Модальное моделирование нелинейных плесканий жидкости в баках с невертикальными стенками. Методика неконформных отображений
Анализируются нелинейные плескания идеальной несжимаемой жидкости (потенциальные течения). Жидкость частично занимает гладкий бак с невертикальными стенками. Опрокидывающиеся волны, буруны и мелководные волны исключаются из рассмотрения. Развивается техника неконформных отображений Луковского (1975)...
Gespeichert in:
| Datum: | 2000 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2000
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5062 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Модальное моделирование нелинейных плесканий жидкости в баках с невертикальными стенками. Методика неконформных отображений / И.А. Луковский, А.Н. Тимоха // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 4. — С. 32-47. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859708520240250880 |
|---|---|
| author | Луковский, И.А. Тимоха, А.Н. |
| author_facet | Луковский, И.А. Тимоха, А.Н. |
| citation_txt | Модальное моделирование нелинейных плесканий жидкости в баках с невертикальными стенками. Методика неконформных отображений / И.А. Луковский, А.Н. Тимоха // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 4. — С. 32-47. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Анализируются нелинейные плескания идеальной несжимаемой жидкости (потенциальные течения). Жидкость частично занимает гладкий бак с невертикальными стенками. Опрокидывающиеся волны, буруны и мелководные волны исключаются из рассмотрения. Развивается техника неконформных отображений Луковского (1975). Она предполагает, что внутренность бака может быть трансформирована в некоторую цилиндрическую область, в которой уравнение свободной поверхности допускает нормальную форму и модальное представление. Допустимые тензорные трансформации неизбежно имеют сингулярности при отображении нижней (верхней) угловой точки бака в дно (потолок) цилиндра. Это ведет к вырождению спектральной задачи о собственных колебаниях. Статья представляет математическую теорию таких спектральных задач и устанавливает соответствующие спектральные и вариационные теоремы. Собственные формы в круговом коническом баке вычисляются с помощью вариационного алгоритма, основанного на этих теоремах. Показано, что алгоритм робастый и численно эффективный как для низших, так и высших мод. В статье показано, что известная бесконечномерная модальная система Луковского (построенная ранее для плескания в цилиндрических баках) остается инвариантной относительно допустимых тензорных преобразований (при поступательных движениях сосуда). Это делает возможным предложить простой алгоритм построения модальных систем для исследуемого случая. Используя анзатц Луковского, выводится пятимерная модальная система для нелинейных плесканий в круговом коническом баке.
Аналiзуються нелiнiйнi плескання iдеальної нестисливої рiдини (потенцiальнi течiї). Рiдина частково займає гладкий бак iз невертикальними стiнками. Хвилi, що опрокидуються, буруни та мiлководнi хвилi виключаються iз розглядання. Розвивається технiка неконформних вiдображень Луковського (1975). Вона передбачає, що внутрiшнiсть бака може бути трансформована в деяку цилiндричну область, в якiй рiвняння вiльної поверхнi допускає нормальну форму i модальне представлення. Допустимi тензорнi трансформацiї мають сингулярностi при вiдображеннi нижньої (верхньої) кутової точки бака в дно (стелю) цилiндра. Це веде до виродження спектральної задачi про власнi коливання. Стаття представляє математичну теорiю таких спектральних задач i встановлює вiдповiднi спектральнi та варiацiйнi теореми. Власнi форми в коловому конiчному баку визначаються за допомогою варiацiйного алгоритму, що базується на цих теоремах. Показано, що алгоритм робастий i чисельно ефективний як для нижчих, так i для вищих мод. E статтi показано, що вiдома нескiнченномiрна модальна система Луковського (побудована ранiше для плескання в цилiндричних баках) лишається iнварiантною вiдносно допустимих тензорних перетворень (при поступальних рухах сосуду). Це дає можливiсть запропонувати простий алгоритм побудови модальних систем для випадку, що дослiджується. Використовуючи анзатц Луковського, виводиться п'ятимiрна модальна система для нелiнiйних плескань e коловому конiчному баку.
Nonlinear sloshing of an incompressible fluid with irrotational flow is analysed. The fluid occupies partly a smooth tank with walls having non-cylindrical shape. No overturning, breaking and shallow water waves are assumed. Non-conformal mapping technique by Lukovsky (1975) is developed. It assumes that tank's cavity can be transformed into an artificial cylindrical domain, where equation of free surface allows both normal form and modal representation of instantaneous surface shape. Admissible tensor transformations have due singularities in mapping the lower (upper) corners of the tank into artificial bottom (roof). It leads to degenerating spectral boundary problems on natural modes. The paper delivers the mathematical background for these spectral problem and establishes the spectral and variational theorems. Natural modes in circular conical cavity are calculated by variational algorithm based on these theorems. It is shown that the algorithm is robust and numerically efficient for calculating both lower and higher natural modes. Finally, the paper shows that the well-known infinite-dimensional modal systems by Lukovsky (derived for sloshing in cylindrical tank) keep invariant structure with respect to admissible tensor transformations (for translatory motions of the vehicle). This makes it possible to offer the simple derivation algorithm of nonlinear modal systems for the studied case. When utilising anzatz by Lukovsky we derive the five-dimensional modal system for nonlinear sloshing in circular conic tanks.
|
| first_indexed | 2025-12-01T04:25:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 32 { 47��� 532.595��������� ������������� ��������������������������� � ������ ��������������� ��������.�������� ������������ ������������. �. � � � � � � � � �, �. �. � � � � � ��áâ¨âãâ ¬ ⥬ ⨪¨ ��� �ªà ¨ë�®«ãç¥ 14.05.2000� «¨§¨àãîâáï ¥«¨¥©ë¥ ¯«¥áª ¨ï ¨¤¥ «ì®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠(¯®â¥æ¨ «ìë¥ â¥ç¥¨ï). �¨¤ª®áâì ç -áâ¨ç® § ¨¬ ¥â £« ¤ª¨© ¡ ª á ¥¢¥à⨪ «ì묨 á⥪ ¬¨. �¯à®ª¨¤ë¢ î騥áï ¢®«ë, ¡ãàãë ¨ ¬¥«ª®¢®¤ë¥¢®«ë ¨áª«îç îâáï ¨§ à áᬮâ२ï. � §¢¨¢ ¥âáï â¥å¨ª ¥ª®ä®à¬ëå ®â®¡à ¦¥¨© �㪮¢áª®£® (1975). � ¯à¥¤¯®« £ ¥â, çâ® ¢ãâ८áâì ¡ ª ¬®¦¥â ¡ëâì âà áä®à¬¨à®¢ ¢ ¥ª®â®àãî 樫¨¤à¨ç¥áªãî ®¡« áâì, ¢ ª®-â®à®© ãà ¢¥¨¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¤®¯ã᪠¥â ®à¬ «ìãî ä®à¬ã ¨ ¬®¤ «ì®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥. �®¯ãá⨬ë¥â¥§®àë¥ âà áä®à¬ 樨 ¥¨§¡¥¦® ¨¬¥îâ ᨣã«ïà®á⨠¯à¨ ®â®¡à ¦¥¨¨ ¨¦¥© (¢¥à奩) 㣫®¢®© â®çª¨ ¡ -ª ¢ ¤® (¯®â®«®ª) 樫¨¤à . �â® ¢¥¤¥â ª ¢ë஦¤¥¨î ᯥªâà «ì®© § ¤ ç¨ ® ᮡá⢥ëå ª®«¥¡ ¨ïå. �â âìï¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¬ ⥬ â¨ç¥áªãî ⥮à¨î â ª¨å ᯥªâà «ìëå § ¤ ç ¨ ãáâ ¢«¨¢ ¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ᯥªâà «ì륨 ¢ à¨ æ¨®ë¥ â¥®à¥¬ë. �®¡áâ¢¥ë¥ ä®à¬ë ¢ ªà㣮¢®¬ ª®¨ç¥áª®¬ ¡ ª¥ ¢ëç¨á«ïîâáï á ¯®¬®éìî ¢ ਠ樮-®£® «£®à¨â¬ , ®á®¢ ®£® íâ¨å ⥮६ å. �®ª § ®, çâ® «£®à¨â¬ ஡ áâë© ¨ ç¨á«¥® íää¥ªâ¨¢ë© ª ª¤«ï ¨§è¨å, â ª ¨ ¢ëáè¨å ¬®¤. � áâ âì¥ ¯®ª § ®, çâ® ¨§¢¥áâ ï ¡¥áª®¥ç®¬¥à ï ¬®¤ «ì ï á¨á⥬ �㪮¢áª®-£® (¯®áâ஥ ï à ¥¥ ¤«ï ¯«¥áª ¨ï ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ¡ ª å) ®áâ ¥âáï ¨¢ ਠ⮩ ®â®á¨â¥«ì® ¤®¯ãá⨬ëå⥧®àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© (¯à¨ ¯®áâ㯠⥫ìëå ¤¢¨¦¥¨ïå á®á㤠). �â® ¤¥« ¥â ¢®§¬®¦ë¬ ¯à¥¤«®¦¨âì ¯à®á⮩ «£®à¨â¬ ¯®áâ஥¨ï ¬®¤ «ìëå á¨á⥬ ¤«ï ¨áá«¥¤ã¥¬®£® á«ãç ï. �ᯮ«ì§ãï § âæ �㪮¢áª®£®, ¢ë¢®¤¨âáï ¯ïâ¨-¬¥à ï ¬®¤ «ì ï á¨á⥬ ¤«ï ¥«¨¥©ëå ¯«¥áª ¨© ¢ ªà㣮¢®¬ ª®¨ç¥áª®¬ ¡ ª¥.