Колебания тонкого суперкавитирующего профиля вблизи свободной поверхности
Получена система интегральных уравнений слабовозмущенного обтекания колеблющихся профилей суперкавитирующих и вентилируемых подводных крыльев вблизи свободной поверхности. Предложен метод расчета зависимости длины нестационарной каверны от времени путем численного решения нелинейного уравнения балан...
Saved in:
| Date: | 1999 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
1999
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5187 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Колебания тонкого суперкавитирующего профиля вблизи свободной поверхности / В.Н. Семененко, Т.Н. Семененко // Прикладна гідромеханіка. — 1999. — Т. 1, № 3. — С. 48-54. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860132515613769728 |
|---|---|
| author | Семененко, В.Н. Семененко, Т.Н. |
| author_facet | Семененко, В.Н. Семененко, Т.Н. |
| citation_txt | Колебания тонкого суперкавитирующего профиля вблизи свободной поверхности / В.Н. Семененко, Т.Н. Семененко // Прикладна гідромеханіка. — 1999. — Т. 1, № 3. — С. 48-54. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Получена система интегральных уравнений слабовозмущенного обтекания колеблющихся профилей суперкавитирующих и вентилируемых подводных крыльев вблизи свободной поверхности. Предложен метод расчета зависимости длины нестационарной каверны от времени путем численного решения нелинейного уравнения баланса массы газа в каверне (или уравнения постоянства давления в каверне для паровых суперкаверн). Показано, что уменьшение отстояния от свободной поверхности приводит к уменьшению относительных амплитуд колебаний длины каверны и коэфициентов гидродинамических сил. Учет колебаний длины каверны приводит к сглаживанию амплитудно-частотных характеристик сил по сравнению с расчетом при фиксированной длине каверны.
Одержана система iнтегральних рiвнянь слабкозбуреного обтiкання профiлей суперкавiтуючих i вентильованих пiдводних крил, що коливаються, поблизу вiльної поверхнi. Запропонований метод розрахунку залежностi довжини нестацiонарної каверни вiд часу шляхом чисельного рiшення нелiнiйного рiвняння балансу маси газу в кавернi (або рiвняння сталостi тиску в кавернi для парових суперкаверн). Показано, що зменшення вiдстанi вiд вiльної поверхнi веде до зменшення вiдносних амплiтуд коливань довжини каверни i коефiцiентiв гiдродинамiчних сил. Врахування коливань довжини каверни веде до згладжування ампiтудно-частотних характеристик сил порiвняно з розрахунком при фiксованiй довжинi каверни.
A system of integral equations for low-disturbed flow around two-dimensional supercavitating and ventilated oscillating hydrofoils under a free surface is obtained. A method to calculate time dependence of the unsteady cavity length by means of numerical solving the nonlinear equation of gas mass in the cavity balance (or the equation of the cavity pressure to be constant for vapour supercavities) is proposed. It is shown that approach to a free surface results in decreasing relative amplitudes of oscillations of the cavity length and hydrodynamic forces. Taking account of the variable cavity length results in smoothing frequency responses of forces in comparison with calculation when the cavity length is constant.