Моделирование изменения цен финансовых активов
В работе представлена модель процесса изменения цен финансовых активов на рынке. Описан путь построения модели, ее экономическая интерпретация, найдены моменты процесса и исследовано его поведение в предельном случае. Для сравнения с данной моделью приведены примеры некоторых других существующих мод...
Saved in:
| Published in: | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2002 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2002
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50237 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделирование изменения цен финансовых активов / Ю.В. Бондаренко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2002. — № 3. — С. 132-138. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859799925396602880 |
|---|---|
| author | Бондаренко, Ю.В. |
| author_facet | Бондаренко, Ю.В. |
| citation_txt | Моделирование изменения цен финансовых активов / Ю.В. Бондаренко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2002. — № 3. — С. 132-138. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Системні дослідження та інформаційні технології |
| description | В работе представлена модель процесса изменения цен финансовых активов на рынке. Описан путь построения модели, ее экономическая интерпретация, найдены моменты процесса и исследовано его поведение в предельном случае. Для сравнения с данной моделью приведены примеры некоторых других существующих моделей.
У рoботi представлена модель процесу змiни цiн фiнансових активiв на ринку. Описано шлях побудови моделi, її економiчна iнтерпретацiя, знайдено моменти процесу, дослiджено його поведiнку у граничному випадку. Для порiвняння з даною моделлю наведено приклади деяких iнших моделей, що iснують.
A model of process for financial assets — prices changing on market is presented. The way of the model’s construction is described, its economic interpretation, a moments of the process are obtained, its behavior in limit case is investigated. For comparison with the given model examples of other models are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:12:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Ю.В. Бондаренко, 2002
132 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3
УДК 519.86; 338.24
МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕН
ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ
Ю.В. БОНДАРЕНКО
В работе представлена модель процесса изменения цен финансовых активов на
рынке. Описан путь построения модели, ее экономическая интерпретация,
найдены моменты процесса и исследовано его поведение в предельном случае.
Для сравнения с данной моделью приведены примеры некоторых других
существующих моделей.
ВВЕДЕНИЕ
Современные методы решения теоретических и эмпирических финансовых
проблем основаны на использовании широкого спектра моделей,
описывающих динамику изменения цен финансовых активов, и в первую
очередь — цен акций. Наиболее известным примером модели непрерывного
типа является модель геометрического броуновского движения [1]
(диффузионная модель рынка):
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−= tt WtSS σσµ
2
exp
2
0 ,
где 0S , tS — соответственно цена акции в начальный момент времени и в
момент времени t ; tW — винеровский процесс; σ — коэффициент
волатильности, который в общем случае может иметь стохастическую
структуру (т.н. модели со стохастической волатильностью); µ —
коэффициент сноса. Более современные работы, связанные с построением
непрерывных моделей, можно найти, например, в [2, 3]. В эмпирических
эконометрических расчетах используется ряд моделей, основанных на
анализе временных рядов (модели ARCH, GARCH, и т.д.)
При построении стратегии инвестора на рынке с дискретным временем
наиболее широкое распространение получила так называемая биномиальная
модель, или модель Кокса–Росса–Рубинштейна [4]:
( ) ( ) 01 1...1 SS nn ρρ ++= ,
где 0S , nS — соответственно цена акции в моменты времени 0 и n ; kρ —
независимые биномиально распределенные случайные величины. В недавней
работе [5] была предложена модель изменения цен финансовых активов,
имеющая дискретную структуру:
( ) ( )
( )
∑
=
+=
tN
u
uZptp
1
0 ,
Моделирование изменения цен финансовых активов
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 133
где ( )0p , ( )tp — соответственно цена актива в (дискретные) моменты 0 и
t ; ( )tN — считающий (пуассоновский) процесс, описывающий количество
финансовых операций на рынке, имеющих своим следствием изменение
цены рассматриваемого актива, к моменту времени ;t uZ — изменение
цены актива (return), связанное с u -й операцией. Подобный подход тесно
связан с известной моделью актуарной математики, описывающей процесс
риска страховой компании при выплате страховых премий (см. [6]). Далее,
авторами предложена следующая декомпозиция величин uZ :
uuuu SDAZ = ,
где { }1,0=uA , { }1,1−=uD , { },...3,2,1=uS . Компонента uA определяет
активность цены: если 0=uA , то u -я операция на рынке не влияет на цену
актива, изменения цены не происходит (In-Active Proce Movement); если
1=uA , цена в результате u -й операции меняется (Active Price Movement). В
этом случае uuu SDZ = . Компонента uD представляет собой направление
изменения цены: при 1−=uD цена уменьшается, а при 1=uD —
возрастает. Наконец, компонента uS описывает величину изменения цены:
;...2;1 ++=uS (предполагается, что процесс uS имеет строго положительные
целые значения).