� «÷§ãîâìáï ¥«÷÷©÷ ¯«¥áª ï ÷¤¥ «ì®ù ¥áâ¨á«¨¢®ù à÷¤¨¨ (¯®â¥æ÷ «ì÷ â¥ç÷ù). �÷¤¨ ç á⪮¢® § ©¬ õ £« ¤-ª¨© ¡ ª i§ ¥¢¥à⨪ «ì¨¬¨ áâ÷ª ¬¨. �¢¨«÷, é® ®¯à®ª¨¤ãîâìáï, ¡ãà㨠⠬i«ª®¢®¤÷ 墨«÷ ¢¨ª«îç îâìáï ÷§ ஧-£«ï¤ ï. �®§¢¨¢ õâìáï â¥å÷ª ¥ª®ä®à¬¨å ¢÷¤®¡à ¦¥ì �㪮¢á쪮£® (1975). �® ¯¥à¥¤¡ ç õ, é® ¢ãâà÷è÷áâì¡ ª ¬®¦¥ ¡ã⨠âà áä®à¬®¢ ¢ ¤¥ïªã 樫÷¤à¨çã ®¡« áâì, ¢ ïª÷© à÷¢ïï ¢÷«ì®ù ¯®¢¥àå÷ ¤®¯ã᪠õ ®à¬ «ìãä®à¬ã ÷ ¬®¤ «ì¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥ï. �®¯ãá⨬÷ ⥧®à÷ âà áä®à¬ æ÷ù ¬ îâì ᨣã«ïà®áâ÷ ¯à¨ ¢÷¤®¡à ¦¥÷ ¨¦-ì®ù (¢¥àåì®ù) ªã⮢®ù â®çª¨ ¡ ª ¢ ¤® (á⥫î) 樫÷¤à . �¥ ¢¥¤¥ ¤® ¢¨à®¤¦¥ï ᯥªâà «ì®ù § ¤ ç÷ ¯à® ¢« á÷ª®«¨¢ ï. �â ââï ¯à¥¤áâ ¢«ïõ ¬ ⥬ â¨çã ⥮à÷î â ª¨å ᯥªâà «ì¨å § ¤ ç ÷ ¢áâ ®¢«îõ ¢÷¤¯®¢÷¤÷ ᯥªâà «ì÷â ¢ à÷ æ÷©÷ ⥮६¨. �« á÷ ä®à¬¨ ¢ ª®«®¢®¬ã ª®÷箬㠡 ªã ¢¨§ ç îâìáï § ¤®¯®¬®£®î ¢ à÷ æ÷©®£® «£®à¨â-¬ã, é® ¡ §ãõâìáï æ¨å ⥮६ å. �®ª § ®, é® «£®à¨â¬ ஡ á⨩ ÷ ç¨á¥«ì® ¥ä¥ªâ¨¢¨© ïª ¤«ï ¨¦ç¨å, â ª ÷¤«ï ¢¨é¨å ¬®¤. E áâ ââ÷ ¯®ª § ®, é® ¢÷¤®¬ ¥áª÷祮¬÷à ¬®¤ «ì á¨á⥬ �㪮¢á쪮£® (¯®¡ã¤®¢ à ÷襤«ï ¯«¥áª ï ¢ 樫÷¤à¨ç¨å ¡ ª å) «¨è õâìáï ÷¢ à÷ â®î ¢÷¤®á® ¤®¯ãá⨬¨å ⥧®à¨å ¯¥à¥â¢®à¥ì (¯à¨¯®áâ㯠«ì¨å àãå å á®áã¤ã). �¥ ¤ õ ¬®¦«¨¢iáâì § ¯à®¯®ã¢ ⨠¯à®á⨩ «£®à¨â¬ ¯®¡ã¤®¢¨ ¬®¤ «ì¨å á¨á⥬ ¤«ï¢¨¯ ¤ªã, é® ¤®á«÷¤¦ãõâìáï. �¨ª®à¨á⮢ãîç¨ § âæ �㪮¢á쪮£®, ¢¨¢®¤¨âìáï ¯'ï⨬÷à ¬®¤ «ì á¨á⥬ ¤«ï¥«÷÷©¨å ¯«¥áª ì e ª®«®¢®¬ã ª®÷箬㠡 ªã.Nonlinear sloshing of an incompressible
uid with irrotational
ow is analysed. The
uid occupies partly a smooth tankwith walls having non-cylindrical shape. No overturning, breaking and shallow water waves are assumed. Non-conformalmapping technique by Lukovsky (1975) is developed. It assumes that tank's cavity can be transformed into an arti�cialcylindrical domain, where equation of free surface allows both normal form and modal representation of instantaneoussurface shape. Admissible tensor transformations have due singularities in mapping the lower (upper) corners of the tankinto arti�cial bottom (roof). It leads to degenerating spectral boundary problems on natural modes. The paper deliversthe mathematical background for these spectral problem and establishes the spectral and variational theorems. Naturalmodes in circular conical cavity are calculated by variational algorithm based on these theorems. It is shown that thealgorithm is robust and numerically e�cient for calculating both lower and higher natural modes. Finally, the papershows that the well-known in�nite-dimensional modal systems by Lukovsky (derived for sloshing in cylindrical tank) keepinvariant structure with respect to admissible tensor transformations (for translatory motions of the vehicle). This makesit possible to o�er the simple derivation algorithm of nonlinear modal systems for the studied case. When utilising anzatzby Lukovsky we derive the �ve-dimensional modal system for nonlinear sloshing in circular conic tanks.���������¨¤ª®áâì, ç áâ¨ç® § ¨¬ îé ï £« ¤ª¨© ¯®-¤¢¨¦ë© ¡ ª, ᮢ¥àè ¥â ¢®«®¢ë¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¡®«ì-让 ¬¯«¨âã¤ë, ®¡ãá«®¢«¥ë¥ ¯®¤¢¨¦®áâìî ¥¥á¢®¡®¤®© £à ¨æë ®â®á¨â¥«ì® £¨¤à®áâ â¨ç¥-᪮£® à ¢®¢¥á¨ï. �®¤¥«ì "§ ¬®à®¦¥®©" ¦¨¤-ª®á⨠¥¯à¨¥¬«¥¬ ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥. �«ï ¯®«ãç¥-¨ï áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å ®æ¥®ª ¬¯«¨â㤮£® ¨ ᨫ®- ¢®£® ®âª«¨ª ¦¨¤ª¨å £à㧮¢ ¥®¡å®¤¨¬ë ¬¥â®¤ë,¯®§¢®«ïî騥 à ááç¨âë¢ âì ¯«¥áª ¨¥ ¢ ॠ«ì®¬¢à¥¬¥¨ ¨ á ãç¥â®¬ á«®¦ëå ¯¥à¥å®¤ëå ¯à®æ¥á-ᮢ.� ¤ ç ® ¯«¥áª ¨¨ ®¡ëç® ®á®¢ë¢ ¥âáï ¯®-â¥æ¨ «ì®© ⥮ਨ ¨¤¥ «ì®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤-ª®áâ¨. �ਬ¥àë ¥¯®á।á⢥®£® à áç¥â ¯«¥-᪠¨© á ¯®¬®éìî CFD ¬¥â®¤®¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢®âç¥â å [26, 28], £¤¥ ª®áâ â¨àãîâáï á«®¦®áâ¨32 c
�.�.�㪮¢áª¨©, �.�.�̈ ¬®å , 2000
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 32 { 47¯à¨ ᨬã«ï樨 ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨å ¯à®¬¥¦ã⪮¢à¥ «ì®£® ¢à¥¬¥¨. CFD ¬¥â®¤ë ãáâ®©ç¨¢ë «¨èì¢ â¥ç¥¨¥ ¥áª®«ìª¨å ᥪ㤠ॠ«ì®£® ¢à¥¬¥¨,®¨ â ª¦¥ ¥ á¯®á®¡ë ®¯¨áë¢ âì ãáâ ®¢¨¢è¨¥-áï ¤¢¨¦¥¨ï. �¤ ¨§ ¯à¨ç¨ á¢ï§ë¢ ¥âáï á 㤮-¢«¥â¢®à¥¨¥¬ ãá«®¢¨© á®åà ¥¨ï ®¡ê¥¬ ¨ í¥à-£¨¨. �ãé¥áâ¢ã¥â â ª¦¥ ¯à®¡«¥¬ ¢ â®ç®¬ ®¯¨-á ¨¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¦¨¤ª®á⨠ᮠá⥪ ¬¨ ¡ ª (á¬. ®¡§®à í⮩ ¯à®¡«¥¬ë � «â¨á¥ ¨ �®£¥-¡ ªª¥ [20]). �§ ¬¥ à §¢¨¢ îâáï «¨â¨ç¥áª¨¥ ¨ç¨á«¥®- «¨â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë, ¡®«ìè¨á⢮ ¨§ª®â®àëå ¨á¯®«ì§ãîâ ᨬ¯â®â¨ç¥áªãî ¨ ¬®¤ «ì-ãî â¥å¨ªã (á¬. ¤¥â «ìë© ®¡§®à � «â¨á¥ ¨ ¤à. [21]). �®¤ «ì®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ®§ ç ¥â,çâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï àï¤ �ãàì¥ á ¢ àì¨à㥬묨 ¢®¢à¥¬¥¨ ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ (¬®¤ «ì묨 äãªæ¨ï-¬¨) ¤«ï ®¯¨á ¨ï í¢®«î樨 ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®-áâ¨: x = f(y; z; t) =X �i(t)fi(y; z); (1)£¤¥ Oxyz { ª®®à¤¨ â ï á¨á⥬ , ¦¥á⪮ á¢ï§ - ï á ¡ ª®¬ ¨ t - ¢à¥¬ï. �®¤ «ì®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ (1) ®§ ç ¥â, çâ® ¨£®à¨àãîâáï ®¯à®ª¨¤ë¢ -î騥áï ¢®«ë ¨ ¡ãàãë (áã«â ë) ᢮¡®¤®©¯®¢¥àå®áâ¨. �â® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ â ª¦¥ ¥¯à¨¬¥-¨¬® ¤«ï ⥮ਨ ¬¥«ª®© ¢®¤ë (á¬. «¨§ í⮩¯à®¡«¥¬ë � «â¨á¥ ¨ �̈ ¬®å¨ [22]).�ãªæ¨¨ ffi(x; y)g ¤®«¦ë á®áâ ¢«ïâì ¡ §¨á�ãàì¥ ¥¢®§¬ã饮© ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨�0. �¯¥ªâà «ìë¥ â¥®à¥¬ë «¨¥©®© ⥮ਨ (¤®-ª § ë¥, ¯à¨¬¥à, ¢ ¬®®£à 䨨 �¥é¥ª® ¨¤à. [12]) ãáâ ¢«¨¢ îâ, çâ® ¯®¤å®¤ï騬 ¡ §¨á®¬ï¢«ï¥âáï ¡®à ᮡá⢥ëå ä®à¬. �¬¥¥âáï ®£à -¨ç¥ë© ª« áá ¡ ª®¢, £¤¥ ᯥªâà «ì ï § ¤ ç ¨¬¥¥â «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥. �ਬ¥à ¬¨ ï-îâáï ¤¢ãå- ¨«¨ âà¥å¬¥àë¥ ¯àאַ㣮«ìë¥ ¡ ª¨ ¨¢¥à⨪ «ìë¥ æ¨«¨¤à¨ç¥áª¨¥ ¡ ª¨ ªà㣮¢®£® á¥-票ï. �।áâ ¢«¥¨¥ (1) ¤ ¥â ⮣¤ ®¡é¥¥ à¥è¥-¨¥ § ¤ ç¨ ® «¨¥©ëå ¯«¥áª ¨ïå. �।¯®« £ ï,çâ® ®¡®¡é¥ë¥ ª®®à¤¨ âë �i(t) ¤®áâ â®ç® ¬ -«ë ¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ á®®â®è¥¨ï ¬¥¦¤ã ¨¬¨¨§¢¥áâë, àï¤ �ãàì¥ (1) ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®-¢ ¤«ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ¯®¤å®¤®¢, ª®â®àë¥ ¯à¥-®¡à §ãîâ ¨á室ãî § ¤ çã ᮠ᢮¡®¤®© £à ¨-楩 ª ª®¥ç®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠ᨬ¯â®â¨ç¥-áª¨å ¯¯à®ªá¨¬ 権. �ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ¯à®æ¥¤ã-à ®¡ëç® ¯à¥¤¯®« £ ¥â «¨ç¨¥ ¥¤¨¨ç®© (ç -á⮠ᯠ८©) ¤®¬¨¨àãî饩 ¬®¤ «ì®© äãª-樨, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 áâ®ï祩 ¢®«¥ á ¬¨¨¬ «ì-®© ᮡá⢥®© ç áâ®â®©. �¥ª®â®àë¥ á¨¬¯â®-â¨ç¥áª¨¥ ¯à®æ¥¤ãàë ¡ë«¨ ¯à¥¤«®¦¥ë � ਬ ®-¢ë¬ [10], �®¨á¥¥¢ë¬ [9], � «â¨á¥®¬ [19] ¨ �®-¤¦¥, � ¨ �¡à ¬á®®¬ [18]. �¨ ¢¢®¤¨«¨ à §-«¨çë¥ á¨¬¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¬¥¦¬®¤ «ìë¥ á®®â®-
襨ï, á।¨ ª®â®àëå ¨¡®«¥¥ ¨§¢¥áâë¬ ï¢«ï-¥âáï á®®â®è¥¨¥ �®¨á¥¥¢ , ¯à¨¢®¤ï饥 ª ªã¡¨-ç¥áª®¬ã ᥪã«ï஬ã ãà ¢¥¨î ¢ â¥à¬¨ å ¬-¯«¨âã¤ë ®á®¢®© ᮡá⢥®© ä®à¬ë. �¥â®¤¢®§¬ã饨ï ï¥âáï â ª¦¥ ᯮᮡ®¬ ¯®«ãç¥¨ï¬ «®à §¬¥àëå ¬®¤ «ìëå á¨á⥬ (á¨á⥬ ¥«¨-¥©ëå ®¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥-¨©), á¢ï§ë¢ îé¨å ®¡®¡é¥ë¥ ª®®à¤¨ âë �i(t)¨«¨ ¨å ãá।¥ë¥ § 票ï (¤«ï १® áë墮«). (�ë ®âáë« ¥¬ § ¨â¥à¥á®¢ ëå ç¨â â¥-«¥© ª ®¡§®à ¬, ¯¨á ë¬ �㪮¢áª¨¬ [5], �㪮¢-᪨¬ ¨ �̈ ¬®å®© [8], �®« á ¨ � «â¨á¥®¬ [27]¨ � «â¨á¥®¬ ¨ ¤à. [21].) � ª¨¥ ¥«¨¥©ë¥¬®¤ «ìë¥ á¨áâ¥¬ë ¨¬¥îâ 1-2 á⥯¥¨ ᢮¡®¤ë¨ á¢ï§ë¢ îâ ¤®¬¨ âë¥ ¬®¤ «ìë¥ äãªæ¨¨.�®áª®«ìªã ¢ë¢®¤ ¯®¤®¡ëå á¨á⥬ âॡã¥â § -ç¨â¥«ì®£® ç¨á« «¨â¨ç¥áª¨å ¯à¥®¡à §®¢ ¨©,¢®§à áâ îé¨å íªá¯®¥æ¨ «ì® á à®á⮬ ¦¥« ¥-¬®© à §¬¥à®á⨠¬®¤ «ì®© á¨á⥬ë, ï¥âáï á®-¬¨â¥«ìë¬ ¯®«ã票¥ ¬®£®¬¥àëå á¨á⥬ á ¯®-¬®éìî ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ¯®¤å®¤®¢. � ਠ樮- ï ¬¥â®¤¨ª , ã¯à®é îé ï ¢ë¢®¤ ¬®¤ «ìëå á¨-á⥬, ¡ë« ¥§ ¢¨á¨¬® ¯à¥¤«®¦¥ �㪮¢áª¨¬ [4]¨ � ©«á®¬ [25]. � ¡ §¨àã¥âáï íª¢¨¢ «¥â-®© ¢ ਠ樮®© ¯®áâ ®¢ª¥ ¢ ä®à¬¥ ¢ ਠ樮-ëå ¯à¨æ¨¯®¢ � ¬¨«ìâ® -�áâà®£à ¤áª®£® ¨«¨�îª -�¥©â¬¥ (á¬. ä㤠¬¥â «ìë¥ à ¡®âë�¥©â¬¥ [14], �îª [24], �¥à¤¨ç¥¢áª®£® [1], �̈ -§¥¬ [29] ¨ ¥ª®â®àë¥ ®¡®¡é¥¨ï, ¯à¥¤«®¦¥ë¥� ©¥à®¬ ¨ ¤à. [17]). �ª¢¨¢ «¥â®áâì ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì®© ¨ ¢ ਠ樮®© ä®à¬ã«¨à®¢®ª, ¡ã¤ã稤®ª § ®© ¯à¨ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¨ ®à¬ «ì®£® ¯à¥¤-áâ ¢«¥¨ï ᢮¡®¤®© £à ¨æë x =f(y; z; t), ®¡®á®-¢ë¢ ¥â ¢ë¢®¤ ¬®£®¬¥àëå ¥«¨¥©ëå ¬®¤ «ì-ëå á¨á⥬ �㪮¢áª®£® [5], �¨¬ à祪® ¨ �á¨-᪮£® [2] ¨ � «â¨á¥ ¨ ¤à. [21].�ã«ì⨬®¤ «ì®¥ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨¥ ï¥âáï à®-¡ áâë¬ ¨ ç¨á«¥® íä䥪⨢ë¬. �â® ¡ë«® ¯à®-¤¥¬®áâà¨à®¢ ® �㪮¢áª¨¬ [5], �¨¬ à祪® ¨�á¨áª¨¬ [2], �㪮¢áª¨¬ ¨ �̈ ¬®å®© [8], � «â¨-᥮¬ ¨ ¤à. [21] ¨ � «â¨á¥®¬ ¨ �̈ ¬®å®© [22]¤«ï à §«¨çëå á¨âã 権, ¤ ¦¥ ª®£¤ ¬¯«¨âã¤-ë© ®âª«¨ª ¦¨¤ª®á⨠ᮨ§¬¥à¨¬ á à §¬¥à ¬¨ ¡ -ª . � 㢥«¨ç¥¨¥¬ ç¨á« ¬®¤ ¨ ãç¥â®¬ ¢â®à¨ç-ëå १® ᮢ ®® ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨ïâ® ¤«ï à á-ç¥â®¢ ॠ«ìëå â¥ç¥¨© ¨ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨ï ¢§ ¨¬®-¤¥©áâ¢¨ï ¢ á¨á⥬¥ "⥫®-¦¨¤ª®áâì". �® ¬®¦¥â¡ëâì â ª¦¥ à á¯à®áâà ¥® á«ãç ©, ª®£¤ ᯥª-âà «ì ï § ¤ ç «¨¥©®© ⥮ਨ ¥ ¨¬¥¥â «¨-â¨ç¥áª¨å à¥è¥¨© ¨ ᮡáâ¢¥ë¥ ä®à¬ë ¯à¨¡«¨-¦ îâáï ¯à¨¡«¨¦¥®- «¨â¨ç¥áª¨. �®¤å®¤ï騥ç¨á«¥®- «¨â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë ¡ë«¨ à §¢¨âë ¢¬®®£à ä¨ïå �¥é¥ª® ¨ ¤à. [12], �㪮¢áª®£® [5]¨ ¢ à ¡®â¥ �®« á ¨ � «â¨á¥ [27]. �¥®¡å®¤¨-�.�.�㪮¢áª¨©, �.�.�̈ ¬®å 33
