Об операторных включениях в банаховых пространствах с плотно определенными операторами
Используя развитые ранее в работе [1] методы, получены новые результаты по исследованию разрешимости и свойств решений операторных включений с плотно определенными и -псевдомонотонными операторами в рефлексивных банаховых пространствах. Використовуючи розвинені в роботі [1] методи, отримані нові рез...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Дата: | 2003 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2003
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50318 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об операторных включениях в банаховых пространствах с плотно определенными операторами / В.С. Мельник // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 3. — С. 120-126. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859913003590221824 |
|---|---|
| author | Мельник, В.С. |
| author_facet | Мельник, В.С. |
| citation_txt | Об операторных включениях в банаховых пространствах с плотно определенными операторами / В.С. Мельник // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 3. — С. 120-126. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Системні дослідження та інформаційні технології |
| description | Используя развитые ранее в работе [1] методы, получены новые результаты по исследованию разрешимости и свойств решений операторных включений с плотно определенными и -псевдомонотонными операторами в рефлексивных банаховых пространствах.
Використовуючи розвинені в роботі [1] методи, отримані нові результати у дослідженні розв’язуваності та властивості рішень операторних включень із щільно визначеними та -псевдомонотонними операторами у рефлексивних банахових просторах.
With using the developed approaches [1], new results concerning the solvability and solution features of operator inclusions with densely defined and -pseudomonotonous operators in reflexive Banach spaces have been obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:03:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.С. Мельник, 2003
120 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3
TIДC
НОВІ МЕТОДИ
В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ, ІНФОРМАТИЦІ
ТА ТЕОРІЇ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
УДК 517.9
ОБ ОПЕРАТОРНЫХ ВКЛЮЧЕНИЯХ
В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
С ПЛОТНО ОПРЕДЕЛЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
В.С. МЕЛЬНИК
Используя развитые ранее в работе [1] методы, получены новые результаты по
исследованию разрешимости и свойств решений операторных включений с
плотно определенными и L -псевдомонотонными операторами в рефлексив-
ных банаховых пространствах.
ВВЕДЕНИЕ
Пусть WV , — банаховы пространства, *V , *W — их топологические
двойственные, а Y — топологическое векторное пространство, причем
YV ⊂ , YW ⊂ , *: VVA →→ , *: WWB →→ — многозначные отображения с
областями определения )(AD и )(BD соответственно, *)(: XYLDL →⊂ —
линейное отображение, где WVX ∩= .
В работе изучаются операторные включения вида
fyByAyL −⊃++ )()( , (1)
где *Xf ∈ .
Полученные здесь результаты обобщают и развивают исследования,
описанные в работах [1–3] .
1. КЛАССЫ L -ПСЕВДОМОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Для многозначного отображения *: VVA →→ рассмотрим его график
{ })();(rg *** vAvVVvvA ∈×∈= и { }∅≠∈= )()( vAVvAD . Отображение A
называется строгим, если VAD =)( .
С отображением A связываются ассоциированные отображения
*:oc VVA →→ и *
*
:oc VVA →→ , определяемые соотношениями =)(oc yA
Об операторных включениях в банаховых пространствах с плотно определенными операторами
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 121
))((oc yA= , ))((oc)(oc
**
yAyA = , причем )oc()(
*
ADAD = , где *− означает
замыкание множества )(oc yA в );( * VVσ -топологии пространства *V . Для
VG ⊂ мы полагаем )(oc)(oc
**
vAGA
Gv
∪
∈
= , т.е. следует различать )(oc
*
GA и
)( )(oc))((oc
**
∪
Gv
vAGA
∈
= , поскольку операция объединения и
*
oc некомму-
тативны. Очевидно, ))((oc)(oc
**
GAGA ⊂ . Скажем, что непрерывная функ-
ция RRR →× ++:C принадлежит классу 0Φ , если 0, 21 ≥∀ rr
0),( 21
1 →− rtrCt при 0+→t и принадлежит классу 1Φ , если 0)0,( ≡rC .
