Карты локальных растяжений: приложение для задачи об адвекции в произвольном поле скорости
Рассматриваются локальные свойства растяжения пассивных жидких областей с произвольными границами в известном поле скорости. Аналитическое решение для локального растяжения позволяет выделить экспоненциальный коэффициент, который описывает растяжение исследуемой области и является аналогом наибольше...
Saved in:
| Date: | 2000 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2000
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5026 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Карты локальных растяжений: приложение для задачи об адвекции в произвольном поле скорости / A.A. Гуржий, Х. Перхосейни // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 1. — С. 28-43. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5026 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гуржий, А.А. Перхосейни, Х. 2010-01-06T16:26:41Z 2010-01-06T16:26:41Z 2000 Карты локальных растяжений: приложение для задачи об адвекции в произвольном поле скорости / A.A. Гуржий, Х. Перхосейни // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 1. — С. 28-43. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5026 532.526 Рассматриваются локальные свойства растяжения пассивных жидких областей с произвольными границами в известном поле скорости. Аналитическое решение для локального растяжения позволяет выделить экспоненциальный коэффициент, который описывает растяжение исследуемой области и является аналогом наибольшего показателя Ляпунова, используемого в хаотической динамике. Этот коэффициент существует во всех решениях; он не зависит от формы контура и определяется только градиентами компонент поля скорости. Другой локальный механизм растяжения определяется интегральными характеристиками потока и видом рассматриваемого контура. Построение карт значений локальных растяжений для фиксированных моментов позволяет наглядно проанализировать эволюцию областей, в которых имеет место интенсивное размешивание. Процесс перемешивания рассматривается на примере задачи об адвекции пассивной примеси в поле скорости, наведенном системой точечных вихрей, движущихся периодически. Этот режим взаимодействия генерирует хаотическое движение пассивных жидких частиц. Локальные карты растяжения показывают, что области хаотического движения жидких частиц и интенсивного перемешивания не совпадают. Хаотические области имеют зоны слабого перемешивания, в которых контуры переносятся из одной зоны интенсивного растяжения в другую без какой-либо деформации. Розглядаются локальнi властивостi розтягу пасивних рiдких областей з довiльними межами у вiдомому полi швидкостi. Аналiтичний розв'язок для локального розтягу дозволяє видiлити експоненцiйний коефiцiент, що описує розтяг областi, яка дослiджується i є аналогом найбiльшого показнику Ляпунова, що використовується в хаотичнiй динамiцi. Цей коефiцiент iснує в усiх рiшеннях; вiн не залежить вiд форми контура i визначається тiльки градiєнтами компонент поля швидкостi. Iнший локальний механiзм розтягу визначається iнтегральними характеристиками струму i видом контура, що розглядається. Побудова карт значень локальних розтягiв для фiксованих моментiв дозволяє наочно проаналiзувати еволюцiю областей, в яких має мiсце iнтенсивне розмiшування. Процес перемiшування розглядається на прикладi задачi про адвекцiю пасивної домiшки у полi швидкостi, наведеному системою точечних вихорiв, якi рухаються перiодично. Цей режим взаємодiї вихорiв генерує хаотичний рух пасивних рiдких часток. Локальнi карти розтягу показують, що областi хаотичного руху рiдких часток i iнтенсивного перемiшування не спiвпадають. Хаотичнi областi мають зони слабкого перемiшування, в яких контури переносяться iз однiєї зони iнтенсивного розтягу в iншу без будь-якої деформацiї. The local stirring properties of a passive fluid domain with arbitrary borders in known velocity field are discussed. Analytical solution for local stretching permits to single out an exponential coefficient that describes stretching of the domain studied and is analogous to the largest Lyapunov exponent used in chaotic dynamics. This coefficient exist in all solutions; it does not depend on the shape of the contour, and is determined by the gradients of the velocity field components only. Another local mechanism of stirring is determined by integral characteristics of the flow and the shape of contour under consideration. Construction of maps for local stretching values in fixed moments allows to analyze informatively an evolution of regions, in which an intensive stirring takes place. The stirring process is explored in a sample of an advection problem of a passive impurity in the velocity field induced by a system of point vortices moved periodically. This interaction regime generates a chaotic motion of passive fluid particles. Local stretching maps show that the regions of chaotic motion of fluid particles and of intensive stirring do not coincide. Chaotic region has a zone of weak stirring, in which contours are transported from one intensive stretching zone to another without any deformation. ru Інститут гідромеханіки НАН України Карты локальных растяжений: приложение для задачи об адвекции в произвольном поле скорости Local stretching maps: an application for an advection problem in an arbitrary velocity field Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Карты локальных растяжений: приложение для задачи об адвекции в произвольном поле скорости |
| spellingShingle |
Карты локальных растяжений: приложение для задачи об адвекции в произвольном поле скорости Гуржий, А.А. Перхосейни, Х. |
| title_short |
Карты локальных растяжений: приложение для задачи об адвекции в произвольном поле скорости |
| title_full |
Карты локальных растяжений: приложение для задачи об адвекции в произвольном поле скорости |
| title_fullStr |
Карты локальных растяжений: приложение для задачи об адвекции в произвольном поле скорости |
| title_full_unstemmed |
Карты локальных растяжений: приложение для задачи об адвекции в произвольном поле скорости |
| title_sort |
карты локальных растяжений: приложение для задачи об адвекции в произвольном поле скорости |
| author |
Гуржий, А.А. Перхосейни, Х. |
| author_facet |
Гуржий, А.А. Перхосейни, Х. |
| publishDate |
2000 |
| language |
Russian |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Local stretching maps: an application for an advection problem in an arbitrary velocity field |
| description |
Рассматриваются локальные свойства растяжения пассивных жидких областей с произвольными границами в известном поле скорости. Аналитическое решение для локального растяжения позволяет выделить экспоненциальный коэффициент, который описывает растяжение исследуемой области и является аналогом наибольшего показателя Ляпунова, используемого в хаотической динамике. Этот коэффициент существует во всех решениях; он не зависит от формы контура и определяется только градиентами компонент поля скорости. Другой локальный механизм растяжения определяется интегральными характеристиками потока и видом рассматриваемого контура. Построение карт значений локальных растяжений для фиксированных моментов позволяет наглядно проанализировать эволюцию областей, в которых имеет место интенсивное размешивание. Процесс перемешивания рассматривается на примере задачи об адвекции пассивной примеси в поле скорости, наведенном системой точечных вихрей, движущихся периодически. Этот режим взаимодействия генерирует хаотическое движение пассивных жидких частиц. Локальные карты растяжения показывают, что области хаотического движения жидких частиц и интенсивного перемешивания не совпадают. Хаотические области имеют зоны слабого перемешивания, в которых контуры переносятся из одной зоны интенсивного растяжения в другую без какой-либо деформации.
