
Š ª ¡ë« ® ¯®ª § ® ¢ à ¡ ® â ¥ [8], ¢ ⠥票¨
¨¬¥ ¥ âáï ªà¨â¨ç¥ ᪠ï â ®çª , ¯®« ® ¦¥¨¥ ª ® â ®à ®©
( b
0
; � ) â ®ç® á¨¬¬¥ âà¨ç® ¯®« ® ¦¥¨î à ® â« ¥ â ¢
â ®çª ¥ ( b
0
; 0), £¤¥ b
0
= a
��
17
1 = 2
� 3
�
= 4
�
1 = 2
= 0 : 53 a .
•â ® á ® ¡ ¥® áâì ¨¤¥ «ì® ¯®¤å ®¤¨â ¤«ï ¬®¤¥«¨
⠥票ï á ¤¢ã¬ï \¬¥àæ î騬¨" à ® â« ¥ â ¬¨.
Œë ¯®« £ ¥¬, çâ ® ¢ 樫¨¤à ¥ á à ¤¨ã á ®¬ a å ®-
¤ïâáï ¤¢ à ® â« ¥ â á ¨â ¥á¨¢® áâìî �
r
( t ) ¨ �
l
( t ),
à ᯮ« ® ¦¥ëå ¢ â ®çª å ( b
0
; 0) ¨ ( b
0
; � ) á ® ® ⢥ â-
á⢥®. ‚à 饨¥ à ® â« ¥ â ®¢ ¯à ®¨áå ®¤¨â ¯®¯¥à ¥-
¬¥® á ¯¥à¨®¤®¬ T :
�
r
( t ) = �
r
; �
l
( t ) = 0
¯à¨ k T � t � ( k + 1) T ;
�
r
( t ) = 0 ; �
l
( t ) = �
l
(9)
¯à¨ ( k + 1 = 2 ) T � t � ( k + 1) T ;
( k = 0 ; 1 ; 2 ; :: : ) á ¯® áâ ®ï묨 § 票ﬨ �
r
¨ �
l
.
‘¨áâ ¥¬ ® ¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää ¥à ¥æ¨ «ìëå
ãà ¢¥¨©
dr
dt
=
1
r
@
@ �
;
d�
dt
= �
@
@ r
(10)
á ç «ì묨 ã á« ®¢¨ï¬¨ r = r
in
, � = �
in
¯à¨
t = 0 ®¯¨áë¢ ¥ â ¤¢¨¦¥¨¥ ® ⤥«ì®© ¯ á ᨢ®©
(‹ £à ¦¥¢®©) ç áâ¨æë. • á ᬠâਢ ¥¬ ï ç áâ¨-
æ å ®¤¨âìáï ¢ â ®çª ¥ ( r ; � ) ¢ ¬®¬¥â ¢à ¥¬¥¨ t
¢ •©« ¥à ®¢®¬ ¯®« ¥ ᪠®à ® áâ¨, ª ® â ®à ® ¥ ®¯¨áë¢ ¥ âáï
äãªæ¨¥© â ®ª ( r ; � ; t ):
( r ; � ; t ) = �
r
( t )
r
( r ; � ) + �
l
( t )
l
( r ; � ) ; (11)
4 •. €à ¥ ä, ’. €. „ã ¥¢ , ‚.‚. Œ¥« ¥èª ®
ISSN 1561 -9087 •à¨ª« ¤ £÷¤à ®¬¥ å ÷ª . 2000. ’ ®¬ 2 (74), N 1. ‘. 3 { 9
£¤¥
r
( r ; � ) =
�
r
2
�
ln
r
2
� 2 b
0
r cos � + b
2
0
a
2
� 2 b
0
r cos � + b
2
0
r
2
=a
2
+
+
�
1 �
r
2
a
2
�
a
2
� b
2
0
r
2
=a
2
a
2
� 2 b
0
r cos � + b
2
0
r
2
=a
2
�
;
l
( r ; � ) =
�
l
2
�
ln
r
2
+ 2 b
0
r cos � + b
2
0
a
2
+ 2 b
0
r cos � + b
2
0
r
2
=a
2
+
+
�
1 �
r
2
a
2
�
a
2
� b
2
0
r
2
=a
2
a
2
+ 2 b
0
r cos � + b
2
0
r
2
=a
2
�
: (12)
‚ãâਠ¢à ¥¬¥ëå ¨â ¥à¢ « ®¢ ( k T ; k T + T = 2 )
¨ ( k T + T = 2 ; k T + T ) ( k = 0 ; 1 ; 2 ; ::: ), £¤¥ äãª-
æ¨ï â ®ª  ¥ § ¢¨á¨â ® â ¢à ¥¬¥¨, á¨áâ ¥-
¬ (10) ï¢«ï¥ âáï ¨â ¥£à¨à㥬®© ¨ ® ¡« ¤ ¥ â ¤¢ã¬ï
¯¥à¢ë¬¨ ¨â ¥£à « ¬¨ ¤¢¨¦¥¨ï
r
( r ; � ) = const
¨«¨ �
l
( r ; � ) = const . ‘« ¥ ¤®¢ â ¥«ì®, ç áâ¨æ
( r
in
; �
in
) ¤¢¨¦¥ âáï ¢ ¤®«ì «¨¨¨ â ®ª
r
( r ; � ) =
r
( r
in
; �
in
) = const ¯à ® â殮¨¨ ¯¥à¢®£ ® ¯®«ã-
¯¥à¨®¤ (0 ; T = 2). ‚ ¬®¬¥â ¢à ¥¬¥¨ t = T = 2 ª à-
⨠¬£®¢¥® ¨§¬¥ï¥ âáï, ¨ ç áâ¨æ ¤¢¨¦¥ âáï
¢ ¤®«ì ®¢®© «¨¨¨ â ®ª
l
( r ; � ) = const ¯à ® âï-
¦¥¨¨ ¢â ®à ®£ ® ¯®«ã¯¥à¨®¤ ( T = 2 ; T ), ¨ â. ¤. •à ®-
áâà á⢥® ¥ ¯®« ® ¦¥¨¥ ç áâ¨æë ¥¯à ¥à뢮, ®
¥ ¥ ᪠®à ® áâì à §àë¢ ¢ ª ¦¤ë© ¬®¬¥â ¢à ¥¬¥¨
t
k
= k T = 2.