Для каждого многозначного отображения *: VVA →→ рассматриваем
V
yAd
vydvyA 〉〈=
∈
+ ),(sup]),([
)(
, V
yAd
vdvyA 〉〈=
∈
− ,inf]),([
)(
)(ADy∈∀ , Vv∈ ,
*)(sup)(
)( VyAd
ydyA
∈
+ = , )(ADy∈ . Если же )(ADy∉ , то полагаем
0]),([]),([ == −+ vyAvyA , Xv∈∀ , 0)( =+yA .
Определение 1.1. Отображение *: VVA →→ называется:
а) оператором с L -полуограниченной вариацией (соответственно,
L -субограниченной вариацией), если 0>∀ R и )(, 21 ADyy ∈∀ таких, что
Ry Vi ≤ , 2,1=i , справедливо неравенство
);(]),([]),([ 21122211
′−−−≥− +− VyyRCyyyAyyyA ,
где 0Φ∈C (соответственно, 1Φ∈C ), а полунорма ′⋅ V такая, что если
yyn → слабо в V и yLyL n → *-слабо в *X , то найдется подпоследова-
тельность }{}{ nm yy ⊂ , для которой 0→′− Vm yy ;
б) L -псевдомонотонным, если из )()( ADyyAD n ∈→−⊃ слабо в V ,
yLyL n → *-слабо в *X и неравенства
0,lim ≤〉−〈
∞→
Vnnn
yyd ,
где )(oc
*
nn yAd ∈ , вытекает существование таких подпоследовательностей
}{},{ mm yd , что
[ ] )(),(,lim LDVvvyyAvyd Vmm
m
∩∈∀−≥〉−〈 −
∞→
;
в) радиально полунепрерывным, если Vhx ∈∀ , таких, что )(ADx∈ и
)(ADhtx ∈− ε<<∀ t0 , имеет место
В.С. Мельник
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 122
[ ] [ ]−+
+→
≥− hxAhhtxA
t
),(),(lim
0
.
Предложение 1.1. Пусть *: VVA →→ — радиально полунепрерывный
оператор с L -полуограниченной вариацией. Тогда он L -псевдомонотонный.
Доказательство аналогично доказательству предложения 6 в работе [1].
Предложение 1.2. Пусть отображение *: VVA →→ удовлетворяет условиям:
а) отображение A
*
oc компактное на )()( LDAD ∩ , т.е. переводит огра-
ниченные на )(LD множества в норме графика в предкомпактные;
б) A
*
ocgr слабо-сильно замкнут, т.е., если yyAD n →−⊃)( слабо в V ,
yLyL n → слабо в *X , а ddn → сильно в *V , где )(oc
*
nn yAd ∈ , то
)(oc
*
yAd∈ .
Тогда оператор A является L -псевдомонотонным.
Доказательство представляет модификацию утверждения 6 (с учетом
замечания 5) в работе [3].
Определение 1.2. Отображение A конечномерно локально ограничено,
если )(VF F∈∀ и FyF ∈ ( )(VF — совокупность всех конечномерных
подпространств пространства V ) 0>∃ N и 0>ε , что
NvA F ≤+)( при ε≤− FFF yv .
2. РАЗРЕШИМОСТЬ ОПЕРАТОРНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
Пусть WV , — рефлексивные банаховы пространства, тогда WVX ∩= —
рефлексивное банахово пространство с сопряженным *** WVX += и нор-
мой WVX yyy += , *)(: XXLDL →⊂ — линейный оператор.
Элемент )(LDy∈ , удовлетворяющий включению (1), называется стро-
гим решением.
Определение 2.1. Элемент )(LDy∈ называется слабым решением опе-
раторного включения (1), если справедливо неравенство
XvwfwyBwyAwyL XX ∈∀〉〈≥++〉〈 ++ ,]),([]),([, .