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 32 { 47¬ë¬ ãá«®¢¨¥¬, ®¤ ª®, ®áâ ¥âáï ¢¥à⨪ «ì®áâìá⥮ª ®ª®«® ᢮¡®¤®© £à ¨æë ¢ ¥¥ à ¢®¢¥á®¬á®áâ®ï¨¨. � ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ä®à¬ë ¢ (1) ¨¬¥-îâ ¨§¬¥ï¥¬ãî ¢® ¢à¥¬¥¨ ®¡« áâì ®¯à¥¤¥«¥¨ï.�â® ¤¥« ¥â ¬®¤ «ìë© ¯®¤å®¤ ¥¯à¨¬¥¨¬ë¬, ¢®-®¡é¥ £®¢®àï, ¤ ¦¥ ¤«ï «¨¥©®© § ¤ ç¨. �¥©á⢨-⥫ìë¥ ¢®«®¢ë¥ ¤¢¨¦¥¨ï ®ª®«® á⥮ª ¥ ¬®£ãâ¡ëâì ⮣¤ ®¯¨á ë.� áâ®ïé ï à ¡®â ¯®á¢ïé¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨î § -¤ ç¨ ® ¥«¨¥©ëå ¯«¥áª ¨ïå ¢ £« ¤ª¨å ¡ ª å, ª®-£¤ ¨å á⥪¨ ¥ 樫¨¤à¨ç¥áª¨¥. � à §¢¨¢ ¥â¬¥â®¤¨ªã ¥ª®ä®à¬ëå ®â®¡à ¦¥¨© �㪮¢áª®-£® [3], ª®â®à ï ¯à¥¤¯®« £ ¥â, çâ® ¯®«®áâì ¡ ª ¬®-¦¥â ¡ëâì £« ¤ª® âà áä®à¬¨à®¢ ¢ 樫¨¤à¨-ç¥áªãî ®¡« áâì ¢ ¥ª®â®à®© ªà¨¢®«¨¥©®© ª®®à-¤¨ ⮩ á¨á⥬¥ (z1; z2; z3), £¤¥ ãà ¢¥¨¥ ᢮-¡®¤®© £à ¨æë ¤®¯ã᪠¥â ®à¬ «ìë© ¢¨¤��(z1; z2; z3; t) = z1 � f�(z2; z3; t) = 0: (2)� á¢®î ®ç¥à¥¤ì, âà áä®à¬¨àã¥âáï ¨ ¨á室 ï ¥-«¨¥© ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç , f� à ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¢àï¤ �ãàì¥f�(z2; z3; t) = const +X �i(t)fi(z2; z3); (3)£¤¥ fi { âà áä®à¬¨à®¢ ë¥ á®¡áâ¢¥ë¥ ä®à-¬ë, ª®â®àë¥ ¤®«¦ë ¡ëâì ©¤¥ë ç¨á«¥®- «¨â¨ç¥áª¨. �㪮¢áª¨© [3] ᮢ¬¥á⨫ á â ª®©â¥å¨ª®© ᨬ¯â®â¨ç¥áªãî á奬ã � ਬ ®¢ ¨¢ë¢¥« ®¤®¬¥àãî ¥«¨¥©ãî ¬®¤¥«ì ¥«¨¥©-ëå ¯«¥áª ¨© ¢ ª®¨ç¥áª¨å ¨ áä¥à¨ç¥áª¨å á®áã-¤ å, ®¯¨áë¢ îé¨å í¢®«îæ¨î ®á®¢®© १® á-® ¢®§¬ã饮© ᮡá⢥®© áâ®ï祩 ¢®«ë. �¨-¨¬ «ì ï ᮡá⢥ ï ä®à¬ ¡ë« ©¤¥ ç¨-á«¥® ¯ã⥬ à §«®¦¥¨ï ¢ àï¤ ¯® £ ମ¨ç¥áª¨¬¯®«¨®¬ ¬ á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ¢ ਠ樮®© ¯à®-楤ãàë, ¯à¥¤«®¦¥®© ¢ ¬®®£à 䨨 �¥é¥ª® ¨¤à. [12]. � ¤ «ì¥©è¥¬ ª¨£¨ �㪮¢áª®£® [5] ¨ �ã-ª®¢áª®£® ¨ �̈ ¬®å¨ [8] ®¡®¡é¨«¨ íâ®â ¬¥â®¤. �ë« ¯®áâ஥ ¤¢ã¬¥à ï ¬®¤ «ì ï á¨á⥬ , ®¯¨áë-¢ îé ï ¥«¨¥©®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¯à®¤®«ì®© ¨¯®¯¥à¥ç®© ¤®¬¨ âëå áâ®ïç¨å ¢®« ¢ ª®¨ç¥-᪮¬ ¡ ª¥. �⨠á¨á⥬ë ïîâáï, ®¤ ª®, ¥ã¤®-¢«¥â¢®à¨â¥«ì묨 ¤«ï à áç¥â ॠ«ìëå ¥«¨¥©-ëå ¯«¥áª ¨©, ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£®, ¥ãáâ ®¢¨¢è¨åáï,¯®áª®«ìªã ¯à¥¥¡à¥£ îâ ¢«¨ï¨¥¬ ¢ëáè¨å ä®à¬.�¢®© ï 楫ì í⮩ à ¡®âë á®á⮨⠢ ®¡®¡é¥¨¨¢ ਠ樮ëå ¬¥â®¤®¢ ¤«ï ᯥªâà «ìëå ¯à®¡«¥¬«¨¥©®© ⥮ਨ, áä®à¬ã«¨à®¢ ëå ¢ ªà¨¢®«¨-¥©®© ª®®à¤¨ ⮩ á¨á⥬¥, ¨ ¢ ¯®«ã票¨ ¬®-£®¬¥àëå ¥«¨¥©ëå ¬®¤ «ìëå á¨á⥬ ¢ ¢á¯®-¬®£ ⥫쮩 樫¨¤à¨ç¥áª®© ®¡« áâ¨. �®áª®«ìªã¤®¯ãáâ¨¬ë¥ â¥§®àë¥ âà áä®à¬ 樨 ¥¨§¡¥¦-® ¨¬¥îâ ᨣã«ïà®á⨠¯à¨ ®â®¡à ¦¥¨¨ ¨¦-¨å (¢¥àå¨å) 㣫®¢ëå ¢¥àè¨ ¢ ¨áªãáá⢥®¥
¤® (¯®â®«®ª) 樫¨¤à¨ç¥áª®© ®¡« áâ¨, ᮮ⢥â-áâ¢ãî騥 í¥à£¥â¨ç¥áª¨¥ (¢ ਠ樮ë¥) ä®à¬ã-«¨à®¢ª¨ âà áä®à¬¨à®¢ ®© ᯥªâà «ì®© § ¤ -ç¨ «¨¥©®© ⥮ਨ 㦤 îâáï ¢ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬®¡®á®¢ ¨¨. �â âìï ¤ ¥â ¥£® ¨ ãáâ ¢«¨¢ ¥âᯥªâà «ìë¥ ¨ ¢ à¨ æ¨®ë¥ â¥®à¥¬ë ¢ ¯®¤å®-¤ïé¨å ¢¥á®¢ëå ¯à®áâà á⢠å �®¡®«¥¢ . � §¢¨-¢ ¥âáï ¢ à¨ æ¨®ë© «£®à¨â¬, ¡ §¨àãî騩áï íâ¨å ⥮६ å, ª®â®àë© ¯à¨¬¥ï¥âáï ¤«ï á«ãç ïâà áä®à¬¨à®¢ ®£® ª®¨ç¥áª®£® ¡ ª . �®ª § - ஡ áâ®áâì ¨ ç¨á«¥ ï íä䥪⨢®áâì í⮣® «£®à¨â¬ . �ਡ«¨¦¥ë¥ à¥è¥¨ï ¤ îâ ¡®«¥¥¢ë᮪ãî â®ç®áâì ¯® ®â®è¥¨î ª ¨§¢¥áâë¬ «-£®à¨â¬ ¬ �¥é¥ª® ¨ ¤à. [12], �㪮¢áª®£® ¨ �¨«ë-ª [7], �㪮¢áª®£®, � àïª ¨ �®¬ ४® [6], � ã-íà [15], � ãíà ¨ �©¤¥«ï [16], ª®â®àë¥ ¯à¨¬¥ï-«¨áì ª ¥âà áä®à¬¨à®¢ ®© ¯à®¡«¥¬¥. �ë â ª-¦¥ ®¡ à㦨¢ ¥¬, çâ® ¡¥áª®¥ç®¬¥à ï ¥«¨¥©- ï ¬®¤ «ì ï á¨á⥬ �㪮¢áª®£® [5] ¨ � «â¨-ᥠ¨ ¤à. [21] á®åà ï¥â ¨¢ ਠâãî áâàãªâã-àã ¯® ®â®è¥¨î ª ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ â¥§®àë¬ âà á-ä®à¬ æ¨ï¬ (¢ á«ãç ¥ ¯®áâ㯠⥫ìëå ¤¢¨¦¥¨©),çâ® ¯®§¢®«ï¥â ¯à¥¤«®¦¨âì ¯à®á⮩ «£®à¨â¬ ¢ë-¢®¤ ¥«¨¥©ëå ¬®¤ «ìëå á¨á⥬. � áâ®ïé¥©à ¡®â¥ íâ® ¤¥« ¥âáï á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ¬®¤ «ì®-£® § âæ �㪮¢áª®£® [5] ¤«ï ¢ë¢®¤ ¯ï⨬¥à®©¬®¤ «ì®© á¨áâ¥¬ë ¥«¨¥©ëå ¯«¥áª ¨© ¢ ª®-¨ç¥áª¨å á®á㤠å. �।¯®« £ ¥¬ ï ¬¥¦¬®¤ «ì ï ᨬ¯â®â¨ª ᮮ⢥âáâ¢ã¥â �®¨á¥¥¢áª®©. �®«ã-ç¥ ï ¥«¨¥© ï á¨á⥬ á¢ï§ë¢ ¥â ¤¢¥ ®á®¢-ë¥ ¤®¬¨ âë¥ ä®à¬ë ¨ âਠ¢â®à¨çëå ä®à-¬ë.
�¨á. 1. �᪨§ ®á¨â¥«ï á ¡ ª®¬¨ ¯à¨ïâë¥ ®¡®§ 票ï1. ���������� �������ë à áᬠâਢ ¥¬ ¢®«®¢ë¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¥á¦¨-¬ ¥¬®© ¨¤¥ «ì®© ¦¨¤ª®áâ¨, ç áâ¨ç® § ¨¬ î-34 �.�.�㪮¢áª¨©, �.�.�̈ ¬®å
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 32 { 47饩 ¡á®«î⮠⢥à¤ë© ¯®¤¢¨¦ë© ¡ ª Q ®á¨-⥫ï (à¨á. 1). �¢¨¦¥¨ï ®á¨â¥«ï ®¯¨áë¢ îâ-áï ¢ ¡á®«î⮩ ¤¥ª à⮢®© ª®®à¤¨ ⮩ á¨áâ¥-¬¥ O0x0y0z0 ¯ ன § ¢¨á¨¬ëå ®â ¢à¥¬¥¨ ¢¥ªâ®à®¢vO(t) ¨ !(t). �¨ ®¡®§ ç îâ ¬£®¢¥ë¥ ¯®áâã-¯ ⥫ìãî ¨ 㣫®¢ãî ᪮à®áâ¨. �¢¨¦¥¨¥ ¦¨¤ª®-á⨠®¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¥¨¥àæ¨ «ì®© á¨á⥬¥ Oxyz,¦¥á⪮ á¢ï§ ®© á ®á¨â¥«¥¬. �®áª®«ìªã «î-¡®© ¡á®«îâë© à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à r0(t) = (x0; y0; z0)¬®¦¥â ¡ëâì à §«®¦¥ ¢ á㬬ã r0O(t) = ~O0O ¨r = (x; y; z), ¯®â¥æ¨ « £à ¢¨â 樮ëå ᨫ § -¢¨á¨â ®â ¯à®áâà á⢥ëå ª®®à¤¨ â (x; y; z) ¨¢à¥¬¥¨ t: U (x; y; z; t) = �g � r0; r0 = r0O + r, £¤¥ g{ ã᪮२¥ £à ¢¨â 樨.�ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬ ¯®â¥æ¨ «ì®áâì â¥ç¥¨© ¨¢¢®¤¨¬ ¯®â¥æ¨ « ᪮à®á⥩ �(x; y; z; t). �«¥¤ã-îé ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç ᮠ᢮¡®¤®© £à ¨æ¥© (¢ë-¢¥¤¥ ï, ª ¯à¨¬¥àã, ¢ ¬®®£à ä¨ïå � ਬ ®-¢ , �®ªãç ¥¢ ¨ �㪮¢áª®£® [11] ¨ �㪮¢áª®£®[5]) á¢ï§ë¢ ¥â �(x; y; z; t) ¨ ¬£®¢¥®¥ ¯®«®¦¥-¨¥ ᢮¡®¤®© £à ¨æë, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¥ ãà ¢¥¨¥¬�(x; y; z; t) = 0: �� = 0 ¢ Q(t), (4)@�@� = v0 � � +! � [r � �] S(t), (5)@�@� = v0 � � +! � [r � �]� �tjr�j �(t), (6)@�@t +12 (r�)2�r��(v0+!�r)+U = 0 �(t), (7)ZQ(t) dQ = const; (8)£¤¥ S(t) = @Q(t) \ @Q { ᬮç¥ë¥ á⥪¨ ¨ ¤®,� { ¢¥èïï ®à¬ «ì.�¨ ¬¨ç¥áª®¥ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ (7) ¡ §¨àã¥âáï ¨â¥£à «¥ � £à ¦ -�®è¨, ¯¥à¥¯¨á ®¬ ¤«ï¯®¤¢¨¦®© á¨á⥬ë Oxyz (á¬. ¤¨áªãáá¨î ¢ ª¨£¥�®ç¨, �¨¡¥«ì ¨ �®§¥ [23]):@�@t + 12(r�)2 �r� � (v0 + ! � r) ++U + p � p0� = 0 ¢ Q(t): (9)� ¢«¥¨¥ p �(t) ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï à ¢ë¬p0=const. �â¥£à «ì®¥ ãá«®¢¨¥ (8) (á®åà ¥¨¥®¡ê¥¬ ) ï¥âáï ãá«®¢¨¥¬ à §à¥è¨¬®á⨠ªà ¥¢®©§ ¤ ç¨ �¥©¬ (4){(6).�¢®«î樮 ï § ¤ ç ᮠ᢮¡®¤®© £à ¨æ¥©(4)-(8) âॡã¥â ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï �®è¨. �¨
®¯à¥¤¥«ïîâ ç «ìë© ¯à®ä¨«ì ᢮¡®¤®© £à ¨-æë �(t0) ¨ ®à¬ «ìãî ᪮à®áâì ¥¬ �(t0):�(t0; x; y; z) = �0(x; y; z); @�@� ����(t0) = �0(x; y; z);(10)£¤¥ �0(x; y; z) ¨ �0(x; y; z) ïîâáï ¨§¢¥áâ묨äãªæ¨ï¬¨.2. ���������� �����������������������ãáâì Q { ¯®«®áâì ¡ ª , à áᬮâà¥ ï ¢ ¤¥-ª à⮢®© ¯ à ¬¥âਧ 樨, ¨ Q� = (0; d) � D {樫¨¤à¨ç¥áª ï ®¡« áâì ¢ (z1; z2; z3)-ª®®à¤¨ â å,ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¥ª®â®à®© ªà¨¢®«¨¥©®© ª®®à-¤¨ ⮩ á¨á⥬¥. �ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® Q ¨ Q�{ �®¡®«¥¢áª¨¥ ®¡« á⨠(®âªàëâë¥ ®£à ¨ç¥ë¥«¨¥©®-á¢ï§ë¥ ®¡« á⨠¢ R3 á ªãá®ç®-£« ¤ª®©£à ¨æ¥©, á¬. ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥, ¯à¨-¢¥¤¥®¥ �¡í®¬ [13]), ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥¬ á«¥¤ãî饥¯àאַ¥ ¨ ®¡à ⮥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¬¥¦¤ã Q ¨ Q�:z1 = x; z2 = z2(x; y; z); z3 = z3(x; y; z);z2(�; �; �); z3(�; �; �) 2 C2(Q);x = z1; y = y(z1; z2; z3); z = z(z1; z2; z3);y(�; �; �); z(�; �; �) 2 C2( �Q�) (11)á ¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ¬ âà¨æ ¬¨ �ª®¡¨( § ¬ëª ¨ïå �Q ¨ �Q�), ¢ë஦¤ î騬¨áï ¥ ¡®-«¥¥ 祬 ®£à ¨ç¥®¬ ç¨á«¥ ¨§®«¨à®¢ ëå ®¤-®á¢ï§ëå ãç áâª å £à ¨æë @Q�, £¤¥J�(z1; z2; z3) = D(x; y; z)D(z1; z2; z3) == ���������� 1 0 0@y@z1 @y@z2 @y@z3@z@z1 @z@z2 @z@z3 ���������� = 0; J� 2 C2( �Q�) (12)¨ ¢ ¨§®«¨à®¢ ëå ᨣã«ïàëå â®çª å £à ¨-æ¥ @Q, £¤¥ J(x; y; z) = 1=J� = 1. �⨠ᨣã«ïà-ë¥ â®çª¨ ®â¤¥«¥ë ®â ¥¢®§¬ã饮© ᢮¡®¤®©£à ¨æë �0 : x = h.� ¤ «ì¥©è¥¬ ¬ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® ¯«®áª®áâìOyz ï¥âáï ª á ⥫쮩 ª @Q, â ª çâ® x � 0 ¤«ï(x; y; z) 2 Q ¨ h { ¬ ªá¨¬ «ì ï £¨¤à®áâ â¨ç¥áª 㡨 ¦¨¤ª®áâ¨. �«®áª®áâì Oz2z3 ᮢ¬¥é¥ á¨áªãááâ¢¥ë¬ ¤®¬ Q� (à¨á. 2).�.�.�㪮¢áª¨©, �.�.�̈ ¬®å 35
