Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования макроэкономических показателей
Рассмотрен нечеткий метод группового учета аргументов. Изложены основные идеи и принципы метода и исследован вопрос адаптации полученных нечетких моделей при поступлении новой информации. Проанализировано влияние различных видов функций принадлежности на точность прогноза. Приводятся результаты эксп...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Datum: | 2003 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2003
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50310 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования макроэкономических показателей / Ю.П. Зайченко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 3. — С. 25-45. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860246929414291456 |
|---|---|
| author | Зайченко, Ю.П. |
| author_facet | Зайченко, Ю.П. |
| citation_txt | Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования макроэкономических показателей / Ю.П. Зайченко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 3. — С. 25-45. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Системні дослідження та інформаційні технології |
| description | Рассмотрен нечеткий метод группового учета аргументов. Изложены основные идеи и принципы метода и исследован вопрос адаптации полученных нечетких моделей при поступлении новой информации. Проанализировано влияние различных видов функций принадлежности на точность прогноза. Приводятся результаты экспериментальных исследований применения метода для прогнозирования в макроэкономике.
Розглянуто нечіткий метод групового урахування аргументів. Викладено основні ідеї та принципи методу. Досліджено проблему адаптації отриманих нечітких моделей при надходженні нової інформації. Проаналізовано вплив різних видів функцій належності на точність прогнозування. Наведено результати експериментальних досліджень застосування методу для прогнозування в макроекономіці.
A fuzzy group method of data handling is considered. The basic ideas and principles of this method are presented. The problem of adaptation of the fuzzy models after obtaining of new experimental data is investigated. The influence of different membership functions of fuzzy coefficients on the forecast precision is analysed. The results of method applications of the fuzzy for macroeconomic indexes forecast are presented and discussed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:37:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Ю. П. Зайченко, 2003
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 25
TIДC
ПРОБЛЕМИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ І
УПРАВЛІННЯ В ЕКОНОМІЧНИХ, ТЕХНІЧНИХ,
ЕКОЛОГІЧНИХ І СОЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ
УДК 681.513
НЕЧЕТКИЙ МЕТОД ИНДУКТИВНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В
ЗАДАЧАХ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Ю. П. ЗАЙЧЕНКО
Рассмотрен нечеткий метод группового учета аргументов. Изложены основные
идеи и принципы метода и исследован вопрос адаптации полученных нечетких
моделей при поступлении новой информации. Проанализировано влияние раз-
личных видов функций принадлежности на точность прогноза. Приводятся ре-
зультаты экспериментальных исследований применения метода для прогнозиро-
вания в макроэкономике.
ВВЕДЕНИЕ
Статья посвящена исследованию нечеткого метода индуктивного моделиро-
вания, известного под названием метода группового учета аргументов
(МГУА) в задачах моделирования и прогнозирования в макроэкономике.
Проблема состоит в построении прогнозирующих моделей и нахожде-
нии неизвестной функциональной зависимости между прогнозируемой ве-
личиной и заданным набором макроэкономических показателей по экспери-
ментальным точкам. При этом аналитический вид модели (функциональной
зависимости) неизвестен.
Достоинством метода индуктивного моделирования МГУА является
построение объективной модели в процессе работы алгоритма, а также воз-
можность работать на коротких выборках. Особенностью нечеткого МГУА
является получение интервальных оценок для прогнозируемой переменной,
что позволяет судить о точности получаемого прогноза.
В статье дается обзор основных результатов, полученных в области не-
четкого метода самоорганизации, проводится анализ применения различных
видов функций принадлежности (ФП), оцениваются перспективы использо-
вания нечеткого МГУА в задачах прогнозирования в макроэкономике и от-
мечаются некоторые направления его дальнейших исследований.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Задано множество исходных данных: входные переменные { ),1(X
})(,...),2( MXX и выходная переменная { })(,...),2(),1( Myyy , где
{ }nxxxX ,...,, 21= — n -мерный вектор; M — число точек наблюдения.
Ю. П. Зайченко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 26
Требуется на основе наблюдаемых данных построить адекватную мо-
дель ),...,,( 21 nxxxFY = , причем полученная модель должна быть наи-
меньшей сложности. В частном случае при решении задачи прогнозирова-
ния в качестве выходной переменной используется модель =)(My
)( KMxi += , где K — величина интервала упреждения.
Отличительные особенности данной задачи:
1. Вид функциональной зависимости неизвестен, определен только
класс моделей, например, полиномиальная произвольной степени нелиней-
ности или гармонический ряд (Фурье).
2. Короткая выборка данных.
3. Временные ряды )(txi в общем случае нестационарные.
В таком случае применение классических методов статистического
анализа (регрессионного или дисперсионного) невозможно, и необходимо
использовать нестандартные методы, например, основанные на применении
идей искусственного интеллекта.
К их числу относится МГУА, предложенный и развитый в многочис-
ленных работах А.Г. Ивахненко [1] и его учеников [2,3]. МГУА — метод
индуктивного моделирования сложных систем.
Он заимствует идеи из биологии, а именно механизмы эволюции:
1. Скрещивание или гибридизация родительских пар (аргументов) и
генерация потомков.
2. Селекция и отбор лучших.
Основные достоинства метода, обусловившие его популярность и ши-
рокое использование не только в Украине, но и за рубежом:
1. Не требует задания модели в явном виде. Модель конструируется
сама в процессе работы алгоритма.
2. Работает на коротких выборках (когда число определяемых коэффи-
циентов модели n меньше числа точек наблюдения М ).
Вместе с тем классический МГУА имеет недостатки:
1. При близких экспериментальных точках возможно явление вырож-
денности матрицы нормальных уравнений Гаусса («индуцит» в терминоло-
гии А.Г. Ивахненко), вследствие чего возникает необходимость применения
специальных методов регуляризации.
2. Дает точечную модель (прогноз), а в ряде случаев желательно иметь
доверительный интервал, который характеризует точность прогноза.
Поэтому в последние годы ведется интенсивная разработка новых ме-
тодов, лишенных указанных недостатков. Таким методом является нечеткий
МГУА (НМГУА), который строит интервальную модель регрессии и для
нахождения модели (прогноза) не использует МНК. Поэтому явление выро-
жденности здесь отсутствует.
