Задача Стокса об обтекании прямоугольной пластинки
Рассматривается течение Стокса вязкой несжимаемой жидкости вне тонкой прямоугольной пластинки. На основании теории гармонических потенциалов соответствующая граничная задача для системы уравнений Стокса сведена к двумерному интегральному уравнению Фредгольма первого рода на поверхности пластинки. П...
Saved in:
| Date: | 2000 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2000
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5036 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Задача Стокса об обтекании прямоугольной пластинки / А.М. Гомилко, А.Н. Горовой // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 2. — С. 35-42. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5036 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гомилко, А.М. Горовой, А.Н. 2010-01-08T12:06:30Z 2010-01-08T12:06:30Z 2000 Задача Стокса об обтекании прямоугольной пластинки / А.М. Гомилко, А.Н. Горовой // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 2. — С. 35-42. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5036 534.2 Рассматривается течение Стокса вязкой несжимаемой жидкости вне тонкой прямоугольной пластинки. На основании теории гармонических потенциалов соответствующая граничная задача для системы уравнений Стокса сведена к двумерному интегральному уравнению Фредгольма первого рода на поверхности пластинки. При численном решении интегрального уравнения использовалось разложение неизвестной плотности по ортогональной системе тригонометрических функций. Проиллюстрированы особенности линий тока течения жидкости в зависимости от геометрического соотношения размеров пластинки. Розглядається течiя Стокса в'язкої нестислої рiдини зовнi тонкої прямокутної пластинки. На основi теорiї гармонiйних потенцiалiв вiдповiдна гранична задача для системи рiвнянь Стокса зведена до двомiрного iнтегрального рiвняння Фредгольма першого роду на поверхнi пластинки. При чисельному розв'язаннi iнтегрального рiвняння використовувався розклад невiдомої густини по ортогональнiй системi тригонометричних функцiй. Проiлюстровано особливостi лiнiй току течiї рiдини в залежностi вiд геометричних розмiрiв пластинки. The Stokes flow of viscous incompressible fluid outside a rectangular plate is considered. The boundary problem is reduced to a two-demensional Fredholm equation of the first kind on surface of the plate by harmonic potential theory. Solving the integral equation by numerical methods the unknown density has been presented by means of orthogonal system of trigonometrical functions. The features of streamlines of the flow depend upon geometrical ratio of plate's parameters have been illustrated. ru Інститут гідромеханіки НАН України Задача Стокса об обтекании прямоугольной пластинки The Stokes' boundary value problem of flow around a rectangular plate Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Задача Стокса об обтекании прямоугольной пластинки |
| spellingShingle |
Задача Стокса об обтекании прямоугольной пластинки Гомилко, А.М. Горовой, А.Н. |
| title_short |
Задача Стокса об обтекании прямоугольной пластинки |
| title_full |
Задача Стокса об обтекании прямоугольной пластинки |
| title_fullStr |
Задача Стокса об обтекании прямоугольной пластинки |
| title_full_unstemmed |
Задача Стокса об обтекании прямоугольной пластинки |
| title_sort |
задача стокса об обтекании прямоугольной пластинки |
| author |
Гомилко, А.М. Горовой, А.Н. |
| author_facet |
Гомилко, А.М. Горовой, А.Н. |
| publishDate |
2000 |
| language |
Russian |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
The Stokes' boundary value problem of flow around a rectangular plate |
| description |
Рассматривается течение Стокса вязкой несжимаемой жидкости вне тонкой прямоугольной пластинки. На основании теории гармонических потенциалов соответствующая граничная задача
для системы уравнений Стокса сведена к двумерному интегральному уравнению Фредгольма первого рода на поверхности пластинки. При численном решении интегрального уравнения использовалось разложение неизвестной плотности по ортогональной системе тригонометрических функций. Проиллюстрированы особенности линий тока течения жидкости в зависимости от геометрического соотношения размеров пластинки.
Розглядається течiя Стокса в'язкої нестислої рiдини зовнi тонкої прямокутної пластинки. На основi теорiї гармонiйних потенцiалiв вiдповiдна гранична задача для системи рiвнянь Стокса зведена до двомiрного iнтегрального рiвняння Фредгольма першого роду на поверхнi пластинки. При чисельному розв'язаннi iнтегрального рiвняння використовувався розклад невiдомої густини по ортогональнiй системi тригонометричних функцiй. Проiлюстровано особливостi лiнiй току течiї рiдини в залежностi вiд геометричних розмiрiв пластинки.