Помимо описанного выше подхода рассматривались и другие пути
представления процесса uZ : например, в [7] процесс uZ моделируется в
виде марковской цепи.
В настоящей работе используется альтернативный подход к построению
непрерывной модели динамики цен финансовых активов, являющийся
продолжением идеи, изложенной в [8].
1. АЛЬТЕРНАТИВНАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ( )tS
1.1 Описание модели
Значение цены финансового актива ( )tS в момент времени t будем
описывать с помощью следующего процесса:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )dssvsMStS
t
sN∫ −−+=
0
110 ,
где ( )tN — пуассоновский процесс с интенсивностью λ ; ( )tM —
случайная величина, принимающая значения 1 и 0, соответственно с
вероятностями p и p−1 , 10 << p ; ( )tv — случайная величина,
распределенная нормально с параметрами 0≠µ и 2σ . Необходимо также
отметить, что используемые при построении модели процессы ( )tM , ( )tv
должны быть синхронизованы с процессом ( )tN (значения всех трех
Ю.В. Бондаренко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 134
процессов изменяются одновременно). Кроме того, предполагается, что
процессы ( )tN , ( )tM и ( )tv независимы. На рис. 1 представлена реализация
описанного выше процесса ( )tS .
Рассмотрим предложенный подход к построению модели более подробно.
Пусть 1−kτ и kτ — случайные моменты ( )1−k -й и k -й финансовой
операции на рынке соответственно. Будем предполагать, что между этими
моментами цена изменяется как ( )1−− kkv ττ , где v может принимать любые
значения (положительные, отрицательные, нулевые). Это выражение может
быть записано как интеграл ( ) ( ) ( )( ) ( )dyyvyM
k
k
yN∫
−
−−
τ
τ 1
11 , где ( )yN , ( )yM и
( )yv — соответственно значения процессов ( )tN , ( )tM и ( )tv на отрезке
[ )kkt ττ ,1− .
Следовательно, в момент времени t в силу аддитивности интеграла
цена актива будет
2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
3 0
3 5
4 0
Рис. 1. Процесс ( )tS при ( ) 5,20 =S
Рис. 2. Графики процесса ( )tS и формирующих его процессов ( )tN , ( )tM , ( )tv
)(tS
)(tN )(tv
)(tM
Моделирование изменения цен финансовых активов
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 135
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) =−−++−−+= ∫∫
+
dyyvyMdyyvyMStS
t
yNyN
jkτ
τ
11...110
1
0
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .,,110
0
IjkdyyvyMS
t
yN ∈−−+= ∫
Приведенные на рис. 2 графики наглядно демонстрируют связь между
процессами ( )tN , ( )tM , ( )tv и ( )tS .
Примечание 1. Нормальное распределение случайной величины ( )tv
следует из эмпирических и логических заключений. Действительно,
( ) ( )
t
tStv
∆
∆
= (отношение изменения цены актива к временному интервалу,
где 1−−=∆ tk ttt , ( ) ( ) ( )1−−=∆ kk tStStS , [ )kt ttt ,1−∈ ). Если ∞→∆t , то
вероятность ( ) 1→⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ <
∆
∆ x
t
tSP ; при 0→∆t , соответственно, имеем
( ) 0→⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ <
∆
∆ x
t
tSP . Вероятность принимает значения между 0 и 1 на
относительно среднем временном интервале.