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 32 { 47
�¨á. 2. �®¯ãáâ¨¬ë¥ â¥§®àë¥ âà áä®à¬ 樨"ª®ª® ", ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ (13)2.1. �¨£ã«ïàë¥ â®çª¨ ¯à¨ ⥧®àëå âà á-ä®à¬ æ¨ïå á®á㤠¢ ¢¨¤¥ ª®ª® �祢¨¤®, çâ® á«¥¤ã¥â ¨§¡¥£ âì ᨣã«ïà®á⥩¯à¨ ⥧®àëå âà áä®à¬ æ¨ïå (11). �¤ ª®íâ® ¥¢®§¬®¦® ᤥ« âì ¤«ï á®á㤮¢ ¢ ¢¨¤¥ "ª®-ª® ". �¢ï§ ® íâ® á «®ª «ì묨 ¨¦¥© ¨ ¢¥àå-¥© 㣫®¢ë¬¨ â®çª ¬¨, âà áä®à¬¨à㥬묨 ¢ ¨á-ªãááâ¢¥ë¥ ¤® ¨ ¯®â®«®ª. �â á¨âã æ¨ï ¨§®-¡à ¦¥ à¨á. 2 ¤«ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®© ®¡« áâ¨Q = f(x; y; z) : py2 + z2 = f(x); f(x) > 0; f 2C2(0; d); x 2 (0; d); f(0) = f(d) = 0g ¨ ⥧®à®©âà áä®à¬ 樨z1 = x; z2 = yf(x) ; z3 = zf(x) ; (13)®â®¡à ¦ î饩 Q ¢ ªà㣮¢®© 樫¨¤àQ� = (0; d)�f(z2)2 + (z3)2 < 1g.�à áä®à¬ æ¨ï (13) ¨ ¥¥ ®¡à 饨¥ x = z1; y =z2f(z1); z = z3f(z1) ®¡« ¤ îâ ¯®«®¦¨â¥«ì®®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ¬ âà¨æ ¬¨ �ª®¡¨ (¨, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, �ª®¡¨ ¬¨):J� = 1 0 0f 0(z1) f(z1) 0f 0(z1) 0 f(z1) = f2(z1) > 0;(14)(J = 1J� > 0) ¢® ¢ãâ२å â®çª å Q ¨ Q�. �¤- ª®, J� ¥¨§¡¥¦® à ¢ë ã«î ¤¥ ¨ ¯®â®«ª¥(z1 = 0 ¨ z1 = d) 樫¨¤à Q�.2.2. �¥§®à®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¢ ਠ樮®£®¯à¨æ¨¯ �¥©â¬¥ �¨£ �㪮¢áª®£® ¨ �̈ ¬®å¨ [8] ¤®ª §ë¢ ¥â á«¥-¤ãîéãî ⥮६ã, ¢ëà ¦ îéãî ¬ ⥬ â¨ç¥áªãî
ä®à¬ã«¨à®¢ªã ¢ ਠ樮®£® ¯à¨æ¨¯ �¥©â¬¥- ¤«ï ¯«¥áª ¨ï ¦¨¤ª®á⨠¢ ¡ ª å á«®¦®© £¥®-¬¥âਨ: �ãáâì Q { ®¡« áâì �®¡®«¥¢ ¨ (t1; t2){ ¯à®¬¥¦ã⮪ ¢à¥¬¥¨. �ãáâì ¥à ¢¥á⢮�(x; y; z; t) < 0; t 2 (t1; t2) ¢ë१ ¥â § ¢¨á¨-¬ë¥ ®â ¢à¥¬¥¨ �®¡®«¥¢áª¨¥ ¯®¤®¡« á⨠Q(t) �Q. �᫨ áãé¥áâ¢ã¥â ¥§ ¢¨á¨¬ ï ®â ¢à¥¬¥¨®¡« áâì �®¡®«¥¢ ~Q, â.ç. �Q(t) � ~Q � Q ¨�(x; y; z; t); �(x; y; z; t) 2 C2( ~Q� [t1; t2]), ⮣¤ § -¤ ç (4)-(8) ï¥âáï ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ãá«®¢¨¥¬ íªá-â६㬠¤«ï äãªæ¨® « W (�; �) = Z t2t1 Ldt;L = ZQ(t)(p� p0)dQ = �� ZQ(t) h@�@t + 12(r�)2 ��r� � (v0 +! � r) + UidQ; (15) ¯à®¡ëå äãªæ¨ïå��jt1;t2 = 0; ��jt1;t2 = 0: (16)�à¨æ¨¯ �¥©â¬¥ -�îª ¨á¯®«ì§ã¥â � £à -¦¨ ¢ ä®à¬¥ ¨â¥£à « ¤ ¢«¥¨ï (á¬. ®¡§®àë�㪮¢áª®£® ¨ �̈ ¬®å¨ [8] ¨ � «â¨á¥ ¨ ¤à. [21]).�®¯ãáâ¨¬ë¥ â¥§®àë¥ âà áä®à¬ 樨 á®åà ï-îâ ¨¢ ਠâ묨 ª ª � £à ¦¨ , â ª ¨ äãª-樮 « �¥©â¬¥ -�îª W = W �:L � L� = �� ZQ�(t) h@��@t + 12(r���)2 ��r��� � (v0 + ! � r)� + U�iJ�dQ� (17)¯à¨ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ⥧®à¥gij = @r@zi @r@zj ; i; j = 1; 2; 3; (18)á®åà ïî饬 ç «ìãî ¯à®áâà á⢥ãî ¬¥-âਪã dS2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 == gij(z1; z2; z3)dzidzj; (19)dQ = J�dQ� (dQ� = dz1dz2dz3):�¤¥áì Q�(t) { âà áä®à¬¨à®¢ ï ®¡« áâìQ(t),U� = U (x(z1; z2; z3); y(z1; z2; z3); z(z1; z2; z3); t);�� = �(x(z1; z2; z3); y(z1; z2; z3); z(z1; z2; z3); t);r� = r��� = �g1;j @��@zj ; g2;j @��@zj ; g3;j @��@zj � (20)¨ (v0+!�r)� ®¡®§ ç ¥â ¯à®¥ªæ¨¨ ª®®à¤¨ â-ë¥ ®àâë ªà¨¢®«¨¥©®© ª®®à¤¨ ⮩ á¨á⥬ë;fgijg { ª®¢ ਠâë© â¥§®à ª fgijg.36 �.�.�㪮¢áª¨©, �.�.�̈ ¬®å
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 32 { 472.3. �®¤ «ì ï á¨á⥬ ¢ á«ãç ¥ ¯®áâ㯠⥫ì-®£® ¤¢¨¦¥¨ï ®á¨â¥«ï�।¯®« £ ï âãà «ìãî ¯ à ¬¥âਧ æ¨î ᢮-¡®¤®© £à ¨æë (2), ¬ë à ᪫ ¤ë¢ ¥¬ f�(z2; z3; t)¨ ¯®â¥æ¨ « ᪮à®á⥩ ��(z1; z2; z3; t) (¤«ï ¯®áâã-¯ ⥫ìëå ¤¢¨¦¥¨© ®á¨â¥«ï ! = 0) ¢ àï¤ë �ã-àì¥ f� = z10 + �0(t) + 1Xi=1 �i(t)fi(z2; z3); (21)�� = v0 � r + 1Xn=1Rn(t)�n(z1; z2; z3); (22)£¤¥ z10 = h, ffi(z2; z3)g ¨ f�n(z1; z2; z3)g á®áâ ¢«ï-îâ ¯®«ë© ¡®à äãªæ¨© ¥¢®§¬ã饮© ¯®-¢¥àå®á⨠��0 ¨ ¢ Q ᮮ⢥âá⢥®. �®¤áâ ¢«ïï(21), (22) ¢ ¢ ਠ樮ãî § ¤ çã �W � = 0 ¨ ¯à®-¨§¢¥¤ï ¢ëª« ¤ª¨, á â®ç®áâìî ¤® ⥧®à®£® ¢¨¤ ᮢ¯ ¤ î騥 á ¢ëª« ¤ª ¬¨ à ¡®âë �㪮¢áª®£® [5](¯à¥¤«®¦¥ë¥ ¤«ï 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ¯®«®á⥩), ¯®-«ãç ¥¬ á«¥¤ãîéãî ¬®¤ «ìãî á¨á⥬ã:ddtAn �Xk AnkRk = 0; n = 1; 2; ::: ; (23)Xn _Rn@An@�i + 12Xnk @Ank@�i RnRk + ( _v01 � g1)�i1�i ++ ( _v02 � g2)�i2 + ( _v03 � g3)�i3 = 0; i = 1; 2; : : : ;(24)á¢ï§ë¢ îéãî ®¡®¡é¥ë¥ ª®®à¤¨ âë Rn(t) ¨�i(t), ¢ª«îç¥ë¥  ¨ ¥ï¢® ç¥à¥§ ¨â¥£à «ëAn = � ZD Z f�0 �nJ�dz1! dz2dz3;Ank = � ZD Z f�0 (r���n;r���k)J�dz1! dz2dz3;�i1 = Z��0 (fi)2J�dz2dz3; (25)�i2 = � Z��0 y(z1; z2; z3)fiJ�dz2dz3;�i3 = � Z��0 z(z1; z2; z3)fiJ�dz2dz3:3. �������� ���������� ¤ ç ® ¯«¥áª ¨¨ ¦¨¤ª®á⨠¢ ¥¯®¤¢¨¦®¬(v = ! = 0) 樫¨¤à¨ç¥áª®¬ á®á㤥 ¬®¦¥â¡ëâì «¨¥ ਧ®¢ ®â®á¨â¥«ì® £¨¤à®áâ â¨ç¥-᪮£® à ¢®¢¥á¨ï. �ਠí⮬ ®à¬ «ì®¥ ¯à¥¤-áâ ¢«¥¨¥ ᢮¡®¤®© £à ¨æë ï¥âáï ®¤¨¬ ¨å
ãá«®¢¨© «¨¥ ਧ 樨. �à®æ¥¤ãà ¯à¥¤¯®« £ -¥â (¢ (z1; z2; z3)-ª®®à¤¨ â å) j��j � jf� � hj �jr��j � jr�f�j = " � 1 ¨ ।ãæ¨àã¥â § ¤ -çã ¤® ç«¥®¢ ¯®à浪 O("). �®á«¥ í⮣® ¬ë ¯®-áâ㫨à㥬 �� = ip���(z1; z2; z3) exp(pi�t); f� =exp(ip�t)F (z1; z2) ¨ ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãîéãî ᯥª-âà «ìãî § ¤ çã ® ᮡá⢥ëå ª®«¥¡ ¨ïå á®á¯¥ªâà «ìë¬ ¯ à ¬¥â஬ � ��0 : z1 = h,���� = 0 ¢ Q�0; @��@�� = 0 S�0 ;��� = @��@�� ��0; Z��0 @��@�� J�dz2dz3 = 0; (26)£¤¥ Q�0 = (0; h) � D { âà áä®à¬¨à®¢ ë© ¥-¢®§¬ãé¥ë© ®¡ê¥¬, S�0 { ®¡à § ᬮç¥ëå áâ¥-®ª ¡ ª ¢ £¨¤à®áâ â¨ç¥áª®¬ à ¢®¢¥á¨¨ ¨ ��0{ âà áä®à¬¨à®¢ ï ¥¢®§¬ãé¥ ï ¯®¢¥àå-®áâì. �஬¥ ⮣®, ¬ë ®¡®§ 稫¨��'� = �' = gij � @2'�@zi@zj � �kij @'�@zk � ;@��@�� = r� � � = gij @��@zj �i;£¤¥ �i(z1; z2; z3); i = 1; 2; 3 { ¯à®¥ªæ¨¨ ª®¢ à¨- âë¥ ®àâë ¢ á¨á⥬¥ (z1; z2; z3) ¨ �lkl { ⥧®àë�à¨áâ®ä䥫ï�kij = 12g�k�@gi�@zj � @gi�@zi � @gij@zk � ; i; j; k = 1; 2; 3:�᫨ J� > � > 0 § ¬ëª ¨¨ �Q�0, ᯥªâà «ì- ï § ¤ ç (26) ¨§®¬®àä å®à®è® ¨§¢¥á⮩ ᯥª-âà «ì®© § ¤ ç¥�� = 0 ¢ Q0; @�@� = 0 S0;@�@� = �� �0; Z�0 @�@� dy dz = 0; (27)áä®à¬ã«¨à®¢ ®© ¢ �¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨- â ¨ @Q�0 = S�0 [��0. � ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ⥧®à- ï âà áä®à¬ æ¨ï ¬®¦¥â ¨¬¥âì ¨§®«¨à®¢ ë¥á¨£ã«ïàë¥ â®çª¨ ¨ @Q� 6= S� [ ��0 (á ¥ã«¥¢®©¯®¢¥àå®á⮩ ¬¥à®© �(@Q�nS�) 6= 0). �â® ®§ -ç ¥â, çâ® í««¨¯â¨ç¥áª ï ᯥªâà «ì ï ¯à®¡«¥¬ (26) ¢ë஦¤ ¥âáï @Q�nS�, £¤¥ ¥â £à ¨ç®-£® ãá«®¢¨ï. �«¥¤ãî騩 ¯ à £à ä ãáâ ¢«¨¢ -¥â ᯥªâà «ìë¥ â¥®à¥¬ë ¤«ï í⮣® ᨣã«ïண®á«ãç ï.3.1. �¯¥ªâà «ìë¥ â¥®à¥¬ë�¥®à¥¬ 1. �ãáâì äãªæ¨¨ ; ' 2 C2(Q0) ¨-⥣à¨àã¥¬ë ¢¬¥áâ¥ á ª¢ ¤à â ¬¨ £à ¤¨¥â®¢ ¨�.�.�㪮¢áª¨©, �.�.�̈ ¬®å 37
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 32 { 47 �; '� 2 C2(Q�0) ¨å ⥧®àë¥ ®¡à §ë. � ¬ë-ª ¨¥ ¬®¦¥á⢠f �g ¢ ¬¥âਪ¥, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®©áª «ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬h'; i = ZQ0((r';r ) + ' )dQ == ZQ�0 ((r�'�;r� �) + '� �)J�dQ� = (28)= h'�; �i�; jj �jj2 = h �; �i�;á®áâ ¢«ï¥â �¨«ì¡¥à⮢® ¯à®áâà á⢮W 1J� ;2(Q�0) = f�� : jj��jj2� < 1g, ª®â®à®¥ ¨§®¬¥-âà¨ç¥áª¨ íª¢¨¢ «¥â® �®¡®«¥¢áª®¬ã ¯à®áâà -áâ¢ã W 12 (Q0) ¨ ('; ) = Z�0(' )dydz == Z��0 ('� �)J�dz2dz3 = ('�; �)�; (29)['; ] = ZQ0(r';r )dQ == ZQ�0 (r�'�;r� �)J�dQ� = ['�; �]�: (30)�஬¥ ⮣®, ¤«ï £« ¤ª¨å äãªæ¨© '�; � 2W 1J� ;2(Q�0)ZQ� ('��� � +r�'�r� �)dQ� = Z@Q�nG '� @ �@�� d�;(31)£¤¥ G = f(z1; z2; z3) : J� = 0g.�®ª § ⥫ìá⢮. �¢ ¬¥âà¨ç¥áª¨å ¯à®áâà -á⢠W 12 (Q0) ¨W 1J�;2(Q�0) ïîâáï ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨íª¢¨¢ «¥â묨 ª ª § ¬ëª ¨ï ®¤®£® ®á¨â¥«ï ¢íª¢¨¢ «¥âëå ¬¥âਪ å. �®à¬ã«ë (28)-(30) ¢¥à-ë ¤«ï £« ¤ª¨å äãªæ¨© ¨å ®á¨â¥«ï, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà á⢠¨¬¥îâ íª¢¨¢ «¥â-ë¥ áª «ïàë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï (28).�«¥¤ãî騥 ¢ëª« ¤ª¨ ¤®ª §ë¢ îâ ä®à¬ã«ã �à¨- (31):ZQ�0 ('��� � +r�'�r� �)J�dQ� == ZQ0('� +r'r )dQ = Z@Q0 '@ @� d� == Z@Q0n(J�=0) '@ @� d� == Z@Q�0nf(z1;z2;z3):J�=0g '� @ �@�� d�:�¥®à¥¬ 2 �¯¥ªâà «ìë¥ £à ¨çë¥ § ¤ ç¨ (26)¨ (27) íª¢¨¢ «¥âë ¤®¯ãá⨬ëå ª®¬¯ ªâëå