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:45:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 48 { 54��� 532.528��������� ������� ������������������������� ������ ��������� ������������. �. ����������, �. �. ������������ �áâ¨âãâ £¨¤à®¬¥å ¨ª¨ ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�� �¨¥¢áª¨© ¨áâ¨âãâ ¦¥«¥§®¤®à®¦®£® âà ᯮàâ �®«ã祮 24.02.99�®«ãç¥ á¨á⥬ ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© á« ¡®¢®§¬ã饮£® ®¡â¥ª ¨ï ª®«¥¡«îé¨åáï ¯à®ä¨«¥© á㯥ઠ¢¨â¨àã-îé¨å ¨ ¢¥â¨«¨à㥬ëå ¯®¤¢®¤ëå ªàë«ì¥¢ ¢¡«¨§¨ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨. �।«®¦¥ ¬¥â®¤ à áç¥â § ¢¨á¨¬®á⨤«¨ë ¥áâ 樮 ன ª ¢¥àë ®â ¢à¥¬¥¨ ¯ã⥬ ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï ¥«¨¥©®£® ãà ¢¥¨ï ¡ « á ¬ ááë £ § ¢ ª ¢¥à¥ (¨«¨ ãà ¢¥¨ï ¯®áâ®ïá⢠¤ ¢«¥¨ï ¢ ª ¢¥à¥ ¤«ï ¯ ஢ëå á㯥ઠ¢¥à). �®ª § ®, ç⮠㬥ì襨¥®âáâ®ï¨ï ®â ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¯à¨¢®¤¨â ª 㬥ìè¥¨î ®â®á¨â¥«ìëå ¬¯«¨â㤠ª®«¥¡ ¨© ¤«¨ë ª ¢¥àë¨ ª®íä¨æ¨¥â®¢ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ᨫ. �ç¥â ª®«¥¡ ¨© ¤«¨ë ª ¢¥àë ¯à¨¢®¤¨â ª ᣫ ¦¨¢ ¨î ¬¯«¨â㤮-ç áâ®âëå å à ªâ¥à¨á⨪ ᨫ ¯® áà ¢¥¨î á à áç¥â®¬ ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®© ¤«¨¥ ª ¢¥àë.�¤¥à¦ á¨á⥬ ÷â¥£à «ì¨å à÷¢ïì á« ¡ª®§¡ã८£® ®¡â÷ª ï ¯à®ä÷«¥© á㯥ઠ¢÷âãîç¨å ÷ ¢¥â¨«ì®¢ ¨å ¯÷¤-¢®¤¨å ªà¨«, é® ª®«¨¢ îâìáï, ¯®¡«¨§ã ¢÷«ì®ù ¯®¢¥àå÷. � ¯à®¯®®¢ ¨© ¬¥â®¤ ஧à åãªã § «¥¦®áâ÷ ¤®¢¦¨¨¥áâ æ÷® à®ù ª ¢¥à¨ ¢÷¤ ç áã è«ï宬 ç¨á¥«ì®£® à÷è¥ï ¥«÷÷©®£® à÷¢ïï ¡ « áã ¬ ᨠ£ §ã ¢ ª ¢¥à÷ ( ¡®à÷¢ïï áâ «®áâ÷ â¨áªã ¢ ª ¢¥à÷ ¤«ï ¯ ஢¨å á㯥ઠ¢¥à). �®ª § ®, é® §¬¥è¥ï ¢÷¤áâ ÷ ¢÷¤ ¢÷«ì®ù ¯®¢¥àå÷¢¥¤¥ ¤® §¬¥è¥ï ¢÷¤®á¨å ¬¯«÷â㤠ª®«¨¢ ì ¤®¢¦¨¨ ª ¢¥à¨ ÷ ª®¥ä÷æ÷¥â÷¢ £÷¤à®¤¨ ¬÷ç¨å ᨫ. �à å㢠类«¨¢ ì ¤®¢¦¨¨ ª ¢¥à¨ ¢¥¤¥ ¤® §£« ¤¦ã¢ ï ¬¯÷â㤮-ç áâ®â¨å å à ªâ¥à¨á⨪ ᨫ ¯®à÷¢ï® § ஧à å㪮¬¯à¨ ä÷ªá®¢ ÷© ¤®¢¦¨÷ ª ¢¥à¨.A system of integral equations for low-disturbed
ow around two-dimensional supercavitating and ventilated oscillatinghydrofoils under a free surface is obtained. A method to calculate time dependence of the unsteady cavity length by meansof numerical solving the nonlinear equation of gas mass in the cavity balance (or the equation of the cavity pressure to beconstant for vapour supercavities) is proposed. It is shown that approach to a free surface results in decreasing relativeamplitudes of oscillations of the cavity length and hydrodynamic forces. Taking account of the variable cavity lengthresults in smoothing frequency responses of forces in comparison with calculation when the cavity length is constant.���������ਠ¡®«ìè¨å ᪮à®áâïå ¤¢¨¦¥¨ï á㤮¢ ¯®¤-¢®¤ëå ªàë«ìïå à §¢¨¢ ¥âáï ०¨¬ á㯥ઠ¢¨â -樮®£® ®¡â¥ª ¨ï ªàë« , ª®£¤ ¤«¨ ª ¢¥àël ¬®£® ¯à¥¢ëè ¥â ¤«¨ã å®à¤ë ªàë« b. �ã-¯¥àª ¢¨â¨àãî騥 ¯®¤¢®¤ë¥ ªàë«ìï ®¡ëç® ï¢«ï-îâáï ⮪¨¬¨ ¨ á« ¡®¨§®£ãâ묨, çâ® ¯®§¢®«ï¥â¯à¨¬¥ïâì ¤«ï ¨å à áç¥â «¨¥©ãî ⥮à¨î. �à ¬ª å «¨¥©®© ⥮ਨ ¡ë«® ¯®«ã祮 ¡®«ì讥ª®«¨ç¥á⢮ ç áâëå १ã«ìâ ⮢ ¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨åà áç¥â®¢ á㯥ઠ¢¨â¨àãîé¨å ¯®¤¢®¤ëå ªàë«ì¥¢¨ ¨å á¨á⥬ (á¬. [1{3] ¨ ¤à.).�¥â¨«¨àã¥¬ë¥ ª ¢¥àë § ¯®¤¢®¤ë¬¨ ªàë-«ìﬨ ¬®£ãâ ®¡à §®¢ë¢ âìáï ¯à¨ ¬¥ìè¨å ᪮à®-áâïå ª ª ¥áâ¥á⢥® { ¯ã⥬ ¯®¤á®á ⬮áä¥à-®£® ¢®§¤ãå , â ª ¨ ¨áªãáá⢥® { ¯ã⥬ ¯®¤¤ã¢ ¢®§¤ãå ¢ ª ¢¥àã [4]. �ਠáâ 樮 ஬ ®¡â¥-ª ¨¨ ¨ ¡®«ìè¨å ç¨á« å �àã¤ à §¬¥àë ¨ ä®à¬ ¥áâ¥á⢥®© ¨ ¢¥â¨«¨à㥬®© ª ¢¥à ¯à ªâ¨ç¥-᪨ ®¤¨ ª®¢ë ¯à¨ à ¢ëå ç¨á« å ª ¢¨â 樨� = 2(p1 � pc)�V 21 ; (1)£¤¥ p1 { ¤ ¢«¥¨¥ ¢ ¥¢®§¬ã饮¬ ¯®â®ª¥, pc {