Розглядаются локальнi властивостi розтягу пасивних рiдких областей з довiльними межами у вiдомому полi швидкостi. Аналiтичний розв'язок для локального розтягу дозволяє видiлити експоненцiйний коефiцiент, що описує розтяг областi, яка дослiджується i є аналогом найбiльшого показнику Ляпунова, що використовується в хаотичнiй динамiцi. Цей коефiцiент iснує в усiх рiшеннях; вiн не залежить вiд форми контура i визначається тiльки градiєнтами компонент поля швидкостi. Iнший локальний механiзм розтягу визначається iнтегральними характеристиками струму i видом контура, що розглядається. Побудова карт значень локальних розтягiв для фiксованих моментiв дозволяє наочно проаналiзувати еволюцiю областей, в яких має мiсце iнтенсивне розмiшування. Процес перемiшування розглядається на прикладi задачi про адвекцiю пасивної домiшки у полi швидкостi, наведеному системою точечних вихорiв, якi рухаються перiодично. Цей режим взаємодiї вихорiв генерує хаотичний рух пасивних рiдких часток. Локальнi карти розтягу показують, що областi хаотичного руху рiдких часток i iнтенсивного перемiшування не спiвпадають. Хаотичнi областi мають зони слабкого перемiшування, в яких контури переносяться iз однiєї зони iнтенсивного розтягу в iншу без будь-якої деформацiї.
The local stirring properties of a passive fluid domain with arbitrary borders in known velocity field are discussed. Analytical solution for local stretching permits to single out an exponential coefficient that describes stretching of the domain studied and is analogous to the largest Lyapunov exponent used in chaotic dynamics. This coefficient exist in all solutions; it does not depend on the shape of the contour, and is determined by the gradients of the velocity field components only. Another local mechanism of stirring is determined by integral characteristics of the flow and the shape of contour under consideration. Construction of maps for local stretching values in fixed moments allows to analyze informatively an evolution of regions, in which an intensive stirring takes place. The stirring process is explored in a sample of an advection problem of a passive impurity in the velocity field induced by a system of point vortices moved periodically. This interaction regime generates a chaotic motion of passive fluid particles. Local stretching maps show that the regions of chaotic motion of fluid particles and of intensive stirring do not coincide. Chaotic region has a zone of weak stirring, in which contours are transported from one intensive stretching zone to another without any deformation.
|
| issn |
1561-9087 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5026 |
| citation_txt |
Карты локальных растяжений: приложение для задачи об адвекции в произвольном поле скорости / A.A. Гуржий, Х. Перхосейни // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 1. — С. 28-43. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT guržiiaa kartylokalʹnyhrastâženiipriloženiedlâzadačiobadvekciivproizvolʹnompoleskorosti AT perhoseinih kartylokalʹnyhrastâženiipriloženiedlâzadačiobadvekciivproizvolʹnompoleskorosti AT guržiiaa localstretchingmapsanapplicationforanadvectionprobleminanarbitraryvelocityfield AT perhoseinih localstretchingmapsanapplicationforanadvectionprobleminanarbitraryvelocityfield |
| first_indexed |
2025-11-26T00:06:42Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:06:42Z |
| _version_ |
1850591351133962240 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 28 { 43��� 532.526 ����� ��������� ����������:���������� ��� ������ �� ��������� ������������ ���� ��������A. A. �������, �. ������������� �áâ¨âãâ £¨¤à®¬¥å ¨ª¨ ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�� ISITEM, University of Nantes�®«ã祮 20.03.99 � �¥à¥á¬®â८ 18.01.2000� áᬠâਢ îâáï «®ª «ìë¥á¢®©á⢠à áâ殮¨ï ¯ áᨢëå ¦¨¤ª¨å ®¡« á⥩ á ¯à®¨§¢®«ì묨 £à ¨æ ¬¨ ¢ ¨§-¢¥á⮬ ¯®«¥ ᪮à®áâ¨. � «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï «®ª «ì®£® à áâ殮¨ï ¯®§¢®«ï¥â ¢ë¤¥«¨âì íªá¯®¥æ¨ «ì멪®íää¨æ¨¥â, ª®â®àë© ®¯¨áë¢ ¥â à áâ殮¨¥ ¨áá«¥¤ã¥¬®© ®¡« á⨠¨ ï¥âáï «®£®¬ ¨¡®«ì襣® ¯®ª § ⥫ï�ï¯ã®¢ , ¨á¯®«ì§ã¥¬®£® ¢ å ®â¨ç¥áª®© ¤¨ ¬¨ª¥. �â®â ª®íää¨æ¨¥â áãé¥áâ¢ã¥â ¢® ¢á¥å à¥è¥¨ïå; ® ¥ § ¢¨á¨â®â ä®à¬ë ª®âãà ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 £à ¤¨¥â ¬¨ ª®¬¯®¥â ¯®«ï ᪮à®áâ¨. �à㣮© «®ª «ìë© ¬¥å ¨§¬ à -áâ殮¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨â¥£à «ì묨 å à ªâ¥à¨á⨪ ¬¨ ¯®â®ª ¨ ¢¨¤®¬ à áᬠâਢ ¥¬®£® ª®âãà . �®áâ஥¨¥ª àâ § 票© «®ª «ìëå à áâ殮¨© ¤«ï 䨪á¨à®¢ ëå ¬®¬¥â®¢ ¯®§¢®«ï¥â £«ï¤® ¯à® «¨§¨à®¢ âì í¢®«î-æ¨î ®¡« á⥩, ¢ ª®â®àëå ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨â¥á¨¢®¥ à §¬¥è¨¢ ¨¥.�à®æ¥áá ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨ï à áᬠâਢ ¥âáï ¯à¨¬¥à¥ § ¤ ç¨ ®¡ ¤¢¥ªæ¨¨ ¯ áᨢ®© ¯à¨¬¥á¨ ¢ ¯®«¥ ᪮à®áâ¨, ¢¥¤¥®¬ á¨á⥬®© â®ç¥çëå ¢¨å३, ¤¢¨¦ãé¨åáï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨. �â®â ०¨¬ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï £¥¥à¨àã¥â å ®â¨-ç¥áª®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ¯ áᨢëå ¦¨¤ª¨å ç áâ¨æ. �®ª «ìë¥ ª àâë à áâ殮¨ï ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ®¡« áâ¨ å ®â¨ç¥áª®£®¤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤ª¨å ç áâ¨æ ¨ ¨â¥á¨¢®£® ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨ï ¥ ᮢ¯ ¤ îâ. � ®â¨ç¥áª¨¥ ®¡« á⨠¨¬¥îâ §®ë á« ¡®£®¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨ï, ¢ ª®â®àëå ª®âãàë ¯¥à¥®áïâáï ¨§ ®¤®© §®ë ¨â¥á¨¢®£® à áâ殮¨ï ¢ ¤àã£ãî ¡¥§ ª ª®©-«¨¡®¤¥ä®à¬ 樨.�®§£«ï¤ îâáï «®ª «ì÷ ¢« á⨢®áâ÷ ஧âï£ã ¯ ᨢ¨å ài¤ª¨å ®¡« á⥩ § ¤®¢÷«ì¨¬¨ ¬¥¦ ¬¨ ã ¢÷¤®¬®¬ã ¯®«÷袨¤ª®áâ÷. � «÷â¨ç¨© ஧¢'燐ª ¤«ï «®ª «ì®£® ஧âï£ã ¤®§¢®«ïõ ¢¨¤÷«¨â¨ ¥ªá¯®¥æ÷©¨© ª®¥ä÷æ÷¥â, é® ®¯¨áãõ஧âï£ ®¡« áâ÷, ïª ¤®á«÷¤¦ãõâìáï ÷ õ «®£®¬ ©¡÷«ì讣® ¯®ª §¨ªã �ï¯ã®¢ , é® ¢¨ª®à¨á⮢ãõâìáï ¢ å ®â¨ç÷©¤¨ ¬÷æ÷. �¥© ª®¥ä÷æ÷¥â ÷áãõ ¢ ãá÷å à÷è¥ïå; ¢÷ ¥ § «¥¦¨âì ¢÷¤ ä®à¬¨ ª®âãà ÷ ¢¨§ ç õâìáï â÷«ìª¨ £à ¤÷õâ -¬¨ ª®¬¯®¥â ¯®«ï 袨¤ª®áâ÷. ö訩 «®ª «ì¨© ¬¥å ÷§¬ ஧âï£ã ¢¨§ ç õâìáï ÷â¥£à «ì¨¬¨ å à ªâ¥à¨á⨪ ¬¨áâàã¬ã ÷ ¢¨¤®¬ ª®âãà , é® à®§£«ï¤ õâìáï. �®¡ã¤®¢ ª àâ § ç¥ì «®ª «ì¨å ஧âï£÷¢ ¤«ï ä÷ªá®¢ ¨å ¬®¬¥â÷¢¤®§¢®«ïõ ®ç® ¯à® «÷§ã¢ ⨠¥¢®«îæ÷î ®¡« á⥩, ¢ ïª¨å ¬ õ ¬÷áæ¥ ÷â¥á¨¢¥ ஧¬÷è㢠ï.�à®æ¥á ¯¥à¥¬÷è㢠ï ஧£«ï¤ õâìáï ¯à¨ª« ¤÷ § ¤ ç÷ ¯à® ¤¢¥ªæiî ¯ ᨢ®ù ¤®¬÷誨 ã ¯®«÷ 袨¤ª®áâ÷, -¢¥¤¥®¬ã á¨á⥬®î â®ç¥ç¨å ¢¨å®à÷¢, ïª÷ àãå îâìáï ¯¥ài®¤¨ç®. �¥© ०¨¬ ¢§ õ¬®¤÷ù ¢¨å®à÷¢ £¥¥àãõ å ®â¨ç¨©àãå ¯ ᨢ¨å à÷¤ª¨å ç á⮪. �®ª «ì÷ ª à⨠஧âï£ã ¯®ª §ãîâì, é® ®¡« áâ÷ å ®â¨ç®£® àãåã à÷¤ª¨å ç á⮪ ÷ ÷-â¥á¨¢®£® ¯¥à¥¬÷èã¢ ï ¥ á¯÷¢¯ ¤ îâì. � ®â¨ç÷ ®¡« áâ÷ ¬ îâì §®¨ á« ¡ª®£® ¯¥à¥¬÷è㢠ï, ¢ ïª¨å ª®âãਯ¥à¥®áïâìáï ÷§ ®¤÷õù §®¨ ÷â¥á¨¢®£® ஧âï£ã ¢ ÷èã ¡¥§ ¡ã¤ì-类ù ¤¥ä®à¬ æ÷ù.The local stirring properties of a passive
uid domain with arbitrary borders in known velocity �eld are discussed.Analytical solution for local stretching permits to single out an exponential coe�cient that describes stretching of thedomain studied and is analogous to the largest Lyapunov exponent used in chaotic dynamics. This coe�cient exist inall solutions; it does not depend on the shape of the contour, and is determined by the gradients of the velocity �eldcomponents only. Another local mechanism of stirring is determined by integral characteristics of the
ow and the shapeof contour under consideration. Construction of maps for local stretching values in �xed moments allows to analyzeinformatively an evolution of regions, in which an intensive stirring takes place.The stirring process is explored in a sample of an advection problem of a passive impurity in the velocity �eld inducedby a system of point vortices moved periodically. This interaction regime generates a chaotic motion of passive
uidparticles. Local stretching maps show that the regions of chaotic motion of
uid particles and of intensive stirring do notcoincide. Chaotic region has a zone of weak stirring, in which contours are transported from one intensive stretching zoneto another without any deformation.1. ���������¥à¥¬¥è¨¢ ¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á«®¦®¥¯à¨à®¤®¥ ¥¨¥, ¢ª«îç î饥 à §«¨çë¥ ¬¥å -¨§¬ë, ¤¢ ¨§ ª®â®àëå ¨¡®«¥¥ ¢ ¦ë: à áâï-¦¥¨¥ ¢ á¢ï§¨ á «¨ç¨¥¬ ¯®«ï ᪮à®á⨠¨ ¤¨ä-äã§¨ï ¢ á¢ï§¨ á ¬®«¥ªã«ïàë¬ ¤¢¨¦¥¨¥¬ [1, 2].� ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¯®«®¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¯¨á ¨¥ï¢«¥¨ï ®ª §ë¢ ¥âáï á«®¦ë¬, ¨ áâண®¥ à¥è¥-¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¤ ç¨ á¥£®¤ï ®âáãâáâ¢ã-¥â. �®£¤ ¤¨ää㧨®ë¬¨ íä䥪⠬¨ ¬®¦®
¯à¥¥¡à¥çì ¨§-§ 䨧¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ ¦¨¤-ª®á⨠¨«¨ ¢à¥¬¥®£® ¬ áèâ ¡ ¥¨ï, ¨ § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª «¨§ã ¯à®æ¥áá ¤¥ä®à¬ 樨 ¦¨¤ª®©®¡« á⨠¢ ¯®«¥ ᪮à®áâ¨; ¯®«¥ ᪮à®á⨠¯à¥¤¯®« -£ ¥âáï § ¤ ë¬ ¯à¨®à®.� ¤ ç ® ¤¥ä®à¬ 樨 ®â¬¥ç¥ëå ¦¨¤ª¨å ®¡« -á⥩, ®¡ëç® ¨¬¥ã¥¬ ï ¢ «¨â¥à âãॠª ª § ¤ -ç ®¡ ¤¢¥ªæ¨¨ [1, 3], ᢮¤¨âáï ª «¨§ã âà ¥ªâ®-਩ � £à ¦¥¢ëå ç áâ¨æ ¦¨¤ª®áâ¨, ª®â®àë¥ ä®à-¬¨àãîâ £à ¨æë ¨áá«¥¤ã¥¬®© ®¡« áâ¨, ¢ �©«¥à®-¢®¬ ¯®«¥ ᪮à®áâ¨. � ¦¤ ï ¦¨¤ª ï ç áâ¨æ ¬®-¦¥â âà ªâ®¢ âìáï ª ª ¯ áᨢ ï ¦¨¤ª ï ç áâ¨æ ,28 c