®á¨â¥«ïå DT� = f�� 2 W 1J�;2(Q�0) : @��@��2 L2(��0); R��0 ��J�dz2dz3 = 0g ¨ DT = f� 2W 21 (Q0) : @�@� 2 L2(�0); R�0 �dydz = 0g ᮮ⢥â-á⢥®.�®ª § ⥫ìá⢮. � áᬮâਬ ®¯¥à â®à T �, ®¯à¥-¤¥«ï¥¬ë© § ¤ 祩 �¨à¨å«¥-�¥©¬ :��'� = 0 ¢ Q�0; '� = u� ��0; @'�@� = 0 S�0 ;â ª çâ® T �u� = @'�@� j��0 ; '� 2 DT� :�¯¥ªâà «ì ï ¯à®¡«¥¬ (26) ¨¬¥¥â ⮣¤ á«¥¤ã-îéãî ®¯¥à â®àãî ¯®áâ ®¢ªã:T �u� = �u�; u� 2 �L2(��0) = f��j��0 : �� 2 DT�g¨, ¢á«¥¤á⢨¥ (31), ¢ ਠ樮ãî ¯®áâ ®¢ªã['�; ��]� � �('�; ��)� = 0; �� 2 DT� ; (32)ª®â®à ï íª¢¨¢ «¥â § ¤ ç¥['; �]� �('; �) = 0; � 2 DT :3.2. �¯¥ªâà «ì ï § ¤ ç ¤«ï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç-ëå ¡ ª®¢�®£¤ ¡ ª ¨¬¥¥â ®á¥á¨¬¬¥âà¨çãî ä®à¬ã, ᯥª-âà «ì ï § ¤ ç (27) ¬®¦¥â ¡ëâì ᢥ¤¥ ª ¯®á«¥-¤®¢ ⥫ì®á⨠¤¢ã¬¥àëå ᯥªâà «ìëå ªà ¥¢ëå§ ¤ ç ¢ ¬¥à¨¤¨® «ì®¬ á¥ç¥¨¨ G á ¯®¬®éìî ¯¥-à¥å®¤ ª 樫¨¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ âx = z1; y = z2 cos z3; z = z2 sin z3; (33)ᮢ¬¥é¥®£® á ®â¤¥«¥¨¥¬ 㣫®¢®© ¯¥à¥¬¥®©�(z1; z2; z3) = m(z1; z2)cossinmz3; m = 0; 1; 2; : : : :(34)
�¨á. 3. �á室®¥ ¨ âà áä®à¬¨à®¢ ®¥¬¥à¨¤¨® «ìë¥ á¥ç¥¨ï38 �.�.�㪮¢áª¨©, �.�.�̈ ¬®å
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 32 { 47�⨠ᯥªâà «ìë¥ § ¤ ç¨ ¨¬¥îâ á«¥¤ãî騩¢¨¤: @@z2 (z2 @ m@z1 ) + @@z2 (z2 @ m@z2 )� m2z2 m = 0 ¢ G;@ m@z2 = � m L0;@ m@� = 0 L1; m = 0; 1; 2; : : :; (35)j m(z1; 0)j <1; ZL0 0z2dz2;£¤¥ L0 ¨ L1 { £à ¨æë G ª ª íâ® ¯®ª § ® à¨á. 3 ¨ � { ¢¥èïï ®à¬ «ì ª L1, ¬ ⥬ â¨ç¥-᪮¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ª®â®à®© ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¯à¥¤¥-«¥ë¬ ¢ëè¥ ¤«ï § ¤ ç¨ (27). �à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï z2 = 0 § ¬¥ïîâáï ãá«®¢¨¥¬ ®£à ¨ç¥®áâ¨,¯®áª®«ìªã ãà ¢¥¨¥ ¢ë஦¤ ¥âáï x2 = 0. �®-á«¥¤¥¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãá«®¢¨¥ (27) ¢â®¬ â¨ç¥áª¨¢ë¯®«ï¥âáï ¤«ï m 6= 0, ® ¥ ¤«ï m = 0. �¥®-à¨ï ᯥªâà «ìëå § ¤ ç (35) ¯à¨¢¥¤¥ ¢ ª¨£ å�¥é¥ª® ¨ ¤à. [12] ¨ �㪮¢áª®£®, � àïª ¨ �®¬ -४® [6]. �¯¥ªâàë íâ¨å § ¤ ç ä®à¬¨àãîâ ¢¬¥áâ¥á¯¥ªâà ¨á室®© § ¤ ç¨ (27).�¡« áâì G ¤®¯ã᪠¥â ⥧®àãî âà áä®à¬ -æ¨î z1 = x1; z2 = �(x1; x2); (z3 = x3); (36)®â®¡à ¦ îéãî ¥¥ ¢ ¯àאַ㣮«ì¨ª G�, ª ª í⮯®ª § ® à¨á. 3, £¤¥ L0 ! L�0; L1 ! L�1.�â® ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ᨣã«ïà®áâì¢ ã£«®¢ëå â®çª å O, ®¡ãá«®¢«¥ãî ®â®¡à ¦¥¨-¥¬ ¥¥ ¢ £à ¨æã L�2. �¯¥ªâà «ì ï § ¤ ç ¨¬¥¥â⮣¤ á«¥¤ãî騩 ¢¨¤:p@2 @x21 + 2q @2 @x1@x2 + s@2 @x22 +� @p@x1 + @q@x2� @ @x1++� @s@x2 + @q@x1� @ @x2 � cm2 = 0 ¢ G�;p @ @x1 + q @ @x2 = � L�0;s @ @x2 + q @ @x1 = 0 L�1; (37)Z x200 0� @�@x2dx2 = 0; m = 0; 1; 2; : : :;£¤¥ p(x1; x2) = � @�@x2 ; q(x1; x2) = pa;s(x1; x2) = p(a2 + b2); a(x1; x2) = @x2@y ; (38)b(x1; x2) = @x1@� ; c(x1; x2) = 1� @�@x2 :
3.3. �¯¥ªâà «ìë¥ § ¤ ç¨ ¤«ï ªà㣮¢®£® ª®¨-ç¥áª®£® ¡ ª �ë à áᬠâਢ ¥¬ ᯥªâà «ìãî § ¤ çã ¤«ï «¨-¥©ëå ¯«¥áª ¨© ¢ ®¡à ⮬ ªà㣮¢®¬ ª®¨ç¥-᪮¬ ¡ ª¥ á 㣫®¬ à á⢮à 2�, ¨§®¡à ¦¥®¬ à¨á. 4. � ç «® ª®®à¤¨ â O à ᯮ«®¦¥® ¢ 㣫®-¢®© â®çª¥, ®áì Ox ¯à ¢«¥ ¢¢¥àå ¨ ᮢ¬¥é¥ á®áìî ᨬ¬¥âਨ. �⥪¨ ®¯¨áë¢ îâáï ãà ¢¥¨-¥¬ x = ctg�py2 + z2: �¥¢®§¬ãé¥ ï ᢮¡®¤ ï£à ¨æ x = h = x10 ¨¬¥¥â ä®à¬ã ªàã£ à ¤¨ãá r0 = htg� ¨ á¢ï§ë¢ ¥âáï á ¬ ªá¨¬ «ì®© £«ã¡¨®©¢ áâ â¨ç¥áª®¬ á®áâ®ï¨¨ h.�®¦¥á⢮ ᯥªâà «ìëå ¯à®¡«¥¬ (37), ¯®«ã-ç¥ëå ¨§ (27) á ¯®¬®éìî १ã«ìâ¨àãî饩 â¥-§®à®© âà áä®à¬ 樨 (33) + (36)x = x1; y = x1x2 cos x3; z = x1x2 sinx3 (39)¨¬¥¥â á«¥¤ãî騩 ¢¨¤:x21x2@2 @x21 � 2x1x22 @2 @x1@x2 + x2(1 + x22)@2 @x22 ++(1 + 2x22) @x2 � m2x2 = 0 ¢ G�; m = 0; : : : ; (40)x21x2 @ @x1 � x1x22 @ @x2 = �x21x2 L�0; (41)x2(x22 + 1) @ @x2 � x1x22 @ @x1 = 0 L�1; (42)Z x200 0x2dx2 = 0; (43)£¤¥ G� = f(x1; x2) : 0 � x1 � x01; 0 � x2 � x20g,x20 = tg� ¨ a = �x2x1 ; b = 1x1 ; p = x21x2; q =�x1x22; s = x2(x22 + 1); c = 1x2 : (�¥ª®â®àë¥ ¢á¯®¬®-£ ⥫ìë¥ ä®à¬ã«ë ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ �ਫ®¦¥¨¨ A).4. ��������� �������������� �������� ���������� ����4.1. �¨á«¥®- «¨â¨ç¥áª¨¥ à¥è¥¨ï ᯥª-âà «ìëå § ¤ ç�᫨ v(m)k (x2) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨îx2(1 + x22)v00k + (1 + 2x22 � 2kx22)v0k + [k(k � 1)x2��m2x2 ]vk = 0; jvk(0)j <1; m = 0; 1; 2 : : :; (44)w(m)k = xk1v(m)k (x2) { «¨â¨ç¥áª¨¥ à¥è¥¨ï ãà ¢-¥¨ï (40). �®£¤ k { 楫®¥ ç¨á«®, ¬®¦¥á⢮�.�.�㪮¢áª¨©, �.�.�̈ ¬®å 39
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 32 { 47
�¨á. 4. �᪨§ ª®¨ç¥áª®£® ¡ ª , ¥£® ¬¥à¨¤¨® «ì®£® á¥ç¥¨ï G ¨ âà áä®à¬¨à®¢ ®© ®¡« á⨠G�;x10 = h; x20 = tg�.fv(m)k g á®á⮨⠨§ ¯®«¨®¬®¢, ¢ëç¨á«ï¥¬ëå ¯® á«¥-¤ãî騬 ४ãàá¨¢ë¬ ä®à¬ã« ¬:v(0)0 = 1; v(0)1 = 1; v(1)1 = x2;(k +m+ 1)v(m)k+1 == (2k + 1)v(m)k � (k �m)(1 + x22)v(m)k�1;(k +m+ 1)x2v(m+1)k == 2(m+ 1)[(1 + x22)v(m)k�1 � v(m)k ];dv(m)kdx2 = 1x2 [kv(m)k � (k �m)v(m)k�1]:�ë ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ¯à¨¡«¨¦¥ë¥ à¥è¥¨ï ᯥª-âà «ì®© § ¤ ç¨ (40)-(42) ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¯® w(m)k : m = qXk=m a(m)k w(m)k (x1; x2) = qXk=m a(m)k xk1v(m)k (x2);(45)£¤¥ ãá«®¢¨¥ á®åà ¥¨ï ®¡ê¥¬ (43) 㤮¢«¥â¢®àï-¥âáï ¯ã⥬ ¯®¤áâ ®¢ª¨ v(0)k = v(0)k � ck,ck = 2x220 Z x200 w(0)k (x10; x2)x2dx2 = xk10v(1)k+1(x20)x20 :�¥¨§¢¥áâë¥ ª®íää¨æ¨¥âë a(m)k ¬®£ãâ ¡ëâì ©-¤¥ë ¨§ ¢ ਠ樮®£® ãà ¢¥¨ïJ = ZG� hp�@ m@x1 �2 + 2q@ m@x1 @ m@x2 + s� m@x2�2 ++m2x2 2midx1dx2 � � ZL�0 p 2mdx2; (46)¢ë¢¥¤¥®£® ¨§ (32). �® ¯à¥®¡à §ã¥â ¢ëà ¦¥¨ï(40)-(42) ª ᯥªâà «ì®© ¬ âà¨ç®© § ¤ ç¥detj�(m)ij � �m�(m)ij j = 0; (47)
� ¡«. 1. �ਡ«¨¦¥®¥ �mn versus q ¢ (45).�®¨ç¥áª ï ®¡« áâì 㣫 à ᢮à 2� = �=2.q �01 �11 �12 �21 �223 7.1999 1.0 16.960 1.76754 25.407064 3.153 1.0 5.4313 1.76749 7.714645 2.93888 1.0 4.5837 1.76738 6.096186 2.93077 1.0 4.5143 1.76738 5.915827 2.92728 1.0 4.4915 1.76738 5.836028 2.92659 1.0 4.4839 1.76738 5.831609 2.92657 1.0 4.4831 1.76838 5.8274310 2.92657 1.0 4.4830 1.76838 5.8269311 2.92657 1.0 4.4830 1.76838 5.82689£¤¥ �(m)ij ¨ �(m)ij (¯à¨¨¬ ï ¢® ¢¨¬ ¨¥ @w(m)k@x1 =kx1w(m)k ) ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëç¨á«¥® ¯® ä®à¬ã« ¬�(m)ij = hi+j+1h(i�m) Z x200 v(m)i�1v(m)j x2dx2 ++[iv(m)i � (i�m)(1 + x220)v(m)i�1 ]v(m)j ��x2=x20i+ j + 1 i; (48)�(m)ij = hi+j+2 Z x200 v(m)i v(m)j x2dx2: (49)� âà¨ç ï ᯥªâà «ì ï § ¤ ç (47) ¨¬¥¥â¬®¦¥á⢮ ᮡá⢥ëå § 票©, ç¨á«® ª®â®-àëå § ¢¨á¨â ®â à §¬¥à®á⨠q ¢ § âæ¥ (45).�«ï «î¡®£® m í⨠ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï �mn¡ã¤ãâ 㯮à冷ç¥ë ¢ ¯®à浪¥ ¢®§à áâ ¨ï ¯®¨¤¥ªáã n = 1; 2; : : :. �®¡áâ¢¥ë¥ § ç¥-¨ï ¨ ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®à (47) ®â¢¥ç îâ ᮡ-áâ¢¥ë¬ ç áâ®â ¬ (�mn = pg�mn) ¨ ᮡ-áâ¢¥ë¬ ¬®¤ ¬ ( mn(x1; x2; x3) = Pqk=m a(mn)k40 �.�.�㪮¢áª¨©, �.�.�̈ ¬®å
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 32 { 47w(mn)k (x1; x2)cossinmx3), ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬ ᯥªâà «ì®©§ ¤ 祩 (26). �®¢¥àå®áâë¥ á®¡áâ¢¥ë¥ ä®à¬ë¢ëç¨á«ïîâáï ¯® ä®à¬ã«¥fmn(x2; x3) = �mng mn(x10; x2; x3): (50)�¥¬¥©á⢮ äãªæ¨© ffmng ï¥âáï ¯®«ë¬ ¢L2(��0). �ï¤ë�ãàì¥ ¯® fmn á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, § -¢¨áï騬¨ ®â ¢à¥¬¥¨ (21), ®¯à¥¤¥«ïîâ í¢®«îæ¨î᢮¡®¤®© £à ¨æë. �®â¥æ¨ « ᪮à®á⥩ ¬®¦¥â¡ëâì à §«®¦¥ ¢ àï¤ë �ãàì¥ ¯® mn(x1; x2; x3).�।«®¦¥ë© «£®à¨â¬ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ᮡá⢥-ëå ç áâ®â ¨ ä®à¬ ï¥âáï ஡ áâë¬ ¨ ç¨á«¥®íä䥪⨢ë¬. �£® á室¨¬®áâì ¯à®¤¥¬®áâà¨à®-¢ ¢ â ¡«. 1. �室¨¬®áâì, ¯® ¢á¥© ¢¥à®ïâ®áâ¨,¬®¦¥â ¡ëâì ã«ãçè¥ , ¥á«¨ ¯à¨ïâì ¢® ¢¨¬ ¨¥,çâ® £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ (41) ¤®¯ã᪠¥â à §¤¥«¥¨¥¯¥à¥¬¥ëå x1 ¨ x2. �â® ¤®¡ ¢«ï¥â ª ãà ¢¥¨î(44) á«¥¤ãî饥 £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥:v0(x20) = k x201 + x220v(x20): (51)�à ¢¥¨¥ (44) á £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬ (51) á®áâ -¢«ïîâ ᯥªâà «ìãî § ¤ çã ᮠᯥªâà «ìë¬ ¯ -à ¬¥â஬ k ¢ ãà ¢¥¨¨ ¨ £à ¨ç®¬ ãá«®¢¨¨ ®¤-®¢à¥¬¥®. �¤¥áì k ¥ ï¥âáï 䨪á¨à®¢ ë¬æ¥«ë¬ ç¨á«®¬, ¨ ¡ §¨á w(m)k (x1; x2) ¢ à¥è¥¨¨ (45)㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î �¥©¬ ¢¤®«ì á⥮ª ¡ -ª . �¥«¨¥© ï ¬®¤ «ì ï ⥮à¨ï �㪮¢áª®£® [5]âॡã¥â ¢ë¯®«¥¨ï â ª®£® ãá«®¢¨ï ¯®¤ ¨ ¤ «¨-¨¥© ª®â ªâ ¦¨¤ª®á⨠¢ ¥¢®§¬ã饮¬ á®áâ®-﨨.4.2. �¥«¨¥© ï ¬®¤ «ì ï á¨á⥬ �ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¯ï⨬®¤®¢ë© § âæ �㪮¢áª®£®[5]f�(x2; x3; t) = x10 + f(x2; x3; t) = x10 + �0(t) ++p0(t)f0(x2) + [r1(t) sinx3 + p1(t) cos x3]f1(x2) ++[r2(t) sin 2x3 + p2(t) cos 2x3]f2(x2); (52)'(x1; x2; x3) = P0(t) 0(x1; x2) ++[R1(t) sinx3 + P1(t) cos x3] 1(x1; x2) ++[R2(t) sin 2x3 + P2(t) cos 2x3] 2(x1; x2) (53)¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¯à¨¡«¨§¨âì ¯®¢¥àå®áâì ¨ ¯®â¥-æ¨ « ᪮à®á⥩. �̈ ¯®â¥§ ¯ï⨬®¤®¢®£® § âæ ¡ë« ¯®¤â¢¥à¦¤¥ ¤«ï ¯«¥áª ¨© ¢ ªà㣮¢®¬ æ¨-«¨¤à¨ç¥áª®¬ ¡ ª¥. �à£ã¬¥â æ¨ï â ª®£® ¢ë¡®-à ¡ §¨àã¥âáï áâனª¥ �®¨á¥¥¢ [9], ª®â®-à ï ãáâ ¢«¨¢ ¥â ¯à¥¤¯®ç⥨¥ ¤«ï ¨§è¨å ᮡ-á⢥ëå áâ®ïç¨å ¢®« (¬®¤ «ìëåäãªæ¨© r1; R1