ˆá á« ¥ ¤ã¥¬ë¥ ãà ¢¥¨ï ¤¢¥ªæ¨¨ ¨¬¥îâ £ -
¬¨«ìâ ®®¢ã áâàãªâãàã. …᫨ ¯¥à ¥©â¨ ª ¯àאַ-
㣠®«ìë¬ ª ® ®à¤¨ â ¬ x = r cos � , y = r sin � , á¨á-
â ¥¬ã (10) ¬® ¦® § ¯¨á âì ¢ âà ¤¨æ¨®®¬ ¢¨¤¥
dx
dt
=
@
c
@ y
;
dy
dt
= �
@
c
@ x
; (13)
£¤¥
c
( x; y ; t ) �
�
�
x
2
+ y
2
�
1 = 2
; arctg
y
x
; t
�
;
¨ ® ¬® ¦¥ â ¡ëâì ¯à ¥ ® ¡à § ®¢ ¢ á¨áâ ¥¬ã
d ( r
2
)
dt
=
@
1
@ �
;
d�
dt
= �
@
1
@ ( r
2
)
;
1
�
r
2
; � ; t
�
� 2
�
�
r
2
�
1 = 2
; � ; t
�
(14)
á r
2
¨ � á ®¯à殮묨 ¢¥«¨ç¨ ¬¨. ‘« ¥ ¤®¢ â ¥«ì-
®, ¤«ï â ª¨å ¢ëç¨á« ¥¨© ã ¤® ¡® ¯à¨¬¥ïâì ¬¥ â ®¤
ᨬ¯« ¥ªâ¨ç¥ ᪠®£ ® ¨â ¥£à¨à ®¢ ¨ï [6, 10].
2. €•€‹ˆ‡ •…•ˆŽ„ˆ—…‘Šˆ• ’Ž—…Š
’…—…•ˆŸ
‚ ¦ë¬ ¬®¬¥â ®¬ ¢ ¯®¨¬ ¨¨ å à ªâ ¥à ¤¢¨-
¦¥¨ï ¦¨¤ª ® á⨠¢ ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪠®¬ ⠥票¨ ï-
¥ âáï § ¨¥ ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨å ⠮祪 ⠥票ï. ‡ ï
¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨¥ ⠮窨, ¬® ¦® ¯®ïâì ª ª ¢¥ ¤¥ â á ¥-
¡ï ¯® â ®ª ¢ 楫 ®¬. ’ ®çª p §ë¢ ¥ âáï ¯¥à¨®¤¨-
ç¥ áª ®©, ¥ ᫨ ¬ ⠥ਠ«ì ï ç áâ¨æ , ¯®¬¥é¥ ï
¢ ¬®¬¥â ¢à ¥¬¥¨ t = 0 ¢ â ®çª ã p , § ©¬¥ â ¢ ¬®-
¬¥â ¢à ¥¬¥¨ t = T â ® ¦¥ ¯®« ® ¦¥¨¥, â.¥. ¥ ᫨
F ( p ) = p , £¤¥ F - ® â ® ¡à ¦¥¨¥ ® ¡« á⨠⠥票ï
á ¥ ¡ï, á ® ® ⢥ âáâ¢ãîé¥ ¥ ¤¢¨¦¥¨î ¦¨¤ª ® á⨠§
¯®«ë© ¯¥à¨®¤. ‚¢®¤¨âáï [11] ¯®ï⨥ ® ¯¥à¨®-
¤¨ç¥ ᪠®© â ®çª ¥ ¯®à浪 n . ’ ª, â ®çª q ï¢«ï¥ âáï
¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪠®© ¯®à浪 n , ¥ ᫨ F
n
( q ) = q ¨ ¢ â ®
¦¥ ¢à ¥¬ï ¤«ï «î¡ëå m , â ª¨å, çâ ® 1 � m � n ,
á¯à ¢¥ ¤«¨¢® F
m
( q ) 6= q . Ž£à ¨ç¨¬áï à á ᬮ âà ¥-
¨¥¬ ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨å ⠮祪 ¯¥à¢®£ ® ¨ ¢â ®à ®£ ® ¯®-
à浪 ®¢. •® ᪠®«ìª ã ¢ ® ¡é¥¬ á«ãç ¥ ¤«ï å ® ¦¤¥¨ï
¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨å ⠮祪 ¯à¨è« ® áì ¡ë ¯à ® «¨§¨à ®-
¢ âì ¢áî ® ¡« áâì ⠥票ï, ® á ® ¡ë© ¨â ¥à ¥ á ¯à ¥ ¤-
áâ ¢«ï¥ â «î¡ ï ¬¥ â ®¤¨ª , ¯®§¢®«ïîé ï § ¬¥ â®
á㧨âì ® ¡« áâì ¯®¨áª ¨ ® ¡« ¥£ç îé ï ® âë᪠¨¥
¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨å ⠮祪 à á ᬠâਢ ¥¬®£ ® ⠥票ï.