öáâ¨âãâ £÷¤à®¬¥å ¨ª¨ ��� �ªà ù¨, 2000
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 28 { 43¨ ®á®¢ë¥ ãà ¢¥¨ï ¢ § ¤ ç¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ á®-¡®© á¨á⥬ã (§ ¤ ç �®è¨) [1,3]dxdt = V(x; t); x(0) = x0: (1)�¤¥áì x(t) { ¯®«®¦¥¨¥ ¦¨¤ª¨å ç áâ¨æ (¬ થ஢);V(t) { ¯®«¥ ᪮à®áâ¨. � ¤ «ì¥©è¥¬ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥á¢®¤ïâáï ª ¨§ã票î í¢®«î樨 ¦¨¤ª¨å ç áâ¨æ ¢â¥ç¥¨¨. � ¦¤ ï â ª ï ç áâ¨æ ¤¢¨¦¥âáï ¯® ᢮-¥© âà ¥ªâ®à¨¨, ¨ ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ¬®£ã⠯।-᪠§ âì ¯®«®¦¥¨ï ç áâ¨æë ¢ «î¡®© ¬®¬¥â ¢à¥-¬¥¨. �̄ ®à冷祮¥ ᮥ¤¨¥¨¥ ç áâ¨æ ¯à¨¢®-¤¨â ª ä®à¬¨à®¢ ¨î £à ¨æ ®¡« á⨠¤«ï § ¤ -®£® ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨.�ë ®¡à é ¥¬áï ª § ¤ ç¥ ®¡ ¤¢¥ªæ¨¨ ¯ áᨢ-ëå ¦¨¤ª¨å ç áâ¨æ, â.¥. ª á¨âã 樨, ¢ ª®â®à®©ä¨§¨ç¥áª¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ç áâ¨æ ¨ ¦¨¤ª®© áà¥-¤ë ®¤¨ ª®¢ë¥. �â® ã¯à®é¥¨¥ ¯®§¢®«ï¥â ¨áá«¥-¤®¢ âì ¤¥ä®à¬ æ¨î £à ¨æ ®¡« á⨠¢® ¢à¥¬¥¨ ¨¨á¯®«ì§®¢ âì £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë ¨áá«¥¤ã-¥¬®© ®¡« á⨠¢ ª ç¥á⢥ ªà¨â¥à¨ï à §¬¥è¨¢ ¨ï.�¡é¥¯à¨ïâ® [1, 3, 4 ¨ áá뫪¨], ¥á«¨ ¤«¨ ª®âã-஢ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï íªá¯®¥æ¨ «ì® á® ¢à¥¬¥¥¬,¬ë ¨¬¥¥¬ å ®â¨ç¥áªãî á¨á⥬ã; ¥á«¨ ¤«¨ ª®âã-஢ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï «¨¥©®, ⮣¤ à áᬠâਢ ¥-¬ë© ¯à®æ¥áá ï¥âáï ॣã«ïàë¬. � ¦¥ ¤«ï ¯à®-áâëå « ¬¨ àëå â¥ç¥¨© ¥ª®â®àë¥ £¨¤à®¤¨ -¬¨ç¥áª¨¥ á¨áâ¥¬ë ¬®£ãâ ¡ëâì ¥¨â¥£à¨à㥬묨¨ ¯à®ï¢«ïâì å ®â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥, ¯à¨¬¥à [1, 5- 7]. �à¥ä [3] ¯à¥¤«®¦¨« â¥à¬¨ë å ®â¨ç¥áª ï ¤-¢¥ªæ¨ï ¨«¨ � £à ¦¥¢ âãà¡ã«¥â®áâì ¤«ï íâ®-£® ¥¨ï, ¨ ®® «®áì ¯à¥¤¬¥â®¬ ¨â¥á¨¢®£®¨§ãç¥¨ï ¢ à §«¨çëå £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å á¨áâ¥-¬ å [1, 4, 8 - 11].�®£¤ ¯ áᨢ ï ¦¨¤ª ï ç áâ¨æ ¤¢¨¦¥âáï å ®-â¨ç¥áª¨, âà ¥ªâ®à¨ï ¨¬¥¥â ᨫìãî § ¢¨á¨¬®áâì®â ç «ìëå ãá«®¢¨©. � ááâ®ï¨¥ ¬¥¦¤ã ¤¢ã-¬ï ¡«¨¦ ©è¨¬¨ ç áâ¨æ ¬¨ à áâ¥â íªá¯®¥æ¨ «ì-® ¢ ¯à®áâà á⢥ ¨, ª ª १ã«ìâ â, ¨¬¥¥â ¬¥á-â® ¨â¥á¨¢®¥ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨¥. �¡ëç®, ¤«ï â®-£®, çâ®¡ë ©â¨ ®¡« á⨠¨â¥á¨¢®£® à §¬¥è¨-¢ ¨ï, ®¯à¥¤¥«ïîâ §®ë å ®â¨ç¥áª®£® ¤¢¨¦¥¨ï,¨á¯®«ì§ãï à §«¨çë¥ ¬¥â®¤ë ¨ ªà¨â¥à¨¨: ä §®-¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ¨/¨«¨ ¨å ¯à®¥ªæ¨¨ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®-áâà á⢥, ᯥªâà «ìë© ¨ ª®à५ïæ¨®ë© -«¨§ë à §«¨çëå å à ªâ¥à¨á⨪ ¤¢¨¦¥¨ï, á¥ç¥-¨¥ �ã ª à¥, ¨¡®«ì訩 ¯®ª § ⥫ì �ï¯ã®¢ ¨ â.¤. [1, 12 - 14]. �¤ ª® íâ® { £«®¡ «ìë¥ å -à ªâ¥à¨á⨪¨ ¤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤ª¨å ç áâ¨æ, ª®â®à륮¯à¥¤¥«ïîâ £«®¡ «ìë¥ §®ë ¨â¥á¨¢®£® à §¬¥-訢 ¨ï.� ®á ï¥âáï ¥«¨¥©ë¬ ¯à®æ¥áᮬ. �«¨ï¨¥¥«¨¥©®á⨠¨¬¥¥â ¢ ¦ãî à®«ì ¯à¨ ¨â¥£à¨à®-¢ ¨¨ í¢®«î樮®£® ãà ¢¥¨ï (1) ¤«ï ¡®«ìè¨å
¢à¥¬¥ëå ¨â¥à¢ «®¢. �®«¥¥ ⮣®, í⨠᢮©á⢠¨¬¥îâ ª®¯¨â¥«ìë© å à ªâ¥à. �à㣨¬¨ á«®¢ -¬¨, ¯à¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¨§ ç «ì® á« ¡®¥ ¢«¨ï-¨¥ ¥«¨¥©®áâ¨ è £ § è £®¬, ªªã¬ã«¨àã¥âáï¨ ¯à¨¢®¤¨â ª § ç¨â¥«ìë¬ ¨§¬¥¥¨ï¬ ¢ ¯ à -¬¥âà å ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å á¨á⥬. � १ã«ìâ ⥠¬®-¦¥â áâ㯨âì á¨âã æ¨ï, ª®£¤ â®ç®¥ ¨â¥£à¨-஢ ¨¥ í¢®«î樮®£® ãà ¢¥¨ï ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì¢ë¯®«¥® ç¨á«¥® ¤«ï ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨å ¢à¥-¬¥ëå ¨â¥à¢ «®¢.� áâ殮¨¥ { íâ® £«®¡ «ìë© ¯à®æ¥áá. �§ -ç «ì® ª®¬¯ ªâ ï ®¡« áâì ¬®¦¥â à áâïãâìáï ¯®¡®«ì让 ®¡« á⨠¨ ®æ¥ª à áâ殮¨ï ¨áá«¥¤ã¥-¬®© £à ¨æë ¤®á⨣ ¥â ¥ª®â®à®£® á।¥£® § -票ï. �â® ®§ ç ¥â, çâ® ®¤ ç áâì ª®âãà ¬®¦¥â à áâ¢ âìáï ᨫ쥥, 祬 ¤à㣨¥. �®§-¨ª ¥â ¢®¯à®á: ª ª¨¥ ¯ à ¬¥âàë ¥®¡å®¤¨¬®®à¨¥â¨à®¢ âìáï ¨ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨ à §à ¡®âª¥®¡®à㤮¢ ¨ï ¤«ï ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨ï ¤«ï ⮣®, ç⮡먬¥âì íää¥ªâ¨¢ë¥ à¥¦¨¬ë à §¬¥è¨¢ ¨ï ¤«ï§ ¤ ëå £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ¨ í¥à£¥â¨ç¥áª¨å ¯ à -¬¥â஢ â¥ç¥¨©?� è¥ ¢¨¬ ¨¥ ¯à ¢«¥® ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ «®-ª «ìëå ᢮©á⢠à áâ殮¨ï à §«¨çëå ®â१ª®¢¨ ª®âã஢, ¨§ ç «ì® ¯®¬¥é¥ëå ¢ ®ªà¥áâ®-á⨠¯à®¨§¢®«ì®© â®çª¨ ¯®«ï ᪮à®áâ¨. � í⮩áâ âì¥ ¬ë ¢¢®¤¨¬ ª àâë à áâ殮¨©, ¯®ª §ë¢ î-饥 ª ª ¨§ ç «ì® ª®¬¯ ªâë© ª®âãà, ¯®¬¥é¥-ë© ®ª®«® â®çª¨ (x; y), 㢥«¨ç¨¢ ¥â á¢®î ¤«¨ã § ª®à®âª¨© ¨â¥à¢ « ¢à¥¬¥¨ ¤«ï § ¤ ®£® ¬®¬¥-⠢६¥¨. �®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ª àâ à áâ殮-¨© (¤«ï ¥áâ 樮 àëå ¤¢ã¬¥àëå á«ãç ¥¢ ¨«¨¤«ï ⨯¨çëå ¬®¬¥â®¢ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å â¥ç¥¨©)¯®§¢®«¨â ¯à®¨««îáâà¨à®¢ âì ¯®«®¦¥¨ï ®¡« á⥩(¨ ¨å ¤à¥©ä á â¥ç¥¨¥¬ ¢à¥¬¥¨), ¯à®ï¢«ïîé¨å¨â¥á¨¢®¥ ¨ á« ¡®¥ à áâ殮¨¥ ¡¥§ ¯àאַ£® ç¨-á«¥®£® ¬®¤¥«¨à®¢ ¨ï § ¤ ç¨ ®¡ ¤¢¥ªæ¨¨.� áâ®ïé ï áâ âìï ®à£ ¨§®¢ á«¥¤ãî騬®¡à §®¬. � à §¤¥«¥ 2 ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ®á®¢ë¥ ãà ¢-¥¨ï, ®¯¨áë¢ î饥 âà ¥ªâ®à¨î ¯ áᨢ®© ¦¨¤-ª®© ç áâ¨æë ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¯à®¨§¢®«ì®© â®ç-ª¨ ¯®«ï ᪮à®áâ¨. � ⥬ «¨§¨àã¥âáï ¯à®æ¥ááà áâ殮¨ï/ᦠâ¨ï à §«¨çëå ç «ìëå ª®âã-஢, áä®à¬¨à®¢ ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ¯ á-ᨢëå ¬ થ஢. �⨠१ã«ìâ âë â¥áâ¨àãîâáï¢ à §¤¥«¥ 3 ¤«ï ¯à®æ¥áá à áâ殮¨ï, ¨¤ãæ¨à®-¢ ®£® ¯®«¥¬ ᪮à®á⨠â®ç¥çëå ¢¨å३. � á-ᬠâਢ îâáï ॣã«ï஥ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨¥, ª®â®-஥ ¨¬¥¥â «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥, ¢ ¯®«¥ ᪮à®á⨮¤¨®ç®£® ¢¨åàï, ¨ ¨â¥á¨¢ë© ०¨¬ ¤«ï âà¥åâ®ç¥çëå ¢¨å३, ¤¢¨¦ãé¨åáï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨. �¥-ª®â®àë¥ § ª«îç¨â¥«ìë¥ § ¬¥ç ¨ï, ®¡á㦤¥¨¥¨ ®á®¢ë¥ ¢ë¢®¤ë ¯à¨¢®¤ïâáï ¢ à §¤¥«¥ 4. �ਫ®-¦¥¨¥ ¨««îáâà¨àã¥â ¥ª®â®àë¥ ®á®¡¥®á⨠-A.A.�ãন© ¨ �.�¥àå®á¥©¨ 29
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 28 { 43«¨§ .2. �������� ���������� í⮩ ç á⨠¨áá«¥¤ã¥âáï ¤¢¨¦¥¨¥ ®â¤¥«ìëå¯ áᨢëå « £à ¦¥¢ëå ¦¨¤ª¨å ç áâ¨æ ¨ ª®âã-஢ ¢ ¤¢ã¬¥à®¬ ¥áâ 樮 ஬ ¯®«¥ ᪮à®áâ¨.� ª¨¥ ¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ á¨áâ¥¬ë ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥ëåãá«®¢¨ïå ¯à®ï¢«ïîâ å ®â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ ¨ ¯à¨-¢®¤ïâ ª ¨â¥á¨¢®¬ã £«®¡ «ì®¬ã ¯¥à¥¬¥è¨¢ -¨î [1, 4, 7, 15]. �¤¥áì ¬ë ®¡à ⨬áï ª «®ª «ìë¬å à ªâ¥à¨á⨪ ¬ ¥¨ï. � ç « ¬ë ¨áá«¥¤ã-¥¬ ⥮à¥â¨ç¥áª¨ âà ¥ªâ®à¨¨ ¤¢ãå ¡«¨§«¥¦ é¨å¦¨¤ª¨å ç áâ¨æ. � ⥬ ¯à® «¨§¨à㥬 «®ª «ìë¥à áâ殮¨ï à §«¨çëå ª®âã஢.2.1 �®ª «ì®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ®â¤¥«ìëå ¦¨¤-ª¨å ç áâ¨æ� áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî â®çªã O(x0; y0) ¢¤¢ã¬¥à®¬ ¥áâ 樮 ஬ ¯®«¥ ᪮à®á⨠U[U (x; y; t); V (x; y; t)], ¢ ª®â®à®¬ ®¡¥ ª®¬¯®¥â묮£ãâ ¡ëâì à §«®¦¥ë ¢ àï¤ �¥©«®à ¤«ï 䨪á¨-஢ ®© â®çª¨ O(x0; y0) ¨ ¤«ï ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨t0:U (x; y; t) = U0 + @U@x (x� x0) + @U@y (y � y0) ++ @U@t (t� t0) + : : : ; (2)V (x; y; t) = V0 + @V@x (x� x0) + @V@y (y � y0) ++ @V@t (t� t0) + : : : (3)�ªà㦨¬ â®çªã O(x0; y0) ¬ «®© ®¡« áâìî á å à ª-â¥àë¬ à §¬¥à®¬ " (à¨á. 1). �ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬ "â ª®©, çâ®¡ë ¬®¦® ¡ë«® ¢¢¥á⨠¯®«¥ ᪮à®áâ¨U (U; V ) ¢ «¨¥ «¨§¨à®¢ ®© ä®à¬¥ (2), (3). �®£-¤ í¢®«î樮®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ¯ áᨢ®© ¦¨¤-ª®© ç áâ¨æë, ¨§ ç «ì® ¯®¬¥é¥®© ®ª®«® â®çª¨O(x0; y0), ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥® ¢ á«¥¤ãî饬¢¨¤¥: 8><>: d�1d� = a�1 + b�2 + e� + g;d�2d� = c�1 + d�2 + f� + h (4)á ç «ì묨 ãá«®¢¨ï¬¨�1(0) = �01; �2(0) = �02; (5)£¤¥ �1 = x� x0; �2 = y � y0; � = t � t0;
�¨á. 1. �奬 â¨ç¥áª ï ¤¨ £à ¬¬ , ¯®ª §ë¢ îé ï -ç «ì®¥ ¯®«®¦¥¨¥ ¬ થà A ¢ ¬ «®© "-®ªà¥áâ®áâ¨â®çª¨ Oa = @U@x ; b = @U@y ; c = @V@x ; d = @V@y ;e = @U@t ; f = @V@t ; g = U0; h = V0: (6)�¤¥áì è ç «ìë© ¨â¥à¥á ¯à ¢«¥ ¨§¬¥-¥¨¥ ¤«¨ë ¢¥ªâ®à j�(� )j = [�21(� ) + �22(� )]1=2 ¢®¢à¥¬¥¨.�ᥠ£à ¤¨¥âë ¯à®¥ªæ¨© ᪮à®á⨠¢ ¯à ¢®© ç á-⨠ãà ¢¥¨© (4) ïîâáï ¯®áâ®ï묨 ¨ ®¯à¥-¤¥«ïîâáï ¢ O(x0; y0). �®¬¯®¥âë ¯®«ï ᪮à®áâ¨U0(U0(x0; y0); V0(x0; y0)) ¥ ®ª §ë¢ îâ ¢«¨ï¨ï ¨§¬¥¥¨¥ à ááâ®ï¨© ¬¥¦¤ã à áᬠâਢ ¥¬ë¬¨â®çª ¬¨. �¤ ª® í⨠§ ç¥¨ï ®¯à¥¤¥«ïîâ ¢à¥-¬¥®© ¬ áèâ ¡ � � "=jU j, ¢ â¥ç¥¨¥ ª®â®à®£®à áᬠâਢ ¥¬ë¥ â®çª¨ ®áâ îâáï ¢ ®ªà¥áâ®áâ¨". �¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨© (4) § ¢¨á¨â ®â à¥è¥¨ï å -à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï á¨á⥬ë, ª®¬¯«¥ªá-ëå § 票© p1 ¨ p2, ¨ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¬®¦¥â¡ëâì § ¯¨á ® ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥ [16]:�1(� ) = exp(p1� )�A�01 + B�02 + E ;�2(� ) = exp(p1� )�C�01 +D�02 + F ; (7)£¤¥ p1 { § 票¥, ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ¨¡®«ìèãî ¤¥©-á⢨⥫ìãî ç áâì; A, B, C, D, E ¨ F { äãªæ¨¨,®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ £à ¤¨¥â ¬¨ ¯®«ï ᪮à®áâ¨, ®æ¥¨-¢ ¥¬®© ¢ â®çª¥ O(x; y) (ᬮâਠ¤¥â «¨ ¢ �ਫ®¦¥-¨¨). �¨ § ¢¨áïâ ®â à¥è¥¨ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥á-ª®£® ãà ¢¥¨ï ¨«¨, ¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ®â § ª äãªæ¨¨ D2c = (a + d)2 � 4(ad� cb): (8)30 A.A.�ãন© ¨ �.�¥àå®á¥©¨