The Stokes flow of viscous incompressible fluid outside a rectangular plate is considered. The boundary problem is reduced to a two-demensional Fredholm equation of the first kind on surface of the plate by harmonic potential theory. Solving the integral equation by numerical methods the unknown density has been presented by means of orthogonal system of trigonometrical functions. The features of streamlines of the flow depend upon geometrical ratio of plate's parameters have been illustrated.
|
| issn |
1561-9087 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5036 |
| citation_txt |
Задача Стокса об обтекании прямоугольной пластинки / А.М. Гомилко, А.Н. Горовой // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 2. — С. 35-42. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gomilkoam zadačastoksaobobtekaniiprâmougolʹnoiplastinki AT gorovoian zadačastoksaobobtekaniiprâmougolʹnoiplastinki AT gomilkoam thestokesboundaryvalueproblemofflowaroundarectangularplate AT gorovoian thestokesboundaryvalueproblemofflowaroundarectangularplate |
| first_indexed |
2025-11-25T20:18:05Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:18:05Z |
| _version_ |
1850522762100080640 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 2. �. 35 { 42��� 534.2������ ������ �� ��������� �����������������������. �. �������, �. �. ��������áâ¨âãâ £¨¤à®¬¥å ¨ª¨ ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�®«ã祮 20.06.99 � �¥à¥á¬®â८ 16.02.2000� áᬠâਢ ¥âáï â¥ç¥¨¥ �â®ªá ¢ï§ª®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¢¥ ⮪®© ¯àאַ㣮«ì®© ¯« á⨪¨. � ®á®¢ -¨¨ ⥮ਨ £ ମ¨ç¥áª¨å ¯®â¥æ¨ «®¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï £à ¨ç ï § ¤ ç ¤«ï á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© �⮪á ᢥ¤¥- ª ¤¢ã¬¥à®¬ã ¨â¥£à «ì®¬ã ãà ¢¥¨î �।£®«ì¬ ¯¥à¢®£® த ¯®¢¥àå®á⨠¯« á⨪¨. �ਠç¨á«¥®¬à¥è¥¨¨ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¨á¯®«ì§®¢ «®áì à §«®¦¥¨¥ ¥¨§¢¥á⮩ ¯«®â®á⨠¯® ®à⮣® «ì®© á¨á⥬¥âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨å äãªæ¨©. �ந««îáâà¨à®¢ ë ®á®¡¥®á⨠«¨¨© ⮪ â¥ç¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â£¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® á®®â®è¥¨ï à §¬¥à®¢ ¯« á⨪¨.�®§£«ï¤ õâìáï â¥çiï �â®ªá ¢'離®ù ¥áâ¨á«®ù ài¤¨¨ §®¢i ⮪®ù ¯àאַªãâ®ù ¯« á⨪¨. � ®á®¢i ⥮àiù £ à-¬®i©¨å ¯®â¥æi «i¢ ¢i¤¯®¢i¤ £à ¨ç § ¤ ç ¤«ï á¨á⥬¨ à÷¢ïì �â®ªá §¢¥¤¥ ¤® ¤¢®¬iண® iâ¥£à «ì®£®ài¢ïï �।£®«ì¬ ¯¥à讣® த㠯®¢¥àåi ¯« á⨪¨. �ਠç¨á¥«ì®¬ã ஧¢'ï§ i ÷â¥£à «ì®£® ài¢ïï ¢¨-ª®à¨á⮢㢠¢áï ஧ª« ¤ ¥¢i¤®¬®ù £ãá⨨ ¯® ®à⮣® «ìi© á¨á⥬i âਣ®®¬¥âà¨ç¨å äãªæi©. �à®÷«îáâ஢ ®®á®¡«¨¢®áâi «ii© ⮪ã â¥çiù ài¤¨¨ ¢ § «¥¦®áâi ¢i¤ £¥®¬¥âà¨ç¨å ஧¬iài¢ ¯« á⨪¨.The Stokes
ow of viscous incompressible
uid outside a rectangular plate is considered. The boundary problem is reducedto a two-demensional Fredholm equation of the �rst kind on surface of the plate by harmonic potential theory. Solvingthe integral equation by numerical methods the unknown density has been presented by means of orthogonal system oftrigonometrical functions. The features of streamlines of the
ow depend upon geometrical ratio of plate's parametershave been illustrated.��������� à ¬ª å ⥮ਨ â¥ç¥¨© ¯à¨ ¬ «ëå ç¨á« å�¥©®«ì¤á [1] à áᬠâਢ ¥âáï § ¤ ç ®¡ ãáâ ®-¢¨¢è¥¬áï ®¡â¥ª ¨¨ ⮪®© ¯àאַ㣮«ì®© ¯« -á⨪¨ ¡¥£ î騬 ¨§ ¡¥áª®¥ç®á⨠¯®â®ª®¬¢ï§ª®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨. � ª®£® த ¯« -á⨪¨ ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢ ¢¨¤¥ ¢áâ ¢®ª ¢ ®£à ¨ç¥-ëå १¥à¢ã à å ¢ ª ç¥á⢥ ¬¥å ¨§¬®¢ ¯¥à¥¬¥-訢 ¨ï ¦¨¤ª®á⨠[2]. �¤¨¬ ¨§ 䨧¨ç¥áª¨ ¨-â¥à¥áëå १ã«ìâ ⮢ ¢ ¯®¤®¡ëå § ¤ ç å ï-¥âáï ¢ëç¨á«¥¨¥ ᨫë ᮯà®â¨¢«¥¨ï ⥫, ¯à¥¯ïâ-áâ¢ãîé¨å â¥ç¥¨î ¦¨¤ª®áâ¨, â ª ª ª ᮯà®â¨¢«¥-¨¥ �â®ªá ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¢ ¦ë© ¬¥å ¨§¬¢ ¯à®æ¥áᥠ« ¬¨ ண® ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨ï. �।áâ -¢«ï¥â ¨â¥à¥á ª ª á ⥮à¥â¨ç¥áª®©, â ª ¨ á ¯à ª-â¨ç¥áª®© â®ç¥ª §à¥¨ï ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ «¨¨© ⮪ áâ 樮 ண® â¥ç¥¨ï ¨ ¤¨ ¬¨ª¨ ç áâ¨æ ¦¨¤-ª®áâ¨.� ¤ ®© áâ âì¥ ¯à¨ ç¨á«¥®¬ à¥è¥¨¨ á®-®â¢¥âáâ¢ãî饩 £à ¨ç®© § ¤ ç¨ ¤«ï ãà ¢¥¨©�â®ªá ¨á¯®«ì§ã¥âáï ⥮à¨ï £ ମ¨ç¥áª¨å ¯®-â¥æ¨ «®¢ á ¯®á«¥¤ãî騬 à §«®¦¥¨¥¬ ¥¨§¢¥áâ-®© ¯«®â®á⨠¯® ¤¢ãªà ⮩ ®à⮣® «ì®© á¨-á⥬¥ âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨å äãªæ¨©. �à®æ¥áá ®à-⮣®®«¨§ 樨 ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï, ¢ëâ¥-ª î饣® ¨§ ãá«®¢¨ï ¯à¨«¨¯ ¨ï ¦¨¤ª®á⨠ª ¯®-¢¥àå®áâï¬ ¯« á⨪¨, ¯à¨¢®¤¨â ª «¨¥©®© á¨-á⥬¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© á ª®íää¨æ¨¥â -¬¨, ¢ëà ¦ ¥¬ë¬¨ ç¥âëà¥åªà â묨 ¨â¥£à « -