•à ¥ ¤« ® ¦¥ë© «£ ®à¨â¬ ¯®¨áª ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨å
⠮祪 [9] ¯®§¢®«ï¥ â å ®¤¨âì ¥ â ®«ìª ® ã áâ ®©ç¨-
¢ë¥ (í««¨¯â¨ç¥ ᪨¥), ® ¨ ¥ ã áâ ®©ç¨¢ë¥ (£¨¯¥à-
¡ ®«¨ç¥ ᪨¥) ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨¥ ⠮窨, â ª¦¥ ᢮¤¨â
¤¢ã¬¥àãî § ¤ çã ª ®¤®¬¥à®©, ¯®§¢®«ïï å ®-
¤¨âì â ®«ìª ® â ¥ § 票ï ⠮祪, ª ® â ®àë¥ å ®¤ïâ-
áï £ ®à¨§ ®â «ì®© ® ᨠO X . Š ª ¯à ¢¨« ®, â ª¨å
⠮祪 ¢ ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨å ⠥票ïå ¬®£ ®. ˆå
¯®« ® ¦¥¨¥ (à á á⠮逸 ® â à ® â« ¥ â ) ¬® ¦® ¤® áâ -
â ®ç® ¤¥¦® ®¯à ¥ ¤¥«¨âì ¨§ ¯à ® áâëå ª¨¥¬ â¨-
ç¥ áª¨å á ® ® ¡à ¦¥¨© ¯®«®£ ® ® ¡ ®à ® â ¢®ªà㣠ª-
⨢®£ ® à ® â« ¥ â § ¢à ¥¬ï T = 2 (®ç¥¢¨¤®, çâ ® ¢«¨-
逸 à ® â« ¥ â § ¢â ®àãî ¯®« ®¢¨ã ¯¥à¨®¤ ¢ íâ ®¬
á«ãç ¥ ¡ ã ¤¥ â ¢¥ áì¬ ¬ « ®). ’ ¥¬ ¥ ¬¥¥ ¥, à §à -
¡ ® â ë© «£ ®à¨â¬ ¯®§¢®«ï¥ â â ®ç® ®¯à ¥ ¤¥«¨âì
¯®« ® ¦¥¨¥ ¨ íâ¨å ⠮祪. ˆ§ ᨬ¬¥ âਨ ¯®«ï ᪠®-
à ® á⨠᫠¥ ¤ã¥ â, çâ ® ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪠ï â ®çª ¯¥à¢®£ ®
¯¥à¨®¤ ¯¥à ¥ á ¥ª ¥ â ® áì O X ¢ áâà ®£ ® ®¯à ¥ ¤¥« ¥ë¥
¬®¬¥âë ¢à ¥¬¥¨ ( T = 4 ¨ 3 T = 4), ¨¬¥® - ª ®£¤
§ ª ® ¤¢¨¦¥¨ï à ® â« ¥ â ®¢ â ª¦¥ ᨬ¬¥ âà¨ç¥ (9).
•ã áâì â ®çª ( r
T = 4
; 0) ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à ¥-
¬¥¨ t = T = 4 å ®¤¨âáï £ ®à¨§ ®â «ì®© ® ᨠ� =
0 ¨«¨ � = � á ª ® ®à¤¨ â ¬¨ ( r
1
; �
1
) ¨ ( r
1
; 2 � � �
1
)
á ® ® ⢥ âá⢥®. …᫨ ¢ ¬®¬¥â ¢à ¥¬¥¨ t = 3 T = 4
íâ â ®çª ®¯ïâì ®ª ¦¥ âáï £ ®à¨§ ®â «ì®© ® ᨠá
ª ® ®à¤¨ â ¬¨ ( r
3 T = 4
; 0) ¨«¨ ( r
3 T = 4
; � ), â ® ¢ ¬®¬¥-
âë ¢à ¥¬¥¨ t = T = 2 ¨ t = T ® ®¯ïâì ¢¥à¥ âáï ¢
᢮ ¥ ç «ì® ¥ ¯®« ® ¦¥¨¥ ( r
1
; 2 � � �
1
) ¨ ( r
1
; �
1
) á ®-
® ⢥ âá⢥®. ‘« ¥ ¤®¢ â ¥«ì®, â ®çª ( r
1
; �
1
) ï-
¥ âáï ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪠®© â ®çª ®© ¯¥à¢®£ ® ¯¥à¨®¤ ¨ áæ¥-
਩ ¯®¨áª ¬® ¦® § ¯¨á âì á« ¥ ¤ãî騬 ® ¡à -
§ ®¬: á¨áâ ¥¬ã ãà ¢¥¨© ¤¢¥ªæ¨¨ (10) ¨â ¥£à¨-
à㥬 â ®«ìª ® ¤«ï ⠮祪, ¯à¨ ¤« ¥¦ é¨å ® ᨠO X ¢
¬®¬¥â ¢à ¥¬¥¨ t = T = 4 ( r
T = 4
; 0) ¨ ¢ë¡¨à ¥¬ â ¥
¨§ ¨å ( r
3 T = 4
; �
3 T = 4
), ª ® â ®àë¥ ¢ ¬®¬¥â t = 3 T = 4
•. €à ¥ ä, ’. €. „ã ¥¢ , ‚.‚. Œ¥« ¥èª ® 5
ISSN 1561 -9087 •à¨ª« ¤ £÷¤à ®¬¥ å ÷ª . 2000. ’ ®¬ 2 (74), N 1. ‘. 3 { 9
¢®¢ì ¯à¨ ¤« ¥¦ â ® ᨠO X . ’ ª¨¬ ® ¡à § ®¬, ¥ ᫨
r
�
ï¢«ï¥ âáï ª ®à¥¬ ãà ¢¥¨ï
�
( T = 4 ; 3 T = 4)
( r
�
; 0) = 0 ; (15)
â ®£¤ â ®çª ( r
1
; �
1
) á ª ® ®à¤¨ â ¬¨ r
1
=
r
T = 4 ; T = 2
( r
�
; 0), �
1
= 2 � � �
T = 4 ; T = 2
( r
�
; 0) ¡ ã ¤¥ â ¯¥à¨-
®¤¨ç¥ ᪠®© â ®çª ®© ¯¥à¢®£ ® ¯¥à¨®¤ . ‡¤¥ áì ¨ ¤ «ì-
è¥ ¨¦¨© ¨¤¥ª á ® ¡ ®§ ç ¥ ⠨⠥ࢠ« ¨â ¥£à¨-
à ®¢ ¨ï á¨áâ ¥¬ë (10), ƒ ¥ ®¬¥ âà¨ç¥ ᪨ íâ ¯¥à¨®-
¤¨ç¥ ᪠ï â ®çª å ®¤¨âáï ¯¥à ¥ á ¥ç¥¨¨ ¤¢ãå «¨-
¨© â ®ª
r
( r ; � ) = C
r
¨
l
( r ; � ) = C
l
, á ® ® ⢥ â-
áâ¢ãîé¨å ¤¢¨¦¥¨î ¯à ¢®£ ® ¨ « ¥¢®£ ® à ® â« ¥ â ®¢.