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 28 { 43�à ¢¥¨ï (7) ®¯¨áë¢ îâ í¢®«îæ¨î â®çª¨ A ¯®®â®è¥¨î ª â®çª¥ O. � ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¤«¨ ¢¥ª-â®à l = j�j ¬®¦¥â ¡ëâì à §«®¦¥ ¢ àï¤ �¥©«®à ¯® ¬ «®¬ã ¯ à ¬¥âàã �� < � ¢ à áᬠâਢ ¥¬®©â®çª¥ (x0; y0):l(x0; y0; t0;�� ) = C0(x0; y0; t0) + (9)+C1(x0; y0; t0)�� + C2(x0; y0; t0)�2� +O(�3� ):� ááâ®ï¨¥ l(x0; y0; t0;�� ) ¬®¦¥â ª ª 㢥«¨ç¨-¢ âìáï, â ª ¨ 㬥ìè âìáï, ¯®áª®«ìªã äãªæ¨¨ A,B, C, D, E ¨ F ¢ ãà ¢¥¨¨ (7) ¬®£ãâ ¡ëâì ª ª ¯®-«®¦¨â¥«ì묨, â ª ¨ ®âà¨æ ⥫ì묨 ¨§-§ £à -¤¨¥â®¢ ᪮à®á⨠¨ ç «ìëå ãá«®¢¨© (4). �â-¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ ¯®«¥ ᪮à®á⨠ï¥âáï áâ 樮- àë¬, ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥âë ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (9) ¥¨§¬¥ïîâáï ¢® ¢à¥¬¥¨: C0 = C0(x0; y0), C1 =C1(x0; y0) ¨ C2 = C2(x0; y0).� ¯à®æ¥áᥠà áâ殮¨ï ¨á室 ï ®¡« áâì ®¡ëç-® âà áä®à¬¨àã¥âáï ¢ ⮪ãî «¨¨î § ¤®áâ -â®ç® ¡®«ì让 ¨â¥à¢ « ¢à¥¬¥¨. � §«¨çë¥ ç á-⨠í⮩ «¨¨¨ ¯®¤¢¥à£ îâáï ª ª ᦠâ¨î, â ª ¨à áâ殮¨î. �᫨ ¨áá«¥¤ã¥¬®¥ â¥ç¥¨¥ ï¥âáïáâ 樮 àë¬, ¯à®¨§¢®«ìë© ®â१®ª ¨«¨ ç áâ쪮âãà à áâ¢ îâáï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢ ¯à ¢«¥-¨¨ ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠[1]. �ᯮ«ì§ãï ¯à¥¤ë¤ã騥१ã«ìâ âë (9), ¨§¬¥¥¨¥ ¤«¨ë ®â१ª ¬®¦¥â¡ëâì ¯à® «¨§¨à®¢ ® ⥮à¥â¨ç¥áª¨.�®à®âª¨© ®â१®ª ¢ â®çª¥ OA á å à ªâ¥àë¬à §¬¥à®¬ j�0j < " ¯®ª § à¨á. 2, . � ç «ìë¥ãá«®¢¨ï ¤«ï â®ç¥ª O(x0; y0) ¨ A(x0 + �01; y0 + �22),ä®à¬¨àãî騥 ®â१®ª, ¨¬¥îâ ¢¨¤xA(0) = j�0j U0pU20 + V 20 + x0;yA(0) = j�0j V0pU20 + V 20 + y0; (10)xO(0) = x0; yO(0) = y0¨, ¨á¯®«ì§ãï ãà ¢¥¨ï (7), (10), ®â®á¨â¥«ì®¥¨§¬¥¥¨¥ ¤«¨ë ®â१ª ¡ã¤¥âLseg(x; y;�� ) = p�21 + �22j�0j == 1 + �� �U20 (p2 � d) + V 20 (p2 � a)U20 + V 20 ++V0U0(b+ c)U20 + V 20 + p1�+O(�2� ): (11)�⨠¯à¨¬¥àë ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® à áâ殮¨¥®â१ª®¢ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¥ª®â®à®© â®çª¨ ¯®«ï᪮à®á⨠§ ¢¨á¨â ®â ¬®£¨å ä ªâ®à®¢. � áâ殮-¨¥ ¨«¨ ᦠ⨥ ¨á室ëå ®â१ª®¢ ¯à®ï¢«ï¥â à §-«¨çë© å à ªâ¥à á® ¢à¥¬¥¥¬ ¨§-§ ¯®«ï ᪮à®á-
�¨á. 2. �奬 â¨ç¥áª ï ¤¨ £à ¬¬ , ¯®ª §ë¢ îé ï -ç «ì®¥ ¯®«®¦¥¨¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¬ થ஢, ¯®-¬¥é¥ëå ®ª®«® â®çª¨ O: { ª®à®âª¨© ®â१®ª ¢ -¯à ¢«¥¨¨ ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¢ â®çª¥ O; ¡ { ¬ «ë© ªàã£à ¤¨ãá j�0j⨠¨ ç «ìëå ¯®«®¦¥¨© à áᬠâਢ ¥¬ëå â®-祪. �«¨ ª®âã஢ ¬®¦¥â ¨§¬¥ïâìáï «¨¥©®¨ ª¢ ¤à â¨ç® á® ¢à¥¬¥¥¬ ç «ìëå áâ ¤¨ï寥६¥è¨¢ ¨ï ¨§ ç «ì® ª®¬¯ ªâëå ª®âã஢.�®¤à®¡ë© «¨§ à §«¨çëå à¨á㪮¢ ¨ ¤ ëå¢ ç¨á«¥ëå íªá¯¥à¨¬¥â å [4,10,12,17,18] ¯à¨¢®-¤¨â ª § ª«îç¥¨î ® ¤®á⮢¥à®á⨠¤®á⨣ãâëå१ã«ìâ ⮢. �¤ ª®, ¯à¨ à §¬¥è¨¢ ¨¨ à ááâ®-逸 ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨ ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â â®ç® á ¤«¨®©®â१ª , ¯®áª®«ìªã ¨§ ç «ì® ¯àï¬ ï «¨¨ï â®-¦¥ ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï. �â® âਢ¨ «ì®¥ à áá㦤¥¨¥¯à¨¢®¤¨â ª § ª«î票î, çâ® § ¤ çã á«¥¤ã¥â à á-A.A.�ãন© ¨ �.�¥àå®á¥©¨ 31
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 28 { 43ᬠâਢ âì ¥ ⮫쪮 ¤«ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠â®-祪 ®ª®«® à áᬠâਢ ¥¬®© â®çª¨ (¡ §®¢®©), ® ¨¤«ï ¥¯à¥àë¢ëå «¨¨© ¨ ª®âã஢.2.2 �®ª «ì®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ¯ áᨢëå ¦¨¤-ª¨å ª®âã஢�¥¯à¥àë¢ë© ª®âãà ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢-«¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ¯ áᨢëå ¬ થ஢.� áᬮâਬ à áâ殮¨¥ ¯à®¨§¢®«ì®£® ª®âãà ,®å¢ âë¢ î饣® â®çªã O(x0; y0) (à¨á. 2, ¡). �®-ª «ìë¥ ª®®à¤¨ âë ¢á¥å ¬ થ஢, ª®â®àë¥ ä®à-¬¨àãîâ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ª®âãà, ¬®£ãâ ¡ëâì§ ¤ ë ª ª x(�) = j�0jf1(�) + x0;y(�) = j�0jf2(�) + y0; (12)£¤¥ � { ¯ à ¬¥âà ª®âãà , ¨§¬¥ïî騩áï ®â 0 ¤®�0; j�0j { ¬ áèâ ¡ 䨣ãàë, j�0j < ". �«¨ ª®âã-à ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á ¯®¬®éìî ¨â¥£à « lcon(x0; y0; � ) = j�0j �0Z0 (�@f1@� �2 + �@f2@� �2)1=2 d�:(13)�ᯮ«ì§ãï ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ (7), ¢ëç¨á«¨¬ ®â®-á¨â¥«ìãî ¤«¨ã ª®âãà :L(x; y; � ) = lcon(x0; y0; � )j�0j = ep1� �� �0Z0 h _f21 (A2 +C2) + _f22 (B2 +D2)++ 2(AB +CD) _f1 _f2i1=2 d�; (14)£¤¥ äãªæ¨¨ A, B, C ¨ D ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¢ ᮮ⢥â-á⢨¨ á ãà ¢¥¨ï¬¨ (7). �¤¥áì â®çª ®§ ç ¥â¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ äãªæ¨© ¯® ¨å à£ã¬¥âã.�â¥£à « ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (14) ¢á¥£¤ ¯®«®¦¨â¥«¥.�®£¤ t ! 0, ª®íää¨æ¨¥âë A ¨ D áâ६ïâáï ª¥¤¨¨æ¥, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª B ¨ C áâ६ïâáï ª ã-«î, ®§ ç ï, çâ® ¨â¥£à « áâ६¨âáï ª ª®¥ç®-¬ã § 票î, à ¢®¬ã ç «ì®© ¤«¨¥ ª®âãà .�â¥£à « § ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥¨ ¨ íâ § ¢¨á¨¬®áâ쮯।¥«ï¥âáï ¯®«¥¬ ᪮à®áâ¨. �®£¤ Dc > 0 (á¬.¢ëà ¦¥¨¥ (8)), ¨â¥£à « ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (14) å -à ªâ¥à¨§ã¥âáï íªá¯®¥æ¨ «ì®© äãªæ¨¥© á ¯®-«®¦¨â¥«ìë¬ à£ã¬¥â®¬, á¬. ¢ ¯à¨«®¦¥¨¨ ¢ë-à ¦¥¨¥ (34). �᫨ Dc = 0, ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥âë㢥«¨ç¨¢ îâáï «¨¥©® á® ¢à¥¬¥¥¬, (¢ëà ¦¥¨¥(35)). �®£¤ Dc < 0, ®¨ ®á樫«¨àãîâ, (¢ëà ¦¥-¨¥ (36)). �¥®¡å®¤¨¬® ¯®¬¨âì, çâ® è «¨§
á¯à ¢¥¤«¨¢ ⮫쪮 ¢ à ¬ª å ¢à¥¬¥®£® ¬ áèâ -¡ , á¢ï§ ®£® á ¬ áèâ ¡®¬ �� , â® ¥áâì ¢à¥¬¥¨,¢ â¥ç¥¨¥ ª®â®à®£® à áᬠâਢ ¥¬ë© ª®âãà ¥¯®ª¨¤ ¥â "-®ªà¥áâ®áâ¨.�ªà㦨¬ â®çªã O(x0; y0) ¬ «ë¬ ªà㣮¬ à ¤¨ã-á "0 (à¨á. 2, ¡) ¢ ª ç¥á⢥ ¨««îáâà ⨢®£® ¯à¨-¬¥à . � í⮬ á«ãç ¥ ç «ìë¥ § ç¥¨ï ¬®¦®¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ (áà ¢¨ ¢ëà ¦¥¨ï (6) ¨ (12))�01 = j�0jcos�; �02 = j�0jsin�: (15)�¤¥áì � ¬¥ï¥âáï ®â 0 ¤® 2�.� ¯à®æ¥áᥠà áâ殮¨ï ç «ìë© ªà㣠¯®¤¢¥à-£ ¥âáï ¥ª®â®à®© ¤¥ä®à¬ 樨 ¨ ª ¦¤ë© ¬ થৠ¨¬ ¥â ®¢®¥ ¯®«®¦¥¨¥ ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ãà ¢-¥¨ï¬¨ (7). �â¥£à « (14) ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì®â®á¨â¥«ì®¥ ¨§¬¥¥¨¥ ¤«¨ë ª®âãà (¥ª®â®-àë¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯à¨¢¥¤¥ë ¢�ਫ®¦¥¨¨). � ª १ã«ìâ â, ®â®á¨â¥«ì ï ¤«¨- ª®âãà , ä®à¬¨àãî饣® ¢ ç «ìë© ¬®¬¥âªàã£, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¦¥¨¥¬Lcir(x; y; � ) = ep1� � 2�p� + �E(k)� ; (16)£¤¥ � = �(a; b; c; d; x0; y0; t0);� = �(a; b; c; d; x0; y0; t0);k2 = 2�=(� + �):�¤¥áì E(k) { ¯®ë© í««¨¯â¨ç¥áª¨© ¨â¥£à « ¢â®-ண® த , �, � { § 票ï, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¯®-«¥¬ ᪮à®á⨠¢ ¡ §®¢®© â®çª¥ (x0; y0). �ëà ¦¥¨¥¢ ª¢ ¤à âëå ᪮¡ª å ®¯¨áë¢ ¥â ¤«¨ã í««¨¯á ,áä®à¬¨à®¢ ®£® ®¢ë¬ ¯®«®¦¥¨¥¬ ¬ થ஢; �¨ � + � { ¬¥ìè ï ¨ ¡®«ìè ï ®á¨ í««¨¯á [16]ᮮ⢥âá⢥®. �ªá¯®¥æ¨ «ìë© ¬®¦¨â¥«ìexp(p1� ) ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (16) ®¯¨áë¢ ¥â ¤®¯®«¨-⥫쮥 à áâ殮¨¥ ª®âãà ¨ § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â¯®«ï ᪮à®áâ¨. �¨á«¥ë© íªá¯¥à¨¬¥â ¯®ª §ë¢ -¥â: ¥á«¨ p1 = 0, â® ¨§ ç «ì® ªà㣮¢ ï ®¡« áâ줥ä®à¬¨àã¥âáï â®ç® ¢ í««¨¯á. �᫨ p1 6= 0, ¨¬¥-¥â ¬¥á⮠᪫ ¤ª®®¡à §®¢ ¨¥ (á¬. «®£¨î á £«®-¡ «ìë¬ ¯à®æ¥áᮬ, ç¥âª® ®¯à¥¤¥«¥ë¬ ¢ ¬®®-£à 䨨 [1]) ¨ ªà㣠âà áä®à¬¨àã¥âáï ¢ ¡®«¥¥ á«®¦-ãî 䨣ãàã.�ëà ¦¥¨¥ (16) ¬®¦¥â ¡ëâì à §«®¦¥® ¢ àï¤ ¯®¬ «®¬ã ¯ à ¬¥âàã �� :Lcir(x; y;�� ) = 1 + �� �a+ d2 �+O(�2� ): (17)�à¥â¨© ç«¥ ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (17) ¯®ª § ¢ �ਫ®-¦¥¨¨. �®¦® ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® áâàãªâãà ¢â®-ண® ç«¥ ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (17) ï¥âáï ⨯¨ç®©32 A.A.�ãন© ¨ �.�¥àå®á¥©¨