Цель данной статьи — обзор различных алгоритмов НМГУА, анализ
применяемых функций принадлежности, их влияния на качество прогноза,
оценка перспектив развития нечеткого МГУА и целесообразности его при-
менения в задачах макроэкономического прогнозирования.
2. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ МГУА
Напомним основополагающие принципы МГУА, справедливые и для нечет-
кого его варианта.
Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 27
Достаточно полная зависимость между входами X(i) и выходами Y(i) в
классе полиномиальных моделей может быть представлена с помощью
обобщенного полинома Колмогорова-Габора.
Пусть есть { }NxxxX ,...,, 21= , тогда такой полином имеет вид
...
111
0 ++++= ∑∑∑∑∑∑
= ≤ ≤= ≤=
N
i ij jk
kjiijk
N
j ji
jiij
N
i
ii xxxaxxaxaaY ,
где все коэффициенты iji aaa ˆ,ˆ,ˆ0 неизвестны.
При построении модели (определении значений коэффициентов) в ка-
честве критерия используется критерий регулярности (точности)
∑
=
−=
N
i
ii xfy
N 1
22 ))((1ε .
Необходимо обеспечить min2 →ε .
Принцип множественности моделей. Существует множество моделей
на данной выборке, обеспечивающее нулевую ошибку (достаточно повы-
шать степень полинома модели). Т.е., если имеется N узлов интерполяции,
то можно построить целое семейство моделей, каждая из которых при про-
хождении через экспериментальные точки будет давать нулевую ошибку.
02 =ε .
Обычно степень нелинейности берут не выше ,1−n если n — количество
точек выборки.
Обозначим S — сложность модели (определяется числом членов по-
линома Колмогорова-Габора).
Значение ошибки 2ε зависит от сложности модели. Причем по мере
роста сложности сначала она будет падать, а затем расти. Нам же нужно вы-
брать такую оптимальную сложность, при которой ошибка будет мини-
мальной. Кроме того, если учитывать действие помех, то можно выделить
следующее:
1. При различном уровне помех зависимость 2ε от сложности S будет
меняться, сохраняя при этом общую направленность (с ростом сложности
она сначала будет уменьшаться, а затем — возрастать).
2. При увеличении уровня помех величина 2minε
S
будет расти.
3. С ростом уровня помех 2
0 minarg ε=S будет уменьшаться (опти-
мальное значение сложности будет смещаться влево). Причем 0)( 0
2 >Sε ,
если уровень помех не нулевой.
Один из способов преодоления неполноты выборки данных, которая
является следствием теоремы неполноты Геделя, — использование прин-
ципа внешнего дополнения. В качестве внешнего дополнения применяется
дополнительная (проверочная) выборка, точки которой не использовались
при обучении системы (т.е. при поиске оценочных значений коэффициентов
полинома Колмогорова-Габора).
Поиск наилучшей модели осуществляется таким образом.
Ю. П. Зайченко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 28
• Вся выборка делится на обучающую и проверочную: =выбN
провобуч NN += .
• На обучающей выборке обучN определяются значения iji aaa ˆ,ˆ,ˆ0 .
• На проверочной выборке провN отбираются лучшие модели.
Принцип свободы выбора (неокончательности промежуточного решения).
1. Для каждой пары ix и jx строим частичные описания (всего 2
NC ) вида
• или jjiiji
S xaxaaxxY ++== 0
)( ),(ˆ ϕ , 2...1 NCs = (линейные);
• или 22
0
)( ),(ˆ
jjjjiijiiijjiji
S xaxxaxaxaxaxxY +++++==ϕ ,
2...1 NCs = (квадратичные).
2. Определяем коэффициенты этих моделей по МНК, используя обу-
чающую выборку. Т.е. находим NNijNj aaaaaaa ˆ,...,ˆ,...,ˆ,ˆ,...,ˆ,...,ˆ,ˆ 1110 .
3. Далее на проверочной выборке для каждой из этих моделей ищем оценку
[ ]
2
1
)(
пров
2
пров
ˆ)(1 ∑
=
−=
N
k
s
ks YkY
N
ε
(где )(kY — действительное значение выходной переменной в k -й точке
проверочной выборки; )(ˆ s
kY — выходное значение в k -й точке проверочной
выборки в соответствии с s -й моделью) и определяем F лучших моделей.
Выбранные iy подаются на второй ряд. Ищем
2)2(
5
)2(
4
2)2(
3
)2(
2
)2(
1
)2(
0
)2( ),( jjiijijiI yayyayayayaaxxz +++++== ϕ .
Оценка здесь такая же, как на первом ряде. Отбор лучших осуществля-
ется опять так же, но 12 FF < . Процесс конструирования рядов повторяем
до тех пор, пока средний квадрат ошибки уменьшается. Когда на слое m
получим увеличение ошибки 2ε ,то прекратим работу алгоритма.
3. НЕЧЕТКИЙ МГУА. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ
В работах [4,5] рассмотрена линейная интервальная модель регрессии
nn ZAZAZAY +++= ...1100 , (1)
где Ai — нечеткие числа треугольного вида, описываемые парой параметров
),( iii cA α= ,
где iα — центр интервала; ic — его ширина; ic ≥ 0.
Тогда Y — нечеткое число, параметры которого определяются следую-
щим образом:
Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 29
центр интервала zz T
i
i
iiy ααα ==∑ , (2)
ширина интервала zczcc T
i
iiy == ∑ . (3)
Для того чтобы интервальная модель была корректной, необходима
принадлежность действительного значения выходной величины Y интервалу
неопределенности, что описывается следующими ограничениями:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥+
≤−
yzcz
yzcz
TT
TT
α
α
. (4)
Например, для частичного описания вида
2
5
2
43210),( jijijiji xAxAxxAxAxAAxxf +++++= (5)
в общей модели (1) необходимо положить 10 =z , ixz =1 , jxz =2 ,
ji xxz =3 , 2
4 ixz = , 2
5 jxz = .