’ ®«ìª ® ¯® í⨬ ¤¢ã¬ âà ¥ªâ ®à¨ï¬ ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪠ï
â ®çª ¬® ¦¥ â ¢¥àãâìáï ¢ ᢮ ¥ ç «ì® ¥ ¯®« ® ¦¥-
¨¥.
‘« ¥ ¤ãî騬 è £ ®¬ ¯® á« ¥ å ® ¦¤¥¨ï ¯®« ® ¦¥¨ï
¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪠®© ⠮窨 ï¢«ï¥ âáï «¨§ ¥ ¥ ã áâ ®©ç¨-
¢® á⨠¨ ®¯à ¥ ¤¥« ¥¨¥ ⨯ . “ áâ ®©ç¨¢® áâì «¨¥ -
ਧ ®¢ ®£ ® ® â ® ¡à ¦¥¨ï ®¯à ¥ ¤¥«ï¥ âáï à ¥è¥¨¥¬
§ ¤ ç¨ á ® ¡ áâ¢¥ë¥ § 票ï �
1
¨ �
2
¬ âà¨-
æë Ÿª ® ¡¨ [ M ], á ® ¡ áâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ª ® â ®à ®©
ª ®¬¯« ¥ª áë¥ ¢¥«¨ç¨ë �
1
¨ �
2
ïîâáï ª ®àﬨ
å à ªâ ¥à¨áâ¨ç¥ ᪠®£ ® ãà ¢¥¨ï
det ([ M ] � � [ I ]) = 0 ; (16)
£¤¥
[ M ] =
�
M
xx
M
xy
M
y x
M
y y
�
=
2
6
6
4
@ x
@ "
x
@ x
@ "
y
@ y
@ "
x
@ y
@ "
y
3
7
7
5
( x
�
;y
�
)
: (17)
‡¤¥ áì " ( "
x
; "
y
) { ¬ « ® ¥ ¢®§¬ã饨¥, ¢® ᨬ® ¥
¢ ª ® ®à¤¨ âë ¨á á« ¥ ¤ã¥¬®© ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪠®© ⠮窨
( x
�
; y
�
), I { ¥ ¤¨¨ç ï ¬ âà¨æ . ‡ 票ï í« ¥-
¬¥â ®¢ ¬ âà¨æë [ M ] ®æ¥¨¢ îâáï ¢ â ®çª ¥ ( x
�
; y
�
).
‚ ¤ «ì¥©è¥¬ ã á« ®¢¨¥ det [ M ] = M
xx
M
y y
�
M
xy
M
y x
= 1 ¥ ® ¡ å ®¤¨¬® ¨á¯®«ì§ ®¢ âì ¤«ï ¯à ®-
¢¥àª¨ ¢ëç¨á« ¥¨©. …᫨ á ® ¡ áâ¢¥ë¥ § 票ï �
1
¨ �
2
ª ®¬¯« ¥ª á® á ®¯à殮ë¥, ¨«¨ ¨ë¬¨ á« ®¢ ¬¨
j M
xx
+ M
y y
j � 2 ; (18)
â ® ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪠ï â ®çª ( x
�
; y
�
) ¡ ã ¤¥ â í««¨¯â¨-
ç¥ áª ®© ¨«¨ «¨¥©® ã áâ ®©ç¨¢®©. …᫨ ¦¥ �
1
¨
�
2
= 1 =�
1
ïîâáï ¢¥é¥ á⢥묨, â. ¥.
j M
xx
+ M
y y
j � 2 : (19)
¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪠ï â ®çª ( x
�
y
�
) ¡ ã ¤¥ â £¨¯¥à ¡ ®«¨ç¥ á-
ª ®© ¨«¨ «¨¥©® ¥ ã áâ ®©ç¨¢®©. „«ï å ® ¦¤¥¨ï
¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨å ⠮祪 ¯¥à¨®¤ - 2 ¯à ¥ ¤« £ ¥ âáï á« ¥-
¤ãî騩 «£ ®à¨â¬:
•¨á. 1. •¥à¨®¤¨ç¥ ᪨¥ ⠮窨 ¯¥à¨®¤ -2:
a - �
l
= 0 : 25, �
r
= 1 : 17,
£¨¯¥à ¡ ®«¨ç¥ ᪠ï â ®çª (0.217, 0.193);
¡ - í««¨¯â¨ç¥ ᪠ï â ®çª (0.246, -0.408);
¢ - £¨¯¥à ¡ ®«¨ç¥ ᪠ï â ®çª (-0.322, 0.064)
{ áæ¥ à¨© ¯®¨áª [ T = 4 � 5 T = 4] : ¥ ᫨ r
��
{ ª ®-
à ¥ì ãà ¢¥¨ï �
( T = 4 ; 5 T = 4)
( r
��
; 0) = 0, â ®£¤ â ®ç-
ª ( r
2
; �
2
) á ª ® ®à¤¨ â ¬¨ r
2
= �
( T = 4 ; T = 2)
( r
��
; 0),
�
2
= � �
( T = 4 ; T = 2)
( r
��
; 0) ¡ ã ¤¥ â ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪠®© â ®ç-
ª ®©;
6 •. €à ¥ ä, ’. €. „ã ¥¢ , ‚.‚. Œ¥« ¥èª ®
ISSN 1561 -9087 •à¨ª« ¤ £÷¤à ®¬¥ å ÷ª . 2000. ’ ®¬ 2 (74), N 1. ‘. 3 { 9
•¨á. 2. ‘¥ç¥¨¥ •ã ª à ¥
a { �
l
= 0 : 25, �
r
= 1 : 17; ¡ { �
l
= 0 : 4, �
r
= 1 : 17
{ áæ¥ à¨© ¯®¨áª [3 T = 4 � 7 T = 4] : ¥ ᫨ r
��
{ ª ®-
à ¥ì ãà ¢¥¨ï �
(3 T = 4 ; 7 T = 4)
( r
��
; 0) = 0, â ®£¤ â ®ç-
ª ( r
2
; �
2
) c ª ® ®à¤¨ â ¬¨ r
2
= �
(3 T = 4 ; 3 T = 2)
( r
��
; 0),
�
2
= � �
(3 T = 4 ; 3 T = 2)
( r
��
; 0) ï¢«ï¥ âáï ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪠®©
â ®çª ®© ¯¥à¨®¤ - 2.