¤ ¢«¥¨¥ ¢ ª ¢¥à¥.� §«¨ç¨¥ ¬¥¦¤ã ¥áâ¥á⢥묨 (¯ ஢묨) ¨£ §® ¯®«¥ë¬¨ á㯥ઠ¢¥à ¬¨ ¯à®ï¢«ï¥âáï¯à¨ ¥áâ 樮 ஬ ®¡â¥ª ¨¨. � í⮬ á«ãç ¥¢ ¦ãî à®«ì ¨£à ¥â ¯ à ¬¥âà, å à ªâ¥à¨§ãî騩¢«¨ï¨¥ ã¯à㣮á⨠£ § ¢ ª ¢¥à¥� = �v� � Eu� ; (2)£¤¥ �v { ¥áâ¥á⢥®¥ (¯ ஢®¥) ç¨á«® ª ¢¨â 樨;Eu = 2p1=�V 21 { ç¨á«® �©«¥à . �áâ¥á⢥®© áã-¯¥àª ¢¨â 樨 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § 票¥ � = 1, ¤«ï¢¥â¨«¨à㥬ëå ª ¢¥à � > 1. � à ¬¥âà � ï¥â-áï £« ¢ë¬ ¯ à ¬¥â஬ ¯®¤®¡¨ï ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ãá⮩稢®á⨠¨ ¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯®¢¥¤¥¨ï £ §® -¯®«¥ëå ª ¢¥à [5,6].�à㤮áâì à¥è¥¨ï ¥áâ 樮 àëå § ¤ ç áã-¯¥àª ¢¨â 樮®£® ®¡â¥ª ¨ï ¯à¨ � 6= 0 á®áâ®-¨â ¢ ⮬, çâ® ®¡ëç ï ¯à®æ¥¤ãà «¨¥ ਧ 樨®¡« á⨠â¥ç¥¨ï ¨ £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¥ ¯à¨¢®-¤¨â ª «¨¥©®á⨠§ ¤ ç¨ ¢ 楫®¬. �à¨ç¨®© ï-¥âáï â®, çâ® ¨§¬¥¥¨¥ ¥¨§¢¥á⮩ ¤«¨ë ª ¢¥à-ë l(t) ¨¬¥¥â ¯®à冷ª ¥¤¨¨æë, ª®£¤ � � O(") ¨vy(x; t) � O("), £¤¥ " { ¬ «ë© ¯ à ¬¥âà, vy { ®à-¬ «ì ï ᪮à®áâì ªàë«¥.�§ íªá¯¥à¨¬¥â®¢ ¨§¢¥áâ®, çâ® ¯à¨ ¬ «ëå �48 c
�. �. �¥¬¥¥ª®, �. �. �¥¬¥¥ª®, 1999
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 48 { 54¯à®æ¥ááë ¢ 墮á⮢®© ç á⨠á㯥ઠ¢¥à á« ¡®¢«¨ïîâ á㬬 àë¥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ å à ª-â¥à¨á⨪¨ á㯥ઠ¢¨â¨àãî饣® ¯à®ä¨«ï. � -è¨å à ¡®â å [7, 8] ¨á¯®«ì§®¢ «áï ¯à¨¡«¨¦¥ë©¯®¤å®¤, ¯à¨ ª®â®à®¬ ¤«¨ ª ¢¥àë áç¨â ¥âáï § -¤ ®©. � í⮬ á«ãç ¥ ¥áâ 樮 à ï § ¤ ç áâ ®¢¨âáï «¨¥©®© ¢ 楫®¬.� ¤ ®© à ¡®â¥ ¯à¥¤« £ ¥âáï ãâ®ç¥ë©¬¥â®¤ à áç¥â £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨-á⨪ ª®«¥¡«î饣®áï á㯥ઠ¢¨â¨àãî饣® ¯à®ä¨-«ï. �¥à¥¬¥ ï ¤«¨ ª ¢¥àë l(t) 室¨âáï ¢ ¯®-á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ t(m) = t(m�1) +4t ¯ã⥬ ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï ¥«¨¥©®£® ãà ¢-¥¨ï ¡ « á ¬ ááë £ § ¢ ª ¢¥à¥. � ª ¦¤®©¨â¥à 樨 ç¨á«¥® à¥è ¥âáï «¨¥© ï § ¤ ç ¯à¨ä¨ªá¨à®¢ ®¬ § 票¨ ¤«¨ë ª ¢¥àë l(m) =l(t(m)).�ਢ®¤ïâáï १ã«ìâ âë à áç¥â ª®«¥¡ ¨© ¯à®-䨫ï á ¥áâ¥á⢥®© á㯥ઠ¢¥à®© ¢¡«¨§¨ ᢮¡®¤-®© ¯®¢¥àå®á⨠¢®¤ë. �ਠí⮬ ãà ¢¥¨¥ ¡ « -á ¬ ááë £ § ¢ ª ¢¥à¥ ¢ë஦¤ ¥âáï ¢ ãá«®¢¨¥¯®áâ®ïá⢠ç¨á« ª ¢¨â 樨.1. ���������� ������� áᬮâਬ á㯥ઠ¢¨â¨àãî騩 ¯à®ä¨«ì áå®à¤®© b, ¤¢¨¦ã饩áï £®à¨§®â «ì® á ¯®áâ®ï®©áª®à®áâìî V1 à ááâ®ï¨¨ h ®â á।¥£® ã஢ï᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¢®¤ë (à¨á. 1). �¨¤ª®áâìáç¨â ¥âáï ¨¤¥ «ì®©, ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¨ ¥¢¥á®¬®©.�à®ä¨«ì y = f(x; t) áç¨â ¥âáï ⮪¨¬ ¨ á« ¡®¨§®-£ãâë¬ (¯« á⨪ ), ç¨á«® ª ¢¨â 樨 { ¬ «ë¬ ¤«ï«î¡®£® t:k f(x; t) k� O("); �(t) � O(");â ª çâ® ¬®¦® «¨¥ ਧ®¢ âì £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï¨ á¥á⨠¨å ®áì Ox. � ¯à®ä¨«¥ áç¨â ¥âáï § -¤ ®© ®à¬ «ì ï ᪮à®áâìvy(x; t) = ��+ �Re fv�y(x)ejktg; 0 < x < 1; (3)£¤¥ k = !b=V1 { ¯à¨¢¥¤¥ ï ç áâ®â ª®«¥¡ -¨© (ç¨á«® �âàãå « ); ! { ªà㣮¢ ï ç áâ®â ;� � O(") { 㣮« â ª¨ ¯« á⨪¨; � � O(") { ¬¯«¨â㤠¥áâ 樮 àëå ¢®§¬ã饨©.�¤¥áì ¨ ¨¦¥ ¢á¥ ¢¥«¨ç¨ë áç¨â îâáï ¡¥§à §-¬¥à묨 ¯® b ¨ V1. �¥«¨ç¨ë, ®â¬¥ç¥ë¥ § -ª®¬ �, ïîâáï ª®¬¯«¥ªá묨 ¯® j (ª®¬¯«¥ªáë¥ ¬¯«¨âã¤ë):�� = �1 + j�2; �� = �1 + j�2 ¨ â.¯.� ®ª®ç ⥫ìëå १ã«ìâ â å á«¥¤ã¥â ¡à âì ¤¥©-á⢨⥫ìãî ç áâì.
�¨á. 1. �㯥ઠ¢¨â¨àãî騩 ¯à®ä¨«ì ¢¡«¨§¨¢§¢®«®¢ ®© ¯®¢¥àå®áâ¨� ¥áâ 樮 ன ⥮ਨ ªàë« âà ¤¨æ¨®®à áᬠâਢ îâáï âਠ®á®¢ëå ⨯ ª®«¥¡ ¨© ¨¤¥ä®à¬ 権 ⮪®£® ¯à®ä¨«ï [9]:v�y(x) = �jk ¯®áâ㯠⥫ìë¥ ª®«¥¡ ¨ï;v�y(x) = �(1 + jkx) ªàã⨫ìë¥ ª®«¥¡ ¨ï;v�y(x) = e�jkx ¢®«®®¡à §ë¥ ¤¥ä®à¬ 樨.�®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ®¯¨áë¢ ¥â â ª¦¥ à á¯à¥¤¥-«¥¨¥ ᪮à®á⨠¯à®ä¨«¥ ¯à¨ ®¡â¥ª ¨¨ ®¤®-à®¤ë¬ ¯®â®ª®¬, ¥áã騬 £ ମ¨ç¥áª¨© ¯®à뢢¥à⨪ «ì®© ᪮à®áâ¨.� ¤ ç ® ¤¢¨¦¥¨¨ á㯥ઠ¢¨â¨àãî饣® ¯à®ä¨-«ï ¢¡«¨§¨ ¢§¢®«®¢ ®© ¯®¢¥àå®á⨠¢®¤ë â ª¦¥á¢®¤¨âáï ª § ¤ ç¥ ®¡ ®¡â¥ª ¨¨ ¯à®ä¨«ï ¯®â®ª®¬,¥áã騬 £ ମ¨ç¥áª¨© ¯®àë¢ [7]vy(x; t) = ��(k; h) cos k(t � x);�(k; h) = aV1rgkb e� khb ; k � 2� b�w ;£¤¥ �w � b { ¤«¨ ¢®«ë; a { ¯®«ã¢ëá®â ¢®«ë(a � �w); c = pg�w=2� � V1 { ᪮à®áâì ¢®«ë;k { ¯à¨¢¥¤¥ ï ç áâ®â ¢áâà¥ç¨ ªàë« á ¢®«®©.�§¬¥à¥¨ï ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¯à¨ ¤¢¨¦¥¨¨ ¢¢®«®¢®¬ ¯®â®ª¥ ¨ ¯à¨ ª®«¥¡ ¨ïå ¯à®ä¨«ï ¤ ¢«¥-¨¥ ¢ ¨áªãáá⢥®© ª ¢¥à¥ ¯ã«ìá¨àãîâ á ¡¥§à §-¬¥à®© ç áâ®â®© k, ¨§¬¥ïïáì á¨åà®® ¯® ¢á¥©¤«¨¥ ª ¢¥àë [4, 10]. �«¥¤®¢ ⥫ì®, ç¨á«® ª ¢¨-â 樨 ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë á।¥£®¨ ¢®§¬ã饮£® á« £ ¥¬ëå:�(t) = ��0 + �Re f�� ejktg; �0 � �� � O(1): (4)�㤥¬ ®âë᪨¢ âì ¯®â¥æ¨ « â¥ç¥¨ï ¢ ¢¨¤¥ áã¬-¬ë ª¢ §¨áâ 樮 ன ¨ ¥áâ 樮 à® ¢®§¬ã-饮© á®áâ ¢«ïîé¨å:'(x; y; t) = �'0(x; y; l) + �Re f'�(x; y)ejktg: (5)�¢¥¤¥¬ £ ମ¨ç¥áªãî äãªæ¨î { ¯®â¥æ¨ « ¢®§-¬ãé¥ëå ã᪮२© [2]��(x; y) = jk'� + @'�@x : (6)�. �. �¥¬¥¥ª®, �. �. �¥¬¥¥ª® 49