Определение 2.2. Элемент Xy∈ называется L -слабым решением
включения (1), если
)(,]),([]),([, LDvyvfyvyByvyAyvvL XX ∈∀〉−〈≥−+−+〉−〈 ++ .
Замечание 2.1. Очевидно, каждое строгое решение является слабым.
При 0≥L каждое слабое решение есть L -слабым.
Об операторных включениях в банаховых пространствах с плотно определенными операторами
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 123
Теорема 2.1. Пусть *)(: XXLDL →⊂ — максимально монотонный
оператор, *: VVA →→ , *: WWB →→ — строгие локально конечномерно огра-
ниченные L -псевдомонотонные отображения, и для произвольного *Xf ∈
найдется действительное число 0>r , что
rByyfyByA ∂∈∀≥−+ + 0],)()([ ,
где rB — шар в X радиуса r , а rB∂ — его граница.
Тогда при каждом *Xf ∈ существует слабое решение включения (1).
Доказательство. В условиях теоремы элемент )(LDy∈ является сла-
бым решением включения (1) в том и только в том случае, когда справедли-
во следующее включение:
fyByAyL −⊃++ )(oc)(oc
**
. (2)
Это свойство является прямым следствием результатов из [1]. Рассмот-
рим, вообще говоря, многозначный оператор двойственности *: XXJ →→
{ }22* ,)( XXX yyXyJ ==〉〈∈= ξξξ . Как известно, XJD =)( и J — мак-
симально монотонное отображение.
«Приблизим» включение (2) следующим включением:
0,)(oc)(oc)(
**
1* >−⊃+++− εε εε fyByAyLyLJL
и установим его разрешимость при каждом 0>ε .
Для )(, LDwy ∈ положим
[ ] +++
− ++〉〈+=Π ]),([]),([,),(),( 1 wyBwyAwyLwLyLJwy Xεε .
Заметим, что форма ),()( wywLD εΠ−⊃ положительно однородна,
выпукла и полунепрерывна снизу на )(LD в норме — графика =)(LDw
*XX wLw += )(LDy∈∀ , а значит (см. [4]) для каждого 0>ε определе-
но многозначное отображение *))(()(: LDLD →→εB такое, что
[ ] )(,),(),( LDwywywyε ∈∀=Π +εB ,
и, более того, вполне можем считать, что )))((()( *LDCy V∈εB , где VC
X — совокупность всех замкнутых выпуклых подмножеств пространст-
ва X .
Предложение 2.1. При каждом 0>ε εB — локально конечномерно ог-
раниченный λ -псевдомонотонный оператор.
Доказательство. Определим многозначное отображение
В.С. Мельник
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 124
*))(()(: LDLDM →→ε
равенством
)()()( ),(,)(),( LDLDLD vymvyLyLyl 〉〈=〉〈+〉〈 εε , (3)
где l — однозначный селектор многозначного отображения LJ 1− . Тогда
εm — однозначный селектор εM . Для каждого селектора l отображения
LJ 1− левая часть равенства (3) является линейным непрерывным функцио-
налом относительно )(LDv∈ , следовательно *))(()( LDym ∈ε .
Лемма 2.1. При каждом 0>ε многозначное отображение εM является
ограниченнозначным монотонным и хеминепрерывным сверху.
Доказательство. Заметим, что множество )(yM ε ограничено в
*))(( LD , если kyM ≤+)(ε .
Действительно, из оценки kyM ≤+)(ε имеем
{ }kzLDzByM
LDk ≤∈=⊂ *))((
*))(()0()(ε ,
т.е. множество )(yM ε ограничено. Обратно, если )0()( kByM ⊂ε , то
)()( yMyd εε ∈∀ kyd LD ≤*))(()(ε , следовательно kyM ≤+)(ε .