3. •…‡“‹œ’€’› ‚›—ˆ‘‹…•ˆ‰
—¨á« ¥ë¥ à ¥§ã«ìâ âë ¯à¨¢¥ ¤¥ë ¤«ï á«ãç ï,
ª ®£¤ ¨â ¥á¨¢® áâì ¯à ¢®£ ® à ® â« ¥ â ¡ë« �
r
=
1 : 17 a
2
=T , ¨â ¥á¨¢® áâì « ¥¢®£ ® à ® â« ¥ â �
l
¬¥ï-
« áì ¢ ¤¨ ¯ § ®¥ 0 : 25 � 0 : 4 a
2
=T . ‚ë¡ ®à § 票ï
�
r
® ¡ ã á« ®¢« ¥, ¢ ® ᮢ®¬, á ®£« á ®¢ ¨¥¬ á ®ªàã¦-
®© ᪠®à ® áâìî ª ®¥ç®£ ® 樫¨¤à à ¤¨ã á 0 : 25 a ,
¯à¨¬¥¥®¬ ¢ íª á¯¥à¨¬¥â å [7]. Š ª ® ⬥祮
¢ [8] ¢ë¡ ®à �
r
= �
l
= 1 : 17 a
2
=T ® ¡ ¥ ᯥ稢 ¥ â å ®à ®-
è¥ ¥ á ®£« á ®¢ ¨¥ ¤ ëå ® ¯¥à ¥¬¥è¨¢ ¨¨ ¯ïâ
¨§ ç «ì® à ᯮ« ® ¦¥®£ ® ¢ æ¥âà ¥ 樫¨¤à á
¬®£ ®ç¨á« ¥ë¬¨ íª á¯¥à¨¬¥â «ì묨 ¤ 묨,
¯à¨¢¥ ¤¥ë¬¨ ¢ à ¡ ® â ¥ [7].
• à¨á.1 ¯à ¥ ¤áâ ¢« ¥ë ¯®« ® ¦¥¨ï ¨ âà ¥ªâ ®à¨¨
•¨á. 3. ‘¥ç¥¨¥ •ã ª à ¥ ¤«ï �
l
= �
r
= 0 : 3
¥ ᪠®«ìª¨å ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨å ⠮祪 ¯¥à¨®¤ - 2 ¤«ï
�
l
= 0 : 25 a
2
=T , à ᯮ« ® ¦¥ëå ¤® áâ â ®ç® ¤ « ¥-
ª ® ® â à ® â« ¥ â ®¢ ¨ ©¤¥ëå ¯® ®¯¨á ë¬ ¢ëè¥
«£ ®à¨â¬ ¬. ‘« ¥ ¤ã¥ â ® ⬥ â¨âì, çâ ® ¢á ¥ ©¤¥-
ë¥ ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨¥ ⠮窨 ¯¥à¢®£ ® ¯¥à¨®¤ ¢ ¤ -
®¬ á«ãç ¥ ïîâáï £¨¯¥à ¡ ®«¨ç¥ ᪨¬¨.
• à¨á. 2, a á ®¢¬¥é¥ë à ¥§ã«ìâ âë ¢ëç¨á« ¥¨©
¤«ï à §«¨çëå ¬ ઠ¥à ®¢ (¡ë« ® ¢ë¡à ® 24 ¬ ઠ¥-
à , ¨§ ç «ì® à ᯮ« ® ¦¥ë¥ ¢ à §«¨çëå â ®ç-
ª å ¯®«ï) ¢ ¬®¬¥âë ¢à ¥¬¥¨ T n , £¤¥ n = 1 ; ::: 2000.
Žâç¥ â«¨¢® ¢¨¤ë à ¥£ã«ïàë¥ ¯® å ® ¦¨¥ « ¥¦ -
éãî £àãèã, ªà¨¢ë¥, ® ⢥ç î騥 à ¥£ã«ïàë¬ ¤¢¨-
¦¥¨ï¬. ‚ãâà¨ å ®¤¨âáï å ® â¨ç¥ ᪠® ¥ "¬®à ¥",
á ®¤¥à¦ é¥ ¥ àï¤ í««¨¯â¨ç¥ áª¨å ® áâà ®¢®¢ á â ®çª -
¬¨, « ¥¦ 騬¨ ¥ ᪠®«ìª¨å £« ¤ª¨å ªà¨¢ëå (á¬.
¢ë® ᪠ã à¨á㪠¥). Žâ¬¥ ⨬, çâ ® í⨠® áâà ®-
¢ á ® ® ⢥ âáâ¢ãîâ ©¤¥ë¬ í««¨¯â¨ç¥ ᪨¬ â ®ç-
ª ¬ (®¤ ¨§ ª ® â ®àëå ¯à ¥ ¤áâ ¢« ¥ à¨á. 1, ¡ ).