¬¨. �஢¥¤¥ë© ¢ ¤ ®© áâ âì¥ «¨§ ¯®ª § «,çâ® í⨠ª®íää¨æ¨¥âë ¬®¦® ᢥá⨠ª ®¤®ªà â-ë¬ ¨â¥£à « ¬. � ®á®¢ ¨¨ ç¨á«¥®£® «¨-§ ¢ áâ âì¥ ¯®ª § ¤®áâ â®ç ï íä䥪⨢®áâì¯à¥¤«®¦¥®£® ¯®¤å®¤ ¨ ¯à® «¨§¨à®¢ ë ®á®-¡¥®á⨠«¨¨© ⮪ â¥ç¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¢ § ¢¨á¨-¬®á⨠®â £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® á®®â®è¥¨ï à §¬¥à®¢¯« á⨪¨.1. ���������� ������� áᬮâਬ ¢ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ �â®ªá ®¡â¥ª ¨¥¯àאַ㣮«ì®© ¯« á⨪¨ ¡¥£ î騬 ¨§ ¡¥áª®-¥ç®áâ¨ à ¢®¬¥àë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ï§ª®© ¥á¦¨¬ -¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨. �।¯®« £ ¥âáï, çâ® ¯« á⨪ á «¨¥©ë¬¨ à §¬¥à ¬¨ 2a1 ¨ 2a2 à ᯮ«®¦¥ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ª ¯à ¢«¥¨î â¥ç¥¨ï. �¢¥¤¥¬¢ à áᬮâ२¥ á¨á⥬㠯àאַ㣮«ìëå ¤¥ª àâ®-¢ëå ª®®à¤¨ â Ox1x2x3, £¤¥ O { ç «® ª®®à¤¨ â,ᮢ¯ ¤ î饥 á æ¥â஬ ¯« á⨪¨, ®á¨ Ox1 ¨Ox2 «¥¦ â ¢ ¥¥ ¯«®áª®áâ¨. � áᬠâਢ ¥¬ ï § -¤ ç ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨ �â®ªá ¢¬¥á⥠áãà ¢¥¨¥¬ ¥à §à뢮á⨠á।ë [1]:��V1 = @p@x1 ; ��V2 = @p@x2 ; ��V3 = @p@x3 ; (1)@V1@x1 + @V2@x2 + @V3@x3 = 0; (2)£¤¥ V1, V2, V3 { ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨯ à ««¥«ìë¥ ª®®à¤¨ âë¬ ®áï¬ x1, x2, x3 á®-c
�. �. �®¬¨«ª®, �. �. �®à®¢®©, 2000 35
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 2. �. 35 { 42®â¢¥âá⢥®; p { £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥;� { £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨© ª®íää¨æ¨¥â ¢ï§ª®áâ¨(� = const). � ãá«®¢¨ïå ¯à¨«¨¯ ¨ï ¦¨¤ª®á⨠¯®¢¥àå®á⨠¯« á⨪¨ ¤®«¦ë ¢ë¯®«ïâìáï á®-®â®è¥¨ïV1(x1; x2;�0) = V2(x1; x2;�0) = 0;V3(x1; x2;�0) = 0; jx1j � a1; jx2j � a2; (3) ãá«®¢¨¥ ¡¥£ ¨ï à ¢®¬¥à®£® ¯®â®ª ¨§ ¡¥á-ª®¥ç®á⨠¯à¨¢®¤¨â ª âॡ®¢ ¨î(V1; V2; V3)! (0; 0;�1); j~xj ! 1: (4)�¨á⥬ ãà ¢¥¨© (1), (2), à áᬮâà¥ ï ¢¬¥áâ¥á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (3) ¨ ãá«®¢¨¥¬ ¡¥á-ª®¥ç®á⨠(4), á®áâ ¢«ï¥â £à ¨çãî § ¤ çã ¤«ï®¯à¥¤¥«¥¨ï â¥ç¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¢¥ ¯« á⨪¨.�ä®à¬ã«¨à®¢ ï £à ¨ç ï § ¤ ç ¤«ï á¨áâ¥-¬ë ãà ¢¥¨© �â®ªá ¬®¦¥â ¡ëâì ᢥ¤¥ ª à¥è¥-¨î ãà ¢¥¨ï � ¯« á á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨�¨à¨å«¥ [3]. �¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì U { ¯à®¨§-¢®«ì ï £ ମ¨ç¥áª ï äãªæ¨ï, § ¯¨è¥¬ ª®¬¯®-¥âë ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠~V ¢ ¢¨¤¥V1 = �x3 @U@x1 ;V2 = �x3 @U@x2 ; (5)V3 = U � x3 @U@x3 � 1;â ª çâ® ¢ë¯®«ïîâáï ãà ¢¥¨ï ¥à §à뢮áâ¨á।ë (2). �®£¤ , ¯®¤áâ ¢«ïï ª®¬¯®¥âë (5) ¢ãà ¢¥¨ï (1) ¨ ¯®« £ ï ¤ ¢«¥¨¥p = �2� @U@x3 ; (6)ã¡¥¦¤ ¥¬áï ¢ ⮬, çâ® á¨á⥬ (5), (6) ï¥âáïà¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨© �⮪á (1), (2). �ਠí⮬£à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï (3) ¨ ãá«®¢¨ï ¡¥áª®¥ç®áâ¨(5) «¥£ª® ¯¥à¥ä®à¬ã«¨àãîâáï ¢ ¢¨¤¥ ᮮ⢥âáâ¢ã-îé¨å ãá«®¢¨© ¤«ï £ ମ¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ U:� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à®¢®¤ï ®¡¥§à §¬¥à¨¢ ¨¥ ¨á-室®© § ¤ ç¨ ¨ ¨á¯®«ì§ãï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ (5), ¯à¨-室¨¬ ª à áᬮâ२î á«¥¤ãî饩 £à ¨ç®© § -¤ ç¨ �¨à¨å«¥ ¤«ï ãà ¢¥¨ï � ¯« á ¢¥ ¯àאַ-㣮«ì¨ª jx1j � 1; jx2j � a :8>><>>: �U (x1; x2; x3) = 0; jx1j > 1; jx2j > a;U (x1; x2;�0) = 1; jx1j � 1; jx2j � a;U (x1; x2; x3)! 0; j~xj ! 1; (7)£¤¥ ¡¥§à §¬¥àë© ¯ à ¬¥âà a = a2=a1:
2. ����� ��������ਬ¥¥¨¥ ⥮ਨ ¯®â¥æ¨ « [4] ¤«ï ¯®áâ஥-¨ï à¥è¥¨ï £à ¨ç®© § ¤ ç¨ (7) ¯®§¢®«ï¥â ᢥ-á⨠¥¥ ª ¤¢ã¬¥à®¬ã ¨â¥£à «ì஬ã ãà ¢¥¨î�।£®«ì¬ ¯¥à¢®£® த . �।áâ ¢¨¬ U ¯®¢¥àå-®áâë¬ ¯®â¥æ¨ «®¬ ¯à®á⮣® á«®ïU (~x) = 14� aZ�a 1Z�1 l(y1; y2)dy1dy2p(x1 � y1)2 + (x2 � y2)2 + x23 ;(8)£¤¥ l(y1; y2) - ¥¨§¢¥áâ ï ¯«®â®áâì, à á¯à¥¤¥«¥- ï ¯® ¯®¢¥àå®á⨠¯« á⨪¨. �®â¥æ¨ « ¯à®-á⮣® á«®ï U (~x) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¥¯à¥àë¢ã ¢á¥¬ ¯à®áâà á⢥ äãªæ¨î, áâ६ïéãîáï ªã«î ¡¥áª®¥ç®áâ¨. �®£¤ , 㤮¢«¥â¢®àïï £à -¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬ § ¤ ç¨ (7), ¯à¨å®¤¨¬ ª ¨â¥-£à «ì®¬ã ãà ¢¥¨î �।£®«ì¬ ¯¥à¢®£® த :14� aZ�a 1Z�1 l(y1; y2)dy1dy2p(x1 � y1)2 + (x2 � y2)2 = 1; (9)£¤¥ jx1j � 1, jx2j � a.�ç¨âë¢ ï ç¥â®áâì ï¤à ¨ ¯à ¢®© ç á⨠ãà ¢-¥¨ï (9), ¨é¥¬ l(y1; y2) ¢ ¢¨¤¥ à §«®¦¥¨ï ¢ àï¤�ãàì¥ ¯® ç¥âë¬ âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ äãªæ¨ï¬:l(y1; y2) = 1Xm=0 1Xs=0 lms cos�my1 cos �sy2; (10)£¤¥ lms - ¥¨§¢¥áâë¥ ª®íää¨æ¨¥âë ¨�m = �m; �s = �s=a; m; s = 0; 1; 2; : : : :�®¤áâ ¢«ïï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ (10) ¢ ãà ¢¥¨¥ (8)¨ ¯à®¢®¤ï áâ ¤ àâë¬ ®¡à §®¬ «£¥¡à ¨§ æ¨î¯®«ã祮£® á®®â®è¥¨ï, ¯®«ãç ¥¬ ¡¥áª®¥çãîá¨á⥬㠫¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ®â-®á¨â¥«ì® ¥¨§¢¥áâëå lms :1Xm=0 1Xs=0 lmsLnkms = 4a�00; (11)£¤¥ �ij { ᨬ¢®« �஥ª¥à , ¨ ª®íää¨æ¨¥âëLn km s = 14� 1Z�1 1Z�1 cos�nx1 cos�kx2��8<: 1Z�1 1Z�1 cos�my1 cos�sy2dy1dy2p(x1 � y1)2 + a2(x2 � y2)29=; dx1dx2:(12)36 �. �. �®¬¨«ª®, �. �. �®à®¢®©