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 28 { 43¤«ï ç «ì®£® à áâ殮¨ï 䨣ãà, ¯®¬¥é¥ëå ¢®ªà¥áâ®áâïå ". �᫨ â¥ç¥¨¥ ¥á¦¨¬ ¥¬®¥, â®a+ d = 0.� ¦® ®â¬¥â¨âì, çâ® íªá¯®¥æ¨ «ì ï ç áâì ¢¢ëà ¦¥¨¨ (14) § ¢¨á¨â ®â ¯®«ï ᪮à®áâ¨. � ¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⨯®¬ ª®âãà ¨«¨ ªà¨¢®©, ª®-â®à ï ®ªà㦠¥â â®çªã, ¨ ®¯¨áë¢ ¥â à áâ殮¨¥,¢ë§¢ ®¥ ⮫쪮 ¯®«¥¬ ᪮à®áâ¨. � 襬 á«ã-ç ¥, p1 = p1(x0; y0; t0) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨¡®«ì-襬㠯®«®¦¨â¥«ì®¬ã ª®àî å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®-£® ãà ¢¥¨ï á¨áâ¥¬ë ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥-¨©, ª®â®àë¥ ®¯¨áë¢ îâ ®â®á¨â¥«ì®¥ ¨§¬¥¥-¨¥ à ááâ®ï¨ï ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨ ¢® ¢à¥¬¥¨, ª®-â®àë¥ ¡ë«¨ ¨§ ç «ì® ¯®¬¥é¥ë ®ª®«® ¡ §®¢®©â®çª¨ O(x0; y0). �à㣠ï ç áâì ¢ëà ¦¥¨ï (14),®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï ¨â¥£à «®¬, ®¯¨áë¢ ¥â «®ª «ìë¥á¢®©á⢠à áâ殮¨ï § ¤ ëå ª®âã஢ ¢ ¯®«¥áª®à®á⨠¤«ï ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t0.� «¨§, ¯à¥¤áâ ¢«¥ë© à ¥¥, ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ë-¯®«¥ ¤«ï ¤àã£¨å ¡ §®¢ëå â®ç¥ª (x0; y0) ¯®«ï ᪮-à®á⨠¤«ï ®¤®£® ¨ ⮣® ¦¥ 䨪á¨à®¢ ®£® ¬®-¬¥â t0. �ᮡ¥®á⨠à áâ殮¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¤«ï ¬®¬¥â t = t0 ⮯®«®£¨ç¥-᪮© ª à⥠(ª àâë «®ª «ì®£® à áâ殮¨ï), £¤¥ã¤®¡® ®á¨âì § 票¥ C1(x0; y0), C2(x0; y0)¨«¨ p1(x0; y0) (á¬. ¢ëà ¦¥¨ï (9) ¨«¨ (14) ¢ ®¡é¥¬á«ãç ¥) ¤«ï à §«¨çëå ç «ìëå à áᬠâਢ ¥-¬ëå 䨣ãà. �®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ª àâ (¥á«¨ ¨¬¥¥¬¥áâ 樮 ஥ â¥ç¥¨¥) ¯®§¢®«ï¥â ®âªàëâì ¤®-¯®«¨â¥«ìë¥ ¢®§¬®¦®á⨠¤«ï «¨§ ¯®«®¦¥-¨ï ¨ á¬¥é¥¨ï ®¡« á⥩, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¨â¥-ᨢ®¥ ¨«¨ á« ¡®¥ à áâ殮¨¥ à §«¨çëå ª®âã-஢ ¢® ¢à¥¬¥¨. �â®â «¨§ ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¨¦¥.3. �������� �������� ������� ¤ ®¬ à §¤¥«¥ ¯à¨¬¥¨¬ ¬¥â®¤, ®á®¢ ë© ª àâ å «®ª «ì®£® à áâ殮¨ï ª â¥ç¥¨î, £¥¥-à¨à㥬®£® á¨á⥬®© â®ç¥çëå ¢¨å३. �¢¨¦¥¨¥â®ç¥çëå ¢¨å३ ®¯¨áë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë-¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 [19, 20]. �â¥-£à¨à㥬®áâì á¨áâ¥¬ë § ¢¨á¨â ®â ç¨á« ¢¨å३ ¨,¤«ï á«ãç ï âà¥å ¨ ¡®«¥¥ ¢¨å३, £¥¥à¨à㥬®¥ ¯®«¥áª®à®á⨠¯à¨¢®¤¨â ª å ®â¨ç¥áª®© ¤¢¥ªæ¨¨ ¨, ª ªà¥§ã«ìâ â, ª ¨â¥á¨¢®¬ã à §¬¥è¨¢ ¨î. � ª אַ¤¥«ì ¤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¯à¨¢®¤¨â ª ã¯à®é¥-¨î ç¨á«¥®£® ¬®¤¥«¨à®¢ ¨ï ¨ «¨§ , ¨ á«¥-¤®¢ ⥫ì®, ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ª ç¥á⢥ â¥áâ à §«¨çëå «£®à¨â¬®¢ ¨ ¬¥â®¤®¢, â ª¦¥ ¤«ï ª -ç¥á⢥®£® ®¯¨á ¨ï á«®¦ëå â¥ç¥¨© [18,21,22].�¨¦¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ®á®¢ë¥ ãà ¢¥¨ï ¤¨ ¬¨-ª¨ â®ç¥çëå ¢¨å३ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì è¨ ®¡®§ 票ï; áá뫪¨ [4, 20, 23] ᮤ¥à¦ â ¤®-¯®«¨â¥«ìë¥ ¤¥â «¨.
�¢¨¦¥¨¥ N â®ç¥çëå ¢¨å३ ¨â¥á¨¢®áâ¨k� á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x�; y�) ®¯¨áë¢ ¥âáï_z?� = 12�i NX�=1 0 k�z� � z� ; � = 1; : : : ; N (18)á ç «ì묨 ãá«®¢¨ï¬¨ z�(0) = z0�. �¤¥áì z� =x� + jy�, â®çª ®§ ç ¥â ¯à®¨§¢®¤ãî ¯® ¢à¥¬¥-¨, §¢¥§¤®çª { ª®¬¯«¥ªá®¥ ᮯà殮¨¥, èâà¨å {®¯ã饨¥ ᨣã«ïண® ç«¥ � = �.�¢¨¦¥¨¥ á¨á⥬ë â®ç¥çëå ¢¨å३ ®¯à¥¤¥«ï-¥âáï � ¬¨«ìâ®®¢®© ¤¨ ¬¨ç¥áª®© á¨á⥬®©k� _x� = @H@y� ; k� _y� = � @H@x� ;� = 1; : : : ; N; (19)£¤¥ H = � 14� NX�=1 NX�=1 0k�k� �� ln[(x� � x�)2 + (y� � y�)2]: (20)�ਠ¯¥à¢ëå ¨â¥£à « á¨á⥬ë (19), ¯®¬¨¬® H,¨¬¥îâ ¢¨¤Q = NX�=1k�x�; P = NX�=1 k�y�;I = NX�=1k�(x2� + y2�): (21)�à ¢¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¯ áᨢ®© � £à ¦¥¢®©ç áâ¨æë ¢ ¯®«¥ ᪮à®áâ¨, ¢¥¤¥®© á¨á⥬®© â®-ç¥çëå ¢¨å३, ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祮, à áᬠâà¨-¢ ï ¬ àª¥à ¯à¨ Z = X + jY ª ª â®ç¥çë© ¢¨åàìã«¥¢®© ¨â¥á¨¢®á⨠[4, 18]. �à ¢¥¨¥ ¯ áᨢ-®© ¦¨¤ª®© ç áâ¨æë_Z? = 12�i NX�=1 k�Z � z� (22)á Z(0) = Z0 âà áä®à¬¨àã¥âáï ¢ � ¬¨«ì⮨ ®¢-áªãî ä®à¬ã:_X = @ @Y ; _Y = � @ @X ; (23) = � 12� NX�=1 k�ln[(X � x�)2 + (Y � y�)2]:�«¥¤®¢ ⥫ì®, ¤¨ ¬¨ç¥áª ï § ¤ ç ¢à¥¬¥¥-§ ¢¨á¨¬®© � ¬¨«ì⮨ ®¢áª®© á¨á⥬ë á ®¤®©A.A.�ãন© ¨ �.�¥àå®á¥©¨ 33
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 28 { 43á⥯¥ìî ᢮¡®¤ë ï¥âáï íª¢¨¢ «¥â®© ª¨¥-¬ â¨ç¥áª®© § ¤ ç¥ ¯ áᨢ®© ¦¨¤ª®© ç áâ¨æë.3.1 �¥¦¨¬ ॣã«ïன ¤¢¥ªæ¨¨� ç « à áᬮâਬ ¤¢¥ªæ¨î ¯ áᨢëå ¬ à-ª¥à®¢ ¢ ¯®«¥ ᪮à®á⨠®¤¨®ç®£® ¢¨åàï, ¯®¬¥é¥-®£® ¢ ç «® ª®®à¤¨ â á ¡¥§à §¬¥à®© ¨â¥á¨¢-®áâìî k1 = 1. �¨åàì ®áâ ¥âáï ¥¯®¤¢¨¦ë¬ ¨§-§ ãà ¢¥¨© (18), ¨ £¥¥à¨à㥬®¥ ¯®â¥æ¨ «ì®¥¯®«¥ ᪮à®á⨠¬®¦¥â ¡ëâì ¯¥à¥¯¨á ® ¢ ¯®«ïனª®®à¤¨ ⮩ á¨á⥬¥ (r; �):U� = 1r ; Ur = 0: (24)� ¦¤ ï ¯ áᨢ ï ¦¨¤ª ï ç áâ¨æ (r; �) ¡ã¤¥â¤¢¨£ âìáï ¯® ªà㣮¢®© âà ¥ªâ®à¨¨ á ¯®áâ®ï®©ã£«®¢®© ᪮à®áâìî U�, ª®â®à ï ¨§¬¥ï¥âáï á à á-áâ®ï¨¥¬ r ¤® ¢¨åॢ®£® æ¥âà . � ¤¨ «ì ï ᪮-à®áâì Ur ®âáãâáâ¢ã¥â.� 襬 «¨§¥ ¬®¦® ¯à¨¬¥¨âì ⮫쪮 ®¤-ã ª àâã à áâ殮¨ï, ¯®â®¬ã çâ® ¢¥¤¥®¥ ¯®«¥áª®à®á⨠ï¥âáï áâ 樮 àë¬. �ᯮ«ì§ãï ¯à¥-¤ë¤ã騩 «¨§, à áâ殮¨¥ ®â१ª , ®à¨¥â¨-஢ ®£® á ¯à ¢«¥¨¨ ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¡ã¤¥âà ¢® ã«î, (ãà ¢¥¨¥ (9)), ¯®áª®«ìªã ®¡¥ â®ç-ª¨ ¤¢¨£ îâáï á ¯®áâ®ï®© 㣫®¢®© ᪮à®áâìî á®-£« á® ãà ¢¥¨ï¬ (24). � ª १ã«ìâ â, ®â१®ª¥ ¯®¤¢¥à£ ¥âáï ¨ ᦠâ¨î, ¨ à áâ殮¨î. � ⮦¥ ¢à¥¬ï, ¥á«¨ â®çª ®ªà㦥 ªà㣮¢ë¬ ª®âã-஬, ª®íää¨æ¨¥â C1(r) = 0, ⮣¤ ª ª C2(r) ¯à®-¯®à樮 «¥ 1=r4 (à¨á. 3). �®á«¥¤¥¥ ã⢥ত¥-¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祮 ®á®¢¥ á®®â®è¥¨©,¯à¨¢¥¤¥ëå ¢ �ਫ®¦¥¨¨, ¨ ¢ëà ¦¥¨ï (24).� «¨§, ®á®¢ ë© à áâ殮¨¨ à §«¨çë媮âã஢ ¨ 䨣ãà (ªà㣮¢, ®à¨¥â¨à®¢ ëå ®â-१ª®¢, ªà¥á⮢ ¨ ¤à.) ¤ ¥â «®£¨çë¥, ® ¥®¤¨ ª®¢ë¥ १ã«ìâ âë. �®«¨ç¥áâ¢¥ë¥ § ç¥-¨ï § ¢¨áïâ ®â ⨯ ¨áá«¥¤ã¥¬®£® ª®âãà . �®¦-® ᪠§ âì, ç⮠⮫쪮 «¨§ íªá¯®¥æ¨ «ì®-£® à áâ殮¨ï áâ ®¢¨âáï «¨è¥ë¬ í⮣® ¥-¤®áâ ⪠. �ªá¯®¥æ¨ «ìë© ª®íää¨æ¨¥â, çìïà®«ì § ª«îç « áì ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ à áâ殮¨ï ¯à®-¨§¢®«ì®£® ª®âãà , à ¢¥ p1 = 1=r4 (à¨á. 3).�®¦® ¯®ª § âì, çâ® ¯¥à¢ë© ç«¥ ¢ à拉 �¥©«®-à exp(p1�� ) = 1 +��=r4 +O(�2� ) ®¯à¥¤¥«ï¥â «¨-¥©®¥ ç «ì®¥ à áâ殮¨¥ ª®âãà ¢ ®ªà¥áâ®-á⨠®¤¨®ç®£® ¢¨åàï. �¤ ª® íâ®â ¢ë¢®¤ ¤®«¦¥¡ëâì ®¡®¡é¥ ®â¤¥«ì® ¤«ï £«®¡ «ì®£® ¯à®æ¥áá á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¢¤®«ì ª ¦¤®©à áᬠâਢ ¥¬®© ªà¨¢®© ¨ ¢® ¢à¥¬¥¨.�¥¬ ¥ ¬¥¥¥, ¬®¦® ᤥ« âì ¢ë¢®¤ ®¡ ®¡« á⨨â¥á¨¢®£® à áâ殮¨ï, 室ï饩áï ®ª®«® ¨§®-«¨à®¢ ®£® ¢¨åàï. �᫨ ¦¨¤ª¨© ª®âãà ¨«¨ ¥£®
�¨á. 3. � ¢¨á¨¬®áâì ª®íää¨æ¨¥â C2(r) ¢ ãà ¢¥¨¨(9), ¢ëà ¦ î饣® ®â®á¨â¥«ì®¥ à áâ殮¨¥ ªà㣠¢¯®«¥ ᪮à®áâ¨, ¢¥¤¥®¬ ®¤¨®çë¬ â®ç¥çë¬ ¢¨-å६, ¨ íªá¯®¥æ¨ «ì®£® ª®íää¨æ¨¥â p1(r) ¢ ãà ¢-¥¨¨ (16)ç áâì à ᯮ«®¦¥ë ¯à¨ r < 0:5 : : :0:6, ¨¬¥¥â ¬¥áâ®á¨«ì®¥ à áâ殮¨¥. � â¥ç¥¨¥¬ ¡®«ì讣® ¯à®-¬¥¦ã⪠¢à¥¬¥¨ ª®âãà áâ ¥â ⮪®© «¨¨¥©, ¨¥¥ à áâ殮¨¥ ¡ã¤¥â ®¯à¥¤¥«ïâìáï à §®áâìî à á-áâ®ï¨© ®â ¨ã¤ «¥®© ¨ ¨¡«¨¦ ©è¥© â®ç¥ª ªæ¥âàã ¢¨åàï. �ãé¥á⢮¢ ¨¥ ®¡« á⥩ ¨â¥á¨¢-®£® à §¬¥è¨¢ ¨ï ¨ ¨å ᢮©á⢠㦥 ¡ë«¨ ¯®ª -§ ë ¨ «¨§¨à®¢ «¨áì ¢ à §«¨çëå ç¨á«¥ëåíªá¯¥à¨¬¥â å [18,24]. �⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¢ë¢®¤®¬ ®â®¬, ç⮠ᨫ쮥 à §¬¥è¨¢ ¨¥ («¨¥©®¥ ¢® ¢à¥-¬¥¨) 室¨âáï ®ª®«® (r < 0:5) â®ç¥ç®£® ¢¨åàï.3.2 � ®â¨ç¥áª ï ¤¢¥ªæ¨ï ¢ ¯®â¥æ¨ «ì-ëå â¥ç¥¨ïå�।è¥áâ¢ãî騥 ¨áá«¥¤®¢ ¨ï [18] ¯®ª § «¨,çâ® å ®â¨ç¥áª¨© ०¨¬ ¤¢¨¦¥¨ï ¯ áᨢ®© ¦¨¤-ª®© ç áâ¨æë ¡«î¤ ¥âáï ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥ëå -ç «ìëå ãá«®¢¨ïå á¨á⥬ë á âà¥¬ï ¨ ¡®«¥¥ â®ç¥ç-묨 ¢¨åàﬨ. � í⮩ á¢ï§¨, ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¥ ¤¢¨-¦¥¨¥ á¨á⥬ë á â६ï â®ç¥ç묨 ¢¨åàﬨ ¯®§-¢®«ï¥â ¬ ¯à®¤¥¬®áâà¨à®¢ âì à §«¨ç¨¥ ¬¥¦¤ã£«®¡ «ì묨 ®¡« áâﬨ å ®â¨ç¥áª®£® ¤¢¨¦¥¨ï ¨«®ª «ì묨 ®¡« áâﬨ ¨â¥á¨¢®£® à §¬¥è¨¢ -¨ï.� áᬮâਬ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ âà¥å â®-ç¥çëå ¢¨å३ á® á«¥¤ãî騬¨ ¡¥§à §¬¥à묨 -34 A.A.�ãন© ¨ �.�¥àå®á¥©¨
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 28 { 43
�¨á. 4. �à ¥ªâ®à¨¨ ¢¨å३ ¯à¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨.�à㦪¨ ®¡®§ ç îâ ç «ì®¥ ¯®«®¦¥¨¥ ¢ ᮮ⢥â-á⢨¨ á ¢ëà ¦¥¨¥¬ (25), áâ५ª¨ ¯®ª §ë¢ îâ ¯à -¢«¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ïç «ì묨 ãá«®¢¨ï¬¨:k1 = 1:0; x01 = �0:497; y01 = �2:0;k2 = 1:0; x02 = 0:497; y02 = �2:0;k3 = �1:0; x03 = 0:0; y03 = �4:0: (25)� à ¡®â å [23, 25] ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¤®¯®«¨â¥«ì ï¨ä®à¬ æ¨ï ® § ª®®¬¥à®áâïå ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ïâ ª®© á¨á⥬ë â®ç¥çëå ¢¨å३.�à ¥ªâ®à¨¨ ¢¨å३ ®¯à¥¤¥«ï«¨áì á ¯®¬®éìîç¨á«¥®£® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï á¨á⥬ë (18) á ¨á-¯®«ì§®¢ ¨¥¬ á奬ë �㣥-�ãââ ç¥â¢¥à⮣® ¯®-à浪 [16, 26]. �¢ ਠâë (20) ¨ (21) ¨á¯®«ì§®-¢ «¨áì ¤«ï ª®â஫ï ç¨á«¥®£® ¬®¤¥«¨à®¢ ¨ï.�¢®«îæ¨ï ¢¨åॢ®© á¨áâ¥¬ë ¯®ª § à¨á. 4.� â¥ç¥¨¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢¨åਠ1 ¨ 2 ä®à¬¨àãî⢨åॢãî ¯ àã, ¤¢¨£ ïáì ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨, ¨ ®¡à §ã-¥âáï â ª §ë¢ ¥¬®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ⨯ "ç¥å ठ\, á«®ª «ìë¬ ¯¥à¨®¤®¬ TL [25]. � ⮦¥ ¢à¥¬ï âਢ¨åàï ¢à é îâáï ¢®ªà㣠æ¥âà § ¢¨å८áâ¨xc = 0, yc = 0 á £«®¡ «ìë¬ ¯¥à¨®¤®¬ TG. � -ç «ìë¥ ª®®à¤¨ âë ¢ë¡à ë â ª, çâ®¡ë ®â®è¥-¨¥ £«®¡ «ì®£® ¨ «®ª «ì®£® ¯¥à¨®¤®¢ ¡ë«® 楫®¥ç¨á«®, ¨¬¥® TG=TL = 8.� ç « ®¡à ⨬áï ª å®à®è® ¨§¢¥áâë¬ ¬¥â®-¤ ¬ [1, 12, 13] ¤«ï ¨¤¥â¨ä¨ª 樨 £«®¡ «ìëå å ®-â¨ç¥áª¨å ®¡« á⥩ ¤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤ª¨å ç áâ¨æ. � à¨á. 5 ¯®ª § ® á¥ç¥¨¥ �ã ª ॠ¤«ï ¦¨¤ª¨å ç á-â¨æ, ¤¢¨£ îé¨åáï ¢ ¯®«¥ ᪮à®á⨠¯à¨ ¢§ ¨¬®¤¥©-á⢨¨ ¢¨å३. �¥ç¥¨¥ �ã ª ॠ¡ë«® ¯®áâ஥®,ª®£¤ ¢¨åàì 3 ¯¥à¥á¥ª « ¯«®áª®áâì x = 0 ¢ ¯®«®¦¨-⥫쮬 ¯à ¢«¥¨¨. �¬¥îâáï ª ª ॣã«ïà ï,