„¢ 㧪¨å ® áâà ®¢ ¢¡«¨§¨ ¯à ¢®£ ® à ® â« ¥ â ® ⢥-
ç îâ í««¨¯â¨ç¥ ᪨¬ ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨¬ â ®çª ¬ ¡ ®« ¥ ¥
¢ëá ®ª ®£ ® ¯®à浪 . Ž¨ â ª¦¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ©-
¤¥ë ¯® ¤ ®© ¬¥ â ®¤¨ª ¥. ˆ§¬¥¥¨¥ ¨â ¥á¨¢-
® á⨠« ¥¢®£ ® à ® â« ¥ ⠯ਢ®¤¨â ª ¯à ªâ¨ç¥ ᪠®¬ã
¨á祧®¢¥¨î í««¨¯â¨ç¥ áª¨å ® áâà ®¢®¢ (á¬. ¢ë-
® ᪠ã) ¯® áã⨠¯à¨ â ®© ¦¥ ª à ⨥ à ¥£ã«ïàëå
ªà¨¢ëå, ®ªà㦠îé¨å å ® â¨ç¥ ᪠® ¥ \¬®à ¥". Žâ¬¥-
⨬, çâ ® áâàãªâãà ¯®£à ¨ç®© ªà¨¢®© ¢ ® ¡ ®¨å
á«ãç ïå ¯®ª ¥ ¤® áâ â ®ç ïá ¨ ¥ ¥ ¨á á« ¥ ¤®¢ ¨¥
¯à ¥ ¤áâ ¢«ï¥ â ® á ® ¡ë© ¨â ¥à ¥ á.
‚ á«ãç ¥ á« ¡ëå, ® ®¤¨ ª ®¢ëå à ® â« ¥ â ®¢ à¨á.
3, ª à â¨ á ¥ç¥¨© •ã ª à ¥ ¨¬¥ ¥ â ¡ ®« ¥ ¥ à ¥£ã«ïà-
ãî áâàãªâãàã. Ž¡à é ¥ â ¢¨¬ ¨¥ «¨ç¨¥ (á¬.
¢ë® ᪠ã) ¡ ®«ì襣 ® ç¨á« í««¨¯â¨ç¥ áª¨å ® áâà ®¢®¢
¢¡«¨§¨ ¯à ¢®£ ® à ® â« ¥ â . Žâ¬¥ ⨬ â ª¦¥ ¯à ªâ¨-
ç¥ áª¨ à ¥£ã«ïàë© å à ªâ ¥à ( à¨á㪠¥ ¥ ¯®ª -
§ ) á ¥ç¥¨© •ã ª à ¥ ¢¡«¨§¨ « ¥¢®£ ® à ® â« ¥ â .
•. €à ¥ ä, ’. €. „ã ¥¢ , ‚.‚. Œ¥« ¥èª ® 7
ISSN 1561 -9087 •à¨ª« ¤ £÷¤à ®¬¥ å ÷ª . 2000. ’ ®¬ 2 (74), N 1. ‘. 3 { 9
•¨á. 4. • §¬¥è¨¢ ¨¥ ¯ïâ , à ᯮ« ® ¦¥® £ ® ¬¥¦¤ã à ® â« ¥ â ¬¨ ¢ æ¥âà ¥ ªà㣠á à ¤¨ã á ®¬ r
0
= 0 : 1 a
¯® á« ¥ T ¯¥à¨®¤®¢ ¢à ¥¬¥¨. ˆâ ¥á¨¢® áâì à ® â« ¥ â ®¢ �
r
= 1 : 17, �
l
= 0 : 25 á ® ® ⢥ âá⢥®:
a { T = 1; ¡ { T = 2; ¢ { T = 3; £ | T = 4 ¯¥à¨®¤®¢
• à¨á. 4 ¯®ª § ¯à ®æ¥ á á à áâ殮¨ï ¨ ¤¥ ä ®à-
¬ 樨 ¯®« ¥¬ ᪠®à ® á⨠¯ïâ ® ⬥ç¥ëå ç áâ¨æ
¯® á« ¥ ¥ ᪠®«ìª¨å ¯¥à¨®¤®¢ ¢à ¥¬¥¨ (¯à¨ t = T ,
2 T , 3 ’ ¨ 4 T ). ‚ ª ç¥ á⢥ ¨áå ®¤®£ ® ª ®âãà ¡ë-
« ¢ë¡à ®ªà㦮 áâì á ¡ ¥§à §¬¥àë¬ à ¤¨ã á ®¬
r
0
= 0 : 1 a , æ¥âà ª ® â ®à ®© à ᯮ« ® ¦¥ ¢ â ®çª ¥ á ª ®-
®à¤¨ â ¬¨ (0 ; 0).