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 2. �. 35 { 42�«¥¬¥âë ¬ âà¨æë (12) ¢ëà ¦ îâáï ç¥âë४à â-묨 ¨â¥£à « ¬¨, çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¯à¥-¤¥«¥ë¥ âà㤮á⨠¯à¨ ç¨á«¥®¬ «¨§¥. �®-ª ¦¥¬, çâ® ¢®§¬®¦® § ç¨â¥«ì® ã¯à®áâ¨âì ¢ë-à ¦¥¨ï ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ Lnkms, ¨¬¥® ¯à¥¤-áâ ¢¨âì ¨å ¢ ¢¨¤¥ ®¤®ªà âëå ¨â¥£à «®¢.�஢¥¤¥¬ § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå y1 = x1 + t, y2 =x2+ � , £¤¥ t ¨ � { ®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥, ⮣¤ ¯®«ã-稬Ln km s = 14� 1Z�1 1Z�1 cos�nx1 cos�kx2�( 1�x1Z�1�x1 1�x2Z�1�x2 cos(�m(x1 + t)) cos(�s(x2 + � ))pt2 + a2�2 ��d�dt)dx1dx2: (13)�®á«¥ ¥á«®¦ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¨¬¥¥¬ ¢ëà ¦¥-¨¥ ¤«ï ¤¢®©ëå ¨â¥£à «®¢:1Z�1 1�x1Z�1�x1 cos�nx1 cos(�m(x1 + t))pt2 + a2�2 dtdx1 == 2Z0 Inm(t)pt2 + a2�2dt; (14)1Z�1 1�x2Z�1�x2 cos�kx2 cos(�s(x2 + � ))d�dx2 == 2Z0 Iks(� )d�; (15)£¤¥ Inm(t) = 2 1�tZ�1 cos�kx cos(�s(x+ t))dx:�ਠí⮬ ¨â¥£à «ë Inm(t) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ç¥à¥§í«¥¬¥â àë¥ äãªæ¨¨:Inm(t) = 8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>: 2(2� t); n = m = 0;(2� t) cos�nt� sin�nt�n ;n = m 6= 0;2(�1)n+m�2n � �2m (�m sin�mt � �n sin�nt);n 6= m: (16)
� ª¨¬ ®¡à §®¬, ᮣ« á® ãà ¢¥¨ï¬ (13) { (16),Lnkms ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥Ln km s = 14� 2Z0 2Z0 Inm(t)Iks(� )pt2 + a2�2 dtd�: (17)�⬥⨬, çâ® ¯®«ãç¥ë¥ á®®â®è¥¨ï ¤«ï í«¥-¬¥â®¢ ¬ âà¨æë á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¯®®¯à¥¤¥«¥¨î ¥¨§¢¥áâëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ lms ®â-«¨ç îâáï ᢮¥© ¯à®áâ®â®© ®â ¡®«¥¥ á«®¦ëå ¢ë-à ¦¥¨©, ¯®«ãç¥ëå ¢ [5] ¯à¨ à¥è¥¨¨ «®£¨ç-®© § ¤ ç¨. � § ª«îç¨â¥«ì®¬ à §¤¥«¥ áâ âì¨ ®â-¬¥ç¥ë ®á®¢ë¥ ᢮©á⢠¬ âà¨æë Lnkms, â ª¦¥¯à¨¢¥¤¥ë ä®à¬ã«ë ¤«ï ¥¥ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¢ ¢¨¤¥®¤®ªà âëå ¨â¥£à «®¢.� ª ª ª ¨áª®¬ë© ¯®â¥æ¨ « U (~x) ï¥âáï ç¥â-®© ¯® ¯¥à¥¬¥®© x3 äãªæ¨¥©, ⮠ᮣ« á® ä®à-¬ã« ¬ (6), (8) ¨ £à ¨çë¬ á¢®©á⢠¬ ®à¬ «ì®©¯à®¨§¢®¤®© ¯®â¥æ¨ « ¯à®á⮣® á«®ï [4], ¤«ï ¤ -¢«¥¨ï ¯« á⨪¥ ¯®«ãç ¥¬ ¢ëà ¦¥¨¥p(x1; x2;�0)=� = �l(x1; x2); jx1j < 1; jx2j < a:(18)� â® ¦¥ ¢à¥¬ï, ¥ à¥è¥¨¥ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®©§ ¤ ç¨ ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ ªà㣫®© ¯« á⨪¨ r2 � x21+x22 < r20; x3 = 0 (á¬. [6], á. 280) ¯®ª §ë¢ ¥â, ç⮤ ¢«¥¨¥ ªà㣫®© ¯« á⨪¥ ¯à¨ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ª ¥¥ £à ¨æ¥ ¨¬¥¥â ª®à¥¢ãî ®á®¡¥®áâì:p(r;�0) = � cpr20 � r2+O(1); r! r0; r < r0; (19)£¤¥ c { ¥ª®â®à ï ¯®áâ®ï ï. �â®â ¦¥ ¢ë¢®¤á«¥¤ã¥â ¨§ «¨§ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ �¨à¨å«¥ ¤«ïãà ¢¥¨ï � ¯« á ¢® ¢¥è®á⨠ªà㣮¢®© ®¡« -á⨠[7], £«. 2. �®áª®«ìªã ¯®¢¥¤¥¨¥ à¥è¥¨ï í««¨-¯â¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ®ªà¥áâ®á⨠£à ¨æë à á-ᬠâਢ ¥¬®© ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï «®ª «ì묨᢮©á⢠¬¨ £à ¨æë ¨ ãà ¢¥¨ï [8], â® ¥áâ¥á⢥-® áç¨â âì, çâ® ¨ ¢ á«ãç ¥ ª¢ ¤à ⮩ ¯« á⨪¨¤«ï ¤ ¢«¥¨ï á¯à ¢¥¤«¨¢ë á®®â®è¥¨ï, «®£¨ç-ë¥ (19), â.¥. ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®¬ x2 2 (�a; a)p(x1; x2;+0)=� = c2(x2)p1� x21 + O(1); x1 !�1; (20) ¯à¨ x1 2 (�1; 1)p(x1; x2;+0)=� = c1(x1)pa2 � x22+O(1); x2 !�a: (21)� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨§ (18) ¨ (20), (21) ¢ë⥪ ¥â, ç⮯ਠ䨪á¨à®¢ ®¬ § 票¨ y2 2 (�a; a) ¯®¢¥¤¥-¨¥ ¯«®â®á⨠l(y1; y2) ¯à¨ y1 ! �1 ®¯à¥¤¥«ï¥âáïá®®â®è¥¨¥¬ l(y1; y2) � C2(y2)p1� y21 ; (22)�. �. �®¬¨«ª®, �. �. �®à®¢®© 37
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 2. �. 35 { 42£¤¥ C2(y2) { ª®áâ â , § ¢¨áïé ï ®â y2, ¤«ï 䨪-á¨à®¢ ®£® y1 2 (�1; 1) ¯à¨ y2 !�a á¯à ¢¥¤«¨¢®á®®â®è¥¨¥ l(y1; y2) � C1(y1)pa2 � y22 : (23)�ëà ¦¥¨ï (22), (23) ¯®§¢®«ïîâ ®¯à¥¤¥«¨âì ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ ª®íää¨æ¨¥â®¢ lms ¨§¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï (10) ¯à¨ m ! 1 (¤«ï 䨪á¨à®¢ -®£® s) ¨ ¯à¨ s!1 (¤«ï 䨪á¨à®¢ ®£®m). �¥©-á⢨⥫ì®, ¨§ ¢ëà ¦¥¨ï (22), ¨á¯®«ì§ãï § ç¥-¨¥ ¨â¥£à « (á¬. [9], á. 389)1Z�1 cos�yp1� y2 dy = �J0(�); � � 0;£¤¥ J0(�) { äãªæ¨ï �¥áᥫï ã«¥¢®£® ¯®à浪 ,¨¬¥¥¬1Xs=0 lms cos�sy2 � C2(y2)�J0(�m); m!1: (24)�ਠí⮬, ¨á¯®«ì§ãï ᨬ¯â®â¨ç¥áªãî ä®à¬ã«ã[10]J0(�m) �r 2��m cos ��m � �4 � = (�1)m�pm ; m!1;§ ª«îç ¥¬, ®á®¢ ¨¨ (24), çâ®lms � (�1)mC(2)spm ; m!1; (25)á ¥ª®â®à®© ¯®áâ®ï®© C(2)s : � «®£¨çë¬ ®¡à -§®¬, ¨§ á®®â®è¥¨ï (23) ¯®«ãç ¥¬lms � (�1)sC(1)mps ; s!1: (26)� ª á«¥¤ã¥â ¨§ ¯à®¢¥¤¥ëå à áᬮâ२©, ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ ¥¨§¢¥áâëå lms ¯®®¤®¬ã ¨§ áâ६ïé¨åáï ª ¡¥áª®¥ç®á⨠¨¤¥ªá®¢®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®¢¥¤¥¨¥¬ ¨áª®¬®© £ ମ¨ç¥áª®©äãªæ¨¨ ¯à¨ áâ६«¥¨¨ ~x ª ªà ï¬ ¯« á⨪¨,¨áª«îç ï 㣫®¢ë¥ â®çª¨. �®«¥¥ á«®¦ë© ¢®¯à®á®¡ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ᨬ¯â®â¨ª¨ lms ¯à¨ ®¤®¢à¥¬¥-®¬ áâ६«¥¨¨ ¨¤¥ªá®¢ m; s ª ¡¥áª®¥ç®á⨠¢¤ ®© à ¡®â¥ ¥ à áᬠâਢ ¥âáï. � ª®¥ ¨áá«¥-¤®¢ ¨¥ ¥ ï¥âáï âਢ¨ «ìë¬, ®® âॡã¥â ¨á-¯®«ì§®¢ ¨ï १ã«ìâ ⮢ [8], £«. 8 ¨ [11], ®â®áï-é¨åáï ª ¯®¢¥¤¥¨î à¥è¥¨© ãà ¢¥¨ï � ¯« á ¢âà¥å¬¥à®© ®¡« áâ¨ á ¯¥à¥á¥ª î騬¨áï à¥¡à ¬¨ £à ¨æ¥.