Предположим, что мы наблюдаем обучающую выборку { }Mzzz ,...,, 21 ,
{ }Myyy ,...,, 21 . Тогда для адекватной модели вида (1) необходимо найти
также niii c
,1
),(
=
α , для которых бы выполнялись соотношения вида
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥+
≤−
kk
T
k
T
kk
T
k
T
yzcz
yzcz
α
α
, Mk ,1= . (6)
Сформулируем основные требования к оценочной линейной интер-
вальной модели для частичного описания вида (5).
Найти такие значения параметров ),( ii cα нечетких коэффициентов,
при которых:
а) наблюдаемые значения ky попадали бы в оценочный интервал для kY ;
б) суммарная ширина оценочного интервала была бы минимальной.
Эти требования можно свести к следующей задаче ЛП.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++++ ∑∑∑∑∑
=====
M
k
kj
M
k
ki
M
k
kjki
M
k
kj
M
k
ki xCxCxxCxCxCMC
1
2
5
1
2
4
1
3
1
2
1
10min (7)
при условиях
( +++−+++++ kjkikjkikjkikjki xCxCCxxxxxx 210
2
5
2
43210 αααααα
) kkjkikjki yxCxCxxC ≤+++ 2
5
2
43 , Mk ,1= , (8)
( +++++++++ kjkikjkikjkikjki xCxCCxxxxxx 210
2
5
2
43210 αααααα
) 5,0,0,2
5
2
43 =≥≥+++ pCyxCxCxxC pkkjkikjki , (9)
где к — номер точки измерения.
Ю. П. Зайченко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 30
Как видим, задача (7) – (9) является задачей линейного программиро-
вания (ЛП). Однако неудобство формы (7) – (9) для применения стандарт-
ных методов ЛП состоит в том, что нет ограничений неотрицательности для
переменных iα . Поэтому для ее решения переходим к двойственной задаче,
введя двойственные переменные { }kδ и { }Mk+δ . Она записывается так:
)(max
11
∑∑
==
+ −
M
k
kk
M
k
Mkk YY δδ , (10)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=−
=−
=−
∑∑
∑∑
∑∑
==
+
==
+
==
+
0
...
0
0
1
2
1
2
11
11
M
k
kkj
M
k
Mkkj
M
k
kki
M
k
Mkki
M
k
k
M
k
Mk
XX
XX
δδ
δδ
δδ
, (11)
.
...
1
2
1
2
1
2
111
11
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
≤+
≤+
≤+
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
==
+
=
==
+
=
=
+
=
M
k
kj
M
k
Mkkj
M
k
kkj
M
k
ki
M
k
Mkki
M
k
kki
M
k
Mk
M
k
k
XXX
XXX
M
δδ
δδ
δδ
(12)
Эта задача ЛП всегда является разрешимой, так как при 0=kδ ,
Mk 2,1= все ограничения (11), (12) выполняются.
Решив двойственную задачу симплекс-методом и найдя оптимальные
значения двойственных переменных { }kδ , { }Mk+δ , найдем также оптима-
льные значения искомых переменных ic , iα , 5,0=i , а также искомую не-
четкую модель для частичного описания (5).
4. ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА НМГУА
Краткое описание алгоритма.
1. Выбрать общий вид модели, которой будет описываться искомая за-
висимость.
2. Выбрать внешний критерий оптимальности (критерий регулярности
2
δ или несмещенности смN ).
3. Выбрать общий вид опорной функции (вид частичных описаний),
например, линейный или квадратичный.
Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 31
4. Разбить выборки на обучающую обN и проверочную провN .
5. Присвоить нулевые значения счетчику числа моделей k и счетчику
числа рядов r .
6. Сгенерировать новую частичную модель rf вида (5) на обучающей
выборке. Решить задачу ЛП (10) – (12) и найти искомые значения iα , ic .
7. Определить по проверочной выборке провN значение внешнего кри-
терия ( k
rN )(
см ) или ( )()2( rkδ ).
8. 1+= kk . Если 2
FCk ≥ , то 0=k , 1+= rr .
9. Вычислить средний критерий для моделей r -й итерации ( )(
см
rN или
)()2( rδ ). Если 1=r , то переходим на шаг 6, иначе — на шаг 10.
10. Если ε≤−− )1()( смсм rNrN , то переходим на шаг 11, иначе — от-
бираем F лучших моделей и, положив 1+= rr , 1=k , переходим на шаг 6
и выполняем следующую )1( +r -ю итерацию.
11. Из F моделей предыдущего ряда найти по критерию регуляризации
наилучшую модель. Восстановить аналитический вид лучшей модели, ис-
пользуя геделевскую нумерацию.
5. АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ФУНКЦИЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
В первых работах, посвященных нечеткому МГУА [3,4], рассматривались
функции принадлежности нечетких коэффициентов треугольного вида. По-
скольку нечеткие числа могут иметь и другой вид функции пранадлежности
(ФП), то представляют интерес другие классы ФП в задачах моделирования
на основе МГУА. В работе [7] рассмотрены нечеткие модели с гауссовскими
и колоколообразными ФП.
5.1. Нечеткие числа с гауссовской ФП
Назовем нечетким числом B с гауссовской ФП нечеткое множество с ФП
вида
.
)( 2
2)(
2
1
c
ax
B ex
−
⋅−
=µ (13)
Такое НЧ задается парой чисел ),( ca=β , где a — центр, а c — величина,
характеризующая ширину интервала (рис.1).
Пусть оценочная линейная интервальная модель для частичного описа-
ния НМГУА имеет вид (5). Тогда задача ставится в виде: найти такие нечет-
кие числа iA , т.е. параметры ),( ii ca , чтобы:
1) наблюдение ky принадлежало данному оценочному множеству kY
со степенью, не меньшей, чем α , 10 <<α ;
2) ширина оценочного интервала уровня α была бы минимальной.
Ю. П. Зайченко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 32
Ширина оценочного интервала уровня α (рис. 1)
)(2 212 ayyyd −=−=α ,
где )( 2 ay − определяется из условия
.
)(
2
1exp 2
2
2
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ −
⋅−=
c
ay
α (14)
Отсюда αα ln22 −= cd .