Далее,
[ ] [ ] ≤+≤= +
−
==
+
=
+ vLyLJvyLvyMyM
LDLDLD vvv
),(sup),(sup),(sup)( 1
111 )()()(
εεε
ryLJyL X ≤+≤
+
− )(1
* ε ,
что и доказывает ограниченнозначимость оператора εM . Изучим свойство
монотонности.
Для произвольных )(, 21 LDyy ∈ рассмотрим выражения
[ ] [ ] )(211211
1
211 ,),(),( LDyyyLyLyLyLJyyyM 〉−〈+−=−
−
−
−
εε , (4)
[ ] [ ] )(212212
1
212 ,),(),( LDyyyLyLyLyLJyyyM 〉−〈+−=− +
−
+ εε . (5)
Но так как 1−J — монотонное отображение, а оператор L положи-
тельный, то сравнивая (4) и (5), получаем
[ ] [ ] )(,),(),( 21212211 LDyyyyyMyyyM ∈∀−≥− +− εε ,
и тем самым монотонность доказана. Остается убедиться, что отображение
εM хеминепрерывно сверху, т.е. функционал
[ ]+−⊃ wyMyLD ),()( ε
Об операторных включениях в банаховых пространствах с плотно определенными операторами
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 125
полунепрерывен сверху )(LDw∈∀ .
Пусть yyn → в )(LD . Рассмотрим
[ ] [ ]+−
+ +〉〈= wLyLJwyLwyM nLDnn ),(,),( 1
)( εε .
При каждом ...,2,1=n множество )(1
nyLJ − ограниченное, выпуклое
и слабо замкнутое, поэтому )()( 1
nn yLJyl −∈∃ , для которого
[ ] Xnn wLylwLyLJ 〉〈=+
− ),(),(1 .
Соответственно найдется )()( nn yMym εε ∈ , что
XnLDnLDn wLylwyLwym 〉〈+〉〈=〉〈 ),(,),( )()( εε .
При этом вполне можем считать, что lyl n →)( слабо в X , а значит
[ ] Xnn
wLlwLyLJ 〉〈=+
−
∞→
,),(lim 1 ,
где l зависит от )(LDw∈ или же )(1 wLJ −∈∀ζ и )(LDw∈∀ .
XnnnX wxLxlwxLl 〉−−〈=〉−−〈=
∞→
)(,)(lim)(,0 ζζ ,
откуда, благодаря максимальности отображения 1−J , имеем )(1 xLJl −∈ .
И, наконец,
[ ] [ ]+−
+
−
∞→
≤〉〈= wLxLJwLxlwLxLJ Xn
n
),(),(),(lim 11 ,
а также
[ ] ≤〉〈+〉〈=+∞→
XXnn
wLxlwxLwxM ),(,),(lim εε
[ ] [ ]++
− =+〉〈≤ wxMwLxLJwxL X ),(),(, 1
εε ,
т.е. εM — хеминепрерывное сверху отображение. Лемма доказана.
Как известно ([1], предложение 6), каждое хеминепрерывное сверху
отображение с полуограниченной вариацией является λ -псевдомонотонным,
а значит λ -псевдомонотонным будет и εM . Предложение доказано.
В силу леммы 6 [5] отображение *: XXMBAA →→++= εε является
псевдомонотонным и локально конечномерно ограниченным. Но, поскольку
0≥L , то
=++≥ +
−
+++ ]),([]),([]),([]),([ 1 yLyLJyyByyAyyA εε
2
*]),([]),([ XyLyyByyA ε++= ++ ,
В.С. Мельник
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 126
следовательно
rByyfyA ∂∈∀≥− + 0],)([ ε ,
и, в силу теоремы 5 [5] существует такой элемент rBLDy ∩)(∈ε , что
fyA −⊃)(oc
*
εε .
По аналогии с [6] замечаем, что последовательность }{ εy ограничена в
X , последовательность }{ εyL — в *X , и потому можем считать yy →ε
слабо в X , yLyL →ε слабо в *X , причем для произвольного )(LDv∈
[ ] [ ]−− −+−≥〉−−〈 vyyBvyyAvyvLf ),(),(, .