Примечание 2. Конечно, теоретически значение процесса ( )tS в
какой-то момент времени может стать отрицательным. Однако, как и во
всех моделях подобного типа, вероятностью этого события можно
принебречь в силу того, что частота финансовых операций на рынке
достаточно высока.
1.2 Некоторые числовые характеристики процесса
Прежде всего, рассчитаем первый и второй моменты рассматриваемого
процесса:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−+= ∫ dssvsMEStES
t
sN
0
110
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ;
2
110110
2
0 λ
µλ peSdssEvsMEES
tt
sN −−
+=−−+=
−
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−+= ∫
2
0
2 110 dssvsMSEtES
t
sN
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−+= ∫ dssvsMESS
t
sN
0
2 11020
Ю.В. Бондаренко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 136
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−−+ ∫ ∫ 21
0 0
2211 1111 21 dsdssvsMsvsME
t t
sNsN
( ) ( )( )( )
+
−−
+=
−
λ
µλ peSS
t 1100
2
2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ] =−−−+ ∫ ∫ +
21
0 0
2121 111 21 dsdssvsvEsMsMEE
t t
sNsN
( ) ( )( )( )
+
−−
+=
−
λ
µλ peSS
t 1100
2
2
( )( ) ( ) ( ) +=+−+ ∫ ∫ −− 021 2
1
0 0
222
2
12 Sdsdsep
t s
ssλµσ
( )( )( ) ( )( )( )
.
2
121110
2
2222
λ
λµσ
λ
µ λλ −++−
+
−−
+
−− tt etppeS
Располагая информацией о значении моментов процесса, мы можем
оценить вероятность того, что цена актива превысит уровень ( )0SA > в
некоторый момент времени T . По неравенству Чебышева
( ){ } ( )( ) ( ) ( )( )( )
+
−−
+=≤≥
−
2
2
2
2
2
2 1100
A
peS
A
S
A
TSEATSP
t
λ
µλ
( )( )( )
.
2
121
22
222
A
eTp T
λ
λµσ λ −++−
+
−
2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РАССМАТРИВАЕМОГО ПРОЦЕССА
Теорема. Пусть ∞→λ , 0→p и 12
22
→
+
λ
µσ . Тогда процесс
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )dyyvyMt
t
yN∫ −−=
0
11ξ — винеровский процесс.
Доказательство. Иными словами, необходимо показать, что при
сформулированных условиях приращения процесса ( ) ( )st ξξ − независимы и
распределены нормально с дисперсией st − . Если ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )tstus ξξξξϕ −+− —
характеристическая функция суммы приращений, tsu << , то
Моделирование изменения цен финансовых активов
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 137
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }=−+−=−+− stusixExstus ξξξξϕ ξξξξ exp
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) =
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−−+−−= ∫∫ dyyvyMixdyyvyMixE
t
s
yN
s
u
yN 1111exp
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) =
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−−
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−−= ∫∫ dyyvyMixEdyyvyMixE
t
s
yN
s
u
yN 11exp11exp
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xx stus ξξξξ ϕϕ −−= .
Далее, поскольку
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )
−
+−−+−
=−
−−
2
222
2
2
112
λ
µσλξξ
λ peststE
st
( ) ( ) ,
2
1
1
0
222
2
22
steep
p
ts
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −−
−
→
+
→
∞→
−−
→
λ
µσ
λ
λλ
λ
µ
то следует утверждение теоремы.
ВЫВОДЫ
Предложенную в работе модель можно отнести к «типу Башелье» (см. [9]).