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 48 { 54�®âॡ㥬, çâ®¡ë £à ¨æ å â¥ç¥¨ï ¢ë¯®«-﫨áì ª¨¥¬ â¨ç¥áª¨¥ ¨ ¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ãá«®¢¨ï®â¤¥«ì® ¤«ï ª¢ §¨áâ 樮 ன ¨ ¢®§¬ã饮©á®áâ ¢«ïîé¨å à¥è¥¨ï'y0 = ��; '�y = xZ�1 ��y(s) ejk(s�x) ds = v�y(x); (7)0 < x < 1; y = �0;'y0 = dF0dx ; xZ�1 ��y(s) ejk(s�x) ds = jkF � + dF �dx ;(8)1 < x < l(t); y = �0 ¨ 0 < x < l(t); y = +0;'x0 = �0=2; �� = ��=2; (9)1 < x < l(t); y = �0 ¨ 0 < x < l(t); y = +0;'x0 = �� = 0; �1 < x <1; y = h: (10)�¤¥áì y = �F0(x) + �Re fF �(x)ejktg { ä®à¬ ¥-áâ 樮 ன ª ¢¥àë.� ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ à¥è¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ (5)¨ à §¤¥«¥¨¥ § ¤ ç¨ ª¢ §¨áâ 樮 àãî ¨ ¢®§-¬ãé¥ãî ç á⨠¯à¨ l 6= const ï¥âáï ¯à¨¡«¨-¦¥ë¬. �¥©á⢨⥫ì®, ¢ í⮬ á«ãç ¥ äãªæ¨¨'0, '�, �� ¡ã¤ãâ § ¢¨á¥âì ®â ¯¥à¥¬¥®© ¤«¨ëª ¢¥àë l(t), á«¥¤®¢ â¥«ì® ®â ¢à¥¬¥¨. �¤ ª®¤«ï ¤®áâ â®ç® ¤«¨ëå ª ¢¥à íâ § ¢¨á¨¬®áâì¡ã¤¥â á« ¡®©. �®¦® ¯®ª § âì, çâ® ¯à¥¤«®¦¥ë©¯®¤å®¤ à ¢®á¨«¥ ¯à¥¥¡à¥¦¥¨î ¢ á®®â®è¥¨¨(6) ¨ ¢ £à ¨çëå ãá«®¢¨ïå ç«¥ ¬¨ ¢¨¤ @'@l l0(t):�®«ì§ãïáì â®çë¬ à¥è¥¨¥¬ ¤«ï á㯥ઠ¢¨â¨àã-î饩 ¯« á⨪¨ [2], ¢ ª¢ §¨áâ 樮 ஬ á«ãç ¥¯®«ãç ¥¬ ®æ¥ª¨d�dt � � �lpl l0(t); dcydt � �38 ��l2 l0(t); l � 1;â.¥. ¢ª« ¤ íâ¨å ç«¥®¢ ¡ëáâ஠㬥ìè ¥âáï ¯à¨ã¢¥«¨ç¥¨¨ l. �â® á¯à ¢¥¤«¨¢® ¨ ¤«ï à á¯à¥¤¥«¥-ëå å à ªâ¥à¨á⨪
(x; t), q(x; t).2. ������� ������������ ������-����«ï à¥è¥¨ï ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ (7){(10) ¢®á¯®«ì§ã-¥¬áï ¬¥â®¤®¬ ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© (¬¥â®¤®¬®á®¡¥®á⥩) [2].
�à ¥¢ë¥ ãá«®¢¨ï (7){(9) ¯®ª §ë¢ îâ, ç⮠᪮-à®áâì 'x0 ¨ ¯®â¥æ¨ « ã᪮२© �� â¥à¯ïâ à §-àë¢ ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ ¯à®¥ªæ¨î ¯à®ä¨«ï, ᪮-à®áâì 'y0 ¨ ¯à®¨§¢®¤ ï ��y { ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§¯à®¥ªæ¨î ª ¢¥àë ®áì Ox. � ª¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨®¡« ¤ îâ ¯à®á⮩ ¨ ¤¢®©®© á«®¨ [11], â.¥. á«®¨à á¯à¥¤¥«¥ëå ¯® ®â१ª ¬ ®á¨ Ox ¢¨å३ ¨ ¨á-â®ç¨ª®¢. �â¥á¨¢®á⨠à á¯à¥¤¥«¥ëå ¢¨å३¨ ¨áâ®ç¨ª®¢ ¡ã¤ãâ à ¢ë ᮮ⢥âá⢥®
(x; t) = �
0(x) + �Re f
�(x) ejktg;q(x; t) = �q0(x) + �Re fq�(x)ejktg;
0(x) = ['x0](x);
�(x) = [��](x);q0(x) = ['y0](x); q�(x) = xZ�1 [��y](s) ejk(s�x) ds:�¤¥áì ª¢ ¤à âë¥ áª®¡ª¨ ®¡®§ ç îâ ᪠箪 ¢¥«¨-ç¨ë ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ ®áì Ox.�ᯮ«ì§ãï ¨§¢¥áâë© ¬¥â®¤ ®â®¡à ¦¥¨ï ®á®-¡¥®á⥩ ®â ᢮¡®¤®© £à ¨æë [2], § ¯¨è¥¬ à¥-襨¥ § ¤ ç¨ ¤«ï ¥áâ 樮 àëå ¢®§¬ã饨© ¢¢¨¤¥��(x; y) = 12� 1Z0
�(s) � y(x � s)2 + y2+ (11)+ y � 2h(x� s)2 + (y � 2h)2 � ds+ lZ0 q�(s)�� x� s(x� s)2 + y2 � x� s(x� s)2 + (y � 2h)2++jk lns (x� s)2 + y2(x� s)2 + (y � 2h)2# ds:�ëç¨á«ïï § 票ï ��(x; y) ¨ ��y(x; y) ¯à¨ y ! �0[2,8] ¨ ¯®¤áâ ¢«ïï ¨å ¢ ªà ¥¢ë¥ ãá«®¢¨ï (7), (9), ¯®-«ã稬 á¨á⥬ã ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢-¥¨© ®â®á¨â¥«ì® ¥¨§¢¥áâëå ¨â¥á¨¢®á⥩
�(x) ¨ q�(x):q�(x) + 1� lZ0 q�(s)L1(x� s) ds+ 1� 1Z0
�(s)� (12)�24L2(x � s) � jke�jkx xZ�1 ejk�L2(� � s) d�35 ds == �2v�y(x);50 �. �. �¥¬¥¥ª®, �. �. �¥¬¥¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 48 { 54H(1� x)24
�(x)� 1� 1Z0