�¨á. 5. �¥ç¥¨¥ �ã ª ॠ¤«ï á¨á⥬ë â®ç¥çëå ¢¨-å३ (25), ¯®ª §ë¢ î饥 ®¡« á⨠ॣã«ïண® ¨ å ®-â¨ç¥áª®£® £«®¡ «ì®£® ¤¢¨¦¥¨© ¯ áᨢëå ç áâ¨æâ ª ¨ å ®â¨ç¥áª ï ®¡« á⨠¤¢¨¦¥¨ï: ¥ã¯®à冷-ç¥ë© ¡®à â®ç¥ª ᮮ⢥âáâ¢ã¥â å ®â¨ç¥áª®¬ã¤¢¨¦¥¨î, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª 㯮à冷ç¥ë© ¡®àâ®ç¥ª ®¯à¥¤¥«ï¥â ®¡« á⨠ॣã«ïண® ¤¢¨¦¥¨ï.�¨á. 6, ¯®ª §ë¢ ¥â âà ¥ªâ®à¨î ®¤¨®ç®©¦¨¤ª®© ç áâ¨æë 1, ¨§ ç «ì® ¯®¬¥é¥®© ¢X01 = 0:0; Y 01 = �3:0. �â® { å ®â¨ç¥áª ï âà ¥ª-â®à¨ï, ª®â®à ï § ¨¬ ¥â ª®¥çë© ä §®¢ë© ®¡ê-¥¬. � â® ¦¥ á ¬®¥ ¢à¥¬ï, ç áâ¨æ 2, ª®â®à ï à á-¯®«®¦¥ ¢ ॣã«ïன ®¡« á⨠á¥ç¥¨ï �ã ª à¥(X02 = 0:0; Y 02 = 1:0), ¨¬¥¥â ॣã«ï஥ ¤¢¨¦¥¨¥(à¨á. 6, ¡).�®¤ã«ì ᯥªâà jS(w)j ¯à®¥ªæ¨¨ âà ¥ªâ®à¨¨jS(w)j = 1p2� 1Z0 Y (t)ejwtdt (26)¤«ï ®¡¥¨å ç áâ¨æ (Y1(t) ¨ Y2(t)) ¯®ª § à¨á.7. �મ ¢ëà ¦¥ë© ¤¨áªà¥âë© ¡®à £ ମ¨ªá¢¨¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ⮬, çâ® ¬ થà 2 室¨âáï ¢à¥£ã«ï஬ ¤¢¨¦¥¨¨. � ¯à®â¨¢, ¬ થà 1 ¨¬¥¥â¥¯à¥à뢮 ¨§¬¥ïî騩áï ᯥªâà, ª®â®àë© á®®â-¢¥âáâ¢ã¥â å ®â¨ç¥áª®¬ã ¤¢¨¦¥¨î.�¨á. 8 ¨««îáâà¨àã¥â í¢®«îæ¨î ¨¡®«ì襣®¯®ª § ⥫ï �ï¯ã®¢ �(t). �«ï ⮣®, çâ®¡ë ©â¨íâã äãªæ¨î, ¥®¡å®¤¨¬® à¥è¨âì ¢ ਠ樮 «ì-®¥ ãà ¢¥¨¥d�dt = A�; �(0) = �0: (27)A.A.�ãন© ¨ �.�¥àå®á¥©¨ 35
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 28 { 43
�¨á. 6. �à ¥ªâ®à¨¨ ¯ áᨢëå ¦¨¤ª¨å ç áâ¨æ, ¨§ -ç «ì® à ᯮ«®¦¥ëå ¢ ( ) (0:0;�3:0) ¨ (¡) (0:0; 1:0) ¢¯®«¥ ᪮à®áâ¨, ¢¥¤¥®¬ á¨á⥬®© â®ç¥çëå ¢¨å३�¤¥áì A = 0B@ @U@�1 @U@�2@V@�1 @V@�2 1CA ; �(t) = � �1(t)�2(t) � :� âà¨æ A ®æ¥¨¢ ¥âáï ¢¤®«ì âà ¥ªâ®à¨¨ ¬ à-ª¥à X(t) = X(X(t); Y (t)). � ¯à ªâ¨ª¥ ãà ¢¥-¨ï (4) ¨ (27) ¨â¥£à¨àãîâáï ®¤®¢à¥¬¥®. � -⥬ ¢ëç¨á«ï¥âáï äãªæ¨ï�(t) = 1t ln j�(t)jj�0j : (28)
�¨á. 7. �®¤ã«¨ ᯥªâ஢ ä §®¢ëå ¯à®¥ªæ¨© âà ¥ªâ®-਩ y(t) ¤«ï ®¡¥¨å ç áâ¨æ à¨á. 6
�¨á. 8. � ¨¡®«ì訩 ¯®ª § ⥫ì �ï¯ã®¢ �(t) ¤«ï ®¡¥-¨å ç áâ¨æ à¨á. 6�®á¥¤¨¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ¢ å ®â¨ç¥áª®© ®¡« áâ¨à á室ïâáï ¨ �(t) ¯à¨¡«¨¦ ¥âáï ª ¯®«®¦¨â¥«ì®-¬ã § 票î � 0:3. � ¯à®â¨¢, ¤«ï ॣã«ïண®¤¢¨¦¥¨ï ¨¡®«ì訩 ¯®ª § ⥫ì �ï¯ã®¢ áâà¥-¬¨âáï ª ã«î.�ᥠ£«®¡ «ìë¥ ªà¨â¥à¨¨ ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ãîâ, çâ®®¡¥ ¯ áá¨¢ë¥ ¦¨¤ª¨¥ ç áâ¨æë ¨¬¥îâ à §«¨çë¥â¨¯ë ¤¢¨¦¥¨ï.�¥ç¥¨¥ �ã ª ॠ¯®§¢®«ï¥â ¬ ¯®ª § âì £«®-¡ «ìë¥ ®¡« á⨠¨â¥á¨¢®£® à §¬¥è¨¢ ¨ï ¤«ïå ®â¨ç¥áª®£® ¤¢¨¦¥¨ï. �¤ ª®, ¥ ®ç¥¢¨¤® â®,ç⮠⥠ç áâ¨ å ®â¨ç¥áª®© ®¡« áâ¨, ª®â®àë¥ å®-36 A.A.�ãন© ¨ �.�¥àå®á¥©¨
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 28 { 43
�¨á. 9. � àâ ª®íää¨æ¨¥â «®ª «ì®£® à áâ殮¨ïC2(x; y) (á¬. ¢ëà ¦¥¨¥ (17), C1(x; y) = 0 ¢¥§¤¥) ª®-䨣ãà 樨 "ªàã£\ ¢ ¯®«¥ ᪮à®áâ¨, ¢¥¤¥®© â®ç¥ç-묨 ¢¨åàﬨ. � §¨æë ¢ ⮯®«®£¨ç¥áª¨å ã஢ïåá®áâ ¢«ïîâ 1:0. �âà¨å®¢®© «¨¨¥© ¯®ª § ë £à ¨-æë á¥ç¥¨ï �ã ª ॠà¨á. 5¤ïâáï ¢¤ «¨ ®â ¢¨å३ (á¬. à¨á. 5), ᮮ⢥âáâ¢ã-îâ ¨â¥á¨¢®¬ã ०¨¬ã à §¬¥è¨¢ ¨ï. � ®¡®-à®â, ¢ãâà¥ïï ®¡« áâì, à ᯮ«®¦¥ ï ¥ â ª¤ «¥ª® ®â ¢¨å३, ¨¬¥¥â ॣã«ïàë© ®áâ஢. �®-祬ã íâ ®¡« áâì ®¡« ¤ ¥â ॣã«ïàë¬ à¥¦¨¬®¬à §¬¥è¨¢ ¨ï, ¯à¨ ⮬, çâ® ¯®«¥ ᪮à®á⨠¥¯à¥-à뢮 ¨ ¥â ®á®¡¥®á⥩ ¢ í⮩ ®¡« áâ¨? �।-è¥áâ¢ãî騩 «¨§ «®ª «ì®£® à áâ殮¨ï ¬®-¦¥â ¡ëâì ¯à¨¬¥¥ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ®â¢¥â¨âì íâ®â ¢®¯à®á.� ¢ ©â¥ ®ªà㦨¬ ¯à®¨§¢®«ìãî â®çªã (x; y) ¬ -«ë¬ ªà㣮¬ ¨ ¨§ã稬 ¥£® «®ª «ìãî ¤¥ä®à¬ æ¨î¢® ¢à¥¬¥¨. �à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¬ë å®â¨¬ ¢ëç¨á-«¨âì (á¬. ¢ëà ¦¥¨ï (44), (45))C2(x; y) = 18(4�2 � �21 � 2�2 + �1�1 ++ 4p1�1 � 2p1�1 + 4p21) (29)¨ ¯à® «¨§¨à®¢ âì ª àâã «®ª «ì®£® à áâ殮¨ï"ªà㣠". �¥§ã«ìâ âë ¯à®áâëå ¢ëç¨á«¥¨© ¯®ª -§ ë à¨á. 9. �¤¥áì èâà¨å®¢®© «¨¨¥© ¯®ª -§ ë £à ¨æë £«®¡ «ì® å ®â¨ç¥áª®£® ¤¢¨¦¥¨ï,á¢ï§ ®£® á å ®â¨ç¥áª®© ®¡« áâìî á¥ç¥¨ï �ã- ª ॠ(à¨á. 5). �®¯®«®£¨ç¥áª¨¥ ã஢¨ ¥á¥ëá ¨â¥à¢ «®¬ 1:0. �ë ¥ ®á¨«¨ ã஢¨ ®ª®«®¢¨å३, £¤¥ ¯®«¥ ᪮à®á⨠¨¬¥¥â ᨣã«ïà®áâì.�â¥á¨¢®¥ à §¬¥è¨¢ ¨¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ å ®â¨-ç¥áª®© ®¡« á⨠⮫쪮 ¢ ⮩ ç áâ¨, ¢ ª®â®à®© à á-¯®«®¦¥ë â®ç¥çë¥ ¢¨åà¨. �â ª àâ ᮮ⢥â-
áâ¢ã¥â ¬®¬¥âã t = 0:0. �®£¤ ¢¨åਠ¨¬¥îâ -«®£¨ç®¥ ¢§ ¨¬®¥ ¯®«®¦¥¨¥ (tn = TLn=FG, £¤¥n = 1; 2 : : :), ª àâë ¨¬¥îâ «®£¨çãî áâàãªâã-àã. � í⮬ á«ãç ¥ ª àâ ¤®«¦ ¡ëâì ¯®¢¥àãâ ᮮ⢥âá⢥® 㣮« 2�nTL=TG.� â¥ç¥¨¥ à §¬¥è¨¢ ¨ï ç «ìë© ª®âãàâà áä®à¬¨àã¥âáï ¯®ç⨠¢ ⮪ãî «¨¨î, ç á⨪®â®à®© ®à¨¥â¨à®¢ ë ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¢¥ªâ®à ᪮à®áâ¨. �®ïâ®, çâ® ®à¨¥â æ¨ï ®â१ª®¢ ¨¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠ᮢ¯ ¤ ¥â ⮫쪮 ¤«ï ãáâ ®¢¨¢-襣®áï ०¨¬ ¤¢¨¦¥¨ï. � ⥬ ¥ ¬¥¥¥, ª à-â à áâ殮¨ï ¨§ ç «ì® «¨¥©®£® ®â१ª ¢ ¯à ¢«¥¨¨, ᮢ¯ ¤ î饬 á ¢¥ªâ®à®¬ ᪮à®áâ¨,¬®¦¥â ®æ¥¨âì ¤¥ä®à¬ æ¨î ¤«ï ¬®¬¥â®¢, ª®£¤ ¯à®æ¥áá 㦥 ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤®áâ â®ç® ¤®«£®¥ ¢à¥-¬ï: C2(x; y) = U20 (p2 � d) + V 20 (p2 � a)U20 + V 20 ++ U0V0(b+ c)U20 + V 20 + p1; (30)£¤¥ U0 ¨ V0 { ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¢ ⥪ã饩â®çª¥ (x; y). � àâ (à¨á. 10) ¨¬¥¥â ¯à ªâ¨ç¥áª¨ «®£¨çãî áâàãªâãàã: §®ë ¨â¥á¨¢®£® à á-â殮¨ï à ᯮ«®¦¥ë à冷¬ á ¢¨åàﬨ, á« ¡®©¤¥ä®à¬ 樨 { ¢¤ «¨ ®â ¨å. �ᨬ¬¥âà¨ï ¢ ®à¨-¥â 樨 ®â१ª®¢ ¯® ®â®è¥¨î ª ¯®«î ᪮à®á⨯ਢ®¤¨â ª ᨬ¬¥âਨ ⮯®«®£¨ç¥áª¨å ã஢¥©.�â®â ¯à®á⮩ £à ä¨ç¥áª¨© «¨§ ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥â¢ë¢®¤ ® ⮬, çâ® ¨â¥á¨¢ ï ¤¢¥ªæ¨ï ¨¬¥¥â ¬¥á-⮠⮫쪮 ¢ ®¡« áâïå, à ᯮ«®¦¥ëå ¥¤ «¥ª® ®â¢¨å३.� áᬮâà¥ë¥ ¯à¨¬¥àë ¯®ª §ë¢ îâ à áâ殮-¨¥ ®¯à¥¤¥«¥ëå 䨣ãà ¨«¨ ¨å ç á⥩, ®à¨¥â¨-஢ ëå ¢ ¯à®áâà á⢥. �®ª § ®, çâ® ®¡« á-⨠¨â¥á¨¢®£® à áâ殮¨ï à ᯮ«®¦¥ë à冷¬á ¢¨åàﬨ. �®«¨ç¥áâ¢¥ë¥ ®æ¥ª¨ à áâ殮¨ï§ ¢¨áï⠮⠢¨¤ ª®âãà , ®á®¡¥® ç «ìëåáâ ¤¨ïå à §¬¥è¨¢ ¨ï.� ª®¥æ, ¬®¦® ¢ëç¨á«¨âì ª àâã íªá¯®¥æ¨- «ìëå ª®íää¨æ¨¥â®¢p1(x; y) = a+ d+Dc2 ; (31)ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¤¥©á⢨⥫ìë¥ § ç¥¨ï ¢¥§¤¥¤«ï ¯®â¥æ¨ «ì®£® ¥á¦¨¬ ¥¬®£® ¯®â®ª , ª®£¤ a + d = 0 ¨ c � d = 0. � àâ íªá¯®¥æ¨- «ì®£® ª®íää¨æ¨¥â p1(x; y) ¥á¥ à¨á.11 ¯® «®£¨¨ á ¯à¥¤ë¤ã騬¨ á«ãç ﬨ. �¤¥áìp1(x; y) ®¯¨áë¢ ¥â à á宦¤¥¨¥ ¡«¨§«¥¦ é¨å âà -¥ªâ®à¨©. �®¯®«®£¨ç¥áª ï ª àâ ª ç¥á⢥® -«®£¨ç á«ãç ï¬, à áᬮâà¥ë¬ à ¥¥. � ç¥-¨¥ à áâ殮¨ï ª®âã஢ ¨§-§ íªá¯®¥æ¨ «ì®-A.A.�ãন© ¨ �.�¥àå®á¥©¨ 37
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 28 { 43
�¨á. 10. � àâ ª®íää¨æ¨¥â «®ª «ì®£® à áâ殮¨ïC1(x;y) (á¬. ¢ëà ¦¥¨¥ (11)) ¤«ï ®â१ª , ®à¨¥â¨-஢ ®£® ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¢ á¨á⥬¥â®ç¥çëå ¢¨å३. � §¨æë ¢ ⮯®«®£¨ç¥áª¨å ã஢ïåá®áâ ¢«ïîâ 1:0. �âà¨å®¢®© «¨¨¥© ¯®ª § ë £à ¨æëá¥ç¥¨ï �ã ª ॠà¨á. 5
�¨á. 11. � àâ ª®íää¨æ¨¥â íªá¯®¥æ¨ «ì®£® à -áâ殮¨ï p1(x; y) (á¬. ¢ëà ¦¥¨¥ (14) ª®âã஢ ¢ ¯®-«¥ ᪮à®á⨠â®ç¥çëå ¢¨å३. � §¨æë ¢ ⮯®«®£¨-ç¥áª¨å ã஢ïå á®áâ ¢«ïîâ 1:0. �âà¨å®¢®© «¨¨¥©¯®ª § ë £à ¨æë á¥ç¥¨ï �ã ª ॠà¨á. 5£® ¬®¦¨â¥«ï ¨¬¥¥â ¤®¬¨¨àãîéãî à®«ì ¯® áà ¢-¥¨î á ¨â¥£à «®¬ ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (14). � ¤® ¯®¬-¨âì, çâ® íâ®â ª®íää¨æ¨¥â ¥ § ¢¨á¨â ®â ⨯ à áᬠâਢ ¥¬ëå ª®âã஢ ¨«¨ «¨¨© ¨ ®¯à¥¤¥«ï-¥âáï ⮫쪮 ¯®«¥¬ ᪮à®áâ¨.�¢®«îæ¨ï ª ¦¤®£® ®â१ª ª®âãà § ¢¨á¨â ®â¯®«ï ᪮à®áâ¨, ¢¥¤¥®£® ¢¨åàﬨ. �᫨ ¥ª®-
â®àë¥ ®â१ª¨ ª®âãà , ¢ â¥ç¥¨¥ ¯à®æ¥áá ¤¢¥ª-樨, à ᯮ«®¦¥ë ¤ «¥ª® ®â ¢¨å३, ®¨ ¥ ¯®¤¢¥à-£ îâáï ᨫ쮩 ¤¥ä®à¬ 樨 ¨ ¤¢¨£ îâáï ¯®ç⨠á⮩ ¦¥ ä®à¬®© ¨ à §¬¥à ¬¨, ¤ ¦¥ ¥á«¨ à ᯮ«®-¦¥ë ¢ å ®â¨ç¥áª®© ®¡« áâ¨. �â® § ç¨â, ç⮯ áá¨¢ë¥ ¦¨¤ª¨¥ ç áâ¨æë ¤¢¨£ îâáï ®â ®¤®©ç áâ¨ å ®â¨ç¥áª®© ®¡« á⨠ª ¤à㣮©. �®â ¯®ç¥-¬ã å ®â¨ç¥áª ï ®¡« áâì ¨¬¥¥â â ª¦¥ §®ë á« ¡®£®à §¬¥è¨¢ ¨ï. �⨠§®ë à ᯮ«®¦¥ë ¯® ¡®ª ¬¨ ¢¥àåã å ®â¨ç¥áª®© ®¡« áâ¨, ¨§®¡à ¦¥®© á¥ç¥¨¨ �ã ª ॠ(á¬. à¨á. 5).�â®¡ë ¯®ª § âì íâ®, ¥®¡å®¤¨¬® ᬮ¤¥«¨à®¢ âì¯à®æ¥áá ¤¢¥ªæ¨¨ ¤«ï ¯ áᨢëå ¦¨¤ª¨å ç áâ¨æ ¢¯®«¥ ᪮à®áâ¨, ¢¥¤¥®¬ â६ï â®ç¥ç묨 ¢¨å-àﬨ. � ç «ìë¥ ª®®à¤¨ âë ¢¨å३ ᮮ⢥â-áâ¢ãîâ ¢ëà ¦¥¨î (25). �ëç¨á«¥¨ï ¯à®¢®¤¨-«¨áì ¤«ï ¯ áᨢ®© ®¡« áâ¨, ç «ì® § ¨¬ î-éãî ªà㣮¢ãî ®¡« áâì á à ¤¨ãᮬ 0:5, 祩 æ¥âàà ᯮ«®¦¥ ¢ å ®â¨ç¥áª®© ®¡« á⨠¤¢¨¦¥¨ï á ª®-®à¤¨ â ¬¨ xc = �2:5, yc = �2:0 (à¨á. 12, a).�¢®«îæ¨ï ¨§ãç ¥¬®£® ª®âãà ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢-¥¨ï¬¨ (22). �«ï ⮣®, çâ®¡ë ¯®áâநâì ᤥ-ä®à¬¨à®¢ ãî ®¡« áâì ¤«ï 䨪á¨à®¢ ëå ¬®-¬¥â®¢ ¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ¬¥â®¤ ªãá®ç®© ᯫ ©-¨â¥à¯®«ï樨 [27], ª®â®àë© ¯®§¢®«ï¥â áä®à¬¨à®-¢ âì £à ¨æë § ¬ªã⮩ ®¡« áâ¨, ¨á¯®«ì§ãï 㯮-à冷ç¥ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¬ થ஢. �¨á-«¥®¥ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨¥ ¯à®¢¥àï«®áì á®åà ¥¨¥¯«®é ¤¨ ¢® ¢à¥¬¥¨, ¯®áª®«ìªã r � U = 0 ¤«ï ¥-ᦨ¬ ¥¬®£® â¥ç¥¨ï, ¨dSdt = I dUdt dC = ZSC ddt [r �U ]dS = 0; (32)£¤¥ C { à áᬠâਢ ¥¬ë© ª®âãà; r { ®¯¥à â®à ¡« [16].�®¬¥â t = 2TL (à¨á. 12, ¡) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â¤¢ã¬ ¯¥à¨®¤ ¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï (¬¥¦¤ã ¢¨åàﬨ1 ¨ 2), á¨á⥬ â®ç¥çëå ¢¨å३ ¯®¢¥àã« áì 㣮« �=2 ®â®á¨â¥«ì® ¢¨åॢ®£® æ¥âà (xc =0; yc = 0) ¨ ¨¬¥¥â ¢§ ¨¬®¥ à ᯮ«®¦¥¨¥, -«®£¨ç®¥ ç «ì®¬ã ¬®¬¥âã. �®à¬ ¯ áᨢ®©®¡« á⨠¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥ ¨§¬¥¨« áì; ⮫쪮 à á-áâ®ï¨¥ ¬¥¦¤ã ¢¨å६ ¨ ®¡« áâìî 㢥«¨ç¨«®áì.� ª १ã«ìâ â, ¢«¨ï¨¥ ¢¨å३ ¯à®æ¥áá à §-¬¥è¨¢ ¨ï 㬥ì訫®áì. � ⮬㠦¥, ¯ áᨢ ﮡ« áâì ®áâ « áì ¢ãâਠ®¡« áâ¨ å ®â¨ç¥áª®© ¤-¢¥ªæ¨¨, ¯®ª § ®© èâà¨å®¢®© «¨¨¥©.�¨á. 12, ¢ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬®¬¥âã t = 4TL:à ááâ®ï¨¥ ¬¥¦¤ã ¯ áá¨¢ë¬ ª®âã஬ ¨ ¢¨åàï-¬¨ ¬ ªá¨¬ «ì®¥, ¨ ¢¨åਠ¯®ç⨠¥ ®ª §ë¢ î⢫¨ï¨ï ¯à®æ¥áá ¯ áᨢ®© ¤¢¥ªæ¨¨. �®à¬ ®¡« á⨠¨ ¥¥ ¯®«®¦¥¨¥ ¢ ¯à®áâà á⢥ ¥ ¬¥ï-îâáï.38 A.A.�ãন© ¨ �.�¥àå®á¥©¨