‡€Š‹ž—…•ˆ…
• ¯à¨¬¥à ¥ à á ᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¨ ¬® ¦®
¯à ® á« ¥ ¤¨âì, ª ª áà ¢¨â ¥«ì® ¯à ® áâ ® ¥ í©« ¥à ®¢®
¯®« ¥ ᪠®à ® áâ ¥© ¯®à ® ¦¤ ¥ â ¥«¨¥©ãî ¤¨ ¬¨ç¥ á-
ª ãî á¨áâ ¥¬ã, ®¯¨áë¢ îéãî ¤¢¨¦¥¨¥ ¨¤¨¢¨-
¤ã «ìëå ç áâ¨æ ¦¨¤ª ® á⨠¨ ¯à¨¢®¤ïéãî ª
á« ® ¦®¬ã ¨å ¯®¢¥ ¤¥¨î ¢ ¯® â ®ª ¥. € «¨â¨ç¥-
᪠® ¥ à ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ® âªàë¢ ¥ â ¤®¯®«¨â ¥«ìë¥
¢®§¬® ¦® á⨠«¨§ áâàãªâãàë ⠥票ï: «¨-
§ ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨å ⠮祪, ¨å ⨯ . ˆá¯®«ì§ãï ¯®-
«ãç¥ë¥ ¢ å ®¤¥ ç¨á« ¥®£ ® íª á¯¥à¨¬¥â à ¥§ã«ì-
â âë, ¬® ¦® 㪠§ âì ¢ ¯® â ®ª ¥ ® ¡« á⨠íää ¥ªâ¨¢-
®£ ® ¨ á« ¡ ®£ ® ¯¥à ¥¬¥è¨¢ ¨ï, á¢ï§ ë¥ á ¯¥-
ਮ¤¨ç¥ ᪨¬¨ â ®çª ¬¨ ¯® â ®ª . • «¨ç¨¥ í««¨¯â¨-
ç¥ áª¨å ⠮祪 ᯮ á ® ¡ áâ¢ã¥ â ® ¡à § ®¢ ¨î à ¥£ã«ïà-
ëå ® áâà ®¢®¢ ¢ á ¥ç¥¨¨ •ã ª à ¥ ¨, ª ª à ¥§ã«ì-
â â, ¯à¨¢®¤¨â ª à ¥£ã«ïàë¬ à ¥¦¨¬ ¬ ¯¥à ¥¬¥è¨-
¢ ¨ï ¯ á ᨢ®© ¦¨¤ª ® áâ¨. •««¨¯â¨ç¥ ᪨¥ ⠮窨
¯à ¥ ¤áâ ¢«ïîâ á ® ¡ ®© ¯à ¥¯ïâá⢨¥ ¤«ï ¯¥à ¥¬¥è¨¢ -
¨ï. • ¯à ® ⨢, £¨¯¥à ¡ ®«¨ç¥ ᪨¥ ⠮窨 - ¨áâ ®ç-
¨ª¨ å ® ⨧ 樨 ¤¢¨¦¥¨ï. • «¨ç¨¥ £¨¯¥à ¡ ®«¨-
ç¥ áª¨å ⠮祪 ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®ï¢« ¥¨î ® ¡« áâ ¥© íä-
ä ¥ªâ¨¢®£ ® ¯¥à ¥¬¥è¨¢ ¨ï. •â¨ ® ¡« áâ¨ å ®à ®è®
¢¨¤ë á ¥ç¥¨¨ •ã ª à ¥.
•® áà ¢¥¨î á áãé¥ áâ¢ãî騬¨ ¬¥ â ®¤ ¬¨ ¨ «-
£ ®à¨â¬ ¬¨ ¯®¨áª ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨å ⠮祪 ¤ ë©
«£ ®à¨â¬ ¨¬¥ ¥ â ¥ ᪠®«ìª ® ¯à ¥¨¬ãé¥ áâ¢. …£ ® ¤®-
áâ ®¨á⢮ á ® áâ ®¨â ¢ â ®¬, çâ ® ® ¯®§¢®«ï¥ â ©-
⨠¥ ã áâ ®©ç¨¢ë¥ ⠮窨, ®¯à ¥ ¤¥« ¥¨¥ ª ® â ®àëå ¤àã-
£¨¬ ᯮ á ® ¡ ®¬, ¯à¨¬¥à ¨§ á ¥ç¥¨ï •ã ª à ¥, ¥
8 •. €à ¥ ä, ’. €. „ã ¥¢ , ‚.‚. Œ¥« ¥èª ®
ISSN 1561 -9087 •à¨ª« ¤ £÷¤à ®¬¥ å ÷ª . 2000. ’ ®¬ 2 (74), N 1. ‘. 3 { 9
¯à ¥ ¤áâ ¢«ï¥ âáï ¢®§¬® ¦ë¬. „«ï ¯®¨áª ¯¥à¨®¤¨-
ç¥ áª¨å ⠮祪 ¨á á« ¥ ¤ã¥ âáï ¥ ¤¢ã¬¥à ï ® ¡« áâì,
«¨èì ®¤ «¨¨ï - à §¬¥à® áâì ¬® ¦¥ á⢠, ¢ ª ®-
â ®à ®¬ ¯à ®¨§¢®¤¨âáï ¯®¨áª, ᨦ¥ ¥ ¤¨¨æã.
•ë« à ¥è¥ § ¤ ç ® ¡ ¤¢¥ªæ¨¨ ¯ á ᨢ®© ¯à¨-
¬¥ ᨠ¢ ¯®« ¥ ᪠®à ® á⨠¤¢ãå ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨ ¤¥©áâ¢ã-
îé¨å à ® â« ¥ â ®¢ (à¨á. 4). •¥§ã«ìâ âë ¯®¤â¢¥à-
¦¤ îâ «¨§ ¯¥à¨®¤¨ç¥ ᪨å ⠮祪 ¨ á ¥ç¥¨ï •ã-
ª à ¥. …᫨ ª ®âãà ¯®¯ ¤ ¥ â ¢ ® ¡« áâì å ®-
â¨ç¥ ᪠ãî (§ ®ë £¨¯¥à ¡ ®«¨ç¥ ᪨å ⠮祪), â ® ¯à ®-
¨áå ®¤¨â ¨â ¥á¨¢® ¥ ¥£ ® à áâ殮¨¥ ( ¯à¨¬¥à,
® ¡« áâì, ¡«¨§« ¥¦ é ï ª â ®çª ¥ á ª ® ®à¤¨ â ¬¨
(0 ; 0)). ˆ ® ¡ ®à ® â, ¢ § ®¥ í««¨¯â¨ç¥ ᪨å ⠮祪
à áâ殮¨¥ à ¥£ã«ïà® ¥, â.¥. ¯à ªâ¨ç¥ ᪨ «¨¥©-
® ¥ ¢® ¢à ¥¬¥¨ ( ¯à¨¬¥à, ® ¡« áâì, ¡«¨§« ¥¦ é ï
ª à ® â« ¥ â ¬).
1. Aref H. Stirring b y c haotic adv ection // J. Fluid
Mec h.{ 1984.{ 143 .{ P . 1{23.