Итак, целевая функция может быть записана в виде
∑∑∑∑
= ===
−=−=
M
k
n
i
iki
M
k
k
M
k
k zCCd
1 111
minln22ln22minmin ααα . (15)
Так как αln22 − — положительная константа, не влияющая на на-
бор ic , который минимизирует целевую функцию (15), то можно разделить
целевую функцию на эту константу и привести целевую функцию к исход-
ному виду.
Теперь рассмотрим первое требование αµ ≥)( ky . Оно эквивалентно
α≥
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ −
⋅− 2
2)(
2
1exp
k
kk
c
ay
.
Это неравенство приводится к системе неравенств вида
.ln2
,ln2
kkk
kkk
yca
yca
≤−−
≥−+
α
α
(16)
С учетом того, что
Рис. 1. Подмножество уровня α
µ(y)
a
y2 y1 y
α
dα
Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 33
∑
=
=
n
i
kiik zaa
1
, ∑
=
=
n
i
kiik zcc
1
задача нахождения нечеткой модели сводится окончательно к задаче ЛП
следующего вида:
⎜
⎜
⎝
⎛
+++ ∑∑
==
M
k
kj
M
k
ki xCxCMC
1
2
1
10min
⎟
⎟
⎠
⎞
+++ ∑∑∑
===
M
k
kj
M
k
ki
M
k
kjki xCxCxxC
1
2
5
1
2
4
1
3 (17)
при условиях
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
≤−+++−+++
≥−+++++++
kkjkikjki
kkjkikjki
yxCxCCxaxaa
yxCxCCxaxaa
α
α
ln2)...(...
ln2)...(...
2
510
2
510
2
510
2
510
, Mk ,1= .
(18)
Для решения этой задачи, как и в случае ФП треугольного вида, можно
перейти к двойственной задаче вида
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−∑∑
==
+
M
k
kk
M
k
Mkk yy
11
max δδ (19)
при условиях-равенствах (11) и условиях-неравенствах
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
−
≤+
−
≤+
−
≤+
∑
∑∑
∑
∑∑
∑∑
=
=
+
=
=
=
+
=
=
+
=
α
δδ
α
δδ
α
δδ
ln2
...
ln2
ln2
1
2
1
2
1
2
1
11
11
M
k
kjM
k
Mkkj
M
k
kkj
M
k
kiM
k
Mkki
M
k
kki
M
k
Mk
M
k
k
X
XX
X
XX
M
,
(20)
0≥kδ , Mk 2,1= .
Эта задача решается стандартными методами.
5.2. Нечеткие модели с колоколообразной функцией принадлежности
Распространенный класс нечетких чисел (НЧ) составляют НЧ с колоколооб-
разной ФП вида
2
1
1)(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
=
c
ax
xBµ .
Ю. П. Зайченко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 34
Такое НЧ В задается парой чисел ),( caB = , где a — центр, а с — ве-
личина, характеризующая ширину функции (рис. 2).
Для нечеткой модели 2
5
2
43210 jijiji xAxAxxAxAxAAY +++++= .
Соответствующая задача ЛП для нахождения неизвестных параметров
),( ii cα имеет вид
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++++ ∑∑∑∑∑
=====
M
k
kj
M
k
ki
M
k
kjki
M
k
kj
M
k
ki xCxCxxCxCxCMC
1
2
5
1
2
4
1
3
1
2
1
10min (21)
при условиях
,1)...(...
,1)...(...
2
510
2
510
2
510
2
510
kkjkikjki
kkjkikjki
yxCxCCxaxaa
yxCxCCxaxaa
≤
−
+++−+++
≥
−
+++++++
α
α
α
α
(22)
Mk ,1= , 0>iC , 5,0=i .
Перейдя от этой задачи к двойственной, можно найти искомое решение
стандартными методами ЛП.
6. АДАПТАЦИЯ НЕЧЕТКИХ МОДЕЛЕЙ
При прогнозировании с использованием методов самоорганизации (в част-
ности, НМГУА) возникает проблема коррекции полученной модели в про-
цессе ее использования для прогнозирования после получения новых экспе-
риментальных данных.
Поскольку полный пересчет модели «в лоб» требует больших вычисли-
тельных затрат, более рациональным является адаптация коэффициентов
найденной на предыдущем этапе оптимальной модели по методу МГУА. В
µ(x)
x
a
Рис. 2. Колоколообразная ФП
α
Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 35
работе [5] рассмотрен и исследован алгоритм адаптации на основе метода
стохастической аппроксимации.
Метод стохастической аппроксимации позволяет просто учитывать но-
вые поступающие данные и относится к числу рекурсивных методов струк-
турной идентификации. Оценка 1
ˆ
+nP вектора параметров p на шаге )1( +n
при условии, что известна оценка вектора P на шаге n , определяется так:
nnnn PP Ψ−=+ ρˆˆ
1 , (23)
где nΨ — функция, зависящая от )ˆ( nn pI — скалярного критерия качества
идентификации (например, интегрального среднеквадратичного критерия);
nρ — величина шага.
Условия сходимости метода:
1) 0→nρ при ∞→n .
2) ∑
∞
=
∞=
0n
nρ .
3) ∑
∞
=
∞<
0
2
n
nρ .
Если в качестве критерия оптимизации выбран критерий
2)),(()( PXyPI Φ−= ,
где ),...,,( 21 kpppP = — вектор искомых параметров нечетких коэффициен-
тов, то
Kkkp
I
,1=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=Ψ ;
kk p
PXPXy
p
I
∂
Φ∂
Φ−−=
∂
∂ ),()),((2 .
В случае линейной модели относительно параметров [ ]kpP = рекур-
рентное соотношение (23) для поиска неизвестного на )1( +n -м шаге пара-
метра kp запишется так:
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( )1,11 1 ++Φ−+=+ + nxnPnXYnpnp knnkk ρ , ...,2,1,0=n .
7. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
В работах [5, 6] проводились исследования алгоритмов нечеткого МГУА с
треугольной ФП в задачах прогнозирования макроэкономических показате-
лей Украины. В качестве выходной прогнозируемой величины был выбран
индекс потребительских цен (ИПЦ). В качестве существенных входных пе-
ременных по результатам регрессионного анализа выбраны следующие пе-
ременные:
• ИПЦ текущего периода.