¨ p1; P1). �à㣨¥ ¬®¤ «ìë¥ äãªæ¨¨ ¢ § 楨¬¥îâ ¢â®à®© ¯®à冷ª ¬ «®áâ¨, â.¥.r1 � R1 � p1 � P1 � �1=3;p0 � P0 � r2 � R2 � p2 � P2 � �2=3; (54)£¤¥ � { ®â®è¥¨¥ ¬¯«¨âã¤ë £ ମ¨ç¥á-ª¨å £®à¨§®â «ìëå ª®«¥¡ ¨© (sway) á®á㤠ªmax(x10; x20). � ᮮ⢥âá⢨¨ á áâனª®© �®-¨á¥¥¢ , ᥪã«ï஥ ãà ¢¥¨¥ ¤®«¦® ¡ëâì ᨬ-¯â®â¨ç¥áª¨ ãá¥ç¥® ¤® ç«¥®¢ O(�). �®á«¥ ¯®¤-áâ ®¢ª¨ ãà ¢¥¨© (52) ¨ (53) ¢ ®¡éãî ¬®¤ «ì-ãî á¨á⥬ã (23)-(24) ¨ ãç¥â (54) ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¢â¥à¬¨ å O(�) á«¥¤ãîéãî ¥«¨¥©ãî ¬®¤ «ìãîá¨á⥬ã, á¢ï§ë¢ îéãî p1; r1; p0; r2 ¨ p2 (¢ë¢®¤ ¢¥ª®â®àëå ¤¥â «ïå ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ �ਫ®¦¥¨¨ B):�1(�r1 + �21r1) + d1(r21�r1 + r1 _r21 + r1p1�p1 + r1 _p21) ++d2(p21�r1 + 2p1 _r1 _p1 � r1p1�p1 � 2r1 _p21)��d3(p2�r1 � r2�p1 + _r1 _p2 � _p1 _r2) ++d4(r1�p2 � p1�r2) + d5(p0�r1 + _r1 _p0) + d6r1�p0 ++w1dk1r1(r21 + p21) + 2dk2w1(p1r2 � r1p2) ++2dk3w1r1p0 + w2(2dk5r1p1 + dk6r2) + w3[�++dk4p0 + dk5(p21 + 3r21)� dk6p2 + dk7p20] = 0; (55)�1(�p1 + �21p1) + d1(p21�p1 + p1 _p21 + r1p1�r1 + p1 _r21) ++d2(r21�p1 + 2r1 _r1 _p1 � r1p1�r1 � 2p1 _r21) ++d3(p2�p1 + r2�r1 + _r1 _r2 + _p1 _p2) ��d4(p1�p2 + r1�r2) + d5(p0�p1 + _p1 _p0) + d6p1�p0 ++w1dk1p1(r21 + p21) + 2dk2w1(r1r2 + p1p2) ++2dk3w1p1p0 +w3(2dk5r1p1 + dk6r2) +w2[�++dk4p0 + dk5(r21 + 3p21) � dk6p2 + dk7p20] = 0; (56)�0(�p0 + �20p0) + d6(r1�r1 + p1�p1) + d8( _r21 + _p21) ++w1dk3(r21 + p21) +w2[dk4p1 + 2dk7p1p0 ++d9p1(r21 + p21) + dk12(r1r2p1p2)] + w3[dk4r1 ++2dk7r1p0 + dk9r1(r21p21) + dk12(p1r2 � r1p2)] = 0;(57)�2(�r2 + �22r2)� d4(p1�r1 + r1�p1)� 2d7 _r1 _p1 ++2w1dk2r1p1 + w2[dk6r1 + 2dk8p1r2 + 2dk10r1p21 ++dk11r1(r21 + p21) + dk12r1p0] + w3[dk6p1 + 2dk8r1r2 ++2dk10r21p1 + dk11p1(r21 + p21) + dk12p1p0] = 0; (58)�2(�p2 + �22p2) � d4(r1�r1 � p1�p1)� d7( _r21 � _p21)��w1(dk2r21 � p21) +w2[dk6p1 + 2dk8p1p2 ++dk10(p21 � r21) + dk11p1(r21 + p21) + dk12p1p0] ++w3[�dk6r1 + 2dk8r1p2 + dk10r1(p21 � r21)��dk11r1(r21 + p21) � dk12r1p0] = 0: (59)�.�.�㪮¢áª¨©, �.�.�̈ ¬®å 41
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 32 { 47�¤¥áì ª®íää¨æ¨¥âë �i; di ïîâáï äãªæ¨ï¬¨x10 ¨ x20, ¨ w(t) = (w1(t); w2(t); w3(t)) = _v0 � g{ ¢¥ªâ®à ª ¦ã饣®áï ã᪮२ï.�à ¢¥¨ï (55)-(59) ®â«¨ç îâáï ®â ¬®¤ «ìëåãà ¢¥¨©, ¢ë¢¥¤¥ëå �㪮¢áª¨¬ [5] ¤«ï ¯àאַ-£® ªà㣮¢®£® 樫¨¤à . �¨ ᮤ¥à¦ â ¤®¯®«¨-⥫ìë¥ ç«¥ë, á¢ï§ ë¥ á "£¥®¬¥âà¨ç¥áª®©" ¥-«¨¥©®áâìî.������1. � §¢¨¢ ¥âáï ¬¥â®¤¨ª ¥ª®ä®à¬ëå ®â®-¡à ¦¥¨© �㪮¢áª®£® [3]. �¯à¥¤¥«¥ ª« áá ¤®-¯ãá⨬ëå ⥧®àëå âà áä®à¬ 権. � ®â®-¡à ¦ ¥â ¯®«®áâì ¡ ª ¢ ¨áªãááâ¢¥ë© æ¨«¨¤à¨-ç¥áª¨© ®¡ê¥¬. �â® ¤¥« ¥â ¢®§¬®¦ë¬ ¯à¥¤áâ -¢¨âì ãà ¢¥¨¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ ¢¨¤¥,à §à¥è¥®¬ ®â®á¨â¥«ì® ¢¥à⨪ «ì®© ª®®à¤¨- âë, ¨ à §«®¦¨âì íâ® ãà ¢¥¨¥ ¢ àï¤ �ãà쥯® ᮡáâ¢¥ë¬ ä®à¬ ¬, âà áä®à¬¨à®¢ ë¬ ¢¤ ãî ªà¨¢®«¨¥©ãî á¨á⥬ã. �®íää¨æ¨¥âë�ãàì¥ ¯à¥¤¯®« £ îâáï § ¢¨á¨¬ë¬¨ ®â ¢à¥¬¥¨äãªæ¨ï¬¨.2. �®¯ãáâ¨¬ë¥ â¥§®àë¥ âà áä®à¬ 樨 ®¡ï-§ â¥«ì® ¨¬¥îâ ᨣã«ïà®á⨠¯à¨ ®â®¡à ¦¥¨¨¨¦¨å (¢¥àå¨å) 㣫®¢ëå â®ç¥ª ¢ ¨áªãáá⢥®¥¤® (¯®â®«®ª). �®áâ஥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª ï ⥮-à¨ï ᯥªâà «ìëå § ¤ ç ⥮ਨ «¨¥©ëå ª®«¥-¡ ¨©, à áᬮâà¥ëå ¢ ¨áªãáá⢥®© ®¡« áâ¨.� ãç¨âë¢ ¥â ¢®§¬®¦®¥ ¢ë஦¤¥¨¥ ãà ¢¥¨ï�¥«ìâà ¬¨-� ¯« á ¨ £à ¨çëå ãá«®¢¨© ç áâ¨£à ¨æë ®¡« áâ¨, ïîé¨åáï ¯à®®¡à § ¬¨ á¨-£ã«ïàëå â®ç¥ª. �¯¥ªâà «ìë¥ ¨ ¢ ਠ樮ë¥â¥®à¥¬ë ãáâ ¢«¨¢ îâ, çâ® ¨á室 ï ¨ âà á-ä®à¬¨à®¢ ï § ¤ ç¨ ¨§®¬®àä® íª¢¨¢ «¥âë¢ ¯®¤å®¤ïé¨å ¢¥á®¢ëå ¯à®áâà á⢠å �®¡®«¥¢ .3. �®à®è® ¨§¢¥áâ ï ¡¥áª®¥ç®¬¥à ï ¬®¤ «ì- ï á¨á⥬ �㪮¢áª®£® [5] (¢ë¢¥¤¥ ï ¤«ï ¯«¥-᪠¨© ¦¨¤ª®á⨠¢ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å á®á㤠å) á®-åà ï¥â ¨¢ ਠâãî áâàãªâãàã ¯® ®â®è¥¨îª ¢¢¥¤¥ë¬ ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ â¥§®àë¬ âà áä®à¬ -æ¨ï¬, ¥á«¨ á®á㤠ᮢ¥àè ¥â ¯®áâ㯠⥫ìë¥ ¤¢¨-¦¥¨ï. �«¥¤®¢ ⥫ì®, ® ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®-¢ ¤«ï ¢ë¢®¤ ¬®£®¬¥àëå ¬®¤ «ìëå á¨á⥬,ãç¨âë¢ îé¨å á«®¦ë¥ ¬¥¦¬®¤ «ìë¥ ¢§ ¨¬®¤¥©-áâ¢¨ï ¨§è¨å ¨ àï¤ ¢ëáè¨å ä®à¬, ¥á«¨ áãé¥-áâ¢ã¥â ¢ë᮪®â®çë© «£®à¨â¬ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï¢ëáè¨å ᮡá⢥ëå ä®à¬ ¢ ªà¨¢®«¨¥©®© ¯ à -¬¥âਧ 樨.4. �¯¥ªâà «ì ï ¯à®¡«¥¬ ® ᮡá⢥ëå ä®à-¬ å ¯«¥áª ¨© ¢ ªà㣮¢®¬ ª®¨ç¥áª®¬ ¡ ª¥ ¥ ¨¬¥-¥â «¨â¨ç¥áª¨å à¥è¥¨© ª ª ¢ ¤¥ª à⮢®©, â ª¨ ¢ ªà¨¢®«¨¥©ëå ¯ à ¬¥âਧ æ¨ïå. �à áä®à-¬¨à®¢ ®¥ ãà ¢¥¨¥ � ¯« á ¤®¯ã᪠¥â, ®¤ ª®,
¯®«®¥ ¬®¦¥á⢮ ¯®«¨®¬¨ «ìëå à¥è¥¨©. �á-¯®«ì§ãï ¨å ª ª ¡ §¨á, ¬ë á«¥¤ã¥¬ ¤®ª § ®© ¢ -ਠ樮®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì «£®-à¨â¬ ¤«ï ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¢ëáè¨å ä®à¬. �â®â «£®-à¨â¬ ï¥âáï ¯à¥¤¯®çâ¨â¥«ì¥©, 祬 ¯àï¬ë¥ ¬¥-⮤ë � ãíà , �㪮¢áª®£® ¨ � ãíà ¨ �©¤¥«ï. �஡ áâë© ¨ ç¨á«¥® íä䥪⨢ë©.5. �®á«¥ ¯®¤áç¥â ᮡá⢥ëå ä®à¬ ¬ë ¨á-¯®«ì§ã¥¬ § âæ �㪮¢áª®£® ¤«ï ¢ë¢®¤ ¬®£®-¬¥àëå ¬®¤ «ìëå á¨á⥬ ¥«¨¥©ëå ¯«¥áª -¨© ¦¨¤ª®á⨠¢ ª®¨ç¥áª¨å ¡ ª å. �â®â § â梪«îç ¥â ¯ïâì ¨§è¨å ᮡá⢥ëå ä®à¬ ¨ ®¡ã-á«®¢«¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© áâனª®© �®¨á¥¥¢ .�â ᨬ¯â®â¨ª ¯à¥¤¯®« £ ¥â ¤¢¥ á¢ï§ ëå ¤®-¬¨ âë, ª®â®àë¥ ®â«¨ç îâáï ⮫쪮 §¨¬ãâ «ì-ë¬ ¢à 饨¥¬ 12� ¨ ¨¬¥îâ à ¢ë¥ á®¡á⢥-ë¥ ç áâ®âë. �¨ ¥«¨¥©® á¢ï§ ë ª ª ¥¯®-á।á⢥®, â ª ¨ ç¥à¥§ ¢â®à¨çë¥ ä®à¬ë. �«¥-¤ãî騥 âਠä®à¬ë ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¨§ ᥡï âਠ¨-¡®«¥¥ í¥à£¥â¨ç¥áª¨ ¢ ¦ëå ¢â®à¨çëå ä®à¬ë.�뢥¤¥ ï ¬®¤ «ì ï á¨á⥬ á¢ï§ë¢ ¥â ¨å ¥-«¨¥©®. � ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®§¤¥¥ ¯à¨¬¥¨¬ ¤«ï¯®¤áç¥â ãáâ ®¢¨¢è¨åáï ¨ ¯¥à¥å®¤ëå ¢®«, ®¡ã-á«®¢«¥ëå à §«¨ç묨 "sway" ¢®§¡ã¦¤¥¨ï¬¨ á®á।¥© ç áâ®â®© ¢ ç áâ®â®¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¬¨¨-¬ «ì®£® â® .�« £®¤ à®áâì� ¡®â ¢â®à®¢ ¡ë« ç áâ¨ç® ¯®¤¤¥à¦ ¥-¬¥æª¨¬ ¨áá«¥¤®¢ ⥫ì᪨¬ ®¡é¥á⢮¬ (DeutscheForschungsgemeinschaft, DFG).�ਫ®¦¥¨¥ A�ª®¡¨ J� = x21x2. �®¬¯®¥âë ¬¥âà¨ç¥áª¨å⥧®à®¢ gij ¨ gijg11 = 1 + x22; g12 = g21 = x1x2; g13 = g31 = 0;g22 = x21; g23 = g32 = 0; g33 = x21x22;g11 = 1; g12 = g21 = �x2x1 ; g13 = g31 = 0;g22 = 1 + x22x21 ; g23 = g32 = 0; g33 = 1x21x22 :�ਫ®¦¥¨¥ B�ë ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥¬ (45) ¢ ¢¨¤¥ m = xm1 pmXi=1 xi1b(m)i (x2); (m = 0; 1; 2); (60)£¤¥ b(m)i = a(m)i +mv(m)i+m(x2); pm = qm �m.42 �.�.�㪮¢áª¨©, �.�.�̈ ¬®å
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 32 { 47�ந§¢®¤ë¥ ¯® x1 ¨ x2 ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï m ¢ë-ç¨á«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬ mx1 = x�m1 rmXi=0 xi1C(m)i (x2);C(0)i (x2) = (i + 1)a(0)i+1v(0)i+1(x2);C(1)i (x2) = (i + 1)a(1)i+1v(1)i+1(x2);C(2)i (x2) = (i + 2)a(2)i+2v(2)i+2(x2);(r0 = q0 � 1; r1 = q1 � 1; r2 = q2 � 2);�m = � 0 for m = 0; 11 for m = 2 ; mx2 = xm1 pmXi=1 xi1d(m)i ;d(m)i = a(m)m+i ddx2v(m)m+i(x2); (61) m n = xm+n1 pm+pnXi=0 xi1b(m;n)i (x2); mx1 nx1 = x�m+�n1 rm+rnXi=0 xi1C(m;n)i (x2); mx1 nx2 = x�m+n1 rm+pnXi=0 xi1l(m;n)i (x2); mx2 nx2 = xm+n1 pm+pnXi=0 xi1d(m;n)i (x2) (62)£¤¥ b(m;n)i (x2); C(m;n)i (x2); l(m;n)i (x2); d(m;n)i (x2) ¢ë-ç¨á«ïîâáï ¯®á।á⢮¬ b(m)i (x2), C(m)i (x2),l(m)i (x2), d(m)i (x2).�®¤ «ì ï á¨á⥬ (23)-(24) ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¢¨¤ãddt _An � 5Xk=1AnkZk = 0 (n = 1; :::; 5); (63)5Xk=1 _Zn @An@�i + 12 5Xn=1 5Xk=1 @Ank@�i ZnZk+ 3Xj=1wj @lj@�j = 0;(64)£¤¥ P0(t) = Z1(t); R1(t) = Z2(t); P1(t) = Z3(t);R2(t) = Z4(t); P2(t) = Z5(t);'1 = 0; '2 = 1 sinx3; '3 = 1 cos x3;'4 = 2 sin 2x3; '5 = 2 cos 2x3¨ �1(t) = p0(t); �2(t) = r1(t); �3(t) = p1(t);�4(t) = r2(t); �5(t) = p2(t): (65)