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 28 { 43
�¨á. 12. �¢®«îæ¨ï ªà㣮¢®£® ª®âãà à ¤¨ãá 0:5, ¨§ ç «ì® à ᯮ«®¦¥®£® ¢ â®çª¥ (�2:5;�2:0) ¢ å ®â¨ç¥-᪮© ®¡« á⨠¤¢¨¦¥¨ï ¢ ¯®«¥ ᪮à®áâ¨, ¢¥¤¥®© â®ç¥ç묨 ¢¨åàﬨ: { t = 0:0, ¡ { t = 2TL, ¢ { t = 4TL,£ { t = 8TL, ¤ { t = 10TL, ¥ { t = 12TL. �âà¨å®¢®© «¨¨¥© ¯®ª § ë £à ¨æë á¥ç¥¨ï �ã ª ॠà¨á. 5A.A.�ãন© ¨ �.�¥àå®á¥©¨ 39
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 28 { 43
�¨á. 13. �¢®«îæ¨ï ¢® ¢à¥¬¥¨ ¤«¨ ª®âã஢, ¨§ -ç «ì® à ᯮ«®¦¥ëå ¢ â®çª¥ (�2:5;�2:0) ¢ å ®â¨ç¥-᪮© ®¡« á⨠¢ ¯®«¥ ᪮à®áâ¨, ¢¥¤¥®¬ â®ç¥ç묨¢¨åàﬨ. �¥¯à¥àë¢ ï «¨¨ï ¯®ª §ë¢ ¥â ¨§¬¥¥¨¥¨§ ç «ì® ªà㣮¢®© ®¡« á⨠á à ¤¨ãᮬ 0:5, èâà¨å®-¢ ï «¨¨ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨§ ç «ì® ª¢ ¤à ⮩ ®¡« -á⨠1:0� 1:0.�â á¨âã æ¨ï ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¢¯«®âì ¤® ¯®«®-£® ¯¥à¨®¤ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, t = 8TL (à¨á. 12, £).� ááâ®ï¨¥ ¬¥¦¤ã ¢¨åàﬨ ¨ ¬ àª¥à ¬¨ ®¡« áâ¨ã¬¥ì訫®áì. �¡« áâì à ᯮ«®¦¥ ®ª®«® ¢¨å३,¨ ¢«¨ï¨¥ ¢¨å३ ¯à®æ¥áá à §¬¥è¨¢ ¨ï § ç¨-â¥«ì® ã¢¥«¨ç¨«áï. �â¥á¨¢ë© ०¨¬ ç «áï⮫쪮 ¢ íâ®â ¬®¬¥â (à¨á. 12, ¤). � ç¨â¥«ì- ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, ¨ ¨§ãç ¥¬ ï ®¡« áâìá¨«ì® à áâïã« áì ¨ ᤥä®à¬¨à®¢ « áì ¯®ç⨠¢â®ªãî «¨¨î ¢ â¥ç¥¨¥ á«¥¤ãî饣® ¯®«ã¯¥à¨®¤ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. � à¨á. 12, ¥ ¯®ª § ë £à ¨æ뮡« á⨠¯à¨ t = 12TL.� à¨á. 13 ¯®ª § ® ¨§¬¥¥¨¥ ¤«¨ë ª®âãà ª ª äãªæ¨ï ¢à¥¬¥¨. � ç « , ¯®áª®«ìªã ç «ì- ï ®¡« áâì à ᯮ« £ « áì ¥¤ «¥ª® ®â ¢¨å३, ® ¡ë« ¯®¤¢¥à¦¥ á« ¡®© ¤¥ä®à¬ 樨. � áâ殮-¨¥ ®¡« á⨠¢ â¥ç¥¨¥ 0 < t < 8TL ®ç¥ì á« ¡®¥.� ⥬ ª®âãà ¯®¤¢¥à£ ¥âáï § ç¨â¥«ì®© ¤¥ä®à-¬ 樨: ¥£® ¤«¨ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï íªá¯®¥æ¨ «ì®(à¨á. 13). �â® ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥â â®, çâ® áâ㯨«à¥¦¨¬ å ®â¨ç¥áª®© ¤¢¥ªæ¨¨.�¥¯®á।á⢥®¥ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨¥ ¯à®æ¥áá à §-¬¥è¨¢ ¨ï ¢ ¯®«¥ ᪮à®áâ¨, ¢¥¤¥®¬ á¨á⥬®©â®ç¥çëå ¢¨å३, ïá® ¤¥¬®áâà¨àã¥â «¨ç¨¥ª ª ᨫìëå, â ª ¨ á« ¡ëå ¯à®æ¥áᮢ ¯¥à¥¬¥è¨¢ -¨ï ¢ãâà¨ å ®â¨ç¥áª®© ®¡« áâ¨, ®â¬¥ç¥®© á¥-票¥¬ �ã ª à¥. � «¨§ íä䥪⮢ à áâ殮¨ï¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ®¡« á⨠¨â¥á¨¢®£® à §¬¥è¨-
¢ ¨ï ¥ ®¡ï§ â¥«ì® á®¢¯ ¤ îâ á ®¡« áâìî å ®-â¨ç¥áª®£® ¤¢¨¦¥¨ï. � ¤¥©á⢨⥫ì®áâ¨, ᨫì-®¥ «®ª «ì®¥ à áâ殮¨¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ®ª®«® ¢¨å-३, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ®áâ «ì ï ç áâì å ®â¨ç¥áª®©®¡« á⨠ãç áâ¢ã¥â ¢ ¯¥à¥¬¥é¥¨¨ ¦¨¤ª¨å ç áâ¨æ.4. ���������� � �������®áâ஥¨¥ «®ª «ìëå ª àâ à áâ殮¨ï à §ë媮âã஢ ¤«ï 䨪á¨à®¢ ëå ¬®¬¥â®¢ ¤ ¥â áãé¥-á⢥®¥ ¯à¥¨¬ãé¥á⢮ ¢ ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì®¬ 楫¥- ¯à ¢«¥®¬ «¨§¥ ¯à®æ¥áᮢ ¤¢¥ªæ¨¨ ¯ áᨢ-ëå ª®âã஢ ¢ § ¤ ®¬ ¯®«¥ ᪮à®áâ¨. �⨠ª à-âë, ¯®¤®¡® ¬£®¢¥ë¬ á« ©¤ ¬ § 票© à á-â殮¨© (¨«¨ ®à¬¨à®¢ ë¬ § 票© à áâ殮-¨©) ¤«ï à §ëå ª®âã஢, ¯®¬®£ îâ ¥ ⮫쪮®¡ à㦨âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ ®¡« á⥩ ¨â¥á¨¢®-£® à §¬¥è¨¢ ¨ï, ® ¨, ¨á¯®«ì§ãï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì ª àâ, ¢ëâì ¨å ¤à¥©ä ¢® ¢à¥¬¥¨.� ᮦ «¥ìî, ®ç¥ì âà㤮 ¤ âì ¯à ªâ¨ç¥áª¨¥à¥ª®¬¥¤ 樨 ¢ ®â®è¥¨¨ ⮣®, ª ª®© ª®âãà ¥-®¡å®¤¨¬® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨ «¨§¥ ¯à®¨§¢®«ì®-£® ¯®«ï ᪮à®áâ¨. �祢¨¤®, ¥á«¨ ¬ë à áᬠâà¨-¢ ¥¬ ॣã«ï஥ áâ 樮 ஥ â¥ç¥¨¥, ¨¡®«¥¥ã¤®¡ë¬¨ ïîâáï «®ª «ìë¥ ª àâë à áâ殮¨©®â१ª®¢, ®à¨¥â¨à®¢ ëå ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¢¥ªâ®-à ᪮à®áâ¨, ¯®â®¬ã çâ® ¢ áâ 樮 ஬ â¥ç¥-¨¨ ¨áå®¤ë© ª®âãà á® ¢à¥¬¥¥¬ ¤¥ä®à¬¨àã¥âáï¢ «¨¨î, ᮢ¯ ¤ îéãî á âà ¥ªâ®à¨¥© ¯ áᨢëåç áâ¨æ. � 襩 â®çª¨ §à¥¨ï, ¨¡®«¥¥ 㤮¡-묨 ª àâ ¬¨ ¤«ï å ®â¨ç¥áª¨å ०¨¬®¢ ïîâ-áï ª àâë íªá¯®¥æ¨ «ì®£® à áâ殮¨ï, ¯®â®¬ãçâ® å ®â¨ç¥áª®¥ à áâ殮¨¥ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï £«®-¡ «ìë¬ íªá¯®¥æ¨ «ìë¬ à áâ殮¨¥¬ ª®âã-஢.� áâ殮¨¥ ª®âã஢ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥-® ¨ ¢ íªá¯®¥æ¨ «ì®© ä®à¬¥ ¤«ï ¢á¥å à áᬮâ-à¥ëå ª®âã஢ (á¬. ãà ¢¥¨ï (7), (14), (16) ¨(11), £¤¥ íªá¯®¥â ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ë¤¥«¥ ) á íªá¯®-¥æ¨ «ìë¬ ª®íää¨æ¨¥â®¬, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬ £à -¤¨¥â ¬¨ ¯®«ï ᪮à®áâ¨. � ¥ § ¢¨á¨â ®â â¨-¯ à áᬠâਢ ¥¬®£® ª®âãà ¨«¨ ®â१ª ¨ ®¯¨-áë¢ ¥â à áâ殮¨¥ ¢ á¢ï§¨ á â¥ç¥¨¥¬ ¦¨¤ª®áâ¨.�¤¥áì p1(x; y; t) = Re[p(x; y; t)], £¤¥ p(x; y; t) { ª®¬-¯«¥ªáë© ª®à¥ì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï(4) ¥áâì «®£ ¨¡®«ì襣® ¯®ª § ⥫ï �ï¯ã®¢ �(t), ®¡ëç® ¨á¯®«ì§ã¥¬®£® ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï å ®-â¨ç¥áª¨å ०¨¬®¢ ¤¢¨¦¥¨ï ¢ å ®â¨ç¥áª®© ¤¨- ¬¨ª¥ [12, 13]. � 襬 á«ãç ¥ p1(x; y; t) ®¯à¥-¤¥«ï¥âáï ¢ â¥ç¥¨¥ ª®à®âª®£® ¨â¥à¢ « ¢à¥¬¥-¨ � , t0 < � < t0 + �� , ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¨-¡®«ì訩 ¯®ª § ⥫ì �ï¯ã®¢ á«¥¤ã¥â ¢ëç¨á«ïâì¯à¨ t ! 1. �à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¤«ï ⮣®, ç⮡뮯।¥«¨âì �(t) ¤«ï § ¤ ®£® ¬ થà , ¥®¡å®-40 A.A.�ãন© ¨ �.�¥àå®á¥©¨
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 28 { 43¤¨¬® ãá।¨âì p1(x; y; t) ¢¤®«ì âà ¥ªâ®à¨¨ X(t),Y (t). �â®â ¬ àª¥à ¯®á¥é ¥â à §«¨çë¥ ®¡« áâ¨,ª ª ¨â¥á¨¢®£®, â ª ¨ á« ¡®£® à §¬¥è¨¢ ¨ï, ¨¨ä®à¬ æ¨ï ® «®ª «ì®¬ à áâ殮¨¨ ¢ ¯®á¥é¥-ëå ®¡« áâïå ãá।ï¥âáï ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, â¥àï-¥âáï. �®â ¯®ç¥¬ã § 票¥ ¨¡®«ì襣® ¯®ª § â¥-«ï �ï¯ã®¢ ¤«ï ¬ થà , ¨§ ç «ì® ¯®¬¥é¥®-£® ¢ â®çªã (x; y), ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á «®ª «ìë¬ § ç¥-¨¥¬ p1(x; y; t) ¨ áà ¢¨â¥«ìë© «¨§ [17, 28] ¥¤ « â®ç®£® ᮢ¯ ¤¥¨ï. �¥à®ïâ® ®¡ ª®íää¨æ¨-¥â à ¢ë, ⮫쪮 ª®£¤ à áᬠâਢ ¥¬ ï â®çª ï¥âáï â®çª®© à ¢®¢¥á¨ï: ¬ àª¥à ¥ ¤¢¨¦¥âáï¨ � = limt!1 1t tZ0 p1(x; y; t)dt = p(x; y): (33)�¤®¢à¥¬¥®, áãé¥áâ¢ã¥â ¤à㣮© ¬¥å ¨§¬ «®-ª «ì®£® à áâ殮¨ï. � ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⨯®¬ª®âãà , ¯®¬¥é¥®£® ®ª®«® § ¤ ®© â®çª¨. �£®¤«¨ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï, § ¢¨á¨â ®â ä®à¬ë ª®âãà ¨®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨â¥£à «®¬ (13). �«ï ¥á¦¨¬ ¥¬ë墨åॢëå â¥ç¥¨© íªá¯®¥æ¨ «ìë© ¬®¦¨â¥«ì¢ ãà ¢¥¨¨ (7) ¬®¦¥â ¡ëâì à ¢¥ ã«î ¨«¨ ¬ -«®¬ã § 票î. �«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢â®à®© ¬¥å ¨§¬¨£à ¥â «¨¤¨àãîéãî à®«ì ¢ í⮬ á«ãç ¥.�®¦® ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® ®¡ ¬¥å ¨§¬ , ᪠-¦¥¬ íªá¯®¥æ¨ «ìë© ¨ ¨â¥£à «ìë©, ¥ áãé¥-áâ¢ãî⠮⤥«ì®. �®¯à®á § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, ª -ª®© ¯à¥®¡« ¤ ¥â ¢ à §«¨çëå á¨âã æ¨ïå. � ç áâ-®áâ¨, èâà¨å®¢ ï «¨¨ï à¨á. 13 ¯®ª §ë¢ ¥â ¨§-¬¥¥¨¥ ¤«¨ë ª¢ ¤à ⮩ ®¡« á⨠¯ ᨢ®© ¯à¨-¬¥á¨ ¢ ¯®«¥ ᪮à®áâ¨, ¢¥¤¥®© á¨á⥬®© âà¥åâ®ç¥çëå ¢¨å३, à áᬮâà¥ëå à ¥¥. �¢ ¤-à â ï ®¡« áâì ¨¬¥¥â à §¬¥à 1:0 ¨ ¥¥ æ¥âà (¯¥-à¥á¥ç¥¨¥ ¤¨ £® «¥©) ᮢ¯ ¤ ¥â á æ¥â஬ ªàã-£®¢®© ®¡« áâ¨, à áᬮâ८© à ¥¥. �§¬¥¥¨¥¤«¨ë ¤¢ãå ª®âã஢, ª ª ª®«¨ç¥á⢥ ï ®æ¥ª ¯à®æ¥áá ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨ï, ¯®ç⨠®¤¨ ª®¢®. �⮯®§¢®«ï¥â ᤥ« âì ¢ë¢®¤ ® ⮬, çâ® íªá¯®¥æ¨- «ì®¥ à áâ殮¨¥ ï¥âáï ¯à¥®¡« ¤ î騬 ¤«ïª ¦¤®£® «®ª «ì®£® ®â१ª ª®âã஢ ¢ § ¤ ®¬¯®«¥ ᪮à®áâ¨: £«®¡ «ìë© ¯à®æ¥áá à áâ殮¨ï¯®ç⨠¥ § ¢¨á¨â ®â ä®à¬ë ç «ì®£® ª®âãà .�®áâ஥¨¥ «®ª «ìëå ª àâ à áâ殮¨ï ¤«ïà §«¨çëå ª®âã஢ âॡã¥â ¯à¨®à®£® § ¨ïä®à¬ë ª®âãà ¤«ï ⥪ã饣® ¬®¬¥â ¯à®æ¥á-á ¤¢¥ªæ¨¨, íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¥®¡å®¤¨¬® à¥-è¨âì £«®¡ «ìãî § ¤ çã ®¡ ¤¢¥ªæ¨¨, ç⮠ï¥â-áï âà㤮© ç¨á«¥®© § ¤ 祩. � ¯à®â¨¢, ¯®áâà®-¥¨¥ «®ª «ìëå ª àâ íªá¯®¥æ¨ «ì®£® à áâ殮-¨ï (å ®â¨ç¥áª¨¥ ०¨¬ë) ¯®§¢®«ïîâ ¬ ã¯à®á-â¨âì ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ®¡« á⥩ ¨â¥á¨¢®£® à áâï-¦¥¨ï ¨ ¨å ¯à®áâà á⢥®¥ ¯®«®¦¥¨¥ ª ª ¤«ï
áâ 樮 àëå, â ª ¨ ¥áâ 樮 àëå â¥ç¥¨©, ¨¥ âॡã¥â á«®¦ëå ¢ëç¨á«¥¨©. �®â ¯®ç¥¬ã ¬ë¬®¦¥¬ § ª«îç¨âì, çâ® «®ª «ìë¥ ª àâë íªá¯®¥-æ¨ «ìëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¨¡®«¥¥ ¨ä®à¬ ⨢-ë ¤«ï á«®¦ëå å ®â¨ç¥áª¨å ०¨¬®¢ ¤¢¨¦¥¨ï¢ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å á¨á⥬ å.�ਬ¥à ¯ áᨢ®© ¤¢¥ªæ¨¨ ¢ ¯®«¥ ᪮à®áâ¨âà¥å â®ç¥çëå ¢¨å३ ¯®§¢®«¨« ¬ £«ï¤® ¢ë-âì ®¡« á⨠¨â¥á¨¢®£® à áâ殮¨ï ¨ ¨å ᬥ-饨¥ ¢ ¯à®áâà á⢥ á â¥ç¥¨¥¬ ¢à¥¬¥¨. �à®á-⮩ «¨§ «®ª «ìëå à áâ殮¨© ¯®ª §ë¢ ¥â,çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ®¡« á⨠᫠¡®£® à §¬¥è¨¢ ¨ï ¢å ®â¨ç¥áª®© ®¡« á⨠¤¢¨¦¥¨ï ¯ áᨢ®© ç áâ¨-æë. �⨠®¡« á⨠¤¢¨£ îâáï ¢® ¢à¥¬¥¨, ® ®áâ -îâáï ¢ãâà¨ å ®â¨ç¥áª®© ®¡« áâ¨. �।áâ ¢«¥-ë© ¬¥â®¤ ¨¤¥â¨ä¨æ¨àã¥â ®¡« á⨠ᨫ쮣® à §-¬¥è¨¢ ¨ï ¨ ®æ¥¨¢ ¥â íä䥪âë «®ª «ì®£® à á-â殮¨ï ¢ íâ¨å ®¡« áâïå.�« £®¤ à®áâ¨�⨠¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¡ë«¨ ¢ë¯®«¥ë ¢ â® ¢à¥-¬ï, ª®£¤ ¢â®à ¯®á¥é « Thermo