Ю. П. Зайченко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 36
• ИОЦ (индекс оптовых цен) текущего периода.
• Денежный агрегат М2 (лаг –7).
• Объем кредитов, вложенных в экономику (лаг –7).
• Официальный обменный курс доллара на текущий период.
Приведем некоторые из полученных результатов выполненных экспе-
риментов.
1. Результаты структурной идентификации на окне прогнозирования
размером в 15 точек, из которых 10 было выделено на обучающую и 5 на
проверочную выборки. При идентификации на следующий этап синтеза пе-
редавалось 10 лучших моделей текущего этапа.
Используемое частичное описание
211220210100 xxAxAxAA +++ .
Величина СКО: 0,7119462.
2. Результаты структурной идентификации на окне прогнозирования
размером в 12 точек, из которых 7 было выделено на обучающую и 5 на
проверочную выборки. Последние 3 точки, показанные на графике, спрог-
нозированы в пошаговом режиме без адаптации коэффициентов модели.
При идентификации на следующий этап синтеза передавалось 10 лучших
моделей текущего этапа.
Используемое частичное описание
2
222
2
111211220210100 xAxAxxAxAxAA +++++ .
Величина СКО (на выборке, состоящей из обучающих и спрогнозиро-
ванных точек): 0,249623.
3. Результаты структурной идентификации на окне прогнозирования
размером в 12 точек, из которых 7 было выделено на обучающую и 5 на
проверочную выборки. При идентификации на следующий этап синтеза пе-
редавалось 10 лучших моделей текущего этапа.
Используемое частичное описание
2
222
2
111211220210100 xAxAxxAxAxAA +++++ .
Величина СКО: 0,116168.
4. Результаты структурной идентификации на окне прогнозирования
размером в 12 точек, из которых 7 было выделено на обучающую и 5 на
проверочную выборки. При идентификации на следующий этап синтеза пе-
редавалось 10 лучших моделей текущего этапа.
Используемое частичное описание
20210100 xAxAA ++ .
Величина СКО: 0,7151176.
5. Прогноз 10 точек при помощи модели, синтезируемой единственный
раз, без пошаговой адаптации коэффициентов.
Частичное описание, используемое при синтезе прогнозирующей
модели,
Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 37
2
222
2
111211220210100 xAxAxxAxAxAA +++++ .
Величина СКО на спрогнозированных точках: 0,990959.
6. Прогноз тех же 10 точек, что и в п. 5, при помощи пошаговой адап-
тации коэффициентов прогнозирующей модели (адаптация использовалась
в случае выхода реального значения прогнозируемой переменной за спрог-
нозированную полосу).
Частичное описание, используемое при синтезе прогнозирующей
модели,
2
222
2
111211220210100 xAxAxxAxAxAA +++++ .
Величина СКО на спрогнозированных точках: 0,813633824.
7. Прогноз 11 точек при помощи пошаговой адаптации коэффициентов
прогнозирующей модели (адаптация использовалась в случае выхода реаль-
ного значения прогнозируемой переменной за спрогнозированную полосу).
Частичное описание, используемое при синтезе прогнозирующей
модели,
2
222
2
111211220210100 xAxAxxAxAxAA +++++ .
Величина СКО на спрогнозированных точках: 0,88312.
8. Прогноз тех же 11 точек, что и в п. 7, при помощи модели, синтези-
руемой единственный раз, без пошаговой адаптации коэффициентов.
Частичное описание, используемое при синтезе прогнозирующей
модели,
2
222
2
111211220210100 xAxAxxAxAxAA +++++ .
Величина СКО на спрогнозированных точках: 1,16648.
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Как видно из приведенных ниже графиков (рис. 3 – 6), идентификация
структуры моделей с использованием нечеткого МГУА дает достаточно вы-
сокие результаты при прогнозировании даже для моделей с линейными
частичными описаниями. Для линейных моделей СКО не превышает значе-
ния 0,72, для описаний вида
2
222
2
111211220210100 xAxAxxAxAxAA +++++
СКО не превышает значения 0,3.
Наилучшие результаты структурной идентификации и прогнозирова-
ния получены на окне размером 12 точек (т.е. при размерах окна, получен-
ных с помощью регрессионного анализа) с использованием квадратичных
частичных описаний и максимально возможной свободе выбора (на каждом
этапе синтеза отбирались 10 лучших моделей).
Долгосрочные прогнозы величины ИПЦ в результате описанных экспе-
риментов имеют высокое качество (как для моделей с пошаговой адаптаци-
ей коэффициентов, так и без нее), что свидетельствует о возможности ус-
Ю. П. Зайченко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 38
пешного применения нечеткого МГУА в задачах долгосрочного прогнози-
рования макроэкономических показателей для экономики переходного
периода. Особый интерес представляло сравнение результатов прогнозиро-
вания с использованием моделей с адаптацией и без нее.
Во всех экспериментах точность прогноза с адаптацией коэффициентов
модели оказалась несколько выше. Так при прогнозе 10 точек (с 09.1998 г.
по 06.1999 г.) СКО для моделей с адаптацией и без нее составило соответст-
венно 0,813634 и 0,99096.
При прогнозе 11 точек (с 02.1998 г. по 12.1998 г.) СКО составило соот-
ветственно 0,88312 и 1,16648. Эти результаты свидетельствуют о целесооб-
разности применения адаптации для корректировки коэффициентов модели
по вновь поступающим данным и позволяют избежать большого объема вы-
числений, связанного с повторным синтезом модели. Однако следует отме-
тить, что в условиях экономики переходного периода зависимость между
входными и выходным процессами может существенно изменяться на ко-
ротком отрезке времени и адаптация коэффициентов модели при этом не
даст желаемого эффекта, так как текущая модель становится неадекватной,
и тогда необходим синтез новой модели. Следовательно, для повышения
точности прогноза необходимо определить некоторый баланс между адап-
тацией существующей и синтезом новой модели. В частности, значительная
ошибка прогноза является сигналом для синтеза новой модели.