�(s)L1(x� s) ds35+ (13)+ 1� lZ0 q�(s) [L3(x� s) + jkL4(x� s)] ds = ��:£¤¥ L1(x� s) = 2h(x� s)2 + 4h2 ;L2(x� s) = 1x� s + x� s(x� s)2 + 4h2 ;L3(x� s) = 1x� s � x� s(x� s)2 + 4h2 ;L4(x� s) = ln jx� sjp(x� s)2 + 4h2 ;H(x) = 0 ¯à¨ x < 0, H(x) = 1 ¯à¨ x � 0. �ãâà¥-¨© ¨â¥£à « ¢ (12) ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ ¨â¥£à «ì-ãî ¯®ª § ⥫ìãî äãæ¨î.�®« £ ï ¢ ãà ¢¥¨ïå (12), (13) k = 0, ¯®«ã稬ãà ¢¥¨ï ¤«ï 宦¤¥¨ï ª¢ §¨áâ 樮 ன ç -á⨠à¥è¥¨ï
0(x), q0(x).�®áª®«ìªã ¤«¨ ª ¢¥àë l(t) ¨ ç¨á«® ª ¢¨â 樨�(t) ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ â ª¦¥ ¥¨§¢¥áâë ¨ ïîâáï§ ¢¨á¨¬ë¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨, ª ãà ¢¥¨ï¬ (12), (13)á«¥¤ã¥â ¤®¡ ¢¨âì ¤¢ á®®â®è¥¨ï:1) ãá«®¢¨¥ à §à¥è¨¬®á⨠¢¥è¥© ªà ¥¢®© § ¤ -ç¨ �¥©¬ ¤«ï ¯®â¥æ¨ « ᪮à®á⥩ [8, 11], ®â-ªã¤ á«¥¤ãîâ ãà ¢¥¨ïl(t)Z0 q0(s) ds = 0; l(t)Z0 q�(s) ds = 0; (14)2) ãà ¢¥¨¥ ¡ « á ¬ ááë £ § ¢ ª ¢¥à¥ ¯à¨¥£® ¨§®â¥à¬¨ç¥áª®¬ à áè¨à¥¨¨ [5]ddt h(� � �(t))Q(t)i = � h _Qin � _Qout(t)i; (15)£¤¥ � = �(t)=�0; Q(t) { ®¡ê¥¬ ª ¢¥àë;_Qin; _Qout(t) { ®¡ê¥¬ë¥ à áå®¤ë ¯®¤¤ã¢ ¢®§¤ã-å ¢ ª ¢¥àã ¨ ã®á ¨§ ª ¢¥àë.�á«®¢¨ï (14) ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ ®£à ¨ç¥®áâì à¥-襨ï (11) ¢ ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥ ¡¥§£à ¨ç®£® ¯®-⮪ h!1. � ç á⮬ á«ãç ¥ áâ 樮 ண® ®¡-⥪ ¨ï ãà ¢¥¨¥ (14) ï¥âáï ãá«®¢¨¥¬ § ¬ªã-â®á⨠ª ¢¥àë. � ¥áâ 樮 ஬ á«ãç ¥ ª ¢¥à ï¥âáï ¥§ ¬ªã⮩.�§ £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï (8) á«¥¤ã¥â ¢ëà ¦¥¨¥¤«ï ⮫é¨ë ¥áâ 樮 ன ª ¢¥àë�(x; t) = [F ](x; t) = � xZ0 q0(s) ds + (16)
�¨á. 2. �¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ¨© cy ¨ � ¯à¨ l = 5:0:- - - { j�j=�, |{ { jcyj=�1 { £ ମ¨ç¥áª¨© ¯®àë¢, 2 { ¯®áâ㯠⥫ìë¥ ª®«¥¡ ¨ï,3 { ªàã⨫ìë¥ ª®«¥¡ ¨ï+ �Re 8<:ejk(t�x) xZ0 q�(s) ejks ds9=; ; 0 < x < l(t)�®íää¨æ¨¥âë ¯®¤ê¥¬®© á¨«ë ¨ ¬®¬¥â , ¤¥©-áâ¢ãîé¨å ¯à®ä¨«ì, à ¢ëcy(t) = 2� 1Z0
0(s) ds + 2�Re 8<:ejkt 1Z0
�(s) ds9=; ;(17)ám(t) = 2� 1Z0
0(s)s ds+2�Re 8<:ejkt 1Z0
�(s)s ds9=; :3. ����� ��������¨á⥬ ãà ¢¥¨© (12){(15) ï¥âáï ¥«¨¥©-®©, ¥á«¨ ¤«¨ã ª ¢¥àë l(t) áç¨â âì ¥¨§¢¥á⮩äãªæ¨¥© ¢à¥¬¥¨. �¥ ¯àאַ© ç¨á«¥ë© à áç¥â¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢¥áì¬ § âà㤨⥫¥.�ë ¯à¥¤«®¦¨«¨ à áᬠâਢ âì ¤«¨ã ª ¢¥àël(t) ª ª ᢮¡®¤ë© ¯ à ¬¥âà, § ¢¨áï騩 ®â ¢à¥-¬¥¨, ¨ ®¯à¥¤¥«ïâì ¥£® ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ ¬®¬¥-âë ¢à¥¬¥¨ t(m) = t(m�1) +4t ¯ã⥬ ç¨á«¥®£®à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (15). �ਠí⮬ ®¡ê¥¬ ¥áâ -樮 ன ª ¢¥àë Q(t(m)) ¢ëç¨á«ï¥âáï ¨â¥£à¨-஢ ¨¥¬ ¢ëà ¦¥¨ï (16). � ª ¦¤®© ¨â¥à 樨ª¢ §¨áâ 樮 à ï ¨ ¥áâ 樮 à ï ç áâì à¥è¥-¨ï à ácç¨âë¢ îâáï ¯à¨ ä¨ªá¨à®¢ ®¬ § 票¨l(t(m)) ¨§ «¨¥©®© á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (12){(14)¬¥â®¤®¬ ¤¨áªà¥âëå ®á®¡¥®á⥩ [2].�¨á«¥ë© ¬¥â®¤ ¤¨áªà¥âëå ®á®¡¥®á⥩ á®-á⮨⠢ ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©�. �. �¥¬¥¥ª®, �. �. �¥¬¥¥ª® 51
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 48 { 54
¡�¨á. 3. �«¨ï¨¥ £«ã¡¨ë ¯®£à㦥¨ï h j�j ( ) ¨ jcyj (¡): l = 5:0; £ ମ¨ç¥áª¨© ¯®àë¢á¨á⥬®© «¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¯ã-⥬ § ¬¥ë ¥¯à¥à뢮£® à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¢¨å३¨ ¨áâ®ç¨ª®¢ ¯® ®â१ª ¬ ®á¨ Ox ¤¨áªà¥âë¬ ¨¯à¨¬¥¥¨ï ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã«. �«ï ã«ãçè¥-¨ï á室¨¬®á⨠¬¥â®¤ ¢ ¨â¥£à « å ãà ¢¥¨©¤¥« ¥âáï § ¬¥ ¯¥à¥¬¥ëå x ! x2, s ! s2[2]. �஥ªæ¨¨ ¯à®ä¨«ï ¨ ª ¢¥àë à §¡¨¢ îâáï Mpl0 ®¤¨ ª®¢ëå ®â१ª®¢. � ª ¦¤®¬ ®â१ª¥à ᯮ« £ ¥âáï â®ç¥ç ï ®á®¡¥®áâì ¨ â®çª , ¢ ª®-â®àëå 㤮¢«¥â¢®àïîâáï £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï. � à¥-§ã«ìâ ⥠¯®á«¥ à §¤¥«¥¨ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ¨ ¬¨-¬®© ç á⥩ ¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬ã 4M+2M (pl0�1)+2«¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©.