3. ��������� ������� � �������-��� ������������ਠç¨á«¥®¬ à¥è¥¨¨ ¡¥áª®¥ç®© á¨á⥬ëãà ¢¥¨© (11) ¬®¦® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¬¥â®¤®¬à¥¤ãªæ¨¨, â® ¥áâì ®£à ¨ç¨âìáï à¥è¥¨¥¬ ª®¥ç-®© á¨á⥬ëpXm=0 pXs=0 lmsLnkms = 4a�00; n; k = 0; 1; : : : ; p: (27)� â® ¦¥ ¢à¥¬ï, «¨ç¨¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ä®à¬ã«(25), (26) ¯®§¢®«ï¥â ¯à¨¬¥¨âì ¬¥â®¤ ã«ãç襮©à¥¤ãªæ¨¨ [12]. �£à ¨ç¨¬áï ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ íâ¨åä®à¬ã« ¤«ï ¨¤¥ªá®¢ s = 0 ¢ (25) ¨ m = 0 ¢ (26).�®¤áâ ¢¨¬ ¢ á¨á⥬ã (27) ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ïl0s = (�1)sC(1)0ps + l̂0s; lm0 = (�1)mC(2)0pm + l̂m0;l̂00 = l00; l̂ms = lms; m; s > 0; (28)⮣¤ ¯®«ã稬pXm=0 pXs=0 l̂msLnkms + C(1)0 1Xs=1 (�1)sps Lnk0 s++C(2)0 1Xm=1 (�1)mpm Ln km 0 = 4a�00; (29)¯à¨ç¥¬ ¤«ï ¥¨§¢¥áâëå l̂0s ¨ l̂m0 ¨¬¥¥â ¬¥áâ®ã¡ë¢ ¨¥ps l̂0s ! 0; s!1; pm l̂m0 ! 0; m!1: (30)�ਠí⮬ ª®«¨ç¥á⢮ ¢á¥å ¥¨§¢¥áâëå ¢ á¨áâ¥-¬¥ (29) ¯à¥¢ëè ¥â ç¨á«® ãà ¢¥¨©, â ª ª ª ªà®-¬¥ l̂ms ¯®ï¢«ïîâáï ®¢ë¥ ¥¨§¢¥áâë¥ C(1)0 ¨ C(2)0 ,¯®í⮬㠤«ï § ¬ëª ¨ï ¤ ®© á¨á⥬ë, ¢ á®®â-¢¥âá⢨¨ á (30) ¤®¡ ¢«ïîâáï ¤¢ ãà ¢¥¨ï. �¥á-ª®¥çë¥ áã¬¬ë ¢ (29) § ¬¥ïîâáï ª®¥çë¥ á¤®áâ â®ç® ¡®«ì訬 ®¬¥à®¬ á㬬¨à®¢ ¨ï. � -ª¨¬ ®¡à §®¬, á¨á⥬ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®íää¨æ¨-¥â®¢ ¯«®â®á⨠l(y1; y2) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>: pXm=0 pXs=0 l̂msLn km s +C(1)0 qXs=1 (�1)sps Ln k0 s++C(2)0 qXm=1 (�1)mpm Ln km 0 = 4a�00;l̂0p = 0;l̂p0 = 0; (31)£¤¥ ç¨á«® q ¬®¦¥â ¡ëâì ¢§ï⮠᪮«ì 㣮¤® ¡®«ì-訬 ¯® áà ¢¥¨î á p, ¯®áª®«ìªã ª®íää¨æ¨¥âë38 �. �. �®¬¨«ª®, �. �. �®à®¢®©
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 2. �. 35 { 42� ¡«. 1. �«¥ªâà¨ç¥áª ï ¥¬ª®áâì ¯àאַ㣮«ì®© ¯« á⨪¨(®à¬¨à®¢ ï ᨫ ᮯà®â¨¢«¥¨ï¯àאַ㣮«ì®© ¯« á⨪¨ R=(8��V3) )�¥â®¤ 1 2 4 8� à¨ æ¨®ë© 0.734 1.065 1.619 2.570�®««®ª 樨 [5] 0.7337 1.0640 1.6189 2.5698�।« £ ¥¬ë© 0.7334 1.0636 1.6183 2.5688¯à¨ ¥¨§¢¥áâëå C(1)0 ¨ C(2)0 ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®©ª®¥çë¥ àï¤ë, áã¬¬ë ª®â®àëå «¥£ª® ¢ëç¨á«ïîâ-áï ¯®á«¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ª®íää¨æ¨-¥â®¢ Lnk0 s ¨ Ln km 0.