Безусловный интерес для последующего теоретического и практического
исследования представляет расчет стоимостей конкретных опционов
относительно риск-нейтральной (мартингальной) меры, соответствующей
данному процессу. Представленный процесс смоделирован с помощью
программных средств Mathematica 4.0.
ЛИТЕРАТУРЫ
1. Samuelson P.A., Rational Theory of Warrant Pricing // Industrial Management
Review — 1965. — 6. — P. 13–31.
2. Ait-Sahalia Y. Non-parametric Pricing of Interest Rate Derivative Securities //
Econometrica. — 1996. — 64. — P. 527–560.
3. Duffie D. Dyndmic Asset Procing Theory. — New Jersey: Princeton University
Press. — 1992.
4. Ross S.A. The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing // Journal of Economic
Theory. — 1976. — 13. — P. 341–360.
5. Rydberg T. H., Shephard N. A Modelling Framework for the Prices and Times of
Trades Made on the NYSE. In W. J. Fitzgerald, R. L. Smith, A. T. Walden, and
Ю.В. Бондаренко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 138
P. C. Young (Eds.), Non-linear and Non-stationary Signal Processing.
Cambridge: Isaac Newton Institute and Cambridge University Press.
Forthcoming. — 2000.
6. Grandell J. Aspects of Risk Theory. — Berlin: Springer. — 1991.
7. Rogers, L. C. G., Zane O. Designing and estimating models of high frequency data.
Unpublished paper: Department of Mathematics. University of Bath. Presented at
Workshop on Mathematical Finance. University of Bremen, Germany, February
1998.
8. Бондаренко Ю.В. Вероятностная модель описания эволюции финансовых
индексов // Кибернетика и cистемный анализ. — 2000. — № 4.
9. Bacheliér L. Theórie de la Spéculation // Ann. Ecoll. Norm. Sup. — 1900. — 17. —
P. 21–86 (Reprinted in: The Random Character of Stock market prices. MIT
Press, 1967. — P. 17–78).
Поступила 20.07.2002
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50237 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:12:11Z |
| publishDate | 2002 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бондаренко, Ю.В. 2013-10-07T22:27:43Z 2013-10-07T22:27:43Z 2002 Моделирование изменения цен финансовых активов / Ю.В. Бондаренко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2002. — № 3. — С. 132-138. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50237 519.86; 338.24 В работе представлена модель процесса изменения цен финансовых активов на рынке. Описан путь построения модели, ее экономическая интерпретация, найдены моменты процесса и исследовано его поведение в предельном случае. Для сравнения с данной моделью приведены примеры некоторых других существующих моделей. У рoботi представлена модель процесу змiни цiн фiнансових активiв на ринку. Описано шлях побудови моделi, її економiчна iнтерпретацiя, знайдено моменти процесу, дослiджено його поведiнку у граничному випадку. Для порiвняння з даною моделлю наведено приклади деяких iнших моделей, що iснують. A model of process for financial assets — prices changing on market is presented. The way of the model’s construction is described, its economic interpretation, a moments of the process are obtained, its behavior in limit case is investigated. For comparison with the given model examples of other models are presented. ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Моделирование изменения цен финансовых активов Моделювання змін цін фінансових активів A model of process for financial assets’ prices changing Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование изменения цен финансовых активов Бондаренко, Ю.В. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| title | Моделирование изменения цен финансовых активов |
| title_alt | Моделювання змін цін фінансових активів A model of process for financial assets’ prices changing |
| title_full | Моделирование изменения цен финансовых активов |
| title_fullStr | Моделирование изменения цен финансовых активов |
| title_full_unstemmed | Моделирование изменения цен финансовых активов |
| title_short | Моделирование изменения цен финансовых активов |
| title_sort | моделирование изменения цен финансовых активов |
| topic | Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| topic_facet | Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50237 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkoûv modelirovanieizmeneniâcenfinansovyhaktivov AT bondarenkoûv modelûvannâzmíncínfínansovihaktivív AT bondarenkoûv amodelofprocessforfinancialassetspriceschanging |