�áá«¥¤®¢ ¨¥ â®ç®á⨠¬¥â®¤ ¯à¨¬¥¨â¥«ì®ª ¤ ®© § ¤ ç¥ ¯®ª § «®, çâ® ¯à¨ 䨪á¨à®¢ -®¬ ç¨á«¥ ®á®¡¥®á⥩ ¯à®ä¨«¥ M ¯®£à¥è-®áâì ¬®®â®® 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï á à®á⮬ ¤«¨ëª ¢¥àë l0 ¨ ¯à¨¢¥¤¥®© ç áâ®âë k (ª ª á⥯¥- ï äãªæ¨ï ®â k). �«ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢ ¦ëå § -票© ç áâ®âë k < 2 ¨ M � 20 ¯®£à¥è®áâì ¬¥-⮤ ¥ ¯à¥¢ëè ¥â 2%.�⬥⨬, çâ® ¤à㣮© ¢ ਠ⠬¥â®¤ ®á®¡¥®-á⥩ ¯à¨¬¥ï«áï ¤«ï à áç¥â ®¡â¥ª ¨ï ª®«¥¡«î-é¨åáï á㯥ઠ¢¨â¨àãîé¨å ¯à®ä¨«¥© ¢ [10]. �à¥-¨¬ãé¥á⢮¬ ¬¥â®¤ ®á®¡¥®á⥩ ï¥âáï â®,çâ® ® «¥£ª® à á¯à®áâà ï¥âáï á«ãç © á¨á⥬¯®¤¢®¤ëå ªàë«ì¥¢, â ª¦¥ ¯à¨¬¥¨¬ ª à áç¥âãªàë«ì¥¢ ª®¥ç®£® à §¬ å .� à¨á. 2 ¯à¨¢¥¤¥ë ¬¯«¨â㤮-ç áâ®âë¥ å -à ªâ¥à¨á⨪¨ ç¨á« ª ¢¨â 樨 � (èâà¨å®¢ë¥ «¨-¨¨) ¨ ª®íää¨æ¨¥â ¯®¤ê¥¬®© ᨫë cy (ᯫ®è-ë¥ «¨¨¨)j�j(k) =q�21 + �22; jcyj(k) =qc2y1 + c2y2¤«ï âà¥å ⨯®¢ ª®«¥¡ ¨© ¯à®ä¨«ï, ¢ëç¨á«¥ë¥¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®¬ § 票¨ ¤«¨ë ª ¢¥àë l =
5:0 ¤«ï á«ãç ï ¡¥§£à ¨ç®£® ¯®â®ª h =1. �¨¤-®, çâ® § ¢¨á¨¬®á⨠j�j(k) ¨¬¥îâ ïમ ¢ëà ¦¥-ë© à¥§® áë© å à ªâ¥à, ª®â®àë© ¯à®ï¢«ï¥â-áï â ª¦¥ ¢ ¯®¢¥¤¥¨¨ äãªæ¨© jcyj(k), ® ¢ § ç¨-â¥«ì® ¬¥ì襩 á⥯¥¨.� à¨á. 3 , ,¡ ¯®ª § ® ¢«¨ï¨¥ £«ã¡¨ë ¯®-£à㦥¨ï ¯à®ä¨«ï h ¬¯«¨â㤮-ç áâ®âë¥ å -à ªâ¥à¨á⨪¨ j�j(k) ¨ jcyj(k) ¤«ï á«ãç ï ®¡â¥ª ¨ï¯®â®ª®¬, ¥áã騬 £ ମ¨ç¥áª¨© ¯®àë¢. �¨¤®,çâ® à ᯮ«®¦¥¨¥ ¬¨¨¬ã¬®¢ ¨ ¬ ªá¨¬ã¬®¢ äãª-権 j�j(k), jcyj(k) ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥ § ¢¨áïâ ®â h.�¬¥ì襨¥ £«ã¡¨ë h ¯à¨¢®¤¨â ª 㬥ìè¥¨î ¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ¨© �, â ª¦¥ cy ¯à¨ ¤®áâ â®ç-® ¡®«ìè¨å § 票ïå ç áâ âë k.4. ��������� ������� ����������-��� ��������������¥§® áë© å à ªâ¥à § ¢¨á¨¬®á⨠j�j(k), ¯®-«ãç¥ë© ¢ à áç¥â å ¯à¨ l = const ¤«ï ¢á¥åâà¥å ⨯®¢ ª®«¥¡ ¨© ¯à®ä¨«ï, ¨¬¥¥â 䨧¨ç¥áª¨©á¬ë᫠⮫쪮 ¤«ï £ §® ¯®«¥ëå ª ¢¥à [5, 6].�ਠ¥áâ¥á⢥®© á㯥ઠ¢¨â 樨 (� = 1) ¤ ¢«¥-¨¥ ¢ ª ¢¥à¥ ¤®«¦® ®áâ ¢ âìáï ¯®áâ®ïë¬, ¤«¨ ª ¢¥àë l { ¡ëâì äãªæ¨¥© ¢à¥¬¥¨. � í⮬á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (15) ¢ë஦¤ ¥âáï ¢ ãá«®¢¨¥ ¯®-áâ®ïá⢠¤ ¢«¥¨ï ¢ ª ¢¥à¥�0(l) + �h�1(l) cos kt� �2(l) sin kti = �0(l0); (18)£¤¥ � = �=� � O(1) { ®â®á¨â¥«ì ï ¬¯«¨â㤠¥áâ 樮 àëå ¢®§¬ã饨©, l0 { ¤«¨ áâ 樮- ன ª ¢¥àë ¯à¨ � = 0.�à ¢¥¨¥ (18) à¥è «®áì ç¨á«¥® ¢ ¯®á«¥¤®¢ -⥫ìë¥ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ t(m) = t(m�1) +4t ¬¥-⮤®¬ ¤¥«¥¨ï ¨â¥à¢ «®¢ ¯®¯®« ¬ á ¯ à ¡®«¨ç¥-52 �. �. �¥¬¥¥ª®, �. �. �¥¬¥¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 48 { 54
¡�¨á. 4. �«¨ï¨¥ ¬¯«¨âã¤ë ( ) ¨ ç áâ®âë (¡) ª®«¥¡ ¨© l(t): h =1, l0 = 5:0; £ ମ¨ç¥áª¨© ¯®àë¢ { k = 1:6, ¡ { � = 0:2
�¨á. 5. � §¬ å ª®«¥¡ ¨© l(t) ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®âç áâ®âë: h =1, l0 = 5:0, � = 0:2;£ ମ¨ç¥áª¨© ¯®àë¢áª®© ¨â¥à¯®«ï樥©. � i-®© ¨â¥à 樨 ª¢ §¨áâ -樮 à ï ¨ ¢®§¬ãé¥ ï á®áâ ¢«ïî騥 ç¨á« ª -¢¨â 樨 à ááç¨âë¢ «¨áì ¯à¨ ä¨ªá¨à®¢ ®¬ § -票¨ l(m)i ¨§ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (12){(14).� à¨á. 4 , ¯à¨¢¥¤¥ë à ááç¨â ë¥ ¤«ï ®¤®£®¯¥à¨®¤ ª®«¥¡ ¨© £à 䨪¨ § ¢¨á¨¬®á⨠l(t) ¯à¨à §«¨çëå § 票ïå ®â®á¨â¥«ì®© ¬¯«¨âã¤ë¢ë㦤 îé¨å ª®«¥¡ ¨© �. � 票¥ k = 1:6 á®-®â¢¥âáâ¢ã¥â ¯¥à¢®¬ã ¬ ªá¨¬ã¬ã äãªæ¨¨ j�j(k)(á¬. à¨á. 3 , a). � ª ¢¨¤®, ª®«¥¡ ¨ï ¤«¨ë ª -¢¥àë ¯à¨ ã¢¥«¨ç¥¨¨ � ¢á¥ ¡®«ìè¥ ®â«¨ç îâáï®â á¨ãᮨ¤ «ìëå ¨ ¯à¨ ¯à¥¢ë襨¨ ¥ª®â®à®£®§ 票ï � áâ ®¢ïâáï à §àë¢ë¬¨.� à¨á. 4 ,¡ ¯®ª § âà áä®à¬ æ¨ï £à 䨪 äãªæ¨¨ l(t) ¯à¨ ¢®§à áâ ¨¨ ç áâ®âë k. �¨¤®,çâ® ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ § 票ï k � 1:0, ᮮ⢥âáâ¢ã-î饣® ¬¨¨¬ã¬ã äãªæ¨¨ j�j(k) (á¬. à¨á. 3 , ),¯à®¨á室¨â ᪠箪 ᤢ¨£ ä §ë ª®«¥¡ ¨© ¤«¨ëª ¢¥àë ®â®á¨â¥«ì® ¢ë㦤 îé¨å ª®«¥¡ ¨©.