�á«®¢¨¥ á®åà ¥¨ï ®¡ê¥¬ á â®ç®áâìî ¤® O(�)Z 2�0 Z x200 (�1f + �2f2 + �3f3)x2dx2dx3 = 0; (66)£¤¥ �1 = x210; �2 = x10; �3 = 13 , ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®,�0(t) = k0p20 + k1(r21 + p21) + k2(r22 + p22)++k3(r22 + p22) + k4(12p2p21 � 12p2r21 + r1r2); (67)á k0 = ��2l00S0 ; k1 = ��2l11S0 ; k2 = ��2l22S0 ;k3 = � l011S0 ; k4 = � l211S0 ;�2 = x10; S0 = �x210x220;l11 = � Z x200 x2f21dx2; l00 = 2� Z x200 x2f20dx2;l22 = � Z x200 x2f22dx2; l011 = � Z x200 f0f21x2dx2;l211 = � Z x200 x2f2f21 dx2; l4 = � Z x200 x2f41 dx2:�®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à l (¯®«®¦¥¨¥ æ¥âà ¬ áá)l1 = � Z x200 Z 2�0 Z x10+f0 x31x2dx1dx3dx2;l2 = � Z x200 Z 2�0 Z x10+f0 x31x22 cosx3dx1dx3dx2;l3 = � Z x200 Z 2�0 Z x10+f0 x31x22 sinx3dx1dx3dx2:� â®ç®áâìî ¤® O(�) ¬ë ¨¬¥¥¬l1 = �[l(0)1 + l(1)1 (r21 + p21) + l(2)1 p20 + l(3)1 (r22 + p22) ++l(4)1 (r21 + p21)2 + l(5)1 (12p21p2 � 12r21p2 + r1p1r22) ++l(0)1 p0(r21 + p21)];l2 = l(1)2 p1 + l(2)2 p1p0 + l(3)2 p1(r21 + p21) ++l(4)2 (r1r2 + p1p2) + l(5)2 p1p20 + l(6)2 p1(r22 + p22) ++l(7)2 p1p0(r21 + p21) + l(8)2 p1(12p2p21 � 12p2r21 + r1p1r2) ++l(9)2 (r1r2 + p1p2)(r21 + p21) + l(10)2 p0(r1r2 + p1p2);l3 = l(1)3 r1 + l(2)3 p0r1 + l(3)3 r1(r21 + p21) + l(4)3 (p1r2 ��r1p2) + l(5)3 r1p20 + l(6)3 r1(r22 + p22) + l(7)3 r1p0(r21 ++p21) + l(8)3 r1(12p2p21 � 12p2r21 + r1p1r2) ++l(9)3 (r21p21)(p1r2 � r1p2) + l(10)3 p0(p1r2 � r1p2);�.�.�㪮¢áª¨©, �.�.�̈ ¬®å 43
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 32 { 47£¤¥l(0)1 = �4x410x220; l(1)1 = 12x210l11; l(2)1 = 12x210l00;l(3)1 = 12x210l22; l(4)1 = 316 l4 � 3x2102S0 l211;l(5)1 = 2x10l211; l(6)1 = 2x10l011;l(1)2 = l(1)3 = �x310S1; l(2)2 = l(2)3 = 3�x210S01;l(3)2 = l(3)3 = 3�(x210k1S1 + 14x10S13);l(4)2 = l(4)3 = 32�x210S12;l(5)2 = l(5)3 = 3�(x210k0S1 + x10S102);l(6)2 = l(6)3 = 3�(x210k2S1 + 12x10S122);l(7)2 = l(7)3 = 3�(x210k3S1 + 2k1x10S01 + 14S013);l(8)2 = l(8)3 = 3�x210k4S1; l(9)2 = l(9)3 = 3�x10k1S12;l(10)2 = l(10)3 = 3�x10S012;S1 = � Z x200 x22f1dx2; S01 = � Z x200 x22f0f1dx2;S13 = � Z x200 x22f31dx2;S12 = � Z x200 x22f2f1dx2;S102 = � Z x200 x22f20 f1dx2;S122 = � Z x200 x22f22f1dx2;S013 = � Z x200 x22f0f31 dx2;S012 = � Z x200 x22f0f1f2dx2:�ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ à §«®¦¥¨¥ (25) ¤ ¥â á â®ç®-áâìî ¤® O(�):A1 = a0 + a4(r21 + p21) + a17p0; A2 = a5r1 ++a6r1(r21 + p21) + a18(p1r2 � r1p2) +a14r1p0;A3= a5p1+ a6p1(p21 + r21)+ a18(r1r2+ p1p2)+a14p1p0;A4 = a20r2 � 2a7r1p1; A5 = a20p2 + a7(r21 � p21);A11 = 2a1 + 2a9(r21 + p21) + 2a21p0; A12 = a15r1 ++a26(p1r2 � r1p2) + a23r1p0 + a30r1(r21 + p21);A13=a15p1+a26(r1r2+p1p2)+a23p1p0+a30p1(r21+ p21);A14=�2a16r1p1 + a24r2; A15=a16(r21 � p21) + a24p2;A22=2a10 + 2a11r21 + 2a12p21 + 2a22p0 � 2a19p2;A23=a8r1p1 + 2a19r2; A24=a3p1 + a27r1r2 ++a28p0p1 + a29p1p2 + a31r21p1 + a32p31;A25=�a3r1+ a27r1p2� a28p0r1� a29p1r2� a33p21r1��a34r31; A33=2a10+ 2a11p21+ 2a12r21+ 2a19p2+ 2a22p0;A34=a3r1+a28r1p0�a29r1p2+a27p1r2+a32r31+a31r1p31;A35=a3p1 + a27p1p2 + a28p0p1 + a29r1r2 + a34p31 ++a33p31 + a33p1r21; A44=2a2 + 2a13(r21p21) + 2a25p0;A45 = 0; A55 = A44:
�®íää¨æ¨¥âë a0; a1; :::; a34 ¨§ íâ¨å ¢ëà ¦¥¨©®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬a0= 2�� Z x200 B(0)0 x2dx2; a1= �� Z x200 F (0;0)0 (x2)x2dx2;a2 = �2 � Z x200 (F (2;2)0 (x2) + 4x22B(2;2)0 (x2))x2dx2;a3 = �2 � Z x200 (F (1;2)1 (x2) + 2x22B(1;2)1 (x2))f1(x2)x2dx2;a4 = �� Z x200 B(2)0 f21 (x2)x2dx2 + 2��k1 Z x200 B(1)0 x2dx2;a5 = �� Z x200 B(1)1 f1(x2)x2dx2;a6 = ���34 Z x200 B(3)1 (x2)f31 (x2)x2dx2++ 2k1 Z x200 B(2)1 (x2)f1(x2)x2dx2� ;a7 = ��2 � Z x200 B(2)2 (x2)f21 (x2)x2dx2;a8 = �2 � Z x200 (F (1;1)2 (x2)� 1x2B(1;1)2 (x2))f21 (x2)x2dx2;a9 = �2 � Z x200 F (0;0)2 (x2)f21 (x2)x2dx2;a10 = �2 � Z x200 (F (1;1)0 (x2) + 1x22B(1;1)0 )x2dx2;a11 = �2 k1� Z x200 [F (1;1)1 (x2) + 1x22B(1;1)1 (x2)]x2dx2 ++38�� Z x200 [F (1;1)2 (x2) + 13x22B(1;1)2 ]f21 (x2)x2dx2;a12 = �2 k1� Z x200 [F (1;1)1 (x2) + 1x22B(1;1)1 (x2)]x2dx2 ++38�� Z x200 [ 13F (1;1)2 (x2) + 1x22B(1;1)2 ]f21 (x2)x2dx2;a13 = �4 � Z x200 [F (2;2)2 (x2) + 4x22B(2;2)2 (x2)]f22 (x2)x2dx2 ++12��k1 Z x200 [F (2;2)1 (x2)+ 4x22B(2;2)1 ]x2dx2;a14 = 2�� Z x200 B(2)1 (x2)f0(x2)f1(x2)dx2;a15 = �� Z x200 F (0;1)1 f1(x2)x2dx2;a16 = ��2 � Z x200 F (0;2)2 (x2)f21 (x2)x2dx2;a17 = 2�� Z x200 B(1)0 (x2)f0(x2)x2dx2;a18 = �� Z x200 B(2)1 f1(x2)f2(x2)x2dx2;44 �.�.�㪮¢áª¨©, �.�.�̈ ¬®å
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 32 { 47a19 = �4 � Z x200 [F (1;1)1 (x2) � 1x22B(1;1)1 (x2)]f2(x2)x2dx2;a20 = �� Z x200 B(1)2 (x2)f2(x2)x2dx2;a21 = �� Z x200 F (0;0)1 (x2)f0(x2)x2dx2;a22 = ��2 Z x200 [F (1;1)1 (x2) + 1x22B(1;1)1 (x2)]f0(x2)x2dx2;a23 = 2�� Z x200 F (0;1)2 (x2)f0(x2)f1(x2)x2dx2;a24 = �� Z x200 F (0;2)1 (x2)f2(x2)x2dx2;a25 = �2 � Z x200 [F (2;2)1 (x2) + 4x22B(2;2)1 (x2)]f0(x2)x2dx2;a26 = �� Z x200 F (0;1)2 (x2)f1(x2)f2(x2)x2dx2;a27 = �� Z x200 F (1;2)2 (x2)f1(x2)f2(x2)x2dx2;a28 = �2 � Z x200 [F (1;2)2 (x2) ++ 2x22B(1;2)2 (x2)]f0(x2)f1(x2)x2dx2;a29 = 2�� Z x200 B(1;2)2 (x2)f1(x2)f2(x2)dx2x2 ;a30 = 2��k1 Z x200 F (0;1)2 (x2)f1(x2)x2dx2:�®¤ëâ¥£à «ìë¥ äãªæ¨¨, ¯à¥¤áâ ¢«¥ë¥ ¢ë-è¥, ®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à¬ã« ¬¨B(0)m = qmXk=m a(m)k xk+310k + 3v(m)k (x2);B(1)m = qmXk=m a(m)k xk+210 v(m)k (x2);B(2)m = 12 qmXk=m(k + 2)a(m)k xk+110 v(m)k (x2);B(3)m = 16 qmXk=m(k + 1)(k + 2)a(m)0 xk10v(m)k (x2);F (m;n)s = C(m;n)s (x2)� x2(L(m;n)s + L(n;m)s ) ++(1 + x22)D(m;n)s ;C(n;m)0 (x2) = rn+rkXi=0 xi+�+310i + �+ 3c(n;k)i (x2);C(n;m)1 (x2) = rn+rkXi=0 xi+�+210 c(n;k)i (x2);
C(n;m)2 (x2) = 12 rn+rkXi=0 (i + �+ 2)xi+�+110 c(n;k)i (x2);D(n;k)0 (x2) = pn+pkXi=0 xi+n+k+110i + n + k + 1d(n;k)i (x2);D(n;k)1 (x2) = pn+pkXi=0 xi+n+k10 d(n;k)i (x2);D(n;k)2 (x2) = 12 pn+pkXi=0 (i + n+ k)xi+n+k�110 d(n;k)i (x2);B(n;k)0 (x2) = pn+pkXi=0 xi+n+k+110i + n+ k + 1b(n;k)i (x2);B(n;k)1 (x2) = pn+pkXi=0 xi+n+k10 b(n;k)i (x2);B(n;k)2 (x2) = 12 pn+pkXi=0 (i + n + k)xi+n+k�110 b(n;k)i (x2);L(n;k)0 (x2) = rn+pkXi=0 xi+k+�+210i + k + � + 2 l(n;k)i (x2);L(n;k)1 (x2) = rn+pkXi=0 xi+k+�+110 l(n;k)i (x2);L(n;k)2 (x2) = 12 rn+pkXi=0 (i + k + � + 1)xi+k+�10 l(n;k)i (x2);L(k;n)0 (x2) = rk+pnXi=0 xi+n+�k+210i + n+ �k + 2 l(k;n)i (x2);L(k:n)1 (x2) = rk+pnXi=0 xi+n+�k+110 l(k;n)i (x2);L(n;k)2 (x2) = 12rk+pnXi=0 (i+ n+ �k + 1)xi+n+�k10 l(k;n)i (x2);£¤¥� = �n + �k; �i = � 0 for n = 0; n = 1;1 for n = 2: :� áᬮâਬ (63) ª ª á¨á⥬㠫¨¥©ëå «£¥¡à -¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ®â Zk(t). �®£¤ , á â®ç®áâì O(�):R1(t)=Q1 _r1+ C2r21 _r1+ B3r1 _p0+D3p21 _r1+ C1r1p1 _p1++D2(r2 _p1 � p2 _r1) +C3(p1 _r2 � r1 _p2) +B0p0 _r1;P1(t)=Q1 _p1+C2p21 _p1+B3p1 _p0+D3r21 _p1+C1p1r1 _r1++D2(r2 _r1 + p2 _p1) +C3(r1 _r2 + p1 _p2) +B0p0 _p1;P0(t) = C0(r1 _r1 + p1 _p1) +D0 _p0;R2(t) = Q2 _r2 �D1(r1 _p1 + p1 _r1);P2(t) = Q2 _p2 +D1(r1 _r1 � p1 _p1);�.�.�㪮¢áª¨©, �.�.�̈ ¬®å 45
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 32 { 47£¤¥C0 = a4a1 � a5a154a1a10 ; D0 = a172a1 ; Q1 = a52a10 ;Q2 = a202a2 ; C1 = 1a10 (a6 � a4a152a1 � a5a84a10 + a5a2158a1a10 );C3 = 12a10 (a18 � a3a202a2 ); B0 = 12a10 (a14 � a5a22a10 );B3 = 12a10 (a14 � a15a172a1 ); D1 = a7a2 + a3a54a2a10 ;D2 = 12a10 (a18 � a5a19a10 ); C2 = D3 + C1;D3 = a62a10 +Q1( a234a2a10 � a12a10 + a3a7a2a5 :P0; :::; P2 ¤®«¦ë ¡ëâì ¯®¤áâ ¢«¥ë ¢ (64). �⮯ਢ®¤¨â ª á¨á⥬¥ (55)-(59), £¤¥ ª¢ ¤à âë ᮡ-á⢥ëå ç áâ®â ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬�20 = g 2l(2)1�0 ; �21 = g 2l(1)1�1 ; �20 = g 2l(3)1�2 ;�0 = a17D0; �1 = a5Q1; �2 = a20Q2; (68)¨ ¤à㣨¥ ª®íää¨æ¨¥âë (55)-(59) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ª ªd1 = 2a4C0 + 2a7D1 + a5C2 + 3a6Q1;d2 = a5D3 + a6Q1 + 2a7D1;d3 = a5D2 + a18Q1;d4 = 2a7Q� 2� a5C3;d5 = a5B0 + a14Q1;d6 = 2a4D0 + a5B3;d7 = d4 + 12d3; d8 = d6 � 12d5;dk1 = 4l(4)1 ; dk2 = 12 l(5)1 ; dk3 = l(6)1 ;dk4 = l(2)2 ; dk5 = l(3)2 ; dk6 = l(4)2 ;dk7 = l(5)2 ; dk8 = l(6)2 ; dk9 = l(7)2 ;dk10 = 12 l(8)2 ; dk11 = l(9)2 ; dk12 = l(10)2 ;� = l(1)2 = l(1)3 : (69)
1. �¥à¤¨ç¥¢áª¨©, �.�. � à¨ æ¨®ë¥ ¯à¨æ¨¯ë ¬¥-å ¨ª¨ ᯫ®è®© á।ë.{ �.: � 㪠, 1983.{ 3 á.4802. �¨¬ à祪®, �.�., �á¨áª¨©, �.�. �¥«¨¥© ï ¤¨- ¬¨ª ª®áâàãªæ¨© á ¦¨¤ª®áâìî.{ �¨¥¢: �¨¥¢-᪨© ¯®«¨â¥å¨ç¥áª¨© 㨢¥àá¨â¥â, 1997.{ 338 á.3. �㪮¢áª¨©, �.�. �¥«¨¥©ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¦¨¤ª®á⨢ á®á㤠å á«®¦®© £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬ë.{ �¨¥¢:� 㪮¢ ¤ã¬ª , 1975.{ 136 á.