2. Aref H., Balanc handar S. Chaotic adv ection in a
Stok es
o w // Ph ys. Fluids.{ 1986.{ 29 .{ P . 3515{
3521.
3. Aref H., El Nasc hie M. S., Eds. Chaos Applied to
Fluid Mixing.{ Oxford: P ergamon, 1995.{ 380 p.
4. Bouasse H. T ourbillons.{ Delagra v e, P aris: 1931, V ol
1.{ 125{140 p.
5. Chaik en J., Chevra y R., T ab or M., T an Q. M. Ex-
p erimen tal study of Lagrangian turbulence in Stok es
o w // Pro c. R. So c. London (Ser. A).{ 1986.{ 408 .{
P . 165{183.
6. Channel P . J., Sco v el J. C. Symplectic in tegration
of Hamiltonian systems // Nonlinearit y.{ 1990.{ 3 .{
P . 231{259.
7. Jana S. C., Metcalfe G., Ottino J. M. Exp erimen-
tal and computational studies of mixing in complex
Stok es
o ws: the v ortex mixing
o w and m ulticel-
lular ca vit y
o ws // J. Fluid Mec h.{ 1994.{ 269 .{
P . 199{210.
8. Meleshk o V. V., Aref H. A blinking rotlet mo del
for c haotic adv ection // Ph ys. Fluids.{ 1996.{ 8 .{
P . 3215{3217.
9. Meleshk o V. V., P eters G. W. M. P ero dic p oin ts for
t w o-dimensional Stok es
o w in a rectangular ca vi-
t y // Ph ysics Letters.{ A .{ 1996.{ P . 87-96.
10. Ruth R. A canonical in tegration tec hnique // IEEE
T rans. Nucl. Sci.{ 1983.{ 30 .{ P . 2669{2671.
11. Ottino J. M. The Kinematics of Mixing: Stretc hing,
Chaos and T ransp ort.{ Cam bridge: Cam bridge Uni-
v ersit y Press, 1989.{ 683 p.
12. Ottino J. M. Mixing, Chaotic Adv ection, and T urbu-
lence // Ann u. Rev. Fluid Mec.{ 1990.{ 22 .{ P . 207-
253.
•. €à ¥ ä, ’. €. „ã ¥¢ , ‚.‚. Œ¥« ¥èª ® 9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5023 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T11:47:45Z |
| publishDate | 2000 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ареф, Х. Дунаева, Т.А. Мелешко, В.В. 2010-01-06T16:25:34Z 2010-01-06T16:25:34Z 2000 Хаотическая адвекция в двумерном Стоксовом течении в круге / Х. Ареф, Т.А. Дунаева, В.В. Мелешко // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5023 517.4 Рассматривается течение Стокса, обусловленное ротлетом в круге. Решение показывает, что для определенного положения ротлета течение имеет дополнительную неподвижную точку, симметрично расположенную внутри круга. Таким образом, может быть построена модель "мерцающих'' ротлетов, в которой "выключенный'' ротлет не возмущает поток. По-видимому, такая модель выглядит предпочтительней модели "мерцающих'' вихрей при обсуждении процессов хаотической адвекции в Стоксовых течениях. Она может быть успешно применена для сравнения с экспериментальными и численными исследованиями данного явления в круглом цилиндрическом сосуде с двумя вращающимися цилиндрами. Розглядається течiя Стокса у кpузi, яка зумовлена pухом ротлета. Як показує розв'язок, для визначенного положення ротлету течiя має додаткову нерухому точку, яка симетрично розташована всерединi круга. Таким чином, може бути побудована модель "блимаючих'' ротлетiв, у якiй "виключений'' ротлет не збурює потiк. Очевидно, така модель переважить модель "блимаючих'' вихорiв при обговореннi процесiв хаотичної адвекцiї у Стоксових течiях. Вона може бути з успiхом використана для порiвняння з експериментальними та численними дослiджуваннями даного явища в круглому цилiндричному сосудi з двома цилiндрами, якi обертаються. The Stokes flow due to a rotlet in a circle is determined.The solution shows that for a certain position of the rotlet, the flow has a second stagnation point symmetrically placed inside the circle. Thus, a "blinking rotlet'' model can be constructed in which the rotlet that is "off'' does not disturb the flow. This model seems preferabl to the "blinking vortex'' flow when discussing chaotic advection by a Stokes flow, and is useful for comparisons with experimental and computational investigations of this phenomenon in a cylindrical tank with two rotating cylinders. ru Інститут гідромеханіки НАН України Хаотическая адвекция в двумерном Стоксовом течении в круге Chaotic advection by two-dimential Stokes flow in a circle Article published earlier |
| spellingShingle | Хаотическая адвекция в двумерном Стоксовом течении в круге Ареф, Х. Дунаева, Т.А. Мелешко, В.В. |
| title | Хаотическая адвекция в двумерном Стоксовом течении в круге |
| title_alt | Chaotic advection by two-dimential Stokes flow in a circle |
| title_full | Хаотическая адвекция в двумерном Стоксовом течении в круге |
| title_fullStr | Хаотическая адвекция в двумерном Стоксовом течении в круге |
| title_full_unstemmed | Хаотическая адвекция в двумерном Стоксовом течении в круге |
| title_short | Хаотическая адвекция в двумерном Стоксовом течении в круге |
| title_sort | хаотическая адвекция в двумерном стоксовом течении в круге |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5023 |
| work_keys_str_mv | AT arefh haotičeskaâadvekciâvdvumernomstoksovomtečeniivkruge AT dunaevata haotičeskaâadvekciâvdvumernomstoksovomtečeniivkruge AT meleškovv haotičeskaâadvekciâvdvumernomstoksovomtečeniivkruge AT arefh chaoticadvectionbytwodimentialstokesflowinacircle AT dunaevata chaoticadvectionbytwodimentialstokesflowinacircle AT meleškovv chaoticadvectionbytwodimentialstokesflowinacircle |