�¨á. 6. �¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ¨© cy ¨ �:- - - { l = const, |{ { l = l(t).1 { £ ମ¨ç¥áª¨© ¯®àë¢, l0 = 5:0,2 { ¯®áâ㯠⥫ìë¥ ª®«¥¡ ¨ï, l0 = 4:0� à¨á. 5 ¯à¨¢¥¤¥ë £à 䨪¨ ¨¡®«ìè¨å(ᯫ®è ï «¨¨ï) ¨ ¨¬¥ìè¨å (èâà¨å®¢ ï «¨-¨ï) § 票© ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ l(t) ¢ § -¢¨á¨¬®á⨠®â ¯à¨¢¥¤¥®© ç áâ®âë k. � áç¥â믮ª § «¨, çâ® à §¬ å ª®«¥¡ ¨© l(t) ¨¬¥¥â ¬ ªá¨-¬ã¬ë १® áëå ç áâ®â å à¨á. 3 , .� à¨á. 6 ¤ ® áà ¢¥¨¥ ¬¯«¨â㤮-ç áâ®â-ëå å à ªâ¥à¨á⨪ cy, ¢ëç¨á«¥ëå ¯à¨ l = const(èâà¨å®¢ë¥ «¨¨¨) ¨ á ãç¥â®¬ § ¢¨á¨¬®á⨠l(t)(ᯫ®èë¥ «¨¨¨). � ª ¢¨¤®, ãç¥â ¯¥à¥¬¥-®á⨠¤«¨ë ª ¢¥àë ¯à¨¢®¤¨â ª ᣫ ¦¨¢ ¨ï ¬¯«¨â㤮-ç áâ®â®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ cy. �â®á¯à ¢¥¤«¨¢® â ª¦¥ ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ¬®¬¥â cm.� à¨á. 7 , , ¡ ¯®ª § ® ¢«¨ï¨¥ £«ã¡¨ë ¯®£àã-¦¥¨ï h l(t) ¨ cy(t). � ª ¢¨¤®, à §¬ å ª®«¥¡ -¨© ª ª l(t), â ª ¨ cy(t) 㬥ìè ¥âáï á 㬥ìè¥-¨¥¬ h.�®«ãç¥ ï ä®à¬ ª®«¥¡ ¨© ¤«¨ë ¥áâ 樮- ன ª ¢¥àë ª ç¥á⢥® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨¬¥-�. �. �¥¬¥¥ª®, �. �. �¥¬¥¥ª® 53
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 3. �. 48 { 54
¡�¨á. 7. �«¨ï¨¥ £«ã¡¨ë ¯®£à㦥¨ï l(t) ¨ cy(t): l0 = 5:0, k = 1:6, � = 0:2; £ ମ¨ç¥áª¨© ¯®àë¢î騬áï íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¬ ¤ ë¬ [10], â ª¦¥à¥§ã«ìâ â ¬ à áç¥â®¢ ¥áâ 樮 àëå ®á¥á¨¬¬¥-âà¨çëå á㯥ઠ¢¥à [6].� ®â«¨ç¨¥ ®â l(t), äãªæ¨¨ cy(t), cm(t) (17) ®áâ -îâáï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ á¨ãᮨ¤ «ì묨 ¯à¨ «î¡ëå§ ç¥¨ïå �, k, ¯à¨ç¥¬ ¨å ¬¯«¨â㤠¨§¬¥ï¥âáïá« ¡® ¯® áà ¢¥¨î á à áç¥â®¬ ¯à¨ l = const.�à ¢¥¨¥ á १ã«ìâ â ¬¨ ⥮ਨ ãá⮩稢®-á⨠£ §® ¯®«¥ëå ª ¢¥à [5] ¯®ª §ë¢ ¥â, ç⮯®«ãç¥ë¥ ¢ ¤ ëå à áç¥â å १® áë¥ ç -áâ®âë ¡«¨§ª¨ ª ᮡáâ¢¥ë¬ ç áâ®â ¬ ª ¢¥à.�®¦® ᪠§ âì, çâ® ¢ á«ãç ¥ ¥áâ¥á⢥ëå ¯ -஢ëå á㯥ઠ¢¥à ᮡáâ¢¥ë¥ ç áâ®âë ¯à®ï¢«ï-îâáï ¢ ¢®§à áâ ¨¨ à §¬ å ª®«¥¡ ¨© ¤«¨ë ª -¢¥àë ¯à¨ ¢ë㦤¥ëå ª®«¥¡ ¨ïå.�����������।«®¦¥ ®¢ë© ¬¥â®¤ à áç¥â ¯¥à¥¬¥®©¤«¨ë ¯«®áª¨å ¥áâ 樮 àëå á㯥ઠ¢¥à § ª®«¥¡«î騬¨áï ¯à®ä¨«ï¬¨ ¯ã⥬ ç¨á«¥®£® à¥-襨ï ãà ¢¥¨ï ¡ « á ¬ ááë £ § ¢ ª ¢¥à¥.�ਠí⮬ ª ¦¤®© ¨â¥à 樨 à¥è ¥âáï ç¨á«¥®á¨á⥬ «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯à¨ä¨ªá¨à®¢ ®¬ § 票¨ ¤«¨ë ª ¢¥àë.�ਢ¥¤¥ë १ã«ìâ âë à áç¥â £ ମ¨ç¥áª¨åª®«¥¡ ¨© ¯à®ä¨«ï á ¥áâ¥á⢥®© ¯ ஢®© á㯥à-ª ¢¥à®© ¢¡«¨§¨ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¢®¤ë. �í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ ¡ « á ¬ ááë £ § ¢ ª -¢¥à¥ ¢ë஦¤ ¥âáï ¢ ãá«®¢¨¥ ¯®áâ®ïá⢠ç¨á« ª ¢¨â 樨.�®ª § ®, ç⮠㬥ì襨¥ ®âáâ®ï¨ï á㯥ઠ-¢¨â¨àãî饣® ¯à®ä¨«ï ®â ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨯ਢ®¤¨â ª 㬥ìè¥¨î ®â®á¨â¥«ìëå ¬¯«¨â㤪®«¥¡ ¨© ¤«¨ë ª ¢¥àë ¨ ª®íä¨æ¨¥â®¢ £¨¤à®-¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ᨫ.