uids and Com-plex Flows Research Group, LTI, URA-CNRS 869,ISITEM, University of Nantes, France (¢ à ¬ª å£à â the Conseil G�ene�eral de Loire Atlantique), á®-âà㤨ª ¬ ª®â®à®© (A. Mokrani and C. Castelain) ¢â®à ¢ëà ¦ ¥â á¢®î ¯à¨§ ⥫ì®áâì ¨ ¡« £®-¤ à®áâì. �¢â®à â ª¦¥ ¡« £®¤ ॠ¯à®ä¥áá®àã�¥«¥èª® �. �. (�áâ¨âãâ £¨¤à®¬¥å ¨ª¨, ����ªà ¨ë) § ¯®«¥§ë¥ ᮢ¥âë.�����������¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï á ç «ì묨 ãá«®-¢¨ï¬¨ (4) § ¢¨á¨â ®â ª®à¥© (p1 and p2)å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï [16] ¨ ¬®¦¥â ¡ëâì§ ¯¨á ® ¢ ä®à¬¥ (7). �¬¥îâáï âਠá«ãç ï:a) ®¡ ª®àï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï (p1and p2) ïîáï ¤¥©á⢨⥫ì묨, ª®£¤ D2c > 0:A = [p1 � d� (p2 � d)exp(�Dc� ))]=Dc;B = b[1� exp(�Dc� )]=Dc;C = c[1� exp(�Dc� )]=Dc; (34)D = [p1 � a� (p2 � a)exp(�Dc� ))]=Dc;E = � gDc + e(p1 � d) + (hp� dg)p1 + fbp21Dc ���� gDc + e(p2 � d) + (hb� dg)p2 + fbp22Dc ��� e�Dc� + �e+ hb� dgp1p2 ++ fb � edp21p22 (p1 + p2 + p1p2� )� e�p1� ;A.A.�ãন© ¨ �.�¥àå®á¥©¨ 41
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 28 { 43F = � hDc + f(p1 � a) + (gc� ha)p1 + ecp21Dc � ��� hDc + f(p2 � a) + (gc � ha)p2 + ecp22Dc ��� e�Dc� + �f + gc � hap1p2 ++ ec � fap21p22 (p1 + p2 + p1p2� )� e�p1� ;b) ®¡ ª®àï ᮢ¯ ¤ îâ (p1 = p2 = p0), â® ¥áâìD2c = 0:A = 1 + (p0 � a22); �B = a12�;C = a21�;D = 1 + (p0 � a11)�; (35)E = g� � e+ hb� gdp20 (1� p0� ) + fb � edp20 � �� 2(fb � ed)p30 + fe+ hb� gd++ (fb � ed)� + 2(fb � ed)p0 � e�p0�p20 ;F = h� � f + gc � hap20 (1� p0� ) + ec� fap20 � �� 2(ec� fa)p30 + ff + gc� ha++ (ec � fa)� + 2(ec� fa)p0 � e�p0�p20 ;c) ®¡ ª®àï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ïp1;2 = p0 � jjDcj=2, £¤¥ p0 = Re[p1] ïîâáï ª®¬-¯«¥ªá® ᮯà殮묨, ª®£¤ D2c < 0:A = cosK� + [(p0 � a22)sinK� ]=K;B = [a12cosK� ]=K;C = [a21cosK� ]=K;D = cosK� + [(p0 � a11)sinK� ]=K; (36)E = �dg � e � hb� 2p0(fb � ed)p20 +K2 � cosK�p20 +K2 ++ �g � p0(e + hb� gd)p20 +K2 + (fb � ed)�� p20 �K2p20 +K2� sinK�K + fe + hb� dg++ fb � edp20 +K2 [2p0 + (p20 +K2)� ]� e�p0�p20 +K2 ;F = �ha� f � gc � 2p0(ec � fa)p20 +K2 � cosK�p20 +K2 ++ �h� p0(f + gc� ha)p20 +K2 + (ec � fa)�
�p20 �K2p20 +K2� sinK�K + ff + gc � ha++ ec� fap20 +K2 [2p0 + (p20 +K2)� ]� e�p0�p20 +K2 ;£¤¥ 4K2 = �D2c : (37)�«ï ⮣®, çâ®¡ë ¢ëç¨á«¨âì ¤«¨ã ¨§ ç «ì®ªà㣮¢®£® ª®âãà ¤«ï ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ � ¥®¡å®-¤¨¬® ¢ëç¨á«¨âì (á¬. ¢ëà ¦¥¨ï (13), (15))l = j�0jp2 exp(�Dc� ) 2�Z0 � (A2 + B2 + C2 +D2)++ [(B2 +D2 �A2 � C2)2 + (38)+ 4(AB +DC)2]1=2sin2��1=2 d�:�¢®¤ï ®¡®§ 票ï,� = A2 +B2 +C2 +D2 (39)� = (B2 +D2 � A2 �C2)2 + 4(AB +DC)2;¡¥§à §¬¥à ï ¤«¨ ª®âãà ¢ëà ¦ ¥âáïL = l2�j�0j = exp(�Dc� )p8� 2�Z0 (� + �sin2�)1=2d� == 2exp(p1� )� �p� + �E(k)� ; (40)£¤¥ k2 = (2�)=(� + �) ¨ E(k) { ¯®«ë© í««¨¯â¨ç¥á-ª¨© ¨â¥£à « ¢â®à®£® த .� ¢ ©â¥ à áᬮâਬ á«ãç © D2c > 0. �«ãç ¨D2c = 0 ¨ D2c < 0 ¬®£ãâ âà ªâ®¢ âìáï ¯® «®-£¨¨. �ï¤ë �¥©«®à (�� { ¬ «ë© ¯ à ¬¥âà) ¤«ï¥¨§¢¥áâëå äãªæ¨© ¨¬¥îâ ¢¨¤A = 1 +�� (p2 � d)��2� Dc2 (p2 � d) + O(�3� );B = b�� �1� Dc��2 + O(�2� )� ;C = c�� �1� Dc��2 + O(�2� )� ; (41)D = 1 + �� (p2 � a) ��2�Dc2 (p2 � a) + O(�3� ):� ⥬ ¨§ ¢ëà ¦¥¨ï (39) ¬ë ¬®¦¥¬ ¯¨á âì2� = ���1 +�2��2 +O(�3� ); (42)� + � = 1 + ���1 +�2��2 +O(�3� ); (43)£¤¥ �1 = 2p(a22 + a11)2 + (a12 + a21)2;42 A.A.�ãন© ¨ �.�¥àå®á¥©¨
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 28 { 43�2 = 1�1 �(a22 + a11)(a212 � a221++ (p2 � a11)(p2 � a11 �Dc) �� (p2 � a22)(p2 � a22 �Dc)] ++ (a12 + a21)[a12(2p2 � 2a22 �Dc) ++a21(2p2 � 2a11 �Dc)]) ;�1 = �12 �Dc; (44)�2 = 12[(p2 � a22)(p2 � a22 �Dc) ++ (p2 � a11)(p2 � a11 �Dc) + a212 + a221 + �2]:� í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (16) ¬®¦¥â ¡ëâì à §-«®¦¥® ¢ á«¥¤ãî騩 àï¤:L = 1 + ��4 (2�1 � �1 + 4p1) ++ �2�8 (4�2 � �21 � 2�2 + �1�1 + (45)+ 4p1�1 � 2p1�1 + 4p21):1. Ottino J. M. The Kinematics of Mixing: Stretching,Chaos and Transport.{ Cambridge: Cambridge Uni-versity Press, 1989.{ 683 p.2. Lamb H. Hydrodynamics.{ Cambridge: CambridgeUniversity Press, 6th ed., 1967.{ 677 p.3. Aref H. Chaotic advection of
uid particle // Phil.Trans. R. Soc. London.{ 1990.{ 333.{ P. 273{288.4. Meleshko V. V. and van Heijst G. J. F. Interact-ing two-dimensional vortex structures: point vortices,contour kinematics and stirring properties // Chaos,Solitons & Fractals.{ 1994.{ 4.{ P. 977{1010.5. Wang L. P., Maxey M. R., Burton T. D., andStock D. E. Chaotic dynamics of particle dispersionin
uids // Phys. Fluids.{ 1992.{ A4.{ P. 1789{1804.6. Muzzio F. J., Meneveau C., Swanson P. D., and Ot-tino J. M. Scalling and nultifractal properties of mix-ing in chaotic
ows // Phys. Fluids.{ 1992.{ A4.{P. 1439{1456.7. Jones S. W., Thomas O. M. and Aref H. Chaoticadvection by laminar
ow in a twisted pipe // J. FluidMech.{ 1989.{ 209.{ P. 335{357.8. Umeki M. Lagrangian motion of
uid particles in-duced by three-dimensional standing surface waves //Phys. Fluids.{ 1992.{ A4.{ P. 1968{1978.9. Muzzio F. J., Swanson P. D. and Ottino J. M. Thestatistics of stretching and stirring in chaotic
ows //Phys. Fluids.{ 1991.{ A3.{ P. 822{834.10. Fl�or J. B. and van Heijst G. J. F. An experimentalstudy of dipolar vortex structures in a strati�ed
u-id // J. Fluid Mech.{ 1994.{ 279.{ P. 101{133.11. Ling F. H. Chaotic mixing in a spatially periodic con-tinuous mixer // Phys. Fluids.{ 1993.{ A5.{ P. 2147{2160.
12. Moon F. C. Chaotic and Fractal Dynamics: An Intro-duction for Applied Scientists and Engineers.{ NewYork: John Wiley & Sons, 1989.{ 312 p.13. Schuster H. G. Deterministic Chaos.{ 2nd ed., Win-hein: VHC Publishers, 1984.{ 342 p.14. � ¯®®¢-�à¥å®¢ �. �., � ¡¨®¢¨ç �. �. �.�.� -¤¥«ìèâ ¬ ¨ ᮢ६¥ ï ⥮à¨ï ¥«¨¥©ëå ª®«¥-¡ ¨© ¨ ¢®« // �á¯¥å¨ �¨§¨ç¥áª¨å � ãª.{ 1979.{�.128, �ë¯.4.{ �. 579{624.15. Peerhossaini H., Castelain C. and Le Guer Y. Heatexchanger design based on chaotic advection // Ex-per. Thermal and Fluid Science.{ 1993.{ 7.{ P. 333{341.16. Korn G. A. and Korn T. M. Mathematical handbookfor scientists and engineers.{ New York: McGraw-Hill, 1968.{ 1130 p.17. Aref H. and Jones S. W. Enhanced separation of dif-fusing particles by chaotic advection // Phys. Fluid.{1989.{ A1.{ P. 470{474.18. Meleshko V. V., Konstantinov M. Yu., Gurzhi A. A.and Konovalyuk T. P. Advection of a vortex pair at-mosphere in a velocity �eld of point vortices // Phys.Fluids.{ 1992.{ A4.{ P. 2779{2797.19. Helmholtz H. �Uber Integrale der hydrodynamis-chen Gleichungen, welche den Wirbelwegungenentsprechen // J. reine angew. Math..{ 1858.{ 55.{P. 25{55.20. Aref H. Integrable, chaotic and turbulent vortex mo-tion in two-dimensional
ows // Ann. Rev. FluidMech.{ 1983.{ 15.{ P. 345{390.21. Velasco Fuentes O. U., van Heijst G. J. F. andLipzig N. P. M. Unsteady behaviour of topography-modulated tripole // J. Fluid Mech.{ 1996.{ 307.{P. 11{41.22. � «â ®¢ �. �., �®à¡ ì �. �. �¨åà¥¢ë¥ áâàãª-âãàë ¢ ¦¨¤ª®áâ¨: «¨â¨ç¥áª¨¥ ¨ ç¨á«¥ë¥à¥è¥¨ï.{ �¨¥¢: � ãª. ¤ã¬ª , 1993.{ 244 á.23. �®®¢ «îª �. �. �« áá¨ä¨ª æ¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨åॢ®© ¯ àë á â®ç¥çë¬ ¢¨å६ ¢ ¨¤¥ «ì®©¦¨¤ª®á⨠// �̈ ¤à®¬¥å ¨ª .{ 1990.{ 62.{ �. 64{69.24. Price T. Chaotic scattering of two identical point vor-tex pairs // Phys. Fluids.{ 1993.{ A5.{ P. 2479{2483.25. Meleshko V. V. and Gourjii A. A. Stirring of an in-viscid
uid by interacting point vortices // in "Mod-elling of Oceanic Vortices\ (ed. G. J. F. van Heijst),Proceeding Colloquium Royal Netherlands Academyof Arts and Science.{ Amsterdam, Noth-Holland.{1994.{ P. 271-281.26. �®àá ©â �¦., � «ª®«ì¬ �., �®ã«¥à �.� è¨ë¥¬¥â®¤ë ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å ¢ëç¨á«¥¨©.{ �.: �¨à,1980.{ 210 á.27. �ãà¦i© �. �., �¥«¥èª® �. �., ¢ �¥©áâ �. �. �.�¥â®¤ ªã᪮¢®�� ᯫ ©-iâ¥à¯®«ïæi�� ¢ § ¤ çi ¯à® ¤¢¥ªæiî ¯ ᨢ®�� ¤®¬i誨 ã ¢i¤®¬®¬ã ¯®«i 袨¤-ª®áâi // �®¯. �� �ªà ��¨.{ 1996.{ N.8.{ �. 48{54.28. Jones S. W. The enhancement of mixing by chaot-ic advection // Phys. Fluids.{ 1991.{ A3.{ P. 1081{1086.A.A.�ãন© ¨ �.�¥àå®á¥©¨ 43
|