�¨á. 1. �¨¨¨ ⮪ ¯à¨ ®¡â¥ª ¨¨ ⮪®©ª¢ ¤à ⮩ ¯« á⨪¨ (a = 1)
�¨á. 2. �¨¨¨ ⮪ ¯à¨ ®¡â¥ª ¨¨ ⮪®©¯àאַ㣮«ì®© ¯« á⨪¨ (a = 0:5)�¨á«¥ë¥ à áç¥âë ¯à®¢®¤¨«¨áì ¤«ï § 票©p = 15 ¨ q = 500. � ª ¯®ª §ë¢ î⠯ਢ¥¤¥ë¥à¥§ã«ìâ âë (â ¡«. 1 ¨ £à 䨪¨ «¨¨© ⮪ à¨á. 1 {
�¨á. 3. �¨¨¨ ⮪ ¯à¨ ®¡â¥ª ¨¨ ⮪®©¯àאַ㣮«ì®© ¯« á⨪¨ (a = 2)3), ¯à¥¤«®¦¥ë© «£®à¨â¬ ¯®§¢®«ï¥â ¤®áâ¨çì ¢ë-᮪®© á⥯¥¨ â®ç®áâ¨. �®íää¨æ¨¥âë ¬ âà¨-æë Lnkms ¢ëç¨á«ï«¨áì ®á®¢ ¨¨ ª¢ ¤à âãàëåä®à¬ã« ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï � ãáá . �ਠí⮬ ¤«ïà¥è¥¨ï ª®¥ç®© «£¥¡à ¨ç¥áª®© á¨á⥬ë ãà ¢-¥¨© ¨á¯®«ì§®¢ «áï ¨â¥à æ¨®ë© ¬¥â®¤. �¥-§ã«ìâ âë, ¯®«ãç¥ë¥ ¯à¨ ¯à®¢¥àªe £à ¨ç®£®ãá«®¢¨ï § ¤ ç¨ (7), â. ¥. ¯à¨ ¢ëç¨á«¥¨¨ § ç¥-¨© ¯®â¥æ¨ « U ¢ ®¡« á⨠f(x1; x2;�0) j jx1j �1 � "; jx2j � a � "; " � 0:01g, ®â«¨ç îâáï ®â ¨á-⨮£® § 票ï í⮩ äãªæ¨¨ ¯« á⨪¥ ¥¡®«¥¥ 祬 1%.�ãªæ¨î U ¬®¦® â ª¦¥ ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âìª ª í«¥ªâà¨ç¥áª¨© ¯®â¥æ¨ « ¯à®¢®¤ï饩 ¯« -á⨪¨ (á¬. á®®â®è¥¨ï (7)), â ª çâ® à áᬠ-âਢ ¥¬ ï § ¤ ç ® ¬¥¤«¥®¬ ®¡â¥ª ¨¨ ¯àאַ-㣮«ì®© ¯« á⨪¨ ¢ï§ª®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®-áâìî ¢ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ ¯« ¥ íª¢¨¢ «¥â § -¤ ç¥ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î í«¥ªâà®áâ â¨ç¥áª®£® ¯®«ï¢®ªà㣠¯à®¢®¤ï饩 ¯« á⨪¨. �¤®© ¨§ ¢ ¦-ëå í«¥ªâà®áâ â¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ § à殮-®© ¯®¢¥àå®á⨠ï¥âáï ¥¥ í«¥ªâà¨ç¥áª ï ¥¬-ª®áâì. �® ®¯à¥¤¥«¥¨î [13], í«¥ªâà¨ç¥áª ï ¥¬-ª®áâì C ¯®¢¥àå®á⨠S, 室ï饩áï ¢ á®áâ®ï¨¨í«¥ªâà®áâ â¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï, ¥áâì â ª®© § -àï¤, ¯à¨ ª®â®à®¬ ¯®â¥æ¨ « ¯®¢¥àå®á⨠S à ¢¥�. �. �®¬¨«ª®, �. �. �®à®¢®© 39
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 2. �. 35 { 42¥¤¨¨æ¥, â ª çâ® ¤«ï ¯« á⨪¨C = 14� aZ�a 1Z�1 l(y1; y2)dy1dy2:�ç¨âë¢ ï ¢ëà ¦¥¨¥ (10), 室¨¬� = al00=�: (32)�஢¥¤¥ë¥ ¢ ¤ ®© áâ âì¥ ¢ëç¨á«¥¨ï í«¥ªâà¨-ç¥áª®© ¥¬ª®á⨠C ¯® ä®à¬ã«¥ (32) ¯®ª § «¨ å®à®-襥 ᮣ« ᮢ ¨¥ á ¤ 묨 ¯à¨¢¥¤¥ë¬¨ ¢ à ¡®-â å [3, 5]. �®®â¢¥âáâ¢ãî騥 १ã«ìâ âë ®â®¡à -¦¥ë ¢ â ¡«. 1.� ¨¥ § 票ï í«¥ªâ஥¬ª®á⨠¯« á⨪¨ C¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì ®à¬ «ìãî ᨫã, ¤¥©áâ¢ã-îéãî ¯« á⨪ã á® áâ®à®ë ®¤®à®¤®£® ¯®-⮪ , ¨¬¥î饣® ¡¥áª®¥ç®á⨠᪮à®áâì V3 [3].�¥©á⢨⥫ì®, ®à¬ «ì®¥ ¤ ¢«¥¨¥ ¯®¢¥àå®-á⨠¯« á⨪¨, ᮣ« á® (18), à ¢ï¥âáï �l(x1; x2).�®£¤ ®¡é ï ®à¬ «ì ï ᨫ , ¤¥©áâ¢ãîé ï ¯« á⨪ã, ¤ ¥âáï ¢ëà ¦¥¨¥¬R = 8��CV3: (33)�«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï «¨¨© ⮪ â¥ç¥¨ï ¦¨¤ª®áâ¨à áᬠâਢ « áì § ¤ ç �®è¨ [2]8>><>>: _x1(t) = V1(x1; x2; x3);_x2(t) = V2(x1; x2; x3);_x3(t) = V3(x1; x2; x3);x1(0) = x01; x2(0) = x02; x3(0) = x03; (34)£¤¥ ¯à ¢ë¥ ç á⨠¢ á¨á⥬¥ (34) ¢ëà ¦ îâáï ç¥-१ ©¤¥ë© ¯®â¥æ¨ « U ¯® ä®à¬ã« ¬ (5). �¥-è ï á¨á⥬ã (34) ¬¥â®¤®¬ �㣥{�ãââ ç¥â¢¥à-⮣® ¯®à浪 ¯à¨ à §«¨çëå ç «ìëå ãá«®¢¨ï宯।¥«ï¥¬ ᥬ¥©á⢮ «¨¨© ⮪ (à¨á. 1{3).4. ����������.�������� ������� Lnkms�⬥⨬ ¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠¬ âà¨æë ª®íä-ä¨æ¨¥â®¢ Lnkms, á«¥¤ãî騥 ¨§ «¨§ ä®à¬ã«(16), (17). � âà¨æ ª®íää¨æ¨¥â®¢ á¨á⥬ë (11)ï¥âáï ¡«®ç®©, ª®®à¤¨ âë ¡«®ª®¢ ¢ ¬ âà¨æ¥{ (n;m), £¤¥ n { áâப ¡«®ª®¢ ¢ ¬ âà¨æ¥, m {á⮫¡¥æ ¡«®ª®¢ ¢ ¬ âà¨æ¥. �®®à¤¨ âë í«¥¬¥-⮢ ¢ ¡«®ª¥ { (k; s), £¤¥ k { áâப í«¥¬¥â®¢ ¢¡«®ª¥, s { á⮫¡¥æ í«¥¬¥â®¢ ¢ ¡«®ª¥. �§ ä®à¬ã«(16) á«¥¤ã¥â à ¢¥á⢮ Inm(t) = Imn(t); ª®â®à®¥á¢¨¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ᨬ¬¥âà¨ç®á⨠¬ âà¨æë ¨ ¥¥¡«®ª®¢ ®â®á¨â¥«ì® ¤¨ £® «¨. �¢®©áâ¢o ᨬ¬¥-âਨ ¬ âà¨æë ¯®§¢®«ï¥â § ç¨â¥«ì® 㬥ìè¨âì