4. �㪮¢áª¨©, �.�. � à¨ æ¨®ë© ¬¥â®¤ ¢ ¥«¨¥©-ëå § ¤ ç å ¤¨ ¬¨ª¨ ®£à ¨ç¥®£® ®¡ê¥¬ ¦¨¤-ª®á⨠ᮠ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâìî // � ª.: \�®-«¥¡ ¨ï ã¯àã£¨å ª®áâàãªæ¨© á ¦¨¤ª®áâìî".{ �.:�®« , 1976.{ �. 260-264.5. �㪮¢áª¨©, �.�. �¢¥¤¥¨¥ ¢ ¥«¨¥©ãî ¤¨ -¬¨ªã ⥫ á ¯®«®áâﬨ, ç áâ¨ç® § ¯®«¥ë¬¨¦¨¤ª®áâìî.{ �¨¥¢: � 㪮¢ ¤ã¬ª , 1990.{ 296 á.6. �㪮¢áª¨©, �.�., � àïª, �.�., �®¬ ४®, �.�.�ਡ«¨¦¥ë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï § ¤ ç ¤¨ ¬¨ª¨®£à ¨ç¥®£® ®¡ê¥¬ ¦¨¤ª®áâ¨.{ �¨¥¢: � 㪮¢ ¤ã¬ª , 1984.{ 232 á.7. �㪮¢áª¨©, �.�., �¨«ëª, �.�. �ë㦤¥ë¥ ¥-«¨¥©ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯®¤¢¨¦ëå ®á¥-ᨬ¬¥âà¨çëå ª®¨ç¥áª¨å ¯®«®áâïå // � ª.:\�¨á«¥®- «¨â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë ¨áá«¥¤®¢ ¨ï¤¨ ¬¨ª¨ ¨ ãá⮩稢®á⨠¬®£®¬¥àëå á¨á⥬".{�¨¥¢: �áâ¨âãâ ¬ ⥬ ⨪¨ �� ����, 1985.{�. 12-26.8. �㪮¢áª¨©, �.�., �¨¬®å , �.�. � ਠ樮륬¥â®¤ë ¢ ¥«¨¥©®© ¤¨ ¬¨ª¥ ®£à ¨ç¥®£®®¡ê¥¬ ¦¨¤ª®áâ¨.{ �¨¥¢: �áâ¨âãâ ¬ ⥬ ⨪¨����, 1995.{ 400 á.9. �®¨á¥¥¢, �.�. � ⥮ਨ ¥«¨¥©ëå ª®«¥¡ ¨©®£à ¨ç¥®£® ®¡ê¥¬ ¦¨¤ª®á⨠// �ਪ« ¤ ï¬ â¥¬. ¨ ¬¥å ¨ª .{ 1958.{ 22.{ �. 612-621.10. � ਬ ®¢, �.�. � ¤¢¨¦¥¨¨ á®á㤠, ç áâ¨ç®§ ¯®«¥®£® ¦¨¤ª®áâìî, ãç¥â ¥¬ «®á⨠¤¢¨¦¥-¨ï ¯®á«¥¤¥© // �ਪ« ¤ ï ¬ ⥬. ¨ ¬¥å ¨ª .{1957.{ 21, # 4.{ �. 513-524.11. � ਬ ®¢, �.�., �®ªãç ¥¢, �.�., �㪮¢áª¨©, �.�.�¥«¨¥© ï ¤¨ ¬¨ª «¥â ⥫쮣® ¯¯ à â ᦨ¤ª®áâìî.{ �.: � 訮áâ஥¨¥, 1977.{ 203 á.12. �¥é¥ª®, �.�., �㪮¢áª¨©, �.�., � ¡¨®¢¨ç, �.�.,�®ªãç ¥¢, �.�. �¥â®¤ë ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¨á®¥¤¨¥-ëå ¬ áá ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯®¤¢¨¦ëå ¯®«®áâïå.{ �¨¥¢:� 㪮¢ ¤ã¬ª , 1969.{ 250 á.13. Aubin, J.-P. Approximation of elliptic boundary-value problems.{ New York-London-Sidney-Toronto:Wiley-Interscience, a Division of John Wiley & Sons,Inc., 1972.{ 383 p.14. Bateman, H. Partial di�erential equations of mathe-matical physics.{ N.{Y.: Dover publications, 1944.{522 p.15. Bauer, H.F. Sloshing in conical tanks // ActaMechanica.{ 1982.{ 43, # 3-4.{ P. 185-200.16. Bauer, H.F., Eidel, W. Non{linear liquid motion inconical container // Acta Mechanica.{ 1988.{ 73,# 1-4.{ P. 11-31.17. Beyer, K., G�uther, M., Gawrilyuk, I., Lukovsky, I.,Timokha, A. Compressible potential
ows withfree boundaries. Part I: Vibrocapillary equilibria.{Preprint 99/1: Leipzig University, 1999.{ 17 p.18. Dodge, F.T., Kana, D.D., Abramson, H.N. Liq-uid surface oscillations in longitudinally excited rigidcylindrical containers // AIAA Journal.{ 1965.{ 3,# 4.{ P. 685-695.19. Faltinsen, O.M.A nonlinear theory of sloshing in rect-angular tanks // J. Ship. Res.{ 1974.{ 18, # 4.{P. 224-241.20. Faltinsen, O.M., Rognebakke, O.F. Sloshing // NAV2000. Proceeding of the International Conference onShip and Shipping Research.{ Venice, 19-22 Septem-ber, 2000, Italy, 2000.{ P. 56-68.21. Faltinsen, O.M., Rognebakke, O.F., Lukovsky, I.A.,Timokha, A.N. Multidimensional modal analysis ofnonlinear sloshing in a rectangular tank with �nitewater depth // J.Fluid Mech.{ 2000, 407.{ P. 201-234.46 �.�.�㪮¢áª¨©, �.�.�̈ ¬®å
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 32 { 4722. Faltinsen, O.M., Timokha, A.N. Adaptive multi-modal approach to nonlinear sloshing in a rectangulartank// J. Fluid Mechanics (accepted for publicationin 2000).23. Kochin, N.E., Kibel, I.A., Roze, N.V. Theoreticalhydromechanics.{ New-York-London-Sydney: Inter-science Publishers. A division of John Wiley & Sons.,1964.{ 434 p.24. Luke, J.C. A variational principle for a
uid with afree surface // J. Fluid Mech.{ 1967.{ 27.{ P. 395-397.25. Miles, J.W. Nonlinear surface waves in closedbasins // J. Fluid Mech.{ 1976.{ 75.{ P. 419-448. 26. Report of Committee I.2 \Loads". 1997 // Pro-ceedings of 13th Int. Ship and O�shore Struc-tures Congress.{ (ed. T.Moan& S.Berge). Vol. 1,Pergamon.{ P. 59-122.27. Solaas F., Faltinsen O.M. Combined numerical andanalytical solution for sloshing in two-dimensionaltanks of general shape // J. Ship Research.{ 1997.{41.{ P. 118{129.28. Syntesis Report for Publication. Experimental andNumerical Analysis of Sloshing and Impact Loads(EUROSLOSH).{ Project Coordinator: M.Dogliani:Project BE{4354, 26/04/01, 1995.{ 35 p.29. Whitham, G.B.Variational methods and applicationsto water waves // Proc. Royal Soc.{ 1967.{ A299, #1456.{ P. 6-25.
�.�.�㪮¢áª¨©, �.�.�̈ ¬®å 47
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5062 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T04:25:24Z |
| publishDate | 2000 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Луковский, И.А. Тимоха, А.Н. 2010-01-08T14:33:26Z 2010-01-08T14:33:26Z 2000 Модальное моделирование нелинейных плесканий жидкости в баках с невертикальными стенками. Методика неконформных отображений / И.А. Луковский, А.Н. Тимоха // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 4. — С. 32-47. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5062 532.595 Анализируются нелинейные плескания идеальной несжимаемой жидкости (потенциальные течения). Жидкость частично занимает гладкий бак с невертикальными стенками. Опрокидывающиеся волны, буруны и мелководные волны исключаются из рассмотрения. Развивается техника неконформных отображений Луковского (1975). Она предполагает, что внутренность бака может быть трансформирована в некоторую цилиндрическую область, в которой уравнение свободной поверхности допускает нормальную форму и модальное представление. Допустимые тензорные трансформации неизбежно имеют сингулярности при отображении нижней (верхней) угловой точки бака в дно (потолок) цилиндра. Это ведет к вырождению спектральной задачи о собственных колебаниях. Статья представляет математическую теорию таких спектральных задач и устанавливает соответствующие спектральные и вариационные теоремы. Собственные формы в круговом коническом баке вычисляются с помощью вариационного алгоритма, основанного на этих теоремах. Показано, что алгоритм робастый и численно эффективный как для низших, так и высших мод. В статье показано, что известная бесконечномерная модальная система Луковского (построенная ранее для плескания в цилиндрических баках) остается инвариантной относительно допустимых тензорных преобразований (при поступательных движениях сосуда). Это делает возможным предложить простой алгоритм построения модальных систем для исследуемого случая. Используя анзатц Луковского, выводится пятимерная модальная система для нелинейных плесканий в круговом коническом баке. Аналiзуються нелiнiйнi плескання iдеальної нестисливої рiдини (потенцiальнi течiї). Рiдина частково займає гладкий бак iз невертикальними стiнками. Хвилi, що опрокидуються, буруни та мiлководнi хвилi виключаються iз розглядання. Розвивається технiка неконформних вiдображень Луковського (1975). Вона передбачає, що внутрiшнiсть бака може бути трансформована в деяку цилiндричну область, в якiй рiвняння вiльної поверхнi допускає нормальну форму i модальне представлення. Допустимi тензорнi трансформацiї мають сингулярностi при вiдображеннi нижньої (верхньої) кутової точки бака в дно (стелю) цилiндра. Це веде до виродження спектральної задачi про власнi коливання. Стаття представляє математичну теорiю таких спектральних задач i встановлює вiдповiднi спектральнi та варiацiйнi теореми. Власнi форми в коловому конiчному баку визначаються за допомогою варiацiйного алгоритму, що базується на цих теоремах. Показано, що алгоритм робастий i чисельно ефективний як для нижчих, так i для вищих мод. E статтi показано, що вiдома нескiнченномiрна модальна система Луковського (побудована ранiше для плескання в цилiндричних баках) лишається iнварiантною вiдносно допустимих тензорних перетворень (при поступальних рухах сосуду). Це дає можливiсть запропонувати простий алгоритм побудови модальних систем для випадку, що дослiджується. Використовуючи анзатц Луковського, виводиться п'ятимiрна модальна система для нелiнiйних плескань e коловому конiчному баку. Nonlinear sloshing of an incompressible fluid with irrotational flow is analysed. The fluid occupies partly a smooth tank with walls having non-cylindrical shape. No overturning, breaking and shallow water waves are assumed. Non-conformal mapping technique by Lukovsky (1975) is developed. It assumes that tank's cavity can be transformed into an artificial cylindrical domain, where equation of free surface allows both normal form and modal representation of instantaneous surface shape. Admissible tensor transformations have due singularities in mapping the lower (upper) corners of the tank into artificial bottom (roof). It leads to degenerating spectral boundary problems on natural modes. The paper delivers the mathematical background for these spectral problem and establishes the spectral and variational theorems. Natural modes in circular conical cavity are calculated by variational algorithm based on these theorems. It is shown that the algorithm is robust and numerically efficient for calculating both lower and higher natural modes. Finally, the paper shows that the well-known infinite-dimensional modal systems by Lukovsky (derived for sloshing in cylindrical tank) keep invariant structure with respect to admissible tensor transformations (for translatory motions of the vehicle). This makes it possible to offer the simple derivation algorithm of nonlinear modal systems for the studied case. When utilising anzatz by Lukovsky we derive the five-dimensional modal system for nonlinear sloshing in circular conic tanks. ru Інститут гідромеханіки НАН України Модальное моделирование нелинейных плесканий жидкости в баках с невертикальными стенками. Методика неконформных отображений Modal modelling of nonlinear fluid sloshing in tanks with non-vertical walls. Non-conformal mapping technique Article published earlier |
| spellingShingle | Модальное моделирование нелинейных плесканий жидкости в баках с невертикальными стенками. Методика неконформных отображений Луковский, И.А. Тимоха, А.Н. |
| title | Модальное моделирование нелинейных плесканий жидкости в баках с невертикальными стенками. Методика неконформных отображений |
| title_alt | Modal modelling of nonlinear fluid sloshing in tanks with non-vertical walls. Non-conformal mapping technique |
| title_full | Модальное моделирование нелинейных плесканий жидкости в баках с невертикальными стенками. Методика неконформных отображений |
| title_fullStr | Модальное моделирование нелинейных плесканий жидкости в баках с невертикальными стенками. Методика неконформных отображений |
| title_full_unstemmed | Модальное моделирование нелинейных плесканий жидкости в баках с невертикальными стенками. Методика неконформных отображений |
| title_short | Модальное моделирование нелинейных плесканий жидкости в баках с невертикальными стенками. Методика неконформных отображений |
| title_sort | модальное моделирование нелинейных плесканий жидкости в баках с невертикальными стенками. методика неконформных отображений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5062 |
| work_keys_str_mv | AT lukovskiiia modalʹnoemodelirovanienelineinyhpleskaniižidkostivbakahsnevertikalʹnymistenkamimetodikanekonformnyhotobraženii AT timohaan modalʹnoemodelirovanienelineinyhpleskaniižidkostivbakahsnevertikalʹnymistenkamimetodikanekonformnyhotobraženii AT lukovskiiia modalmodellingofnonlinearfluidsloshingintankswithnonverticalwallsnonconformalmappingtechnique AT timohaan modalmodellingofnonlinearfluidsloshingintankswithnonverticalwallsnonconformalmappingtechnique |