Т а б л и ц а 1 . Пример 2
Предсказанное значение Точное
значение
Ряд 1 Ряд 2 Ряд 3
Нижняя
граница Центр Верхняя
граница
Ряд 4
Отклонение Квадрат
отклонения
-0,53722196 -0,098627941 0,339966077 0 0,098627941 0,009727471
0,829243012 1,267837031 1,70643105 1,2 0,067837031 0,004601863
0,751614352 1,19020837 1,628802389 0,9 0,29020837 0,084220898
0,605627406 1,044221425 1,482815444 0,9 0,144221425 0,020799819
0,540008112 0,97860213 1,417196149 1,4 0,42139787 0,177576164
0,177188037 0,738594019 1,3 1,3 0,561405981 0,315176676
-0,007019976 0,431574042 0,870168061 0,2 0,231574042 0,053626537
-0,554785551 -0,116191533 0,322402486 0,2 0,316191533 0,099977085
0,847198903 1,285792922 1,724386941 1,3 0,014207078 0,000201841
-0,23758945 0,201004569 0,639598587 0 0,201004569 0,040402837
-0,151796964 0,286797055 0,725391073 0 0,286797055 0,082252551
-1,352722255 -0,914128236 -0,475534218 -0,9 0,014128236 0,000199607
-0,030902591 0,407691428 0,846285446 0,2 0,207691428 0,043135729
3,396947499 3,835541518 4,274135536 3,8 0,035541518 0,001263199
5,722489177 6,161083196 6,599677214 6,2 0,038916804 0,001514518
СКО 0,249623289
.
Частичное описание, используемое при синтезе моделей,
Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 39
2
222
2
111211220210100 xAxAxxAxAxAA +++++ .
Т а б л и ц а 2 . Пример 3
Предсказанное значение Точное
значение
Ряд 1 Ряд 2 Ряд 3
Нижняя
граница Центр Верхняя
граница
Ряд 4
Отклонение Квадрат
отклонения
0,741907027 0,820953513 0,9 0,9 0,079046487 0,006248347
1,4 1,530499329 1,660998657 1,4 0,130499329 0,017030075
0,852220261 1,07611013 1,3 1,3 0,22388987 0,050126674
0,2 0,276785899 0,353571799 0,2 0,076785899 0,005896074
0,2 0,284920755 0,36984151 0,2 0,084920755 0,007211535
1,104810941 1,202405471 1,3 1,3 0,097594529 0,009524692
0 0,135304494 0,270608989 0 0,135304494 0,018307306
-0,879510732 -0,103400602 0,672709528 0 0,103400602 0,010691684
-1,76330477 -0,987194639 -0,211084509 -0,9 0,087194639 0,007602905
-0,406016651 0,370093479 1,14620361 0,2 0,170093479 0,028931792
3,007468704 3,783578834 4,559688965 3,8 0,016421166 0,000269655
5,433833205 6,209943335 6,986053466 6,2 0,009943335 9,88699E-05
СКО 0,116167841
Частичное описание, используемое при синтезе моделей,
2
222
2
111211220210100 xAxAxxAxAxAA +++++ .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 14 t
ИПЦ
Рис. 3. Графики прогнозных и действительных значений: 1, 2, 3, 4 — ряды
(пример 2)
1
2 3 4
Ю. П. Зайченко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 40
Т а б л и ц а 3 . Пример 6
Предсказанное значение Точное
значение
Ряд 1 Ряд 2 Ряд 3
Нижняя
граница Центр Верхняя
граница
Ряд 4
Отклонение Квадрат от-
клонения
3,96 4,4 4,84 6,2 1,8 3,24
2,36 2,8 3,24 3 0,2 0,04
2,51 2,95 3,39 3,3 0,35 0,1225
1,61 2,05 2,49 1,5 0,55 0,3025
1,36 1,8 2,24 1 0,8 0,64
1,36 1,8 2,24 1 0,8 0,64
2,01 2,45 2,89 2,3 0,15 0,0225
2,06 2,5 2,94 2,4 0,1 0,01
0,91 1,35 1,79 0,1 1,25 1,5625
-1,24 -0,8 -0,36 -1 0,2 0,04
СКО 0,813633824
Частичное описание, используемое при синтезе моделей,
2
222
2
111211220210100 xAxAxxAxAxAA +++++ .
Количество описаний, передаваемых на следующий этап синтеза: 10.
1 2 3 4
Рис. 4. Графики прогнозных и действительных значений: 1, 2, 3, 4 — ряды (пример 3)
t
ИПЦ
1 2 3 4
Рис. 5. Графики прогнозных и реальных значений ИПЦ: 1, 2, 3, 4 — ряды (пример 6)
ИПЦ
t
Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 41
Т а б л и ц а 4 . Пример 7
Предсказанное значение Точное зна-
чение
Ряд 1 Ряд 2 Ряд 3
Нижняя
граница Центр Верхняя
граница
Ряд 4
Отклонение Квадрат
отклонения
0,447247747 1,376050257 2,304852767 0,2 1,176050257 1,383094207
0,35431648 1,297410503 2,240504527 1,3 0,002589497 6,70549E-06
-0,82637542 0,102427091 1,031229601 0 0,102427091 0,010491309
-0,774994098 0,150991763 1,076977625 0 0,150991763 0,022798513
-1,023589667 -0,094787157 0,834015353 -0,9 0,805212843 0,648367723
-0,665987341 0,260363951 1,186715244 0,2 0,060363951 0,003643807
1,197507568 2,12504098 3,052574392 3,8 1,67495902 2,805487719
3,6 4,4 5,2 6,2 1,8 3,24
2 2,8 3,6 3 0,2 0,04
2,15 2,95 3,75 3,3 0,35 0,1225
1,25 2,05 2,85 1,5 0,55 0,3025
СКO 0,883118955
Частичное описание, используемое при синтезе моделей,
2
222
2
111211220210100 xAxAxxAxAxAA +++++ .
Количество описаний, передаваемых на следующий этап синтеза: 10.