ª®«¨ç¥á⢮ í«¥¬¥â®¢ (17), ª®â®àë¥ ¥¡å®¤¨¬® ¢ë-ç¨á«¨âì ¯à¨ à¥è¥¨¨ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (11).�«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¯®¤ëâ¥£à «ìë¥ äãª-樨 ¢ ä®à¬ã« å (17) ¨¬¥î⠮ᮡ¥®á⨠¢ â®çª¥t = 0; � = 0: �«ï ¤¨ £® «ìëå í«¥¬¥â®¢ ¬ âà¨-æë ¯®¤ëâ¥£à «ìë¥ äãªæ¨¨ áâ६ïâáï ª ¡¥áª®-¥ç®á⨠¯à¨ t! 0, � ! 0, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¢¥¤¨ -£® «ìë¥ í«¥¬¥âë ¨¬¥îâ ãáâà ¨¬ë¥ ®á®¡¥®-á⨠¢ â®çª¥ (0; 0). �â®â ä ªâ ¥£ ⨢® ¢«¨ï¥â â®ç®áâì ¢ëç¨á«¥¨ï ¨â¥£à «®¢, ¢å®¤ïé¨å ¢(17), á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ â®ç®áâì à¥è¥¨ï á -¬®© á¨á⥬ë (11), ¯®áª®«ìªã ¤¨ £® «ìë¥ í«¥¬¥-âë ïîâáï ¨¡®«¥¥ áãé¥á⢥묨 í«¥¬¥â ¬¨¬ âà¨æë. �®¦® ¯®ª § âì, çâ® ¤«ï ¥ª®â®àëå§ ç¥¨© n;m; k; s ª®íää¨æ¨¥âë ¬®£ãâ ¡ëâì ¢ë-à ¦¥ë ç¥à¥§ ®¤®ªà âë¥ ¨â¥£à «ë, ¯®¤ëâ¥-£à «ìë¥ äãªæ¨¨ ª®â®àëå ¨¬¥îâ ⮫쪮 ãáâà -¨¬ë¥ ®á®¡¥®á⨠¨«¨ ¢®¡é¥ ¥ ¨¬¥î⠮ᮡ¥-®á⥩ ¨â¥à¢ «¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï. �¨¦¥ ¯à¨-¢¥¤¥ àï¤ ä®à¬ã« ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢Ln kms ¯à¨ ç áâëå § 票ïå n;m; k; s: ) n = m = k = s = 0 { ª®íää¨æ¨¥â L0000 ¤®¯ãá-ª ¥â «¨â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¦¥¨¥:L0000 = 4�� 13a (a�1 �p1 + a�2) + 13(a �p1 + a2)++ ln (a�1 +p1 + a�2) + a�1 ln (a +p1 + a2)�;(35)¡) n = m = 0; k = s 6= 0 { ¤¨ £® «ìë¥ í«¥¬¥-âë ¡«®ª á ª®®à¤¨ â ¬¨ (0; 0):L0 k0 k = 12��k 2Z0 2� �� pa2�2 + 4 sin�k�d� � a��2k ;(36)¢) n = m = 0; k 6= s k 6= 0; s 6= 0 { ¢¥¤¨ £® «ì-ë¥ í«¥¬¥âë ¡«®ª á ª®®à¤¨ â ¬¨ (0; 0):L0k0 s = (�1)k+s�(�2k � �2s)�� 2Z0 2�pa2�2 + 4[cos�s� � cos�k� ]� d� ; (37)£) n = m = k = 0; s 6= 0:L000 s = � (�1)s2��2s �pa2 + 1� ln 1�pa2 + 12 ��a� 1 + 12 2Z0 2�pa2�2 + 4 cos�s�� d��;(38)40 �. �. �®¬¨«ª®, �. �. �®à®¢®©
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 2. �. 35 { 42¤) ä®à¬ã«ë ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ Ln0n0;Ln0m0 ¨ L00m 0 ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¨§ ¢ëà ¦¥¨© (36) {(38) ᮮ⢥âá⢥®, ¥á«¨ § ¬¥¨âì a 1=a (íâ®á«¥¤ã¥â ¨§ ä®à¬ã« (16), (17));¥) n = m; k = s { ¤¨ £® «ìë¥ í«¥¬¥âë ¤¨ £®- «ìëå ¡«®ª®¢. �ᯮ«ì§ãï (16), ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ïª®íää¨æ¨¥â®¢ Lm sm s ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ á«¥¤ãî饬¢¨¤¥: Lmsms = 14��J1(m; s) � 1�sJ2(m; s)�� 1�m J3(m; s) � 1�m�s J4(m; s)�; (39)£¤¥ ¤¢®©ë¥ ¨â¥£à «ëJ1(m; s) == 2Z0 2Z0 (2� t)(2� � ) cos�mt cos�s�pt2 + a2�2 dtd�;(40)J2(m; s) = 2Z0 2Z0 (2� t) cos�mt sin�s�pt2 + a2�2 dtd�; (41)J3(m; s) = 2Z0 2Z0 (2� � ) sin�mt cos�s�pt2 + a2�2 dtd�;(42)J4(m; s) = 2Z0 2Z0 sin�mt sin�s�pt2 + a2�2 dtd� ; (43)¦) m = n; k 6= s { ¢¥¤¨ £® «ìë¥ í«¥¬¥â뤨 £® «ìëå ¡«®ª®¢. �ç¨âë¢ ï ä®à¬ã«ë (16),(17) ¨ (40) -(43), ¨¬¥¥¬Lmkms = (�1)k+s2�(�2k � �2s)��sJ2(m; s)�� �s�m J4(m; s) � �kJ2(m; k)� �k�m J4(m; k)�;(44)§) m 6= n; k = s { ¤¨ £® «ìë¥ í«¥¬¥âë ¢¥-¤¨ £® «ìëå ¡«®ª®¢:Ln sm s = (�1)n+m2�(�2n � �2m)��mJ3(m; s)���m�s J4(m; s) � �nJ3(n; s)� �n�s J4(n; s)�; (45)¨) m 6= n; k 6= s { ¢¥¤¨ £® «ìë¥ í«¥¬¥âë
¢¥¤¨ £® «ìëå ¡«®ª®¢:Lnkms = (�1)n+m+k+s�(�2n � �2m)(�2k � �2s)����m�sJ4(m; s) � �m�kJ4(m; k)���n�sJ4(n; s) + �n�kJ4(n; k)�: (46)�ã⥬ § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥ëå ¨ ¥á«®¦ëå ¯à¥-®¡à §®¢ ¨© ¨â¥£à «ë Ji ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à¨¢¥¤¥ëª á«¥¤ãî騬 ¢ëà ¦¥¨ï¬:Ji(m; s) = qi1 1Z0 fi1(t)dt+ qi2 1Z0 fi2(t)dt; (47)£¤¥ qij { ¥ª®â®àë¥ ª®áâ âë, ¨ äãªæ¨¨ fij(t)¨¬¥îâ ¢¨¤f11(t) = �s((t � 1) cos 2�st+ t + 1)(d41 � t4)(d21 � t2)3p1 + a2t2 ++ t2(3d21 + t2) sin 2�st(d21 � t2)3p1 + a2t2 ; (48)f12(t) = �m((t � 1) cos 2�mt + t+ 1)(t4 � d42)(t2 � d22)3pt2 + a2 ++ t2(3d22 + t2) sin 2�mt(t2 � d22)3pt2 + a2 ; (49)f21(t) = 2�st(t2 � d21)� (t2 + d21) sin 2�st(t2 � d21)2p1 + a2t2 ; (50)f22(t) == �m(d22 � t2)(1� (1 � t) cos 2�mt) + t2 sin 2�mt(d22 � t2)2pt2 + a2 ;(51)f31(t) == �s(d21 � t2)(1� (1� t) cos 2�st) + t2 sin 2�st(d21 � t2)2p1 + a2t2 ;(52)f32(t) = 2�mt(t2 � d22)� (t2 + d22) sin 2�mt(t2 � d22)2pt2 + a2 ; (53)f41(t) = sin 2�st(t2 � d21)p1 + a2t2 ; (54)f42(t) = sin 2�mt(t2 � d22)pt2 + a2 ; (55)£¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ ë ®¡®§ 票ï d1 = m=s; d2 =1=d1:�. �. �®¬¨«ª®, �. �. �®à®¢®© 41