Полагая в последнем неравенстве wtyv −= , 0>t , )(LDw∈ , после де-
ления на t и предельного перехода при 0+→t , находим
[ ] )(0),()( LDwwyByAyLf ∈∀≥−−− + ,
что и доказывает теорему.
ЛИТЕРАТУРА
1. Згуровский М.З., Мельник В.С. Метод штрафа для вариационных неравенств с
многозначными отображениями. I // Кибернетика и системный анализ. —
2000. — № 4. — С. 57–69.
2. Згуровский М.З., Мельник В.С. Метод штрафа для вариационных неравенств с
многозначными отображениями. II // Кибернетика и системный анализ. —
2000. — № 4. — С. 41–53.
3. Згуровский М.З., Мельник В.С. Метод штрафа для вариационных неравенств с
многозначными отображениями. III // Кибернетика и системный анализ. —
2001. — № 2. — С. 70–83.
4. Мельник В.С. Мультивариационные неравенства и операторные включения в
банаховых пространствах с отображениями класса +)(S // Укр. мат. журн.
— 2001. — 52, № 11. — С. 1513–1523.
5. Згуровский М.З., Мельник В.С. Неравенство Ки Фаня и операторные включения
в банаховых пространствах // Кибернетика и системный анализ. — 2002. —
№ 2. — С. 70–85.
6. Вакуленко О.М., Мельник В.С. Розв’язність і властивості розв’язків одного кла-
су операторних включень в банахових просторах // Наукові вісті НТУУ
«КПІ». — 1999. — №3. — С. 105–112.
Поступила 12.09.2003
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50318 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:03:06Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мельник, В.С. 2013-10-10T19:04:03Z 2013-10-10T19:04:03Z 2003 Об операторных включениях в банаховых пространствах с плотно определенными операторами / В.С. Мельник // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 3. — С. 120-126. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50318 517.9 Используя развитые ранее в работе [1] методы, получены новые результаты по исследованию разрешимости и свойств решений операторных включений с плотно определенными и -псевдомонотонными операторами в рефлексивных банаховых пространствах. Використовуючи розвинені в роботі [1] методи, отримані нові результати у дослідженні розв’язуваності та властивості рішень операторних включень із щільно визначеними та -псевдомонотонними операторами у рефлексивних банахових просторах. With using the developed approaches [1], new results concerning the solvability and solution features of operator inclusions with densely defined and -pseudomonotonous operators in reflexive Banach spaces have been obtained. ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Об операторных включениях в банаховых пространствах с плотно определенными операторами Про операторні включення у банахових просторах із щільно визначеними операторами On operator inclusions in Banach spaces with densely defined operators Article published earlier |
| spellingShingle | Об операторных включениях в банаховых пространствах с плотно определенными операторами Мельник, В.С. Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень |
| title | Об операторных включениях в банаховых пространствах с плотно определенными операторами |
| title_alt | Про операторні включення у банахових просторах із щільно визначеними операторами On operator inclusions in Banach spaces with densely defined operators |
| title_full | Об операторных включениях в банаховых пространствах с плотно определенными операторами |
| title_fullStr | Об операторных включениях в банаховых пространствах с плотно определенными операторами |
| title_full_unstemmed | Об операторных включениях в банаховых пространствах с плотно определенными операторами |
| title_short | Об операторных включениях в банаховых пространствах с плотно определенными операторами |
| title_sort | об операторных включениях в банаховых пространствах с плотно определенными операторами |
| topic | Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень |
| topic_facet | Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50318 |
| work_keys_str_mv | AT melʹnikvs oboperatornyhvklûčeniâhvbanahovyhprostranstvahsplotnoopredelennymioperatorami AT melʹnikvs prooperatornívklûčennâubanahovihprostorahízŝílʹnoviznačenimioperatorami AT melʹnikvs onoperatorinclusionsinbanachspaceswithdenselydefinedoperators |