Результаты проведенных экспериментов с различными ФП
В эксперименте по моделированию неизвестной функции с использо-
ванием программной реализации описанного выше алгоритма НМГУА с
использованием различных ФП в качестве входных данных были взяты следую-
щие макроэкономические показатели (данные с апреля 1996г. по июнь 1999г.):
• номинальный ВВП (НВВП);
• процент изменения индекса потребительских цен (ИПЦ);
• процент изменения индекса оптовых цен (ИОЦ);
• индекс реальной промышленной продукции (ИРПП);
t
ИПЦ
Рис. 6. Графики прогнозных и реальных значений: 1, 2, 3, 4 — ряды (пример 7)
Ю. П. Зайченко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 42
• ставка рефинансирования НБУ за прошедший месяц (СР).
Выходной прогнозируемой переменной было значение номинального
ВВП в следующем месяце.
Параметры моделирования.
Массив входных данных размером 28 точек был разбит на 11 окон
(промежутков) данных, на которых строилась модель. Размер каждого окна
12 точек, каждое окно сдвинуто на один месяц относительно предыдущего.
После этого проводился прогноз НВВП(+1) на 5 шагов вперед. На каждом
этапе синтеза НМГУА выбирались 7 лучших полных квадратичных моделей
частичных описаний. Соотношения критериев регулярности и несмещенно-
сти в определении погрешности частичных описаний: 0,7/0,3. Для гауссовс-
кой и колоколообразной функций принадлежности задавался уровень зна-
чимости 0,7.
Результаты экспериментов приведены в табл.5, 6.
Т а б л и ц а 5 . Результаты прогнозирования НВВП с различными ФП
MSE
Номер окна Треугольная ФП Гауссовская ФП Колоколообразная ФП
1 1669,8620 1655,4260 1652,1840
2 458,4141 449,6609 447,6822
3 830,1062 826,8912 826,1713
4 1362,0540 1353,9970 1352,1930
5 1858,8730 1845,2010 1842,1330
Среднее 1235,8620 1226,2350 1224,0730
Т а б л и ц а 6 . Сравнительный анализ гауссовской и колоколообразной
ФП с разными уровнями значимости
Уровень значи-
мости MSE с гауссовской ФП MSE с колоколообразной ФП
0,3 1368,135 1365,201
0,5 1366,106 1363,162
0,7 1361,489 1361,162
0,8 1361,796 1358,851
0,9 1359,482 1359,201
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПО
ЧЕТКОМУ И НЕЧЕТКОМУ МГУА
Были проведены сравнительные экспериментальные исследования четкого и
нечеткого алгоритмов МГУА в задачах прогнозирования макроэкономиче-
ских показателей. В качестве прогнозируемой переменной взят ВВП Украи-
ны. В процессе экспериментов изменялись объем выборок, соотношение
между объемом обучающей и проверочной выборок, число лучших моде-
лей, передаваемых на следующий уровень.
Некоторые из полученных результатов приводятся ниже.
Эксперимент 1.
Использовалась выборка из 49 точек, из которых 30 были выделены на
обучающую, 19 на проверочную. При идентификации на следующий этап
Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 43
синтеза передавались 7 лучших моделей. Использовалось полное квадра-
тичное описание.
2112
2
222
2
1112021010 xxAxAxAxAxAAy +++++= .
Результаты прогнозирования приведены на рис. 7.
Величина СКО на прогнозной выборке:
558174 — в нечетком алгоритме МГУА;
1071791 — в четком алгоритме МГУА.
Эксперимент 2.
Использовалась выборка из 49 точек, из которых 35 были выделены на
обобщающую, 14 на проверочную. При идентификации на следующий этап
синтеза передавались 7 лучших моделей. Использовалось полное квадра-
тичное описание.
Результаты прогнозирования приведены на рис.8.
Величина СКО на прогнозной выборке:
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
Рис. 7. Графики прогнозных и реальных значений НВВП: 1 — Y; 2 — оценка по
нечеткому МГУА; 3 — нижняя граница по нечеткому МГУА; 4 — оценка по чет-
кому МГУА; 5 — верхняя граница по нечеткому МГУА
1 3
4
5
2
НВВП
t
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
1
2
3
4
5НВВП
t
Рис. 8. Графики прогнозных и реальных значений: 1 — реальное значение; 2 —
оценка по нечеткому МГУА; 3 — нижняя граница по нечеткому МГУА; 4 —
оценка по четкому МГУА; 5 — верхняя граница по нечеткому МГУА
Ю. П. Зайченко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 44
249863 — в нечетком алгоритме МГУА;
521658 — в четком алгоритме МГУА.
Эксперимент 3.
Использовалась выборка из 49 точек, из которых 25 были выделены на
обучающую, 24 на проверочную. Последние 5 точек, показанные на графи-
ке, спрогнозированы в пошаговом режиме без адаптации коэффициентов
модели. При идентификации на следующий этап синтеза передавались 7
лучших моделей. Использовалось полное квадратичное описание.
Результаты экспериментов приведены на рис.9.
Величина СКО на прогнозной выборке:
1061710 — в нечетком алгоритме МГУА;
1652718 — в четком алгоритме МГУА.
Как следует из приведенных результатов, нечеткий алгоритм МГУА
оказывается более точным, чем четкий. Это объясняется следующими дос-
тоинствами нечеткого МГУА:
1. Отсутствует проблема плохой обусловленности матриц, поскольку
нет необходимости использовать МНК, а задача ЛП всегда разрешима.
2. Полученная интервальная (не точечная) оценка прогнозной величе-
ны позволяет оценить точность прогнозов.
3. В зависимости от варьируемых параметров в экспериментах можно
получить большее количество входных параметров, что несомненно повы-
шает качество прогнозов как в четком, так и в нечетком алгоритмах МГУА.