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 2. �. 35 { 42� ¯ãªâ å ) { ¨) ᮤ¥à¦ âáï ¢á¥ ¢®§¬®¦ë¥ ¢ -ਠâë ¢ëà ¦¥¨© ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ Lnkms; ª®â®-àë¥ ¥®¡å®¤¨¬® ¢ëç¨á«ïâì ¯à¨ à¥è¥¨¨ á¨á⥬ëãà ¢¥¨© (11).�§ ä®à¬ã« (39), (44) { (46) á«¥¤ã¥â, çâ® ¥â¥®¡å®¤¨¬®á⨠¢ëç¨á«ïâì í«¥¬¥âë, ®¯¨á 륢 ¯ãªâ å ¦) { ¨) (íâ® í«¥¬¥âë Lmkms , Lnsm s,Lnkms) á ¯®¬®éìî ç¨á«¥ëå ¬¥â®¤®¢ ¨â¥£à¨à®¢ -¨ï, ¤®áâ â®ç® «¨èì ¢ëç¨á«ïâì í«¥¬¥âë Lm sm s(íâ® ¤¨ £® «ìë¥ í«¥¬¥âë ¤¨ £® «ìëå ¡«®-ª®¢, ¯ãªâ ¥)) ¨ § ¯®¬¨ âì äãªæ¨¨ Ji, § ⥬㦥 室¨âì ®áâ «ìë¥ í«¥¬¥âë ¯® 㪠§ 묢ëè¥ ä®à¬ã« ¬. � ª ï ¯à®æ¥¤ãà § ç¨â¥«ì®ã᪮àï¥â ¯à®æ¥áá ¢ëç¨á«¥¨ï í«¥¬¥â®¢ ¬ âà¨æë.����������� §à ¡®â íää¥ªâ¨¢ë© ç¨á«¥®- «¨â¨ç¥-᪨© «£®à¨â¬ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ �â®ªá ®¡ ®¡â¥-ª ¨¨ ¯àאַ㣮«ì®© ⮪®© ¯« á⨪¨ ¡¥£ î-騬 ¨§ ¡¥áª®¥ç®áâ¨ à ¢®¬¥àë¬ ¯®â®ª®¬ ¢ï§-ª®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨. �«£®à¨â¬ ®á®¢ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ⥮ਨ £ ମ¨ç¥áª¨å ¯®â¥æ¨- «®¢ ¨ à §«®¦¥¨¨ ¥¨§¢¥á⮩ ¯«®â®á⨠¢ ¤¢®©-®© àï¤ �ãàì¥, á ¯®á«¥¤ãî騬 ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ç¥âëà¥åªà âëå ¨â¥£à «®¢ ¯® ¯®¢¥àå®á⨠¯« -á⨪¨ ¢ ®¤®ªà âë¥ ¨â¥£à «ë.�¨á«¥ë¥ à áç¥âë ¯®ª § «¨ å®à®è¥¥ ᮢ¯ ¤¥-¨¥ ¯®«ãç¥ëå ¤ ëå ¯® ¢ëç¨á«¥¨î ᨫë á®-¯à®â¨¢«¥¨ï ¯« á⨪¨ á १ã«ìâ â ¬¨ ¤àã£¨å ¢-â®à®¢. �ந««îáâà¨à®¢ ë ®á®¡¥®á⨠«¨¨©â®ª â¥ç¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â £¥®¬¥-âà¨ç¥áª®£® á®®â®è¥¨ï áâ®à® ¯« á⨪¨.�।«®¦¥ë© «£®à¨â¬ ¬®¦¥â ¡ëâì à á¯à®-áâà ¥ ¡®«¥¥ á«®¦ë¥ â¥ç¥¨ï (¯®â®ª¨, ¥ï¢«ïî騥áï ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà묨 ª ¯®¢¥àå®á⨯« á⨪¨), ¥á«¨ ¢¬¥áâ® £ ମ¨ç¥áª¨å ¯®â¥æ¨- «®¢ ¨á¯®«ì§®¢ âì £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¯®â¥æ¨ -«ë [14]. � ª®¥ ®¡®¡é¥¨¥ ï¥âáï ¢ ¦ë¬ á â®ç-
ª¨ §à¥¨ï à áᬮâà¥¨ï § ¤ ç¨ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ¨ï¦¨¤ª®á⨠(¢ à ¬ª å ⥮ਨ �⮪á ) ¢ 樫¨¤à¨-ç¥áª¨å १¥à¢ã à å á ¯àאַ㣮«ì묨 ¢áâ ¢ª ¬¨.1. � ¯¯¥«ì �¦., �॥à �. �̈ ¤à®¤¨ ¬¨ª ¯à¨ ¬ -«ëå ç¨á« å �¥©®«ì¤á .{ �.: �¨à, 1976.{ 630 á.2. Ottino J.M. The kinematics of mixing: stretching,chaos and transport. - Cambridge: Cambridge Uni-versity Press, 1989. - 364 p.3. Roscoe R. The
ow of viscous
uids round plane ob-stecles // Philos. Mag..{ 1949.{ 40.{ P. 338{351.4. �« ¤¨¬¨à®¢ �. �. �à ¢¥¨ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®©ä¨§¨ª¨.{ �.: � 㪠, 1976.{ 527 á.5. B.Noble Some applications of the numerical solu-tion of integral equations to boundary value prob-lem // Conference on Applications of Numerical Anal-ysis (J.Ll.Morris, ed.).{ Springer-Verlag, Berlin, 1971.{P. 137{154.6. �¥«®®á®¢ �. �., �¥à®ãá �. �. �à ¥¢ë¥ § ¤ -ç¨ ¤«ï ãà ¢¥¨© � ¢ì¥-�⮪á .{ �.: � 㪠, 1985.{312 á.7. � «¨ �. �. �®â ªâë¥ § ¤ ç¨ â¥®à¨¨ ã¯à㣮á⨨ ¢ï§ª®ã¯à㣮áâ¨.{ �.: � 㪠, 1980.{ 304 á.8. � § ஢ �. �., �« ¬¥¥¢áª¨© �. �. �««¨¯â¨ç¥áª¨¥§ ¤ ç¨ ¢ ®¡« áâïå á ªãá®ç® £« ¤ª®© £à ¨æ¥©.{ �.:� 㪠, 1991.{ 336 á.9. �à㤨ª®¢ �. �., �àë窮¢ �. �., � à¨ç¥¢ �. �.,�â¥£à «ë ¨ àï¤ë.{ �.: � 㪠, 1981.{ 800 á.10. �¡à ¬®¢¨æ �., �⨣ �. �¯à ¢®ç¨ª ¯® ᯥæ¨- «ìë¬ äãªæ¨ï¬.{ �.: � 㪠, 1979.{ 830 á.11. �¨ª¥à �. �ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ í«¥ªâà¨-ç¥áª®£® ¯®«ï ¨ ¯«®â®áâ¨ í«¥ªâà¨ç¥áª®£® § àï¤ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠ᨣã«ïàëå â®ç¥ª ¯à®¢®¤ï饩 ¯®-¢¥àå®á⨠// �á¯¥å¨ ¬ ⥬. ãª.{ 1975.{ 30, N 3.{P. 103{124.12. �à¨ç¥ª® �. �., �®¢ª �. �. �®«®¢ë¥ § ¤ ç¨à áá¥ï¨ï §¢ãª ã¯àã£¨å ®¡®«®çª å.{ �¨¥¢: � -ãª. ¤ã¬ª , 1986.{ 240 á.13. � ¬¬ �. �. �ᮢë ⥮ਨ í«¥ªâà¨ç¥á⢠.{ �.:� 㪠, 1989.{ 504 á.14. � ¤ë¦¥áª ï �. �. � ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ¢®¯à®áë ¤¨- ¬¨ª¨ ¢ï§ª®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨.{ �.: � 㪠,1970.{ 288 á.
42 �. �. �®¬¨«ª®, �. �. �®à®¢®©
|