�ç¥â ¯¥à¥¬¥®á⨠¤«¨ë ª ¢¥àë ¢ ¯à®æ¥áᥪ®«¥¡ ¨© ¯à¨¢®¤¨â ª ᣫ ¦¨¢ ¨î ¬¯«¨â㤮-ç áâ®âëå å à ªâ¥à¨á⨪ ᨫ, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¯à®ä¨«ì. �ਠí⮬ ¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ¨© ᨫ¨§¬¥ïîâáï á« ¡® ¯® áà ¢¥¨î á à áç¥â®¬ ¯à¨l = const.� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å à áç¥â®¢ ¥-áâ 樮 àëå £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪á㯥ઠ¢¨â¨àãîé¨å ¯®¤¢®¤ëå ªàë«ì¥¢ ¬®¦®¨á¯®«ì§®¢ âì ¡®«¥¥ ¯à®áâë¥ «¨¥©ë¥ «£®à¨â¬ëá 䨪á¨à®¢ ®© ¤«¨®© ª ¢¥àë [7,8].1. �ãॢ¨ç �.�. �¥®à¨ï â¥ç¥¨© ᮠ᢮¡®¤ë¬¨ ¯®-¢¥àå®áâﬨ // �⮣¨ 㪨. �¥à. �̈ ¤à®¬¥å ¨ª { �.: ������.{ 1971.{ �. 5.{ �. 32{114.2. ôä६®¢ I.I. �i¥ ਧ®¢ ⥮àiï ª ¢iâ æi©®£®®¡âiª ï.{ �.: � ãª. ¤ã¬ª , 1974.{ 156 á.3. � ᨠ�.�., � ¤à¨ �.�. �̈ ¤à® íத¨ ¬¨ª ªàë« ¢¡«¨§¨ £à ¨æë à §¤¥« á।.{ �.: �㤮-áâ஥¨¥, 1980.{ 304 á.4. �áªãáá⢥ ï ª ¢¨â æ¨ï. �£®à®¢ �.�., � ¤®¢-¨ª®¢ �.�., �á ¥¢ �.�., � ᨠ�.�. / �®¤ ।.�.�.�£®à®¢ . { �.: �㤮áâ஥¨¥, 1971. { 283 á.5. �¥¬¥¥ª® �.�. �¥ãá⮩稢®áâì ¯«®áª®© £ §® -¯®«¥®© á㯥ઠ¢¥àë ¢ ¡¥§£à ¨ç®¬ ¯®â®-ª¥ // �̈ ¤à®¬¥å ¨ª .{ 1995.{ �ë¯. 69.{ �. 56{64.6. �¥¬¥¥ª® �.�. �®¬¯ìîâ¥à®¥ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨¥¯ã«ìá 権 ¢¥â¨«¨à㥬ëå á㯥ઠ¢¥à //�̈ ¤à®¬¥å ¨ª .{ 1997.{ �ë¯. 71.{ �. 110{118.7. �¥¬¥¥ª® �.�. � áç¥â ¥áâ 樮 àëå £¨¤à®¤¨- ¬¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ ¢¥â¨«¨à㥬®£® ¯à®-ä¨«ï ¢¡«¨§¨ ¢§¢®«®¢ ®© ¯®¢¥àå®á⨠¢®¤ë //�̈ ¤à®¬¥å ¨ª .{ 1983.{ �ë¯. 48.{ �. 6{10.8. �ä६®¢ �.�., �¥¬¥¥ª® �.� � ¢¨â 樮®¥®¡â¥ª ¨¥ ª®«¥¡«î饣®áï ¯à®ä¨«ï // �§¢. ������. ���.{ 1975.{N 1.{ �. 163{166.9. �¥ªà ᮢ �.�.�¥®à¨ï ªàë« ¢ ¥áâ 樮 ஬ ¯®-⮪¥. { �®¡à. á®ç. { �. II.{ �.: �§¤-¢® �� ����,1962.{ 706 á.10. Nishiyama T. Unsteady cavity
ow model for two-dimensional super-cavitating hydrofoils in oscilla-tion // Technology Reports, Tohoku Univ..{ 1982.{46, N 2.{ P. 199{216.11. �« ¤¨¬¨à®¢ �.�. �à ¢¥¨ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ä¨-§¨ª¨. { 2-¥ ¨§¤., ¯¥à¥à ¡. ¨ ¤®¯.{ �.:� 㪠, 1971.{512 á.54 �. �. �¥¬¥¥ª®, �. �. �¥¬¥¥ª®
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5187 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:45:25Z |
| publishDate | 1999 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Семененко, В.Н. Семененко, Т.Н. 2010-01-12T16:39:38Z 2010-01-12T16:39:38Z 1999 Колебания тонкого суперкавитирующего профиля вблизи свободной поверхности / В.Н. Семененко, Т.Н. Семененко // Прикладна гідромеханіка. — 1999. — Т. 1, № 3. — С. 48-54. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5187 532.528 Получена система интегральных уравнений слабовозмущенного обтекания колеблющихся профилей суперкавитирующих и вентилируемых подводных крыльев вблизи свободной поверхности. Предложен метод расчета зависимости длины нестационарной каверны от времени путем численного решения нелинейного уравнения баланса массы газа в каверне (или уравнения постоянства давления в каверне для паровых суперкаверн). Показано, что уменьшение отстояния от свободной поверхности приводит к уменьшению относительных амплитуд колебаний длины каверны и коэфициентов гидродинамических сил. Учет колебаний длины каверны приводит к сглаживанию амплитудно-частотных характеристик сил по сравнению с расчетом при фиксированной длине каверны. Одержана система iнтегральних рiвнянь слабкозбуреного обтiкання профiлей суперкавiтуючих i вентильованих пiдводних крил, що коливаються, поблизу вiльної поверхнi. Запропонований метод розрахунку залежностi довжини нестацiонарної каверни вiд часу шляхом чисельного рiшення нелiнiйного рiвняння балансу маси газу в кавернi (або рiвняння сталостi тиску в кавернi для парових суперкаверн). Показано, що зменшення вiдстанi вiд вiльної поверхнi веде до зменшення вiдносних амплiтуд коливань довжини каверни i коефiцiентiв гiдродинамiчних сил. Врахування коливань довжини каверни веде до згладжування ампiтудно-частотних характеристик сил порiвняно з розрахунком при фiксованiй довжинi каверни. A system of integral equations for low-disturbed flow around two-dimensional supercavitating and ventilated oscillating hydrofoils under a free surface is obtained. A method to calculate time dependence of the unsteady cavity length by means of numerical solving the nonlinear equation of gas mass in the cavity balance (or the equation of the cavity pressure to be constant for vapour supercavities) is proposed. It is shown that approach to a free surface results in decreasing relative amplitudes of oscillations of the cavity length and hydrodynamic forces. Taking account of the variable cavity length results in smoothing frequency responses of forces in comparison with calculation when the cavity length is constant. ru Інститут гідромеханіки НАН України Колебания тонкого суперкавитирующего профиля вблизи свободной поверхности Oscillation of the slender two-dimensional supercavitating hydrofoil under a free surface Article published earlier |
| spellingShingle | Колебания тонкого суперкавитирующего профиля вблизи свободной поверхности Семененко, В.Н. Семененко, Т.Н. |
| title | Колебания тонкого суперкавитирующего профиля вблизи свободной поверхности |
| title_alt | Oscillation of the slender two-dimensional supercavitating hydrofoil under a free surface |
| title_full | Колебания тонкого суперкавитирующего профиля вблизи свободной поверхности |
| title_fullStr | Колебания тонкого суперкавитирующего профиля вблизи свободной поверхности |
| title_full_unstemmed | Колебания тонкого суперкавитирующего профиля вблизи свободной поверхности |
| title_short | Колебания тонкого суперкавитирующего профиля вблизи свободной поверхности |
| title_sort | колебания тонкого суперкавитирующего профиля вблизи свободной поверхности |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5187 |
| work_keys_str_mv | AT semenenkovn kolebaniâtonkogosuperkavitiruûŝegoprofilâvblizisvobodnoipoverhnosti AT semenenkotn kolebaniâtonkogosuperkavitiruûŝegoprofilâvblizisvobodnoipoverhnosti AT semenenkovn oscillationoftheslendertwodimensionalsupercavitatinghydrofoilunderafreesurface AT semenenkotn oscillationoftheslendertwodimensionalsupercavitatinghydrofoilunderafreesurface |