При одинаковом числе входных параметров изменение соотношения
между обучающей и проверочной выборками (увеличение обучающей и
уменьшение проверочной) ведет к ухудшению результатов прогноза. В ча-
стности, нечеткий метод дает более широкий интервал значений, четкий —
более сглаженную кривую.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В статье рассмотрен нечеткий метод индуктивного моделирования —
НМГУА, проанализирована проблема адаптации коэффициентов нечетких
моделей, описаны результаты экспериментальных исследований по приме-
нению нечеткого МГУА в задачах прогнозирования макроэкономических
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
2 1
3
4 5
Рис. 9. Графики прогнозных и реальных значений: 1 — реальные значения; 2 —
оценка по нечеткому МГУА; 3 — нижняя граница по нечеткому МГУА; 4 —
оценка по четкому МГУА; 5 — верхняя граница по нечеткому МГУА
t
НВВП
Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 45
показателей на примере экономики Украины. Исследовано влияние различ-
ных видов функций принадлежности на точность прогноза.
Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы.
1. Применение нечеткого МГУА в задачах прогнозирования экономи-
ческих процессов со сложной динамикой и неизвестной функциональной
взаимосвязью между процессами является вполне обоснованным и позволя-
ет получить сравнительно высокую точность прогноза.
2. Использование адаптации коэффициентов найденной нечеткой мо-
дели по текущим данным позволяет повысить точность прогнозирования на
15–20%.
3. Результаты прогнозирования по нечеткому МГУА практически сла-
бо зависят от типа функций принадлежности. Имеется некоторое предпоч-
тение гауссовской и колоколообразной ФП перед треугольной. Но основ-
ным преимуществом нелинейных ФП по сравнению с треугольной состоит в
том, что они определяются заданным уровнем значимости α , что может
обеспечить дополнительную гибкость алгоритма.
4. Основные преимущества нечеткого МГУА перед четким:
• отсутствие явления вырожденности моделей при плохой обуслов-
ленности матрицы ограничений нормальных уравнений;
• возможность получения доверительного интервала для прогноза, что
позволяет судить о точности получаемых оценок.
В качестве перспективных направлений дальнейших исследований в об-
ласти нечеткого МГУА следует отметить исследование различных классов
опорных функций (например, гармонических, обратных, показательных и
др.), проведение сравнительного анализа МГУА с нейронными сетями, в том
числе и нечеткими, в задачах моделирования и прогнозирования в экономике.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ивахненко А.Г., Мюллер И.А. Самоорганизация прогнозирующих моделей. —
Киев: Техніка, 1985. — 221с.
2. Ивахненко А.Г., Зайченко Ю.П., Димитров В.Д. Принятие решений на основе
самоорганизации. — М.: Сов. радио, 1976. — 280 с.
3. Mueller J.-A., Lemke F. Self-Organizing Data Mining. — Berlin, Dresden, 1999. — 225 p.
4. Зайченко Ю.П., Кебкал О.Г., Крачковський В.Ф. Нечіткий метод групового
врахування аргументів та його застосування в задачах прогнозування
макроекономічних показників // Наукові вісті НТУУ «КПІ». — 2000, № 2,
С. 18–26.
5. Зайченко Ю.П., Заєць І.О. Синтез та адаптація нечітких прогнозуючих моделей
на основі методу самоорганізації // Наукові вісті НТУУ «КПІ». — 2001. —
№ 3. — С. 34 — 41.
6. Зайченко Ю.П., Заєць І.О. Застосування рекурсивних методів ідентифікації в
задачах синтезу нечітких прогнозуючих моделей // Міжнар. конф. з індук-
тивного моделювання. Львів, 20 — 25 травня 2002 р. Праці в 4-х томах. —
2. — С. 59–65.
7. Зайченко Ю.П., Заєць І.О., Камоцький О.В., Павлюк О.В. Дослідження різних
видів функцій належності в нечіткому методі групового урахування аргу-
ментів // УСиМ. — 2003. — № 2. — С. 56 — 67.
Поступила 03.06.2003
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50310 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:37:44Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зайченко, Ю.П. 2013-10-10T18:36:09Z 2013-10-10T18:36:09Z 2003 Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования макроэкономических показателей / Ю.П. Зайченко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 3. — С. 25-45. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50310 681.513 Рассмотрен нечеткий метод группового учета аргументов. Изложены основные идеи и принципы метода и исследован вопрос адаптации полученных нечетких моделей при поступлении новой информации. Проанализировано влияние различных видов функций принадлежности на точность прогноза. Приводятся результаты экспериментальных исследований применения метода для прогнозирования в макроэкономике. Розглянуто нечіткий метод групового урахування аргументів. Викладено основні ідеї та принципи методу. Досліджено проблему адаптації отриманих нечітких моделей при надходженні нової інформації. Проаналізовано вплив різних видів функцій належності на точність прогнозування. Наведено результати експериментальних досліджень застосування методу для прогнозування в макроекономіці. A fuzzy group method of data handling is considered. The basic ideas and principles of this method are presented. The problem of adaptation of the fuzzy models after obtaining of new experimental data is investigated. The influence of different membership functions of fuzzy coefficients on the forecast precision is analysed. The results of method applications of the fuzzy for macroeconomic indexes forecast are presented and discussed. ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования макроэкономических показателей Нечіткий метод індуктивного моделювання в задачах прогнозування макроекономічних показників Fuzzy method of induction modelling for macroeconomic indexes forecast Article published earlier |
| spellingShingle | Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования макроэкономических показателей Зайченко, Ю.П. Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| title | Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования макроэкономических показателей |
| title_alt | Нечіткий метод індуктивного моделювання в задачах прогнозування макроекономічних показників Fuzzy method of induction modelling for macroeconomic indexes forecast |
| title_full | Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования макроэкономических показателей |
| title_fullStr | Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования макроэкономических показателей |
| title_full_unstemmed | Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования макроэкономических показателей |
| title_short | Нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования макроэкономических показателей |
| title_sort | нечеткий метод индуктивного моделирования в задачах прогнозирования макроэкономических показателей |
| topic | Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| topic_facet | Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50310 |
| work_keys_str_mv | AT zaičenkoûp nečetkiimetodinduktivnogomodelirovaniâvzadačahprognozirovaniâmakroékonomičeskihpokazatelei AT zaičenkoûp nečítkiimetodínduktivnogomodelûvannâvzadačahprognozuvannâmakroekonomíčnihpokaznikív AT zaičenkoûp fuzzymethodofinductionmodellingformacroeconomicindexesforecast |